[11.06.10] Lo strato limite turbolento

€
€
Lo strato limite turbolento
1 Instabilità e transizione
PARTE 11 bis
a11-stralim-turb-rev10.doc Rel. 20/05/10
Come ogni altra corrente laminare, anche gli strati limite possono diventare instabili e dare
origine a correnti turbolente di parete. Il problema della stabilità dello strato limite fu
affrontato già nel 1929, da Tollmien, e successivamente da Schlichting e da Taylor, le cui
intuizioni furono confermate dal lavoro sperimentale di Schubauer e Skramstadt nel 1947.
L’instabilità dello strato limite laminare si manifesta, come di consueto, quando viene
superato un valore del numero di Reynolds che, nel caso della lastra piana ad incidenza nulla,
la teoria linearizzata (di Orr Sommerfeld) prevede dell’ordine di 645, mentre l’evidenza
sperimentale indica in circa 420. Ovviamente si tratta del numero di Reynolds basato sulla
velocità esterna e su uno spessore dello strato limite che, nel caso particolare, è lo spessore di
spostamento δ * . Al valore di Reδ * = 420, data la relazione (BL.13)
δ * ( x)
=1.72077 x Rex , corrisponde un valore critico basato sulla x pari a circa 60 • 000.
L’analisi di stabilità dello strato limite fornito dall’equazione di Orr-Sommerfeld mostra
€
chiaramente l’influenza, sia dell’ampiezza € delle perturbazioni esterne, sia quella della loro
frequenza, e ciò introduce un altro concetto fondamentale della teoria € della stabilità, che è
quello di ricettività. Senza entrare nei dettagli, è importante tenere presente che ogni corrente
di fluido è assimilabile ad un sistema dinamico più generale e, in quanto tale, presenta
frequenze proprie caratteristiche: non deve stupire se l’instabilità si manifesta più facilmente
quando la forzante esterna contiene, appunto, tali frequenze.
A partire dalle prime instabilità, che si possono prevedere per mezzo di teorie linearizzate, il
successivo (eventuale) processo di transizione al regime turbolento coinvolge, come è noto,
aspetti ben diversi, di natura tipicamente non lineare e ben più difficilmente modellabili. Non è
un caso che la transizione presenti tuttora aspetti concettuali lungi dall’essere compresi.
Sebbene non lineare, e quindi relativamente improvvisa, la completa transizione dal regime
laminare a quello turbolento ha luogo per valori di Reδ * decisamente superiori a quelli delle
prime instabilità e, nel caso della lastra piana sono dell’ordine di 2 • 500.
I valori del Reynolds critico e di quello di transizione relativi al caso della lastra piana sono
utili a titolo esemplificativo, ma non devono € essere assunti a criteri generali. Infatti, stabilità e
transizione dello strato limite dipendono in misura € notevolissima anche dall’andamento
longitudinale della velocità esterna (o, in altri termini, dal parametro di Pohlhausen): per
correnti esterne fortemente acceleranti l’instabilità può non manifestarsi affatto fino a valori di
Reδ * superiori a 10 • 000, mentre per correnti deceleranti può comparire già per valori inferiori
a 100.
Nel seguito ci limiteremo all’analisi di strati limite in equilibrio temporale (o equilibrio
locale), € condizione che risulta verificata se gli strati limite (esterni, oppure in canali o
condotti) sono completamente sviluppati e ad elevati numeri di Reynolds, anche in presenza di

