Relativita

I.S.I.S.S. “A. Scarpa” – Motta di Livenza (TV) 

Liceo Scientifico 

Classe V A 

Anno Scolastico 2007/2008 

Appunti di Relatività Ristretta 

Escher ‐ Relatività 

Tutto è relativo! 

L’astuzia matematica di Lorentz 

Il pensiero innovativo di Einstein 

Le 4 dimensioni spazio‐temporali di Minkowsky 

A cura del Prof. Giulio Stringelli

Appunti di Relatività ristretta Classe V A – Liceo Scientifico “A. Scarpa” 

Un giornalista : “ Prof. Einstein, ci spieghi in parole 

povere cosa si intende per tempo relativo”. 

Einstein: “Pensi di stare in compagnia di una bella 

donna, il tempo sembra fuggire via; viceversa pensi 

si stare con i piedi sui carboni ardenti, un secondo 

sarà un’eternità.” 

“Il tempo si fonde, ma non si confonde con le 

variabili spaziali…” 

V. Fock 

Anno scolastico 2007/2008 Pag. 1 Prof. Giulio Stringelli


Appunti ‐ Relatività Ristretta 

Questi appunti non esauriscono l’argomento relatività, ma sono un supporto alla normale attività di 

docenza. Quindi è necessario integrare il tutto con appunti personali durante la lezione e la lettura del 

testo. 

Introduzione 

La teoria della relatività, elaborata da Albert Einstein all’inizio del XX secolo, è alla base dell’intera fisica 

moderna. Solo mediante la teoria della relatività si può dare una sistemazione completa 

all’elettromagnetismo e alla teoria della gravitazione; ed è solo grazie ad essa che la fisica nucleare e la 

fisica delle particelle elementari hanno potuto svilupparsi e avere le applicazioni ingegneristiche attuali. La 

teoria della relatività si può suddividere, anche storicamente, in due “fasi” successive: la relatività speciale e 

la relatività generale. Il problema di fondo, per risolvere il quale Einstein elaborò la propria teoria, è in 

ambedue i casi quello di dare una forma invariante, indipendente cioè dal sistema di riferimento, alle leggi 

fisiche. Per molto tempo si rimase convinti che l’unica risoluzione del problema fosse costituita dal 

“Principio di relatività di Galileo”. Secondo questo principio tutti i sistemi di riferimento “inerziali” sono 

equivalenti per la descrizione dei fenomeni meccanici. Ricordiamo che un sistema di riferimento è detto 

“inerziale” se in esso sono soddisfatte le tre leggi di Newton della meccanica. Comunemente si dice che il 

sistema delle stelle fisse (cioè un sistema avente come origine il centro del Sole e l’orientazione degli assi 

invariante rispetto alla posizione delle stelle fisse) è inerziale. Un sistema di riferimento solidale con la Terra 

non è inerziale in quanto la Terra è in moto rotatorio su se stessa. Gli effetti dovuti a questo moto sono 

però così piccoli che, in prima approssimazione, si possono trascurare e considerare la Terra un sistema di 

riferimento inerziale. Il principio di relatività venne dedotto da Galileo dallo studio dei fenomeni meccanici 

noti al suo tempo (basta ricordare il famoso esperimento della caduta dei gravi dalla torre di Pisa). Esso 

viene messo in discussione alla fine del XIX secolo in seguito alla scoperta dei fenomeni elettromagnetici. In 

modo particolare la formulazione maxwelliana dell’elettromagnetismo e la scoperta della natura 

elettromagnetica della luce portavano a contraddizioni molto profonde con il principio di relatività 

galileiano. Alcuni tra i più famosi fisici dell’epoca, in particolare il francese Jules‐Henry Poincarè e l’olandese 

Hendrik A. Lorentz tentarono di risolvere queste contraddizioni ma con scarsi risultati. Bisogna attendere il 

1905, anno in cui viene pubblicato da Albert Einstein (1879 – 1955) sulla rivista “Annalen der physik” il 

famoso articolo intitolato Electrodynamic bewegter korpen (Sull’elettrodinamica dei corpi in moto) perché 

si riescano a superare le contraddizioni tra principio di relatività e teoria elettromagnetica. È in questo 

articolo che Einstein espone i concetti della sua teoria. La teoria della relatività di Einstein si basa su due 

postulati: 

• Le leggi della fisica devono essere le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali. 

• La velocità della luce è una costante, cioè è la stessa in tutti i sistemi di riferimento. 

Egli inoltre analizza a fondo i concetti di spazio e di tempo e dimostra, sulla base di due postulati, che né lo 

spazio né il tempo hanno carattere assoluto; ogni osservatore ha un suo proprio tempo e un suo proprio 

sistema di coordinate. Einstein dimostra inoltre, partendo dall’esistenza di un tempo proprio per ogni 

osservatore, che le trasformazioni di Galileo sono errate. Esse vanno sostituite con leggi di trasformazione 

più generali, note come “leggi di trasformazione di Lorentz”. Utilizzando queste leggi di trasformazione 

Einstein dimostra che le equazioni di Maxwell del campo elettromagnetico sono invarianti; non esiste 

quindi alcuna contraddizione tra principio di relatività ed elettromagnetismo. La teoria della relatività 

einsteiniana non si limita a spiegare i fatti sperimentali: partendo da essa si derivano una nuova cinematica 



e una nuova dinamica, chiamate “relativistiche”, che sostituiscono la meccanica newtoniana. La dinamica 

relativistica è alla base di tutta la moderna ingegneria nucleare. Con la teoria della relatività Einstein 

stabilisce la completa equivalenza, per quanto riguarda la descrizione dei fenomeni fisici, di tutti i sistemi di 

riferimento inerziali; così facendo egli estende il principio di Galileo, valido per i soli fenomeni meccanici, a 

tutta la fisica. La teoria rimane però limitata ai soli sistemi di riferimento inerziali, da cui il nome di 

“relatività ristretta”. Il desiderio di generalità vorrebbe un principio di relatività valido anche per tutti i 

sistemi di riferimento, anche non inerziali. È ancora Einstein a risolvere il problema formulando la “teoria 

della relatività generale” nell’opera “Die Grundlage der aligemeinen Relativitätstheorie“ (I fondamenti della 

relatività generale), presentata nel 1916. egli dimostra l’equivalenza tra un sistema di riferimento inerziale 

e uno non inerziale in cui è presente un campo gravitazionale; si può cioè passare da un sistema di 

riferimento inerziale a uno non inerziale introducendo un opportuno campo gravitazionale. Su queste basi 

Einstein sviluppa una nuova teoria della gravitazione, che si sostituisce a quella newtoniana e che è alla 

base di tutta la moderna cosmologia. 

