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Marco Roncadelli e Antonio Defendi 

I CAMMINI DI FEYNMAN 

QUADERNI DI FISICA TEORICA 

Università degli Studi di Pavia 

Dipartimento di Fisica Nucleare e Teorica


Collana curata da Sigfrido Boffi 

Comitato Scientifico 

Bruno Bertotti 

Sigfrido Boffi 

Italo Guarneri 

Alberto Rimini 

Marco Roncadelli 

Volumi già pubblicati: 

1. Le onde di de Broglie, a cura di Sigfrido Boffi 

2. Onde di materia e onde di probabilità, a cura di Sigfrido Boffi 

3. Il principio di indeterminazione, a cura di Sigfrido Boffi 

4. La meccanica delle onde, a cura di Sigfrido Boffi 

5. Paradosso EPR e teorema di Bell, a cura di Oreste Nicrosini 

6. I cammini di Feynman, a cura di Marco Roncadelli e Antonio Defendi 

7. L’interpretazione statistica della meccanica quantistica, a cura di 


8. L’origine delle statistiche quantistiche, a cura di Fulvio Piccinini 

9. Le radici della quantizzazione, a cura di Sandro Graffi 

10. La fase di Berry, a cura di Franco Salmistraro 

11. Il postulato dei quanti e il significato della funzione d’onda, a cura di 


12. Indice di rifrazione adronico, a cura di Francesco Cannata 

13. La formulazione delle storie della meccanica quantistica, a cura di Irene 

Giardina 

14. La regola d’oro di Fermi, a cura di Paolo Facchi e Saverio Pascazio 

15. Le radici del dualismo onda-corpuscolo, a cura di Sigfrido Boffi e Michele 

D’Anna 

16. Teoria delle caratteristiche ed equazioni ondulatorie quantiche, a cura di 

Paola Orsi 

I primi dieci Quaderni sono disponibili su richiesta presso il Dipartimento di 

Fisica Nucleare e Teorica dell’Università di Pavia. I successivi sono pubblicati 

dalla Casa Editrice Bibliopolis

Marco Roncadelli e Antonio Defendi 

I CAMMINI DI FEYNMAN 


Università degli Studi di Pavia 

Dipartimento di Fisica Nucleare e Teorica

Prima edizione: gennaio 1992 

Edizione web: ottobre 2001 

ISBN 88–85159–06–0

INDICE 

¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ £ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡¡ ¢ £ ¢ ¡¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ £ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ £ ¢ ¢ ¡ £ ¢ ¡ £ ¢ ¢ ¡ Premessa 

¤ 

7 

1. Concetto di propagatore ¡ ¢ £ ¢ ¡¡ ¢ ¡ ¢ ¡ £ ¢ ¡ ¢ ¡¡ ¢ ¡ ¢ £ ¢ ¡¡ ¢ ¡ quantistico 11 

¤ 

2. Aspetti dell’integrale di Feynman ¡ £ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¡ ¢ £ ¢ ¡ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ £ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¡ ¢ 15 

4. Osservazioni storiche ¢ ¡ ¢ ¡¡ ¢ ¡ ¢ £ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ £ ¢ ¡ ¢ ¡¡ ¢ ¡ ¢ £ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ £ ¢ ¡ ¢ ¡ 51 

¤ 

– Approccio spazio-temporale alla meccanica quantistica 

non £ ¢ ¡¡ ¢ ¡ ¢ ¡ £ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡¡ ¢ £ ¢ ¡¡ ¢ ¡ ¢ ¡ £ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ £ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ relativistica 

¤ 

57 

5. Nuova formulazione della meccanica ¢ ¡¡ ¢ £ ¢ ¡¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ £ quantistica 95 

¤ 

3. Analogie fra meccanica quantistica e processi stocastici classici 34 

6. Bibliografia £ ¡ £ ¡ £ ¡ £ ¡ £ ¡ £ 122 

¤ 

– ¡¡ ¢ ¡ ¢ ¡ £ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡¡ ¢ £ ¢ ¡¡ ¢ ¡ ¢ ¡ £ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡¡ ¢ £ ¢ ¡¡ ¢ ¡ ¢ ¡ £ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ Addendum 129

PREMESSA 

Un fondamentale cambiamento di prospettiva nell’impostazione dei problemi 

di meccanica quantistica si è avuto agli inizi degli anni ’50 principalmente 

ad opera di Richard Feynman, al quale si deve una formulazione della teoria 

quantistica diversa da quella usuale di Heisenberg, Schrödinger e Dirac. 

La formulazione di Feynman è basata sul concetto di “¥§¦©¨¥ 

¥§¦¥ ” e permette di esprimere l’¥ "!"!£ (quantistica) di transizione fra 

due punti spazio-temporali senza far ricorso a vettori di stato ed operatori in 

uno spazio di Hilbert. Questo approccio fornisce inoltre una rappresentazione 

intuitiva del#¥$¥%¨ &'¥"( 

della meccanica quantistica. 

L’importanza pratica della strategia di Feynman è dovuta al fatto che essa 

rappresenta un’)¨**¦+¨%¥§,- alle tecniche di soluzione dei problemi quantistici 

basate sull’equazione di Schrödinger. Naturalmente, nei casi in cui tale 

equazione sia risolubile.*/¨0¨ 1¢¦©¨ , il nuovo metodo non aggiunge nulla di 

nuovo. Tuttavia è ben noto che si tratta di pure eccezioni: per la maggior parte 

dei problemi fisicamente rilevanti risulta impossibile risolvere l’equazione di 

Schrödinger. È proprio in queste circostanze che un nuovo approccio alla teoria 

quantistica diventa molto importante, in quanto esso permette di sviluppare 

¦© ( ,£¥ metodi di soluzione approssimate. 

Ora, nell’ambito più ristretto della meccanica quantistica¦ 

( ¦ relativistica, 

i vantaggi derivanti dalla formulazione di Feynman si manifestano principalmente 

in alcuni tipi di problemi, come quelli basati sull’approssimazione 

semiclassica e sulla trattazione dei fenomeni quantistici nei sistemi macroscopici. 

La situazione cambia radicalmente se si considera l’estensione relativistica, 

cioè la teoria quantistica dei campi. Il motivo di fondo è molto semplice. 

La quantizzazione canonica è basata sul formalismo hamiltoniano, in cui il 

tempo gioca un ruolo 2¥§,'¢. ( 

dalle coordinate spaziali: la teoria non può 

quindi essere “covariante a vista” rispetto a trasformazioni di Lorentz. Questo 

serio inconveniente è ovviato nell’approccio di Feynman, poiché il tempo e le 

coordinate spaziali vengono poste sullo.¨. ( 

piano. Un ulteriore importantis-

8 

simo vantaggio rispetto al metodo canonico è di permettere la quantizzazione 

delle teorie di gauge in modo notevolmente più semplice. Si noti che le 

( &32¥546¢7-¦©8¦ ” per tali teorie sono state derivate proprio facendo uso 

dell’“¥§¦©¨ 9&:¥ ¥$¦©¥ ”. 

“ 

Scopo del presente Quaderno è un’¥$¦+¨% ( 2/!*¥( ¦; fornire alla formulazione 

di Feynman della teoria quantistica. Ci limiteremo quindi a considerare solo 

la meccanica quantistica non relativistica (per ciò che concerne la teoria quantistica 

dei campi verrà data soltanto una traccia bibliografica). Com’è consuetudine 

dei Quaderni di Fisica Teorica, presentiamo in traduzione l’articolo 

fondamentale sull’argomento, che è stato pubblicato da Feynman nel 1948. 

Desideriamo sottolineare che questo lavoro è oggigiorno più un documento 

storico che non un’esposizione consigliabile a chi voglia imparare il 

metodo di quantizzazione di Feynman. Pensiamo però che la sua lettura costituisca 

una notevole esperienza intellettuale – anche per gli studenti di Fisica – 

se corredata da un’opportuna introduzione in chiave moderna e da alcuni commenti 

che illustrino il contesto storico in cui si colloca il lavoro di Feynman. 

Il presente Quaderno si articola nel modo seguente. Dopo un breve 

richiamo del concetto di ( £

L’articolo originale di Feynman, pubblicato su IJ*,£¥ *KL (9MN( 2

1. Concetto di propagatore quantistico 

¤ 

1.1 – Consideriamo per semplicità moto¦¥02¥§1*¦@.¥( ¦+ il di una particella 

non relativistica in presenza di un potenziale stazionarioRTS%U;V 

scalare 

(situazioni più generali verranno discusse in seguito). È ben noto che la corrispondente 

equazione di Schrödinger ha la forma 

- X3Y W 

S%U6\ Z V5]_^ 

- X+` [ 

a'b Y ` 

Y U ` [ S%U6\ Z V6cdRTS%U;V[ S%Ue\ Z V S9f fEV 

Y©Z 

Ora, un fisico degli ’30¦ 

( ¦ anni avrebbe cercato risolvere2¥§"¢¨0¨ 1*¦©¨ di tale 

equazione! Egli avrebbe invece osservato che essendoRTS%U;V – indipendente 

dal tempo – è conveniente porre 

S%Ue\ Z Vhgjikl$mon p 

- Xeq S%UoV [ 

cosicché l’eq. (1.1) diventa 

r ` 

q S%UoVoc 

a'b 

X©`Qst ûR1S0U;Vwvq S%UoVx]zy 

- 

S9f a V 

U ` 

S9f |{ V 

r 

A stadio,t questo è ovviamente un parametro (reale) indeterminato}. Supponiamo 

cheRTS%U;V ulteriormente soddisfi condizione` 

la 

lim 

R8S%UoVL] cƒ‚ S9f …„ V 

~E:€ 

Si può allora dimostrare che l’eq. (1.3) soluzioniq 

S%U;V ammette soddisfacenti 

alle usuali condizioni regolarità†5 

( ( 

di per valori2¥$ 

"¢¨%¥ certi del parametro 

(li indicheremo contJ‡ \ t } \ t ` \¢ˆ¢ˆ¢ˆ e supporremo che si abbiatJ‡F‰Št } ‰ 

t ` ˆ¢ˆ¢ˆ ). Quindi, in corrispondenza ad ognuno dei suddetti valoritC‹ si avrà una 

t 

1 NaturalmenteŒ ha il significato fisico di energia della particella. Tuttavia questa circostanza 

è irrilevante per le considerazioni esposte in questo paragrafo. 

2 Se l’eq. (1.4) non valesse, si avrebbe in generale uno spettro continuo di autovalori per 

l’eq. (1.3), ma il ragionamento che segue rimarrebbe inalterato. 

3 Queste condizioni seguono direttamente dal significato fisico della funzione d’onda (il suo 

modulo quadrato fornisce la densità di probabilità) e sono discusse in tutti i testi di meccanica 

quantistica.

12 

soluzione dell’eq. (1.3): esse verranno comeq 

‹ S%U;V indicate . Sotto ipotesi 

molto generali l’insieme 

q ‹ S%U;V delle 

"( ;&¡¨( 

inŽ 

`€ è , per l’¥§¦©¨ 

*¦¢ 

cui 

dell’eq. (1.1) può essere rappresentato S%U6\ Z V5] [ ‹ i k+l$m“En0p 

- X q ‹ S%U;V S9f •” V 

‹’‘ 

ove ‹ sono coefficienti (complessi) arbitrari. 

‘ Possiamo schematizzare il suddetto procedimento nel modo seguente. 

L’originaria equazione di Schrödinger alle derivate parziali (1.1) è stata ridotta – 

mediante l’introduzione di un parametro arbitrario – ad un’equazione differenziale 

ordinaria. La richiesta di regolarità imposta alla funzione d’onda porta a 

il; ( – *8>£•¥C¨( ,-( .¥ considerare associato a quest’ultima 

L’¥§¦©¨ 9&—

Ú 

l’eq. (1.1) fissando l’attenzione sul cosiddetto 

( £

all’eq. (1.1). Scriviamo il problema agli autovalori ö ÷ 

per nella forma 

€ 

€ 

€ 

ö 

X 

X 

14 

Pertanto la conoscenza del propagatore permette di un’ – ¥%¨%*¥% 

calcolare 

soluzione dell’equazione di Schrödinger. Questo fatto – non sempre apprezzato 

appieno – il"*E/ ( .¨(BM*( ¦+2/1*¦©¨ & costituisce alla formulazione di 

Feynman della teoria quantistica. È opportuno osservare che, benché l’uso del 

propagatore per risolvere l’equazione di Schrödinger non sia certo opera 

Feynmanë 

di 

, egli è stato indubbiamente il primo a capire il ruolo cruciale che 

esso gioca in meccanica quantistica. 

1.3 – Sussiste una notevole relazione fra il propagatore dell’equazione 

di Schrödinger (1.1) ed il problema agli autovalori associato all’eq. (1.3). 

Abbiamo infatti 

€ 

‹/ío‡ 

Zì…ìÎU+ì0\ ZìÏ ] 

S9f f£y

che è proprio l’eq. (1.10). 

Notiamo infine che il propagatore soddisfa la"( ¦+2¥!*¥( ¦;Â2¥L¦¥%¨ *¥ ¢¨ Ò 

ì…ì\ Zì…ìÎU ì\ ZìÏ î ]óÍ%U ì\ ZìÎU ì…ì\ Zì…ìÏ S9f f „ V 

Í%U 

Essa è conseguenza diretta dell’hermiticità dell’hamiltoniana, come si vede 

facilmente usando l’eq. (1.11). 

2. Aspetti dell’integrale di Feynman 

¤ 

2.1 – La formulazione di Feynman fornisce il propagatore dell’equazione 

di come¥§¦©¨C¥ ¥§¦¥ (¥§¦©¨ 9&ƒ2¥4D*7'¦8¦ Schrödinger ). Risulta 

quindi possibile calcolare il quantistico¢¢¦ !¡ propagatore che sia necessario 

risolvere l’equazione di Schrödinger. Sottolineiamo che è proprio quest’ultima 

circostanza che rende questo approccio così importante da un punto di vista 

applicativo. Infatti, anche nei casi in cui non si riesca a calcolare esattamente 

l’integrale di Feynman, è peraltro possibile sviluppare nuovi metodi di 

approssimatiú soluzione . 

2.2 – Pensiamo di fare cosa utile al lettore mostrando – nel semplice caso 

dell’equazione di Schrödinger (1.1) – come l’integrale di Feynman emerga 

in modo naturale partendo dalla usuale formulazione operatoriale della teoria 

quantistica. Questo modo di procedere è, in un certo senso, 

( / ( .¨( 

a 

quello originario di Feynman (si veda il paragrafo 2.4 e l’articolo tradotto): 

egli ha infatti 2

g 

ö 

c ö R 

 

Ù ô 

 

ò ÎU ìÏ 

 

€ ÚÙ € Í0U+ì…ìÎi k§ô 

 

p 

£ 

i kxô 

 

p 

£ 

ÎU £ 

k } Ï ˆ 

k 

U £ 

k } Í%U £ 

k } Îi k5ô 

 

p 

£ 

i kÌô 

 

p 

£ 

ÎU £ 

k ` Ï r U £ 

k ` ˆ¢ˆ¢ˆ 

r 

U } Í%U } ÎikQô 

 

p 

£ 

ikxô 

 

p 

£ 

ÎU ìÏ r 

16 

i ô Sa fEV ÿ 

È pertanto un fatto notevole che – sotto ipotesi piuttosto generali – si abbia 

invece 

i ô 

] i ô 

ÿ Ù 

ô¢¡ 

ô ÿ Ù ô ] lim £ :€ i 

i ô ÿ p 

£ 

i ô p 

£¦¥ £ ¤ 

a V Sa 

che è laM*( * &2¥¨§ ( ¨0¨* essenzialmente . Come vedremo, l’integrale di 

Feynman altro non è che una conseguenza di tale formula, combinata con 

un’osservazione dovuta a Dirac! 

Fissiamo ora l’attenzione propagatoreÍ%U ì…ì\ Zì…ìÎU ì\ ZìÏ sul dell’equazione di 

Schrödinger (1.1). © Ponendo 

W 

XJSZì…ì ^ ZìV.\ - 

Sa |{ V 

e facendo uso dell’eq. (1.11) possiamo scrivere 

÷ g ö 

Sa …„ V 

che – in virtù della formula di Trotter (2.2) – diventa 

Í0U ì…ì\ Zì…ìÎU ì\ ZìÏ ]óÍ%U ì…ìÎi k

Í%U Ù } Îi k ô 

 

p 

£ 

ÎU Ï ] 

Ú 

r 

Î Ï Í DÎ ]_f 

r 

Í%U Ù } Îi k ô 

 

p 

£ 

Î Ï Í ÎU Ï 

Ù } Îi k§ô 

 

p 

£ 

Î Ï ] i k "! 

 

p 

`$# £ 

Í0U Ù } Î Ï 

Í%U 

È conveniente porre U ì g U ‡ e U ì…ì g U £ , cosicché l’eq. (2.8) può essere 

riscritta nella forma più compatta}w† 

17 

Zì…ìÎUì0\ ZìÏ Í%Uì…ì%\ 

lim £ :€ ] 

£ 

k } 

 

 

k } 

£ 

 

ío‡ Í%U Ù } Îi k§ô 

 

p 

£ 

i kxô 

 

p 

£ 

ÎU Ï 

 

€ Ù Ú € Ù Ú 

ˆ¢ˆ¢ˆ € k € k 

r U 

l 

} 

Sa |Ý V 

lí 

Questa equazione – che segue direttamente dalla formula di Trotter – esprime 

propagatoreÍ0U ì…ì\ Zì…ìÎU ì\ ZìÏ 

il 

in funzione del propagatore relativo ad un intervallo 

tempo¥§¦L¦©¥§¨*¥§ ( 

di (vale direSZì…ì ^ ZìV a ‚ per ). 

Calcoliamo il; ( @E//¨( "¥§¦L¦¥%¨..¥$ ( Í%U Ù } Îi k ô 

 

p 

£ 

ÎU Ï ora . 

È evidente che qui ö 

non è altro cheR1S%U;V , quindi R 


 

p 

£ 

i kxô 

 

p 

£ 

ÎU Ï ] i k Í%U 

 

p 

£ 

i k ô 

 

ò%p 

£ 

Í0U Ù } Îi k§ô 

 

p 

£ 

ÎU Ï Sa f£y

Í%U Ù } Îik ô 

 

p 

£ 

ÎU Ï ] 

Í%U Ù } Îi k5ô 

 

p 

£ 

ÎU Ï ]87 

Ú 

r 

ik ! 

 

p 

`# £ 

Í%U Ù } Î Ï Í ÎU Ï 

r 

i k ! 

 

p 

`$# £ 

i l( 

exp ;©^âSb 

 

a V¢S%U Ù } ^ U V ` 

< 

© 

18 

€ ÚÙ € k 

f „ V Sa 

Î Ï è l’autofunzione dell’impulso (corrispondente all’autovalore ) nella 

rappresentazione delle coordinate, cioè 

MaÍ%U 

Í%U Î Ï ] q 

% a'& - X i l( 

~ p 

- X f 

Sa f ” V 

quindi possiamo riscrivere l’eq. (2.14) come 

 

S0U;Vx] 


 

p 

£ 

ÎU Ï ] f 

a'& - 

X Í%U 

 

k 

~ 

ò%p 

- 

X Sa f Ñ V ï~*),+ 

€ ÚÙ € k 

L’integrale che figura nell’eq. (2.16) è/

p 

£ 

i kxô 

b 

b 

G 

b 

X 

p ` Ù € Ú £ 

ûR1S%U VTLUNd] 

r U 

lR 

ˆ 

Inserendo l’eq. (2.18) nell’eq. (2.10) ed usando le eq. (2.3) e (2.19) abbiamo 

infine l’espressione. ;•¥ ¥%¨ del propagatore infinitesimo 

p 

£ 

i kxô 

 

p 

£ 

ÎU Ï 

 

]DC 

a'&;W 

?'E 

X 

b 

- 

}p ` ˆ 

19 

exp FHSW 

- 

? K 

` 

aJI 

U Ù } ^ÜU b 

?HG 

Í%U Ù } Îi k5ô 

Questa espressione del propagatore infinitesimo è stata suggerita per la prima 

volta da }˜ Dirac . Non era invece chiaro a Dirac come ottenere il propagatore 

relativo ad un intervallo di h¦¥§¨( }w tempo . Oggi sappiamo ¢ – 

X V 

^ R8S%U VMLON 

Sa a y

? 

? 

k } 

£ 

ío‡ 

k } 

£ 

ío‡ 

G 

G 

b 

b 

b 

b 

X 

X 

p ` Ù € Ú £ 

r U 

lR 

r U l 

? 

ˆ 

ˆ 

? 

20 

per cui otteniamo in definitiva 

?QE 

Zì…ìÎUì0\ ZìÏ ] lim £ :€ P ‡ 

C Í0U+ì…ì%\ 

aQ&;W - 

£ 

k } 

 

 

€ ÚÙ k € ˆ¢ˆ¢ˆ 

k € 

lí } 

W X 

SW 

exp 

X V V - 

? K 

` 

a I 

U Ù } ^ U 

VTL Z \ 

] 

^ËRTS%U 

Sa a { V 

Questa l’. ;".".¥( ¦hL¦+& è del propagatore quantistico ¥§¦©¨ 12¥ 

4D*7'¦8¦ 

come 

. Vedremo nel paragrafo successivo che l’eq. (2.23) può essere 

riscritta in modo più compatto ed elegante. Tuttavia è bene tenere sempre 

presente che ogni altra equivalente¦ 

( ¦ espressione ha alcun significato diverso 

da mostrato.#¥ ¥§¨ 1*¦©¨ quello dall’eq. (2.23). 

2.3 – A questo punto il lettore potrebbe chiedersi (giustamente!) dove 

siano i “ ¥§¦¥h2¥Ì46¢7-¦©8¦ ”}wë . 

Al fine di rispondere a questa domanda è conveniente porre 

?QE 

€ ÚÙ Í0U+ì…ì%\ Zì…ìÎUì0\ ZìÏ £ji P g C 

aQ&;W - 

p ` Ù € Ú £ 

£ 

k } 

 

 

k € ˆ¢ˆ¢ˆ 

k € 

lí } 

W X 

SW 

exp 

X V V - 

? K 

` 

a I 

U Ù } ^ÜU 

Sa a „ V 

V LUZ \ 

] 

ûR8S%U 

cosicché l’eq. (2.23) assume la forma 

ì|ì\ Zì…ìÎU ì\ ZìÏ ] lim £ F€ P ‡ Í%U ì…ì\ Zì…ìÎU ì\ ZìÏ £ji P 

Í%U 

a ” V Sa 

Discretizziamo ora l’intervallo di consideratoZì…ì ^ Zì tempo ^Šf 

mediante 

punti intermedi Z } 

equidistanti Z ` , ˆ¢ˆ¢ˆ , Z £ 

k } 

, spaziati (Zl ] Z ‡ c W 

di 

Z ‡ g Zì 

, 

Z £ g Zì…ì , ylk 

W 

km , ) (si noti che questa discretizzazione era già 

usata¥$;•¥ ¥%¨ 1¢¦©¨ stata nell’applicare la formula di Trotter). Ragionando 

nello spazio delle ..¨* ( S%Ue\ Z V }ú configurazioni , il generico insieme di punti 

18 Talvolta essi sono anche detti¬§³.¥w ? . 

19 Esso si ottiene rappresentando geometricamente il tempo come®E¢¬§«¥« ³.¥ coordinata.

£ S²ˆ¢ˆ¢ˆ¡\9UÌSZ oV*\¢ˆ¢ˆ¢ˆ)VLg 

n 

UDSZì?VLg Uì0\9UDSZ } VLg U } \¢ˆ¢ˆ¢ˆ-\9UDSZ oVLg Uo \¢ˆ¢ˆ¢Ê\ 

q 

£ 

k } VLg U £ 

k } \9UÌSZì…ìVLgzU ì…ì p 

Sa a Ñ V 

UÌSZ 

? 

G 

b 

b 

b 

X 

Ú 

X 

Ú 

Z f a 

bvu 

UÌSZ V ` 

9 

ûR1S0UDSZ VV 

7 

r 

ˆ 

n 

U ì\9U } \¢ˆ¢ˆ¢ˆ£\9Uo\¢ˆ¢ˆ¢ˆ£\9U £ 

k } \9U ì…ìp che figura nell’eq. (2.24) può essere interpretato 

come l’insieme dei vertici di una !"!£¨ ` ‡Oq £ S²ˆ¢ˆ¢ˆ¡\9UDSZ o V*\¢ˆ¢ˆ¢ˆ#V definita 

nel modo seguente 

21 

Indichiamo r £ji P S%U ì\ Zìs U ì…ì\ Zì…ìV con l’insieme ¨%@¨0¨ di le £ S²ˆ¢ˆ¢Ê\9UDSZ oV.\¢ˆ¢ˆ¢ˆ)V 

con estremi fissi q U ì , UÌSZì|ìV1g U ì…ì . Dato che q £ S²ˆ¢ˆ¢ˆ¡\9UÌSZ oV.\¢ˆ¢ˆ¢ˆ)V è 

UDSZìVTg 

completamente caratterizzata dai suoi vertici, l’eq. (2.24) non è altro che la 

( 8 di exp n ˆ¢ˆ¢ˆ p su r £ji P S%U ì\ Zìs U ì…ì\ Zì…ìV . Alla luce di questa osservazione è 

conveniente riscrivere l’eq. (2.24) come 

 

Zì…ìÎUì0\ £ji P ] C Í0U+ì…ì0\ ZìÏ 

WYX 

£ 

SW 

exp 

k } 

V - 

? K 

` 

€ ˆ¢ˆ¢ˆ 

k € k 

} lí 

VVTL[ZY\ 

] 

^ËRTS%UÌSZ 

Sa a Ø V 

r UDSZlV 

a'&;W - 

?QE 

£ 

p ` Ù € 

£ 

k } 

 

 

€ ÚÙ ío‡ 

Ricordando che (nel caso in questione) l’azione classica calcolata lungo una 

arbitraria traiettoriaUDSZ V è 

X V 

a I 

UÌSZ Ù } VDÛÌSZ V 

t 

sUDS²ˆ•Vwvnðñð 

Sa a Û V 

nð 

scopriamo che la sommatoria nell’eq. (2.27) è l’E!¢¥( ¦ &'¥ proprio calcolata 

lungo la spezzata £ S²ˆ¢ˆ¢Ê\9UDSZ oV.\¢ˆ¢ˆ¢ˆ&V . Quindi possiamo scrivere 

q 

nð ] nðñð 

?'E 

20 Come$Ç- 

ì…ì\ ì\ £ji ]wC 

£ 

p 

Ù € Ú Ù € 

Í%U ` ˆ¢ˆ¢ˆ 

Ú £ 

Zì|ìÎU k } r 

€ 

P a'&;W UÌSZlV ˆ 

ZìÏ 

lí } 

- 

X 

€ 

ẗ y q £ S²ˆ¢ˆ¢ˆ£\9UDSZ oV.\¢ˆ¢ˆ¢ˆ)V{z n0ðñð V exp xDSW - 

k k 

nð}| 

Sa a Ý V 

intendiamo un insieme discreto di punti uniti da segmenti. Una curva ordinaria 

può essere definita specificando i suoi punti in funzione di una variabile indipendente 

ÀÀ"›.¬$› 

. Analogamente si può fare per una spezzata, solo che ora l’insieme dei punti (vertici) è 

discreto anziché continuo. 

