esercizi svolti diagramma di Bode

COMPORTAMENTO DI UN SISTEMA IN REGIME SINUSOIDALE
Un sistema risponde ad una sinusoide in ingresso con una sinusoide in uscita della stessa
pulsazione. In generale la sinusoide d’uscita ha una diversa ampiezza ed ha uno sfasamento
rispetto alla sinusoide in ingresso.
Il comportamento frequenziale di un sistema si descrive mediante due grafici:
• Il diagramma delle ampiezze: esso mostra il rapporto tra l’ampiezza della sinusoide in uscita e
quello della sinusoide in ingresso. Descrive l’amplificazione/attenuamento introdotto dal sistema.
• Il diagramma delle fasi: esso mostra la differenza tra la fase della sinusoide in uscita e quella
della sinusoide in ingresso. Descrive il “ritardo” sulle sinusoidi introdotto dal sistema
Gli assi orizzontali (pulsazioni) dei due diagrammi sono logaritmici, per potere esprimere sia i
valori piccoli che quelli grandi. Tali assi sono cioè lineare nell’esponente della potenza del 10, e gli
intervalli vengono chiamate “decadi”.
L’asse verticale del diagramma dei moduli (guadagni) è lineare in decibel. Il decibel è definito
come: 20·log(G) dove G è il guadagno.
La tabella seguente di conversione tra valore in db e il guadagno G può servire come esempio:
60db G=1000
40db G=100
20db G=10
0db G=1
-20db G=0,1
-40db G=0,01
-60db G=0,001
L’asse verticale del diagramma delle fasi è tarato in gradi, alle volte in radianti.
Il comportamento in frequenza di un sistema può essere dedotto in via simulativa, cioè in
laboratorio, dando in ingresso al sistema sinusoidi con ampiezza costante ma pulsazione variabile,
misurando poi quanto vale l’ampiezza e lo sfasamento della sinusoide in uscita, al variare della
pulsazione.
Esiste però un metodo analitico per ricavare i due diagrammi precedenti.
Tale metodo consiste nel ricavare la F(s) del sistema, sostituire jω al posto di s, e disegnare due
diagrammi a partire dalla funzione F (jω), quello del modulo e quello della fase.
F(jω) è un numero complesso, variabile con ω, e si può dimostrare che il modulo di F(jω)
corrisponde al guadagno del sistema al variare di ω, mentre la fase di F(jω) corrisponde allo
sfasamento introdotto sulla sinusoide dal sistema sempre al variare di ω.
1

I diagrammi del modulo possono essere disegnati in maniera approssimata ricordando ad alcune
regole.
1) Il diagramma di Bode del guadagno si può approssimare ad una spezzata (insieme di
semirette e segmenti)
2) Le pulsazioni ω di cambio inclinazione della spezzata si ricavano dai poli ed i zeri della F(s).
Per trovare tali pulsazioni è sufficiente cambiare il segno ai poli ed agli zeri.
3) Se non esistono poli o zeri sull’origine il diagramma parte con una semiretta orizzontale
4) Se esistono poli sull’origine il diagramma parte con una semiretta in discesa
5) Se esistono zeri sull’origine il diagramma parte con una semiretta in salita
6) Ogni polo introduce sulla spezzata una inclinazione in discesa di 20db/decade
7) Ogni zero introduce sulla spezzata una inclinazione in salita di 20db/decade
8) Se il diagramma parte orizzontale l’altezza della semiretta iniziale si ricava trovando il
guadagno per ω=0 (valutato in db)
9) Se il diagramma parte in salita o in discesa la semiretta iniziale deve essere ricavata
trovando un punto di passaggio. Questo punto si ottiene valutando il modulo per una ω
sufficientemente piccola (almeno una decade più piccola della più piccola pulsazione di
cambio inclinazione).
Il guadagno per questa ω viene poi valutato in db.
I diagrammi della fase possono essere disegnato in maniera approssimata ricordando le seguenti
regole.
1) Il diagramma di Bode della fase, si può approssimare ad una serie di gradini di altezza +/-
90°
2) Le pulsazioni ω di cambio altezza si ricavano dai poli ed i zeri della F(s). E’ sufficiente
cambiare il segno ai poli ed agli zeri.
3) Se non esistono poli o zeri sull’origine il diagramma parte con una semiretta a fase zero.
4) Se esistono poli sull’origine il diagramma parte con una semiretta orizzontale a fase –90°
5) Se esistono zeri sull’origine il diagramma parte con una semiretta orizzontale a fase +90
6) Ogni polo introduce un gradino in discesa di 90°
7) Ogni zero introduce un gradino in salita di 90°
8) Se vogliamo avere un’approssimazione migliore le salite e le discese verticali del
diagramma si devono sostituire con delle salite e discese a rampa che iniziano una decade
prima della pulsazione di cambio fase e finiscono una decade dopo.
2

