I paradossi di Zenone

I paradossi di Zenone
Filosofia delle scienze naturali, AA 2012/13
M. Dorato
NB non far circolare
(note tratte da Fano, I paradossi di Zenone,
Carocci, 2012)
04/12/2012

Zenone:l’inventore della dialettica, o l’arte
di argomentare a favore di una posizione
1) Discussione fonti di Zenone
2) Soluzioni fisiche,matematiche e metafisiche
dei problemi di Zenone
3) La fortuna degli argomenti di Zenone
4) I 4 paradossi che discuteremo sono 4.1 la
dicotomia, 4.2 Achille, 4.3 il grande e il
piccolo e 4.4 la freccia
04/12/2012

T
04/12/2012
Presentazione informale paradosso
della dicotomia
T T T T 1 1 1 1
.....
....
T1
....
2 3 n
n
2 2 2 2 2 4 8 2
La somma di infiniti termini (T è il tempo impiegato a
percorrere metà percorso a vel. costante) non può
che dare un numero infinito: il testo dice che
moltiplicare qualsiasi numero finito (T) per una
quantità infinita (il numero tra parentesi) non può
che dare un numero infinito: quindi il tempo
impiegato per percorrere una distanza finita è infinito
e il moto è impossibile

Presentazione informale del paradosso di
Achille, che contiene un tallone di Achille
« Achille corre dieci volte più velocemente della
tartaruga e le concede un vantaggio di dieci metri.
Achille percorre quei dieci metri, la tartaruga
percorre un metro; Achille percorre quel metro, la
tartaruga percorre un decimetro; Achille percorre
quel decimetro, la tartaruga percorre un
centimetro; Achille percorre quel centimetro, la
tartaruga un millimetro […] e così infinitamente,
senza raggiungerla… » (Borges 1932, vol. I, pp.
393-4)
04/12/2012

Il grande e il piccolo: quanto è grande
un punto?
• Un segmento finito A-B ha infiniti punti.
• A B
• Ci sono due possibilità
• 1) Se ognuno ha un’estensione non nulla E, A-B
deve essere di lunghezza infinita, perché un
numero piccolo E moltiplicato per infinito è
infinito
• 2) se ogni punto ha lunghezza nulla, deve essere
nullo anche A-B, visto che 0 per qualunque
numero è 0

La freccia
• Se in ogni istante del suo moto una freccia
occupa uno spazio uguale al suo volume, allora
in ogni istante essa è ferma.
• Secondo Bergson (1907, L’evoluzione creatrice),
tutto quel che la scienza moderna considera
come in movimento ha in realtà un carattere
cinematografico: fotografie proiettate in
successione che a noi appaiono in moto perché
proiettate alla giusta velocità
04/12/2012

Un fatto storiografico: contro chi si
rivolge Zenone e chi difende?
• 1) Si rivolge contro l’atomismo matematico
pitagorico? (Tannery 1885-7)
• Difende il monismo Parmenideo (esiste solo
l’uno) e l’assenza di mutamento?
• Attacca la tesi pitagorica secondo cui la realtà
è numero (Glazerbrook 2001) cosicché la
descrizione matematica del moto è
problematica
04/12/2012

Definizione di un supertask
(supercompito)
• Un supercompito è la realizzazione di un
numero infinito di atti in un tempo finito
• Come si può realizzare un numero infinito di
moti in un tempo finito (anche se la somma di
infiniti termini è finita, vedi p. successiva)?
• Se la successione S n tende a 1 per n , ma il
punto limite non è parte della successione,
come si può dire che il corpo arriva a
destinazione (il punto limite)?
04/12/2012

Perché la successione S n tende a 1
04/12/2012
per n che tende a infinito
1 1 1 1
Sn
...
n
2 4 8 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
Sn
( ...
) ...
n
n1
2 2 4 8 2 2 4 8 2
Sn
1 1 1 1 1 1 1
Sn
( ...
) ( ...
)
n
n1
2 2 4 8 2 4 8 2
1
1
2Sn
Sn
1
Sn
1
se n allora S
n
n
2
2
n
1
2
1
(½) n è infinitesimamente piccolo e tende a 0 per n
infinitamente grande. Definiamo nella prossima slide
1
n
2
1

