Le logiche basate sulle norme triangolari e sui loro ... - Logica Fuzzy

Le logiche basate sulle norme triangolari e sui loro residui
1 Introduzione
prima stesura, da rivedere
Evidenziamo alcune caratteristiche della logica proposizionale di Gödel G.
1. Linguaggio: l’insieme dei connettivi è L = {∧, ∨, →, ¬, ⊥, ⊤}, lo stesso della logica proposizionale
Booleana B.
2. L’insieme dei valori di verità è costituito dall’intervallo reale unitario [0, 1]. (Mentre la logica
Booleana ha come insieme di valori di verità l’insieme di due elementi {0, 1}.) In particolare il valore
0 è attribuito a un’asserzione assolutamente falsa, mentre il valore 1 a un’asserzione assolutamente
vera; i valori intermedi sono attribuiti ad asserzioni sfumate, cioè vere, per così dire, fino a un certo
punto.
3. L’interpretazione dei connettivi è verofunzionale, vale a dire che il valore di una formula ϕ = ψ ∗ ϑ,
dove ∗ è uno dei connettivi binari in L, sotto un assegnamento µ: V ar → [0, 1], dipende solo dal
valore assunto sotto µ dalle sottoformule ψ e ϑ di ϕ e dalla semantica fissata I∗ : [0, 1] 2 → [0, 1] del
connettivo ∗:
Per esempio:
dove
µ(ϕ) = I∗(µ(ψ), µ(ϑ)) .
µ(ψ ∧ ϑ) = I∧(µ(ψ), µ(ϑ)) ,
I∧(x, y) = min{x, y} .
Lo stesso discorso si applica ai connettivi di arità non binaria: per esempio ecco l’interpretazione
I¬ : [0, 1] → [0, 1] del connettivo unario di negazione ¬.
µ(¬ψ) = I¬(µ(ψ)), I¬(x) =
1 se x = 0
0 altrimenti
Si noti che la verofunzionalità è un requisito piuttosto forte. Vi sono infatti forme naturali di
ragionamento che non sono vero-funzionali. Consideriamo ad esempio la teoria delle probabilità.
Supponiamo di valutare la probabilità di due eventi distinti A e B come P rob(A) = P rob(B) =
c ∈ [0, 1]. Possiamo identificare P rob con un assegnamento µ di valori di verità agli eventi in [0, 1],
vale a dire µ(A) = µ(B) = c. Gli eventi A e B hanno in genere un certo grado di interdipendenza
stocastica, un certo grado di correlazione. Per concretezza supponiamo che A sia l’evento Domani
pioverà e che B sia l’evento Il Brasile vincerà i prossimi mondiali di calcio. Ora, non sembra
1

plausibile che i due eventi siano correlati in maniera significativa, ma il principio di verofunzionalità,
se valesse nella teoria delle probabilità, ci porterebbe a concludere che µ(A → B) = 1, dato che
µ(A → A) = 1 e µ(A) = µ(B), vale a dire, l’evento Se domani pioverà allora il Brasile vincerà i
mondiali avrebbe la probabilità dell’evento certo. Ovviamente questa conclusione è inaccettabile
nella teoria delle probabilità. Analoghe considerazioni valgono per altre forme di ragionamento,
quali quelli modellati dalle logiche modali.
4. I connettivi si comportano come gli analoghi connettivi Booleani sui valori Booleani. Vale a dire che
l’interpretazione I∗ di un connettivo è tale cha la sua restrizione ai valori Booleani {0, 1} coincide
con la tavola di verità del connettivo ∗ nella logica Booleana.
Per esempio:
x I¬(x)
0 1
1 0
x y I∧(x, y)
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
x y I→(x, y)
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
5. Per quanto riguarda i valori intermedi (o sfumati) l’interpretazione dei connettivi gode di alcune
proprietà che possiamo giudicare ragionevoli. Ad esempio, la congiunzione ∧ è interpretata da un
operatore che è associativo e commutativo, monotono non-decrescente in entrambi gli argomenti,
avente 0 come elemento assorbente e 1 come elemento neutro.
