Appunti integrali indefiniti elementari e sostituzione - ISIS Facchinetti

INTEGRALI INDEFINITI
1) Definizione di primitiva:
Sia f(x) una funzione definita nel dominio D. Diciamo che la funzione F(x), definita nello stesso
dominio D, è una primitiva di f(x) se F è derivabile e F'(x)=f(x) per ogni x appartenente a D.
Osservazione:
Se F(x) è una primitiva di f(x), allora
• ogni funzione del tipo F(x)+c, con c costante reale arbitraria, è una primitiva di f(x). Infatti
(F(x)+c)'=F'(x);
• è possibile dimostrare che la formula F(x)+c individua TUTTE le primitive di f(x).
2) Definizione di integrale indefinito.
Sia f(x) una funzione definita nel dominio D. Chiamiamo integrale indefinito della funzione f(x) la
famiglia di funzioni formata da tutte le sue primitive, e lo indichiamo con il simbolo
∫ f x dx
Per quanto detto nella precedente osservazione, detta F(x) una primitiva di f(x), possiamo scrivere:
∫ f xdx=F xc con c∈ℝ
Osservazione:
Il simbolo scelto per indicare l'integrale indefinito richiama quello di differenziale. Ciò è molto
utile, nelle applicazioni pratiche perchè in particolare permette, come vedremo tra poco, di
esprimere in modo semplice il metodo della sostituzione per la risoluzione degli integrali indefiniti.
Inoltre il simbolo dx precisa qual è la variabile considerata “indipendente”, rispetto alla quale si
integra.
3) Relazioni tra integrale, derivata e differenziale
a) D ∫ f xdx= f x ; ciò significa che la derivata di un integrale indefinito è uguale alla
funzione integranda. Infatti, se F(x) è una primitiva di f(x) (e quindi F'(x)=f(x)), abbiamo:
D ∫ f xdx=D F xc=F ' x= f x
b) d ∫ f x dx= f x dx ; ciò significa che il differenziale di un integrale è uguale al prodotto
della funzione integranda per il differenziale della variabile indipendente (rispetto alla quale si
integra).
4) Proprietà degli integrali indefiniti
Gli integrali indefiniti ereditano, dalla derivata, le seguenti proprietà:
a) ∫ k f xdx=k∫ f xdx : l'integrale indefinito di una costante per una funzione è uguale alla
costante per l'integrale indefinito della funzione data.
b) ∫ f xgxdx=∫ f xdx∫ g xdx : l'integrale indefinito delle somma di due
funzioni è uguale alla somma degli integrali indefiniti delle funzioni date.

Metodo della scomposizione
INTEGRALI PER SCOMPOSIZIONE / SOSTITUZIONE
Partiamo dalla regola di derivazione delle funzioni composte. Consideriamo una funzione y=F(g(x))
con F derivabile in z=g(x) e g derivabile in x, e chiamiamo f la derivata (rispetto al proprio
argomento z=g(x)) della funzione F (in pratica poniamo F'=f).
Allora sappiamo, dalla regola di derivazione delle funzioni composte, che y=F(g(x)) è derivabile in
x e la sua derivata rispetto a x è data dalla formula
y'=f(g(x))g'(x)
Ora, possiamo dire la stessa cosa nel linguaggio degli integrali, ovvero: dato che y' è la derivata di
y, possiamo dire che y è una primitiva di y', o anche che l'integrale indefinito di y' è y+c, dove c è
una costante reale arbitraria.
In formule:
Metodo della sostituzione
Integrale indefinito di y' = y +c
∫ f g x g ' x dx=F g xc (*)
Dovendo risolvere un integrale del tipo ∫ f g xg ' xdx , possiamo arrivare alla stessa
conclusione illustrata nella formula (*) procedendo per passi successivi.
Questo modo di procedere (metodo della sostituzione):
-può facilitare il raggiungimento dell'obiettivo in talune applicazioni pratiche;
-è generalizzabile ad altre situazioni, non risolubili per scomposizione;
-spiega il motivo per il quale, nel simbolo che indica l'integrale, compare il differenziale della
variabile rispetto alla quale si sta integrando.
In sostanza, dato ∫ f g x g ' xdx
a) si pone w=g x
b) si determina il differenziale della nuova variabile: dw=g ' xdx
Si procede alla sostituzione, nell'integrale dato, di w al posto di g(x) e di dw al posto di g ' x dx
e in tal modo si ottiene:
∫ f g x g ' x dx=∫ f w dw
Se, a questo punto, si conosce una primitiva F della funzione f, si può scrivere:
∫ f wdw=F wc
Infine, risostituendo g(x) al posto di w e si ottiene F wc=F gxc
Ripercorrendo tutti i passaggi, abbiamo ottenuto per altra via la formula
∫ f g x g ' x dx=F g xc (*)