Limite di una successione infinita di numeri
positivi crescenti
• La successione infinita S n nel nostro esempio è
limitata da 1, ovvero ha 1 come limite se e solo
se, per ogni numero positivo piccolo a piacere
e, esiste un intero N tale che per ogni M
maggiore o uguale a N si ha |1-(1/2 M)|< e
•
S
S
n
n
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1
,
2
1
2
,
3
4
1
2
,
7
8
1
4
,
15
,
16
1
2
,
31
32
1
4
1
8
,.....,
,....,
1
2
n
2 1
n
2
1
4
1
8
1
...
2
n

La somma di una serie infinita
• La somma di una serie infinita S 1 + S 2 + S 3 è il
limite della successione di somme
S 1, S 1+S 2, S 1+S 2+S 3,…
(quando il limite esiste: in questo caso è 1)
In una parola, sommare infiniti termini dà
somme finite e questa è la definizione di somma
infinita in presenza di limite finito
04/12/2012
S
n
n1
n1
1
n
2
Limite

Infinito in atto e in potenza
• Nel primo caso si ha quello che Grünbaum
chiama staccato run: un corpo percorre metà del
percorso in un ¼ s, poi sta fermo per l’altro ¼ s e
così via (percorre ¼ di percorso in 1/8 secondi e
poi sta fermo un altro 1/8 di secondo, etc.)
intervalli spaziali tra loro staccati infiniti in atto.
In questo caso il corpo sta fermo per metà del
tempo
• Nel legato run, non c’è soluzione di continuità,
c’è un unico moto
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Che significa infinitamente divisibile?
• In linguaggio matematico moderno, un insieme è
infinitamente divisibile se è almeno denso, ovvero tra due
elementi qualunque dell’insieme c’è ne è sempre un altro
compreso tra loro (i numeri razionali, ma non i numeri
interi, hanno questa proprietà)
• Lo spazio e il tempo fisici sono densi perché le teorie
fisiche fanno questa assunzione. Ma che dire di spazio e
tempo percettivi? E la QG?
• Per Fano, Aristotele ha risolto la Dicotomia insistendo sulla
potenzialità dell’infinito (un intervallo temporale finito è
divisible solo in potenza (NB: a p. 44 l’ordine della STR non
è totale come dice l’autore, ma parziale)
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1)
2)
3)
4)
t
d
5)
la
1
d
t
2
2
1
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Il paradosso di Achille (la 5 dà il
d
V
t
t
1
d
V
2
1
per
v per la
d
V
successione
distacco tra i due)
Achille
2
v
v per la
tartaruga
per
Achille
tartaruga
percorsa da
d
V
d
V
2
v
v
A.è data
sostituendo
2
da
d,
1)
d
V
in
d
v,
V
2)
2
v
2
d
,....
V
n
n v
..

Perchè Achille raggiunge la
tartaruga se va a vel. costante V
d d 2 d n
Dn
d v v ... v
2
n
V V V
Tempo A.
Dn
d d d 2 d
Tn
v v ...
2 3
n1
V V V V V
n
v v d v v
Tn
( 1
... ) n
V V V V V
n d
v ( 1
V
n1
v d v
Tn
Tn
( 1
) T
n1
n
V V V
d V v
( )( 1
V V v V
n1
d v
Tn
( )( 1
) n1
V v V
n1
v
quindi, poiché n1
V
1
d
il tempo 04/12/2012 Tn
non supera mai
V v
Distanza perc. da Achille
n1
n1
)
v
V
v
...
V
Distanza tartaruga percorsa alla
velocità di Achille Tnv/V Anche questa successione ha
limite finito
n
n
)

Anche in questo caso la
successione ha un limite
• La somma infinita (la serie) è uguale al limite
d/V-v e questa è la definizione di somma infinita
della successione delle somme con limite
finito
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n
1
V
d
v
(
1
v
V
n
n
)
V
d
v

Russell e Achille
• Supponiamo che il tutto sia più grande della
parte (ovvero il percorso di Achille includa
quello della tartaruga come un sovrainsieme
include un sottoinsieme). Ma dato che i punti
toccati da Achille e dalla tartaruga sono sia
infiniti che equinumerosi (perché sono in
corrispondenza biunivoca) ne segue che Achille
non raggiunge la tartaruga (il tutto non è più
grande della parte). Ma, dice R., il tutto può
includere la parte senza che gli elementi della
04/12/2012
parte siano meno numerosi di quelli del tutto

Black (1951) e la nozione di atto
• Atto: "Un qualcosa che è distinto dal suo
ambiente per avere un inizio e una fine
definiti"
• Nel 1965 Black aggiunge che se un corpo C è
caratterizzato da una grandezza variabile m,
allora C ha compiuto un atto sse m ha valori
estremali o assume un valore massimo o
minimo relativo
• I supercompiti riguardano lo staccato run, non
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il legato run