Queste proprietà sono ragionevoli in quanto riflettono alcune caratteristiche di ciò che ci aspettiamo
sia una congiunzione. La commutatività riflette il fatto che il valore di una congiunzione di asserzioni
non dipenda dall’ordine in cui i congiunti sono presi. L’associatività riflette il fatto che il valore di
una congiunzione di n asserzioni (per qualche n finito) può essere calcolato combinando le asserzioni
in qualsiasi modo: detto altrimenti, possiamo eliminare le parentesi da ogni espressione che coinvolga
solo congiunzioni. La monotonia riflette il fatto che tanto più vere sono due asserzioni tanto più vera
deve essere il valore di verità della loro congiunzione. Infine, la congiunzione di un’asserzione con una
falsità assoluta deve essere una falsità assoluta ed analogamente, la congiunzione di un’asserzione
con una verità assoluta deve essere tanto vera quanto l’asserzione stessa.
6. Nella logica di Gödel si può esprimere una versione sfumata della regola di inferenza Modus Ponens:
ϕ ϕ → ψ
ψ
La versione sfumata del Modus Ponens si riflette nella seguente proprietà, che vale per ogni coppia
di formule ϕ, ψ e ogni assegnamento µ: V ar → [0, 1]. Per ogni b ∈ {0, 1}:
µ(ϕ) ∧ b ≤ µ(ψ) ⇐⇒ b ≤ µ(ϕ → ψ) .
(La discussione sul modus ponens sfumato sarà ripresa nella sezione dedicata al residuo di una
t-norma).
7. L’interpretazione min(x, y) della congiunzione ∧ è una funzione continua 1 .
1 Si ricorda che una funzione f : [0, 1] 2 → [0, 1] è continua se per ogni (x0, y0) ∈ [0, 1] 2 vale che
lim
(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = f(x0, y0) .
2
.

Le caratteristiche appena enumerate non sono solo appannaggio della logica di Gödel. Infatti esiste una
classe contenente infinite logiche polivalenti, tutte distinte tra loro, che hanno tutte queste caratteristiche
(con una piccola modifica al linguaggio L, dove saranno contemplati due simboli distinti per due tipi di
congiunzione distinte, chiamate forte e debole). Rilassando opportunamente l’ultima proprietà si ottiene
una classe ancora più grande di logiche che contiene propriamente la precedente.
Norme Triangolari
Vediamo come possiamo fissare una logica in questa classe scegliendo in maniera opportuna l’interpretazione
del connettivo di congiunzione forte.
Definizione 1. Una norma triangolare, o t-norma, è un operatore
∗: [0, 1] 2 → [0, 1]
tale che, per ogni x, y, z, y1, y2 ∈ [0, 1] valgono le seguenti proprietà:
• (Associatività): x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z;
• (Commutatività): x ∗ y = y ∗ x;
• (Monotonia non-decrescente): Se y1 ≤ y2 allora x ∗ y1 ≤ x ∗ y2;
• (Elemento assorbente): x ∗ 0 = 0;
• (Elemento neutro): x ∗ 1 = x.
Si noti che dalla commutatività e dalla monotonia segue che per ogni x1, x2, y ∈ [0, 1], se x1 ≤ x2 allora
x1 ∗ y ≤ x2 ∗ y.
Dalla definizione di t-norma si nota immediatamente che ogni t-norma ∗ soddisfa le proprietà 3, 4 e 5
elencate nell’introduzione. Le t-norme si pongono quindi come candidati ideali per l’interpretazione del
connettivo di congiunzione nelle logiche verofunzionali che hanno l’intervallo [0, 1] come insieme dei valori
di verità.
Esempio 2. Esistono infinite t-norme distinte. Eccone alcuni esempi (si vedano anche i grafici nella
Figura 1).
• t-norma di Gödel:
• t-norma prodotto:
• t-norma di ̷Lukasiewicz:
• t-norma prodotto drastico:
x ∧ y = min{x, y} .
x · y = xy .
x ⊙ y = max{0, x + y − 1} .
x ∗P D y =
⎧
⎨
⎩
3
x se y = 1
y se x = 1
0 altrimenti

• t-norma minimo nilpotente:
x ∗NM y =
min{x, y} se x + y > 1
0 altrimenti
• Le seguenti funzioni non sono t-norme: x + y, max{x, y}, min{x, 2y}, x − y, 0, max{0, x − y}.