un gradiente di pressione longitudinale, purché non eccessivamente elevato 1 . Si ricordi che
questa condizione di equilibrio è verificata se esiste, localmente, equilibrio tra la produzione e
la dissipazione di energia cinetica turbolenta: questo è il motivo per cui lo strato limite deve
essere completamente sviluppato, il che rende le considerazioni riportate nel seguito del tutto
inapplicabili alle regioni in cui sia presente un forte gradiente della velocità o della pressione
esterna, oppure adiacenti alla zona di transizione.
2 Strato limite turbolento: generalità
Sebbene la fenomenologia dello strato limite turbolento sia decisamente più complessa di
quella dello strato limite laminare, molti dei concetti fondamentali visti finora rimangono
ugualmente validi: è questo il caso dell’equazione integrale di von Kármán ed anche dei criteri
generali che legano la decelerazione della corrente esterna alla separazione, che mantengono
inalterata la loro validità.
Allo stesso modo, anche le equazioni indefinite dello strato limite restano valide, anche in
termini di moto medio alla Reynolds, purché si aggiunga alla componente dello sforzo viscoso
tangenziale τ = µ ∂u ∂y
( ) dato dalla viscosità molecolare (che si ipotizza proprietà costante) il
contributo del tensore dei cosiddetti sforzi turbolenti (essenzialmente −ρu
€
€
' v ' ) calcolato sulla
base di un qualche modello di turbolenza opportuno:
⎛ ∂u
∂u
⎞ 1 dp
1 ∂ ⎛ ∂u
⎞
⎜ u + v ⎟ = − + ⎜µ
− ρ(
u'
v')⎟
(TU.0)
⎝ ∂x
∂y
⎠ ρ dx ρ ∂y
⎝ ∂y
⎠
Anche a proposito dell’ipotesi di Boussinesq e dei modelli algebrici o differenziali per le
equazioni mediate di Reynolds, rimane perfettamente valido quanto si è detto in relazione alla
turbolenza in generale.
Tuttavia, uno dei problemi concettuali che si incontrano quando si tratta lo strato limite
turbolento, é la sua dipendenza, sia da variabili cosiddette di parete (o interne), sia da variabili
esterne: in altri termini, nello strato limite turbolento non è possibile individuare una sola
dimensione (ovviamente uno spessore) che sia realmente rappresentativa di tutta la corrente
turbolenta di parete, nel suo insieme.
Questo problema nasce dal fatto che, sebbene il moto sia effettivamente turbolento per una
gran parte dello spessore dello strato limite, a causa della condizione di perfetta adesione, la
velocità e le sue fluttuazioni sono identicamente nulle, in prossimità della quale il moto è
completamente dominato dagli effetti viscosi indipendentemente dai moti turbolenti al suo
esterno e dal numero di Reynolds della corrente media. Di conseguenza, negli strati più
prossimi alla parete la corrente presenta caratteristiche fortemente dipendenti da quelle che
prendono appunto il nome di variabili di parete.
Per distanze superiori dalla superficie solida, il moto diviene poi completamente turbolento
ma, anche in questa regione, il problema di individuare quale sia la dimensione caratteristica,
permane, almeno in linea di principio: come è noto, infatti, la dinamica delle strutture
turbolente dissipative (di scala minore e presenti nella regione turbolenta più vicina alla parete
solida) è disaccoppiata da quella delle strutture di grande scala, che estraggono l’energia
cinetica turbolenta dal moto medio e che sono invece concentrate nella regione esterna dello
1 Condizione applicabile anche agli strati limite su profili alari ove il gradiente della pressione raggiunge
generalmente i valori massimi (negativi) in prossimità del bordo d’attacco, e cioè in una regione con corrente
esterna fortemente accelerante che, come si è detto, tende a mantenere il regime di moto laminare. Quando invece
la turbolenza è completamente sviluppata, il gradiente della pressione (generalmente positivo) è piuttosto ridotto.
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strato limite. Ciò può anche presentare indubbi vantaggi pratici (come mostra la teoria di
Kolmogorov) ma, indubbiamente comporta che le scale dimensionali caratteristiche di queste
due regioni turbolente siano indipendenti e diverse tra loro. Se, da un certo punto di vista il
problema viene superato operando con le equazioni mediate di Reynolds, che affidano la
modellazione degli effetti dinamici di tutto lo spettro delle strutture turbolente ad un modello
di viscosità turbolenta, la difficoltà concettuale viene trasferita, appunto, nella formulazione di
tale modello.
Cerchiamo di chiarire meglio questo concetto di natura multiscala dello strato limite
turbolento, la cui la prima e più importante conseguenza è che esso non potrà mai assumere
quelle distribuzioni simili della velocità adimensionale che, come abbiamo visto, permettono
di semplificarne notevolmente la modellazione nel caso laminare (vedi Blasius, Falkner-Skan
e Pohlhausen) 2 . Per la precisione, questa natura multiscala preclude la possibilità che possano
esistere dei profili simili per la velocità adimensionale media validi per tutto lo spessore dello
strato limite turbolento: vedremo però che leggi di similitudine continuano ad esistere, ma che
la loro validità sarà limitata a ciascuno dei singoli sottostrati in cui può essere concettualmente
suddiviso lo strato limite turbolento.
3 Scale temporali convettive e diffusive
Con riferimento alla figura, vediamo di definire le diverse scale presenti nello strato limite
turbolento, qualora esso sia nelle condizioni di equilibrio temporale (o locale), descritte alla
fine del paragrafo 1. Condizione che, in sostanza, determina il legame tra la scala
longitudinale su cui agisce la convezione e la scala trasversale su cui agisce la diffusione, in
un determinato intervallo temporale, in ciascuno dei sottostrati che caratterizzano uno strato
limite turbolento.
2 Questo è il vero problema dello strato limite turbolento: l’impossibilità dell’esistenza di soluzioni simili per
il moto medio. Il problema della turbolenza in sé, al contrario, non richiede alcuno strumento diverso dai modelli
che si usano comunemente nelle correnti turbolente, insieme alle normali equazioni mediate di Reynolds.
Parte 11 bis - Pag. 3

€
3.1 - Scala di tempo della convezione
Nell’ipotesi di grande numero di Reynolds ( U e (x) ⋅ L ν),
la corrente esterna presenta una
natura prevalentemente convettiva e, se la velocità esterna non presenta variazioni molto
grandi lungo L, la sua scala temporale caratteristica TC (puramente convettiva, appunto) si può
esprimere attraverso la relazione:
€
€
TC ≅ L
. (TU.1)
U e
3.2 - Scala di tempo della diffusione turbolenta
€
Peraltro, per definizione, lo strato limite è anche sede di importanti fenomeni diffusivi. Anzi
questi sono particolarmente significativi proprio nel caso dello strato limite turbolento, grazie
alla presenza delle fluttuazioni della velocità che, a parità di altre condizioni, aumentano il
trasporto di quantità di moto in direzione trasversale rispetto a quella del moto medio, e cioè la
sua diffusione. L’effetto più evidente di tale diffusione è un aumento progressivo dello
spessore δ dello strato limite che, non a caso, è assai maggiore in regime turbolento che in
regime laminare. In termini di moto medio alla Reynolds, è possibile tenere conto di questa
diffusione attraverso una viscosità cinematica turbolenta ν t , che viene a sommarsi (e supera
abbondantemente) la viscosità molecolare del fluido.
€
Pertanto, in base all’analisi dimensionale, la scala temporale diffusiva turbolenta Tt dello
strato limite è data da:
€
2
δ
Tt ∝
ν t
Ora, la condizione di equilibrio temporale, che sostanzialmente possiamo tradurre nel fatto che
nello stesso intervallo di tempo in cui la corrente esterna percorre una lunghezza L alla
velocità U e lo strato limite raggiunge € uno spessore δ , che è proporzionale alla velocità di
diffusione della quantità di moto, suggerisce la proporzionalità delle due scale temporali TC e
Tt :
€
€
L
U e
2
δ
∝
ν t
Parte 11 bis - Pag. 4
€
€
(TU.2)
3 (TU.3)
3.3 - Scala di tempo della diffusione molecolare
€
Un secondo effetto diffusivo si produce in prossimità della parete. Per quanto si è detto
all’inizio di questo paragrafo, la presenza della parete annulla la diffusione turbolenta in un
sottile strato, il cui spessore caratteristico possiamo indicare con lν , all’interno del quale la
diffusione è affidata alla sola viscosità molecolare ν .
L’analisi dimensionale consente di scrivere il tempo caratteristico Tν dello strato lν nel modo
seguente:
€
€
Tν ∝
€
€
l 2
ν
ν (TU.4)
3
Questa idea dell’equilibrio temporale € è, di fatto, riconducibile alla definizione stessa di numero di
Reynolds, che esprime il rapporto tra la variazione della quantità di moto prodotta dalle forze d’inerzia
(convezione) e quella prodotta dalla risultante delle forze viscose (diffusione).

