un metodo per il calcolo veloce dei numeri di fibonacci e di lucas

Cristiano Teodoro
(Ministero delle Comunicazioni – I.S.C.T.I.)
UN METODO PER IL CALCOLO VELOCE DEI NUMERI
DI FIBONACCI E DI LUCAS
(A METHOD FOR FAST COMPUTATION OF FIBONACCI AND LUCAS NUMBERS)
Sommario: viene descritto un algoritmo
per il calcolo veloce del valore numerico dei
numeri di Fibonacci e di Lucas alternativo
all'algoritmo classico ma elementare, di esecuzione
lenta per il calcolo di questi numeri
se di indice elevato. Tali numeri trovano riscontri
ed applicazioni in vari campi della
scienza e della tecnica, in particolare nel campo
della moderna crittografia applicata alle
telecomunicazioni.
Abstract: this paper presents a fast
algorithm for esact computation of Fibonacci
and Lucas numbers, in alternative of classic
trivial algorithm especially slower for high
numbers .
Such numbers have different references and
applications in several scientific and technical
fields, specifically in the modern cryptography
applied to communications.
Questo breve articolo descrive un algoritmo per
il calcolo veloce del valore numerico dei numeri di
Fibonacci e di Lucas.
Un argomento della teoria dei numeri che ha
trovato molte applicazioni [1] nei più disparati campi
della scienza e della tecnica, dalla matematica alla
fisica, dalla chimica alla biologia, dalla ricerca operativa
all’astronomia, ma soprattutto nella moderna
crittografia, è quello riguardante le cosiddette Sequenze
di Lucas che sono in generale delle successioni
ricorrenti di numeri interi chiamati termini in
cui ogni termine è definito come una certa funzione
di quelli precedenti
Diverse applicazioni di tali sequenze e dei
suddetti numeri si riscontrano nel campo delle telecomunicazioni,
quali ad esempio il calcolo della capacità
di informazione di una sorgente discreta , l’analisi
spettrale di segnali elettrici.
Ma è soprattutto molto interessante il loro
utilizzo nel campo della moderna crittografia (vedi
[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], oltre a diversi altri Siti
Internet).
Questo breve articolo prendendo in considerazione
due particolari sequenze descrive un algoritmo
per il calcolo veloce del valore numerico dei numeri
di Fibonacci e di Lucas.
Prima di illustrare l’algoritmo sarà opportuno
per chi è digiuno di questo argomento specifico
dire in breve qualcosa su questi numeri.
Prendiamo in esame due particolari sequenze
o successioni ricorrenti di numeri, di cui si danno
i primi 13 termini partendo dal primo termine :
1 a successione:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,144, ……….
2 a successione:
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, ……….
Come si costruiscono i termini della successione
seguenti a quelli mostrati?
Definiamo innanzi tutto il termine generico
della 1 a successione come U(k) dove k prende il
nome di indice.
Detta successione può essere genericamente
indicata così:
U(0),U(1),U(2),U(3),U(4),U(5),U(6),U(7),U(8),
U(9),U(10),U(11),U(12),.…………U(k), ………….
E’ facile vedere, tenendo conto dei valori
numerici mostrati, che U(k), ad esclusione dei primi
due termini, è legato ai termini precedenti dalla seguente
relazione:
U(k) = U(k-1) + U(k-2)
per cui, ad esempio, il termine U(13) seguente
NOTE
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NOTE
a U(12) =144 è il numero 233.
Tale successione viene denominata sequenza
di Fibonacci.
Analogamente definiamo il termine generico
della 2 a successione associata (companion sequence)
alla sequenza di Fibonacci come V(k).
Questa successione può essere indicata come
segue:
V(0), V(1), V(2), V(3), V(4), V(5), V(6), V(7), V(8),
V(9), V(10), V(11),…......…V(k)., ……............
Anche per detta successione si vede che
V(k) = V(k-1) + V(k-2) per cui allora il termine
V(12) seguente a V(11) =199 è il numero 322.
In effetti, se si osservano i valori numerici
sopraelencati ci si accorge che ciascun valore è dato
dalla somma dei due valori immediatamente ad esso
precedenti.
I generici termini U(k) e V(k) sono chiamati
rispettivamente numeri di Fibonacci e numeri di
Lucas.
Tra le diverse Sequenze di Lucas, vogliamo
qui citare una successione numerica ricorrente molto
importante nella ricerca di numeri primi molto grandi
della forma 2 p -1, con p primo, chiamati numeri di
Mersenne e indicati con il simbolo M p . Essa è la
seguente: S(k) = S(k-1) 2 – 2 di cui il termine iniziale
è 4.
I primi cinque 5 termini di questa successione
saranno pertanto 4, 14, 194, 37634, 1416317954.