Perché?
0.0
1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
0.5
1.0
1.0
(a) x ∧ y.
0.0
1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
0.5
1.0
0.0
1.0
0.5
0.0
0.0
1.0
(d) x ∗P D y.
0.5
0.5
1.0
1.0
(b) x · y.
0.0
1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
0.5
1.0
0.0
1.0
0.5
0.0
0.0
1.0
(e) x ∗NM y.
0.5
0.5
1.0
1.0
(c) x ⊙ y.
Figura 1: I grafici delle t-norme definite in Esempio 2.
Si noti che le t-norme ∧, ⊙, · sono continue, mentre le t-norme ∗P D e ∗NM non lo sono. In particolare
∗P D è continua da destra, vale a dire
mentre ∗NM è continua da sinistra, vale a dire
lim
(x,y)→(x0,y0) +(x ∗P D y) = x0 ∗P D y0 ,
lim
(x,y)→(x0,y0) −(x ∗NM y) = x0 ∗NM y0 .
Come vedremo nella nostra discussione sul connettivo di implicazione, restringeremo lo spettro delle possibili
interpretazioni del connettivo di congiunzione forte solo alle t-norme continue da sinistra (ovviamente
una t-norma continua è anche continua da sinistra).
Consigli pratici
Le proprietà definitorie delle t-norme sono quasi tutte riscontrabili con semplici accorgimenti nel grafico
delle t-norme stesse.
In particolare, sia f : [0, 1] 2 → [0, 1] una funzione di due variabili. Allora
4

• f è commutativa se e solo se il suo grafico è simmetrico rispetto alla retta y = x.
• f è non decrescente se e solo se per ogni (x0, y0) ∈ [0, 1] 2 la funzione g : [0, 1] 2 → [0, 1] definita da
g(x, y) = f(x, y) − f(x0, y0) è tale che
g(x, y) ≥ 0 ⇐⇒ (x, y) ∈ [x0, 1] × [y0, 1] .
• Se f è una t-norma allora il comportamento di f ai bordi del dominio di definizione [0, 1] 2 è fissato:
per ogni x, y ∈ [0, 1],
f(x, 0) = f(0, y) = 0, f(x, 1) = x, f(1, y) = y .
In principio anche l’associatività di f può essere riscontrata attraverso caratteristiche geometriche del
suo grafico, ma queste caratteristiche sono considerevolmente più complicate da verificare.
Il Residuo di una t-norma
Stiamo cercando di definire una classe di logiche polivalenti verofunzionali. Abbiamo deciso che il connettivo
di congiunzione forte dovrà essere interpretato da una t-norma. Introdurremo ora la classe di
operatori che interpreteranno il connettivo di implicazione.
Anche in questo caso, stiliamo una lista di proprietà considerate ragionevoli per un tale operatore
⇒: [0, 1] 2 → [0, 1].
In primo luogo richiediamo le proprietà elencate ai punti 3, 4 e 5 nell’introduzione. Dunque richiediamo
che ⇒ coincida sui valori Booleani 0 e 1 con la tavola di verità dell’implicazione nella logica Booleana.
Richiediamo anche che:
Se x ≤ y allora x ⇒ y = 1 .
Infatti è ragionevole aspettarsi, da un’implicazione verofunzionale, che ogni volta che la premessa è meno
vera della conclusione, allora l’intera implicazione sia assolutamente vera.
Inoltre richiediamo che tali operatori siano non-crescenti nel primo argomento e non-decrescenti nel
secondo argomento.
Un operatore ⇒: [0, 1] 2 → [0, 1] è detto:
• non-crescente nel primo argomento se per ogni x1, x2, y ∈ [0, 1] vale che
x1 ≤ x2 implica x1 ⇒ y ≥ x2 ⇒ y .
