I GRUPPI DI SIMMETRIA DEL PIANO

I GRUPPI DI SIMMETRIA
DEL PIANO
Isabella Negrini
27/07/2008

Esistono 17 modi diversi per costruire un disegno con figure che si ripetono nel
piano.
I 17 gruppi sono: p1, p2, pm, pg, cm, pmm, pmg, pgg, cmm, p4, p4m, p4g, p3, p31m,
p6, p6m.
Il gruppo di simmetria p1:
p1
è il più semplice, per formarlo bastano infatti due traslazioni.
Non ci sono riflessioni, glissosimmetrie o rotazioni.
Il gruppo di simmetria p2:
p2
si differenzia dal p1 perché, oltre alle traslazioni, ha quattro centri di rotazione; le
rotazioni sono di 180°; non ci sono glissosimmetrie o riflessioni.
In questo disegno c'è un centro di rotazione in mezzo alla "macchia" azzurra più
grande, c'è un centro nel piccolo spazio bianco dove si incontrano i due triangoli
verdi, un altro centro è fra I due triangoli neri, nello spazio chiaro; infine c’è un
centro di simmetria nella regione verde che separa due “macchie” azzurre.
Ruotando il disegno di 180° intorno a questi centri l’immagine resta invariata.
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Il gruppo di simetria pm:
pm
a differenza del p1 e del p2 il pm ha assi di simmetria, ma non contiene rotazioni o
glissosimmetrie. Nel disegno si vede bene che gli assi di simmetria sono paralleli al
vettore di una delle traslazioni, mentre sono perpendicolari all’altro.
Il gruppo di simmetria pg:
pg
contiene invece glissosimmetrie, composte da una simmetria assiale e una
traslazione.
Gli assi di simmetria delle riflessioni che formano la glissosimmetria sono paralleli a
uno dei due vettori delle traslazioni e perpendicolari all’altro. Uno di questi assi si
trova nella regione azzurra, fra due blu; l’altro asse si trova nella regione blu fra due
azzuurre.
Per capire la glissosimmetria considerando, per esempio, l’asse nella regione azzurra
e una delle “saette” bianche, bisogna immaginare che la saetta venga riflessa lungo
l’asse e poi traslata; nel disegno si vedono la saetta “di partenza” e quella traslata, ma
non quella riflessa.
Non ci sono peraltro altre riflessioni o rotazioni.
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Il gruppo di simmetria cm:
cm
oltre alle traslazioni contiene riflessioni e glissosimmetrie, ma non rotazioni.
Gli assi delle simmetrie assiali si trovano lungo la “linea” delle macchie scure, e sono
paralleli agli assi di altre simmetrie assiali, quelle che compongono le
glissosimmetrie.
Questi ultimi assi si trovano sulle linee completamente chiare, senza macchie scure,
in mezzo agli assi delle altre riflessioni.
Considerando uno degli assi dalle riflessioni che compongono le glissosimmetrie, e
uno dei triangolini bianchi, possiamo immaginare il triangolino bianco riflesso e poi
traslato; nel disegno si vedono il triangolo “di partenza” e quello traslato, ma non
quello riflesso.
Gli assi di simmetria che si trovano sulla linea scura dividono a metà gli angoli
formati dai vettori delle traslazioni.
Il gruppo di simmetria pmm:
pmm
è formato da simmetrie assiali con assi perpendicolari, quindi contiene anche
rotazioni di 180° intorno ai punti di intersezione degli assi. Gli assi di simmetria si
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intersecano al centro della zona bianca a forma di farfalla, nel punto dove quattro di
queste si incontrano e al centro della zona rosa, fra le due “macchie” nere.
Le simmetrie assiali formano anche delle glissosimmetrie.
Il gruppo di simmetria pmg:
pmg
contiene simmetrie assiali, glissosimmetrie e rotazioni di 180°.
I centri di rotazione non si trovano sugli assi delle simmetrie assiali, che sono
parallaeli, si trovano invece su altri assi: quelli delle simmetrie assiali che
compongono le glissosimmetrie.
Ci sono dei centri nella zona in mezzo ai triangolini gialli e nella zona scura fra le
macchie grigie più piccole.
Ruotando l’immagine attorno a questi centri il disegno rimane uguale.
Il gruppo di simmetria pgg:
pgg
non ha riflessioni, ma solo glissosimmetrie e rotazioni di 180°.
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Gli assi delle simmetrie che compongono le glissosimmetrie sono perpendicolari e i
centri di rotazione non si trovano su di essi..
Alcuni centri si trovano nel "punto di incontro" fra due figure blu a forma di anatra,
gli altri centri si trovano nella zona rossa a metà strada fra due delle linee scure.
Il gruppo di simmetria cmm:
cmm
ha simmetrie assiali con assi perpendicolari e glissosimmetrie con gli assi delle
riflessioni che le compongono perpendicolari.
Ci sono anche rotazioni di 180° i cui centri si trovano nei punti dove si intersecano
due assi delle riflessioni e nei punti dove si intersecano due assi delle riflessioni che
compongono le glissosimmetrie.
Alcuni centri si possono vedere nel mezzo delle figure nere a forma di farfalla, altri in
mezzo alle macchie verdi e altri ancora nel mezzo delle linee azzurre e spesse che
uniscono fra loro due delle macchie a forma di farfalla.
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Il gruppo di simmetria p4:
p4
contiene rotazioni di 180° (simmetrie centrali), e rotazioni di 90°; non ci sono
simmetrie assiali o glissosimmetrie.
I centri di simmetria si trovano nella zona rossa a metà strada fra i centri delle
rotazioni di 90°; questi ultimi centri invece sono nel mezzo delle macchie viola e nel
mezzo di quelle rosse a forma di fiore.
