Un modello per le conchiglie - Matematicamente.it

⎧x
⎪
⎨ y
⎪z
⎩
( θ)
( θ)
( θ)
=
D cos
= D sin θ e
θ cot
=
( α
z e
)
0
Anno 1 Numero 1
___________________________________________________________________________________
θ e
θ cot
θ cot
Vediamo dalla (6) che tre sono i parametri che caratterizzano la elico-spirale:
• l’angolo α di cui abbiamo già detto;
• la coordinata D che rappresenta la distanza del punto iniziale della curva dall’asse z (ovvero la
distanza laterale da tale asse);
• la coordinata z0 del punto iniziale.
Se i parametri α e D sono gli stessi della spirale equiangolare piana (infatti la spirale piana può essere
vista come la proiezione della elico spirale sul piano xy), il parametro z0 è una peculiarità della elico
spirale ed è in relazione all’avanzamento della curva lungo l’asse verticale attorno al quale si avvolgono
le spire. A tal proposito, ricordando la (6) osserviamo che in ogni punto della elico-spirale vale la
relazione:
z
0
D
( α)
( α)
( )
( ) ( ) T
z θ
= =
(7)
2 2
x θ + y θ
ovvero il rapporto tra la componente verticale (in modulo) e quella orizzontale è sempre pari ad una costante
che chiamiamo T. Ora con l’ausilio della fig.5 possiamo dare un significato geometrico al parametro
T; infatti si vede immediatamente che vale la relazione:
dove l’angolo β è rappresentato in fig.5.
Fig.5. Angolo β che caratterizza la elico-spirale.
( β )
T = cot
(8)
z
D
La formula (7) implica anche che ogni punto della elico-spirale appartiene alla superficie laterale di
un cono con asse coincidente con quello della elico-spirale e semiangolo di apertura uguale a β.
|z0|
β
x
A
(6)
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