• non-decrescente nel secondo argomento se per ogni x, y1, y2 ∈ [0, 1] vale che
y1 ≤ y2 implica x ⇒ y1 ≤ x ⇒ y2 .
La giustificazione di questa richiesta deriva dal fatto che è ragionevole aspettarsi che, nel caso in cui il
valore di verità della premessa supera quello della conclusione, quanto più piccola è la differenza tra i
valori di verità di premessa e conclusione, tanto più grande (vicino a 1) deve essere il valore di verità
dell’intera implicazione.
Queste richieste non fissano ancora la semantica del connettivo di implicazione. Per determinare un unico
operatore ⇒∗ associato alla t-norma ∗, dobbiamo introdurre un vincolo ulteriore.
5

Una versione sfumata del Modus Ponens
Richiediamo la correttezza di una versione sfumata della regola di inferenza Modus Ponens (si veda il
punto 6 nell’elenco riportato nell’introduzione). In particolare chiediamo che, per ogni assegnamento µ e
ogni coppia di formule ϕ, ψ valga quanto segue.
Da (una stima inferiore del) valore di verità µ(ϕ) e da (una stima inferiore del) valore di verità
µ(ϕ → ψ), si deduce (una stima inferiore del) valore di verità µ(ψ).
Vale a dire:
Se a ≤ µ(ϕ) e b ≤ µ(ϕ → ψ) allora c ≤ µ(ψ) , (1)
dove il valore di c è calcolato a partire dai valori a e b.
Dunque c dipende da a e b. Assumendo, nello spirito della verofunzionalità, che c dipenda solo da a e b e
dalla logica in cui stiamo lavorando, possiamo richiedere l’esistenza di un operatore MP0 : [0, 1] 2 → [0, 1]
tale che
• MP0(a, b) = c.
Abbiamo richieste ulteriori anche su MP0. In particolare,
• MP0 deve essere non-decrescente in entrambi gli argomenti.
• Per ogni d ∈ [0, 1], deve valere che MP0(d, 1) = MP0(1, d) = d.
• Per ogni d ∈ [0, 1], deve valere che MP0(d, 0) = MP0(0, d) = 0.
Queste richieste riflettono il fatto che ci aspettiamo che quanto maggiori sono le nostre stime dei valori
delle premesse tanto maggiori deve essere la nostra stima del valore di verità della conclusione. In
particolare, se una delle due premesse è assolutamente vera (vale 1), allora la conclusione deve valere
tanto quanto la premessa. Se, invece, una delle due premesse è assolutamente falsa, ci aspettiamo che
anche la conclusione sia assolutamente falsa.
È dunque ragionevole chiedere che
MP0(a, b) = a ∗ b ,
dove ∗ è la t-norma che interpreta la congiunzione forte nella nostra logica. (Ovviamente una generica
t-norma possiede altre proprietà, vale a dire la commutatività e l’associatività: si potrebbero enunciare
criteri di ragionevolezza per l’operatore MP0 che si traducano in queste ultime due proprietà, ma per
semplicità ci accontentiamo di quelle già discusse.)
Dunque (1) si riscrive come segue:
Se a ≤ µ(ϕ) e b ≤ µ(ϕ → ψ) allora a ∗ b ≤ µ(ψ) . (2)
Supponiamo ora che la nostra stima sul valore di verità di ϕ sia la migliore possibile, vale a dire: a = µ(ϕ).