Con l’utilizzo appropriato di tale successione,
(i cui termini , se superano il valore numerico M p
preso in considerazione, sono calcolati “modulo M p ”
e cioè quali resti della divisione di S(k) per M p ), sono
stati scoperti tutti i numeri primi più grandi calcolati
sinora (primi di Mersenne) costituiti addirittura da
milioni di cifre [8] .
Ma torniamo ai numeri di Fibonacci e di Lucas
argomento di questo breve articolo il cui scopo è
solo quello di illustrare un metodo alternativo e molto
più efficiente rispetto a quello classico che utilizza
semplicemente la formule ricorrenti:
U(k)=U(k-1) + U(k-2) con U(0) = 0 e U(1) =1 ;
V(k) = V(k-1) + V(k-2) con V(0) =2 e V(1) =1
per il calcolo rispettivamente del valore numerico
di U(k) e di V(k).
L’efficienza del metodo viene messa in evidenza
soprattutto quando si vanno a calcolare valori
dei numeri di Fibonacci o di Lucas di indice grande.
Naturalmente per detti numeri, a partire da
valori numerici costituiti da più di 15 cifre, sarà necessario
sviluppare con un adeguato linguaggio programmi
dotati di istruzioni per una aritmetica a precisione
multipla, cioè con una precisione di calcolo molto
superiore a quella massima (doppia precisione) disponibile
normalmente su un PC .
L’algoritmo proposto si presta bene ad essere
programmato e utilizzato in aritmetica a precisione
multipla.
In questo articolo ci si limiterà pertanto ad
illustrare per ora le formule e le relazioni esistenti
tra i numeri di Fibonacci e di Lucas di diverso indice
che risultano le più adeguate allo scopo, cioè al calcolo
del valore numerico di U(z) e di V(z) dove z è
un indice anche di valore elevato, ( ad esempio z
=1000 oppure z =10000 o z =250.000), rimandando
ad altra occasione il programma completo, costituito
da istruzioni espresse nel linguaggio QBASIC con
cui si realizza il calcolo del valore esatto dei numeri
U(z) e V(z).
Si fa presente che per valori dell’indice z grande
i valori numerici di U(z) e V(z) possono esser
composti da moltissime cifre ( se ad esempio U(100)
è composto “solo” da 21 cifre, mentre U(100.000) è
costituito da ben 20.899 cifre.
Le formule e relazioni che si utilizzano, ricavate
da quelle riportate in [9] sono le seguenti:
- per un indice z pari, posto z = 2·x
U(z) = U(2·x) = U(x) · V(x)
V(z) = V(2·x) = V(x) 2 – 2· (-1) x
- per un indice z dispari, posto z = 2·x + 1 e tenendo
conto delle seguente relazioni [9] :
2 · U(k+h) = U(k) · V(h) + U(h) · V(k)
2 · V(k+h) = V(k) · V(h) + 5 · U(K) 2
considerando ora k = 2·x, h =1 si trova:
2·U(z) = 2·U(2·x +1) = U(2·x)·V(1) + U(1)·V(2·x) =
= U(2·x ) + V(2·x)
2·V(z) = 2·V(2·x +1) =V(2·x )·V(1) + 5·U(2·x)·U(1)=
= V(2·x ) + 5·U(2·x)
in quanto U(1) = 1; V(1) = 1
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ma:
U(2·x) = U(x) · V(x) e V(2·x) = V(x) 2 – 2(-1) x
per cui le formule suddette risulteranno così modificate:
2 · U(2·x +1) = U(x) · V(x) + V(x) 2 – 2(-1) x
2 · V(2·x +1) = V(x) 2 + 5 · U(x) · V(x) – 2(-1) x
Da queste formule si può vedere che i valori
U(z) e V(z) dipendono esclusivamente dall’indice
x e dai valori U(x) e V(x), dove x è la metà di z per
z pari, mentre x è dato da (z - 1) / 2 = INT(z / 2) per
z dispari .
Consideriamo ora un qualsiasi indice z : posto
x 0
= z si può sempre trovare a partire da x 0
una successione
limitata di indici di valore numerico decrescente:
x 0
, x 1
, x 2
, x 3
, x 4
, x 5
, …….. x k-1
, x k
, x k+1
,…….x n-1
, x n
con x n
= 1 ultimo termine, tale da rispettare le seguenti
regole:
se il generico indice x k
è di valore pari si pone
x k+1
= x k
/ 2,
se x k
è dispari si pone
x k+1
= (x k
- 1) / 2
Si mette in evidenza che il numero degli indici
a partire da x 0
= z sino a x n
=1 risulta limitato ad un
valore pari al più piccolo intero maggiore od uguale a
log(z) / log2, dove il simbolo log indica il logaritmo in
base 10; ad esempio per un indice z =100.000 il numero
totale degli indici è 17.