é

? 

su rLS%U ì\ Zì s U ì…ì\ Zì…ìV . È altresì evidente che` 

} 

‚ 

b 

X 

22 

Naturalmente quanto detto vale per arbitrario. Consideriamo ora il limite 

~ ‚ ( 

y ). Al crescere di una spezzata q £ S²ˆ¢ˆ¢Ê\9UDSZ o V.\¢ˆ¢ˆ¢ˆ)V 

approssima vieppiù una curva continuaUDSZ V (con gli stessi estremi), fino a coincidere 

con questa nel limite 

. Pertanto l’insieme r £Oi P S%U ì\ Zìs U ì…ì\ Zì…ìV 

diventa lo E!*¥( 2 *¥ ¥§¦¥€rxS%U ì\ Zì s U ì…ì\ Zì|ìV , cioè l’insieme delle funzioni 

‚ 

continueUÌSZ V (reali) con fissiUÌSZìV¯g_U ì ,UÌSZì|ìV¯gäU ì…ì estremi . Quindi nel limite 

l’eq. (2.29) da somma r £ji P S%U ì\ Zìs U ì…ì\ Zì…ìV su una 

‚ ( 8 

diventa 

lim 

£ F€ 

ẗ y q £ S²ˆ¢ˆ¢ˆ£\9UDSZ oV.\¢ˆ¢ˆ¢ˆ)V{z n0ðñð 

Sa |{ y

Ú 

Z f 

9 

a 

bŒu 

U l SZ V 

u 

U l SZ VocŽ l S%UÌSZ V*\ Z V 

u 

U l SZ VD^lBS%UÌSZ V*\ Z V 

7 

r 

esso ¦ ( ¦ è (da un punto di vista matematico) un’integrale su uno spazio di 

funzioni`† (integrale funzionale). Più semplicemente, in questo contesto la 

parola integrale (ed il relativo simbolo) è da intendersi 

( ( 

come sinonimo di 

( 8 (su un insieme di funzioni). Ulteriormente – per quanto suggestiva 

l’eq. (2.31) possa apparire – va ricordata l’osservazione fatta alla fine del 

paragrafo precedente. 

Benché l’eq. (2.31) sia stata derivata qui nel caso unidimensionale in cui è 

presente solo un potenziale scalare stazionarioR1S%U;V , essa vale anche nel caso 

multidimensionale per un’azione classica del tipo` 

23 

t 

sUÌS²ˆ•Vwvnðñð 

] Sa nðñð 

|{{ V 

nð nð 

L’eq. (2.31) corrispondente a quest’ultima forma dell’azione classica va ancora 

definita come limite di un’espressione discretizzata, molto simile a quella che 

figura nell’eq. (2.23). Vi un’¥§ ( ¢¨ ¦©¨2¥G¢¢¦ !¡ è però . Nell’espressione 

(2.20) del propagatore U infinitesimo U Ù } 

fra R1S%U;V e , è U calcolato in 

inveceƒS0Ue\ Z V 

. 

Ora nel;¦©¨( ¥$¦+¨**12¥(‘ 

va g S0U cŠU Ù } V 

a 

calcolato U 

nell’analoga espressione del propagatore infinitesimo. Ciò si riflette nell’identica 

prescrizione per quanto concerne la forma discretizzata dell’eq. (2.31) 

(2.23))` 

˜ (simile all’eq. (a questo proposito si veda l’articolo tradotto). 

23 Ciò è stato dimostrato in: R. H. Cameron, J. Math. and Phys. 39, 126 (1960). Sottolineiamo 

che le difficoltà matematiche menzionate all’inizio del paragrafo 2.2 traggono 

origine proprio da questo fatto. 

24 È immediato accorgersi che questa azione classica ha la forma tipica dell’interazione di 

una particella con un campo elettromagnetico o gravitazionale esterno nell’approssimazione 

semirelativistica. In realtà, l’eq. (2.31) vale anche per azioni classiche … [ç (‡ )]Ç ¡Ê 

dell’eq. (2.33). Un esempio è quello di spazio delle configurazioniž9®£¥«¼³ . Rimandiamo 

il lettore al testo di Schulman. È opportuno tenere presente che l’eq. (1.11) vale«³*¢…³ se 

›*¢ ®Q¤£«Ÿ/«¥ 

dipende dal tempo (invece l’eq. (1.14) ha validità generale). 

25 

L’origine matematica di questo fatto verrà spiegata nel paragrafo 2.6. Discutiamo qui 

l’hamiltonianaŸ³.Ÿ 

invece |¤.Ÿ' gž›.¬$³Hg© žw³ suo (si tratta di una tipica situazione in cui una difficoltà 

matematica ha una radice fisica). Un problema che ha preoccupato i fondatori della teoria 

quantistica è l’esistenza delle ›.¦“’² |¤.®E #¬EÊ ›1¡. 5ý9®-›.Ÿ'¬ |ÀÀ"›À² ³.Ÿ/ cosiddette . Si supponga 

che ž¢…›. žw› nell’hamiltoniana compaia un termine in cui l’impulso è moltiplicato per 

una funzione delle coordinate (questo è effettivamente quanto avviene nel caso descritto 

dall’azione (2.33)). Come è ben noto, la hamiltonianaý²®'›.Ÿ-¬? #w¬ ž› corrispondente si ottiene 

sostituendo gli operatori alle grandezze classiche. Ora, gli operatori posizione e impulso 

commutano, quindi vi sonoÇ ¡Ê ® hamiltoniane quantistiche distinte associate alla¬§²«› 

hamiltoniana classica. Senza ulteriori argomenti (ritorneremo su questo punto più avanti in 

Ÿ³.Ÿ 

questa nota) è privo di significato chiedersi quale di esse sia l’hamiltoniana “giusta”, perché 

esse sono concettualmente sullo stesso piano, nonostante portino a risultati diversi. Qual’è 

l’origine di queste ambiguità? Storicamente, vi è stata una notevole confusione proposito. 

Inizialmente si riteneva che esse unaÇ®£¥ ›Bž³.Ÿ'9?¤.®«Ÿ£À› fossero dell’uso degli operatori.

24 

D’ora in poi considereremo il caso generale di uno spazio delle configurazioni 

)¨%¥%2¥$1¢¦@¥( ¦+& . Al fine di semplificare la notazione, ¢,£¥%¨*"* ( 

*"â¥§ –( #¥h,¢¨0¨( .¥0#¥ ( ¥§¦+2¥ ¥ ogniqualvolta ciò non dia luogo a fraintendimenti. 

2¥h 

2.4 – Ci sembra molto istruttivo confrontare la derivazione dell’eq. (2.31) 

presentata nel paragrafo 2.2 con la strategia seguita originariamente da Feynman 

(essa è discussa nell’articolo tradotto). Come abbiamo già sottolineato, 

egli ¦ ( ¦ parte dalla formulazione operatoriale della teoria quantistica, 

bensì procede in modo euristico: estende il principio di sovrapposizione delle 

ampiezze e sviluppa un’osservazione – dovuta a Dirac` 

– sul ruolo dell’azione 

classica in meccanica quantistica. Cercheremo di riassumere (in modo molto 

schematico) i punti nodali di tale approccio. 

Consideriamo una particella ” descritta dall’azione classica (2.33) e fissiamo 

l’attenzione sull’evento 

û “”ó,' 2/ S0U ì\ ZìV: S%U ì…ì\ Zì…ìV”. Si noti che 

l’¥ "!!¡ (totale) Í%U ì…ì\ Zì|ìÎU ì\ ZìÏ associata a questo evento non è altro che il 

; ( @E//¨( " dell’equazione di Schrödinger (nelle variabiliU ì…ì\ Zì…ì ). A questo 

Successivamente ci si è però resi conto che ciò non poteva essere vero: infatti la meccanica 

classica può venire espressa in un linguaggio³«Ç-«¥ ›.¬$³.¥« ›*¢| molto simile a quello quantistico 

(B. O. Koopman, Proc. Nat. Acad. Sci. 17, 315 (1931); J. Von Neumann, Ann. of Math. 

33, 587 (1932)), mentre la meccanica quantistica può essere formulata nello$ÇE›À² ³B¡²¢)¢| 

analogamente alla meccanica classica (E. P. Wigner, Phys. Rev. 40, 749 (1932); J. E. 

Moyal, Proc. Camb. Phil. Soc. 45, 99 (1949); M. Hillery, R. F. O’Connell, M. O. Scully 

½«›. 

and E. P. Wigner, Phys. Rep. 106, 121 (1984)). L’origine delle suddette ambiguità è dovuto 

in all’›.9«Ÿ£À›¨¡. )«³.¦¨³.¥‹gw¦¨³ realtà fra i gruppi delle trasformazioni canoniche classiche 

e quantistiche dalla¥ ›«Ç¢Ç¥«9«Ÿ'¬$›À² ³.Ÿ/ (indipendentemente di tali gruppi nell’ambito 

?Ç' ž² gž› 

della 

formulazione della teoria) (L. Van Hove, Acad. Roy. Belg. Bull. Cl. Sci. Mém. 

(5) 37, 610 (1951); T. F. Jordan and E. C. G. Sudarshan, Rev. Mod. Phys. 33, 515 (1961)). 

Ciò nonostante è stato ripetutamente affermato che l’integrale Feynman²¢ )¦Q)Ÿ› di le ambiguità 

di quantizzazione, dato che esso non contiene operatori (citiamo un solo esempio: E. 

Kerner and W. Sutcliffe, J. Math. Phys. 11, 391 (1970))! Come vedremo nel paragrafo 2.6, 

queste ambiguità sono in®*¤*®-›*¢ ¦Q #w®£¥› presenti nella formulazione di Feynman, anche se 

compaiono in forma meno evidente. Il primo calcolo esplicito che laŸ³.Ÿ mostra invarianza 

dell’integrale di Feynman sotto trasformazioni canoniche classiche è stato dato da: S. F. 

Edwards and Y. V. Gulyaev, Proc. Roy. Soc. A 279, 229 (1964). Per una discussione molto 

chiara e generale si veda: J. L. Gervais and A. Jevicki, Nucl. Phys. B110, 93 (1976). Si 

pone quindi il problema scegliere®EŸ› di hamiltoniana quantistica. Nel caso dell’azione 

classica (2.33) la richiesta che la corrispondente equazione di Schrödinger sia invariante 

sotto trasformazioni di determina®£Ÿ' )¼³ž›.¦C«Ÿ'¬§ gauge l’hamiltoniana quantistica. Anticipiamo 

che a livello dell’integrale di Feynman ciò equivale proprio alla prescrizione 

Ç®£Ÿ'¬$³â¦C ¡. ³ 

del 

menzionata nel testo. La situazione è meno semplice nel caso di una particella 

(non relativistica) in spazio curvo. Qui è piuttosto naturale richiedere l’invarianza 

dell’equazione di Schrödinger sotto trasformazioni generali di coordinate. Tuttavia 

criterioŸ³.Ÿ 

questo 

è sufficiente per fissare univocamente l’hamiltoniana quantistica. Se invece si 

considera la quantistica®Ç-«¥« )¦Q¦C«¬¥«&žw› meccanica (E. Witten, Nucl. Phys. B188, 513 

(1981)) l’invarianza sotto supersimmetria trasformazioni generali di coordinate 

ž³.¦ÌÇ¢|«¬§›.¦¨²Ÿ-¬% 

determina 

l’hamiltoniana (V. De Alfaro, S. Fubini, G. Furlan and M. 

Roncadelli, Nucl. Phys. B296, 402 (1988); V. De Alfaro and G. Gavazzi, Nucl. Phys. 

B335, 655 (1990)). 

26 Si veda la nota 15.

Nella formulazione usuale della teoria quantistica si associa una¥ "!!¡ 

K 

25 

punto, il primo postulato di è` Ó 

Feynman 

F1) le#¨¢.¦¨%¥§,'Â2¥$²¥$¦©¨ ` ë Tutte secondo le l’eventoû 

quali può realizzarsi 

sono da 

¥§¦¥UÌSZ Vj•–rxS%U ì\ Zì s U ì…ì\ Zì|ìV descritte . 

(la funzione d’onda!) alla posizione di una particella ad un1— 

2¥; (

6 

b 

 

n 

UDSZ Vj•–ž p ] 

Ú ‚ 

Ú ‚ 

26 

Ovviamente nel nostro caso l’azione classica è fornita dall’eq. (2.33). 

È ben noto che le ampiezze quantistiche – convenzionalmente associate 

alla posizione¥$.¨ ¦©¨ ¦; di una particella – soddisfano il*¥§¦ ¥|¥( 2¥© ( ,£*— 

( .¥&!¢¥( ¦ . Avendo associato un’ampiezza ad un¥§¦©¨¢ ( 

camminoUÌSZ V , è naturale 

supporre che il principio di sovrapposizione"( 

¦+¨%¥$¦¥¯1,-*" (si veda 

 

la discussione dell’esperimento di diffrazione da doppia fenditura nell’articolo 

tradotto). Ora, tale principio di sovrapposizione generalizzato implica che 

(totale)Í%U ì…ì\ Zì…ìÎU ì\ ZìÏ l’ampiezza l’eventoû 

per debba la 

( 8 essere 

ampiezzeÍ%U ì|ì\ Zì…ìÎU ì\ ZìÏ sUÌS²ˆ•Vwv 

delle 

relative ad ogni singola alternativa disgiunta. Di 

conseguenza – in virtù del postulato F1 – il terzo postulato di Feynman è 

F3) Il ( £

n 

UDSZ Vj•–ž p ] Î 

6 

¤ Ú ¤ ‚ 

¤ 

¤ 

b 

 

U6SZ 

n 

p Î` ] VO•–ž 

` ¤ 

affermazione può apparire strana. Infatti, dall’eq. (2.34) segue† 

` 

UÌSZ 

n 

p ] VU•–ž 

‚ Ú 

I 

probabilità che ” 

si muova lungo UÌSZ V 

K 

¤ 

¤ 

¤ 

27 

e¡Q¢Q£ 

Sa |{Ý V 

V¢Í0U+ì…ì%\ Zì…ìÎUì0\ ZìÏ sUDS²ˆ•V«v UDSZ 

Un’importante conseguenza dell’eq. (2.39) è ¦ ( ¦ che esiste alcuna 

 

distribu- 

definita rxS0U ì\ Zì s U ì…ì\ Zì|ìV su . A prima vista, questa 

zione 

&'¥ di (

§ 

? 

 

§ 

? 

? 

 

§ 

§ 

§ 

? 

28 

particella segua “tutti i cammini simultaneamente”! In realtà, la mancanza di 

un’interpretazione fisica intuitiva per questi cammini non deve stupire: infatti 

è ben noto che in meccanica quantistica ¦ ( ¦ si possono attribuire proprietà 

fisiche ben definite ad oggetti¦ 

( ¦ ( "¡**,-/¨%¥ † . 

2.6 – Una precisazione è ora quanto mai opportuna. Da quanto detto, 

il lettore potrebbe farsi l’idea che i 

¥§¦¥¯2¥h46¢7'¦8¦ – vale a dire quei 

cammini che contribuiscono 0G¢¨0¨%¥§,-1*¦©¨ nell’eq. (2.31) – siano ¨%@¨0¨ le 

funzioniUDSZ VO•–rxS%U ì\ Zì s U ì…ì\ Zì…ìV.Ciò èM | ( 

! Si può infatti dimostrare (si veda 

l’articolo tradotto) che ( #¨ ¦©¨( 

quei particolari cammini che godono della 

proprietà § 

Z ( molto piccolo) danno contributo¦ 

( ¦ ¦© §( 

un all’integrale di Feynman. 

Un modo euristico per rendersi conto di questo fatto è di ritornare all’eq. (2.23), 

gùUDSZ V (come spiegato nel paragrafo 2.3). È evidente che nel 

limite y si ottiene un risultato L¦¥%¨( 

solo nel caso in cui la grandezza 

scrivendoU 

Ù } V§ûUDSZ V Î` 

si mantiene L¦¥%¨ , ma ciò implica proprio l’eq. (2.42). 

ÎUÌSZ 

È altresì chiaro che il contributo di che¦ 

( ¦ cammini soddisfano l’eq. (2.42) 

scompare nel limite 

diverge, il meccanismo per 

( seÎUDSZ Ù } V/^FUDSZ V Î` 

 

cui ciò avviene è molto simile a quello considerato nel paragrafo successivo). 

y 

Ora, l’eq. (2.42) implica che la UÌSZ V funzione – seppur continua ¦ ( ¦ – sia 

differenziabile per alcun diZ valore . Concludiamo che i cammini di 

sonoM 

¨0¨ •¥ 

Feynman 

con dimensione di Hausdorff uguale 2 † Ó 

i 

†ë a . Qualitativamente, 

essi sono identici alle traiettorie a zig-zag tipiche del moto browniano 

(ritorneremo su questo punto in seguito). Osservando tali traiettorie, si nota 

immediatamente il loro carattere fluttuante: esse appaiono come se il punto 

rappresentativo fluttuasse casualmente intorno ad una traiettoria liscia. È facile 

rendersi conto che questo ¡ fatto proprio dall’eq. (2.42). Consideriamo 

infatti curva•¥$ ¥%6UÌSZ V una , vale a dire funzione2¥G*"*¦!*¥0 – ¥§ una del tempo. 

Avremo allora (per 

Z molto piccolo) 

UÌSZ V:¨óS 

Sa …„ a V 

Z V }p ` 

mentre per i cammini di Feynman dall’eq. (2.42) segue 

36 Vogliamo mettere in chiaro che¬®£¬¬§› la discussione fatta nel presente Quaderno si riferisce 

(salvo«$Ç¢ &ž9 #¬§³ avviso) a sistemi quantisticiŸ³.Ÿ osservati. 

37 Il concetto di½¥ ›.¬¬$›*¢| è entrato ormai nella cultura scientifica di ogni fisico. Un’esposizione 

divulgativa è contenuta in: B. Mandelbrot, Be¢ e£+¤¤¡«¬¬? +©¥ ›.¬¬$›*¢ (Einaudi, Torino, 1987). 

38 Si noti che questo fattoŸ³.Ÿ è in contraddizione col postulato F1. Semplicemente, l’ampiezza 

che « si muova lungo molti dei cammini›5Ç¥w ³.¥« possibili è di fattoŸ'®E¢)¢…› . 

UDSZ Vx]ª©1S 

Z V 

Sa …„/{ V

§ 

§ 

? 

§ 

§ 

§ 

§ 

 

29 

Ma essendo 

UÌSZ Vx]¬©®"S 

Z una quantità molto piccola ( 

f ), è evidente che 

Z V }p`„¯ 

Sa …„„ V 

Z:° 

per cui funzioneUDSZ V una che soddisfi la condizione (2.42) ( )¨( ¥ Ò 

*¥02/1¢¦©¨ 

varia 

(rispetto aZ)di funzioneUÌSZ V una che sia differenziabile. Ciò 

il 

¨0¨*"´³Q@¨0¨%¦©¨ spiega dei cammini di Feynman. 

L’esistenza di ³Q@¨0¨%E!*¥( ¦©¥ tali è concettualmente molto importante, perché 

esse rappresentano 0G¢¨0¨%¥B=¢¦+¨%¥?*¨%¥ ¥ gli nell’evoluzione temporale descritta 

dall’integrale di Feynman. 

Come è spiegato nell’articolo tradotto, 

l’eq. (2.42) è "=¢¥§,-*¦+¨ al*¥§¦ ¥|¥( 2¥¨¥§¦+2 ¢¨**¥§¦+E!¢¥( ¦ ! Di fatto, che 

quest’ultimo e la proprietà (2.42) siano aspetti diversi della*¨."¢ realtà appare 

chiaro in un contesto diverso† ú . Se si misura la traiettoria di una particella, 

si vede che le limitazioni dettate dal principio di indeterminazione implicano 

proprio la validità dell’eq. (2.42) 

‡ i 

} ! 

Un’ulteriore conseguenza dell’eq. (2.42) è l’esistenza delle – ¥)¥§¨ Ò 

¦ nell’integrale di Feynman. Supponiamo infatti di inserire 

l’azione classica (2.33) nell’eq.(2.31), ed immaginiamo di considerare la cor- 

2¥¨=¢¦©¨%¥!"!£E!¢¥( 

rispondente espressione discretizzata (assumiamo per semplicità che i potenziali 

siano stazionari). Quest’ultima differisce dall’eq. (2.23) per un termine 

sotto il segno di sommatoria nell’esponente – 

l’asterisco indica che non è chiaro in quale particolare punto dell’intervallo 

del tipo S%U Ù } ^dU V$ƒS%U î 

V 

Z V }p` ¯¦² 

©±S 

©1S 

Z V 

Sa …„

? 

t½yUÌS²ˆ•VMz nðñð 

? 

? 

30 

Ù } ^>U vada calcolatoU 

î 

. Abbiamo visto che nel caso dell’azione classica 

(2.28) tale sommatoria è una tipica somma di Cauchy-Riemann che definisce 

U 

sUDS²ˆ•Vwv come¥§¦©¨ 9&F2¥oIJ¥0¢8¦¦ 

t 

Chiaramente,¡ . questa circostanza continuasse 

ad essere vera, il ¦ ( ¦ risultato dovrebbe dipendere dalla particolare 

diU 

î 

scelta : questa è infatti una proprietà fondamentale dell’integrale di Riemann. 

Notiamo in particolare che le due somme corrispondenti alle due situazioni 

differiscono per ©8S"S%U Ù } ^8U V ` V termini estremeU 

î 

] U Ù } 

. 

– esse differirebbero per termini ©1S 

per i cammini di Feynman vale la proprietà (2.42), quindi le due somme suddette 

differiscono in realtà per ©8S V termini , 

"( ¦©¨%*¥– ¥$ ( ¦ ( 

che al risultato. 

Siamo così giunti ad un’importante conclusione. Da un punto di vista matematico, 

vediamo che nel caso dell’azione classica (2.33) l’integrale d’azione che 

figura (2.31)¦ 

( ¦ nell’eq. è più un integrale di Riemann, perché le somme che 

definiscono2¥…©*¦+2 ( ¦ ( 

lo dalla particolare diU 

î 

scelta (si tratta di un oggetto 

molto agli¥$¦+¨ •¥6.¨(E '*¨%¥ ¥ simile che incontreremo nel paragrafo 3.9). Sul 

piano fisico, (2.31)¦ 

( ¦ l’eq. fornisce più il propagatore quantistico in 

¦¥§, (E"( 

modo 

, dato che è necessario specificare in che modo sceltoU 

î 

vada 

nella 

discretizzazione che la definisce – ecco come le ambiguità di quantizzazione 

nascono nell’approccio di 

` 

Feynman ! 

2.7 – È ben noto che la meccanica quantistica contiene la meccanica 

classica come caso limite. Ciò significa che quando - risulta 

( )¨( ¥§¦ ( " X 

di qualunque altra grandezza in gioco (avente le dimensioni di un’azione), gli 

effetti quantistici scompaiono ed il comportamento classico emerge. 

Un vantaggio della formulazione di Feynman è di permettere una 

prensione¥§¦©¨%¥§¨%¥§,- 

com- 

del limite classico. 

Fissiamo l’attenzione sull’eq. (2.31) e supponiamo che in una situazione 

specifica abbia 

]zU eU î 

Ora,¢ 

 

i cammini di Feynman funzioni2¥G*"¢¦ !*¥0 – ¥$#¥ fossero del tempo – cioè 

tali cuiU Ù } Û ¨ 

` V per , che sarebbero¥§.*¥§&¢,-¦©¨%¥ 

in quanto infinitesimi di ordine superiore. Sappiamo però che 

per cui laM 

'¡ che compare nell’integrale di Feynman è un numero ( )¨( nð 

. Consideriamo ora due

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

f 

X 

K 

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

X V 

t 

S%U+ì…ì \ Zì…ì s U+ì0\ Zì$V 

| 

 

X 

X 

t 

S%U ì…ì\ Zì…ì s U ì\ ZìV 

¤ 

¤ 

¤ 

¤¤ 

ˆ 

in unità 

)".¥ P . Quantisticamente la situazione è radicalmente 2¥§,'*.¢ , 

perché in virtù dell’eq. (2.46) abbiamo¥$¦

Â 

Â 

32 

ove S0U ì…ì\ Zì…ì s U ì\ ZìV è l’azione classica (2.33) (calcolata lungo U } SZ V ) come 

funzione delle coordinate t i 

ë . 

Talvolta si dice che ( )¨ ¦©¨( 

la traiettoria dinamica classicaU 

Ó SZ V contribuisce 

all’integrale di Feynman nell’approssimazione semiclassica. Ciò è 

M 

} 

( 

. Come abbiamo già visto, sono i cammini di Feynman ,£¥ ¥§¦¥ aU } SZ V 

• 

che in realtà contribuiscono. Ma sappiamo che tali cammini godono della 

proprietà (2.42), quindi nell’eq. (2.49) sono presenti effetti quantistici. Di 

fatto, l’approssimazione semiclassica contiene i “;.¥§¥ ” effetti quantistici, 

cioè quelli ©8S - 

V "ú . 

X 

2.8 – Si incontra spesso l’affermazione che vi è uno stretto legame fra 

l’integrale di Feynman e la meccanica classica. Ciò è senz’altro vero, in quanto 

l’unica grandezza compare.#¥ ¥§¨ 1*¦©¨ che è l’E!¢¥( ¦ )".¥ proprio , anche 

se calcolata non già lungo traiettorie classiche, bensì lungo i cammini di 

Feynman. Questi ¦ ( ¦ ultimi hanno invece ¥&¦¥ /¨( &'".¥( 

alcun , proprio 

perché rispecchiano gli effetti quantistici (è inoltre impossibile 

 

associare 

a tali cammini in modo consistente con la teoria quantistica). 

D’altra parte, abbiamo visto che nell’approssimazione semiclassica i cammini 

di Feynman si addensano intorno alla traiettoria dinamica classica che unisce 

( – – ¥§•¥%¨ Ò 

delle; 

ì\ ZìV con S%U ì…ì\ Zì…ìV . Non solo, ma è anche stato notato che tali cammini 

appaiono come se il punto rappresentativo fluttuasse casualmente intorno ad 

S0U 

traiettoria#¥? 

¥0 una (cioè differenziabile). Alcune domande sorgono spontanee. 

Queste traiettorie lisce posseggono un significato in meccanica classica? 

Più in generale, esiste =¢ P "( ¦¦.¥( ¦ una fra cammini di Feynman e 

traiettorie dinamiche classiche? 

Sarebbe peraltro molto bello se un simile 

legame esistesse realmente, in quanto ciò evidenzierebbe una radice classica 

della teoria quantistica più pronunciata di quanto usualmente si pensi. Evidentemente 

una comprensione dell’eventuale meccanismo che genera i cammini 

di Feynman partendo da una traiettoria dinamica classica farebbe luce sulla 

natura stessa della quantizzazione. 

Vedremo nel capitolo 5 che una relazione2¥§"¢¨0¨ fra cammini di Feynman 

e traiettorie dinamiche classiche ¦ ( ¦ esiste. Ma ciò è unicamente dovuto al 

fatto che l’eq. (2.31) rappresenta un contesto¨% 

( < ( .¥$.¨%"¡¨0¨( 

per la questione 

47 Questo concetto è discusso ad es. in: L. D. Landau e E. M. Lifshits,œFžž›.Ÿ' ž› (MIR, 

Mosca, 1976). 