€
€
3.4 - Conclusioni sulle scale di tempo
Lo strato limite turbolento sembra dunque contenere tre scale temporali caratteristiche:
Tt , relativamente correlate tra loro, e la scala viscosa Tν .
Ora, come si è detto, in prossimità della parete, la diffusione è praticamente affidata alla sola
viscosità molecolare ν e alla risultante degli sforzi viscosi molecolari: €
€
τ ν = ρν
€
∂u
∂y (TU.5)
mentre lo sforzo turbolento, che possiamo scrivere come:
€
τ t = −ρ u' v' = ρν t
è praticamente nullo. Il contrario succede nella corrente lontana dalla parete, dominata invece
dallo sforzo turbolento e praticamente insensibile a quello viscoso molecolare.
Da ciò dipende l’impossibilità € di individuare una sola scala di velocità e di lunghezza che
permetta di stimare i diversi tempi caratteristici convettivi e diffusivi attraverso tutto lo
spessore dello strato limite.
4 Scale di velocità di diffusione
4.1 - Velocità di diffusione “lontana”.
Parte 11 bis - Pag. 5
∂u
∂y (TU.6)
Lontano dalla parete, dove le fluttuazioni turbolente sono predominanti, una scala di velocità
caratteristica della diffusione turbolenta si deduce direttamente dalla definizione di energia
cinetica turbolenta media per unità di massa.
Se
K è :
€
( ) (TU.7)
K = 1
u'u' + v' v' + w' w'
2
è chiaro che la velocità caratteristica della diffusione turbolenta è definibile come:
u t ∝ K . (TU.8)
4.2 - Velocità di diffusione “a parete”.
€
In prossimità della parete, dove prevale invece la diffusione molecolare, la diffusione è
affidata esclusivamente alla risultante degli sforzi viscosi tangenziali molecolari:
τ W = ρν ∂u ⎛ ⎞
⎜
⎝ ∂y ⎠
e l’analisi dimensionale permette di individuare la velocità di diffusione ad esso associata, che
indichiamo con uτ e che prende il nome di velocità d’attrito:
€
uτ = τ W ρ (TU.10)
€
€
⎟ y= 0
(TU.9)
T C e

€
€
€
4.3 - Conclusione sulle scale di velocità di diffusione.
In conclusione, nello strato limite turbolento, compaiono due scale di velocità caratteristiche
della diffusione:
-
-
u t ∝ K , per la diffusione turbolenta e
u τ = τ W ρ , per quella viscosa o molecolare.
5 Scale di lunghezza della diffusione
Coerentemente con l’analisi delle scale di velocità si definiscono le due scale di lunghezza
caratteristiche della diffusione dentro lo strato limite turbolento su parete idraulicamente liscia
4 .
Si tratta ovviamente di due spessori:
- il primo, che rappresenta la diffusione turbolenta, è direttamente lo spessore
convenzionale dello strato limite δ , già introdotto da tempo;
- il secondo, rappresentativo dello strato dominato dalla viscosità molecolare, è proprio la
lunghezza lν , introdotta nel paragrafo 3.3, che ora, in base alla viscosità cinematica
molecolare e alla velocità € di attrito uτ definita dalla (TU.10), possiamo stimare come:
€
lν ∝
€
ν
uτ (TU.11)
6 Unità di lunghezza “interne” e “esterne” adimensionali
€
Identificate le due scale dimensionali fondamentali dello strato limite turbolento in equilibrio,
δ ed lν , è finalmente possibile individuare le (malauguratamente) due scale spaziali
adimensionali che permettono di rendere più generali i modelli e le analisi di qualunque tipo
di corrente.
€ Usiamo lo spessore δ per definire, come di consueto, la scala adimensionale η :
η =
€
€
€
y
δ (TU.12)
che caratterizza ovviamente la regione più esterna dello strato limite turbolento e che, per
l’appunto, prende il nome di unità di lunghezza adimensionale esterna.
Usiamo invece lo spessore del substrato viscoso lν per definire la lunghezza adimensionale
interna, o unità di parete:
€
y
€
+ = y
Possiamo subito notare che il rapporto tra l’unità interna
l ν
€
Parte 11 bis - Pag. 6
= yu τ
ν (TU.13)
y + e quella esterna η è :
4 In effetti, se la parete non è idraulicamente liscia, entra in gioco una ulteriore scala di lunghezza dipendente
dalla dimensione caratteristica della rugosità.
€