Partendo dall’indice x n
= 1 per il quale si ha
U(x n
) = 1 e V(x n
) = 1 si possono calcolare con le
formule date sopra i valori di U(x n-1
- 1) e di
V(x n-1
- 1) relativi all’indice x n-1
, sia che esso risulti di
valore pari o di valore dispari.
Proseguendo quindi passo a passo con gli
altri indici x k
di valore decrescente della successione
relativa all’indice iniziale x 0
= z, si arriverà ai valori
cercati di U(x o
) e di V(x o
) con un ciclo limitato
di iterazioni iz = |_ log(z)/log2_| .
Pertanto ad ogni iterazione utilizzando i valori
U(x k
) e V(x k
) si passa ai valori U(x k-1
) e V(x k-1
)
dove l’indice x k-1
se è pari è il doppio dell’indice x k
,
se dispari è il doppio di x k
aumentato di 1.
Un semplice esempio chiarirà quanto detto.
Si voglia trovare il valore di U(59) e di V(59).
Partendo ad esempio da x 0
= z = 59 , con
U(0) = 1, V(0) = 1 e indicando con il verso delle
frecce l’andamento temporale delle iterazioni si può
schematizzare così il procedimento di calcolo:
NOTE
Iterazione x k U(x k ) V(x k )
|--------------|---------------------|-------------------------|--------------------------------|
- x 0 = 59 956722026041 2139295485799
1 a x 1 = 29 514229 1149851
2 a x 2 = 14 377 843
3 a ? x 3 = 7 ? 13 ? 29
4 a x 4 = 3 2 4
5 a x 5 = 1 ? U(x 5 ) = 1 V(x 5 ) = 1
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Come già osservato l’algoritmo sopra accennato
si presta bene ad essere sviluppato in aritmetica
a precisione multipla.
Si potrebbe pensare di utilizzare le formule di
Binet che sono delle formule compatte per il calcolo
di U(z) e di V(z); ma esse non risultano molto convenienti
per il calcolo esatto di tutte la cifre di cui
sono composti U(z) e V(z), anche per valori dell’indice
z non molto grandi, in quanto esse presentano a
denominatore V5 che è un numero irrazionale.
Per finire si dà un esempio di paragone di tempo
di esecuzione relativo al calcolo di U(z) e V(z)
fra i due tipi di algoritmi: quello classico ma banale, e
quello illustrato nella presente nota, per un indice
z =100.000 (centomila)
- col metodo classico, utilizzando un normale
PC (450 MHz) il tempo di esecuzione per il calcolo
del valore esatto di U(100.000), che è un numero
costituito da 20899 cifre decimali, è risultato pari a 3
ore e 48 minuti;
- col presente algoritmo, sempre con l’utilizzo
dello stesso PC, il tempo di esecuzione per trovare
non solo il valore di U(100.000) ma contemporaneamente
anche quello di V(100.000) è risultato di 4
minuti e 6 secondi..
Tale differenza di tempi è facilmente spiegabile
in quanto con l’algoritmo classico per trovare il valore
di U(100.000) occorre effettuare pedissequamente
il calcolo di tutti i precedenti numeri di Fibonacci ,
con un ciclo di 100.000 iterazioni, mentre con
l’algoritmo illustrato è sufficiente, pur con calcoli aritmetici
più complessi in ogni iterazione, un ciclo di sole
16 iterazioni.
NOTE
RIFERIMENTI
[1] P. Filipponi: “I numeri di Fibonacci ” – Sistemi
di Telecomunicazioni, n.12,dicembre 1989
[2] A. Bosselaers, P. Filipponi, B. Preneel : “Su alcuni
aspetti numerici degli pseudoprimi di
Fibonacci”- Note Recensioni Notizie, v.38, n.1-2
,gennaio-giugno 1989
[3] P. Filipponi, E. Montolivo : “Representation of
natural numbers as sum of Fibonacci numbers:
an application to modern cryptography” –
Application of Fibonacci Numbers, v. 3, Kluwer
Academic Publishers, Dordrecht (NL) 1990
[4] A. Di Porto, P. Filipponi, E. Montolivo: “On
generalized Fibonacci pseudoprimes”-
TheFibonacci Quaterly, v,29, novembre1990
[5] “Lucas Sequences in Cryptography”- Sito
internet htpp://www.amasci.com/~weidai/
lucas.html
[6] “Periods of Fibonacci Sequences Mod m”-
Sito Internet htpp:/www.mathpages.com/home/
kmath078.htm
[7] “Lucas Sequences and cryptography”- Sito
Internet tpp://saturn.hut.fi/~helger/crypto/link/
public/luc.html
[8] “ Mersenne Prime: Histoty, Theorems and List“-
Sito Internet: tpp://www.utm.edu/research/primes/
mersenne/index.html
[9] P. Ribenboin - The little book of big primes:
pagg. 38,39 – Springer-Verlag
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