ESEMPI DI DIAGRAMMI DI BODE
Esempio n.1 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω):
F(
jω)
=
31,
6
Soluzione:
( 1+
j0,
01ω)
( 1+
j0,
1ω)(
1+
j0,
001ω
)
Si ricavano i poli e gli zeri di
F(
s)
=
31,
6
( 1+
0,
01s)
( 1+
0,
1s)(
1+
0,
001s)
Non si hanno poli o zeri sull’origine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0.
−1
1 + 0,
01s
= 0 → sZ
= = −100
0,
01
−1
1 + 0,
1s
= 0 → sP1
= = −10
0,
1
−1
1+ 0,
001s
= 0 → sP
2 = = −1000
0,
001
Non c’è nulla per s=0 quindi parte orizzontale e l’altezza si calcola sostituendo s=0 nella F(s)
( 1+
0)
F ( s = 0)
= 31,
6
= 31,
6 20 log(31,6)=30db
( 1+
0)(
1+
0)
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono:
ω = 100rad
/ sec
ω
ω
Z
P1
P2
= 10rad
/ sec
= 1000rad
/ sec
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che:
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale con altezza 30db, incontra un polo a
10rad/sec ed inizia a scendere di 20db/decade, poi incontra uno zero a 100rad/sec e torna
orizzontale, infine incontra il secondo polo a 1000rad/sec e torna a scendere con la pendenza di
20db/decade.
guadagno in db
40
30
20
10
-20
-30
-40
Diagramma bode delle ampiezze
0
-10 1 10 100 1000 10000 100000
pulsazione rad/sec
3

Esempio n.2 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω):
F(
jω)
=
( 1
Soluzione:
316,
2
+ j0,
1ω)(
1+
j0,
001ω
)
Si ricavano i poli e gli zeri di
F(
s)
=
316,
2
1
( 1+
0,
1s)(
1+
0,
001s)
Non si hanno poli o zeri sull’origine (s=0) ma sono presenti 2 poli diversi da s=0.
−1
1 + 0,
1s
= 0 → s P1
= = −10
0,
1
−1
1 + 0,
001s
= 0 → sP
2 = = −1000
0,
001
Non c’è nulla per s=0 quindi parte orizzontale e l’altezza si calcola sostituendo s=0 nella F(s)
1
F ( s = 0)
= 316,
2
= 316,
2 20 log(316,2)=50db
( 1+
0)(
1+
0)
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono:
ω
ω
P1
P2
= 10rad
/ sec
= 1000rad
/ sec
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che:
il diagramma dei moduli asintotico parte orizzontale con altezza 50db, incontra un polo a
10rad/sec ed inizia a scendere di 20db/decade, poi incontra il secondo polo a 1000rad/sec e
scendere con la pendenza di 40db/decade.
guadagno in db
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
Diagramma bode delle ampiezze
1 10 100 1000 10000 100000
pulsazione rad/sec
Esempio n.3 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω):
( 1+
j0,
1ω
)
F(
jω)
= 10
( 1+
j0,
01ω
)( 1+
j0,
001ω
)
Soluzione:
4

Si ricavano i poli e gli zeri di
( 1+
0,
1s)
F(
s)
= 10
( 1+
0,
01s)(
1+
0,
001s)
Non si hanno poli o zeri sull’origine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0.
−1
1+
0,
1s
= 0 → sZ
= = −10s
0,
1
−1
−1
1+
0,
01s
= 0 → sP
1 = = −100s
0,
01
−1
−1
1+
0,
001s
= 0 → sP
2 = = −1000s
0,
001
−1
Non c’è nulla per s=0 quindi parte orizzontale e l’altezza si calcola sostituendo s=0 nella F(s)
( 1+
0)
F ( s = 0)
= 10
= 10 20 log( 10)
= 20⋅1
= 20db
( 1+
0)(
1+
0)
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono:
ω = 10rad
ω
ω
Z
P1
P2
= 100rad
/ sec
= 1000rad
/ sec
/ sec
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che:
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale con altezza 20db, incontra uno zero in
10rad/sec ed inizia a salire di 20db/decade, poi incontra un polo a 100rad/sec e torna orizzontale,
infine incontra il secondo polo a 1000rad/sec e torna a scendere con la pendenza di 20db/decade.
guadagno in db
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Diagramma bode delle ampiezze
1 10 100 1000 10000 100000
p ulsazio ne rad / sec
Esempio n.4 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω):
( 0,
1 jω
+ 1)
F(
jω)
= 0,
1
( 100 + jω)(
1+
0,
001jω
)
Soluzione:
Si ricavano i poli e gli zeri di
( 0,
1s
+ 1)
F(
s)
=
0,
1
( 100 + s)(
1+
0,
001s)
5