€
y
€
+
η =
yuτ ν =
y
δ
δ uτ ν
ed è quindi pari al numero di Reynolds Reτ , basato sullo spessore diffusivo esterno e sulla
velocità caratteristica interna, che assume un’importanza notevole in tutte le correnti
turbolente di parete.
€
7 Analisi preliminare dello strato limite turbolento
A questo punto siamo in grado di sviluppare un’analisi multiscala dello strato limite
turbolento, suddividendolo in sottostrati di spessori adimensionali significativi e di esprimerne
le relative leggi di velocità nel modo più generale.
A titolo di esempio, in figura sono identificate le principali regioni di uno strato limite
turbolento a numero di Reynolds elevato (dell’ordine di 10 7 , basato sulla ue e sulla x).
Le scale usate per gli spessori sono logaritmiche e ciascuno strato è misurato, sia in unità di
parete y + , sia in unità esterne η . Le prime assumono valori compresi tra 1 e 5000, mentre η
raggiunge ovviamente il valore unitario per y = δ .
€
€
Si individuano immediatamente una regione interna, compresa tra la parete ed un valore di
circa 400 unità di parete, cui corrisponde un valore di η dell’ordine di 10 -1 ed una regione
esterna, compresa tra circa 30 unità di parete ed η =1.
Grazie ad un valore sufficientemente elevato del numero di Reynolds è quindi presente una
regione di sovrapposizione (région de recouvrement € o overlap region) tra la zona interna e
quella esterna, che si estende per circa € 400 y + , e cioè per circa l’8% dello spessore
complessivo dello strato limite. In questa regione, come indicato in figura, vale la famosa
€
Parte 11 bis - Pag. 7
€

legge di distribuzione della velocità adimensionale di tipo logaritmico (loi log o log law) che,
data l’adozione di scale semilogaritmiche, assume un andamento rettilineo.
In prossimità della parete si trova il substrato viscoso (sous-couche visqueuse o viscous
sublayer), che si estende per circa 7 unità di parete (meno di un millesimo dello spessore
complessivo dello strato limite) ed è caratterizzato da una distribuzione lineare della velocità
in funzione della quota che, nelle scale adottate, assume un andamento curvilineo.
Tra il substrato viscoso, dominato dalla viscosità molecolare, e la regione di sovrapposizione,
caratterizzata da moto turbolento, è interposto il cosiddetto strato cuscinetto (zone tampon o
buffer layer) in cui la velocità deve necessariamente raccordare l’andamento lineare del
substrato viscoso con quello logaritmico della regione di sovrapposizione.
All’esterno della regione di sovrapposizione, è presente la cosiddetta regione di scia (région de
sillage o wake region), in cui la distribuzione della velocità è dipendente, tra l’altro, dal
gradiente della pressione esterna.
8 Stima degli spessori effettivi su lastra piana
Se ricorriamo alla relazione empirica di Prandtl (1921), che lega il coefficiente d’attrito a
parete al numero di Reynolds della corrente esterna Rex :
0,455
Cf =
ln
€
€
2 ( 0,06 ⋅ Rex ) (TU.14)
possiamo stimare gli spessori dei diversi strati in termini dimensionali, per uno strato limite
che, a titolo di esempio, abbia proprio un valore di Rex dell’ordine di 10 7 .
Parte 11 bis - Pag. 8

Potrebbe trattarsi di una sezione posta a 2,9 metri dal bordo d’attacco di una lastra piana 5 ,
lambita da una corrente d’aria con velocità esterna dell’ordine di 50 m/s.
Con la (TU.14) determiniamo innanzitutto il coefficiente d’attrito:
C f = 0,00257 (TU.15)
e, in base alla sua definizione, lo sforzo tangenziale a parete:
1 τ W = Cf 2€ ρU 2 2
e = 0,5 ⋅0,00257 ⋅1,225 ⋅50 = 3,936
2 [ N /m ]. (TU.16)
Dalla definizione:
€
uτ = τ W ρ (TU.10)
calcoliamo la velocità di attrito uτ = τ W ρ =1,792 m/s
€ y
€
+ = y
=
lν yuτ ν (TU.13)
la relazione tra la lunghezza dimensionale y e quella adimensionale y + :
Parte 11 bis - Pag. 9
[ ] e, dalla definizione:
€ y =
€
€
y+ ν
= 809 ⋅10
uτ −8 y + . (TU.17)
A questo punto, il substrato viscoso, che ha uno spessori di circa 7 unità di parete, avrà anche
uno spessore effettivo di 7y + = 56 ⋅10 −6 [ m],
ovvero di 56 micron.
Il buffer layer, compreso tra circa 7 < y + < 30, ha uno spessore di 186 micron, mentre la
regione di sovrapposizione ( 30 < y
€
+ < 400) è spessa circa 3 millimetri e lo strato limite ha uno
spessore complessivo δ di circa 5000 unità di parete, ovvero di circa 41 millimetri.
Nel caso della lastra piana, € correlazioni sperimentali indicano che lo spessore di spostamento:
€
€
δ * ≅ 0,048
0,38 δ
e pertanto i numeri di Reynolds basati sulla velocità esterna e sugli spessori δ e δ
€
* valgono,
rispettivamente Reδ =140 ⋅ 000 e Reδ * =17 ⋅ 500, che verificano ampiamente la condizione di
turbolenza sviluppata ( Reδ * > 2 ⋅ 500 per la lastra piana).
€
€
9 Il profilo € della velocità mediata alla Reynolds
L’analisi sin qui condotta ha mostrato che, al fine di garantire l’equilibrio temporale tra le
scale temporali convettiva TC , diffusiva turbolenta Tt e diffusiva viscosa Tν , che è tipico degli
strati limite sviluppati e con debole gradiente di pressione, le scale di lunghezza caratteristiche
delle diverse regioni che compongono uno strato limite turbolento devono essere
necessariamente diverse. In particolare, le due scale diffusive turbolenta e molecolare risultano
essere lo spessore € δ dello strato limite e lo € spessore l €
ν del suo substrato viscoso.
€
€
5
Per semplicità, qui ipotizziamo che la transizione avvenga direttamente al bordo d’attacco. Il che,
ovviamente, non è realistico ma non inficia l’utilità delle stime che otterremo.
€
€

