Un modello per le conchiglie - Matematicamente.it

Anno 1 Numero 1
Thomson in [1] con la seguente frase: “… è caratteristica peculiare delle conchiglie a spirale, per esempio,
che esse non alterino la loro forma mentre crescono. Ogni incremento è simile al precedente e
ogni ciclo di accrescimento rimane della forma primitiva. … Ma la conchiglia mantiene immutata la
sua forma malgrado il suo accrescimento asimmetrico; essa cresce cioè solo a una estremità… Questa
notevole proprietà di accrescimento terminale è caratteristica, tra le varie curve matematiche, solo
nella spirale equiangolare.''
In altre parole, la conchiglia, come il mollusco all’interno di essa, cresce in grandezza, ma non
cambia di forma, e la sua crescita procede nello spazio per gnomoni successivi dell’intera struttura preesistente,
lungo una spirale equiangolare manifestando così una continua caratteristica di autosimilarità.
E per meglio comprendere questo concetto si può guardare la fig.2 dove viene mostrata la crescita per
gnomoni successivi, lungo archi di spirale equiangolare che si sviluppano rispetto all’origine O, di un
immaginario mollusco bidimensionale.
L I
H F
M
G
E
O
C
A B
D
Fig.2. Crescita per gnomoni successivi di una conchiglia
bidimensionale.
Quindi, ad esempio, se la conchiglia ad un certo istante t è rappresentata dal quadrilatero ABDC, la
sua crescita, in un intervallo ∆t è data dallo gnomone CDFE che, unito ad ABDC, forma il quadrilatero
ABFE, ovvero l’immagine della conchiglia all’istante t+∆t; notiamo anche la similitudine geometrica
dei due quadrilateri ABDC e ABFE; le stesse osservazioni valgono se consideriamo il quadrilatero A-
BFE con lo gnomone EFHG e così via.
L’estensione al caso reale, cioè quello tridimensionale, è analoga; la principale differenza è che il
punto O va sostituito da una retta che rappresenta l’asse di simmetria della conchiglia ed i quadrilateri
vanno sostituiti con dei “tubi incurvati” disposti secondo archi di spirale equiangolare tridimensionale.
In conclusione, possiamo quindi affermare che le proprietà di autosimilarità della conchiglia sono la
diretta conseguenza delle medesime proprietà che ha la spirale equiangolare e che descriveremo nel
prossimo paragrafo.
Vi è tuttavia un’altra importante osservazione da fare circa il ruolo della spirale equiangolare; infatti,
con la sua forma specifica, caratterizzata da alcuni parametri che vedremo in seguito, influenza direttamente
e in maniera significativa anche la forma della conchiglia stessa. In altre parole, essa può essere
vista come una curva strutturale o portante, nello spazio, che la conchiglia deve seguire nel corso
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