48 In tutto il presente Quaderno ignoriamo (per semplicità) i problemi dovuti all’esistenza 

diÇ®£Ÿ'¬ ©½«³ž›*¢ ež›.®£w¬ žw¿' nello spazio delle configurazioni (il lettore interessato può 

consultare il testo di Schulman). 

49 Purtroppo è facile imbattersi nell’affermazione opposta, che l’approssimazione semiclassica 

›.¦¨²Ÿ-¬% classica. A sostegno di ciò viene addotto il fatto che il propagatore semiclassico 

(2.49) è espressož³.¦ÌÇ¢|«¬$›.¦C«Ÿ'¬§ in termini di grandezze classiche. Alla base 

èÇ®E¥ 

di questa confusione sta le circostanza che le correzioni Á quantistiche ( - ) alla 

classicaŸ³.Ÿ 

dinamica 

dipendono da - , per cui esse sono descritte soltanto da grandezze classiche, 

nonostante si tratti di un ý²®-›.Ÿ'¬ )¬?&žw³ effetto ! Si può trovare una chiara discussione di 

questo punto in: L. O’Raifeartaigh and A. Wipf, Found. Phys. 18, 307 (1987).

S%U6\ Z V6c f a-b 

t 

I 

t 

S%Ue\ Z Vx^Ä l S%Ue\ Z V 

Y U 

Y 

l 

K 

` 

K 

che vogliamo affrontare. È infatti necessario #¥%" la nostra prospettiva, 

rendendoci conto che esistono¥$¦h¦¥§¨%¥ insiemi di cammini di Feynman *¦— 

, peraltro tutti =¢¥§,-&¢¦©¨%¥ dal punto di vista quantistico. Ciò risulta 

evidente da una riformulazione dell’integrale di Feynman che ora descriviamo 

•¥!"!£¨%¥ 

(questo risultato è riportato qui per la volta˜ 

‡ 

prima ). 

Consideriamo la formulazione di Hamilton-Jacobi della meccanica classica, 

nel caso della ” particella descritta dall’azione (2.33). Come è ben noto, 

l’equazione di Hamilton-Jacobi corrispondente ha la forma 

33 

cŽBS%U6\ Z Vh]zy 

Sa •” y

Ú 

u 

Y 

E 

34 

Zì…ìÎUì0\ Í%U+ì…ì%\ ZìÏ 

- X 

ò*È ¾ ï~ ðñð inðñðò k ¾ ï~ ð 

ÚË‚ inðòÊÉ i/ï)l$p ] 

t 

S%Ue\ Z Vx^l l S%Ue\ Z V 

¥ ¤ ¤ 

`ÏÎ 

UDSZ V9ÐS%U ì…ì ^ÜUDSZì…ìVV9ÐS%U ì ^ UDSZìVV 

Ì expÍ¯SW 

- 

X V¢Sb 

 

a V nðñð 

r Z CU l SZ VD^ f 

Y U l 

¤~ í ~ ï#n0ò 

Sa •” a V 

nð 

essendo S%Ue\ Z V un’ – ¥§¨%*¥0 soluzione dell’equazione di Hamilton-Jacobi 

(2.50) t . Ovviamente il secondo membro dell’eq. (2.52) è (globalmente) 

¥§¦+2¥…©*¦+2 *¦©¨ dalla scelta di t S0Ue\ Z V . Ora, dato che esistono¥§¦L¦©¥§¨ soluzioni 

˜˜ 

dell’eq. (2.50), vi ¥§¦L¦©¥§¨ sono espressioni esplicite del propagatore date 

dall’eq. (2.52) – in ognuna di esse ( ( 

contribuiscono cammini che soddisfano 

l’eq. (2.42), ma l’insieme di cammini2¥…©*¦+2 tali da S%Ue\ Z V , per cui 

ve ne sono t . Siamo così giunti alla conclusione che esistono ¥$¦„L¦¥%¨%¥ 

insiemi di cammini di Feynman

Quanto appena osservato può venire schematizzato dicendo che le ½— 

Ø 

Ž û tÙt Ô Ø ÷ t 

© 

û 

Ú 

á 

 

ÞÕß û 

 

Ô t Ô Ø ÷ t \ 

ÞÕß û 

 

© 

, a seconda dell’importanza che si vuole attribuire al concetto di 

¥ "!!¡ probabilità. È infatti ben noto che in meccanica quantistica le 

modi2¥$.¨%¥§¦©¨%¥ 

nascono¢*;" probabilità come modulo quadrato di certa¥ "!"!£ una . 

Se si di¥&¦ ( 9" decide il gioco delle ampiezze e si fissa l’attenzione sulle 

di (

Inoltre il propagatore soddisfa la cosiddetta 

( ;*¥0¡¨ Ò 

ÖÌ× S0Ue\ Z VLg Î[ S0Ue\ Z V Î` \ 

36 

Passiamo ora ad illustrare in dettaglio queste affermazioni. 

3.2 – È ben noto che in meccanica quantistica l’evoluzione temporale è 

descritta"( 

¢¨ 1*¦©¨ da2© grandezze : 

i) 

M ¦!*¥( ¦Â2äã( ¦+2/1¥§¦¥&!¢¥%& [ S%U6\ Z‡ V ; 

ii) ;¥0!"!£T2¥h¨%¦@.¥&!¢¥( ¦ Ô; ( @E//¨( "«ÕCÍ%U6\ Z¢ÎU ‡ \ Z ‡ Ï . 

Sappiamo infatti che la funzione d’onda ad un qualunque tempoZ è data 

dalla relazione 

[ S%U6\ Z V5] 

€ ÚÙ € k 

r U ‡ Í%U6\ Z¢ÎU ‡ \ Z ‡ Ï[ S0U ‡ \ Z ‡ V 

S{ |{ V 

12¥x¢¢¥).E< ( 

€ ÚÙ € k 

Z¢ÎUì0\ ZìÏ ] r U ‡ Í%Ue\ Z¡ÎU ‡ \ Z ‡EÏ Í%U ‡ \ Z ‡ ÎUì0\ ZìÏ S{ …„ V 

Í%U6\ 

che si ottiene immediatamente facendo uso della relazione di completezza 

€ ÚÙ € k 

U ‡ ÎU ‡ \ Z ‡EÏ Í0U ‡ \ Z ‡ Î ]óf S{ •” V 

r 

Abbiamo già ricordato che in meccanica quantistica le probabilità appaiono 

sempre come il modulo quadrato di una ampiezza, la2

Öx× S%Ue\ Z V }p ` 

k 

Öx× S%Ue\ Z¡ÎU+ì0\ Zì$V }p` 

k 

Ú 

r U ‡ ÖÌ× S0Ue\ Z¡ÎU ‡ \ Z ‡ V }p` Öx× S%U ‡ \ Z‡ V }p ` \ 

al tempoZ ‡ , le eq. (3.8) e (3.9) verrebbero sostituite dalle seguenti ˜ 

37 

€ ÚÙ € k 

S{ |Û V 

U ‡ Öx× S%Ue\ Z¡ÎU ‡ \ Z‡ V }p` ÖÌ× S0U ‡ \ Z ‡ ÎU+ì \ Zì$V }p` S{ |Ý V 

r 

È molto importante tenere presente che le eq. (3.3), (3.4) – e quindi anche 

le (3.8) e (3.9) – ( ( 

valgono sotto un’implicita ¦ ( ¦j,E¥0¢¦ 

0G¢¨0¨%/¨ ¦+ ¥?.9-!*¥( ¦ 

assunzione: 

. Se invece una misurazione venisse eseguita 

Ù € 

k € 

Öx× S%U6\ Z Vh] 

€ ÚÙ € k 

r U ‡ Öx× S%Ue\ Z¡ÎU ‡ \ Z‡ VÖx× S%U ‡ \ Z ‡ V.\ 

S{ f£y

€ ë 

Ù 

€ k 

ë 

n 

U ‹ ‰ 

å SZ‹ V ‰ U ‹ c r U ‹ s ˆ¢ˆ¢ˆ s U } ‰ 

å SZ } V ‰ U } c r U } p g 

U ‹ ‰ 

å SZ‹ V ‰ U ‹ c r U ‹ 

n 

ˆ¢ˆ¢ˆ s U # Ù } ‰ 

å SZ # Ù } V ‰ U # Ù } c r U # Ù } Î 

s 

SZ # VL] U # s ˆ¢ˆ¢ˆ s å SZ } VL] U } p g 

å 

‹ S%U ‹ \ Z‹ s ˆ¢ˆ¢ˆ s U } \ Z } VL] Ö S%U ‹ \ Z‹ s ˆ¢ˆ¢ˆ s U # Ù } \ Z # Ù } ÎU # \ Z # s ˆ¢ˆ¢ˆ s U } \ Z } V.ˆ 

Ö 

Ö 

S%U # \ Z # s ˆ¢ˆ¢ˆ s U } \ Z } V S{ f „ V 

# 

38 

˜¡.¢Q£ 

‹ S%U ‹ \ Z‹ s ˆ¢ˆ¢ˆ s U } \ Z } V r U ‹ ˆ¢ˆ¢ˆ r U } 

S{ f a V 

Ö 

In linea di principio è necessario conoscere tutte 

Ö ‹ S%U ‹ \ Z‹ s ˆ¢ˆ¢ˆ s U } \ Z } V 

(perø 

le 

arbitrario) al fine di avere una caratterizzazione completa del processo. 

È inoltre chiaro che 

Ö ‹ S%U ‹ \ Z‹ s ˆ¢ˆ¢ˆ s U } \ Z } V le devono soddisfare le seguenti 

("¥( ¥§2¥äè ( # ( ( ( , )ë condizioni : 

i) 

Ö ‹ S%U ‹ \ Z‹ s ˆ¢ˆ¢ˆ s U } \ Z } VOé y@\Mê ø ; 

ii) 

r U ‹ Ö ‹ S%U ‹ \ Z‹ s ˆ¢ˆ¢ˆ s U } \ Z } VL] Ö ‹ k } S%U ‹ k } \ Z‹ k } s ˆ¢ˆ¢ˆ s U } \ Z } V ; 

iii) 

r U Ö S%U6\ Z Vx] f . 

Ù € 

€ 

Un concetto molto importante è quello di 2 *¦@.¥§¨ Ò u2¥L (

Ú 

39 

Una classe particolarmente importante di processi stocastici è dei; ( — 

.¥¯2¥ N 

quella 

( , , caratterizzati dal fatto che la generica probabilità condizionataÖ 

S0U ‹ \ Z‹ 

÷ö ˆ¢ˆ¢ˆ s U # Ù } \ Z # Ù } ÎU # \ Z # s ˆ¢ˆ¢ˆ s U } \ Z } V è¥§¦+2¥…©*¦+2 *¦©¨ dalle variabiliU 

s 

\ Z } s ˆ¢ˆ¢ˆ s U # 

k } \ Z # 

k } 

, mentre 2¥…©*¦+2 daU # \ Z # Ó } . Possiamo dire 

in modo più intuitivo che secondo la proprietà di Markov “ il futuro dipende dal 

} 

( ( 

attraverso il presente”, cioè il presente determina"( 

¢¨ 1¢¦©¨ 

il futuro,¥$¦+2¥…©*¦+2 *¦©¨¢1*¦©¨ da quanto è avvenuto nel passato. È facile rendersi 

conto che per un processo markoviano l’infinita gerarchia delle densità 

passato 

di congiunteÖ 

‹ S%U ‹ \ Z‹ s ˆ¢ˆ¢ˆ s U } \ Z } V è( ¢¨ 1*¦©¨ probabilità 

da2 

determinata 

sole grandezze: 

2

Ö S%U6\ Z V 

Ú 

 

[ S%Ue\ Z V.\ S{ f Û V 

40 

queste a quelle mediante la sostituzione (3.1), che assume pertanto la forma 

più specifica 

S%Ue\ \ Zì$V 

Ú 

Í%Ue\ Z¡ÎU+ì\ ZìÏ S{ f Ý V 

Ö Z¡ÎU+ì 

Ma c’è di ¦ ( ¦ ¥0G¢¨0¨% più! Se alcuna misurazione, le probabilità quantistiche 

soddisfano le eq. che2¥G**¥$ "( ¦ ( 

(3.8), (3.9) dalle formule classiche 

(3.15), (3.17): il manifestarsi di ¦ ( ¦ &'¥"( 

tale comportamento sta alla 

base “'¡¨0¨(( ¦+2)/¨( *¥( 2 *§)Ü8¨**¥0 del famoso ”. ¥ƒ%G¡¨f— 

Se invece 

una misurazione al tempoZ ‡ , le probabilità quantistiche ubbidiscono alle 

eq. (3.10), (3.11), che manifestamente 

( ¥§¦ ¥02 ( ¦ ( 

con le corrispondenti formule 

classiche (3.15), (3.17): in questo secondo caso la materia si comporta 

¨% 

come ci si attenderebbe in fisica classica, vale a “¥§¦ ( 2 (8"( w;< "( ) dire ”. 

L’analisi dell’esperimento di diffrazione da doppia fenditura data da Feynman 

nell’articolo tradotto illustra questi concetti in modo chiaroÓ † estremamente . 

Notiamo a questo punto che l’analogia schematizzata dalle eq. (3.1), 

è9GJ/¨0¨(

§ 

Y 

§ 

Y 

§ 

§ 

§ 

§ 

§ 

§ 

¥( ¦ 

à 

che descrive l’effetto delle ³Q@¨0¨%@-!*¥( ¦¥ , mentre la “2*¥M ¨ ” 

RTS%U6\ Z V descrive gli effetti2 ¢¨**¥§¦¥$.¨%¥ ¥ di campi di forza eventualmente pre- 

2¥â2¥G¨ 

senti. Supponiamo inoltre che le particelle che realizzano il processo possano 

e" ( – ¥%¨ dall’ambiente: ciò è specificato dalla “öE¥§$#¥$¦ 3¨ ” 

S%Ue\ Z V , che esprime la; ( – – ¥§•¥%¨ Ò 2¥h" ( – ¥§1*¦©¨( ¢ƒ¦¥%¨ Ò 2¥h¨¢ ( Ó . 

venir*1.¢ 

È fondamentale notare che gli effetti rappresentati da ,RTSU6\ Z V e SU6\ Z V 

à ( ¦ interferiscono fra loro, per cui ne possiamo tenere conto in modo/2

§ 

Y 

r 

§ 

§ 

§ 

42 

Questo risultato è in perfetto accordo con l’intuizione fisica: dato che il numero 

di particelle è costante, le probabilità si conservano, per cui la densità di 

probabilità deve soddisfare un’equazione di continuità. Ora, all’eq. (3.21) è 

associata l’equazione 

Poiché di fatto l’eq. (3.22) segue dall’eq. (3.21) ponendo 

r Z Å l SZ Vx]jR l S 

Å 

SZ V.\ Z V 

S{ aa V 

S%Ue\ Z VL]zÐS%UT^ 

Å 

SZ VV S{ a { V 

Ö 

è evidente che entrambe la.¨.* descrivono evoluzione temporale dovuta agli 

effetti deterministiciÓ ú (i soli ora presenti!). Arriviamo così alla conclusione 

che le soluzioni SZ V dell’eq. (3.22) descrivono le¨%¥ ¢¨0¨( *¥0}x.¥ P del PSMC 

considerato¦¢$$ã./; 

( ".¥$8-!*¥( ¦ 

à 

] y ,R1S0Ue\ Z V 

¡ 

]zy e S%Ue\ Z VL] y . 

Å 

( ¦ avessimo supposto la costanza del numero delle particelle, al posto 

dell’eq. (3.21) avremmo ottenuto dall’eq. (3.20) 

Se¦ 

S{ a „ V 

Vediamo quindi che il termine aggiuntivo nell’eq. (3.24) tiene conto proprio 

del fatto che le probabilità in realtà non si conservano, a causa dei processi di 

emissione e di assorbimento (si noti che ciò è in accordo con l’interpretazione 

di 

Z V come probabilità di assorbimento per unità di tempo). Naturalmente 

le¨%¥ ¢¨0¨( *¥0:x.¥ P restano le.¨*"¡ di prima – cambia 

( ( 

la distribuzione 

S0Ue\ 

di probabilità: si può infatti dimostrare che ora l’eq. (3.22) segue dall’eq. (3.24) 

ponendo 

Ö S%U6\ Z Vh]_^ Y 

Y©Z 

Y U l sR l S0Ue\ Z VÖ S%U6\ Z V«v©^ 

S%U6\ Z VÖ S%Ue\ Z V 

S%Ue\ Vx] 

Å 

SZ VV 

W X 

exp V ^ n Ú Ö ÐS%UT^ Z 

nfû 

r Zì 

Å 

SZì&V*\ Zì$V Z \ 

] 

S{ a ” V S 

Abbiamo così chiarito il significato del secondo e terzo termine nel secondo 

membro dell’eq. (3.20). 

79 Non c’è da stupirsi che un’evoluzione temporale deterministica sia descritta da una distribuzione 

di probabilità: ciò significa semplicemente che lo stato iniziale Ÿ³.Ÿ è noto 

esattamente.

Y 

Y 

Y 

§ 

ý 

„ 

& à 

SZ ^ Z 

f 

V 

exp Í¯^ f 

„ 

à 

S%UT^ÜU ‡ V ` 

SZ ^ Z‡ V ‡ 

§ 

Î 

9 

Qual’è il significato del primo termine? Consideriamo adesso il caso limite 

opposto, in cui le fluttuazioni abbiano un ruolo predominante – supporremo 

pertanto à ¡ 

]zy ,R1S%Ue\ Z VL] y e 

S%U6\ Z Vh]zy . Quindi l’eq. (3.20) diventa 

43 

Y U ` Ö S%Ue\ Z V S{ a Ñ V 

Y©Z 

Questa è la ben nota “equazione del calore”, che descrive (E . ( 2¥ 

ü 

¥0¢¦* 

un 

, cioè un PSMC definito dalla seguente probabilità di transizione 

Ö S%U6\ Z Vx] 

à 

Y ` 

Ö S%U6\ Z¢ÎU ‡ \ Z‡ VL] 

a Ø V S{ 

È dunque evidente che le fluttuazioni associate al processo stocastico descritto 

dall’eq. (3.20) sono caratterizzate da una / ¥0¦+ distribuzione di 

bilitàë 

‡ i 

ë¢} 

proba- 

. 

C’è un punto che va ulteriormente chiarito. 

P nel caso à ¡ 

] y , RTS%U6\ Z V 

¡ 

] y e 

¦ 

È naturale aspettarsi che 

debba soddisfare un’equazione di continuità, dato che il numero di particelle 

è costante. Ma ora l’eq. (3.20) si riduce a 

S%Ue\ Z Vƒ]’y la densità di probabilità 

Y ` 

Y U ` Ö S%U6\ Z VD^ Y 

Y U l sR l S%U6\ Z V Ö S%U6\ Z Vwv S{ a Û V 

Y©Z 

che non sembra avere la forma di un’equazione di continuità. È senz’altro vero 

che l’eq. (3.28) differisce dall’eq. (3.21), però va tenuto presente che adesso la 

situazione è più complessa, perché si sta tenendo conto anche dell’effetto delle 

fluttuazioni. Procedendo formalmente, notiamo che l’eq. (3.28) può venire 

riscritta come 

Ö S%Ue\ Z VL] 

à 

Ö S%U6\ Z Vh]_^ Y 

Y©Z 

per cui, ponendo 

Y U l 

à Y 

Y U l 

7²^ 

Ö S%U6\ Z VocŠR l S0Ue\ Z VÖ S%U6\ Z V 

S{ a Ý V 

80 È importante apprezzare il fatto che la distribuzione di probabilità relativa a tali fluttuazioni 

È per questo motivo che 

)Ÿ¡. Ç-²Ÿ¡²Ÿ-¬% è dallo stato dinamico del sistema considerato. 

parleremo “þ;®£¬¬®'›À² ³.Ÿ' ;¡. ½«³.Ÿ¡¢³ di ”. Questo aspetto verrà sviluppato nel capitolo 5. 

81 È ben noto che distribuzioni¤¢›.®£w ›.Ÿ/ le di probabilità hanno un ruolo preminente in 

fisica. Ciò è dovuto al¬§³.¥ ²¦¯›:žw²Ÿ-¬?¥0›*¢|J¡²¢+¢ #¦Q)¬§ essenzialmente (si veda ad es.: A. 

1973)). 

&¢)¬£Ê 

›.· Á ›.¥« ›’² &¢/»Ì¢|›.¬$³.¥«?h6Æ¥0³"žw«w@±'¬$³žw›.¬ ž² (Boringhieri, Torino, 

Papoulis,Æ¥0³’w›’²

à Ô¡ 

© 

ß 

Ž û 

Ý 

Y 

Ô 

ÿ 

ß 

S%U6\ Z VLgó^ 

à 

l 

S%Ue\ Z VLg 

ß 

l 

Ø 

¢ 

Y U 

Y 

l 

Y U l s 

ÿ 

ß 

Ž û 

Ý 

t:Ø 

© 

÷ŸÓ¦¥ 

Ô 

44 

S{ |{ y

Y U l 

^Ä l S%U6\ Z V 

Ponendo per convenienza formale ? 

‚ 

Y 

? 

§ 

à 

g 

K 

Ú 

f 

U l 

^l l S0Ue\ Z V ˆ 

[ 

Y 

Z VÞcŽƒS%Ue\ Z V[ S0Ue\ Z V S%Ue\ 

 

 

 

 

X 

‚ 

? 

E 

^ 

‚ 

K 

K 

Vi è tuttavia qualcosa che ƒ2¥:£Ò va delle semplice corrispondenza 

schematizzata dall’eq. (3.33). Infatti – come il lettore avrà certamente notato 

– laM¢( *8—* ;•¥ ¥%¨ anche dell’eq. (3.20) è molto simile a quella tipica 

dell’equazione di Schrödinger. Vogliamo studiare in dettaglio questo aspetto. 

Consideriamo ancora la ” particella descritta classicamente dall’azione 

(2.33). Come è ben noto, l’equazione di Schrödinger corrispondente è 

45 

W - 

a-b I ^ W - 

X3Y 

YZ 

[ S%Ue\ Z Vh] f 

X Y 

S{ |{„ V 

^ W - X Y 

I 

a-b \ 

S{ |{/” V 

W - 

W 

- 

X I 

 

l S%U6\ Z V5g_^ f 

b l S%Ue\ Z V.\ 

S{ |{Ñ V 

a-b l S0Ue\ Z V$ l S%U6\ Z Vec BS%U6\ Z V 

S%U6\ Z VLg f 

\ S{ |{/Ø V 

a-b Y 

Y U l l S%U6\ Z VÞc 

l’eq. (3.34) può essere riscritta come 

YZ 

S%Ue\ Z VL] Y ` 

Y U ` [ S%U6\ Z V^ Y 

Y U 

[ 

l 

Nella forma (3.38) l’equazione di Schrödinger è.¨%*@¨0¨% •1¢¦©¨ 

considerata 

all’equazione di Fokker-Planck (3.20). Vediamo quindi che – in virtù 

della corrispondenza (3.18) – l’una si trasforma nell’altra, a patto di assumere 

¥02

un¥§¦©¨* ( ¥§¦ ( UDSZ Vj•–rLS%U ì\ Zìs U ì…ì\ Zì…ìV 

ad 

S%U ì…ì\ Zì…ìÎU ì\ ZìV sUDS9ˆ•Vwv;g I 

si muova lungo UDSZ V 

Ö 

probabilità che 

K 

46 

3.9 – Una descrizione alternativa di un PSMC è stata iniziata Wienerë† da 

e sviluppata successivamente Kacë da ed Onsager Machlupë ˜ e . Sostanzialmente, 

questo approccio fornisce la probabilità transizioneÖ 

S%U ì…ì\ Zì|ìÎU ì\ ZìV 

di 

¥$¦©¨ M ¦ !*¥( ¦+& (¥$¦©¨2¥ 

ü 

¥ *¦¢ ë come ), permettendo così di 

calcolare tale ¡*¦ !£ grandezza che sia necessario risolvere l’equazione di 

Fokker-Planck. La presentazione che segue metterà in evidenza la 

¦+( ¥%1*¨%*¨0¨% 

profonda 

fra gli integrali di Wiener e Feynmanë Ó di . 

Denotiamo con una particella che “materializza” un generico PSMC 

e l’eventoü 

consideriamo ,- 2/ S%U ì\ ZìVS%U ì…ì\ Zì…ìV ”. È evidente che la 

; (

exp x ^ 

S%U ì|ì\ Zì…ìÎU ì\ ZìV sUÌS²ˆ•Vwv] ÐS%U ì…ì ^ÜUÌSZì…ìVV9ÐS%U ì ^ÜUDSZìVV*ˆ 

Ö 

sUDS9ˆ•Vwvn%ðñð 

t 

 

„ 

à S 

u 

Ú 

§ 

§ 

47 

definita su rxS%U ì\ Zì s U ì…ì\ Zì|ìV ë ú . Ancora,Ö 

S0U ì…ì\ Zì…ìÎU ì\ ZìV ha la struttura 

in cui le due funzioni delta di Dirac implicano che tale probabilità si annulli – 

S%Uì…ì%\ Zì|ìÎU+ì0\ Zì$V sUÌS²ˆ•Vwvg Ð S0U+ì…ìÛDSZì…ì?VV9ÐS%Uì@^ÜUDSZì$V"VÖ sUÌS²ˆ•Vwv S{ …„/{ V 

Ö 

come deve essere seUDSZìV 

¡ 

]zU ì e/oUDSZì…ìV 

¡ 

] U ì…ì – . (3.43)Ö 

sUDS²ˆ•V«v Nell’eq. è un 

funzionale continuo determinato dal secondo postulato 

La (

§ 

§ 

t 

sUÌS²ˆ•Vwvn0ðñð 

48 

Úm‚ 

UÌSZ VÐ S0U+ì…ì@^ÜUÌSZì…ì$VV9ÐS%UìÛDSZì?VV exp x6^ 

| 

S{ …„/Û V nð 

t 

sUÌS²ˆ•Vwv è data dalle eq. (3.45) e (3.46). 

A questo punto la ( ¥)•¥0¦ !£ fra gli integrali di Wiener e di Feynman 

è evidente, ed essa verrà considerata più in dettaglio nel prossimo para- 

ove 

grafo. Osserviamo che al primo si applicano molte delle considerazioni fatte 

a proposito del secondo. L’eq. (3.48) va intesa come limite di un’espressione 

discretizzata – proprio come nel caso dell’eq. (2.31) (la discussione fatta nel 

paragrafo 2.3 può essere ripetuta qui quasi alla lettera) – ed è importante sottolineare 

che in tale R1S0Ue\ Z V discretizzazione va calcolato ¦©¨( 12¥( 

nel 

g S%U c U Ù } V 

a ú ` 

. Ancora, i ¥§¦¥52¥ 

ü 

¥ *¦¢ – cioè quei cammini 

che contribuiscono0G¢¨0¨%¥§,-1*¦©¨ nell’eq. (3.48) – godono della proprietà 

U 

Ö S%U+ì…ì%\ Zì…ìÎUì0\ Zì$VL] 

V:¨óS Z V }p ` S{ …„/Ý V 

UÌSZ 

per sonoM 

¨0¨ #¥ cui con dimensione di Hausdorff a2©Ìú † iú9 uguale ú˜ . Abbiamo 

visto che la proprietà (3.49) per i cammini di Feynman è equivalente al 

principio di indeterminazione. Esiste forse un principio di indeterminazione 

i 

92 Qui la situazione è½«³.¥w¦¨›*¢¦C«Ÿ'¬§C ¡«Ÿ'¬ ž› a quanto avviene per l’integrale di Feynman 

con azione classica (2.33) (si ricordi quanto è stato detto al proposito nel paragrafo 2.6), e 

˜ 

[ç (‡ )]Ÿ³.Ÿ è più un integrale di Riemann. L’unica differenza è che nel presente contesto 

… 

si può attribuire un matematicamente¥w |¤¢³.¥ ³.«³ significato a … ˜ (‡ [ç )] interpretandolo 

)Ÿ'¬§?¤.¥›*¢|:w¬$³žw›.¬ ž³ 

come 

. Questi integrali sono ancora definiti come limite di somme di 

però¡. Ç-«Ÿ¡¢³.Ÿ³ Cauchy-Riemann, dalla particolare discretizzazione che è stata scelta (nel 

caso in questione ciò è conseguenza dell’eq. (3.49)). Anche esistono›eÇ¥« &³.¥« se infiniti modi 

di scegliere una discretizzazione, ve ne sono solamente due che hanno un reale interesse. 