€
Per questo motivo, come si è detto, la ricerca di profili simili può essere condotta solo a livello
dei singoli strati, ma non per lo strato limite, nel suo insieme.
Procediamo quindi con un’analisi zonale (o multiscala, o a scala di lunghezza imposta) per
definire per ciascuno strato la distribuzione della velocità media u al suo interno.
Risulta subito evidente che, in termini di moto medio, il gradiente ∂u ∂y stesso fornisce la
scala di tempo in ciascuno di questi strati (in realtà, ∂u ∂y è l’inverso di un tempo, ma ciò è
del tutto indifferente). Introduciamo quindi l’ipotesi operativa € che, all’interno di ogni singolo
strato, la scala temporale fornita da questo gradiente della velocità media si accordi con
€
(ovvero sia funzione di), quella definita dalle scale di lunghezza e di velocità che abbiamo
definito in precedenza. Ipotesi che, è bene € ricordare, è valida solo nelle condizioni di
equilibrio già definite.
In altri termini, se denotiamo ciascuno strato con le lettere α , β , ecc., formalmente scriviamo:
⎛ ∂u ⎞ ⎛ u ⎞
α
⎜ ⎟ = Fα ⎜ ⎟
⎝ ∂y ⎠ α ⎝ α ⎠
€ €
oppure, in modo equivalente, ma più rigoroso e generale:
€
⎛ ∂u ⎞
⎜ =
⎝ ∂y ⎠
u ⎛ ⎞ ⎛
α y ⎞
⎜ ⎟ fα⎜ ⎟ (TU.18)
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎟ α
α
dove le scala di lunghezza α e di velocità uα sono quelle proprie dello strato considerato,
mentre y è la distanza dalla parete.
Sfruttando questa sola ipotesi,
€
per integrazione della (TU.18), si otterranno espressioni
analitiche semplici € del profilo della € velocità media in ciascuno degli strati che compongono lo
strato limite turbolento in equilibrio.
9.1 - Substrato viscoso.
Il substrato viscoso, che si estende dalla parete fino ad una distanza dell’ordine di 7 unità di
parete y + , è caratterizzato da una scala temporale data dal rapporto tra il suo spessore
caratteristico lν e la sua velocità caratteristica uτ .
Nel substrato viscoso, imponiamo quindi che la scala temporale sia lν € (TU.18) come:
uτ e scriviamo la
€
€
∂u
∂y €
= uτ lν ⎛ y ⎞
fα⎜ ⎟
⎝ lν ⎠
(TU.19)
Si tratta ora di determinare la funzione
fα ( y lν ).
A tale scopo riprendiamo l’equazione
€
indefinita di Prandtl (TU.0), valida per gli strati limite
turbolenti sottili:
€
⎛ ∂u
∂u
⎞
⎜ u + v ⎟ = −
⎝ ∂x
∂y
⎠
1 dp 1 ∂ ⎛ ∂u ⎞
+ ⎜ µ − ρ( u' v')
⎟
ρ dx ρ ∂y ⎝ ∂y ⎠
(TU.0)
che, scritta alla parete e per gradiente nullo della pressione esterna (lastra piana), implica che:
∂
€
2 u ∂y 2
( ) = 0 , e cioè che lo sforzo sia uniforme in un intorno di y = 0 e (di fatto, data
y= 0
l’esiguità del suo spessore, dentro tutto il substrato viscoso).
α
Parte 11 bis - Pag. 10
€

€
Pertanto:
€
τ int (y= 0) = µ ∂u
⎜ ⎟
⎝ ∂y ⎠ y= 0
Ricordando poi la definizione di velocità d’attrito a parete:
e quella di lν :
⎛
Parte 11 bis - Pag. 11
⎞
= τ W (TU.20)
u τ = τ W ρ (TU.10)
l ν = ν u τ (TU.11)
2
lo sforzo a parete τ W risulta anche uguale a ρuτ e possiamo quindi scrivere:
€
⎛
€
∂u ⎞
⎜ ⎟ = €
⎝ ∂y ⎠ int (y= 0)
€
€
€
u ⎛
τ y ⎞
fα⎜ ⎟ (TU.21)
lν ⎝ lν ⎠
e dedurne che, se ∂u ∂y deve essere costante, con uτ ed lν costanti, la funzione fα ( y lν )
deve essere necessariamente anch’essa costante e, visto che per y = 0 deve essere:
⎛ ∂u ⎞
€
⎜ € ⎟ = €
⎝ ∂y ⎠
€
y= 0
€
uτ lν 6 (TU.22)
il suo valore deve essere pari all’unità.
Dato che, a sezione fissata, la velocità u è funzione della sola y, l’integrale della (TU.22):
€
∫ du = uτ l ∫ dy
ν
permette di definirne la distribuzione:
u =
€
€
uτ y (TU.23)
lν La (TU.23) mostra che la corrente nel substrato puramente viscoso è assimilabile ad una
corrente di Newton, con velocità che varia linearmente tra zero ed uτ lungo una distanza lν e
fornisce immediatamente il profilo della velocità adimensionale u uτ in funzione della
coordinata adimensionale y + (che, in base alla (TU.13) è y + = y lν ):
€
€
€
u
= y €
+ (TU.24)
u τ
9.2 - Buffer layer.
€
All’esterno del substrato viscoso, per circa 5 < y + < 30, si trova il buffer layer che, per il
momento, trascuriamo. A partire dal confine di questa regione di raccordo, si estende la parte
rimanente dello strato limite, che è, sebbene con modalità diverse, tutta turbolenta.
€
9.3 - Strato turbolento di parete (o interno).
Nello strato limite compreso tra circa y
€
+ > 30 ed η < (0,1÷ 0,15), che prende il nome di strato
turbolento di parete, l’effetto della diffusione molecolare è certamente trascurabile rispetto a
quello della diffusione turbolenta e, come affermato dalla (TU.8), la velocità caratteristica di
questa diffusione è proporzionale alla radice quadrata dell’energia cinetica turbolenta media
€
ut ∝ K .
6 In base alla (TU.20),
€
( ∂u ∂y)
= τ
y= 0 W µ , con
€
€
2
τ W = ( ρuτ /µ ) che, per la (TU.11) porta a scrivere la (TU.22)