Allora (2) diventa:
Se b ≤ µ(ϕ → ψ) allora µ(ϕ) ∗ b ≤ µ(ψ) . (3)
Ricordiamo che il nostro obiettivo è definire il valore di µ(ϕ) ⇒∗ µ(ψ) = µ(ϕ → ψ). A tal fine richiediamo
ora che µ(ϕ → ψ) sia un confine superiore ai valori b ∈ [0, 1] tali che µ(ϕ) ∗ b ≤ µ(ψ), dunque:
Se µ(ϕ) ∗ b ≤ µ(ψ) allora b ≤ µ(ϕ → ψ) . (4)
6

Da (3) e (4) immediatamente concludiamo:
La soluzione a (5) è data dall’espressione:
µ(ϕ) ∗ b ≤ µ(ψ) se e solo se b ≤ µ(ϕ → ψ) . (5)
µ(ϕ) ⇒∗ µ(ψ) = µ(ϕ → ψ) = sup{b ∈ [0, 1] | µ(ϕ) ∗ b ≤ µ(ψ)} . (6)
Se infine chiediamo che µ(ϕ) ∗ µ(ϕ → ψ) ≤ µ(ψ), da (6) otteniamo:
µ(ϕ) ⇒∗ µ(ψ) = µ(ϕ → ψ) = max{b ∈ [0, 1] | µ(ϕ) ∗ b ≤ µ(ψ)} . (7)
Sostituendo in (5) µ(ϕ), µ(ψ) e b con generici valori x, y, z ∈ [0, 1], troviamo la condizione nota in
letteratura come residuazione:
x ∗ z ≤ y se e solo se z ≤ x ⇒∗ y . (8)
Il seguente teorema ci dice esattamente per quali t-norme ∗ è possibile definire il residuo ⇒∗ come
nell’equazione (7).
Teorema 3. Condizione necessaria e sufficiente affinchè una t-norma ∗ sia residuata, vale a dire, che
esista l’operatore
x ⇒∗ y = max{z ∈ [0, 1] | x ∗ z ≤ y} , (9)
è che ∗ sia continua da sinistra.
Quando una t-norma ∗ è residuata diciamo anche che l’implicazione è ottenuta dalla congiunzione tramite
residuazione.
Esempio 4. Ecco i residui associati alle t-norme continue da sinistra dell’Esempio 2. Dato che essi costituiscono
l’interpretazione del connettivo di implicazione, con un leggero abuso di linguaggio li chiamiamo
direttamente implicazioni. Si veda anche la Figura 2.
• Implicazione di Gödel:
• Implicazione del prodotto:
• Implicazione di ̷Lukasiewicz:
x →⊙ y =
• Implicazione del minimo nilpotente:
x →∧ y =
x →· y =
1 if x ≤ y
y altrimenti
1 if x ≤ y
y/x altrimenti
1 if x ≤ y
1 − x + y altrimenti
x →NM y =
= min{1, 1 − x + y}
1 if x ≤ y
max{1 − x, y} altrimenti
Dal Teorema 3 segue immediatemente che la t-norma prodotto drastico non ha residuo associato. Si noti
anche che l’unica funzione continua fra quelle elencate è l’implicazione di ̷Lukasiewicz.
Un utile esercizio consiste nel calcolare i residui elencati sopra a partire dalla t-norma associata e
dall’equazione (9).
7

0.0
1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
0.5
1.0
1.0
(a) x →∧ y.
0.0
1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
0.5
1.0
1.0
(b) x →· y.
0.0
1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
0.5
1.0
1.0
(c) x →⊙ y.
Figura 2: I grafici dei residui riportati in Esempio 4.
0.0
1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
0.5
1.0
1.0
(d) x →NM y.
Il seguente Lemma elenca alcune proprietà significative del residuo ⇒∗ di una t-norma ∗.
Lemma 5. Per ogni x, y, x ′ , y ′ ∈ [0, 1]:
1. Se x ≤ y allora x ⇒∗ y = 1;
2. Se x ≤ x ′ allora x ⇒∗ y ≥ x ′ ⇒∗ y;
3. Se y ≤ y ′ allora x ⇒∗ y ≤ x ⇒∗ y ′ ;
4. x ⇒∗ 1 = 1;
5. x ⇒∗ x = 1;
6. 1 ⇒∗ x = x.
Dimostrazione: Facili esercizi di verifica, usando la definizione di residuo e le proprietà delle t-norme.
La negazione
Abbiamo visto che la scelta di una t-norma ∗ continua da sinistra determina la semantica del connettivo
di congiunzione forte, interpretato dalla t-norma stessa, e del connettivo di implicazione, interpretato
dal residuo ⇒∗ di ∗. Anche la semantica del connettivo di negazione è fissata dalla scelta di ∗, infatti
definiamo la negazione come pseudocomplemento (rispetto a 0).