4. Il grande e il piccolo
• L'argomento intende mostrare che nulla è
divisibile
• Distinguere tra empiricamente divisibile e
concettualmente divisibile
• Il monismo afferma che non esistono due
parti distinte, quindi, non esistono parti, ma
solo il tutto
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xyxy 1)

Argomento contro la divisibilità
basato sulla mereologia
• Se almeno un'entità è divisibile, allora, se
qualcosa ha grandezza, essa è divisibile
• Se qualcosa è divisibile, allora ha parti proprie
(non identiche all'intero: Pr= parti proprie)
xDivx
x(
Divx)
x(
Grx)
x(
Divx
( xGrx
Pr
x)
x(Pr
x)
Divx)

Argomento per assurdo
xDivx
x(
Grx
x(
Divx Pr x)
x(
Divx)
x(Pr
x)
x(
Grx)
xDivx
x(
Grx
x(
Divx)
x(Pr
x)
x
Pr x
Divx)
x(
Grx)
x(
Divx)
x
Pr x yz(
y
Supponiamo che qualcosa sia divisibile, allora esiste
qualcosa che ha parti proprie, quindi il monismo è falso
z)
Divx)

Seguendo Simplicio (phys 139,27)
• Ciò che è esteso (E) è infinitamente divisibile
• O le parti sono prive di estensione e allora ciò
E è senza estensione (contraddizione con
l'assunto di partenza)
• O sono estese e allora E ha estensione infinita:
"se c'è il molteplice, questo molteplice è
grande e piccolo: grande fino a essere infinito
in grandezza, piccolo fino a non avere
grandezza di sorta (Diels Kranz 1952, B2)
04/12/2012
attribuite a Parmenide da Simplicio.

La ricostruzione dell'argomento di
Democrito fatta nel "gener. e corr."
• Per Aristotele, non esistono atomi estesi, tutto è
divisibile. Antiatomismo!
• Per Democrito, se dividiamo simultaneamente
una grandezza in più punti, finiamo con grandezze
indivisibili che non hanno lunghezza nulla,
altrimenti non ci sarebbe estensione. Quindi non
vale l'infinita divisibilità atomismo
• Una grandezza per Arist.non è composta da punti,
ma è continua, non può essere divisa
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simultaneamente in più punti

Riformulazione del paradosso
• Se un segmento, una particella, etc. ha
lunghezza finita L ed è composta da un numero
infinito di punti indivisibili, allora si genera un
dilemma che ci fa concludere contro l'idea che
sia composto da un numero infinito di punti
indivisibili.
• O L è infinita (grande), o L= 0 (piccolo) e in
entrambi i casi il segmento non ha lunghezza L
04/12/2012

Soluzione del problema
• Cantor nel 1885 chiarisce che i punti dello
spazio (etere) hanno una cardinalità più che
numerabile, per cui la somma infinita di punti
indivisibili di cardinalità non numerabile non è
ottenibile come semplice addizione di un
numero numerabile di addendi, un'addizione
che è invece presupposta dall'argomento
originario del grande e del piccolo. Quindi la
conclusione non segue
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Una breve storia del continuo e
dell'infinito
• La scoperta dell'incommensurabilità della
diagonale del quadrato rispetto al lato (V sec
a.c)
04/12/2012
Lato =n
p
Diagonale di Tr= m

Galilei (Dialoghi 1638)
• Un parte di materia può essere composta da un
numero infinito di atomi indivisibili, perché per
l'infinito non valgono le stesse leggi che per il finito
(proprietà di maggioranza o minoranza)
• Simplicio: "ora questo darsi un infinito maggior
dell'infinito mi par concetto da non poter essere
capito in veruno modo" (p.43)
• I numeri interi e i loro quadrati possono essere
messi in corrispondenza biunivoca (iniettiva e
suriettiva)
04/12/2012