€
Possiamo quindi scrivere la (TU.18) come:
⎛ ∂u ⎞
⎜ ⎟ =
⎝ ∂y ⎠ β
K
⎛ ⎞
⎜
⎟
⎝ ⎟
β ⎠
f ⎛ y ⎞
β ⎜ ⎟
⎝
⎟
β ⎠
(TU.25)
e l’evidenza sperimentale mostra che, in tutto lo strato turbolento di parete, la velocità
caratteristica ut è pari alla velocità d’attrito:
€
K ∝uτ (TU.26)
Si tratta
€
ora di esprimere anche la lunghezza β , caratteristica di questa regione. Purtroppo,
però, non è possibile definire una tale lunghezza che abbia validità per tutto lo strato
turbolento. In altri termini, nello strato € compreso tra circa y + > 30 ed η < (0,1÷ 0,15):
- da un lato si è persa ogni dipendenza € dalla lunghezza lν , il cui effetto è limitato ad un
massimo di una decina di unità di parete y
€ €
€
€
+ ,
- dall’altro non si può certo assumere che la scala di lunghezza coincida con lo spessore
δ dello strato limite, visto che il suo spessore è dell’ordine di uno o due decimi di η ,
come si vede nella figura.
Peraltro, la scala dimensionale della diffusione turbolenta sarà certamente correlata alla scala
€ locale delle strutture turbolente, alla quota considerata. Pertanto, la scala dimensionale
€
caratteristica di questo strato turbolento di parete si può assumere direttamente proporzionale
alla distanza dalla parete e cioè alla quota y:
β = k β y (TU.27)
Questa è anche l’ipotesi fondamentale del modello della mixing length di Prandtl che, unito
alla velocità turbolenta ut = uτ , permette di esprimere la viscosità turbolenta ν t come:
€
ν t = uτk β y
€
La (TU.25) diventa quindi:
€
⎛ ∂u ⎞
⎜ ⎟ =
⎝ ∂y ⎠ β
€
uτ k β y f ⎛ y ⎞
β ⎜ ⎟
⎝ k β y
⎟
⎠
(TU.25)
e, anche in questo caso, risulta evidente che la funzione
inglobiamo in k β .
fβ ( y k β y)
è una costante che
Possiamo quindi integrare la (TU.25) dopo aver introdotto le variabili adimensionali di parete
u uτ ed y
€
€
+ = y
=
lν yuτ , ottenendo:
ν
€
e infine:
€
dove si è indicata con k la costante
du
∫ = 1
u τ
k β
Parte 11 bis - Pag. 12
€
1
∫ dy+
(TU.28)
+
y
u + = 1
k log y+ + C (TU.29)
0,41 mentre, nel caso di lastra idraulicamente liscia, la costante C è dell’ordine di 5.5.
€
€
k β , che prende il nome di costante di von Kármán, pari a

In alternativa, ricordando le definizioni di u + e di y + , possiamo anche scrivere il profilo della
velocità dimensionale nella forma:
€
u
= €
1
k log y u ⎛ ⎞ τ
⎜ ⎟ + C (TU.30)
⎝ ν ⎠
u τ
A questo punto possiamo osservare che, in tutto lo strato turbolento di parete, lo sforzo si
mantiene costante e pari allo sforzo a parete τ W .
€
Esprimendo lo sforzo attraverso il gradiente del moto medio ∂u ∂y fornito dalla (TU.29):
⎛ ∂u ⎞
⎜
⎝ ∂y ⎠
⎟ β
= €
€
∂
∂y u 1
τ
k log y u ⎛ ⎛ ⎞ ⎞
τ
1 1
⎜ ⎜ ⎟ + Cuτ ⎟ = uτ ⎝ ⎝ ν ⎠ ⎠ k
y u uτ ⎛ ⎞ τ ν
⎜ ⎟
⎝ ν ⎠
= uτ ky
moltiplicato per la viscosità cinematica turbolenta, che è pari al prodotto della velocità
caratteristica della diffusione turbolenta in questo strato per la corrispondente lunghezza di
mescolamento:
€
ν t = uτ ky (TU.32)
si ottiene infatti:
€ τ = ρ uτ ky uτky = ρuτ Parte 11 bis - Pag. 13
(TU.31)
2 = τ W (TU.33)
Pertanto lo sforzo è uniforme in tutto lo strato di corrente compreso tra la parete e il 10÷15 %
dello spessore dello strato limite δ .
€
9.4 - Strato turbolento esterno.
La regione turbolenta che
€
si estende oltre η ≅ (0,1÷ 0,15) prende il nome di strato turbolento
esterno.
Analogamente a quanto fatto in precedenza, sfruttiamo la relazione di equilibrio temporale
(TU.18), che scriviamo come: €
⎛ ∂u ⎞
⎜ =
⎝ ∂y ⎠
u ⎛ ⎞
γ
⎜ ⎟
⎝
⎟
γ ⎠
f ⎛ y ⎞
γ ⎜ ⎟
⎝
⎟
γ ⎠
(TU.34)
⎟ γ
Ai paragrafi 4.1 e 4.2 si è affermato che la velocità di diffusione turbolenta è ut ∝ K , mentre
la sua lunghezza caratteristica è dell’ordine dello spessore δ e sulla base di questo spessore si
è appunto definita la coordinata € adimensionale η = y δ.
Possiamo quindi assumere che:
€
€
€
γ = kγδ (TU.35)
in perfetto acccordo con la teoria di Escudier (vedi il modello di turbolenza della mixing
length) che ipotizza appunto che la lunghezza di mescolamento sia costante e dell’ordine del
10% di δ , per tutte le distanze dalla € parete maggiori di circa 0,2δ .
La validità di questa assunzione (nonché di quella fatta per lo strato turbolento di parete) è
stata confermata, nel 1988, dalla prima DNS di strati limite turbolenti: in figura sono riportate
€ le distribuzioni della lunghezza di mescolamento € (la scala dimensionale della diffusione
turbolenta) e della viscosità cinematica turbolenta all’interno di uno strato limite, che sono, per
l’appunto, in perfetto accordo con le ipotesi (TU.27) e (TU.35).