Applicazioni
INTEGRALI DEL TIPO ∫
g ' x
g x dx
La formula ∫ f g x g ' x dx=F gxc , contestualizzata al caso f z= 1
z
g ' x
F z=ln∣z∣ , diviene ∫ dx=ln∣g x∣c (1)
g x
Esempio: calcola ∫
cos x
sin x dx
e quindi
Risoluzione col metodo della scomposizione:
Occorre riconoscere che l'integrale dato corrisponde al modello descritto nella formula (1), in
quanto la derivata del denominatore ( g x=sin x ) è uguale al numeratore ( g ' x=cos x ).
Perciò possiamo concludere, applicando la (1), che:
Risoluzione col metodo della sostituzione
a) Poniamo w=sin x
b) Determiniamo dw=cos x dx
cos x
Perciò ∫ sin x
Esempio: calcola ∫
∫
cos x
dx=ln∣cos x∣c
sin x
1
dx=∫ dz=ln∣z∣c=ln∣sin x∣c
z
7 x3
dx 4
53 x
Risoluzione col metodo della scomposizione:
Occorre riconoscere che l'integrale dato è riconducibile al modello descritto nella formula (1), in
quanto la derivata del denominatore ( g x=53 x 4
) è proporzionale al numeratore (
g ' x=12 x 3
). Perciò possiamo procedere nel modo seguente (vengono esplicitati tutti i
passaggi, anche quelli che dopo un po' di esercizio possono essere sottointesi):
7 x3 7 12 x
∫ dx=∫ 4
53 x 12
3
7 12 x3 7
dx= 4 ∫ dx¿= 4
53 x 12 53 x 12 ln 53 x2c Risoluzione col metodo della sostituzione
a) Poniamo w=53 x 4
b) Determiniamo dw=12 x 3 dx , da cui otteniamo x 3 dx= dw
12
7 x3
Perciò ∫
53 x 4 dx=7∫ x3 dx 1 dw 7 dw 7 7
=7∫ = 4 ∫ = ln∣z∣c=
53 x w 12 12 w 12 12 ln 53 x4c

INTEGRALI DEL TIPO ∫g x g ' x dx con ≠−1
La formula ∫ f g x g ' x dx=F gxc , contestualizzata al caso f z=z con ≠−1
e quindi F z= z1
1 , diviene ∫ gx g x 1
g ' xdx= c (2)
1
Esempio: calcola ∫3 x 2 x 3 −2 4 dx
Risoluzione col metodo della scomposizione:
Occorre riconoscere che l'integrale dato corrisponde al modello descritto nella formula (2), con
g x= x 3 −2 , in quanto g ' x=3 x 2
coincide con il fattore moltiplicato a x 3 −2 4
. Perciò
possiamo concludere, applicando la (2), che:
∫3 x 2 x 3 −2 4 dx= x3−2 5
5 c
Risoluzione col metodo della sostituzione
a) Poniamo w= x 3 −2
b) Determiniamo dw=3 x 2 dx
Perciò ∫3 x 2 x 3 −2 4 dx=∫ w 4 dw=
Esempio: calcola ∫ x3
1x
4 dx
w 5
5 c=x3 −2 5
5
c
Risoluzione col metodo della scomposizione:
Occorre riconoscere che l'integrale dato è riconducibile al modello descritto nella formula (2), con
g x=1x 4 e =−1/2 , in quanto g ' x=4 x 3
è proporzionale al fattore moltiplicativo
x 3
. Perciò possiamo procedere nel modo seguente (vengono esplicitati tutti i passaggi, anche
quelli che dopo un po' di esercizio possono essere sottointesi):
∫ x3
1x 4 dx=∫ x 3 1x 4 −1/ 2 dx=∫ 1
4 4 x31 x 4 −1 /2 dx= 1
4∫ 4 x 3 1x 4 −1/ 2 dx=
= 1
4
Risoluzione col metodo della sostituzione
a) Poniamo w=1 x 4
1x 4 1/ 2
1 x4
c=
1/2 2 c
b) Determiniamo dw=4 x 3 dx , da cui otteniamo x 3 dx= dw
4
Perciò ∫ x3
1x 4 dx=∫
−1/2 dw 1
w =
4 4∫ w −1/ 2 dw= 1
1/ 2
w
4 1/2
c= w1/ 2
2
c= 1x4
2 c