Una scelta consiste nel calcolare il valore neiÇ®£Ÿ'¬ @)Ÿ'…À9 ›*¢ dell’integrando degli intervalli 

infinitesimi e definisce )Ÿ'¬§?¤.¥›*¢|x¡. Eþ¬ ³ l’ (esso regole¡. #¼*«¥w9 soddisfa da quelle dell’usuale 

calcolo integrale). L’altra scelta aiÇ®£Ÿ'¬ ¦C corrisponde degli intervalli infinitesimi (in 

cui è calcolato il valore dell’integrando) e dà luogo )Ÿ-¬%?¤.¥›*¢|B¡. D±'¬¥ ›.¬$³.Ÿ³.¼ žw¿ all’ (per 

il quale le¬§²² valgono regole dell’ordinario calcolo integrale). Quindi la nostra scelta 

è di interpretare … ˜ (‡ [ç )] nell’eq. (3.48) )Ÿ-¬%?¤.¥›*¢|ƒ¡. x±'¬¥ ›.¬$³.Ÿ³.¼ žw¿ come . Osserviamo 

che, se invece preferissimo la scelta “alla Itô”, dovremmo omettere il secondo termine nella 

lagrangiana di Wiener (3.46) al fine di lo¬§²«³ ottenere risultato. Gli integrali stocastici 

sono discussi in tutti i testi avanzati di teoria dei processi stocastici. Si veda ad es.: H. P. 

žhþŸ'¬§?¤*¥0›*¢ (Academic Press, New York, 1969). 

93 Si veda la nota 37. 

McKean,±'¬$³ž«¿-›.¬ 

94 Nel contesto dell’integrale di Wiener, funzioni che godono della proprietà (3.49) vengono 

anche dette ³*¢…¡«¥§žw³.Ÿ'¬ )Ÿ-®¯¡. ož9¢…›.95®£Ÿ:¦¨ÀÀ³ . Questo argomento è discusso ad es. 

nel testo di McKean citato nella nota 92. 

ú 

95 Analogamente a quanto avviene per l’integrale di ciòŸ³.Ÿ Feynman, è in contrasto col 

postulato W1: la probabilità che Σ si muova lungo cammini›LÇ¥w ³.¥« molti possibili 

essereŸ'®-¢#¢…› 

risulta 

.

§ 

( 

§ 

ß é Ð l 

à 

S{ •” y

© 

ß 

Ž û 

Ý 

Ô 

exp V 

WYX 

^âSf „ 

à 

V 

Ú 

ß 

Ž û 

Ý 

simile a quella di t sUDS²ˆ•Vwv , per cui scriviamo¥§ 

–( #¥ 1¢¦©¨ 

 

 

 

à Ô 

Ô 

50 

Ö sUDS²ˆ•V«v¨ 

€ ÚÙ € k 

Z 

u 

U l SZ V 

u 

U l SZ V Z \ 

] 

S{ •” f-V r 

3.10 – È evidente che la formulazione di Feynman della meccanica quantistica 

è concettualmente sullo*¨. ( ;¥%¦ ( 

della descrizione di Wiener di un 

PSMC. Scriviamo simbolicamente 

Ó Û 

Ó Û 

©› t 

©› t 

 

© 

à Ô 

ÿ¬Ô 

t t 

Ó 

t! 

Ûjû 

 

Tuttavia la somiglianza fra le due descrizioni è in realtà ben¥ Ò 

di quanto espresso dall’eq. (3.52). Sussiste infatti l’ulteriore corrispondenza 

S{ •” a V 

B; (M*( ¦+2/ 

S%Uì…ì%\ \ Zì$V sUDS²ˆ•Vwv 

Ú 

Í%Uì…ì0\ Zì…ìÎU+ì \ ZìÏ sUDS²ˆ•Vwv;\ S{ •”{ V 

Ö Zì…ìÎU+ì 

t 

SW 

- sUÌS²ˆ•Vwvnðñð 

nð \ 

di cui ci si rende conto immediatamente confrontando le formule dei paragrafi 

Z V 

Ú 

Ue\ 

2.4 e 3.9. Cosa ancor più laM*( *8>* #¥ ¥%¨ di 

t 

sUÌS²ˆ•Vwv importante, è molto 

nð Ú 

X V 

t 

sUÌS²ˆ•Vwvnðñð 

^" 

S{ •”'„ V 

ŽJS0Ue\ 

u 

ŽJS0Ue\ 

u 

Ue\ Z Vh\ 

S{ •”” V 

sUDS9ˆ•Vwvn%ðñð nð 

á 

t 

sUDS²ˆ•V«vn%ðñð nð 

t 

•”Ñ V S{ 

Peraltro l’eq. (3.56) non deve stupire, dato che abbiamo già visto che la 

*8z.#¥ ¥§¨ dell’equazione di Fokker-Planck è molto simile a quella 

M¢( 

dell’equazione di Schrödinger nel caso in questione. 

Vogliamo adottare ora un punto di 

"( ;&¡¨ 1¢¦©¨82¥$,*. ( 

vista . Supporremo 

di ¥0 conoscere quanto detto finora sui processi stocastici 

P 

classici 

l’usuale formulazione della teoria ma¥&¦ ( "*"* ( 

quantistica; l’approccio 

di Feynman. Il nostro scopo sarà mostrare come quest’ultimo possa 

2 **¥§,-¨(3( ¢¨ 1*¦©¨ 

essere 

dalla formulazione di Wiener di un PSMC! 

Cominciamo notando che si può giungere all’eq. (3.53) in un modo alternativo: 

basta far uso dell’eq. (3.1). Pertanto l’eq. (2.37) segue immediatamente 

dall’eq. (3.47), in virtù delle eq. (3.19) e (3.53). A questo punto si tratta di 

Í%U ì|ì\ Zì|ìÎU ì\ ZìÏ sUÌS²ˆ•Vwv dedurre 

Ö S%U ì…ì\ Zì|ìÎU ì\ ZìV sUDS²ˆ•Vwv da , il che significa di fatto 

ottenere sUDS²ˆ•Vwv a partire da 

t 

sUDS²ˆ•Vwv . Sappiamo peraltro che sussiste una( 1— 

t 

( ¦+2 *¦ !£ ( ¢¨ fra la dinamica quantistica considerata e un PSMC, 

*¥$

„ 

? 

t 

ìsUÌS²ˆ•Vwvn0ðñð 

‚ 

51 

espressa dalle eq. (3.39), (3.40) e (3.41). Grazie a equazioni, 

queste 

diventa 

ŽHS%Ue\ 

u 

U6\ Z V 

S{ •”Ø V 

UD\ Z Vh] f 

Ž5ì S%Ue\ 

u 

S 

u 

l ^ 

l S%U6\ Z VV ` c f a Y U 

ed usando le definizioni (3.35), (3.36) e (3.37) abbiamo 

Y U l 

l S0Ue\ Z Vec 

S%Ue\ Z V 

W 

X 

t 

sUDS²ˆ•Vwvn0ðñð nð - 

S{ •”Û V 

Riotteniamo così l’eq. (3.56) in forma più precisa. La corrispondenza appena 

]_^ nð 

menzionata che 

t 

sUÌS²ˆ•Vwv implica nell’eq. (3.44) vada sostituita con ìsUDS9ˆ•Vwv al 

fine di passare alla meccanica quantistica. Ma in forza delle eq. (3.53) e (3.58), 

l’eq. (3.44) fornisce proprio l’eq. (2.36). 

t 

Questo semplice dimostra* ;•¥ ¥%¨ 1¢¦©¨ esercizio quanto già anticipato 

nel paragrafo 3.5: se le analogie fra teoria quantistica e processi stocastici classici 

di cui ci siamo diffusamente occupati fossero state capite fin dai primi tempi 

della meccanica quantistica, la scoperta dell’integrale di Feynman sarebbe potuta 

avvenire prima}‡ 

vent’anni . 

4. Osservazioni storiche 

¤ 

Prima di presentare la traduzione dell’articolo originale, pubblicato nel 

1948, ci sembra opportuno discutere brevemente le motivazioni che hanno 

spinto Feynman a cercare una formulazione alternativa della teoria quantistica. 

A tal fine è necessario considerare la situazione della fisica teorica negli 

anni ’40, periodo fondamentale per la formazione intellettuale di Feynman. 

A quell’epoca il problema centrale consisteva nel cercare una formulazione 

104 Un problema molto interessante di storia della fisica sarebbe capire perché ciòŸ³.Ÿ sia 

avvenuto. Vogliamo avanzare qui solo qualche congettura. Per quanto ne sappiamo, 

nessun probabilista aveva compreso (almeno inizialmente) che l’integrale di Wiener poteva 

venire generalizzato in modo tale da fornire il propagatore dell’equazione di Fokker-Planck 

(probabilità di transizione) nelž›.²³C¤¡«Ÿ/«¥ ›*¢| . È stato proprio sotto l’influenza diretta di 

Feynman che Kac (suo collega alla Cornell University) ha esteso nel 1947 l’integrale di 

Wiener in modo da tenere conto di ∆(çè§é )= 0 nell’equazione di Fokker-Planck (sempre 

però supponendo(çè§é ) = 0). Un’ulteriore generalizzazione si è avuta nel 1953 ad opera 

di Onsager e Machlup (si veda la nota 85). Vediamo che lo sviluppo storico è³«Ç¢ÇE³.¬$³ 

all’ordine logico seguito nel paragrafo 3.10! Parrebbe anche ovvio che Wiener stesso si 

sarebbe dovuto accorgere della rilevanza del suo lavoro pionieristico per la teoria quantistica, 

anticipando così la scoperta di Feynman... È quindi sorprendente constatare che egli ha sì 

cercato di applicare il suo integrale funzionale alla meccanica quantistica, ma in modo 

›.Ÿ'¬ )¬§«¬ žw³ a quanto sarebbe naturale aspettarsi sulla base delle considerazioni fatte in 

questo capitolo (N. Wiener and A. Siegel, Phys. Rev. 91, 1551 (1953); A. Siegel and N. 

Wiener, Phys. Rev. 101, 429 (1956); si veda anche: G. Della Riccia and N. Wiener, J. 

Math. Phys. 166, 1372 (1966)).

52 

1*¦+¨ "( *"*¦+¨ dell’elettrodinamica quantistica: le principali difficoltà 

nascevano dalla presenza di2¥§,'¢0 *¦ !E (infiniti) in molti calcoli. 

8/¨*8/¨%¥ 

Feynman cominciò a riflettere su questi argomenti quando era ancora un 

giovane studente al Massachussets Institute of Technology, facendosi un’opinione 

molto personale – però non corretta – sull’origine degli infiniti in 

elettrodinamica quantistica. Egli si convinse che l’esistenza di tali divergenze 

fosse sostanzialmente riconducibile 2© a circostanze. La prima è 

¥§¦L¦©¥§¨ 

l’energia 

dovuta all’autointerazione di un elettrone, difficoltà che esiste naturalmente 

già a livello classico. La seconda nasce dal fatto che un campo 

elettromagnetico quantizzato (in una regione limitata dello spazio) è equivalente 

ad un insieme ¥§¦L¦©¥§¨%¥ di oscillatori armonici quantistici (uno per ogni 

grado di libertà del campo). È ben noto che, secondo la meccanica quantistica, 

l’energia dello stato fondamentale di un armonico¦ 

( ¦ oscillatore è nulla. 

Pertanto l’energia del campo risulta¥§¦L¦©¥§¨ elettromagnetico (oggi sappiamo 

che essa può venire eliminata in modo banale). 

A Feynman sembrò evidente che per superare queste difficoltà bastassero 

due semplici assunzioni: 

a) una carica elettrica agisce solo su)¨% cariche, ma non su se stessa; 

b) il campo elettromagnetico¦ 

( ¦ ..¥?*¨ . 

Egli era convinto che in tal modo si sarebbero potuti risolvere i problemi a 

livello 

)".¥( 

, e sperava che la teoria potesse essere quantizzata facilmente, 

ottenendo così un’elettrodinamica quantistica priva di divergenze. Superficialmente, 

l’ipotesi b può apparire paradossale. Tuttavia va tenuto presente che (a 

livello classico) l’esistenza del campo elettromagnetico si manifesta . # ¥ô— 

,'1¢¦©¨ come una forza su particelle cariche. È quindi possibile pensare che 

fra cariche elettriche esistano forze che agiscono “ 2¥$.¨ ¦!¡ ”, cioè senza la 

“mediazione” del campo elettromagnetico (ovviamente si deve supporre che 

queste forze non siano istantanee ma si propaghino con la velocità della luce). 

Poco dopo essersi trasferito a Princeton per compiere gli studi di Ph. D. 

sotto la guida di J. A. Wheeler, Feynman si rese però conto che nei suoi 

argomenti vi era un grave errore. Se si accelera una caricaû 

, essa irraggia, 

perde energia e quindi decelera: questo effetto non dipende dalla presenza di 

altre cariche ed è spiegato convenzionalmente proprio dall’azione della carica 

su se stessa (mediata dal campo elettromagnetico). Ma come si può spiegare 

tale decelerazione escludendo l’autointerazione? L’unica ipotesi possibile è 

che ci debbano ¢¢" essere altre cariche 

ü 

che agiscono suû 

. Tuttavia 

le forze dovute alle cariche 

ü 

si propagano con velocità finita e risulta che 

l’effetto della decelerazione diû 

avviene “troppo tardi”. 

A questo punto Wheeler fece un’ipotesi rivoluzionaria: le cariche 

ü 

agiscono suû 

attraverso le “ ( #!¢¥( ¦¥Þ¦©¨%¥ ¥|@/¨ ” delle equazioni di Maxwell, 

che si propagano all’¥§¦+2¥ ¢¨% ( 

nel tempo con la velocità della luce (è ben 

noto che usualmente tali soluzioni non vengono considerate perché sono in

t 

] 

b ‹ Ú r 

l Ú Ú r 

6 

6 

S 

u 

l 

r 

l 

6 

6 

6 

lV 

u 

ü Vlv 

lV 

u 

6 

6 

V9ÐS 

Ó ` 

evidente contrasto con la causalità). Feynman e Wheeler furono così in grado 

di spiegare =¢¦©¨%¥§¨ /¨%¥$,'1¢¦©¨ la perdita di energia per irraggiamento. Più 

precisamente, la loro assunzione è che la forza agente su una carica sia data 

(come di consueto) dalla forza di Lorentz (per semplicità consideriamo qui 

l’approssimazione semirelativistica) 

53 

U l ] 

Å 

st l c S$# Ì 

S„@ fEV 

¥ b 

nella quale campit eü abbiano¢DÒ 

i 

( 

la forma 

t ] f 

a St&% l&n c t / ‹ n V*\ 

S„@ a V 

] f a Sü ü 

l&n c ü 

/ ‹ n V.\ S„@ |{ V 

ove i suffissi “rit” e “ant” indicano rispettivamente le soluzioni ritardate ed 

anticipate delle equazioni di Maxwell. 

Una domanda sorge spontanea. Nonostante il successo ottenuto nel caso 

sopra considerato, com’è possibile 

% 

l’esistenza dei campi 

anticipati con la causalità? Abbiamo già visto che è possibile spiegare correttamente 

la perdita di energia per irraggiamento secondo i postulati a) b) 

conciliare¥§¦:

u 

6 

Ó ` 

6 

6 

6 

6 

6 

VV¢S%U'ï#l§ò S 

6 

6 

6 

6 

VV 

54 

Nelle eq. (4.4) (4.5)U ï)l$ò e S lV è la traiettoria quadridimensionale dell’i-esima 

particella espressa in funzione di un parametro invariante 

l 

; si è quindi posto 

l 

. Chiaramente il primo integrale nell’eq. (4.4) è 

l’usuale azione relativistica per le particelle libere, mentre il secondo rappre- 

' 

ï)l$ò ' S ' S U 

senta l’interazione elettromagnetica fra le cariche. Si noti che il f 

a 

fattore 

' S 

' S 

S„@ •” V 

l 

gùS%U ï)l$ò 

lVx^ÜU ï 

 

ò 

lVÌ^ÜU'ï 

 

ò S 

assicura che ogni coppia sia contata una sola volta ed termineW 

il ]+*è omesso 

per evitare l’autointerazione. La funzione delta DiracÐS²ˆ¢ˆ¢ˆ)V di implica che 

l’interazione fra una coppia di cariche avvenga solo quando una si trova sul 

cono di luce dell’altra, garantendo così che l’“azione a distanza” elettromagnetica 

si propaghi con la velocità della luce. Come di consueto, le traiettorie 

dinamiche del sistema di cariche considerato si ottengono mediante un principio 

di minima azione applicato ad (data dall’eq. (4.4)), richiedendo cioè che 

t 

abbiaÐ 

t 

] y si per variazioniÐEU ï)l$ò 

piccole S lV delle traiettorie (J. A. Wheeler 

and R. P. Feynman, Rev. Mod. Phys. 21, 425 (1949)). 

Feynman era riuscito così a realizzare le prima parte del proprio programma. 

A questo punto si trattava di quantizzare le teoria. Sul finire del 1940 

egli espose i risultati ottenuti in un seminario a Princeton, a cui parteciparono 

anche Einstein, Pauli, Von Neumann, Russel e Wigner. In un seminario successivo, 

Wheeler avrebbe dovuto discutere la corrispondente versione quantistica. 

' 

Pauli era molto interessato a questo argomento, e volle chiedere a Feynman a 

quali conclusioni fosse giunto Wheeler. Feynman rispose che non ne era al corrente, 

al che la replica di Pauli fu:“Oh, il professore non racconta i suoi risultati 

all’assistente? Probabilmente il professore non ha ottenuto alcun risultato”. 

Ed infatti il seminario che Wheeler aveva annunciato non ebbe mai luogo! 

Per motivi contingenti (dovuti all’inizio della guerra) Wheeler non ebbe 

più tempo per occuparsi di questi problemi, cosicché Feynman si trovò a 

portare avanti il proprio programma da solo. 

Quantizzare una teoria classica è di solito un’impresa piuttosto facile. 

Basta porre tale teoria in forma hamiltoniana e sostituire le coordinate e gli impulsi 

con i corrispondenti operatori (secondo le regole ben note). Inizialmente 

Feynman cercò di seguire questa via, ma presto si rese conto di una grossa 

difficoltà. A causa del fatto che nel secondo termine dell’eq. (4.4) 

2© 

compaiono 

integrazioni indipendenti, teoria¦ 

( ¦ la possiede alcuna hamiltoniana! È 

evidente che il metodo di usuale¦ 

( ¦ quantizzazione può essere applicato alla 

elettrodinamica di Feynman e Wheeler. 

Come procedere allora? Un aiuto insperato giunse a Feynman da un incontro 

casuale con H. Jehle. Questi era appena giunto a Princeton dall’Europa 

e – durante un party – chiese a Feynman di cosa si stesse occupando. “Sto 

bevendo birra” rispose scherzando Feynman, che poi però raccontò a Jehle 

lV—] r U ï)l$ò 

lV 

r

p 

le difficoltà che stava incontrando nel quantizzare la propria elettrodinamica. 

Jehle si ricordò che Dirac aveva sviluppato un metodo di quantizzazione basato 

sull’azione classica anziché sull’hamiltoniana (P. A. M. Dirac, Phys. Zeit. der 

Sowjetunion 3; 64 (1933)) e consigliò a Feynman di studiarlo. 

È ben noto che la teoria quantistica è stata costruita partendo dalla formulazione 

hamiltoniana della meccanica classica. Ma quest’ultima può essere 

espressa equivalentemente secondo la descrizione lagrangiana. Dirac si era 

posto il problema di ottenere l’¦+( ( =¢¦©¨%¥?*¨%¥( 

della formulazione lagrangiana. 

Egli si rese conto che era più opportuno considerare il ( @£

56 

¥$¦¥ ” è di fatto"=¢¥$,'*¦©¨ al metodo hamiltoniano è quindi apparsa 

a Feynman come il fallimento del proprio programma originario! 

.¥

Reviews 

Le 

? > 

Approccio spazio-temporale alla 

meccanica quantistica relativistica, 

î 

non 

R. P. FEYNMAN 

ø ( *¦*§“ùD¦¥§,'*..¥§¨%7.-0/.¨P 1-02:*K43 ( ÷ö 

La meccanica quantistica non relativistica è formulata qui in un 

modo diverso, che è tuttavia matematicamente equivalente alla formulazione 

usuale. In meccanica quantistica la probabilità di un evento che 

si può verificare secondo varie alternative è il modulo quadrato di una 

somma di contributi complessi, ciascuno corrispondente ad una alternativa 

differente. La probabilità che la traiettoria di una particella5(6) 

sia contenuta in una certa regione dello spazio-tempo è il quadrato di 

una somma di contributi, ognuno proveniente da un cammino in tale 

regione. Si postula che il contributo di un singolo cammino sia un esponenziale 

la cui fase (immaginaria) è l’azione classica (in unità di7) - per 

il cammino considerato. Il contributo complessivo di tutti i cammini che 

raggiungono598:6dal passato è la funzione d’onda;(5

58 

i ` 

riguardanti la relazione fra azione classica† e meccanica quantistica. 

Un’ampiezza di probabilità è associata all’intera traiettoria di una particella 

Dirac} 

come funzione del tempo, anziché semplicemente alla posizione della particella 

ad un particolare istante. 

Questa formulazione è matematicamente equivalente a quella usuale e 

pertanto non ci sono risultati essenzialmente nuovi. Vi è tuttavia un senso 

di piacere nel riconoscere vecchie cose da un nuovo punto di vista. Ci sono 

inoltre problemi per i quali il nuovo approccio offre un netto vantaggio. Ad 

esempio, se sistemiû 

eü 

due interagiscono, le coordinate di uno dei sistemi, 

, possono essere eliminate dalle equazioni che descrivono il moto 

û 

. L’interazione con 

ü 

è rappresentata da una modifica della formula 

diciamoü 

per l’ampiezza di probabilità associata alla traiettoria di 

û 

. Ciò è analogo 

alla situazione classica in cui l’effetto diü 

può essere rappresentato da una 

modifica delle equazioni del moto di 

û 

(mediante l’introduzione di termini 

che rappresentano le forze agenti suû 

). In questo modo le coordinate degli 

oscillatori di campo (sia trasversali che longitudinali) possono essere eliminate 

dalle equazioni dell’elettrodinamica quantistica. 

C’è poi sempre la speranza che il nuovo punto di vista possa suggerire 

un’idea per modificare le teorie attuali, modifiche necessarie per rendere conto 

degli esperimenti più recenti. 

Discuteremo dapprima il concetto generale di sovrapposizione delle ampiezze 

di probabilità in meccanica quantistica. Mostreremo quindi come questo 

concetto possa essere generalizzato per definire un’ampiezza di probabilità per 

ogni cammino (posizione,£@tempo) nello spazio-tempo. Dimostreremo che 

l’ordinaria meccanica quantistica risulta dal postulato che tale ampiezza di 

probabilità abbia una fase proporzionale all’azione, calcolata classicamente, 

per questo cammino. Ciò è vero quando l’azione è l’integrale temporale di una 

funzione quadratica della velocità. La relazione con l’algebra delle matrici e 

degli operatori verrà discussa usando un linguaggio che è il più vicino possibile 

alla nuova formulazione. Non c’è alcun vantaggio pratico nel far questo, 

però le formule sono molto utili nel caso in cui si consideri un’estensione 

ad una classe più ampia di funzionali d’azione. Discuteremo infine alcune 

applicazioni. Come esempio mostreremo in che modo le coordinate di un 

oscillatore armonico possano essere eliminate dalle equazioni del moto di un 

sistema con cui esso interagisce. Tale risultato può essere applicato direttamente 

all’elettrodinamica quantistica. Verrà anche descritta un’estensione 

1 P. A. M. Dirac,È

6 

6 

/ 

Ö 

/ 

/ 

6 

2 Ö 2BA S9fEV 

/ 

6 

59 

formale che include gli effetti dello spin e della teoria della relatività. 

2. LA SOVRAPPOSIZIONE DELLE AMPIEZZE DI PROBABILITÀ 

La formulazione che presenteremo contiene come elemento essenziale 

l’idea di ampiezza di probabilità associata ad un moto completamente specificato 

come funzione del tempo. È pertanto conveniente riesaminare in dettaglio 

il concetto quantistico di sovrapposizione delle ampiezze di probabilità. Analizzeremo 

i cambiamenti basilari richiesti per il passaggio dalla fisica classica 

a quella quantistica. 

Si consideri a tal fine un esperimento ideale in cui possiamo fare tre 

misure successive: prima di grandezzaû 

una , diü 

poi ed infine di . Non 

c’è motivo per cui queste grandezze debbano essere diverse, e considereremo 

l’esempio di tre misure successive della posizione. Si supponga che sia un 

Ø 

possibile risultato della misura diû 

, e analogamente per £ e 

‘ 

. Assumeremo 

che le diû 

,ü 

misure e specificano completamente lo stato del sistema in 

senso quantistico. Ciò significa, ad esempio, che lo stato in cuiü 

ha il valore 

Ø 

non è degenere. 

£ 

È ben noto che in meccanica quantistica si si ha a che fare con delle probabilità, 

ma naturalmente ciò è ben lungi dal caratterizzare il mondo quantistico. 

Al fine di mostrare con più chiarezza la relazione tra meccanica classica e 

teoria quantistica potremmo supporre che anche classicamente si considerino 

delle probabilità, ma che tutte le probabilità siano zero o uno. Un’alternativa 

migliore è di immaginare le probabilità classiche nel senso della meccanica 

statistica classica (ove, in generale, le coordinate interne non sono specificate 

completamente). 

conÖ 

2 Indichiamo la probabilità che se la diû 

misura fornisce il risultato 

, allora la misura diü 

dia il risultato £ . SimilmenteÖ 

2BAsarà la probabilità che 

la misura di Ø dia il risultato 

‘ 

nell’ipotesi che la misura diü 

abbia fornito il 

risultato £ . Analogamente perÖ 

infine conÖ 

2BAla probabilità 

/A.Indicheremo 

. Ora, se gli eventi 

di ottenere i £ risultati e supposto che la misura diû 

dia 

fra e £ sono indipendenti ‘ da quelli £ fra e , si ha 

‘ 

Ciò è in accordo con la meccanica quantistica quando l’affermazione cheü 

fornisce il risultato £ è una specificazione completa dello stato. 