€
Per quanto riguarda la velocità caratteristica della diffusione turbolenta, si può ritenere che
essa sia ancora proporzionale alla radice quadrata dell’energia cinetica turbolenta media ed
assumere quindi:
Sebbene la relazione:
u γ ∝ K (TU.36)
K ∝uτ (TU.26)
€
sia stata adottata per la sola regione turbolenta di parete, si può facilmente verificare che essa è
valida anche nella regione turbolenta esterna. Infatti, le due regioni si devono necessariamente
raccordare per y ≅ (0,1÷ 0,15)δ e quindi € la (TU.26) è certamente verificata per tali quote. Per
quote maggiori, poi, la diffusione turbolenta si riduce, fino ad annullarsi (in media) al confine
esterno della regione esterna, dove il moto è irrotazionale. Pertanto, si può ragionevolmente
assumere che anche in tutta la regione turbolenta esterna:
€
K ∝uτ . (TU.37)
Riprendiamo quindi la (TU.34) che riscriviamo come:
€
⎛ ∂u ⎞
⎜ =
⎝ ∂y ⎠
u ⎛ ⎞ ⎛ τ y
⎜ ⎟ fγ ⎜
⎝ δ ⎠ ⎝ δ
⎞
⎟ (TU.38)
⎠
⎟ γ
La differenza tra la (TU.38) e le analoghe espressioni, che si sono ricavate rispettivamente per
il substrato viscoso:
e per quello turbolento di parete:
sta nella natura della funzione
€
∂u
∂y = u τ
l ν
⎛ ∂u ⎞
⎜
⎝ ∂y ⎠
⎟ β
f α
€
Parte 11 bis - Pag. 14
⎛ y ⎞
⎜ ⎟ (TU.19)
⎝ ⎠
costante, ma non è nemmeno determinabile in forma analitica per y ≥ (0,1÷ 0,15)δ .
€
Nel 1956, Coles, analizzando una enorme mole di dati sperimentali ha però mostrato che la
distribuzione della velocità € media adimensionale € u u€ τ in funzione della quota adimensionale,
valida per tutto lo spessore dello strato limite turbolento € (dalla parete fino ad η =1) è data
l ν
f γ che, a differenza delle
= uτ k β y f ⎛ y ⎞
β ⎜ ⎟
⎝ k β y
⎟
⎠
(TU.25)
f α ed
f β , non solo non è affatto una
€

€
€
dalla somma di due funzioni:
- la prima è la legge della parete, che si è determinata analiticamente e che è funzione
della coordinata adimensionale di parete (o interna), y + = y lν ,
- mentre la seconda, che prende il nome di legge della scia ed è indicata con fs , è di
origine empirica e dipende invece dalla coordinata adimensionale esterna, η = y δ.
Pertanto si può scrivere:
€
u
= fw y
€
€
+
( )+ Π
k f ⎛ y
s⎜
⎝ δ
⎞
⎟
⎠
(TU.39)
u τ
dove k è ancora la costante di von Kármán, mentre il parametro Π contiene, tra l’altro, il
gradiente longitudinale della pressione nella corrente irrotazionale esterna, e rende la (TU.39)
applicabile anche agli strati limite € acceleranti o deceleranti con legge arbitraria.
In figura sono evidenziati separatamente i contributi alla € distribuzione della velocità della
legge di parete fw e della legge di scia fs , nel caso della lastra piana, per la quale il valore di
Π è pari a 0,55.
€
€
La funzione fs , che rappresenta la legge di scia e che, derivata da Coles interpolando dati
sperimentali relativi a strati limite turbolenti, sotto diverse condizioni di corrente esterna,
assume la forma:
€
⎛ y
fs⎜ ⎝ δ
⎞
⎟ = 2sen
⎠
2⎛ π y ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 δ ⎠
e, come confermato dalla figura della pagina precedente, il suo contributo è, appunto, nullo
alla parete e pari ad 1 per ( y δ)
=1.
€
Il parametro Π, detto anche parametro di scia, contiene il gradiente della pressione esterna
( dpe dx),
il cui effetto è chiaramente mostrato nella figura di pagina 7 (qui riportata) e,
contrariamente € a quanto si potrebbe pensare, non è nullo nel caso della lastra piana bensì,
come € si è detto, pari a 0,55.
Un altro aspetto da sottolineare è l’influenza del parametro di scia attraverso tutto lo strato
limite.
Parte 11 bis - Pag. 15