Cantor e l'infinito: un grande progresso
• Distinguiamo tra cardinalità e ordinalità (numerazione) di un
insieme
• Due insiemi hanno la stessa numerazione (Anzahl) quando per
una qualsiasi successione del primo è possibile trovare una
successione del secondo che preservi l'ordine.
• Tutti gli insiemi finiti equipotenti (con la stessa cardinalità) hanno
anche la stessa numerazione
• Questo non vale per gli insiemi infiniti: prendiamo l'insieme di
tutti i naturali N e aggiungiamo il numero n 1 : se w è la
numerazione di N, w 1 w 1+ w
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N 1 2 3 4 5 …
(N, n 1)
n 1
1 2 3 4

v
Dimostrazione dell'incommensurabilità della
diagonale di un quadrato di lato 1
• Dimostriamo che se n 2 è pari, allora anche n è
pari. Un numero pari m ha la forma m=2k, con
k numero qualunque (pari o dispari)
• Per dimostrarlo, mostriamo che il prodotto di
due numeri dispari è dispari e che il prodotto
di due pari è pari: un dispari ha la forma 2n+1
u
( 2n
1)(
2m
1)
4nm
2m
2n
1
2(
2nm
m n)
1
2n2m
4nm
2(
2mn)

Dimostrazione per assurdo che
m/n è irrazionale (surdus, alogon)
• m/n, il rapporto tra diagonale e lato, è ridotto ai
minimi termini: i due numeri non possono
entrambi essere pari
• Ma A(Tr)=2A(p), quindi Tr=n= è pari
• A(G)=2A(Tr), quindi diagonale Tr=m=pari
• Conseguenza: non possiamo misurare tutte le
possibili lunghezze mediante i numeri naturali
come n e m
• Geometria e aritmetica (algebra) si separano fino
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a Cantor

04/12/2012
I razionali hanno la potenza del
1
1
1
2
1
3
..
2
1
2
2
2
3
..
numerabile
3
1
2
3
3
3
..
....
1, 2/1,1/2,1/3,2/2, 3/1, …..
è numerabile, perché in corrispondenza con i naturali. Eliminando i
numeri presenti due volte nella successione qui sopra, si ottiene la
successione numerabile in alto a destra.
..
..
..
1 2
,
1 1
,
1,
2
,
1
2
1
,
3
,
3
1
,
4
1
,
3
2
,...

L’idea della prova di Cantor che i reali non
sono equinumerosi con i naturali
• Se i reali fossero numerabili, potrebbero essere messi in
corrispondenza 1-1 con i naturali, e potremmo elencarli
nell’ordine dato dalla successione di quei naturali
s0,
s1,
s3,
s4,
s5.....
• Ora usiamo questa successione per costruire un numero
reale sx che differisce da ogni numero della successione in
almeno un posto decimale (la n-esima cifra nell’n-esimo
posto decimale). Questo numero non è contenuto nella
lista s e quindi si ha una contraddizione
04/12/2012

Come si costruisce il numero non
• S 0 =3,14159
• S 1 =1,41421
• S 2 =1,73205
• S 3 =2,23606
• S 4 =0,14285
• …
04/12/2012
contenuto nella lista
3,4368..
2,3257…
2,3257… non è presente nella lista perché differisce dai
numeri presenti per almeno una cifra: la prima per il primo
numero, la seconda per il secondo, la terza cifra per il terzo
etc. Stesso risultato se facciamo una lista di 0 e 1

Con 0 e 1
• s 1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
• s 2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
• s 3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)
• s 4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...)
• s 5 = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ...)
• s x = (1, 0, 1, 1, 1, ... ) Non è presente nella lista
ma dovrebbe esserci, se tutte le infinite
sequenze di 0 e 1 devono essere nella lista
04/12/2012

s 0
s 1
s 2
s 3
04/12/2012
s 00
s 10
s 20
s 30
Diagonalizzazione
s 01
s 11
s 21
s 31
s 02
s 12
s 22
s 32
….
s 33

Aristotele e l'infinito (Fis. III)
• Infinito fisico (ciò che non si può percorrere)
• È il tempo che è alla base dell'infinito in potenza:
se a un tempo t gli oggetti sono n, esiste un
tempo successivo sono n+1
• Se l'infinito è in atto (totalità compiuta), allora
scatta il paradosso per il quale la parte propria di
un insieme infinito può essere equinumerosa
rispetto al tutto
04/12/2012
2 3 4 …
1 2 3 ….
1001 1002 1003 ….

La freccia
• 1) premessa incompatibilità, ovvero
Non (M(O, t) e Q(O,t))
• 2) premessa determinatezza
M(O, t) o Q(O,t)
3) Premessa in ogni istante un corpo occupa
solo una regione anche se il suo stato di
moto è indeterminato
4) Se un corpo occupa una sola regione è in
quiete
04/12/2012

Soluzione Zangari
• Se v= 0/0, ovvero nell’istante spazio percorso
= tempo percorso = 0, allora non vale la
premessa della determinatezza, perché x= 0/0
ha infinite soluzioni. Quindi non vale la
premessa della determinatezza
04/12/2012