VARIABILI ALEATORIE 2 1. Una moneta equilibrata viene lanciata ...
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<strong>VARIABILI</strong> <strong>ALEATORIE</strong> 2<br />
<strong>1.</strong> <strong>Una</strong> <strong>moneta</strong> <strong>equilibrata</strong> <strong>viene</strong> <strong>lanciata</strong> più volte. Qual è la probabilità che al 6 lancio:<br />
(a) si abbia testa per la prima volta?<br />
(b) Si sia avuto testa almeno una volta?<br />
(c) Si sia avuta esattamente una testa?<br />
(d) Si siano avute almeno due teste?<br />
(e) Si sia avuto lo stesso numero di teste e croci?<br />
2. Determinare la probabilità che lanciando 8 volte un dado il numero 4 si presenti<br />
(a) esattamente 4 volte;<br />
(b) almeno una volta;<br />
(c) almeno 3 volte;<br />
(d) al massimo 2 volte.<br />
3. Ad uno studente <strong>viene</strong> sottoposto un test con 10 domande per ciascuna delle quali deve<br />
scegliere una risposta fra le tre indicate (una sola di esse è esatta). Supera l’esame se<br />
risponde almeno ad 8 domande. Calcolare la probabilità che venga promosso supponendo<br />
che per ciascuna domanda lo studente scelga a caso.<br />
4. <strong>Una</strong> variabile con distribuzione binomiale X ∼ Bi(n, p) assume valori in {0, 1, . . . , 8}.<br />
Sapendo che il suo valore medio è 2 determinare n, p e quindi calcolare P(X = 5).<br />
5. Sia X ∼ Po(1). Calcolare<br />
(a) P(X = 0);<br />
(b) P(X > 0);<br />
(c) P(2 < X ≤ 4).<br />
6. Il numero medio di telefonate che arrivano ad un centralino di un albergo in un’ora è 5.<br />
Supponendo che il numero di telefonate si possa modellizzare con una variabile aleatoria<br />
di Poisson calcolare la probabilità che<br />
(a) durante un’ora non arrivino telefonate;<br />
(b) durante un’ora arrivino 2 telefonate;<br />
(c) durante mezz’ora arrivino al massimo 2 telefonate;<br />
(d) durante due ore arrivi al più una telefonata.<br />
7. Un dado <strong>viene</strong> lanciato sino a che non esce il numero 6. Calcolare la probabilità<br />
1
(a) che esca al primo lancio;<br />
(b) di dover fare esattamente 2 lanci;<br />
(c) di dover fare più di 2 lanci.<br />
In media quanti lanci occorreranno?<br />
8. Si lancia una coppia di dadi sino a che non esce come somma 7. Calcolare la probabilità<br />
(a) che esca al primo lancio;<br />
(b) di dover fare esattamente 2 lanci;<br />
(c) di dover fare più di 2 lanci.<br />
In media quanti lanci occorreranno?<br />
2
SOLUZIONI<br />
<strong>1.</strong> (a) Se con T indichiamo il tempo di primo successo corrispondente all’uscita della prima<br />
testa, si ha che T è una v.a. geometrica di parametro p = 1/2 (T ∼ Ge(1/2)). Quindi<br />
T prende valori 1, 2, 3, . . . con probabilità, P(T = n) = (1 − p) n−1 p. La probabilità<br />
richiesta è, allora<br />
<br />
P(T = 6) = 1 − 1<br />
5 1<br />
2 2 =<br />
<br />
1<br />
6 .<br />
2<br />
Se con X indichiamo il numero di successi (ovvero le teste uscite) su 6 lanci, si ha<br />
che X è una v.a. binomiale di parametri n = 6 e p = 1/2 (X ∼ Bi(6, 1/2)). Quindi<br />
X prende valori 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 con probabilità,<br />
P(X = k) =<br />
(b) La probabilità richiesta è, allora<br />
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 −<br />
(c) Qui la probabilità richiesta è<br />
P(X = 1) =<br />
(d) Qui la probabilità richiesta è<br />
<br />
6<br />
1<br />
1 2<br />
<br />
6<br />
1<br />
k 2<br />
k<br />
<br />
6<br />
1<br />
0 2<br />
1<br />
1 − 1<br />
2<br />
1 − 1<br />
6−k .<br />
2<br />
0<br />
6−1<br />
1 − 1<br />
2<br />
6−0<br />
<br />
1<br />
6 = 6 .<br />
2<br />
= 1 −<br />
<br />
1<br />
6 .<br />
2<br />
<br />
1<br />
6 <br />
1<br />
6 <br />
1<br />
6 P(X ≥ 2) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 − + 6 = 1 − 7 .<br />
2 2<br />
2<br />
(e) Qui la probabilità richiesta è<br />
P(X = 3) =<br />
<br />
6<br />
1<br />
3 2<br />
3<br />
1 − 1<br />
2<br />
6−3<br />
<br />
1<br />
6 = 20 .<br />
2<br />
2. Se con X indichiamo il numero di successi, ovvero i 4 usciti su 6 lanci, si ha che X è una<br />
v.a. binomiale di parametri n = 6 e p = 1/6 (X ∼ Bi(6, 1/6)). Quindi X prende valori<br />
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 con probabilità,<br />
P(X = k) =<br />
<br />
8<br />
1<br />
k 6<br />
k<br />