9.5 - Conclusioni sul profilo della velocità media.
La (TU.39) si può considerare l’equivalente, per lo strato limite turbolento, della soluzione
approssimata di Pohlhausen, che fornisce il profilo della velocità per lo strato limite laminare.
Allo stesso modo, essa permette di trattare strati limite con distribuzione arbitraria della
velocità esterna e, accoppiata all’equazione integrale di von Kármán e, purché si disponga di
condizioni all’ingresso del dominio d’integrazione (generalmente laminari), permette di
calcolare le grandezze integrali dello strato limite turbolento. Tuttavia, nel caso turbolento, il
problema presenta una variabile incognita in più.
Riprendiamo la (TU.39) e l’equazione di bilancio per la quantità di moto, nella forma integrale
di von Karman:
u
= fw y +
( )+ Π
k f ⎛ y
s⎜
⎝ δ
⎞
⎟ (TU.39)
⎠
u τ
€
dϑ
+ ( H + 2)
dx ϑ due ue dx = cf 2 (TU.40)
e vediamo di verificare il bilancio equazioni/incognite del problema in esame.
La (TU.39) contiene le incognite € uτ e δ , mentre il parametro Π si può ritenere noto, almeno
in forma implicita.
La (TU.40) contiene invece le incognite ϑ , δ
€ €
€
€ €
* (nel parametro di forma H) e cf , che possono
essere però determinate attraverso la (TU.39): ϑ e δ
€
€ €
* si possono infatti calcolare integrando il
profilo della velocità, strato per strato, mentre il coefficiente d’attrito è noto una volta che sia
nota la velocità d’attrito uτ .
€
Parte 11 bis - Pag. 16

Si tratta quindi di scrivere un’ulteriore equazione, che contenga l’incognita δ . A questo scopo
sono stati sviluppati numerosi metodi più o meno empirici: uno di essi è il metodo di Head,
descritto nel seguito che, oltre a fornire concettualmente la chiusura del problema, lo
semplifica ulteriormente evitando il ricorso all’integrazione della (TU.39) per determinare gli
€
spessori integrali ϑ e δ * , che viene sostituito da relazioni di origine sperimentale tra gli
spessori integrali.
€
€
10 Il metodo di Head.
Il metodo di Head (1958) si basa sul concetto che il fattore la crescita dello spessore δ di uno
strato limite turbolento in equilibrio (quella che abbiamo chiamata velocità di diffusione dello
strato limite) è legato alle modalità con cui la corrente esterna entra a far parte dello strato
limite, e cioè è funzione di quella che prende il nome di velocità di trascinamento
€
7 .
La velocità di trascinamento, indicata con v E (dall’inglese entrainment), è la componente
della velocità esterna allo strato limite, diretta normalmente al suo contorno esterno, in
corripondenza della quota locale δ .
Attraverso un bilancio integrale di portata € in massa è possibile definire, appunto, un legame tra
questa velocità e lo spessore δ .
La portata in massa attraverso
€
una generica sezione dello strato limite è:
€
δ
⌠
mF = ρ⎮ u (y)dy
(HD.1)
⌡
0
Per rispettare la conservazione della massa in un tratto di strato limite di lunghezza
infinitesima dx , deve essere verificata la relazione:
€
ρv E = ρ
€
d
δ (x )
⌠
⎮ u (y)dy
(HD.2)
dx ⌡
che, dividendo per la densità (costante non nulla) e ricordando la definizione di spessore di
spostamento:
€
δ ∗ δ (x)
⌠ ⎛ u (y) ⎞
= ⎮ ⎜ 1− ⎟ dy
(HD.3)
⌡ ⎝ ⎠
diventa:
€
€
v E = d
dx
da cui si ricava la relazione:
€
∫
δ (x)
0
u ( y)dy
= − d
⎛ ⌠
⎜ ⎮
dx ⎜
⎝ ⌡
0
Parte 11 bis - Pag. 17
0
0
u e
δ (x)
⎛ 1 ⎞ ⎞
⎜ − u (y) ⎟ dy −δu ⎟
e
⎝ ue ⎠ ⎟
⎠
(HD.4)
d
dx ue δ(x) −δ ∗ ( ( (x) ) ) = v E (HD.5)
7 La velocità di trascinamento può essere vista, sia come la velocità con la quale lo strato limite si diffonde
nella corrente esterna, sia come la velocità con cui la corrente esterna viene trascinata dallo strato limite.

€
Nel metodo di Head si fanno ora due ipotesi fondamentali: che il rapporto
del solo parametro di forma
€
H 1 , definito come
volta esprimibile in funzione del parametro di forma H = δ ∗ ϑ .
Pertanto si scrive:
€
v € E = F( H1) = F( G(H) )
€
u e
Parte 11 bis - Pag. 18
€
v E u e sia funzione
H 1 = (δ −δ ∗ ) ϑ , e che quest’ultimo sia a sua
dove le funzioni F e G, di origine sperimentale, valgono, rispettivamente:
F = 0.0306 H 1 − 3.0
( ) −0.6169 e
La (HD.5) diventa quindi:
o anche:
€
€
H1 = G( H)
= 0.8234( H −1.1)
−1.287 + 3.3 per H ≤1,6
H1 = G( H)
=1.5501( H − 0.6778)
−3.064 + 3.3 per H ≥1,6
d
dx ue δ(x) −δ ∗ ( ( (x) ) ) = ueF G(H)
che rappresenta una equazione differenziale del primo ordine.
( ) (HD.6)
d
dx u e H 1θ
( ) = u e F G(H)
( ) (HD.7)
Le incognite sono H, H1 , θ, e cf , mentre le equazioni sono: l’equazione differenziale
(HD.7), il legame algebrico
€
tra H e H1 e l’equazione integrale di von Kármán.
Manca quindi un ulteriore legame, che consenta di esprimere il coefficiente d’attrito in
funzione delle € altre grandezze integrali e il metodo di Head adotta la seguente relazione,
anch’essa di origine sperimentale, fornita da Ludwieg e Tillmann:
cf = 0,246 ×10 −0.678H −0.268
Reθ Si ottiene quindi un sistema di due equazioni differenziali del primo ordine non lineari, che
può essere integrato numericamente.
€