Relatività Galileana 

Si considerino due sistemi di riferimento 

inerziali, Σ0 (x,y,z) e Σ’0’ (x’,y’,z’), tali che Σ’ 

si muova di moto rettilineo e uniforme 

rispetto Σ con VELOCITA’ RELATIVA �� , ed in 

modo che l’asse x’ si muova rispetto ad x 

nella stessa direzione con velocità ��, ed y’e 

z’ parallelamente a rispettivamente a y, z 

con la stessa velocità. Inoltre si consideri 

che al tempo t0=0, ��, e quindi dopo 

un tempo t ,il Sistema Σ’ si trovi ad una 

distanza ��· �. 

Nelle ipotesi appena fatte si sono dati per 

impliciti due concetti cardine della 

posizione galileana di relatività, dopo 

ereditati dalla meccanica Newtoniana, tali 

concetti sono: 

Principio di Spazio Assoluto ( ed infinito) : Lo Spazio misurato da un Osservatore solidale con Σ0, è sempre 

lo stesso sia per Σ che per Σ’. Lo spazio è da considerarsi INFINITO. 

Principio di Tempo Assoluto: Due Cronometri fissati in O e in O’, azionati all’istante t0=0, segnano sempre 

lo stesso tempo; quindi implicitamente si intende che il tempo t per Σ è sempre uguale al tempo t’ per Σ’ 

(t=t’) 

Se si considera un punto P solidale con Σ’ , le sue Coordinate, in un determinato istante t, nel sistema Σ’ 

saranno P(x’,y’,z’,t’), allo stesso momento le sue coordinate in Σ saranno P(x,y,z,t). SI FACCIA ATTENZIONE 

CHE OLTRE LE CANONICHE COORDINATE SPAZIALI SI E’ INTRODOTTA UNA QUARTA COORDINATA (o 

dimensione), IL TEMPO. In tale tipo di concezione può anche omettersi, per quanto detto sopra, ma ci 



servirà come riferimento. Per trasformare le coordinate di Σ’ in quelle di Σ e viceversa si avra bisogno di 

queste due semplici TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE, Traslazioni in questo caso particolare: 

Σ � � Σ � � 

�� 

�� 

�� 

�� 

� 

, mentre viceversa Σ � Σ � � � 

� �� 

�� 

�� 

�� 

Da questa impostazioni discende il celeberrimo Teorema dalla somma delle velocità. 

Se il punto P si muoverà con velocità �� di componenti �� ,��,�� rispetto gli assi omologhi, e ricordando 

che nel caso che il punto P(x’,y’,z’) in Σ’, e P(x,y,z) in Σ, si muova le sue coordinate sono delle funzione in t e 

quindi si dovrebbero esprimere in questo modo P’(x’(t),y’(t),z’(t)), e quindi P(x(t),y(t),z(t)) 

�� 

� 

�� 

�� : � 

� � �� 

� � �� 

� � �� 

Esempio: Un uomo corre con velocità v’x all’interno di un vagone ferroviario, e il vagone si muove con 

velocità V, un osservatore sulla terra ferma a quale velocità vedrà correre l’uomo sul vagone? 

L’osservatore vedrà l’uomo correre alla velocità vx = v’x+V 

Principio di Relatività Galileana : Tutte le leggi Meccanica ( e quindi si estende a tutte le leggi della fisica) 

sono le stesse in tutti i possibili sistemi di riferimento inerziali. O meglio, tutte le leggi della fisica sono 

invarianti rispetto le trasformazioni galileane. 

La teoria dell’elettromagnetismo non è invariante rispetto le 

trasformazioni galileane. La CRISI della Fisica. 

Come nell’esempio precedente si consideri un uomo su di un vagone ferroviario che si muove con velocità 

V, e l’uomo accende un torcia elettrica. L’uomo sul treno vedrà la luce propagarsi con velocità � � 3,00 · 

10��/�, velocità costante determinata da MAXWELL, carta e penna, partendo dalle quattro celeberrime 

equazioni (Si ricordi che �� 

�. 

�� 



L’osservatore a terra, secondo il teorema della somma velocità vedrà la luce propagarsi alla velocità 

� � ��. Ma ciò è un paradosso, in quanto la velocità della luce non è più costante! 

E’ crisi della fisica! La velocità della luce calcolata da Maxwell, dovrebbe aver bisogno di sistemi “privilegiati 

di riferimento”. Insomma una legge delle fisica non è invariante rispetto le trasformazioni galileleane. Ciò 

va contro un principio di tutta la fisica, e quindi SCRICCHIOLA TUTTA LA FISICA. Ricordiamo che se le ipotesi 

di qualsiasi teoria vengono contraddette nell’ambito della stessa teoria, la teoria stessa viene a cadere per 

contraddizione e bisogna trovare nuove ipotesi che possano essere prive di contraddizioni. 

La velocità della luce e l’etere 

La contraddizione appena esposta, fu al centro di molte interpretazioni e nuove ipotesi. La comunità 

scientifica reagì, in modo conservatore e ipotizzo che la luce, radiazione elettromagnetica, non si potesse 

propagare nel vuoto. Infatti si suppose l’esistenza in una “fantasmagorica” sostanza che avvolgeva tutti e 

tutto chiamata “etere”. Così facendo si sarebbe distrutta la teoria Maxwell. 

Tale ipotesi creava un parallellismo tra le onde meccaniche, tra cui il suono, che ha bisogno di mezzo per 

propagarsi e la luce che avrebbe bisogno dell’etere per propagarsi. Invece la luce è capace di propagarsi nel 

vuoto, o meglio nello SPAZIO VUOTO! 

L’esperimento di Michelson‐Morley 

Torniamo all’etere, l’etere era inteso come mezzo 

immobile in cui tutto si muove. Quindi anche il moto di 

rivoluzione della terra attorno al sole si svolge 

nell’etere. Ma se indichiamo �� la velocità della terra, 

un osservatore sulla terra “POTREBBE PERCEPIRE UN 

VENTO D’ETERE” con velocità v e quindi potrebbe 

vedere propagarsi la luce con velocità compresa 

nell’intervallo �� ; � � ��. Serviranno a questo 

punto delle prove sperimentali! 

Per verificare l’esistenza dell’etere e quindi la sua incidenza sulla velocità della luce, si ricorse ad un 

esperimento particolare che avrebbe permesso di rilevare anche le più piccole variazioni della velocità della 

luce dovute al vento d’etere. L’esperimento fu eseguito con un particolare tipo di interferometro così fatto 



La posizione iniziale è stata quella del fascio di luce dell’emettitore è parallelo alla superficie terrestre e il 

rilevatore perpendicolare alla superficie terrestre stessa. 