Il gruppo di simmetria p4m:
p4m
si differenzia dal p4 perché ha delle simmetrie assiali; gli assi di simmetria sono
inclinati fra di loro di 45°, così per i centri delle rotazioni di 90° passano quattro assi.
I centri delle rotazioni di 90° si trovano al centro delle macchie simili a fiori neri e al
centro di quelle simili a fiori verdi e rossi.
Ci sono anche simmetrie centrali i cui centri sono nel mezzo delle macchie azzurre a
forma di stelle a quattro punte.
Gli assi delle simmetrie assiali che compongono le glissosimmetrie "passano" fra gli
assi paralleli delle altre simmetrie assiali.
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Il gruppo di simmetria p4g:
p4g
come il p4m, mantiene delle simmetrie centrali e rotazioni di 90°; ma a differenza del
p4m gli assi di simmetria sono perpendicolari e non inclinati a 45° e nessuno dei
centri delle rotazioni di 90° si trova sugli assi di queste simmetrie.
I centri delle rotazioni di 90° si trovano all'intersezione degli assi di altre simmetrie,
quelle che compongono le glissosimmetrie.
All'intersezione degli altri assi si trovano invece i centri di simmetria.
Nel disegno i centri di simmetria si trovano nel mezzo di ogni macchia rosa a forma
di clessidra; invece i centri delle rotazioni di 90° sono nel mezzo delle macchie lilla a
forma di croce.
Il gruppo di simmetria p3:
p3
ha rotazioni di 120°; ma non contiene glissosimmetrie o simmetrie assiali. Nel
disegno si vede bene che alcuni centri sono nel mezzo dei triangoli lilla, altri nel
mezzo di quelli verdi e altri ancora nella piccola zona rossa a forma di pallino che si
trova fra i vertici di tre triangoli lilla.
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Il gruppo di simmetria p31m:
p31m
presenta rotazioni di 120°, simmetrie assiali i cui assi sono inclinati di 60° e
glissosimmetrie.
Non tutti i centri di rotazione si trovano sugli assi di simmetria; tutti i centri che nel
disegno sono nel mezzo delle macchie blu si trovano sugli assi, invece quelli che
stanno nel mezzo delle zone rosse no.
Gli assi delle simmetrie che compongono le glissosimmetrie si trovano in mezzo a
ogni coppia di assi (quelli delle altre simmetrie) paralleli.
Nessun centro di rotazione è sugli assi delle simmetrie che compongono le
glissosimmetrie.
Il gruppo di simmetria p3m1:
p3m1
come il p31m presenta rotazioni di 120°, glissosimmetrie e simmetrie assiali con assi
inclinati a 60°; ma tutti i centri di rotazione si trovano sugli assi di queste simmetrie.
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Invece, come nel p31m, sugli assi delle simmetrie che compongono le
glissosimmetrie non c'è nessun centro.
In questo disegno si possono vedere centri nel mezzo dei triangoli neri, nel mezzo di
quelli bianchi e di quelli blu.
Il gruppo di simmetria p6:
p6
ha rotazioni di 180°, di 120° e di 60°; ma non presenta simmetrie assiali o
glissosimmetrie.
I centri delle rotazioni di 60° sono nel mezzo delle figure rosse e verdi simili a fiori; i
centri delle rotazioni di 120° invece sono nel centro delle zone nere che separano tre
dei fiori verdi e rossi. Infine i centri delle rotazioni di 180° sono nella metà di
ciascuna delle "barre" nere che separano due fiori.
Il gruppo di simmetria p6m:
p6m
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mostra rotazioni di 60°, di 120° e di 180°, cioè simmetrie centrali. Ci sono anche
simmetrie assiali e glissosimmetrie.
I centri delle rotazioni di 60° si trovano all'intersezione di 6 assi inclinati a 30°; i
centri delle rotazioni di 120° si trovano all'intersezione di tre assi e i centri di
simmetria all'intersezione di due assi.
Nel disegno i centri delle rotazioni di 60° sono nel mezzo della zona bianca fra le
punte di sei triangoli; i centri delle rotazioni di 120° sono nel mezzo di ogni triangolo
e i centri di simmetria si trovano a metà della zona gialla che separa due triangoli.
Gli assi delle simmetrie che compongono le glissosimmetrie, sui quali si trovano i
centri di simmetria, sono in mezzo a ogni coppia di assi (quelli delle altre simmetrie)
paralleli.
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Esempi di p4, p6, p4g, p4m, p1, p3, p6m (mosaici dell'Alhambra).
p4 p4
p4 p6
p4g p4g
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p4m p4m
p4m p4m
p4m p1
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p3
p6m p6m
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Esempi di p1
Esempi di p4g
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Esempi di p6
Esempi di p4
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Esempi di p3
Esempi di p6
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Esempi di p4m
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La mostra sulle simmetrie in via Saldini 50 che ho visitato il 10 gennaio con la
scuola.
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Notre Dame de la Garde (Marsiglia)
Decori delle volte degli ordini di archi di
intramezzo tra la navata centrale e quelle
laterali.
Basilica in stile romanico-bizantino
arroccata su di uno sperone calcareo (a
m162) a sud del Vieux Port di Marsiglia.
Navata centrale della basilica
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Esempio di gruppo di simmetria cmm relativo alla decorazione della volta d’arco tra
navata centrale e laterale:
Esempio di gruppo di simmetria p4 relativo alla decorazione del pavimento della
navata laterale:
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Disneyland Paris
Ingresso principale e corridoio biglietterie
Esempio di gruppo di simmetria p2 relativo al pavimento di ingresso:
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Esempio di gruppo di simmetria p4m relativo al pavimento del corridoio biglietterie:
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