Non si hanno poli o zeri sull’origine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0.
−1
0,
1s
+ 1 = 0 → sZ
= = −10s
0,
1
100 + = −100s
s = 0 → sP
1
−1
−1
−1
1+
0,
001s
= 0 → sP
2 = = −1000s
0,
001
−1
Non c’è nulla per s=0 quindi parte orizzontale e l’altezza si calcola sostituendo s=0 nella F(s)
( 0 + 1)
1
F ( s = 0)
= 0,
1
= 0,
1 = 0,
001 20log( 0,
001)
= 20⋅
( −3)
= −60db
( 100 + 0)(
1+
0)
100⋅1
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono:
ω = 10rad
ω
ω
Z
P1
P2
= 100rad
/ sec
= 1000rad
/ sec
/ sec
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che:
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale con altezza -60db, incontra uno zero in
10rad/sec ed inizia a salire di 20db/decade, poi incontra un polo a 100rad/sec e torna orizzontale,
infine incontra il secondo polo a 1000rad/sec e torna a scendere con la pendenza di 20db/dec.
guadagno in db
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
Diagramma bode delle ampiezze
0
-10 1 10 100 1000 10000 100000
pulsazione rad/sec
Esempio n.5 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω):
( jω
+ 1)
F(
jω)
= 100
jω(
1+
0,
001 jω)
Soluzione:
Si ricavano i poli e gli zeri di
( s + 1)
F(
s)
= 100
s(
1+
0,
001s)
Non si hanno poli o zeri sull’origine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0.
s
+ 1 = 0 → sZ
= −1sec
−1
6

1+
0,
001s
= 0 → sP
1
−1
= = −1000sec
0,
001
−1
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono:
ω = 1rad
ω
Z
P1
/ sec
= 1000rad
/ sec
C’è un polo per s=0 quindi parte in discesa con pendenza 20db/decade. Per poter disegnare il
grafico devo trovare il valore del diagramma per una pulsazione.
Si prende un pulsazione 10 volte più piccola della più piccola pulsazione di cambio inclinazione
(escluso quella nell’origine) e cioè 0,1rad/sec
2 2
2
0,
1 + 1
1
F ( j0,
1)
= 100
= 100
2
2
0,
1 1 + ( 0,
001⋅
0,
1)
0,
1 1
20 log( 1000)
= 20⋅
( 3)
=
60db
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che:
2
= 1000
il diagramma asintotico dei moduli parte in discesa con inclinazione 20db/decade e vale 60db per
pulsazione 0,1 rad/sec.
Incontra poi uno zero in 1rad/sec e diventa orizzontale, poi incontra un polo a 1000rad/sec e torna
a scendere con la pendenza di 20db/dec.
guadagno in db
70
60
50
40
30
20
10
Diagramma di Bode delle ampiezze
0,10
0
1,00 10,00 100,00 1000,00 10000,00
pulsazione rad/sec
Esempio n.6 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω):
F(
jω)
= 10
Soluzione:
−2
jω(
0,
1jω
+ 1)
( jω
+ 100)(
1+
0,
001 jω)
Si ricavano i poli e gli zeri di
s(
0,
1s
+ 1)
F(
s)
= 0,
01
( s + 100)(
1+
0,
001s)
Si ha uno zero sull’origine (s=0) e sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0.
−1
0,
1s
+ 1 = 0 → sZ
= = −10sec
0,
1
100 + s
= 0 → sP
1
= −100sec
−1
−1
7