Il fascio di luce emessa dalla fonte colpisce lo specchio semi‐riflettente e lo scinde in due fasci di luce che 

vanno a colpire i due specchi percorrendo le distanze d1 nel tempo t1 e d2 nel tempo t2. La differente 

distanza e l’influenza del vento d’etere fanno si che ∆� � �2‐t1 provochi un particolare spettro 

d’interferenza costituito da una particolare successione di frange d’interferenza. 

In seguito si ripete l’esperimento ruotando di 90° l’interferometro, così che la distanza d1 sia percorsa dalla 

luce, per il diverso effetto del vento d’etere, in un tempo t’1 e la distanza d2 in tempo t’2. Così facendo si 

avrà ∆�� 2‐t’1 , con ∆�≠∆��. Questo dovrebbe produrre un diverso spettro di interferenza. 

Ma le ripetute prove effettuate, con strumentazioni sempre più sofisticate, e cambiando persino l’angolo di 

inclinazione rispetto la superficie terrestre con ampiezze comprese tra 0° e 90°, non hanno prodotto alcun 

cambiamento delle frange d’interferenza. Da ciò si dedusse che la luce si propagava in tutte le direzioni 

alla stessa velocità, non subendo l’azione del vento d’etere! 

Chi aveva ragione a questo punto …. Galileo e Newton oppure Maxwell? EINSTEIN ideò questo 

paradosso, a tal proposito, intuendo che c fosse costante e che Maxwell avesse ragione : 

“Un uomo viaggia alla velocità della luce c su di una navicella spaziale e parallelamente ad esso viaggia 

un raggio luminoso. L’uomo dovrebbe rilevare un campo elettromagnetico statico, quindi la luce non 

potrebbe esistere.” 

Le Trasformazioni di Lorentz – Un virtuosismo matematico per spiegare 

la propagazione della luce. 

Lorentz tentò di coniugare il tutto con un virtuosismo matematico, per spiegare l’ISOSTROPIA della 

propagazione della luce. Partendo dalle TRASFORMAZIONI DI GALILEO, già esposte precedentemente, le 

modificò introducendo tre parametri γ, a, b. Dopo innumerevoli tentativi riuscì a posizionarli nel modo 

giusto e riuscì ad ottenere un gran bel risultato che giustificava il fenomeno, ma fu Einstein a giustificarlo 

con un significato fisico adeguato. 


Appunti di Reelatività 

ristreetta 

L’impostazione 

teorica ddelle 

nuove trasformaziooni 

è la segue ente: 

Per determinare 

γ , a e b consideriaamo 

un fenoomeno 

fisico particolarmente 

semplicce: 

supponia amo di averee 

una sorgentte 

puntiformme 

fissa in O, , la quale all’istante 

t=0 , in cui O’ paassa 

per O eemette 

un br reve segnalee 

elettromagnnetico, 

che ssi 

propaga in tutto lo spazio 

circostan nte formandoo 

un’onda sfferica 

il cui ra aggio 

cresce con iil 

passare deel 

tempo . 

Sostituendoo 

le trasformmazioni 

di soppra 

: 

Cioè: 

Che deve esssere 

identicca 

alla (*), peer 

cui per il pprincipio 

di id dentità dei poolinomi 

si haa: 

Risolvendo le tre equazioni 

a tre inccognite 

di soppra 

avremo: 

Anno scolasticco 

2007/2008 

γ 

2 

γ 

2 

x 

( 2 

2 2 2 

( γ − b c 

γ 

2 2 2 

− b c 

1 2 

2 = c 

b 

2 

r 

2 2 

2 2 

) − 2xt( 

γ v + c ab) 

+ y + z = (a 

( 1) 

2 γ − , a 

= 

IIn 

S la equa azione della superficie ddell’onda 

al tempo t t dell 

segnale 

emes sso al tempoo 

t=0 sarà: 

ccome 

volevamo 

una supperficie 

sfericca. 

Poiché le e leggi dellaa 

fisica 

devono o avere la stessa formma 

in tutti i sistemi dii 

riferimento 

inerziali, i e lla 

velocità ddella 

luce de eve avere ill 

mmedesimo 

va alore in tali ssistemi 

,in S’ ’ avremo: 

2 

2 2 2 

x + y + 

z 

2 2 

= 1; 

γ v + c ab = 0; 

2 

2 v = 1+ 

γ , con γ = 

2 

c 

Pag. 7 

2 

x + 

′ 

2 

x + 

CClasse 

V A – Liiceo 

Scientific co “A. Scarpa” ” 

2 2 2 

y + z = (ctt 

) (*) 

2 2 

y ′ + z′ 

= ( c t′ 

) 

2 2 2 2 2 2 2 

2 

x − 2vxtt 

+ v t ) + y + z + = c ( a t + 2 2abxt 

+ b x 

2 

2 2 v 

a − γ 

c 

2 

2 

2 v 

− γ )cc 

2 

c 

1 

2 

2 

v 

1− 

c 

= 1 

2 

2 

) 

2 2 

t 

2 

Prof. Giulio G Stringellii


Quindi 

v 

b = −γ 

e a = γ 

2 

c 

Abbiamo quindi determinati le celebri trasformazioni di Lorentz: 

� 

� 

� � 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� �� 

�� 

�� 

�� γ �� 

� 

� �� 

�� 

�� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� � �� 

�1 � �� 

�� 

�� 

�� 

� 

� 

�� 

�1 � �� 

�� Le trasformazioni di Lorentz soddisfano il principio di reciprocità infatti se risolviamo il sistema di equazioni 

rispetto a x, y,z,t avremo: 

� 

� 

�� 

�� 

� �� 

� � � 

� 

��γ 

�� 

� 

� 

� 

� 

� 

� �� 

�� 

�� 

� �� 

� 

� 

�1 � 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

�� 

�� 

� � � 

�� 

�� 

� 

�� 

�1 � �� 

�� Che differiscono dalle precedenti solo per il segno di v ; il fattore γ non è cambiato in quanto dipende da 

( c 

2 

v / ) . 

Notiamo che quando v → c allora γ → ∞ , mentre per v


Mentre quello in Σ: 

v x 

′ 

= 

dx′ 

dt′ 

; 

dx 

vx = ; 

dt 

v y 

′ 

= 

Anno scolastico 2007/2008 Pag. 9 Prof. Giulio Stringelli 

dy′ 

dt′ 

dy 

v y = ; 

dt 

; 

v z 

′ dz′ 

= 

dt′ 

dz 

vz = 

dt 

Differenziando ambo i membri delle trasformazioni: 

dx′ = γ ( dx − vdt) 

; d y′ 

= dy ; d z′ 

= dz ; ( ) 2 dx 

v 

dt′ = γ dt − ; 

c 

dividendo le prime tre equazioni per la quarta e , successivamente, dividendo le espressioni a destra per dt 

si ottiene: 

⎧ 

⎪ ′ dx − vdt vx 

− v 

⎪vx 

= = 

v v 

⎪ dt − dx 1− 

v 

2 

2 x 

⎪ c c 

⎪ 

′ 1 dy 1 v y 

⎨v 

y = 

= 

⎪ γ v γ v 

dt − dx 1− 

v 

2 

2 

⎪ 

c 

c 

⎪ 

⎪ 

′ 1 dz 1 vz 

vz 

= 

= 

⎪ γ v γ v 

dt − dx 1− 

v 

⎪ 

2 

2 

⎩ c 

c 

Le regole per la composizione delle velocità si riducono alle trasformazioni di Galileo per v/c


Il principio di relatività di Einstein. 

