VARIABILI ALEATORIE 2 1. Una moneta equilibrata viene lanciata ...

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(a) che esca al primo lancio; (b) di dover fare esattamente 2 lanci; (c) di dover fare più di 2 lanci. In media quanti lanci occorreranno? 8. Si lancia una coppia di dadi sino a che non esce come somma 7. Calcolare la probabilità (a) che esca al primo lancio; (b) di dover fare esattamente 2 lanci; (c) di dover fare più di 2 lanci. In media quanti lanci occorreranno? 2
SOLUZIONI <strong>1.</strong> (a) Se con T indichiamo il tempo di primo successo corrispondente all’uscita della prima testa, si ha che T è una v.a. geometrica di parametro p = 1/2 (T ∼ Ge(1/2)). Quindi T prende valori 1, 2, 3, . . . con probabilità, P(T = n) = (1 − p) n−1 p. La probabilità richiesta è, allora P(T = 6) = 1 − 1 5 1 2 2 = 1 6 . 2 Se con X indichiamo il numero di successi (ovvero le teste uscite) su 6 lanci, si ha che X è una v.a. binomiale di parametri n = 6 e p = 1/2 (X ∼ Bi(6, 1/2)). Quindi X prende valori 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 con probabilità, P(X = k) = (b) La probabilità richiesta è, allora P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (c) Qui la probabilità richiesta è P(X = 1) = (d) Qui la probabilità richiesta è 6 1 1 2 6 1 k 2 k 6 1 0 2 1 1 − 1 2 1 − 1 6−k . 2 0 6−1 1 − 1 2 6−0 1 6 = 6 . 2 = 1 − 1 6 . 2 1 6 1 6 1 6 P(X ≥ 2) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 − + 6 = 1 − 7 . 2 2 2 (e) Qui la probabilità richiesta è P(X = 3) = 6 1 3 2 3 1 − 1 2 6−3 1 6 = 20 . 2 2. Se con X indichiamo il numero di successi, ovvero i 4 usciti su 6 lanci, si ha che X è una v.a. binomiale di parametri n = 6 e p = 1/6 (X ∼ Bi(6, 1/6)). Quindi X prende valori 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 con probabilità, P(X = k) = 8 1 k 6 k (a) La probabilità richiesta è, allora 8 1 4 P(X = 4) = 1 − 4 6 1 6 (b) Qui la probabilità richiesta è P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 3 1 − 1 8−k . 6 8−4 8 1 0 6 1 4 5 4 = 70 . 6 6 0 1 − 1 6 8−0 = 1 − 5 8 . 6
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