In ogni caso, ci aspettiamo che valga la relazione 

2BA ] Ö 

4 Nella nostra discussione non ha importanza che alcuni valori di›,’ ož possano essere 

esclusi dalla meccanica quantistica ma non dalla meccanica classica. Si può infatti assumere, 

per semplicità, che i valori numerici siano gli stessi in entrambi i casi, ma che la probabilità 

di certi valori possa essere zero.

6 

Ö 

/ 

/ 

2 ] Îq 

6 

/ 

Ö 

2 Î` \ Ö 2BA ] Îq 2:A Î` \ Ö × 

q 

Ö 

q 

Ö 

6 

/ 

Ö 

/ 

/ 

/ 

2 Ö 2BA S„ V 

60 

perché, se inizialmente diû 

la misura dà e successivamente il risultato della 

misura di è , la quantitàü 

deve avere avuto qualche valore ad un tempo 

intermedio fra Ø 

‘ quelli corrispondenti diû 

alle misure e : la probabilità che 

2BA; quindi sommiamo, o integriamo, su tutte le alternative 

Ø 

tale valore sia £ èÖ 

2:A Sa V 

mutuamente esclusive per £ (tale operazione è schematizzata daC 2 ). 

Ora, la differenza essenziale fra fisica classica e fisica quantistica sta 

proprio nell’eq. (2). In meccanica classica essa è sempre vera, mentre in 

meccanica quantistica spesso risulta essere 

Ö × 

falsa. Indicheremo con la 

probabilità quantistica che una misura di dia quando segue una misura di 

û 

che dà come risultato . L’eq. (2) è sostituita Ø 

‘ in meccanica quantistica da 

notevole˜ questa legge : complessiq 

2 \ q 

/A 

\ q 

esistono numeri che 

/Atali 2BA 

/A ] 

2 

/A ] Îq 

/AÎ` 

La legge classica, ottenuta combinando le eq. (1) e (2) 

S{ V 

è sostituita da 

/A ] 

2 

] 2 

q 

2 

S” V 

Se l’eq. (5) è corretta, l’eq. (4) non è valida in generale. L’errore logico 

2BA /A 

fatto nel dedurre l’eq. (4) consiste ovviamente nell’assunzione che per andare 

da a il sistema debba passare attaverso una condizione tale cheü 

debba 

‘ 

avere un valore definito £ . 

Se si cerca di verificare questa affermazione, cioè se la grandezzaü 

è 

misurata fra due misure di 

û 

e Ø , allora la formula (4) è di fatto corretta. 

Più precisamente, se l’apparato per misurareü 

è preparato e usato, ma non 

si cerca di utilizzare i risultati delle misura 

ü 

di – nel senso che solo le 

correlazioni 

û 

fra e sono misurate e usate – allora l’eq. (4) è corretta. 

Questo perché l’apparato che misuraü 

ha “fatto il suo lavoro”. Se vogliamo, 

Ø 

5 Abbiamo ’ supposto che sia uno stato non degenere, e che pertanto l’eq. (1) sia valida. 

Presumibilmente, se in qualche generalizzazione della meccanica quantistica l’eq. (1) non 

fosse più valida (nemmeno per gli ’ stati puri ), sarebbe da aspettarsi che l’eq. (2) venisse 

sostituita dall’affermazione: "ci sono numeri complessiDFEHG$Itali cheåJEKG$I= 2 ". 

L’analogo dell’eq. (5) è GDFEKG$I. êDFEHG$I.ê 

alloraDEKI=C

6 

6 

6 

possiamo leggere gli strumenti senza disturbare ulteriormente il sistema. Gli 

esperimenti che hanno fornito i risultati e possono quindi essere raggruppati 

a seconda dei valori di £ . ‘ 

Considerando le probabilità da un punto di vista frequentistico, l’eq. (4) 

segue semplicemente dall’affermazione che in ogni esperimento che dà e 

,ü 

ha qualche valore. L’unico modo in cui l’eq. (4) può essere sbagliata è 

che l’affermazione “ü 

ha qualche valore” debba essere talvolta priva di senso. 

Si noti che l’eq. (5) sostituisce l’eq. (4) solo nel caso in cui non cerchiamo 

‘ 

misurareü 

di . Siamo quindi portati a dire che “ü 

l’affermazione ha qualche 

valore” può essere priva di significato ogniqualvolta non cerchiamo di misurare 

6 

Abbiamo dunque risultati diversi per le correlazioni di e – cioè l’eq. (4) 

o l’eq. (5) – a seconda del caso che la diü 

misura venga effettuata ‘ oppure no. 

diü 

La misura – indipendentemente dalla sua accuratezza – deve disturbare 

il sistema, almeno di quel tanto che basta per cambiare i risultati da quelli 

dati dall’eq. (5) a quelli (4)Ó previsti dall’eq. . Che le misure causino necessariamente 

dei disturbi e che, essenzialmente, l’eq. (4) possa essere falsa fu 

enunciato con chiarezza da Heisenberg nel suo principio di indeterminazione. 

La legge (5) è un risultato del lavoro di Schrödinger, dell’interpretazione statistica 

di Born e Jordan e della teoria delle Diracë trasformazioni di . 

L’eq. (5) è una tipica rappresentazione della natura ondulatoria della materia. 

In essa la probabilità che la particella vada da a secondo alcune 

alternative diverse (valori £ di ) può essere rappresentata – se ‘ non si cerca di 

determinare quale alternativa si realizza – come il quadrato della somma di alcune 

grandezze complesse, una per ogni alternativa disponibile alla particella. 

La probabilità può mostrare i tipici fenomeni di interferenza, usualmente associati 

alle onde, la cui intensità è data dal quadrato della somma di contributi 

da sorgenti distinte. Si può dire che l’elettrone si comporta come un’onda 

fintanto che non si cerca di verificare che esso è una particella. D’altra parte, 

si può determinare – se lo si desidera – attraverso quale alternativa esso passa, 

proprio come se esso fosse una particella. Ma quando si fa ciò, si deve usare 

ü . 

6 Non serve osservare che›.¼¥«¦Q¦¯³¯ÇE³.¬®£¬§³ misurare ¥ se avessimo voluto; in realtà, non 

lo abbiamo fatto. 

7 

Il modo in cui l’eq. (4) segue dall’eq. (5) quando una misurazione disturba il sistema è stato 

studiato soprattutto da J. von (œâ›.¬)¿'«¦¨›.¬)«ž«¿'âBÞ¥w®EŸ¡E¢…›¤£«Ÿ1¡«¥Báo®'›.Ÿ-¬%«Ÿß 

¦C žw¿-›.Ÿ' • 

Neumann 

(Dover Publications, New York, 1943)). L’effetto della perturbazione dovuta 

all’apparato di misura è di alterare la fase delle componenti che interferiscono – ad 

– in modo tale che la (5) G1MíONQPD

Ø 

La grandezza 

q 

condizione 

û ] 

/ 

6 

Ö 

Ö 

/ 

/ 

6 

6 / 

/ 

/ 

2BA=WYXZX[Xo Î` 

? 

? 

6 

62 

l’eq. (4), ed esso si comporta effettivamente come una particella. 

Naturalmente queste sono cose ben note e sono già state spiegate 

tamenteú 

ripetu- 

. Ci sembra tuttavia che valga la pena di sottolineare il fatto che esse 

seguono direttamente dall’eq. (5), la quale gioca un ruolo fondamentale nella 

nostra formulazione della meccanica quantistica. 

La generalizzazione delle eq. (4) e (5) a un grande numero misureû 

,ü 

di , 

ovviamente che la probabilità della ,£ sequenza , ,r ,ˆ¢ˆ¢ˆ ,Vrisulta 

essere 

‘ 

, à ,ˆ¢ˆ¢ˆ ,¢ è 

Îq 

Ad esempio, la probabilità del risultato 

2BA=WYXZX[Xoƒ] 

dalla formula classica 

, 

‘ 

,V, se £ ,r ,ˆ¢ˆ¢ˆ sono misurate è data 

2:A:W\X[XZXo Î` 

/AoB] 

2 

2BA=WYXZX[Xo 

mentre nel caso in cui nessuna misura sia effettuata fraû 

e Ø e fra Ø e¢ 

probabilità della stessa sequenza 

, 

‘ 

,Vè 

SÑ V 

W ˆ¢ˆ¢ˆ Ö 

essere chiamata ampiezza di probabilità per la 

essa è 

esprimibile come prodottoq 

2 

q 

un 

qA:W ˆ¢ˆ¢ˆ q 

o ). 2BA 

la 

× 

/Ao ] Î 

2 

Ö 

SØ V 

W ˆ¢ˆ¢ˆ q 

2BA=WYXZX[Xo può 

\ ü ] £ \ 

Ø 

] ‘ \ 

à 

] r \¢ˆ¢ˆ¢ˆ£\]¢ ]^V (ovviamente 

3. L’AMPIEZZA DI PROBABILITÀ PER UN CAMMINO 

SPAZIO-TEMPORALE 

Le idee fisiche del paragrafo precedente possono essere estese facilmente 

per definire un’ampiezza di probabilità per un particolare cammino spaziotemporale 

completamente specificato. Al fine di spiegare come ciò possa essere 

fatto ci limiteremo ad un problema unidimensionale, in quanto l’estensione al 

caso multidimensionale è ovvia. 

Supponiamo di avere una particella che può assumere parecchi valori di 

coordinataU una . Immaginiamo di fare un numero enorme di misure di posizione, 

separate da un piccolo intervallo di tempo . Allora una successione 

. SiaU 

l 

il risultato 

di misure come quelle diû 

,ü 

, Ø ,ˆ¢ˆ¢ˆ può essere la serie di misure della coor- 

ai tempi successiviZ 

} \ Z ` \ Z † \¢ˆ¢ˆ¢ˆ oveZlÙ } ] Zl c 

9 dinataU 

Si veda ad es.: W. È

6 

6 

Ú 

Ú 

6 

6 

? 

6 

della misura della coordinataU al tempoZl 

. Quindi, seû 

èU al tempoZ 

} 

, 

} 

è ciò che prima indicavamo con . Da un punto di vista classico i 

valori successiviU 

alloraU 

\9U ` \9U † 

, ˆ¢ˆ¢ˆ della coordinata definiscono praticamente un 

camminoUDSZ V . Alla fine, ci aspettiamo di prendere il limite 

} 

y . 

La probabilità di tale cammino è una diU 

} \¢ˆ¢ˆ¢ˆ£\9U l \¢ˆ¢ˆ¢ˆ funzione che indichiamo 

. La probabilità che il cammino sia conÖ 

S²ˆ¢ˆ¢ˆ¢\9U l \9U lÙ } \¢ˆ¢ˆ¢ˆ)V contenuto 

in una certa regione dello spazio-tempo è data classicamente dall’integrale 

diÖ 

su tale regione. Così la probabilità Ó 

l 

sia compreso fra 

cheU 

fra 

lÙ } 

e £ 

lÙ } 

, etc. è 

63 

l 

e £ 

l ,U lÙ l 

Ú 

2:_),+ 

ˆ¢ˆ¢ˆ 

2B_ 

/_),+ 

Ö S²ˆ¢ˆ¢Û l\9U lÙ } \¢ˆ¢ˆ¢ˆ)V8ˆ¢ˆ¢ˆ r U l 

r U lÙ } ˆ¢ˆ¢ˆ ] 

ˆ¢ˆ¢ˆ 

ove il simbolo significa 

` ë 

che l’integrazione deve essere effettuata sui valori 

r U lÙ } ˆ¢ˆ¢Ê\ 

delle variabili che stanno nella regione . Questa è semplicemente l’eq. (6), 

con 

Ó 

,ˆ¢ˆ¢ˆ sostituiti daU 

} ,U ` ,ˆ¢ˆ¢ˆ e con la somma sostituita dall’integrale. 

,£ 

In meccanica quantistica questa è la formula corretta per il caso in cui tutte 

U } \9U ` \¢ˆ¢ˆ¢ˆ£\9U l \¢ˆ¢ˆ¢ˆ le siano effettivamente misurate e soltanto quei cammini 

che appartengono ad Ó 

vengano considerati. Ci aspetteremmo un risultato 

diverso se misurazioni così dettagliate non fossero effettuate. Supponiamo 

che sia eseguita una misura che è in grado di stabilire soltanto se il cammino 

considerato è contenuto nella regione Ó . 

La misura dev’essere ciò che potremmo definire una “misura ideale”. 

Supponiamo cioè che nessun altro dettaglio possa essere ottenuto dalla stessa 

misura senza disturbare ulteriormente il sistema. Non siamo stati in grado 

di trovare una definizione precisa. Stiamo cercando di evitare le incertezze 

addizionali che devono essere eliminate con una operazione di media se, ad 

esempio, una maggiore informazione fosse misurata senza venire utilizzata. 

Desideriamo usare l’eq. (5) o l’eq. (7) per tutte leU 

l 

, senza avere alcuna parte 

residua su cui sommare come nell’eq. (4). 

Ci aspettiamo che la probabilità di trovare – tramite la nostra “misura 

ideale” – la particella nella regione Ó sia il quadrato di un numero complesso 

S V Î` Ó 

. numeroq 

S 

Ó 

V Il – che possiamo chiamare ampiezza di probabilità 

per la regione – è dato dall’eq. (7) con , £ ,ˆ¢ˆ¢ˆ sostituiti daU 

Îq 

,U lÙ } ,ˆ¢ˆ¢ˆ e la 

Ó l 

somma sostituita da un integrale 

SÛ V 

/_ 

` 

Ö S²ˆ¢ˆ¢Û l \9U lÙ } \¢ˆ¢ˆ¢ˆ)Vˆ¢ˆ¢ˆ r U l 

S 

Ó 

Vx] lim P 

q 

‡ 

Ú 

BS9ˆ¢ˆ¢ˆ"U l\9U lÙ } \¢ˆ¢ˆ¢ˆ)Vˆ¢ˆ¢ˆ r U l 

r U lÙ } ˆ¢ˆ¢ˆ ` 

SÝ V

? 

? 

? 

? 

64 

Il numero complessoBS²ˆ¢ˆ¢Û l \9U lÙ } ˆ¢ˆ¢ˆ#V è una funzione delle variabiliU 

l 

che 

definiscono il cammino. In realtà immaginiamo che la spaziatura temporale 

vada a zero cosicché viene a dipendere camminoUDSZ V dall’intero , anziché 

soltanto dai valori diU 

l 

ai particolari tempiZl 

,U l ] UDSZlV.Potremmo chiamare 

funzionale ampiezza di probabilità dei camminiUÌSZ V . 

Riassumiamo queste idee nel nostro primo postulato: 

¦:¥?. F¥02

? 

? 

t 

] 

l 

t 

S%U lÙ } \9U lV 

Ú 

ŽJS%UÌSZ V*\ 

u 

U6SZ VV r Z 

n_ 

 

65 

4. CALCOLO DELL’AMPIEZZA DI PROBABILITÀ 

PER UN CAMMINO 

Il primo postulato specifica il tipo di contesto matematico richiesto dalla 

meccanica quantistica per il calcolo delle probabilità. Il secondo postulato 

dà un particolare contenuto a questo contesto, indicando come calcolare 

l’importante quantità per ogni cammino: 

¥§¦¥ "( ¦©¨%*¥– ¥$ ( ¦ ( •1¢¦©¨ ¥$¦ä ( 2 (-T8d& M ¢ X Õ\- ¥( Ò 

2

G 

l 

t 

S%U lÙ } \9U lVL ˆ¢ˆ¢ˆ 

U lÙ } û 

r 

? 

U l û ˆ¢ˆ¢ˆ£\ 

r 

66 

Si vede quindi che l’unico riferimento alla meccanica classica consiste nella 

specificazione della lagrangiana. Infatti il secondo postulato potrebbe semplicemente 

essere considerato come l’affermazione “ è diW 

l’esponenziale 

per l’integrale di una funzione reale diUÌSZ V e della sua derivata prima”. Corrispondentemente 

le equazioni classiche del moto potrebbero essere derivate 

successivamente nel limite di grandi dimensioni. Si potrebbe allora mostrare 

che la suddetta diUDSZ V funzione eUDSZ V coincide con la lagrangiana classica a 

u 

meno di un fattore costante. 

Di fatto la somma nell’eq. (10) è infinita anche per finito, e quindi priva 

di significato (a causa dell’infinita estensione del tempo). Questa circostanza 

riflette un’ulteriore incompletezza dei postulati. Ci dovremo quindi limitare 

ad un intervallo di tempo arbitrariamente lungo ma finito. 

Combinando i due postulati ed usando l’eq. (10) otteniamo 

S 

Ó 

Vx] lim P 

q 

‡ 

Ú 

exp 

` 

W 

X- 

S9f a V 

ove il fattore di normalizzazione è stato scritto come il prodotto dif 

û 

per ogni 

istante di tempo (il valore diû 

verrà determinato in seguito). L’integrazione 

è su quei valoriU 

l 

, U lÙ } ,ˆ¢ˆ¢ˆ contenuti nella regione Ó . Questa equazione, 

la definizione (11) di t S%U lÙ } \9U lV e l’interpretazione fisica di Îq S 

Ó 

V Î` 

come 

probabilità di trovare la particella in Ó completano la nostra formulazione della 

meccanica quantistica. 

5. DEFINIZIONE DELLA FUNZIONE D’ONDA 

Procediamo ora a dimostrare l’equivalenza di questi postulati con la formulazione 

ordinaria della meccanica quantistica. Faremo ciò in due stadi. In 

questo paragrafo mostriamo come la funzione d’onda possa essere definita secondo 

il nuovo punto di vista. Nel paragrafo seguente mostreremo che questa 

funzione soddisfa l’equazione di Schrödinger. 

Vedremo che è proprio la possibilità (data dall’eq. (10)) di esprimere 

come somma – e quindi come prodotto – di contributi di parti successive 

della traiettoria che ci permette di definire una quantità avente le proprietà di 

t 

una funzione d’onda. 

Al fine di chiarire questo punto, immaginiamo di scegliere un tempo 

particolareZ e di dividere la regione Ó 

nell’eq. (12) in “futuro” e “passato” 

rispetto aZ . Supponiamo che Ó possa essere decomposto in: (a) una regione Ó ì , 

limitata in modo arbitrario nello spazio, ma tutta temporalmente antecedente 

ad un tempoZì ‰ Z , (b) una regione Ó ì…ì limitata in modo arbitrario nello spazio, 

ma tutta temporalmente successiva aZì…ìdc Z ; (c) una regione compresa fraZì

G 

Ú 

ð ` 

€ 

G 

nel 

k } o 

k € lí 

G 

t 

S%Uo Ù } \9Uo

Ú 

G 

€ 

o 

lí 

t 

S%U lÙ } \9U 

lVML 

68 

e 

e î S%Uo/\ Z Vh] lim 

exp 

W 

X- 

ûf 

r 

P 

Uo Ù ` û ˆ¢ˆ¢ˆ S9f Ñ V 

‡ 

ðñð 

Il ì simbolo per[ 

nell’integrale sta ad indicare che le coordinate sono 

integrate sulla regione Ó e, perZl 

fraZì eZ , su tutto lo spazio. Analogamente, 

l’integrale 

` 

î 

è su Ó Ó e sull’intero spazio per le coordinate corrispondenti 

ì 

a tempi fraZ eZì…ì compresi . ine 

î 

L’asterisco denota la coniugazione 

pere 

complessa, 

in quanto risulterà più conveniente definire l’eq. (16) come il complesso 

coniugato di 

grandezza[ 

un’altra quantitàe. 

La dipende solo ì dalla aZ regione precedente , ed è completamente 

definita se quella regione è nota. Essa non dipende in alcun modo 

Ó 

Uo Ù } û 

r 

da ciò che accadrà al sistema dopo il tempoZ. Quest’ultima informazione è 

contenuta ine. Quindi con di[ 

l’introduzione abbiamo separato la storia 

ee 

passata dal comportamento futuro del sistema. Ciò ci permette di parlare della 

relazione fra passato e futuro nel modo usuale. Esplicitamente, se una particella 

è stata in una regione Ó ì dello spazio-tempo, si può dire che al tempoZ 

essa si trova in un certo stato determinato soltanto dal suo passato e descritto 

dalla funzione d’onda[ 

S%U6\ Z V . Questa funzione contiene tutta l’informazione 

necessaria al fine di predire probabilisticamente il comportamento futuro. Supponiamo 

infatti che in un’altra situazione la regione Ó ì sia diversa – diciamo 

¡ ì – ed inoltre che la lagrangiana differisca per tempi minori diZ . D’altra parte, 

supponiamo però che[ 

S%U6\ Z V data dall’eq. (15) sia uguale nei due casi. Allora 

l’eq. (14) ci dice che la probabilità di essere in Ó ì…ì è la stessa, sia per Ó ì che per 

¡ ì . Di conseguenza misure future non distingueranno se nel passato il sistema 

era in Ó ì o in ¡ ì . Ne concludiamo che la funzione d’onda[ 

S%U6\ Z V è sufficiente 

per specificare le proprietà necessarie al fine di determinare completamente il 

comportamento futuro. 

In modo analogo la funzionee 

î S%U6\ Z V caratterizza l’esperimento che viene 

effettuato sul sistema. Se una regione ¡ ì…ì diversa da Ó ì…ì ed una lagrangiana 

diversa per tempi successivi aZ dessero la stessa funzionee 

î 

(vedi eq. (16)) 

in entrambe le situazioni, avremmo – secondo l’eq. (14) – che la probabilità 

di trovare il sistema in Ó ì|ì sarebbe uguale a quella di trovarlo in ¡ ì…ì (indipendentemente 

dalla preparazione del sistema, specificata da[ 

). In altre parole, 

i due esperimenti Ó ì…ì e ¡ ì…ì sono equivalenti, in quanto forniscono gli stessi 

risultati. Possiamo anche dire che questi esperimenti determinano con quale 

probabilità il sistema si trova nello statoe. Di fatto questa terminologia è imprecisa, 

in quanto il sistema si trova nello stato[ 

. Naturalmente il motivo per 

cui possiamo associare uno stato ad un esperimento è che (per un esperimento 

ideale) risulta esserci un unico stato (la cui funzione d’onda S%U6\ Z V ) nel quale 

l’esperimento avviene con certezza. 

èe

? 

? 

Ú 

ð ` 

? 

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

Ú 

G 

o 

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

t 

S%U lÙ } \9U 

lVTL 

` 

Possiamo quindi dire: la probabilità che un sistema in stato[ 

uno venga 

rivelato da un esperimento il cui stato caratteristico data da 

èe 

69 

è 

Ú e î S%Ue\ Z V[ S%Ue\ Z V r U 

Ø V S9f 

Ovviamente questi risultati sono in accordo con i principi della meccanica 

quantistica ordinaria. Essi sono una conseguenza del fatto che la lagrangiana 

è una funzione solamente di posizione, velocità e tempo. 

6. L’EQUAZIONE D’ONDA 

Al fine di completare la dimostrazione dell’equivalenza con la formulazione 

ordinaria dovremo mostrare che la funzione d’onda – definita nel paragrafo 

precedente dall’eq. (15) – soddisfa proprio l’equazione di Schrödinger. In 

realtà, riusciremo a fare questo solo nel caso in cui lagrangianaŽ la nell’eq. (11) 

è una forma quadratica inomogenea delle velocità. Non si tratta però di una seria 

limitazione, dato che sono descritti di fatto tutti quei casi in cui l’equazione 

di Schrödinger è verificata sperimentalmente. 

L’equazione d’onda fornisce l’evoluzione temporale della funzione d’onda. 

Ci possiamo aspettare di ottenere un’approssimazione notando che, per 

finito, l’eq. (15) permette di sviluppare una semplice relazione ricorsiva. 

Consideriamo la forma dell’eq. (15) nel caso in cui volessimo 

[ 

calcolare 

all’istante di tempo successivo: 

exp 

W 

X- 

Uo 

û 

r 

VL] 

[ S%Uo Ù } \ Z c 

Uo 

k } û ˆ¢ˆ¢ˆ S9f ” ìV 

r 

Questa è simile all’eq. (15), a parte l’integrazione variabileUo 

sull’ulteriore 

ed il nuovo termine nella somma che sta nell’esponenziale. Questo termine 

significa che l’integrale (15ì nell’eq. ) è lo stesso integrale presente nell’eq. (15), 

a meno del S9f" û V expSW 

fattore 

X V 

t 

S%U o Ù } \9U o V - 

. Poiché esso non contiene 

lí k € 

alcuna delle variabiliU 

l 

perW 

minore diV, tutte le integrazioni sur 

U l 

possono 

essere eseguite, ignorando la differenza con l’eq. (15). 

Tuttavia, in virtù 

dell’eq. (15), il risultato di tali integrazioni è semplicemente[ 

S%Uo@\ Z V . Quindi 

dall’eq. (15ì ) segue la relazione 

[ S%Uo Ù } \ Z c 

exp 7 

W 

9 

t 

S%Uo Ù } \9Uo/V X- 

[ S0Uo \ Z V r 

Uo. 

û S9f Û V 

VL]

u 

t 

S%U lÙ } \9U lVh] 

? 

? 

t 

S%U lÙ } \9U lVh] 

? 

? 

 

? 

? 

? 

? 

? 

 

? 

 

? 

? 

K 

c 

? 

? 

a 

? 

K 

? 

? 

K 

70 

Mostreremo su esempi semplici che questa relazione, con un’opportuna 

diû 

scelta 

, è equivalente all’equazione di Schrödinger. Di fatto, l’eq. (18) non è 

esatta, ma è valida solo nel y limite , e noi assumeremo che essa sia 

corretta al prim’ordine in . Osserviamo è.Uf ¥ *¦©¨ che che tale equazione 

corretta 

( ( 

sia al prim’ordine in , per piccolo. Infatti, se consideriamo i 

fattori nell’eq. (15) che ci portano ad un intervallo di tempo finito , il numero 

. Facendo un errore di ordine 

` 

in ognuno di essi, l’errore 

risultante sarà di ordine 

, che si annulla nel limite 

y . 

di tali fattori è 

S 

 

VL] ` 

Illustreremo quindi la relazione esistente fra l’eq. (18) e l’equazione di 

Schrödinger considerando il caso semplice di una particella in un potenziale 

R8S%UoV unidimensionale . Prima di far questo vogliamo però discutere alcune 

approssimazioni al valore S%U lÙ } \9U lV dato dall’eq. (11), che saranno sufficienti 

per l’espressione (18). 

È difficile calcolare esattamente, partendo dalla meccanica classica, l’espressione 

di S%U lÙ } \9U lV data dall’eq. (11). In realtà basta usare nell’eq. (18) 

t t 

un’espressione approssimata per t S%U lÙ } \9U 

lV,purché l’errore dovuto all’approssimazione 

sia di un ordine di grandezza più piccolo di . Ci limitiamo al 

caso in cui la lagrangiana è una forma quadratica inomogenea nelle velocità 

. In queste circostanze è sufficiente calcolare 

l’integrale nell’eq. (11) lungo il cammino classico corrispondente ad una 

particella#¥– 

* }} . 

In 

(£( 92¥$¦¨ ¢¨..¥%¦ }` 

la traiettoria di una particella libera è una 

linea retta, quindi l’integrale che figura nell’eq. (11) può essere calcolato lungo 

una retta. In questo caso è sufficiente sostituire l’integrale con la "regola del 

? 