Abbiamo visto come i risultati sperimentali relativi alla propagazione della 

luce appaiano tra loro in contraddizione quando si cerchi d’interpretarli 

utilizzando l’ipotesi dell’etere come sede dei fenomeni elettromagnetici e le 

leggi di trasformazione galileiana per il passaggio da un sistema di 

riferimento a un altro in moto rettilineo e uniforme rispetto al primo. La 

spiegazione e il superamento di queste contraddizioni fu opera di Albert 

Einstein il quale pubblicò nel 1905 il celebre scritto “Sull’elettrodinamica dei 

corpi in moto”, nel quale veniva enunciata la teoria della relatività 

einsteiniana. Einstein innanzitutto estese il principio di relatività di Galileo, 

valido per i fenomeni meccanici, a tutti i fenomeni fisici, basandosi sul fatto 

che, sperimentalmente, i fenomeni elettromagnetici sembravano 

indipendenti dal moto rettilineo e uniforme della sorgente. Egli enunciò 

quindi il principio di relatività (ristretta): le leggi della fisica rimangono 

identiche in tutti i sistemi di riferimento in moto rettilineo ed uniforme uno 

rispetto all’altro. 

Una conseguenza immediata di questo principio è l’abolizione dell’etere. Infatti, se anche l’etere esistesse, 

non sarebbe in alcun modo distinguibile dagli altri sistemi di riferimento: questo, fisicamente, equivale a 

negarne l’esistenza. A questo principio Einstein aggiunse anche il seguente postulato, relativo alla 

propagazione della luce: la velocità di propagazione della luce è sempre la stessa, indipendentemente dal 

moto del sistema di riferimento in cui viene misurata. Questo risultato è pienamente confermato dal 

risultato dell’esperimento di Michelson e Morley, secondo cui la velocità della luce è indipendente dal moto 

della sorgente. 

In sintesi, Einstein poggiò le fondamenta della NUOVA teoria che mette d’accordo tutti e tutto; tali 

fondamenta sono i PRINCIPI DI RELATIVITA’ EINSTENIANA: 

Principio Zero: La velocità della luce nel vuoto deve avere lo stesso valore e in tutti i sistemi inerziali. 

Principio 1: Tutte le leggi della MECCANICA e dell’ELETTROMAGNETISMO devono essere invarianti in tutti 

i possibili sistemi inerziali. 

Principio 2: Se i fenomeni studiati si svolgono a velocità � ��, le nuove trasformazioni (Trasformazioni di 

Lorentz) devono ridursi alle trasformazioni di Galilelo. 

Il concetto di tempo nella fisica relativistica. La simultaneità. 

Il principio di relatività di Einstein impone che le leggi dell’elettromagnetismo abbiano la stessa forma per 

due osservatori O e O ’ in moto rettilineo uniforme uno rispetto all’altro. Sappiamo che questo non è vero 

per le equazioni di Maxwell, che non sono invariati per trasformazioni di Galileo. Per risolvere questa 

contraddizione bisogna abbandonare o le equazioni di Maxwell oppure le trasformazioni di Galileo. Ma le 

equazioni di Maxwell hanno avuto troppe conferme sperimentali per essere messe in dubbio. Sono le leggi 

di trasformazione di Galileo che, come mostrò per la prima volta Einstein, non sono corrette. Einstein riuscì 

inoltre a dimostrare che il punto debole delle equazioni di trasformazione di Galileo sta nell’assunzione di 

un tempo assoluto, indipendente dal sistema di riferimento. Come vedremo, questa ipotesi non ha alcuna 

giustificazione fisica, pur sembrando al senso comune logico e naturale. 



Il concetto di tempo è intuitivo e tutta la nostra esperienza quotidiana ci dice che il tempo scorre. Nasciamo 

giovani e diventiamo vecchi con il passare del tempo; il sole sorge la mattina e tramonta la sera, che è più 

tardi della mattina. Un altro concetto intuitivo, legato alla nostra esperienza quotidiana, è quello di 

simultaneità: in base a esso ci 

capita sovente di affermare 

che degli eventi sono avvenuti 

“contemporaneamente”. 

Molte volte però noi usiamo la 

parola “simultaneo” in modo errato. Consideriamo infatti un treno immaginario, enormemente lungo, 

tanto che dal vagone di testa non si possa vedere il vagone di coda. Quando il treno si ferma due viaggiatori 

scendono, uno (A) dal vagone di testa l’altro (B) da quello di coda. In che modo possiamo dire se sono scesi 

simultaneamente? La risposta più banale è: fornendo a ciascuno un orologio e facendoci poi riferire l’ora in 

cui sono scesi. Il metodo sembra ragionevole, ma non tiene conto del fatto che un orologio potrebbe 

ritardare rispetto all’altro. Il problema diviene allora quello di poter “sincronizzare” gli orologi. Alla stessa 

distanza da A e da B mettiamo una sorgente luminosa S. S emette un raggio luminoso che viaggia sia verso 

A sia verso B. Ora, per il secondo dei due postulati di Einstein, il raggio luminoso si propagherà con la stessa 

velocità c sia nella direzione di A sia in quella di B, e quindi giungerà nel medesimo istante in A e in B. 

Quando la luce arriva ad A e B, entrambi regolano i loro orologi in modo da indicare la stessa ora, ad 

esempio le 12. In questo modo e solo in questo modo è possibile sincronizzare gli orologi e quindi parlare di 

simultaneità di due eventi. Il punto fondamentale di questo esempio sta nell’utilizzo del postulato 

d’invarianza della velocità della luce: senza questa assunzione non si può trovare alcun metodo 

logicamente corretto per sincronizzare gli orologi e quindi stabilire la simultaneità di due eventi. La 

domanda che sorge spontanea a questo punto è la seguente: se due eventi A e B sono simultanei per un 

certo osservatore S , essi risultano simultanei anche per una altro osservatore S’ in moto rettilineo uniforme 

rispetto ad S ? 

Consideriamo allora la seguente situazione: abbiamo cioè un treno in moto, con velocità v rispetto a un 

osservatore S, fermo a terra. 