(a) La probabilità richiesta è, allora<br />
<br />
8<br />
1 4 P(X = 4) =<br />
1 −<br />
4 6<br />
1<br />
6<br />
(b) Qui la probabilità richiesta è<br />
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 −<br />
3<br />
1 − 1<br />
8−k .<br />
6<br />
8−4<br />
<br />
8<br />
1<br />
0 6<br />
<br />
1<br />
4 5<br />
4 = 70 .<br />
6 6<br />
0<br />
1 − 1<br />
6<br />
8−0<br />
= 1 −<br />
<br />
5<br />
8 .<br />
6
(c) Qui la probabilità richiesta è<br />
1 −<br />
P(X ≥ 3) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)] =<br />
<br />
8<br />
1 0 1 −<br />
0 6<br />
1<br />
<br />
8−0 8<br />
1 1 +<br />
1 −<br />
6 1 6<br />
1<br />
<br />
8−1 8<br />
1 2 +<br />
1 −<br />
6 2 6<br />
1<br />
6<br />
<br />
5<br />
8 <br />
1<br />
<br />
5<br />
7 <br />
1<br />
2 5<br />
6 1 − + 8 + 28<br />
.<br />
6 6 6 6 6<br />
8−2<br />
(d) Qui la probabilità richiesta è<br />
<br />
5<br />
8 <br />
1<br />
<br />
5<br />
7 <br />
1<br />
2 5<br />
6 P(X ≤ 2) = P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2) = +8 +28<br />
.<br />
6 6 6 6 6<br />
3. Sia X il numero di risposte esatte. Ogni volta ha probabilità 1/3 di rispondere esattamente<br />
e fa 10 tentativi, quindi X ∼ Bi(10, 1/3). Egli è promosso se X ≥ 8. Quindi la probabilità<br />
di essere promosso è<br />
<br />
10<br />
1<br />
8 3<br />
8<br />
Un po’ bassina!<br />
P(X ≥ 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) =<br />
1 − 1<br />
<br />
10−8 10<br />
1 9 +<br />
1 −<br />
3 9 3<br />
1<br />
<br />
10−9 10<br />
1 10 +<br />
1 −<br />
3 10 3<br />
1<br />
3<br />
10−10<br />
=<br />
= 0.003.<br />
4. Dai valori che X assume si deduce che n = 8. Dal momento che E[X] = np = 8p = 2,<br />
segue p = 1/4. Quindi<br />
<br />
8<br />
1 5 P(X = 5) =<br />
1 −<br />
5 4<br />
1<br />
8−5 <br />
1<br />
5 3<br />
3 = 56 .<br />
4<br />
4 4<br />
5. Se X ∼ Po(1), allora X assume valori 0, 1, 2, . . . con probabilità P(X = k) = e−1<br />
k! .<br />
(a) P(X = 0) = e−1<br />
0! = e−1 .<br />
(b) P(X > 0) = 1 − P(X = 0) = 1 − e−1<br />
0! = e−1 .<br />
(c) P(2 < X ≤ 4) = P(X = 3) + P(X = 4) = e−1<br />
3!<br />
+ e−1<br />
4!<br />
= 5<br />
24 e−1 .<br />
6. Sia X il numero di telefonate che arrivano al centralino in un’ora. X ∼ Po(5). Quindi X<br />
prende i valori {0, 1, 2, . . .} con probabilità P(X = k) = 5k<br />
k! e−5 .<br />
(a) La probabilità che in un’ora non arrivino telefonate è P(X = 0) = 50<br />
0! e−5 = e −5 .<br />
(b) La probabilità che in un’ora arrivino due telefonate è P(X = 2) = 52<br />
2! e−5 = 25<br />
2 e−5 .<br />
Sia ora Y il numero di telefonate che arrivano al centralino in mezz’ora. Y ∼ Po(2.5).<br />
Quindi Y prende i valori {0, 1, 2, . . .} con probabilità P(Y = k) = 2.5k<br />
k! e−2.5 .<br />
(c) La probabilità che mezz’ora al massimo arrivino due telefonate è<br />
P(Y ≤ 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2) = 2.50<br />
0! e−2.5 + 2.51<br />
1! e−2.5 + 2.52<br />
2! e−2.5 .<br />
Sia ora Z il numero di telefonate che arrivano al centralino in due ore . Z ∼ Po(10).<br />
Quindi Z prende i valori {0, 1, 2, . . .} con probabilità P(Z = k) = 10k<br />
k! e−10 .<br />
4
(d) La probabilità che in due ore arrivi al più una telefonata è<br />
P(Z ≤ 1) = P(Z = 0) + P(Z = 1) = 100<br />
0! e−10 + 101<br />
1! e−10 .<br />
7. Se con T indichiamo il tempo di primo successo corrispondente all’uscita del primo 6, si<br />
ha che T è una v.a. geometrica di parametro p = 1/6 (T ∼ Ge(1/6)). Quindi T prende<br />
valori 1, 2, 3, . . . con probabilità, P(T = n) = (1 − p) n−1 n−1 5 1<br />
p = 6 6 .<br />
(a) La probabilità richiesta è, P(T = 1) = 1<br />
6 .<br />
(b) La probabilità richiesta è, P(T = 2) =<br />
5<br />
6<br />
2−1 1 5<br />
6 = 36 .<br />
(c) La probabilità richiesta è, P(T > 2) = 1 − [P(T = 1) + P(T = 2)] = 1 −<br />
<br />
1 5<br />
6 + 36 = 25<br />
36 .<br />
Ricordando che la media di una geometrica è l’inverso del parametro, si ha E[T ] = 6. In<br />
media occorrerà attendere 6 lanci prima di vedere il primo 6.<br />
8. Se con T indichiamo il tempo di primo successo corrispondente alla prima volta che esce<br />
7 come somma, si ha che T è, come nell’esercizio precedente una una v.a. geometrica<br />
di parametro p = 1/6 (T ∼ Ge(1/6)). Quindi le soluzioni sono identiche a a quelle<br />
dell’esercizio precedente.<br />
5