. Come vedremo più avanti, i cammini più importanti sono quelli per 

cuiU 

UxSZ V ^ U l 

è dell’ordine di % } lÙ 

trapezio" 

a Ž I 

U lÙ } ^ U l 

a Ž I 

U lÙ } Û l 

S9f Ý V 

\9U lÙ } 

oppure, se è più conveniente, con 

\9U l 

y

X 

? 

? 

! 

t 

S%U lÙ } \9U lVL] 

t 

S0U lÙ } \9U lVL] 

? 

[ S0Ue\ Z c 

? 

? 

Ú 

? 

exp F 

Ú 

b 

X 

W 

? 

? 

a I 

U lÙ } ^ U l 

? K 

` 

? 

G 

a 

b 

? 

W 

? 

W 

K 

? 

? 

Ú 

9 

^ 

exp I 

? 

K 

9 

X 

ˆ 

û 

X 

? 

caso in cui non sia presente un potenziale vettore o altri termini lineari nella 

velocità: 

71 

lÙ } Sa f-V \9U 

Quindi per il semplice esempio unidimensionale di una particella di massa 

b 

in un potenzialeR1S%UoV possiamo porre 

Ž I 

U lÙ } ^ÜU l 

R1S0U lÙ } V 

Saa V 

In questo caso, l’eq. (18) diventa 

[ S%Uo Ù } \ Z c 

^ËRTS%Uo Ù } V LUN ˆ 

- 

a I 

U o Ù } ^ÜU o 

? K 

` 

Vx] 

S%U o \ Z V r U o 

û Sa { V 

[ 

o Ù } ] U eU o Ù } ^ U o ] å 

, cosicchéU o ]’U ^ å 

. In tal modo 

PoniamoU 

l’eq. (23) diventa 

exp 7 

- 

- X RTS%UoV 

S%Ue\ c Vx] 

W b å ` 

X ^ [ S%U3^ å \ Z V Sa „ V 

[ Z 

L’integrazione in converge 

[ S%U6\ Z V se si annulla in modo sufficientemente 

rapido per grandi å valori (certamente se 

[ î S%U;V[ S%U;V r Ud] f ). 

Essendo molto piccolo, nell’integrazione su l’esponenziale ë diW b å ` 

 

a - oscilla 

molto rapidamente tranne che nella regione intorno a å y ( dell’ordine 

å å 

diU 

- 

b V 

+ 

). Poiché la funzione[ 

S%Uƒ^ å \ Z V ha una dipendenza da piuttosto 

å ] 

diS 

“liscia” (dato che può essere scelto arbitrariamente piccolo), la regione in 

cui l’esponenziale oscilla rapidamente contribuirà molto poco, a causa della 

quasi completa cancellazione di contibuti positivi e negativi. Quindi solo piccoli 

valori di sono rilevanti nell’integrazione, il che permette di sviluppare 

å 

[ S%U3^ å \ Z V in serie di Taylor. Abbiamo 

r å 

? K 

- 

X R3S0U;V 

a - 

W b å ` 

Vh] exp I ^ 

r å 

û 

Ora 

a Y ` [ S0Ue\ Z V 

S0Ue\ Z Vx^ å Y [ S%U6\ Z V 

Y U c 

å ` 

7[ 

Y U ` ^dˆ¢ˆ¢ˆ 

Sa ” V

? 

? 

Ú 

Â 

? 

X 

? 

Â 

X 

? 

? 

X 

W 

? 

W 

X 

? 

X 

W 

? 

X 

? 

? 

W 

? 

K 

K 

X 

K 

? 

û 

ˆ 

? 

? 

! 

ˆ 

72 

€ Ù 

? ? 

expSW b å ` 

 

a - X V r å ]ùSa'& - X W 

 

b V 

+ 

Ú 

\ ! 

€ k 

€ Ù 

€ 

expSW b å ` 

 

a - 

k 

Sa Ñ V 

€ ÚÙ € 

expSW b å ` 

 

a - 

k 

V å ` r å ]óS - 

V å r å ]zy\ 

W 

 

b V¡Sa'& - 

 

b V 

+ 

! \ W 

mentre l’integrale contenente å † è zero, in quanto il suo integrando è una funzione 

dispari (analogamente all’integrando che contiene ). Inoltre l’integrale 

contenente è di almeno un ordine più piccolo di quelli considerati å . 

Sviluppando il primo membro dell’eq. (25) al prim’ordine in , tale equazione 

sopra}«† å 

diventa 

[ S0Ue\ Z VÞc 

[ exp Z V 

Y©Z ] I ^ Y S%Ue\ 

Z Vec 

- 

S%Ue\ 7[ 

- X R1S0U;V 

? 

X W 

 

b V 

+ 

- Sa'& 

9 

Sa Ø V 

Affinché ambo i membri possano all’ordine!£¢ 

( 

coincidere in 

che si abbia 

è necessario 

a-b Y ` [ S%U6\ Z V 

Y U ` c ˆ¢ˆ¢ˆ 

Sviluppiamo ora l’esponenziale contenenteRTS%U;V . Otteniamo 

b V 

+ 

! Sa Û V 

 

û ]óSa'&;W - 

S%U6\Z VÞc Y [ S%Ue\ Z V [ 

[ S%Ue\ Z Vec 

- 

I 

- 

Y©Z ] I f¨^ 

XQR1S%U;V 

S%U6\ Z V da ambo i membri, uguagliando i termini al prim’ordine 

in e moltiplicando per^ - X 

 

W 

, si ha 

13 

Cancellando[ 

In realtà, questi integrali sono oscillanti e quindi non ben definiti, però ad un simile inconveniente 

si può ovviare introducendo un fattore di convergenza. Nell’eq. (24) tale fattore 

è automaticamente fornito (ç[dÕó-è%é da ). Se si desidera un procedimento più formale, si 

può, ad esempio, sostituire - con - d (1 ïh) 

successivamente limiteh_ il 0. 

ovehè un numero piccolo positivo, prendendo 

Sa Ý V 

a'b Y ` [ S0Ue\ Z V 

Y U `

? 

? 

! 

? 

? 

? 

? 

? 

 

K 

` [ c R8S%UoV[ \ 

? 

? 

 

73 

- 

XWY [ 

^ 

X 

W Y - 

U S{ y

X 

? 

? 

X 

? 

74 

Per tale motivo l’eq. (21) non è sufficientemente accurata come approssimazione 

dell’eq. (11), per cui si rende necessario usare l’espressione (20) (o 

(19) da cui la (20) differisce per termini superiori in ). Se A rappresenta 

l’operatore impulso, allora l’eq. (20) dà 

il potenziale vettore ] S e 

X 

 

WV$Ç p - 

nell’operatore termineSf 

a-b V¢S p^ Swi 

‘ V AVDˆ S p^ Si" ‘ V AV hamiltoniano un , 

mentre fornisceS9f 

a-b V¢S pˆ pûSa 

i" 

‘ V Aˆ pc Si ` 

 

` 

‘ V Aˆ AV l’eq. (21) . Queste 

due espressioni S differiscono 

X 

i" 

a-Wb 

‘ 

V$Ç ˆ per - 

A, che può non essere nullo. 

La questione è ancora più importante per i coefficienti di termini quadratici 

nelle velocità. In generale, le eq. (19) e (20) non sono rappresentazioni sufficientemente 

accurate dell’eq. (11) per questi termini. È quando i coefficienti 

sono costanti che le eq. (19) o (20) possono sostituire l’eq. (11). Se si usa 

un’espressione come l’eq. (19) ad esempio in coordinate sferiche, si ottiene 

un’equazione di Schrödinger in cui l’operatore hamiltoniano ha qualche operatore 

delle coordinate e dell’impulso nell’ordine sbagliato. L’eq. (11) allora 

risolve l’ambiguità nella usuale regola di sostituire e Å 

con operatori non 

- 

WV¢SY Y 

Å 

V e nella 

X 

hamiltoniana classica÷ 

S \ 

Å 

V . 

Å 

È chiaro che l’affermazione contenuta nell’eq. (11) è indipendente 

commutantiS 

dal 

sistema di coordinate. Pertanto, al fine di trovare l’equazione d’onda corrispondente 

in un arbitrario sistema di coordinate, il procedimento più semplice 

consiste nel trovare dapprima l’equazione d’onda in coordinate cartesiane, effettuando 

poi il cambiamento di coordinate. È quindi sufficiente mostrare 

la relazione fra i nostri postulati e l’equazione di Schrödinger in coordinate 

rettangolari. 

La derivazione data qui in una dimensione può essere estesa direttamente 

al caso di coordinate cartesiane tridimensionali per un numero arbitrario¢ di 

particelle interagenti fra loro ed in presenza di un campo magnetico descritto 

da un potenziale vettore. I termini dipendenti dal potenziale vettore richiedono 

di completare il quadrato nell’esponente nel modo usuale per gli integrali 

gaussiani. La variabileU deve essere sostituita dall’insiemeU ï}ò\¢ˆ¢ˆ¢ˆ-\9U ï†Hn ò , 

oveU ï}ò ,U ï` ò ,U ï† ò sono le coordinate della prima particella di massab 

} ,U ï ò , 

. 

La lagrangiana è quella classica e l’equazione di Schrödinger che ne risulta 

sarà quella corrispondente alla hamiltoniana classica associata alla suddetta 

U ï˜ ò ,U ï ò della seconda di massab 

` , etc. Il simbolo 

r U viene sostituito da 

U ˆ¢ˆ¢ˆ r U r ò e l’integrazione sur 

U è sostituita da{¢ integrali. La costanteû 

assume in questo caso il valoreû 

]ùSaQ&;W - 

b V1o! 

ï}ò ˆ¢ˆ¢ˆ'Sa'&;W - 

b Vpo! †Hn } 

ï†Hn 

lagrangiana. Le equazioni in ogni altro sistema di coordinate possono essere 

ottenute mediante una trasformazione. Poiché quanto detto sopra comprende 

tutti i casi in cui l’equazione di Schrödinger è stata verificata sperimentalmente 

possiamo dire che i nostri postulati sono equivalenti all’usuale formulazione 

della meccanica quantistica non relativistica quando venga trascurato lo spin.

? 

? 

? 

? 

7. DISCUSSIONE DELL’EQUAZIONE D’ONDA 

Il Limite Classico 

La dimostrazione dell’equivalenza fra la formulazione usuale della teoria 

quantistica e quella presentata qui è ora completa. Vorremmo però considerare 

in questo paragrafo alcune osservazioni concernenti l’eq. (18). 

Questa equazione specifica l’evoluzione temporale della funzione d’onda 

durante un piccolo intervallo di tempo. Fisicamente, essa può essere interpretata 

come l’espressione del principio di Huygens per le onde di materia. 

In ottica geometrica, i raggi in un mezzo inomogeneo soddisfano il principio 

di Fermat di ¨¢ ( 

minimo . Possiamo enunciare il principio di Huygens 

dell’ottica ondulatoria nel modo seguente. Se l’ampiezza di un’onda è nota 

su una data superficie, in un punto vicino l’ampiezza può essere considerata 

come la somma di contributi provenienti da tutti i punti della superficie. 

Ogni contributo è sfasato di una quantità proporzionale ¨* ( 

al che la luce 

impiegherebbe per andare dalla superficie al punto lungo il raggio di 

¨¢ ( 

minimo 

dell’ottica geometrica. Possiamo considerare l’eq. (22) in modo simile 

partendo dal primo principio di Hamilton minimaE!¢¥( ¦ di per la meccanica 

classica o “geometrica”. Se dell’onda[ 

l’ampiezza è nota su una data superficie 

– in particolare la “superficie” consistente di leU tutte tempoZ al – il suo 

valore in un punto vicino, tempoZ c al , è la somma di contributi provenienti 

da tutti i punti della superficie al tempoZ. Ogni contributo è sfasato di una 

quantità proporzionale all’-!*¥( ¦ richiesta per andare dalla superficie al punto 

considerato lungo il cammino di minimaE!¢¥( ¦ della meccanica classica}w . 

In realtà, il pricipio di Huygens dell’ottica non è corretto e va sostituito 

dalla modifica di Kirchoff, che richiede che l’ampiezza e la sua derivata siano 

note su superfici adiacenti. Ciò è conseguenza del fatto che l’equazione d’onda 

dell’ottica è del secondo ordine nel tempo. L’equazione d’onda della meccanica 

quantistica è invece del primo ordine nel tempo. Quindi il principio di 

Ò Huygens corretto per le onde di materia, nel qual caso l’azione sostituisce il 

tempo. 

L’equazione (18) può anche essere confrontata con grandezze che appaiono 

nella formulazione usuale. Nell’approccio di Schrödinger l’evoluzione 

temporale della funzione d’onda è dato da 

- 

X 

^ 

75 

che ha come soluzione (per 

arbitrario se H è indipendente dal tempo) 

S{ f-V 

W Y [ 

YZ ] H[ 

S%Ue\ Z c VL] expS9^ W X V[ S%U6\ Z V S{ a V 

16 

[ 

A tale proposito si vedano le osservazioni molto interessanti di Schrödinger, Ann. d. Physik 

79, 489 (1926). 

H -

? 

? 

? 

Ú 

? 

? 

? û 

? 

Ú 

Ú 

? 

G 

? 

 

k } 

? 

t 

S0U lÙ } \9U lVL ˆ 

76 

X V come un’operatore integrale ap- 

Pertanto l’eq. (18) expS9^ W 

esprime 

prossimato per piccolo. 

Secondo il punto di vista di Heisenberg si considera, ad esempio, la 

posizione al Z tempo come un operatore x. La xì posizione ad un 

successivoZ c 

tempo 

può essere espressa in termini di quella tempoZ al secondo 

l’equazione operatoriale 

H - 

La teoria delle trasformazioni di Dirac ci permette di considerare la funzione 

V X 

d’onda al Z c tempo 

[ S%U ì\ Z c V , , come descrivente uno stato nella rappresentazione 

in xì cui è diagonale, 

[ S%Ue\ Z V mentre descrive lo stesso stato 

nella rappresentazione in cui x è diagonale. 

Queste funzioni d’onda sono 

quindi connesse dalla funzione di trasformazione S%U ìÎU;V P che collega le due 

rappresentazioni: 

H - 

H - 

xì©] expSW 

X V x expS9^ W 

S{{ V 

Di conseguenza segue dall’eq. (18) che per 

[ S%U ì\ Z c 

piccolo possiamo porre 

S%U ìÎU;V P[ S%Ue\ Z V r U 

Vx] 

P ]óS9f 

û V expSW t 

S%U+ì \9U;V - X V S{„ V 

S0U+ìÎU;V 

ove S%U ì\9U;V è definita dall’eq. (11). 

La stretta analogia fra t ìÎU;V P e la grandezza expSW t 

S%U ì\9U;V - X V è stata 

S%U 

sottolineata ripetutamente da } Dirac . Ora vediamo che, con sufficiente approssimazione, 

le due grandezze possono essere considerate proporzionali. Le 

osservazioni di Dirac sono state il punto di partenza del presente lavoro. Gli 

argomenti di Dirac riguardanti il limite classico - y sono molto belli, e 

X 

forse posso essere scusato se li riporto qui brevemente. 

Notiamo innanzi tutto che la funzione inU ì…ì d’onda tempoZì…ì al può essere 

ottenuta da inU ì quella tempoZì al come 

S%Uì…ì0\ Zì…ì$VL] lim P ‡ 

[ 

exp 

W 

X- 

ˆ¢ˆ¢ˆ 

S{/” V 

líÞ‡ 

û ˆ¢ˆ¢ˆ 

S%U ì\ ZìV 

r U ‡ r U } r U 

k } û \ [ 

poniamoU ‡ g U ì\9U g U ì…ì ove g Zì…ì ^ Zì (assumiamo che fra i tempiZì e 

e* 

Zì…ì non vi sia alcuna restrizione sulla regione d’integrazione). Ciò può essere 

visto sia applicando ripetutamente l’eq. (18) che direttamente dall’eq. (15). 

Ci chiediamo ora quali valori delle coordinate contribuiscano maggiormente

? 

t 

? 

 

? 

t 

] 

 

k } 

t 


77 

all’integrale y per . Questi saranno i valori osservabili sperimentalmente 

con maggiore probabilità, e quindi determineranno il cammino classico per 

è molto piccolo, l’argomento dell’esponenziale sarà una funzione 

rapidamente variabile di ognuno dei argomentiU 

X 

l 

suoi . Al variare delle 

y . Se - 

l 

, i contributi positivi e negativi all’integrale provenienti dall’esponenziale si 

cancellano quasi completamente. La regione delleU 

U 

che contribuisce maggiormente 

è quella in cui l’argomento dell’esponente varia con U l 

il meno 

l 

rapidamente possibile (metodo della fase stazionaria). Indichiamo con la 

somma nell’esponente 

t 

S{Ñ V 

Allora l’orbita classica passa approssimativamente per puntiU 

l 

quei nei quali 

varia di poco al delleU 

l 

variare : nel limite - la traiettoria classica y 

 

X 

passa per i punti in cui non varia per una piccola variazione delleU 

l 

. Ciò 

t 

significa che l’orbita classica passa per i punti cuiY 

t 

in 

Prendendo il limite 

lío‡ 

Y U l ] y , per ogniU 

l 

. 

y , l’eq. (36) diventa (in virtù dell’eq. (11)) 

] nðñð Ú 

t 

nð 

S{/Ø V 

Vediamo quindi che il cammino classico è quella traiettoria deformando la 

quale non si induce – al prim’ordine – alcuna variazione in t . Questo è il 

principio di Hamilton, che porta direttamente alle equazioni di Lagrange. 

V.\ 

u 

U6SZ V9V r Z ŽJS%UÌSZ 

8. ALGEBRA DEGLI OPERATORI 

Elementi di matrice 

Data la funzione d’onda e l’equazione di Schrödinger, è possibile naturalmente 

sviluppare l’intero formalismo degli operatori o dell’algebra delle 

matrici. È tuttavia più interessante esprimere questi concetti in un linguaggio 

differente, più simile a quello usato nella formulazione dei nostri postulati. 

Ciò non porta ad una più profonda comprensione dell’algebra degli operatori, 

in quanto i nostri risultati saranno una semplice trascrizione delle equazioni 

operatoriali in una notazione più pesante. D’altra parte, il nuovo formalismo 

è molto utile in certe applicazioni descritte nell’introduzione. La forma delle 

equazioni permette inoltre un’estensione naturale ad una classe di operatori più 

vasta di quella usualmente considerata (ad esempio operatori che si riferiscono 

a due o più tempi diversi). Le formule che svilupperemo giocheranno un ruolo

Ú 

Ú e î S%U ì…ì\ Zì…ìV expSW t 

78 

importante nel caso in cui sia possibile una generalizzazione ad una classe più 

vasta di integrali d’azione. 

Discuteremo questi argomenti nei tre paragrafi successivi, mentre il presente 

paragrafo contiene principalmente alcune definizioni. Introdurremo una 

grandezza che chiamiamo elemento di transizione tra due stati. Esso è essenzialmente 

un elemento di matrice. Ma invece di essere un elemento di matrice 

fra stati[ 

due corrispondenti allo*¨. ( 

tempo, i due stati si riferiscono a 

ee 

tempi diversi. Nel paragrafo successivo otterremo una relazione fondamentale 

fra gli elementi di transizione, da cui possono venir dedotte le usuali relazioni 

di commutazione fra coordinate ed impulsi. La stessa relazione fornisce anche 

le equazioni newtoniane del moto in forma matriciale. Discuteremo infine nel 

paragrafo 10 la relazione fra hamiltoniana ed operatore di traslazione temporale. 

Cominciamo col definire un elemento di transizione in termini della probabilità 

di transizione fra uno stato ed un altro. Più precisamente, supponiamo di 

avere una situazione simile a quella considerata nella derivazione dell’eq. (17). 

La regione Ó 

consiste di una regione ì precedente aZì , tutto lo spazio fraZì 

Ó 

e la regione Ó ì|ì successiva aZì…ì . Studieremo la probabilità che un sistema 

nella regione Ó ì sia trovato successivamente nella regione Ó ì…ì . Questa è data 

eZì…ì 

dall’eq. (17). Discuteremo in questo paragrafo come essa varia al variare della 

forma della fraZì eZì…ì lagrangiana . Nel paragrafo 10 studieremo invece come 

essa cambia al variare della preparazione ì o dell’esperimento Ó ì…ì . 

Lo stato al Ó è definito completamente dalla preparazione Ó ì . Esso 

può essere specificato dalla funzione d’onda 

[ S%U ì\ ZìV ottenuta dall’eq. (15) 

tempoZì 

considerando gli integrali estesi fino tempoZì al . Analogamente, lo stato caratteristico 

dell’esperimento (regione ì…ì ) può essere definito da una funzione 

Ó 

S%U ì|ì\ Zì|ìV ottenuta dall’eq. (16) con integrali calcolati a partire dal tempoZì…ì . 

La funzione d’onda 

[ S%U ì…ì\ Zì…ìV può ovviamente essere ottenuta anche applicando 

l’eq. (15) o da[ 

S%U ì\ ZìV mediante l’eq. (35). Secondo l’eq. (17) con 

Zì al posto diZ,la probabilità che il sistema venga osservato nello 

e 

se 

preparato in 

[ 

è il quadrato di ciò che chiamiamo ampiezza di transizione 

ë 

statoe 

î S%U ì…ì\ Zì…ìV[ S%U ì…ì\ Zì…ìV r U ì…ì . Desideriamo esprimere questa grandezza in ter- 

e 

die 

mini tempoZì…ì al di[ 

e tempoZì al : possiamo farlo grazie all’eq. (35). 

Quindi la probabilità che un sistema preparato stato[ 

nð 

nello tempoZì al sia 

trovato ad tempoZì…ì un statoe 

nðñð 

nello è il quadrato dell’ampiezza di transizione 

¾ ] lim P ‡ nðÏ 

- 

X V[ S%U ì\ ZìV*ˆ 

Íe nðñðÎf Î[ 

ˆ¢ˆ¢ˆ 

U ‡ r U 

k } 

S{Û V 

r 

ove si è fatto uso dell’abbreviazione (36). Nel linguaggio della meccanica 

quantistica ordinaria, nel caso in cui la hamiltoniana H sia costante, si ha 

û ˆ¢ˆ¢ˆ 

û r U \

? 

? 

G 

X 

? 

Ú 

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

X 

W 

? 

 

? 

ß 

S%U l\ZlV 

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

[ 

nð]r¾ 

? 

? 

S%Ue\ Zì…ìV¨] exps^ 

W SZì…ì ^ ZìV H - X v[ S%Ue\ ZìV , cosicché l’eq. (38) è l’elemento di 

[ 

matrice exps^ 

W SZì…ì ^ ZìV H di 

X v - fra statie 

nðñð e[ 

nð 

gli . 

Se è un’arbitraria funzione coordinateU 

l 

perZì ‰ Z ‰ Zì…ì delle , definiamo 

l’elemento di transizione di fra stati[ 

gli tempoZì al al 

per l’azione t S%U ì…ì g U \9U ì g U ‡ V come 

ee 

79 

tempoZì…ì 

nðñðÎ nðÏ¾ ] lim P ‡ ˆ¢ˆ¢ˆ 

Ú î e S%U+ì…ì%\ Zì…ì%V S%U ‡ \9U } \¢ˆ¢ˆ¢Ê\9U V.ˆ 

Î[ 

W 

exp 

k } 

Íe 

t 

S%U lÙ } \9U 

lVTL 

[ S%U+ì \ Zì$V 

r U ‡ û ˆ¢ˆ¢ˆ 

r U 

k } û r U 

S{Ý V 

lío‡ 

- 

y Nel limite diventa un camminoUDSZ V funzionale del . 

Vedremo ora perché tali quantità sono importanti. Sarà più facile capirlo 

se ci soffermiamo un momento a scoprire le corrispondenti grandezze nella 

formulazione convenzionale. Supponiamo che sia data semplicemente da 

, doveVcorrisponde ad un tempoZ ] Z o certo . Allora nel secondo Uo membro 

dell’eq. (39) gli U ‡ integrali Uo 

k } 

da a possono essere 

[ S%U 

calcolati, 

\ Z V 

ottenendo 

exps^ 

W SZ ^ ZìV H o 

nð 

- . Analogamente, gli integrali U l 

su î S0U 

o 

\ Z V 

per 

o exps^ 

W SZì…ì ^ Z V H - 

n o 

di transizione diU o 

X ve nðñð 

p 

î 

. Quindi l’elemento 

X v[ 

*‘é 

Wc 

V dannoe 

Íe nðñð Î Î[ 

nðÏ¾ ] 

Ú î 

nðñðikDï#l§p 

- X ò Hï•nðñðk©n ò0UoikDï#l§p 

- e 

r U3] 

X ò Hï•n«k©nðò[ 

nð 

S„ y

Ú 

7 

¤ 

¤ 

nðñð ¤bse 

l 

? 

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

? 

X 

W 

? 

 

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

[ 

l 

ß 

S%U l \ ZlV 

? 

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

[ 

9 

80 

Quindi elementi di transizione come quello nell’eq. (39) sono importanti ogniqualvolta 

può nascere in qualche modo da variazioneÐ 

t 

una di un funzionale 

d’azione. Chiameremo funzionali osservabili quei funzionali che possono 

essere definiti (anche se indirettamente) in termini di variazioni indotte da 

possibili cambiamenti dell’azione. La condizione affinché un funzionale sia 

osservabile è abbastanza simile a quella che un operatore deve soddisfare 

affinché sia hermitiano. I funzionali osservabili formano una classe ristretta, 

in quanto l’azione deve restare una funzione quadratica delle velocità. Da un 

funzionale osservabile altri possono essere dedotti come, ad esempio, 

¤¤ 

exp 

- 


che segue dall’eq. (39). 

Incidentalmente, l’eq. (41) porta direttamente ad un’importante formula 

perturbativa. Se l’effetto di è piccolo, l’esponenziale può essere sviluppato 

al prim’ordine in e troviamo 

ß 

ß 

lí } 

nðr 

¾ 

nðÏ¾ ð ] 

qe nðñð 

S„ a V 

W 

X- 

nðñð Î Íe 

¾ 

ð ]óÍe nðñð Îf Î[ 

nðÏ¾ c 

ß 

S0U l \ ZlV Î[ 

nðÏ 

nðÏ 

Di particolare importanza è il caso cuie 

nðñð 

in è uno stato in 

[ 

cui 

non 

potrebbe venir trovato, se non fosse perché la perturbazione è presente (cioè 

ß nð 

nðÏ¾ ]zy ). Allora 

S„/{ V 

Íe nðñð Îf Î[ 


ß 

S%U l\ZlV 

¤ 

nð=t¤ S„„ V 

¤` 

X+` 

-f 

è la probabilità della transizione indotta dalla perturbazione (al prim’ordine 

nella perturbazione). Nella notazione usuale si ha 

¤ 

l 

¤ 

¤ 

¤ 

nðñð S0U l \ ZlV 

¤ [ ß ¤¤ 

ikDï)l$p 

- X ò Hï#nðñðk©n ò UikDï)l$p 

- 

se 

nðñð 

nð:t¾ ] 

U r Z r 

cosicché l’eq. (44) si riduce usuale}Ó all’espressione per la teoria delle perturbazioni 

dipendenti dal tempo. 

X ò Hï#nwk+nðò[ 

Ú e î 

nð 

17 P. A. M. Dirac,È

¾ 

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

¤ 

Y 

t 

¤ 

? 