Supponiamo che in A e B si 

accendano due lampade, e 

che questo avvenga, per 

l’osservatore S, 

simultaneamente. Vediamo 

cosa accade per un 

osservatore S’ solidale con il 

treno. Al momento 

dell’accensione delle 

lampade in A e in B i due 

ipotetici osservatori S e S’ si trovano nello stesso punto. Se il treno non si muovesse, i raggi di luce emessi 

da A e B raggiungerebbero S’ simultaneamente. Ma l’osservatore S’ si sta muovendo, rispetto ad S, incontro 

al raggio di luce proveniente da B, mentre sta “sfuggendo” al raggio di luce emesso da A. Quindi il raggio di 

luce emesso da B raggiungerà S’ prima di quello emesso da A e quindi per S’ l’accensione della lampada in 

B è avvenuta prima dell’accensione della lampada in A: per S’ i due eventi non sono simultanei. Il concetto 

fondamentale che si ricava dall’esempio riportato è il seguente: gli eventi che sono simultanei per un certo 

osservatore S non saranno in generale simultanei per un altro osservatore S’, in movimento rispetto ad S. 

Possiamo quindi affermare che ogni osservatore (sistema di riferimento) ha il suo tempo proprio. Lo 



specificare un tempo o un dato intervallo di tempo ha significato solo quando venga specificato anche il 

sistema di riferimento cui ci si riferisce. Questo fatto è assolutamente nuovo nella fisica; prima dell’avvento 

della teoria della relatività al tempo veniva attribuito un carattere assoluto. Un’ipotesi del genere è però 

incompatibile con la più naturale definizione di simultaneità, come abbiamo visto nell’esempio precedente. 

Se abbandoniamo l’ipotesi del tempo assoluto, scompare anche l’incongruenza tra leggi di Maxwell e 

principio di relatività. Tale apparente incongruenza era legata alla legge di composizione della velocità; 

questa legge si basa però sulle trasformazioni di Galileo in cui il tempo è assunto essere lo stesso nei due 

sistemi di riferimento. Poiché questa ipotesi non è sostenibile, anche le trasformazioni di Galileo devono 

essere abbandonate. In che modo è allora possibile determinare il tempo e la posizione di un evento, 

rispetto a un osservatore S’, quando conosciamo il tempo o la posizione dello stesso evento rispetto a un 

osservatore S, in moto relativo rispetto ad S’ ? Bisogna trovare delle nuove leggi di trasformazione: queste 

leggi dovranno essere in accordo con i due postulati della teoria della relatività: in particolare dovranno 

essere tali per cui la velocità della luce nel vuoto rimanga la stessa per tutti gli osservatori, quale che sia il 

loro stato di moto. 

La contrazione delle lunghezze di Lorentz. 

Come diretta conseguenza, le trasformazioni di Lorentz portano a due importanti modifiche, poiché 

introducono il concetto di relatività in grandezze normalmente considerate assolute: la lunghezza e il 

tempo. 

La lunghezza di un corpo appare più corta se misurata quando il corpo è in movimento e più lunga quando il 

corpo è fermo. Un corpo lanciato alla velocità della luce ci apparirebbe di lunghezza nulla, mentre il suo 

orologio non camminerebbe! 

La misura della lunghezza di un oggetto, quando esso è in movimento rispetto al sistema di riferimento in 

cui avviene la misurazione, è minore del valore misurato quando esso è fermo (questo valore si chiama 

lunghezza propria) 

Supponiamo di dover misurare la lunghezza di un regolo di lunghezza L solidale con il sistema Σ’ (che si 

muove in modo solidale con Σ’) fissato per comodità sull’asse x’. 



Nel momento iniziale del moto, quando il regolo è ancora fermo, la sua lunghezza L si misura in coordinate 

“simultanee” rispetto Σ, e tale lunghezza risulterà: 

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con x2 e x1, le coordinate degli estremi del regolo in Σ e L0 Lunghezza a riposo . 

Mentre, una volta che il moto è iniziato il regolo si muoverà con il sistema Σ’, e la sua Lunghezza 

(relativistica) si misurerà in coordinate “simultanee” rispetto Σ’, tale lunghezza sarà: 

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con x’2 e x’1, le coordinate degli estremi del regolo in Σ’ e L Lunghezza relativistica. (Relativa all’osservatore 

solidale con Σ ). 

Riprendendo le equazioni di Lorentz, si ha: 

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Questo risultato significa che: Rispetto ad un osservatore solidale con Σ, gli oggetti in moto APPAIONO 

contratti nella direzione del moto. Non si contraggono, ma appaiono contratti, e ritorneranno ad apparire 

a dimensione “normale” quando si fermeranno, a riposo! NON ESISTE PIU’ LO SPAZIO ASSOLUTO! 

Esempio: Un’astronave sfreccia sopra la testa di osservatore alla velocità di 0,9 c, se l’astronave misura a 

riposo 1Km, quanto sembrerà lunga all’osservatore? 

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La dilatazione temporale di Einstein. 

Con il solito schema di sistemi inerziali, si considerino ulteriormente due cronometri fissati nell’origine dei 

sistemi Σ e Σ’. Cronometrando un qualsiasi evento, nell’uno e nell’altro sistema si ottengono i seguenti 

intervalli temporali: 

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Applicando la quarta equazione di trasformazione di Lorentz si ha: 

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L’intervallo di tempo T’ risulta essere dilatato rispetto a T. Pensando ad un evento che a riposo si compie in 

un secondo, a velocità prossime a quelle della luce, potrebbe diventare pressoché infinito per un 

osservatore sulla terra.


Osservazioni: 

La durata minima dell'intervallo di tempo è misurata da un orologio solidale con gli eventi; tale intervallo T 

viene chiamato tempo proprio. Si definisce tempo proprio di un corpo, il tempo misurato da un orologio 

che si muove insieme a quel corpo. Un osservatore che veda questo corpo in movimento può sempre 

risalire al tempo proprio, che sarà chiaramente diverso dal tempo misurato nel proprio sistema di 

riferimento, purché ovviamente conosca la velocità del corpo. Il tempo proprio appare quindi come un 

invariante della teoria, nel senso che tutti gli osservatori inerziali possono facilmente calcolarlo. 

Il tempo misurato da un orologio in movimento scorre più lentamente rispetto al tempo misurato da un 

orologio fermo, in modo tanto più evidente quanto più velocemente l'orologio si muove. In altre parole, il 

tempo misurato da una persona che corre rallenta, in modo tanto più evidente quanto più veloce essa 

corre. Questo rallentamento dello scorrere del tempo corrisponde a una dilatazione dei tempi, ossia degli 

intervalli di tempo misurati, per cui due eventi, contemporanei per un osservatore in quiete, non lo saranno 

più per un osservatore che si muova rispetto al primo. 