Dunque, da (9), ¬∗x = max{z ∈ [0, 1] | x ∗ z = 0}.
¬∗x = x ⇒∗ 0 .
Esempio 6. Ecco le negazioni associate alle t-norme continue da sinistra dell’Esempio 2.
• Negazione di Gödel:
• Negazione del prodotto:
¬∧x =
¬·x =
1 se x = 0
0 altrimenti
1 se x = 0
0 altrimenti
8

• Negazione di ̷Lukasiewicz:
• Negazione del minimo nilpotente:
¬⊙x = 1 − x
¬NM x = 1 − x
Come si può notare le negazioni associate alla t-norma di Gödel e alla t-norma prodotto coincidono,
sono la stessa funzione. Anche le negazioni associate alla t-norma di ̷Lukasiewicz e a quella del minimo
nilpotente coincidono. Si veda la Figura 3.
Consigli pratici
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
(a) ¬∧x = ¬·x.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
(b) ¬⊙x = ¬NM x.
Figura 3: I grafici delle negazioni riportate in Esempio 6.
Il grafico della negazione ¬∗ associata a una t-norma ∗ si può ricavare facilmente dal grafico della t-norma
∗ stessa. Infatti basta considerare il confine superiore dell’insieme {(x, y) ∈ [0, 1] 2 | x ∗ y = 0}. Questo
segue immediatamente dalla definizione: per ogni x ∈ [0, 1], ¬∗x = max{y ∈ [0, 1] | x ∗ y = 0}. Come
applicazione di questo metodo si confrontino le figure 1.a e 3.a, e le figure 1.c e 3.b.
Una tecnica analoga può essere applicata anche per determinare il comportamento dell’implicazione. In
particolare il grafico di ogni funzione della forma fy0(x) = x ⇒∗ y0, per ogni y0 ∈ [0, 1], si ottiene come
confine superiore dell’insieme {(x, y) ∈ [0, 1] 2 | x ∗ y ≤ y0}. Il grafico dell’implicazione è costituito dalla
famiglia infinita di funzioni fy0 al variare di y0 in [0, 1]. Ecco in Figura 4 alcuni grafici di questo tipo.
Stiamo delineando un quadro semantico per le logiche di cui vogliamo parlare. In particolare abbiamo
deciso che la congiunzione (forte, o monoidale) sarà interpretata da una t-norma continua a sinistra,
l’implicazione dal residuo associato e la negazione dallo pseudocomplemento (rispetto a 0).
In particolare, il linguaggio scelto per queste logiche è
L = {&, →, ⊥} ,
dove & denota la congiunzione forte, → l’implicazione e ⊥ la costante 0.
La negazione è dunque un connettivo derivato rispetto a L in quanto ¬ϕ è esprimibile come abbreviazione
di una formula in L, uniformemente rispetto a ϕ. Vale a dire, per ogni formula ϕ di L,
¬ϕ := ϕ → ⊥ .
9

1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
(a) x →∧ 1/4.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
(e) x →⊙ 1/4.
I connettivi reticolari
1.0
0.8
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0.4
0.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
(b) x →∧ 1/2.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
(f) x →⊙ 1/2.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
(c) x →∧ 3/4.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
(g) x →⊙ 3/4.
Figura 4: Grafici di alcune funzioni x ⇒∗ y0.
0.0
1.0
0.5
0.0
1.0
0.5
0.0
0.0
0.0
0.0
0.5
0.5
0.5
1.0
1.0
(d) x →∧ y.
0.5
1.0
1.0
(h) x →⊙ y.
Data una t-norma continua (la continuità a sinistra per questo discorso non è sufficiente) si definiscono altre
due operazioni associate ai connettivi di congiunzione e disgiunzione deboli o reticolari, rispettivamente
denotati da ∧ e ∨.
Tali connettivi sono derivati rispetto a L. In particolare, per ogni coppia di formule ϕ e ψ di L:
ϕ ∧ ψ := ϕ & (ϕ → ψ) .
ϕ ∨ ψ := ((ϕ → ψ) → ψ) ∧ ((ψ → ϕ) → ϕ) .