9 

81 

9. EQUAZIONI DI NEWTON 

Le relazioni di commutazione 

In questo paragrafo scopriamo che funzionali diversi possono dare risultati 

identici quando considerati fra un coppia di stati. Questa equivalenza fra 

funzionali è l’analogo, nel nuovo linguaggio, delle equazioni operatoriali. 

Se dipende da più coordinate possiamo naturalmente definire un nuovo 

Y Y Uo funzionale derivando rispetto ad una delle sue variabili, ad esem- 

ÎY Y Uo Î[ 

nðñð 

Uo—Sy pio *V . 

nðÏ¾ Calcolando mediante l’eq. (39), 

l’integrale nel secondo membro conterràY Y Uo . L’unico altro posto in cui 

‰ ‰ 

variabileUo compare la è in . Quindi suUo l’integrazione può essere effettuata 

per parti. La parte integrata si annulla (assumendo che la funzione 

d’onda si annulli all’infinito) e nell’integrale 

V t 

Íe 

UoV expSW t 

figura 

X V - . 

- X VÜ] SW 

- 

- 

Y 

 

SY ^ 

SY Y U o V expSW t X V¢SY 

t 

Y U o V expSW t X V Ora , quindi il secondo 

membro rappresenta l’elemento di di^âSW 

transizione 

X V SY 

t 

Y U o V - 

, cioè 

¤ 

¤¤[ 

¤ 

W 

X 

uenðñð - 

¤ 

¤¤[ 

¤ 

V S„

? 

¾ 

b Uo 

I 

Ù } Ûo 

7^ 

? 

^ 

I 


? 

? 

? 

? 

? 

^ UoB^ÜUo k } 

? K 

^ U o Û o 

k } 

? K 

? 

^ 

^ 

? 

^ 

Ú 

? 

? 

W 

9 

9 

82 

e 

S%U o V.\ RFì 

ove scrittoR ìS%U;V abbiamo per indicare la derivata del potenziale (forza). Allora 

l’eq. (47) diventa 

Y 

t 

S%U o \9U o 

k } V Y U o ] c b S%U o ^ U o 

k } V 

- XWY ^ 

Se non dipende variabileUo dalla , l’eq. (48) fornisce le equazioni newtoniane 

del moto. Ad esempio, se è costante (uguale ad uno), l’eq. (48) porta 

(dividendo per ) a 

Y Uo Ú 

R ìS%U;V 

S„/Û V 

b 

? 

^ U o ^ U o 

k } 

? K 

y 

Ú 

¾ 

 

Pertanto l’elemento di transizione del prodotto della massa per l’accelerazione 

Ù } ÛoV ^ S%UoeÂUo k } V vô fra due stati arbitrari è uguale all’elemento 

sS0Uo 

di transizione della ^R ìS0U;V forza fra gli stessi stati. Questa è l’espressione 

matriciale della legge di Newton che vale in meccanica quantistica. 

Cosa accade se dipende Uo da ? Ad esempio, ] Uo sia . Allora 

l’eq. (48) (essendoY Y Uoâ]_f fornisce ) 

^ËRFì S%UoV 

- X 

^ 

Uo‘7«^ 

b 

I 


? 

¾ 

 

RFì S%UoV 

ossia, trascurando i termini d’ordine 

W 

Ú 

b 

I 

Uo Ù } Ûo 

? K 

U o ^ b 

I 

UoB^ÜUo k } 

? K 

X- 

V S„/Ý 

Al fine di tradurre un’equazione come la (49) nella notazione usuale, abbiamo 

bisogno di conoscere quale matrice corrisponde a grandezze tipoUo-Uo Ù } 

del . 

Dallo studio dell’eq. (39) è chiaro che se viene scelta, ad esempio, uguale a 

S0UoV:xoS%Uo Ù } V , il corrispondente operatore nell’eq. (40) è 

w 

U o 

¾ 

 

k6ï)l$p 

- X òwï•n0ðñð?k©n«k Pò HxoS xVi k6ï)l$p 

- 

i 

X ò 

P Hw 

xVi k6ï)l$p 

- X òwï#n«k©n0ð#ò H\ S 

con l’elemento di matrice preso fra statie 

nðñð 

gli 

[ 

nð 

e . Gli operatori che 

corrispondono a diUo Ù } 

funzioni appaiono a sinistra di quelli corrispondenti

a funzioni di Uo , cioè $ã( 92¥$¦;Ü2

? 

X 

? 

? 

? 

? 

! 

? 

? 

? 

? 

? 

? 

? 

X 

? 

W 

? 

! 

X 

? 

? 

! 

84 

per un piccolo tempo 

} è 

ad un cambiamento della massa della particella. sostituiscab 

conb 

Sf;c—ÐV 

Si 

, all’istanteZ o intorno . La variazione indotta 

v` 

nell’azione 

, la cui derivata dà un’espressione come quella 

nell’eq. (51). 

Ora, la variazione di 

b 

altera sia la costante di normaliz- 

Ð b sS0U o Ù } ^jU o V ` 

 

û 

relativa ar 

Uo che l’azione. La costante varia daSaQ& - 

a sa'& - W 

 

b S9fJc Ð'V«vk 

+ 

o, al prim’ordine in Ð , } ` ÐSa'& - W 

 

b V k 

+ 

zazionef 

. L’effetto 

totale della variazione della massa nell’eq. (38) al inÐ prim’ordine è 

W 

 

b V k 

+ 

¤ 

¤¤f 

a Ð 

¤ 

- X c f v` 

¤ 

¤¤[ 

¤ 

uenðñð 

W b sS%Uo Ù } ^ÜUoV 

Ci aspettiamo che la variazione di Ð ordine che dura per un tempo sia 

di Ð ordine . Quindi, dividendo Ð W 

per 

X 

- , possiamo definire il funzionale 

nðv 

a Ð 

energia cinetica come 

Ø 

] f a b sS%Uo Ù } ^ÜUoV t 

Questo è finito y per , grazie all’eq. (50). Usando l’equazione che si 

nell’eq. (48) si può anche mostrare 

che l’espressione (52) è uguale (al prim’ordine in ) a 

ottiene inserendo ] b S%Uo Ù } ûUo/V 

c - X 

 

a v` 

S” a V 

a b 

I 

Uo Ù } Ûo 

? K 

I 

UoB^ÜUo k } 

? K 

Ø 

] f 

S”{ V 

t 

Si vede che il modo più semplice per ottenere funzionali osservabili contenenti 

potenze della velocità è di sostituire questa potenza col prodotto delle velocità, 

calcolando ogni fattore a tempi leggermente diversi. 

10. LA HAMILTONIANA 

L’impulso 

L’operatore hamiltoniano ha un’importanza centrale nell’usuale formulazione 

della meccanica quantistica. In questo paragrafo studieremo il funzionale 

corrispondente a questo operatore. Potremmo definire immediatamente 

il funzionale hamiltoniano sommando il funzionale dell’energia cinetica 

(52) o (53) all’energia potenziale. Tuttavia questo metodo è artificiale e non 

mostra l’importante relazione esistente fra hamiltoniana e tempo. Definiremo 

il funzionale hamiltoniano mediante la variazione indotta in uno stato da una 

traslazione temporale.

t 

S%U lÙ } \ ZlÙ } s U l \ ZlVL] 

t 

] 

G 

l 

t 

S%U lÙ } \ ZlÙ } s U l \ ZlV 

a I 

U } ^ÜU l 

b 

} ^ Zl ZlÙ 

! 

n_ ŽJS0UDSZ V.\ 

u 

K 

` 

85 

A tal fine è necessario osservare che la suddivisione del tempo in intervalli 

@•¥ non è necessaria. Chiaramente ogni suddivisione in istantiZl 

è soddisfacente; 

i limiti vanno presi richiedendo che l’intervallo maggioreZlÙ 

} ^ Zl 

vada a zero. L’azione totale deve ora venire rappresentata dalla somma 

S”'„ V 

ove 

Ú n_)Ï+ 

S”” V 

in cui l’integrale è calcolato lungo il cammino classico che congiungeU 

l 

al 

tempoZl 

conU 

lÙ } 

al tempoZlÙ 

} 

. Per il nostro esempio unidimensionale si ha 

con sufficiente precisione 

UDSZ VV r Z \ 

t 

S%U lÙ } \ ZlÙ } s U l \ ZlVL] 

^ËRTS%U lÙ } VTLSZlÙ } ^ ZlV S”Ñ V 

e la corrispondente costante di normalizzazione per l’integrazione 

r U l 

su 

û ] 

è 

- X W SZlÙ } ^ ZlV 

b vk 

+ 

sa'& 

. 

Possiamo studiare adesso la relazione esistente fra hamiltoniana ed evoluzione 

temporale. stato[ 

V Si consideri uno definito in una 

ì 

regione spaziotemporale 

. Si immagini ora di considerare un tempoZ altro SZ V stato al 

SZ 

, 

definito in un’altra regione ìy. Supponiamo che la regione ìysia esattamente 

la stessa Ó Ó di tranne che precede Ó di un tempoÐ , cioè è spostata in blocco 

nel passato di un Ó . L’apparato associato a ìyper la preparazione dello 

Ó ì ì 

stato è identico a quello associato 

,[zy 

a , ma opera ad un tempo Ó precedente 

Ó tempoÐ 

. dipende esplicitamente dal tempo, 

ì 

anch’essa dev’essere 

traslata temporalmente, cioè daŽ lo stato[zyè ottenuto stato[ 

usata per 

dell’intervalloÐ 

lo 

SeŽ 

, con 

tempoZ la sola conZ c Ð differenza che il inŽyè sostituito . Ci 

da[ 

chiediamo ora 

come lo stato[zydifferisca . In ogni misurazione la probabilità di trovare 

il sistema ì…ì in una regione prefissata ì è diversa per e ìy. Si consideri 

la variazione Ó Ó Î[y Ó nell’elemento di ¾1{indotta dalla traslazione Ï Îf transizioneÍe 

. Possiamo considerare quest’ultima come realizzata diminuendo 

lasciando V, 

temporaleÐ 

tutti i diZl 

diÐ perW 

valori k|V, inalterati i diZl 

perW 

valori 

essendoZ nell’intervalloZ o \ Z o Ù } }ú . Questa variazione non avrà alcun effetto 

c 

19 Dal punto di vista del rigore matematico, sehè finito, il limite b _ 0 è problematico in

? 

 

b 

! 

? 

X 

X 

86 

su S0U lÙ } \ ZlÙ } s U l \ ZlV definita dall’eq. (55) fintanto che siaZlÙ } 

cheZl 

vengono 

variati della stessa quantità. D’altro lato, t 

t o Ù } \ Z o Ù } s U o \ Z o V diventa 

t 

S%U o Ù S0U \ Z o Ù } s U o \ Z o ^Ð'V , mentre la costante d’integrazionef 

û 

relativa ar U o 

} 

- 

X W SZ o Ù } ^ Z oCc ÐV b vk 

+ 

. Al prim’ordine inÐ , l’effetto di queste 

diventasa'& 

variazioni sull’elemento di transizione è dato da 

WÐ- 

Îf Î[ 

Ï¾ ^ Íe Îf Î[}y Ï ¾1{ ] 

in cui la funzione hamiltoniana÷ 

o è definita come 

Íe 

X Íe Î÷ 

o Î[ 

Ï¾ 

Y©Z o 

c 

- 

S”Ø V 

SZ o Ù } ^ Z o V a'W 

L’ultimo termine è indotto dalla variazione f 

û 

di mantiene÷ 

o e finita per 

y . Ad esempio, per l’espressione (56) si ha 

÷ oƒ] Y 

t 

S%Uo Ù } \ Z o Ù } s Uo\ Z oV 

S”Û V 

K 

` 

che è proprio la somma del funzionale dell’energia cinetica (52) e di quello 

oƒ] 

Uo 

I 

Ù } ^ Uo 

Z o Ù ÷ 

^ Z o 

c 

- X 

a-W SZ o Ù } ^ Z o V cdRTS%Uo Ù } V 

} a 

Ù } V dell’energia 

S%U6\ Z V 

. 

potenzialeR1S0Uo 

rappresenta naturalmente 

[ S%U6\ Z V 

lo stato 

La funzione d’onda 

[y 

traslato temporalmente diÐ , cioè[ 

S%Ue\ Z c ÐV . Quindi l’eq. (57) è strettamente 

connessa con l’equazione operatoriale (31). 

Si può anche considerare variazioni dovute ad una traslazione temporale 

dello stato finalee. Naturalmente, in questo caso non si ottiene alcun risultato 

nuovo, in quanto è solo la traslazione relativa frae 

e[ 

che conta. Si ottiene 

un’espressione alternativa 

YZ o Ù } c 

- 

SZ o Ù } ^ Z oV a-W 

che differisce dalla (58) solo per termini di ordine . 

La rapidità di variazione temporale di un funzionale può essere calcolata 

considerando l’effetto combinato di una traslazione temporale sia dello 

stato iniziale che di quello finale. Ciò equivale a calcolare l’elemento di transizione 

del funzionale riferito ad un tempo successivo. Il risultato è l’analogo 

dell’equazione operatoriale 

÷ oƒ]_^ Y 

t 

S%Uo Ù } \ Z o Ù } s Uo@\ Z o/V 

S”Ý V 

quanto, ad es., l’intervalloéRˆ +1 dQéRˆ è mantenuto finito. A ciò si può ovviare assumendo che 

hdipenda dal tempo, e che sia “acceso” lentamente prima dié =é ˆ e “spento” lentamente 

=é ˆ . Tenendo fissa la dipendenza temporale dih, si effettui il limite b_ 0; quindi 

si cerchi la variazione (al prim’ordine) perh_ 0. Il risultato è essenzialmente identico a 

dopoé 

quello ottenuto col procedimento più semplice usato sopra.

§ 

§ 

§ 

W 

§ 

che 

87 

X- 

_ W f Hf ^ fH ] 

Il funzionale o dell’impulso può essere definito in modo analogo considerando 

le variazioni indotte dalle traslazioni spaziali: 

X- 

Î Íe 

o Î[ 

Ï¾ 

è identica 

alla regione , tranne che per il fatto di essere traslata spazialmente di una 

distanza . (La lagrangiana – se essa dipende esplicitamente da Ó – deve U 

Îf Ï ^ŠÍe ¾ Î[ ] Îf 

La preparazione dello è associata ad una regione Ó 

Î[z~ Íe 

ì~ Ï¾€ 

stato[z~ 

essere sostituita conŽ~ 

] ŽJS%UT^ 

o ] Y 

t 

S0Uo Ù } \9Uo/V 

\ 

u 

UÞV per tempi precedenti aZ ). Si trova` ‡ 

Uo Ù } 

Poiché[~ 

Y 

Z V è uguale a[ S%Uâ^ \ Z V , ne consegue la stretta connessione fra 

o e la derivata spaziale della funzione d’onda. 

S%U6\ 

Gli operatori di momento angolare sono connessi alle rotazioni in modo 

simile. 

Ora, la derivata di S%U lÙ } \ ZlÙ } s U l \ ZlV rispetto a ZlÙ } 

compare nella 

t 

, mentre la derivata rispetto a U lÙ } 

definisce 

l 

. Ma la 

derivata di t S%U lÙ } \ ZlÙ } s U l \ ZlV rispetto aZlÙ } 

è connessa alla derivata rispetto 

l 

lÙ } 

, dato che la funzione t S%U lÙ } \ ZlÙ } s U l \ ZlV definita dall’eq. (55) soddisfa 

aU 

definizione 

÷ 

di 

l’equazione di Hamilton-Jacobi. Quindi tale esprime÷ 

l 

equazione in funzione 

 

l 

di . In altre parole, l’equazione di Hamilton-Jacobi il fatto che 

stati traslati temporalmente sono connessi alla traslazione spaziale degli stati 

originali. Questa idea porta direttamente ad una derivazione dell’equazione di 

Schrödinger che è molto più elegante di quella considerata precedentemente. 

] ^ Y 

t 

S%Uo Ù } \9UoV 

Y Uo 

SÑ y

88 

Abbiamo tuttavia ritenuto opportuno evitare questi metodi in una prima presentazione. 

Ulteriormente è necessario avere a disposizione un’appropriata 

misura sullo spazio funzionale dei camminiUÌSZ V }‡ 

. 

Questa formulazione è anche incompleta dal punto di vista fisico. Una 

caratteristica fondamentale della meccanica quantistica è l’invarianza per trasformazioni 

unitarie, che corrispondono alle trasformazioni canoniche della 

meccanica classica. Naturalmente, si può dimostrare che la presente formulazione 

è invariante per trasformazioni unitarie, in virtù della sua equivalenza 

con la formulazione usuale. Non è però x¥ 1*¦©¨ ovvio che sussista tale 

invarianza. Questa incompletezza si manifesta in un modo ben definito. Non 

è stato descritto alcun procedimento diretto per misurare grandezze diverse 

dalla posizione. Ad esempio, misure dell’impulso di una particella possono 

essere definite in termini di misure di posizione di altre particelle. Analizzando 

questa situazione in modo dettagliato si ottiene la connessione fra misure di 

impulso e trasformata di Fourier della funzione d’onda. Questo è però un 

metodo piuttosto involuto per ottenere un risultato così importante. È naturale 

attendersi che i nostri postulati possano essere generalizzati sostituendo l’idea 

dei “cammini in una regione dello spazio-tempo” con quella di “cammini 

Ó 

della classe Ó ”, o “cammini che hanno la proprietà Ó ”. Non è però chiaro in 

generale quale proprietà specifica debba corrispondere a misurazioni fisiche. 

12. UNA POSSIBILE GENERALIZZAZIONE 

La formulazione che abbiamo considerato suggerisce un’ovvia generalizzazione. 

Ci sono problemi classici interessanti che soddisfano ad un principio 

d’azione, ma per i quali l’azione non può essere scritta come l’integrale di una 

funzione della posizione e della velocità. L’azione può contenere ad esempio 

l’accelerazione, oppure – se l’interazione non è istantanea – essa può contenere 

il prodotto delle coordinate a due tempi diversi, come UDSZ V«UÌSZ c 

 

V r Z . Allora 

l’azione non può venire suddivisa nella somma di piccoli contributi, come è 

stato fatto nell’eq. (10). Di conseguenza, lo stato del sistema non può essere 

ë 

descritto da una funzione d’onda. Ciò nonostante si può definire la probabilità 

di transizione da una regione ì ad una regione Ó ì…ì . La maggior parte della 

Ó 

Î[ 

nðñðÎ 

teoria degli elementi di transizione 

caso. 

Íe 

È sufficiente inventare un simbolo del tipo Í 

Ó 

ì…ìÎ Î 

Ó 

ìÏ¾ definito da 

un’equazione simile all’eq. (39) in cui non compaiono[ 

ee, ed in cui figura 

per t l’espressione più generale dell’azione. L’hamiltoniana ed il funzionale 

d’impulso possono essere definiti come nel paragrafo (10). Ulteriori dettagli 

sono contenuti nella tesi dell’autore` 

} . 

nðÏ¾ può essere estesa a questo 

21 La teoria dell’elettromagnetismo descritta da J. A. Wheeler e R. P. Feynman, Rev. Mod. 

Phys. 17, 157 (1945) può essere espressa in forma di principio di minima azione in cui 

compaiono solamente le coordinate delle particelle. È stato il tentativo di quantizzare questa

89 

13. APPLICAZIONE ALL’ELIMINAZIONE 

DEGLI OSCILLATORI DI CAMPO 

Un aspetto caratteristico della presente formulazione è che essa offre una 

visione panoramica delle relazioni spazio-temporali in una data situazione. 

Prima di effettuare sulleU 

l 

l’integrazione in un’espressione come l’eq. (39) si 

ha a disposizione una formula in cui vari funzionali possono essere inseriti. 

Si possono quindi studiare le relazioni esistenti fra gli stati quantistici del 

sistema a tempi diversi. Discuteremo ora un esempio per rendere più definite 

queste osservazioni piuttosto vaghe. 

In elettrodinamica classica i campi che descrivono, ad esempio, l’interazione 

fra due particelle possono essere rappresentati da un insieme di 

oscillatori. Le equazioni del moto di questi oscillatori possono venire risolte, 

e gli oscillatori possono essere eliminati (potenziali di Lienard e Wiechert). 

Le interazioni che ne risultano correlano il moto di una particella ad un dato 

tempo con quello dell’altra particella ad un tempo diverso. In elettrodinamica 

quantistica il campo è ancora rappresentato da un insieme di oscillatori, in 

questo caso però non si può calcolare il moto degli oscillatori, cosicché questi 

non possono venir eliminati. A dire il vero, gli oscillatori che rappresentano 

onde longitudinali possono essere eliminati, il che dà luogo ad un’interazione 

elettrostatica istantanea. L’eliminazione elettrostatica è molto istruttiva, in 

quanto mostra in modo molto chiaro la difficoltà dell’auto-interazione. 

fatto, la situazione è così chiara che non c’è alcuna ambiguità nel decidere 

quale termine è scorretto e debba essere eliminato. Né l’intero procedimento, 

né il termine eliminato sono relativisticamente invarianti. Sarebbe auspicabile 

che anche gli oscillatori che rappresentano onde trasversali potessero essere 

eliminati. Ciò rappresenta un problema pressoché insormontabile nella meccanica 

quantistica convenzionale. Ci aspettiamo che il moto di una particellaû 

ad un dato istante dipenda dal moto diü 

ad un istante precedente e,£¥ B,'*.¢ . 

Una funzione d’onda[ 

S%U 

/ 

\9U 2 s Z V può invece descrivere solo la dinamica di 

entrambe le particelle allo stesso tempo. Non c’è alcun modo di tener conto 

di ciò cheü 

ha fatto nel passato al fine di determinare il comportamento diû 

. 

L’unica possibilità consiste nello specificare lo stato, al tempoZ , dell’insieme 

di oscillatori, che servono per “ricordare” ciò cheü 

(edû 

) hanno fatto. 

La presente formulazione permette di determinare il moto di tutti gli oscillatori, 

e di eliminarli completamente dalle equazioni del moto che descrivono 

le particelle. Tutto ciò è facile. Si devono solo risolvere le equazioni del moto 

degli oscillatori prima di integrare sulle variabiliU 

l 

delle particelle. È proprio 

l’integrazione sulleU 

l 

che cerca di condensare la storia passata in un’unica 

teoria – senza alcun riferimento ai campi – che ha portato l’autore a studiare la formulazione 

della meccanica quantistica considerata qui. L’estensione di tali idee al caso di funzionali 

d’azione più generali è stata sviluppata nella sua tesi di Ph. D. “Il principio di minima 

azione in meccanica quantistica” (tesi presentata all’università di Princeton, 1942). 

Di

] 

Ú 

û 

 

k } 

r 

6 

G 

? 

 

k } 

t 

û 

a I Å lÙ } ^ 

Å l 

? K 

` 

W 

r 

k } 

 

l Å l lío‡ƒ 

Å 

k } 

6 

r U 

r 

^ 

? 

6 

Å 

 

Å 

9 

[ 

Å 

? 

! 

90 

funzione d’onda. Questo è ciò che vogliamo evitare. Naturalmente, il risultato 

dipende dagli stati iniziale e finale dell’oscillatore. Qualora essi siano 

specificati, il risultato è perÍe 

nðñðÎf Î[ 

nðÏ un’equazione simile all’eq. (38), in cui 

appare come fattore – oltre expSW t 

che 

X V - – un funzionale§ altro che dipende 

soltanto dalle coordinate che descrivono le traiettorie delle particelle. 

Illustriamo brevemente come ciò avvenga in un caso molto semplice. 

UoV 

Sup- 

) interagisca 

poniamo che una particella (coordinataUÌSZ V , lagrangianaŽJS%U6\ 

u 

con un oscillatore (coordinata Å 

SZ V , lagrangiana } 

` V ) mediante un 

S 

u 

termineƒÌS%U6\ Z V ` SZ V nella lagrangiana per il sistema complessivo. QuiƒÌS%U6\ Z V 

è una funzione arbitraria della coordinataUÌSZ V della particella e del tempo`"` 

. 

Å 

Supponiamo di voler conoscere la probabilità di una transizione da uno stato 

tempoZì al , in cui la funzione d’onda della è[ 

nð 

particella e l’oscillatore è 

nel energeticoø livello , ad uno stato tempoZì…ì al con la ine 

nðñð 

particella e 

l’oscillatore livellob 

nel . La probabilità cercata è il quadrato di 

` ^‚ ` 

nðñðS%U V exp 7 

q ‹ Ï¾.„ Ù ¾1… Ù ¾1† nð\ 

- 

X S 

t 

Íe nðñð\ q 

# Îf Î[ 

ˆ¢ˆ¢ˆ 

qhî 

# S 

Ú 

Ve 

Å 

 

c t‡ c t‰ˆ V 

î 

nð S%U ‡ V q ‹ S 

Å 

‡ V.ˆ 

è l’azione 

ˆ¢ˆ¢ˆ 

SÑ f-V 

r U ‡ 

r U 

k } 

Å 

‡ 

Quiq 

‹ S 

Å 

V è la funzione d’onda dell’oscillatore nello statoø , t 

calcolata per la particella immaginando che l’oscillatore sia assente, 

 


t‡ ] 

lío‡ 

a 

` 

lÙ } ` 

L 

Å 

è l’azione del solo oscillatore, e 

lío‡ 

] 

La costante di normalizzazione per l’oscillatore, 

tˆ 

, vale Sa'& 

l 

per l’interazione fra particella ed oscillatore. 

X V k 

+ 

l\ZlV)èl’azione ]ŠƒxS%U (oveƒ 

W 

- 

. Ora 

22 La generalizzazione al caso in cui‹dipende dalla velocità ç_ 

della particella non presenta 

problemi.

Ú 

Þ 

S 

Å 

` 

a 

Ú 

§ # 

Ú 

n 

! 

a 

a 

 

c 

Å 

` 

‡ n0ðñð Ú 

Å ƒÌSZ V sinJSZ ^ Zì?V r Z c 

nð 

 

Å 

Ú 

X 

K 

[ 

! 

Å 

r U ‡ 

 

Å 

U 

k } û r U ] 

r 

91 

l’esponenziale dipende quadraticamente da tutte le Å l 

, quindi l’integrazione su 

tutte le variabili *) (y ‰ W ‰ può essere effettuata facilmente - si tratta di 

Å 

una sequenza di integrali gaussiani. 

l 

Pertanto ] Zì…ì ^ Zì scrivendo , si trova che il risultato di tale integrazione 

- X W 

sin 

k 

+ 

expsSW 

- X V¢S 

t \ 

Å 

‡ VVwv , ove Þ S 

Å 

\ 

Å 

‡ V risulta essere 

èSa'& 

Œ§V 

c 

Þ 

S 

Å 

proprio l’azione classica per l’oscillatore armonico forzato (vedasi la nota 15). 