1+
0,
001 = 0 → P s s
2
−1
= = −1000sec
0,
001
−1
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono:
ω = 10rad
ω
ω
Z
P1
P2
= 100rad
/ sec
= 1000rad
/ sec
/ sec
C’è uno zero per s=0 quindi parte in salita.
Si calcola il guadagno per pulsazione 1 rad/sec
F ( j0,
1)
=
0,
01
1
2
1 ( 0,
1⋅1)
+ 1
+ 100
20log( 0,
0001)
= 20 ⋅(
−4)
= −80db
2
1
2
2
2
+ ( 0,
001⋅1)
2
=
0,
01
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che:
100
8
1
2
2
1
2
1 0,
01
= 0,
01 = =
100 ⋅1
100
0,
0001
il diagramma asintotico dei moduli parte in salita con pendenza 20db/dec e vale -80db per la
pulsazione 1 rad/sec.
Poi incontra uno zero in 10rad/sec sale di 40db/decade, poi incontra un polo a 100rad/sec e sale
di 20 db/decade, infine incontra il secondo polo a 1000rad/sec e torna orizzontale.
guadagno in db
-20
-40
-60
-80
-100
-120
Diagramma di Bode delle ampiezze
0
0,10 1,00 10,00 100,00 1000,00 10000,00
pulsazione rad/sec
Esempio n.7 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(s):
( 0,
01s
+ 1)
F(
s)
= 0,
01
( s + 10)(
1+
0,
001s
)
Soluzione:
Si ricavano i poli e gli zeri. Non si hanno zeri o poli sull’origine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed
uno zero diversi da s=0.

−1
0,
01s
+ 1 = 0 → sZ
= = −100sec
0,
01
s + 10 = 0 → sP
1+
0,
001 = 0 → P s s
1
= −10sec
2
−1
−1
−1
= = −1000sec
0,
001
−1
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono:
ω = 100rad
ω
ω
Z
P1
P2
= 10rad
/ sec
= 1000rad
/ sec
/ sec
Non c’è nulla per s=0 quindi il diagramma parte orizzontale.
Si calcola il guadagno per pulsazione nulla
( 0 + 1)
1 1 0,
01
F ( j0)
= 0,
01
= 0,
01 = 0,
01 = =
( 0 + 10)
⋅(
1+
0)
10⋅1
10⋅1
10
20log( 0,
001)
= 20⋅
( −3)
= −60db
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che:
9
0,
001
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale e vale –60db.
Poi incontra un polo in 10rad/sec e scende di 20db/decade, poi incontra uno zero a 100rad/sec e
torna orizzontale, infine incontra il secondo polo a 1000rad/sec e scende di 20 db/decade.
guadagno in db
-40
-60
-80
-100
-120
Diagramma di Bode delle ampiezze
0,10
0
1,00
-20
10,00 100,00 1000,00 10000,00
pulsazione rad/sec
Esempio n.8 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(s):
2 ( 0,
025s
+ 1)
F(
s)
= 1,
5⋅10
3
( s + 0,
1)(
5⋅10
+ 10s)
Soluzione:
Si ricavano i poli e gli zeri. Non si hanno zeri o poli sull’origine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed
uno zero diversi da s=0.
−1
0,
025s
+ 1 = 0 → sZ
= = −40sec
0,
025
−1

s + 0,
1 = 0 → sP
5
1
= −0,
1sec
3
⋅10 + 10 = 0 → P2
s s
−1
− 5000
= = −500sec
10
−1
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono:
ω = 40rad
ω
ω
Z
P1
P2
= 0,
1rad
= 500rad
/ sec
/ sec
/ sec
Non c’è nulla per s=0 quindi il diagramma parte orizzontale.
2 ( 0,
025s
+ 1)
Si calcola il guadagno per pulsazione nulla F(
s)
= 1,
5⋅10
3
( s + 0,
1)(
5⋅10
+ 10s)
( 0 + 1)
1 0,
01
F ( j0)
= 150
= 150 = =
( 0 + 0,
1)
⋅ ( 5000 + 0)
500 10
20log( 0,
3)
= 20⋅
( −3)
≈ −10db
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che:
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale e vale –10db.
0,
3
Poi incontra un polo in 0,1rad/sec e scende di 20db/decade, poi incontra uno zero a 40rad/sec e
torna orizzontale, infine incontra il secondo polo a 500rad/sec e scende di 20 db/decade.
guadagno in db
Diagramma di Bode delle ampiezze
0,01 0,10
0
-101,00
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
-100
10,00 100,00 1000,00 10000,00
pulsazione rad/sec
10