Ciascun osservatore non noterà alcun effetto sul "proprio" tempo, vale a dire per ciascuno di essi il tic‐tac 

del "proprio" orologio batterà sempre con la consueta velocità; ma tanto maggiore sarà la velocità relativa 

dei due osservatori, tanto più lento apparirà marciare all'uno l'orologio dell'altro. Paradossalmente, al 

raggiungimento della velocità limite della luce, i due osservatori, in moto relativo, vedranno fermarsi l'uno 

l'orologio dell'altro, pur continuando a veder camminare regolarmente il "proprio" orologio. 

In sostanza, se i due osservatori sono in moto relativo uniforme fra di loro, senza accelerare, né rallentare, 

né cambiare direzione, e hanno con sè orologi identici, ognuno dei due osserverà l'orologio dell'altro 

funzionare più lentamente. Vale a dire: esiste una perfetta simmetria tra i due osservatori, per cui ognuno 

dei due darà una descrizione analoga, ugualmente valida, del fenomeno. 

Anche nel caso della teoria della relatività ristretta, come per tutte le teorie è sempre necessario che ci 

siano delle verifiche sperimentali. 

La dilatazione temporale è stata confermata con un elevato grado di precisione da numerosi esperimenti 

eseguiti nei laboratori di fisica atomica dove studiando il tempo di vita delle particelle subatomiche, in 

quiete ed in moto, è possibile verificare appunto che le particelle in moto relativistico vivono più a lungo di 

quelle in quiete o comunque in moto newtoniano. Uno degli esperimenti più noti fu compiuto nel 1966, in 

un acceleratore di particelle al CERN a Ginevra: dei muoni (mesoni instabili), che si muovevano a una 

velocità di pari al 99,6% della velocità della luce, avevano una vita media esattamente 12 volte più lunga di 

quella dei muoni a riposo. Si noti che questo effetto è importante soltanto a velocità relativistiche, ossia a 

velocità che siano una considerevole frazione della velocità della luce. È chiaro però che nel momento in cui 

consideriamo eventi che si muovono a velocità molto basse rispetto a quella della luce vale la fisica classica. 

Ma cosa succede se il moto non è più uniforme? 

� Paradosso dei gemelli 

A tale proposito, Einstein suggerì l'ormai famoso "paradosso dei gemelli" (anche se in realtà non si tratta di 

un "paradosso", in quanto viene spiegato completamente nel contesto dei due postulati della teoria della 

Relatività Ristretta). 



"Se un organismo vivente, dopo un volo arbitrariamente lungo 

ad una velocità approssimativamente uguale a quella della luce, potesse ritornare nel suo luogo d'origine, 

egli sarebbe solo minimamente alterato, mentre i corrispondenti organismi rimasti, già da tempo avrebbero 

dato luogo a nuove generazioni." (Einstein, 1911) 

Ci sono due gemelli, inizialmente nello stesso posto e dotati di due orologi uguali, sincronizzati. Uno dei due 

gemelli rimane sulla Terra, mentre l'altro parte per un viaggio interstellare a bordo di un'astronave, la cui 

velocità, molto elevata, raggiunge l'80% di quella della luce. Al suo ritorno a Terra, l'orologio del gemello 

astronauta segna che sono trascorsi 30 anni (di tempo "proprio") dalla partenza, mentre quello del suo 

gemello, rimasto a Terra, quanti ne segnerà? 

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Ne segnerà ben 50 dalla partenza dell'astronave. 

Poiché nel veicolo spaziale, in movimento ad altissima velocità, tutti i fenomeni scorrono più lentamente, 

nell'ipotesi che gli orologi biologici (ad esempio, le pulsazioni ritmiche del cuore, i battiti del polso) si 

comportino come gli ordinari segnatempo, anche l'invecchiamento avverrà con un ritmo più lento. In altri 

termini, dopo avere fatto questo viaggio a velocità elevatissime, ritornando sulla Terra, l'astronauta 

ritroverà il fratello gemello più vecchio di lui di ben 20 anni! 

In questo caso, poiché il gemello astronauta non compie un moto uniforme, ma deve necessariamente 

accelerare e decelerare per effettuare l'andata e il ritorno, la situazione non è più simmetrica: l'astronauta 

avrà, in effetti, vissuto di meno rispetto al suo gemello rimasto a Terra. 

Questo fatto è sorprendente, ma, di per sé, non paradossale. 

Il paradosso emerge se si tiene presente che anche per gli astronauti i fenomeni terrestri sarebbero 

rallentati, poiché essi vedono la Terra muoversi; per le stesse ragioni considerate sopra, essi potrebbero 

arguire che il gemello terrestre rimane più giovane, in contraddizione con le previsioni terrestri. Poiché non 

si tratta di opinioni soggettive, al ritorno dell‘astronave, si potrebbe comunque decidere quale delle due 

opzioni è vera, e quindi la relatività conterrebbe una vera contraddizione. 

L’errore che invalida queste ultime considerazioni, e che vanifica il presunto paradosso, è contenuto nella 

considerazione secondo la quale anche l‘astronave sarebbe un sistema inerziale, mentre le variazioni di 

velocità (accelerazione e decelerazione) mostrano chiaramente che l‘astronave non costituisce un sistema 

inerziale durante l‘intera missione. Per descrivere correttamente come appaiono gli eventi terrestri agli 

astronauti bisognerebbe conoscere le trasformazioni tra coordinate di sistemi non inerziali, ai quali non si 

applica il principio di relatività formulato all‘inizio di questo lavoro. Cioè, si dovrebbe ricorrere alla teoria 

della relatività generale. 

Nonostante l'apparente irrealizzabilità, il paradosso dei gemelli è stato verificato sperimentalmente! 

Questo grazie a degli orologi atomici collocati a bordo di due aerei che volavano in direzioni opposte 

rispetto al pianeta: l'aereo che viaggia in direzione est somma la sua velocità a quella di rotazione della 

terra, dunque viaggia più velocemente di quello che viaggia in direzione ovest, e quindi deve segnare un 

tempo inferiore di alcune frazioni di secondo. 



Questo effetto ha ricevuto recentemente un’ulteriore conferma: orologi molto precisi sono stati messi a 

bordo di aerei in viaggio intorno al mondo ed in seguito confrontati con orologi rimasti a Terra. Anche se 

l’effetto è piccolo, perché gli aerei ovviamente viaggiavano a velocità molto inferiori rispetto a quella della 

luce, si è visto che il tempo segnato dagli orologi che hanno viaggiato in aereo era diverso da quello segnato 

dagli orologi rimasti a Terra, in perfetto accordo con le previsioni della relatività (nei calcoli si è tenuto 

anche conto del rallentamento degli orologi in un campo gravitazionale previsto dalla relatività generale). 