Dunque, data una t-norma continua ∗, le operazioni che interpretano i connettivi reticolari sono definite
come segue (dove usiamo gli stessi simboli ∧ e ∨ per denotarle). Per ogni x, y ∈ [0, 1]:
x ∧ y = x ∗ (x ⇒∗ y) , x ∨ y = ((x ⇒∗ y) ⇒∗ y) ∧ ((y ⇒∗ x) ⇒∗ x) .
Mostriamo ora che per ogni t-norma continua ∗ le operazioni associate ai connettivi reticolari sono sempre
min e max.
Lemma 7. Per ogni t-norma continua ∗ e per ogni x, y ∈ [0, 1]:
Dimostrazione: Analizziamo una casistica esaustiva. Se x ≤ y allora
x ∧ y = min{x, y} . (10)
x ∧ y = x ∗ (x ⇒∗ y) = x ∗ 1 = x = min{x, y} .
10

Se x > y, consideriamo la funzione F ∗ x : [0, 1] → [0, 1] definita come
Si noti che (si veda Figura 5):
1. F ∗ x (0) = 0;
2. F ∗ x (1) = x;
3. F ∗ x è una funzione continua su tutto [0, 1].
4. F ∗ x è monotona non decrescente.
F ∗ x (z) = x ∗ z , per ogni z ∈ [0, 1] .
x
y
0
Figura 5: Grafico qualitativo di una funzione avente le 4 proprietà elencate nel Lemma 7.
Dalle proprietà 1–3 segue 2 che esiste z ∗ ∈ [0, 1] tale che F ∗ x (z ∗ ) = y, vale a dire x ∗ z ∗ = y. Dunque
z ∗ ∈ {z ∈ [0, 1] | x ∗ z ≤ y}. Possiamo concludere che
per qualche z ∗∗ ∈ [0, 1], z ∗∗ ≥ z ∗ , tale che
Quindi,
max{z ∈ [0, 1] | x ∗ z ≤ y} = z ∗∗ ,
z
x ∗ z ∗∗ = y .
x ∗ (x ⇒ y) = x ∗ max{z ∈ [0, 1] | x ∗ z ≤ y} = x ∗ z ∗∗ = y = min{x, y} .
Dato che non ci sono altri casi, l’equazione (10) è valida.
Lemma 8. Per ogni t-norma continua ∗ e per ogni x, y ∈ [0, 1]:
1
x ∨ y = max{x, y} . (11)
Dimostrazione: Procediamo per casi: Se x ≤ y allora x ⇒∗ y = 1 e dunque
x ∨ y = (1 ⇒∗ y) ∧ ((y ⇒∗ x) ⇒∗ x) = y ∧ ((y ⇒∗ x) ⇒∗ x) .
Dato che stiamo supponendo x ≤ y dobbiamo mostrare che x ∨ y = y, per cui ci basta provare che
2 Si noti che la proprietà 4 non è necessaria per la dimostrazione del Lemma.
(y ⇒∗ x) ⇒∗ x ≥ y . (12)
11

Ora notiamo che per il Lemma 7, abbiamo che
dunque
e quindi
y ∗ (y ⇒∗ x) = min{x, y} = x ,
y ∈ {z ∈ [0, 1] | (y ⇒∗ x) ∗ z ≤ x} ,
y ≤ max{z ∈ [0, 1] | (y ⇒∗ x) ∗ z ≤ x} = (y ⇒∗ x) ⇒∗ x .
Abbiamo provato l’equazione (12) e dunque se x ≤ y allora x ∨ y = max{x, y}. Per quanto riguarda
l’altro caso x > y, grazie alla simmetria della formula che definisce x ∨ y, scambiando x con y possiamo
ragionare nella stessa maniera. Abbiamo provato la validità dell’equazione (11).
Lemma 7 e Lemma 8 mostrano che per ogni assegnamento µ: V ar → [0, 1] e per ogni coppia di formule
ϕ, ψ vale che:
µ(ϕ ∧ ψ) = min{µ(ϕ), µ(ψ)} , µ(ϕ ∨ ψ) = max{µ(ϕ), µ(ψ)} .
12