 

Esplicitamente si ha 

\ 

Å 

‡ VL] a 

sin G 

cos 

S 

Å 

Å 

‡ c 

‡ VÌ^ a ` 

nðñð 

nð 

ƒxSZ V sinJSZì…ì ^ Z Vr Z ^ 

nðñð 

ƒÌSZ VBƒÌSB-V sinJSZì…ì ^ Z V sinJSB¨^ ZìV r r Z LD\ 

nð 

V è stata trattata come funzione continua del tempo. Gli integrali dovreb- 

oveƒÌSZ 

bero in realtà essere sostituiti da somme di Riemann e quantitàƒxS%U 

l \ ZlV 

le 

andrebbero scritte al posto diƒxSZlV. Quindi dipende dalle coordinate della 

particella a tutti i tempi Þ 

l \ ZlV, e da quella dell’oscillatore ai soli 

attraversoƒÌS%U 

tempiZì eZì…ì . Corrispondentemente l’eq. (61) diventa 

nð 

Íe nðñð\ q 

# Îf Î[ 

nð\ q ‹ Ï¾.„ Ù ¾1… Ù ¾1† ] 

nðñðS%U V]§ 

W t 

- 

‹ exp I 

ˆ¢ˆ¢ˆ 

Ú e î 

û ˆ¢ˆ¢ˆ 

nð S0U9Ž¡V 

# 

nðñðÎ§ # ‹ Î[ 

nðÏ¾„ 

che ora contiene solamente le coordinate della particella. La 

Íe 

# ‹ è 

data da 

quantità§ 

]ùSa'&;W - X 

sin Œ§V k 

+ 

‹ 

expsSW 

- 

Ú qhî Ú 

\ ‡ Vwvq ‹ S 

Å 

‡ V r 

Å 

r 

# S 

Å 

V.ˆ 

X V 

Þ 

S 

Å 

Å 

‡

¤ 

¤ 

92 

Procedendo in modo analogo si trova che tutti gli oscillatori del campo 

elettromagnetico possono essere eliminati da una descrizione del moto delle 

cariche. 

14. MECCANICA STATISTICA 

Spin e relatività 

Spesso i problemi della teoria della misurazione e della meccanica statistica 

quantistica si semplificano quando vengono formulati secondo il punto 

di vista descritto in questo lavoro. Ad esempio, la perturbazione dovuta 

all’influenza di uno strumento di misura può – in linea di principio – essere 

eliminata per integrazione nello stesso modo in cui si è proceduto per 

l’oscillatore. La matrice densità statistica ha una generalizzazione utile e 

piuttosto ovvia, che si ottiene considerando il quadrato dell’eq. (38). È 

un’espressione simile all’eq. (38), contenente però l’integrazione sui due insiemi 

di variabilip9‘ep9’‘. L’esponenziale è sostituito da exp“O”–•=—- š}’:, oveš0’dipende funzionalmente variabili9’‘ dalle nello stesso modo 

in dipende dalle variabili9‘. Essa descrive, ad esempio, il risultato 

dell’eliminazione degli oscillatori di campo quando lo stato finale degli oscillatori 

non è specificato e si considera soltanto la somma su tutti gli 

˜9”Bšœ› 

cuiš 

b 

stati finali 

. 

Lo spin può essere incluso nella nostra discussione in modo formale e 

l’equazione di Pauli per lo spin può essere ottenuta nel modo seguente. Si 

sostituisce Ÿ¢¡Y£)9‘il termine di interazione col potenziale vettore 

inšž”–9‘ 

dato dall’espressione (13) con 

Ÿ¢¡› x‘¢¦A”x‘§ ¤ a1¥”x‘ Ÿ¢¡› x‘¢¦A”x‘ Ÿ¢¡ 

a1¥”x‘ 

¦”x‘ Ÿ¢¡©› x‘:“¨ ¦A”x‘:ª§ ¤ a1¥“¨ 

Qui A è il potenziale vettore, Ÿ¢¡e 

tempiQ‘ 

x‘sono 

ai è il vettore formato dalle matrici di spin di Pauli. 

La grandezza deve ora essere espressa 

x‘ 

quanto essa differisce dall’esponenziale della somma 

Ÿ¢¡ 

come® 

è qui una matrice di spin. 

Anche l’equazione relativistica di Klein-Gordon può essere ottenuta formalmente, 

aggiungendo una quarta coordinata per specificare i cammini. Si 

considera un “cammino” come individuato da quattro funzioni9°‰”$±di 

eQ‘e¨ 

dišž”–9‘ 

un 

¦A”x‘ Ÿ¢¡:“¨ ¦”x‘ Ÿ¢¡d› x‘:¬« 

i vettori posizione della particella 

‘exp“O”$•=—- 

a1¥“¨ 

Ÿ¢¡¯£)9‘:, in 

Ÿ¢¡Y£)9‘. Quindi 

˜9šž”$

´ 

93 

parametro±. Tale parametro viene trattato nello stesso modo in cui si considerava 

la variabile: esso viene suddiviso in intervalli di lunghezza². Le 

`”$±£)³p”$±sono grandezze 

le coordinate spaziali di una particella, 

mentre

corso di pubblicazione); ¦¥¯úUü 

, 

¾5. Nuova formulazione della meccanica quantistica 

5.1 – Vogliamo concludere questo Quaderno con la discussione di una 

formulazione della meccanica quantistica (non relativistica) ottenuta molto 

recentemente da uno degli autori (M. R.)`³. Questa scelta ha una duplice motivazione. 

Vedremo infatti (come anticipato nel paragrafo 2.8) che i cammini 

di Feynman¿ªÀÁ9À¯Â]Ã1ÄÆÅOÇKÇYÃpÈ–Åhanno unaÉ9Â]Ê]ËÊpÁ

µ0CBEDAF 

96 

fluttuazioni è qui rappresentato in modoÀUÎBÉ9ÄÆÅ–ÍYÅóÈ¬Ê,contrariamente a 

quanto 

avviene nell’equazione di Fokker-Planck. 

Al fine di semplificare la trattazione sfruttiamo l’osservazione fatta nel 

paragrafo 3.6 supponendo – per il momento – che il numero di particelle resti 

ÍKÊ€ÎÈ¬Ã1ÁFÈBÀ, cosicchè , poniamo ”–£)º.- 

(effetti di emissione e di assorbimento 

verranno considerati in un secondo tempo). 

Sappiamo che un PSMC può essere immaginato come un’evoluzione 

temporale deterministica perturbata da fluttuazioni gaussiane di fondo. Abbiamo 

anche visto che – in assenza di fluttuazioni – le traiettorie fisiche del 

processo sono date dall’eq. (3.22). Ora, l’Å–ÌªÀ]ÃñË¯Ê1Á

è 

“0 

è 

“0 

BEDAF”¦Z=] 

o 0 BEDAF”–è 

^ 

_a`›é”)¼Œ—bâ 

che ha la ben nota forma¿Ã1ÏªÎHÎUÅ–ÃpÁ

o 0”–è 

, 

’’, 

o 

1”–è 

98 

Un processo stocastico definito dall’eq. (5.8) è 

¿Ã1ÏªÎHÎUÅ–ÃpÁ

–d”–’’£)’†] 

“0”¦Z:ƒ „a„ 

ƒ „ è 

] 

ž 

^ ƒ 

_a`›!”)¼Œ—3µ 

^ ƒ=„a„ e _ `›é”)¼Œ—3p 

¦ 

e 

˜ 

B ƒZ¤ 

¢ 

‘ä‘]”–£)š 

¢·£ 

la seguenteÉÂ]Ê;:]Ã

¹ 

¹ 

¹ 

è ”–’[’£)’’š ’£)’“1”¦Z:˜ 

“0”¦Z:ƒ „a„ 

”–’’£)’’š ƒ ”–’[’£)’’š „ ’£)’“1”¦Z:è è ’£)’“0”¦Z:º è 

è ”–’’£)’’š ’£)’º 

e 

è ”–’’£)’’š ’£)’º 

e 

F BïJ»¡9 

F BïJ»¡9 

o 1”–è 

o 0”$è 

”Bì«¼ 

“0”¦Z:ƒ „a„ 

”Bì«43 

ƒ „« - è º 

„a„ 

“0”¦Z:ƒ ƒ ”$’’£)’’š ’£)’“1”¦Z:¬« ”Bì«43½ 

„è 

„a„ 

”Bì«43 “1”¦Z=ƒ ”$’’£)’’š ƒ ’£)’“1”¦Z:¬« „è 

101 

probabilità che Σ si 

º 

muova 

lungo 

« 

0”–¦|)’£)’|\“1”¦Z:ó 

Ulteriormente è evidente che 

probabilità che Σ si muova 

lungo 0”–¦|)

„a„ ¿“1”¦Z:ƒ „ ƒ 

˜ 

¹ 

e 

0”–’’|)’£)’|\“1”¦Z:ó]¿“1”¦Z=ƒ „a„ 

ƒ „ ”$’’£)’’š ’£)’“1”¦Z:º.›Ó”–’’› è 

^ 

_ `› 

e 

ƒ „ 

pm,zÀ 

”Bì«43Žp 

j i 

k 

102 

probabilità di sopravvivenza lungo 

nell’ 

0”–¦|)

è ”–’’£)’[’š ’£)’“¢”¦Z:º 

e 

e 

® 

o 

¢”–è 

o 0”$›Ó“0”–› 

„a„ 

0”$}|)’£)’|\“1”¦Z=ó:ƒ ƒ „¦ 

”–’’£)’’š ’£)’“0”¦Z: è 

0”–¦|)’£)’|\“1”¦Z:ó:¤ƒ=„a„ ’£)’“1”¦Z:O¯ 

ƒ ”–’’£)’’š „è ›ª“0”–› 

”–’’£)’’š ’£)’“¢”¦Z:º ®è ”–’’£)’’š ’£)’“1”¦Z:O¯ 

¦ ”Bì«½p½ 

continue¢”$con estre- 

Analogamente a quanto fatto nel para- 

’£)’“0”¦Z:definita 

nuovamente l’insieme Ïz”–’£)’|)’’£)’’delle funzioni 

mi ’’. ’,¢”–’’ º º fissi¢”$’ 

103 

grafo 3.9, probabilitàè 

fissiamo l’attenzione sulla 

dall’eq. (3.42). Essenzialmente, ciò che ci proponiamo di fare è derivare il 

ÉSÊ€ÎÈ–ÏªÄOÃpÈ¬ÊW2. Va notato che 

”–’[’£)’’š 

ora tutti i cammini¢”–congiungono”$

è casuale. La derivazione dei postulati W2 e W3 mostra chiaramente cheÅ 

] 

expÐž› 

ƒ „a„ e 

3 

9‘ä‘]”–£)§ ¼ 

] 

“1”¦Z=ƒ „a„ 

ƒ „ è 

expÐþ› 

ƒ „a„ e 

,ë”–£)¡ 

ž 

ž 

ž 

ž 

¢·£ 

¢ 

{ 

„ 

ž 

ž 

ž 

ž 

¢·£ 

B ƒ¤ 

¢ 

{ 

„ 

104 

tutto, gli uni e gli altri descrivono 

traiettorie fisiche di un PSMC! 

Quest’ultimo è un risultato di grande rilevanza, per cui ci sembra opportuno 

darne una dimostrazione alternativa (che può forse apparire più esplicita 

della precedente). Chiediamoci quale sia la distribuzione di probabilità per le 

leÎÈBÀUÎHÎYÀ 

ÅóÁSÅÌ1ÅÆK 

’[’– dopo 

Í8IJÀñÍHÊpÁ¿1ÅóÏÓÁ¿µÊpÁ

Quindi il RBF è definito dalla distribuzione diÃ1ðÒÉÅ$ÀKÇHÇ\ÃžïD 

µ1‘H”–Z1‘)”–iaj 

k 

Un concetto chiave nella formulazione di Langevin di un PSMC è laÉ9Â]Ê;:HÃŽ€ 

¹ 

° 

’’£)’’š 

50 Anche qui non ci preoccupiamo di normalizzare le distribuzioni di ampiezze. 'ßY.ú¦ ¢ö=û£úUû£ 

si scopre (discutendo esempi fisici espliciti) che la corretta costante di normalizzazione 

nell’eq. (5.37) è proprioýy¥pú! 

’’£)’’š 

Ô 

105 

ÄOÃ£ÌªÀUÎÍYÂÅOÇ¯Å–ÊpÁ9ÀžÌ1ÅC5ÃpÁ¿À87\ÅóÁdi un PSMC: basta ricordare 

l’eq. (3.1) e far uso Î¬ÉJÊpÁ

° 

’[’£)’’š 

° 

’[’£)’’š 

^ 

e 

° 

’’£)’’š 

e 

ƒ „ 

pª 

’£)’±zº 

® 

° 

’’£)’’š 

’£)’±¯“1”¦Z:¯ 

0”–’’|)’£)’|\“1”¦Z=ó]U¦ 

^ 

’£)’±zºÄÃË›Ó”–’’› 

ƒ „µ¹ 

e 

e 

œ 

¢ 

¢ 

„ 

„ 

ž ž 

ž 

ž ž 

ž 

¢·£ 

¢·H£ 

B ƒZ¤ 

¢ 

j i ¦ 

k 

B ƒZ¤ 

¢ 

iaj ¦ 

k 

„ 

ž ž 

ž 

ž 

{ 

„ 

j i « 

k 

iaj 

1 kXÅ 

106 

diretta- 

Sfruttando l’eq. (5.39), la forma esplicita di 

mente dalle eq. ( 5.27) e (5.28) facendo uso delle eq.(3.41) e (3.37). Otteniamo 

’[’£)’’š ° 

’£)’±¯“1”¦Z:segue 

0”–’[’|)’£)’|\“1”¦Z:ó]¦ 

ƒ 

exp 

_a`›é”)¼Œ—3Õ ’£)’±¯“1”¦Z:ºà›Ó”–’’› 

Un semplice calcolo dàï]î 

, ”–’[’|)’£)’|\“1”¦Z:óº 

° 

’’£)’[’š 

^ ƒ 

_a`›!”]¼Œ—Õ 

e 

ƒ „ 

µÑ 

e 

o 

0”–° 

’[’£)’[’š 

108 

Inoltre, se si inserisce nell’eq. (5.46) l’espressione di 

dall’eq. (5.40) è possibile ° ’’£)’’š calcolareÀUÎBÉ9ÄÆÅ–ÍYÅóÈ¬ÃpðñÀÁFÈBÀ 

ritrova per questa via proprio quanto stabilito F2. 

un modo per la correttezza dell’eq. (5.45)). 

l’eq. (5.46) su Ï}”–9’–£)=’O|)

° 

’’£)’[’š 

„a„ 

šž“0”¦Z:ƒ „ ƒ 

Õ¼ 

µ0‘]”–º 

˜ 

¹ 

9‘šž”–£)›l‘”–£)ºî§ 

ž‘H”–£)6˜ ž‘]”–£)› ‘š”–£)£ ”Bì«b 

„a„ 

šž“0”¦Z:ƒ „ ƒ ›¡“šž”–0”–’[’£)’’›‚š”–¢”–’£)’:¬« 

¹ 

9‘šž”$£)›Äž‘]”$£)º 

ž 

ž 

ž 

ž 

¢ 

„ 

£ 

¢·#í 

 

109 

3 Õ¼ 

š”–£)§ 

ed interpretiamoÊK¿1ÁSÅsua soluzionešž”–£)come la generatrice di una trasfor- 

Esplicitamente 

mazione di gauge é æ 

é 

Þ”–£)º- ”Bì«b 

r 

˜àê3Þ”–£)££”–£)¦ëï9 . 

Þ”–£)˜ š”–£)U« ”Bì«ìŽ- 

Questa trasformazione induce nell’azione classica il 

Þ”–£)§ 

š&“¢”¦Z=,con 

cambiamentošž“0”¦Z:æ 

connesso 

Corrispondentemente il propagatore quantistico associato ašž“¢”¦Z:è 

”Bì«ìÓ¼ 

a quello associato ašž“¢”¦Z=dalla relazioneïA@ 

¢ 

˜F ¥ ì B - B‘•~ 

{ 

ƒ „a„ F f ì B 

{ 

ƒ „ F&¨ ° 

’[’£)’’š 

„a„ 

¤f 

Quantizziamo adesso l’azione classicaš0“0”¦Z:secondo 

’£)’±©º 

precedente. L’equazione di Langevin (5.36) è ora 

”Bì«ì3µ 

lo schema del paragrafo 

’£)’±« 

che – in virtù dell’eq. (5.49) – può venire riscritta come 

”Bì«ì1½ 

Õ ž‘H”0”–£)§Ö1‘H”$ ¼ µ0‘]”–º|› 

B ƒ F§21‘H”$U« 

56 Ricordiamo che nel presente Quaderno ignoriamo (per semplicità) i problemi dovuti all’e- 

”Bì«ìb 

sistenza di Y1ýy¥ ¢¤£ §=úO ÿ£ 

O Uýv ¢¤£ 

€önello spazio delle configurazioni. 

57 Il modo più faciledi derivare l’eq. (5.52) è di esprimere îEt ”a” V T ”a” Ì t ” V«T ”Eï sia îEt ”a” V«T ”a” Ì t ” V T ” ï 

che 

in funzione ð [t (“ di )] e ð [t (“ ¯ )] (rispettivamente) secondo l’eq. (2.31), paragonando poi i 

due risultati. 

e

, ”–’[’|)’£)’|\“1”¦Z:óº 

° 

’[’£)’[’š 

° 

’’£)’’š 

ƒ „p¹ 

e 

0”$’’|)’£)’|\“1”¦Z:ó]U¦ 

^ 

’£)’±©º·Ã6›ª”$’’› 

’£)’±zº 

® 

3 Õ ‘]”–£)ž‘]”–£)§ ¼ 

,ë”–’’|)’£)’|\“1”¦Z=ó6˜ 

e 

ƒ „ 

pª 

^ ƒ 

_a`›!”]¼Œ—Õ 

e 

œ 

¢ 

„ 

ž ž 

ž 

£ 

¢·í 

B ƒ¤ 

¢ 

0‘]”–’’|)’£)’|\“1”¦Z=óž ž 

¢·×ñ

® 

° 

’[’£)’’š 

Õ¼ 

pò¯‘H”–º 

¹ 

‘šž”$£)›Äž‘H”$£)º 

¹ 

e 

¸ “1”¦Z:d] 

¹ 

’£)’“1”¦Z:˜ 

probabilità che Σ vada”–’[’£)’’š da”–

® 

° 

’’£)’[’š 

{ 

¢ 

„ 

ƒ „ F&¨¦ 

{ 

° 

’’£)’’š 0”–’’|)’£)’|\“1”¦Z£Kš”¦Z:ó], ”–’[’|)’£)’|\“1”¦Z£Kšž”¦Z:ó¡Z~î¯ 

›Ó”–’[’› 

° 

’’£)’’š 

’£)’±¯“¢”¦Z=º 

® 

° 

’’£)’’š 

¢ 

„ 

{ 

¦« ”Bì«4q 

0”–¦|)’£)’|\“1”¦Z£Kšž”¦Z:ó:ƒ „a„ 

ƒ „¦ 

’£)’±¯“1”¦Z£Kšž”¦Z:¯ 

¦ 

”Bì«4qì 

›Ó“¢”–› 

114 

della corrispondenza definita dalle eq. (3.39), (3.40) e (3.41) 9¡. Ci sembra 

tuttavia un fatto notevole che si possa pervenire a questa espressione in 

modo ancora più semplice e totalmenteÌpÅ•71ÀÂUÎÊ. Supponiamo infatti di inserire 

l’eq. (5.72) nell’eq. (5.71). È evidente che ’’£)’’š ° 

dal particolare integraleš”–£)dell’eq. (5.61) che è stato scelto. Pertanto tale 

’£)’±¯“1”¦Z£Kšž”¦Z:Ì1Å[ÉSÀÁ9ÌÀ 

dipendenza dovrebbe manifestarsiÃ1Á

° 

’’£)’’š 

° 

’[’£)’’š 

e 

° 

’’£)’[’š 

o 

¢”–° 

’’£)’’š ’£)’±Y“¢”¦Z:º 

® 

’£)’± “1”¦Z£Kšž”¦Z:d˜ 

’£)’± “¢”¦Z=˜ ® 

° 

’[’£)’’š 

° 

’’£)’[’š 

’£)’±Y“1”¦Z£Kšž”¦Z:O¯ 

0”$}|)’£)’|\“1”¦Z£Kšž”¦Z:ó=ƒ „a„ 

ƒ „¦ 

’£)’± “1”¦Z£Kšž”¦Z:O¯ 

›Ó“¢”$› 

115 

Vediamo che ilÉJÊ1ÎUÈ–ÏÓÄíÃµÈ¬Ê 

può essere derivato 

’£)’±¯“¢”¦Z:in termini dei CAQ secondo l’eq. (5.75). (Per questa via si 

71ÀÂÅGdÍHÃanche la 

calcolandoÀÎ¬ÉÄZÅ$Í¯Å–È¬Ã1ðñÀ¯ÁFÈBÀ 

correttezza dell’eq. (5.74)). Ulteriormente ilÉJÊ1ÎUÈ–ÏÓÄOÃpÈ¬ÊF3 si 

ottiene combinando l’eq. (5.71) con l’eq. (5.76). 

5.6 – Mostriamo ora che ÅóÁSÅÃ1ÄÀ]ÃµÈ¬Ê1ÂÅdella meccanica 

ÎÍKÀla quantisticaÍ8IÅ$Ã1ÂÅ natura dei cammini di Feynman¿ÀÁÀÂ]Ã1ÄÆÅOÇKÇYÃµÈ–Å. 

Probabilmente il lettore sarà meravigliato dal fatto che abbiamo interrotto 

la discussione del paragrafo precedente proprio quando eravamo sul punto di 

fare delle affermazioni sulla relazione fra cammini di Feynman e CAQ, nello 

spirito dell’analisi basata sulle eq. (5.46) e (5.47) (fine del paragrafo 5.3). Il 

motivo è semplice: un tale risultatoÁ

e 

e 

o 

0”–° 

o 

0”–° 

’[’£)’’š ’£)’± “¢”¦Z:º 

® 

° 

’[’£)’’š 

’’£)’’š ’£)’± “0”¦Z:º 

e 

e 

e 

ƒ „püû g9‘]”–› 

Õ 

° 

’’£)’[’š 

¹ 

67 Tutti i PSMC considerati nel presente Quaderno sono definiti nello spazio :ú¦¥ uUý* 

delle 

£ú¦¥ £ 

. Quindi intendiamo in realtà il moto browniano macroscopico nell’ ZY8Y1û¬ú¦O £ü× J* û¨ 

£ú¦¥µö# £ ‰ £ ¥ ¢ö£ ¥Ž*• .üúÿý.úU÷Ê¨Î 

117 

Avevamo concluso nel paragrafo 5.3 sussiste alcun legame fra 

cammini di Feynman e traiettorie dinamiche classiche nello spazio delle configurazioni. 

D’altra parte, la rappresentazione del propagatore quantistico pre- 

cheÁ

118 

Áª¿µÊ1ÄOÃtraiettoria òÓ”–¦|)’£)’– ottenuta ignorando l’esistenza della fluttuazioni 

di fondo – è sostituita da Åí¿pÄZÅ$Ãdi traiettorie aleatorie 

(una per ogni possibile configurazione 1”–del RBG). Abbiamo anche notato 

che queste traiettorie descrivono leÃ1ÄíÈBÀÂÁ

Ô ubbidisceÎ¯À¯ðÒÉ9ÂHÀallaÎUÈBÀUÎKÎÃ 

¢ 

D 

119 

permesso di ottenere una nuova formulazione @ 

della meccanica quantistica . 

Vogliamo mostrare ora come la circostanza che i CAQ siano curve fluttuanti 

intorno ad una traiettoria dinamica classica (nel senso spiegato nel paragrafo 

precedente) ponga la relazione fra meccanica classica e quantistica in 

unaÁFÏJÊ7.Ãprospettiva. 

Ricordando quanto è stato osservato a proposito della descrizione di 

Langevin di un PSMC (fine della discussione dei PSMC contenuta in questo 

paragrafo), siamo indotti ad affermare quantisticaÁ

3 

 

Õ 

¼ š”–£)H§ 

3 Õ¼ 

šž”–£)§ 

”–£)º 

¹ 

9‘ 

ä”–£)†˜ › 

- 

¹ 

! 

 

£)8š 

121 

Ciò implica che (in questo contesto) laÌpÅÑÒÀ¯ÂHÀÁªÇ\Ã 

dinamica classica e 

fra 

quantistica è dovuta unicamente aä”$£)nell’eq. (5.85) @´. 

ÌpÅÉFÀÁ

122 

È un merito della formulazione a cammini aleatori mostrare 

Ãdelle due dinamiche. Si noti che questa circostanza è proprio laÍHÊpÁ´€ l’ÅóÁFÈ–ÂÅ 

che la dinamicaÅóÁFÈ–ÂÅ 

è 

PSMCÁ9Ê1Á 

alterata dalla presenza delle fluttuazioni classiche di fondo. situazioneÎ¯À¯ð € 

La 

:¯Â]Ãessere diversa se si ragiona nell’ambito della formulazione di Schrödinger, 

nella quale ci si limita a considerareÎÊ1ÄíÈ¬Ã1Á

con una, due e tre stelle il grado di difficoltàðôÃpÈBÀ¯ðôÃpÈ–Å$ÍHÃdi ogni 

123 

testo (facile, 

medio e difficile per un laureato in Fisica). Anche se questo criterio è inevitabilmente 

soggettivo, ci sembra che esso sia sufficientemente orientativo. 

6.1 –ĶÁFÈBÀB¿1Â]Ã1ÄÆÅdÌpÅXÙÀ8è€ÁSðôÃ1Á»Å 

I. M. Gel’fand and A. M. 

?þÏSÃ1ÁFÈ–ÏÓð/.ÈI

R. Cenni, E. Galleani D’Agliano, F. Napoli, P. Saracco and M. Sassetti, ÙÀ8è€Á´€ 

R. Cenni, E. Galleani D’Agliano, F. Napoli, P. Saracco and M. Sassetti, ÙÀ8è€Á´€ 

124 

K. C. Khandekar and S. V. Lawande, 

CÀUÎUÏªÄíÈóÎÃpÁ

W. Marciano and H. Pagels, Å$ÍÎ,Phys. 

137 (1978) A . 

þ)IªÂ)ÊpðôÊ\Ìè.Á9Ã1ð ?þÏSÃ1Á

126 

6.4 – 

Ù‰ÏÓÁ

127 

E. Nelson, Å$ÍHÃpÄV)mISÀ]ÊpÂUÅ¬ÀUÎÞÊ)Ë=&Â]ÊJkzÁSÅ$Ã1Á1+ÊpÈ–Å$Ê1Á(Princeton University 

Press, Princeton, 1967) }A . 

5(è€Á

+ À]Í8IÓÃ1ÁFÅ–Í¯Î(Reidel, 

þ¢ÂÅ–È–Å–ÍKÃ1ÄCÀJ7\Å¬À(k , 

128 

E. S. Ventsel, Ã(Mir, Mosca, 1983) . 

)9À]Ê1ÂÅ$ÃÌÀÄóÄÀ*.þÂ]Ê;:HÃ;:ÅóÄÆÅóÈ 

K. Baclawski, M. Cesaroli e G. C. 

(Unione Matematica Italiana, Bologna, 1984) . 

Rota,ĶÁFÈ–Â]Ê\ÌpÏµÇÅ$Ê1Á9À¡Ã1ÄóÄíÃm.žÂ]Ê;:]Ã

129 

Addendum 

Dopo aver completato il presente Quaderno, siamo venuti a conoscenza 

delle seguenti pubblicazioni riguardanti l’integrale di Feynman. 

W. Dittrich and M. Reuter, Å$ÍÎ(Springer, 

Berlin, 1992) } . 

?þÏJÃpÁFÈ–ÏÓð„5(è€Á

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