Spazio‐tempo di Minkowski 

Il matematico lituano Herman Minkowski (1864‐1909), nel 1908 poco dopo la pubblicazione delle idee di 

Einstein, diede alle stesse una formulazione geometrica molto elegante. Nella visione di Minkowski, il 

tempo è trattato alla pari delle altre coordinate spaziali. Dato che un evento può essere sempre individuato 

tramite la sua posizione nello spazio e lungo l'asse temporale, il formalismo relativistico può essere 

formulato in uno spazio a 4 dimensioni (spazio‐tempo), nel quale le prime 3 coordinate coincidono con le 

normali coordinate spaziali e la quarta è rappresentata dal tempo. In questo modo un evento è identificato 

da una quaterna di numeri (x,y,z,t) che lo individuano nello spazio‐tempo detto di Minkowski o cronotopo. 

Uno spaziotempo è semplicemente la versione matematica di un universo che, come il nostro universo 

fisico, ha dimensioni sia spaziali che temporali. Uno spaziotempo piatto è uno spaziotempo che non 

considera gli influssi gravitazionali, poiché questi ultimi tendono a deformarne la struttura. Ciò che rende 

uno spaziotempo diverso da un spazio euclideo sono, naturalmente, le differenti leggi che lo governano. 

Definizione matematica di spazio‐tempo 

L’usuale spazio euclideo può essere definito a partire dall'invariante della distanza: 

Δs 2 = Δx 2 + Δy 2 + Δz 2 

Con gli assiomi della relatività einsteniana, e in particolare con l'assunto della costanza della velocità della 

luce, ad essere invariante è, a questo punto, la distanza percorsa dalla luce in un detto intervallo temporale 

Δt: 

s = c Δt 

e quindi 

s 2 = Δx 2 + Δy 2 + Δz 2 = c 2 Δt 2 



I nuovi vettori, che fanno parte di uno spazio a quattro dimensioni, sono tali per cui: 

Δx 2 + Δy 2 + Δz 2 ‐ c 2 Δt 2 = 0 

Si possono, quindi, utilizzare due convenzioni: o si assegna il segno positivo al quadrato del tempo e quello 

negativo a quello dei vettori spaziali, o viceversa; l'importante è che i due quadrati, temporale e spaziale, 

siano opposti in segno, ovvero che uno dei due venga considerato immaginario. 

Quindi mentre per la fisica classica spazio e tempo sono due entità fra loro separate, perché il tempo scorre 

con un suo ritmo indipendente da quale sistema di riferimento usiamo, al contrario nella teoria della 

relatività spazio e tempo sono talmente intrecciati fra di loro che non possono più essere considerati 

separati, ma si deve introdurre il concetto di spazio‐tempo per sottolineare questa mutua influenza. I punti 

dello spaziotempo sono detti eventi e ciascuno di essi corrisponde ad un fenomeno semplice che si può 

riscontrare verificarsi in una certa posizione spaziale in un certo istante. Ogni evento è individuato da 

quattro coordinate. Può così accadere che in un certo sistema di riferimento un evento A preceda, cioè 

accada prima di, un evento B, mentre in un altro sistema di riferimento sarà l’evento B a precedere l’evento 

A. L’inversione temporale si può verificare solo se un raggio di luce partito da uno dei due eventi è in grado 

di raggiungere il punto spaziale corrispondente all’altro evento, solamente dopo che questo secondo 

evento si è verificato. 

La natura non ci fornisce evidentemente nessun sistema di assi cartesiani il cui riferimento è assoluto. Nel 

mondo reale le coordinate devono essere definite artificialmente. Di conseguenza due differenti osservatori 

O e O’ posti in uno spaziotempo possono avere sistemi di coordinate diversi, e possono quindi trovarsi in 

disaccordo su una posizione spaziotemporale di un evento. Da qui nasce la necessità di creare delle 

relazioni fra le diverse misurazioni attuate dagli osservatori, relazioni che possono essere suddivise in due 

tipi: la prima quando i due osservatori sono tra loro in stato di quiete, l’altra quando gli osservatori sono in 

moto relativo fra loro. Di quest’ultimo caso ci occuperemo in modo particolare in quanto base 

fondamentale della relatività ristretta. 

Possiamo rappresentare su un piano una sezione dello spazio‐tempo limitandoci alle coordinate x e t. 

Inoltre, per rendere omogenee le coordinate, moltiplichiamo la coordinata tempo per la costante c. Il 

generico evento è quindi rappresentato dalla quaterna (x,y,z,ct). Due sistemi di riferimento O e O’, in moto 

l’uno rispetto all’altro lungo l’asse x e con origini coincidenti all’istante t=t’=0, saranno rappresentati dallo 

schema sotto riportato. 

Gli eventi A e B hanno, rispettivamente, coordinate (xA , ctA) e (xB , ctB) in O e (x’A , ct’A) e (x’B , ct’B) in O’. 

Inoltre gli eventi A e B risultano contemporanei per O, mentre A è antecedente a B per O’. Anche la 

distanza spaziale tra i due eventi, xB‐xA e x’B‐x’A appare diversa se misurata da O o da O’. Le due linee gialle 

rappresentano due raggi di luce partiti all’istante t=t’=0 dall’origine e propagantesi in direzioni opposte. La 



loro equazione nei due sistemi di riferimento, per la costanza della velocità della luce, è x = ±ct e x’ = ±ct’ 

Ciò che risulta identico (invariante per trasformazioni di Lorentz) per i due osservatori è il cosiddetto 

intervallo s, dato dalla seguente espressione: 

I raggi di luce dividono lo spazio‐tempo di O e O’ in tre regioni, passato, presente e futuro. Il passato è 

costituito da tutti gli eventi che possono aver trasmesso informazione ad O, il presente da tutti quegli 

eventi che non possono inviare informazione ad O e il futuro da tutti quegli eventi che possono ricevere 

informazioni da O. 

A causa dell'insuperabilità della velocità della luce cui si è fatto riferimento, non tutti i punti del cronotopo 

possono essere raggiunti a partire da uno di essi; ad esempio, quelli per i quali vale la relazione: 

x > 

sono così lontani dall'origine che non può raggiungerli neppure la luce, e dunque sono fuori dalla portata di 

un osservatore posto nell'origine. Quelli per cui invece vale la relazione: 

x < 

possono essere raggiunti, e quindi costituiscono il passato (se t < 0) o il futuro (se t > 0) dell'osservatore che 

si trova nell'origine dei tempi (t = 0 significa il presente) In uno spazio tridimensionale i punti che soddisfano 

l'equazione precedente sono i punti interni di un cono, che viene detto cono di luce. Tali punti possono 

avere relazioni di causa ed effetto con l'origine. E' facile dimostrare che non esiste la possibilità di invertire 

cronologicamente la causa e l'effetto, cioè di invertire la freccia del tempo; e ciò rende materialmente 

impossibile realizzare una macchina del tempo come quella sognata da Herbert George Wells. 

Siamo pertanto indotti a concludere che la posizione e la velocità sono fisicamente concepibili solo in 

quanto relazione tra differenti oggetti. Una “posizione assoluta” ed un’”assoluta velocità” sono astrazioni 

compiute dalla nostra mente, senza nessun significato concreto. 

Un osservatore inerziale è un osservatore che non sta accelerando. Le sue coordinate sono coordinate 

inerziali. La premessa basilare della relatività, quella per cui la natura non fornisce alcun sistema di 

coordinate fisiche, porta a concludere che l’universo sia uguale in tutte le sue parti per ogni osservatore 

inerziale; tutto questo è riassunto dal Principio di relatività di Einstein: 


ict 

ict 

Le leggi della fisica sono le stesse in ogni sistema di coordinate inerziale.


Equivalenza massa‐energia. 

Un'altra conseguenza fondamentale della Relatività Ristretta riguarda il concetto stesso di massa 

ed energia. Se a un corpo che si muove a velocità prossima a quella della luce si fornisce energia, la 

sua velocità aumenterà molto poco, mentre a subire un effettivo incremento sarà la sua massa. 

Quando si modifica la Dinamica di Newton, che è invariante per le trasformazioni di Galileo, per 

renderla invariante per le trasformazioni di Lorentz, si ottiene come conseguenza che la quantità 

di moto di una particella la cui massa è m, non è più data semplicemente dal prodotto m v. Infatti 

la massa della particella aumenta con il progressivo aumentare della sua velocità, secondo la 

legge: 

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�� 

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E' proprio questo aumento relativistico dell'inerzia ad impedire alle particelle di venire accelerate 

fino alla velocità della luce, che risulta così assolutamente insuperabile. Tale effetto è stato 

osservato innumerevoli volte negli acceleratori di particelle ad alta energia. Einstein ha inoltre 

mostrato che ciò che in un sistema di riferimento inerziale appare come energia si può 

manifestare come massa in un altro sistema di riferimento; quindi entrambe sono manifestazioni 

della stessa entità e sono collegate fra loro dalla famosa equazione, celebre quanto Einstein stesso 

e nota con il nome di equazione relativistica per l'energia: 

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dove m rappresenta la massa di un corpo, c la velocità della luce ed E l’energia di riposo, relativa al 

caso in cui il corpo è fermo. La formula esprime un concetto "filosofico" completamente nuovo 

e ricco di conseguenze inaspettate (rispetto alla meccanica classica): esso afferma la totale 

equivalenza di massa ed energia (a meno della costante moltiplicativa c²). Afferma cioè che massa 

ed energia sono due aspetti apparentemente diversi di una medesima realtà. Di conseguenza una 

piccola massa equivale ad una grandissima energia (dato che la massa m va moltiplicata due volte 

per la velocità della luce che è una quantità molto grande). Viceversa una grande variazione 

d’energia corrisponde ad una piccola variazione di massa. Nel mondo subatomico tuttavia le 

variazioni di energia sono talmente grandi da provocare cospicue variazioni nella massa. La massa 

è dunque una specie di energia "congelata" che in determinate condizioni si può trasformare in 

altri tipi di energia, come nel caso dell’energia nucleare che deriva, almeno in parte, dalla 

differente massa posseduta da un grande nucleo e dai frammenti più piccoli nei quali si è diviso. 

Alla conservazione della massa ed alla conservazione dell'energia va perciò sostituita la 

conservazione della massa‐energia. Questo spiega perché, nelle reazioni nucleari, una piccola 

frazione di massa sparisce, dando luogo ad un'enorme liberazione di energia, purtroppo adoperata 

in modo nefasto nelle armi termonucleari, contro l'uso delle quali Einstein si batté a spada tratta 

fino alla morte, sentendosi responsabile della loro invenzione. Ma spiega anche come mai una 

coppia particella‐antiparticella può essere generata apparentemente "dal nulla", quando l'energia 

si materializza secondo la E = mc². Oggi i principi della relatività speciale sono incorporati e 

verificati nel funzionamento degli acceleratori di particelle. 

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Simili energie si ottengono nelle reazioni atomiche di fissione (in cui nuclei pesanti tipo l'uranio si rompono 

generando parti più leggere ed energia dal difetto di massa (reattori nucleari, bombe atomiche)) e di 

fusione (in cui nuclei leggeri come per esempio il deuterio si fondono formando elio con trasformazione del 

difetto di massa in energia (stelle, bombe H)). 

Energia e quantità di moto relativistiche 

Anche un corpo a riposo in un certo sistema di riferimento (energia cinetica = 0) e sul quale non 

agisce alcun campo di forze (energia potenziale = 0) è dotato di un'energia, chiamata energia a 

riposo. L'energia totale posseduta dal corpo in moto è allora pari alla somma dell'energia a riposo 

e dell'energia cinetica, secondo la formula: 

c 

m d 

2 

= m 

0 

c 

2 

Attraverso complessi calcoli che richiedono l'uso del calcolo infinitesimale, si possono riscrivere le 

espressioni della quantità di modo e dell'energia totale di un corpo secondo la dinamica 

einsteiniana: 

p = 

m v 

0 

2 

1− β 

E tot 


+ 

= 

1 

2 

m 

0 

0 

v 

m c 

2 

2 

2 

1− β 

Sostituendo la prima delle due dentro l'altra si trova il legame tra di esse: 

E tot 

= c 

p 

2 

+ m 

mentre la corrispondente formula nella dinamica newtoniana era 

2 

E = p / 2m 

Se nella precedente si pone nulla la massa a riposo si trova 

Etot = p c, 

il che significa che possono esistere delle particelle prive di massa. Sono tali i fotoni, i quanti di 

luce (cioè i "pacchetti" di energia trasportati dalla radiazione luminosa), che sono dotati di 

energia e di quantità di moto pur essendo privi di massa a riposo. 

2 

0 

c 

2


Conclusione 

Con la teoria della relatività Einstein stabilisce la completa equivalenza, per quanto riguarda la descrizione 

dei fenomeni fisici, di tutti i sistemi di riferimento inerziali; così facendo egli estende il principio di Galileo, 

valido per i soli fenomeni meccanici, a tutta la fisica. La teoria rimane però limitata ai soli sistemi di 

riferimento inerziali, da cui il nome di “relatività ristretta”. Il desiderio di generalità vorrebbe un principio di 

relatività valido anche per tutti i sistemi di riferimento, anche non inerziali. È ancora Einstein a risolvere il 

problema formulando la “teoria della relatività generale” egli dimostra l’equivalenza tra un sistema di 

riferimento inerziale e uno non inerziale in cui è presente un campo gravitazionale; si può cioè passare da 

un sistema di riferimento inerziale a uno non inerziale introducendo un opportuno campo gravitazionale.

Relativita

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