(AL) AA 2002-2003 Paolo Bagnaia - Fisica - Sapienza

Paolo Bagnaia 

Corso di Fisica 

CTF (A-L) 

A.A. 2002-2003 

Paolo Bagnaia - CTF - Introduzione ♠ 1

Orario 2003 

Lezioni : 

- lunedì 13-15 aula Conversi; 

- martedì 13-15 aula Magna; 

- mercoledì 14-16 aula Magna; 

- giovedì 12-13 aula Magna. 

Ricevimento : 

Dip. Fisica, ed. Marconi, 2º piano, stanza 126; 

martedì + mercoledì, ore 10-13. 

Paolo Bagnaia - CTF - Introduzione 2 

♠

Testi consigliati 

• Halliday-Resnick-Walker 

(edizione “breve” !!!) 

• Tipler (… !!!) 

• Serway (… !!!) 

• [esercizi nel testo] 

• Coluzza, Ferrari, Levi - Esercizi di Fisica 

• Davidson - Metodi matematici per un corso 

introduttivo di Fisica. 


♠

Sommario 

• 1 - Meccanica - Cinematica, Statica, Dinamica. 

• 2 - Meccanica dei Fluidi. 

• 3 - Termodinamica. 

• 4 - Elettromagnetismo - Elettrostatica, Correnti 

elettriche, Fenomeni magnetici, Induzione, Ottica. 

• 5 - Onde e Oscillazioni. 

N.B. programma completo → guida della Facoltà 


♠

Programma 02-03 - pag. 1/5 

1. Il metodo sperimentale – La misura e gli osservabili in fisica. Il sistema 

unità di misura. Le dimensioni ed i cambiamenti di unità di misura. Rappresentazione 

delle misure. Errori di misura e loro valutazione. Errori casuali e sistematici. 

2. Cinematica – Sistemi di riferimento. Grandezze scalari e vettoriali. Velocità 

istantanea. Il moto rettilineo uniforme. Il moto accelerato: moto uniformemente 

Scomposizione dei vettori. Somma e prodotti tra vettori. Moto in più dimensioni. 

uniforme: velocità angolare. Moti relativi. 

3. Dinamica del punto – Definizione di forza. Prima legge della dinamica. I sistemi 

riferimento inerziali. Seconda legge della dinamica. Terza legge della dinamica. I 

lavoro: forze costanti, forze variabili. Teorema dell’energia cinetica. Potenza. Forza 

elastiche. Forze di attrito: attrito statico e dinamico. Forze conservative. Energia 

Conservazione dell’energia meccanica. Moti oscillatori e periodici. Il pendolo. 

armonico: equazioni del moto e conservazione dell’energia. 


♠


4. Sistemi di punti materiali – Il centro di massa. Leggi della dinamica per un 

Impulso e quantità di moto. Conservazione della quantità di moto: caso 

elastici ed anelastici in una dimensione. 

5. Equilibrio dei corpi – Momento di una forza. Condizioni di equilibrio. Leve. 

6. La gravitazione universale – Legge di Gravitazione. Leggi di Keplero. 

7. I fluidi – Proprietà dei fluidi e dei liquidi. Densità e pressione. Principio di Pascal. 

di Archimede. Legge di Stevino. Linee di flusso ed equazione di continuità. 

dell’energia: equazione di Bernoulli. I liquidi reali: la viscosità. Moti laminari e 

Legge di Hagen – Poiseuille. Legge di Stokes: velocità di sedimentazione. 

8. Onde – Onde e particelle. Onde in una corda tesa. Lunghezza d’onda e frequenza. 

Onde stazionarie. Onde acustiche. Ampiezza ed intensità di un onda. 


♠


9. Calorimetria e Termodinamica – Il calore: misura ed unità di misura. Il calore 

calore latente. La temperatura e le scale termometriche. Leggi di dilatazione termica. 

zero della termodinamica. Primo principio della termodinamica. Leggi dei Gas 

Trasformazioni isoterme, isocore, isobare ed adiabatiche. Teoria cinetica dei gas. 

Avogadro. Calori specifici molari. Trasformazioni reversibili ed irreversibili. Cicli 

termodinamici. Secondo principio della Termodinamica. Macchine termiche: ciclo di 

Entropia e sue variazioni. 

10. Elettrostatica – Cariche elettriche. Forze elettriche: legge di Coulomb. Struttura 

e proprietà elettriche della materia. Il campo elettrico. Il dipolo elettrico. Legge di 

potenziale elettrico. I conduttori e l’induzione elettrica. Capacità elettrica. Superfici 

equipotenziali. Studio di alcuni esempi notevoli: campo elettrico generato da una 

puntiforme, da distribuzioni di carica su fili, strati e doppi strati. I condensatori. 

dell’energia immagazzinata in un campo elettrico. 

11. Corrente elettrica e circuiti elettrici – La conduzione nei metalli. Densità di 

Resistività e resistenza. Le leggi di Ohm. Energia e potenza nei circuiti elettrici. 

tensione e di corrente. Circuiti elettrici in corrente continua. Carica e scarica dei 


♠


12. L’elettromagnetismo – Il campo magnetico. Corrente elettrica e campo 

di Biot e Savart. Legge di Ampere. Dipolo magnetico. Forza di Lorentz. Legge di 

Legge di Lenz. Energia immagazzinata in un campo magnetico. Autoinduzione. 

Equazioni di Maxwell (cenni). Onde elettromagnetiche. Velocità della luce. Il 

Huygens. 

13. Ottica geometrica – Limiti dell’ottica geometrica. Le leggi della riflessione e 

rifrazione. Riflessione totale. Specchi piani. Specchi sferici. Diottro sferico. Lenti 

Strumenti ottici. 


♠

Bibliografia 


Lo studente può utilizzare liberamente i libri di testo che ritiene più idonei a preparare 

l'esame. Può fare riferimento ai testi seguenti, sia per la preparazione della prova orale 

che di quella scritta : 

• Halliday, Resnick, Walker - Fondamenti di Fisica - Casa Editrice Ambrosiana, 1995. 

• Serway - Principi di Fisica - EdiSES, 1996. 

• Duncan - Fisica per Scienze Biomediche - Casa Editrice Ambrosiana, 1994. 

• Coluzza, Ferrari, Levi - Esercizi di Fisica per Biologia e Scienze Naturali - Cisu, 1988. 

• Ragozzino - Problemi di Fisica con soluzione esplicita ragionata - Casa Editrice 

Ambrosiana, 1993. 

• Davidson - Metodi matematici per un corso introduttivo di Fisica - EdiSES, 1998. 


♠

Prove finali 

! scritto + orale (~ 1 ogni 1.5 mesi); 

! scritto : 

! prenotazione in portineria; 

! lo scritto annulla i precedenti; 

! tre ore, possibile ritirarsi entro ~ 1 ora; 

! ammissione all’orale se voto (altrimenti “N.A.”); 

! (se positivo) validità > 6 mesi (vedere avviso); 

! orale : 

! prenotazione in portineria (foglio differente); 

! se ok, verbale comune con matematica (“corso 

integrato”). 


♠

Scritti 

• tre ore; 

• al Palazzo degli esami 

(via Induno, vicino a viale Trastevere) 

[non sempre, vedi foglio prenotazioni]; 

• testi “teorici” : si; 

• libri o quaderni di esercizi : no; 

• fogli distribuiti all’inizio : 

– bella copia [unico da riconsegnare] 

con 1 esercizio/facciata; 

– brutta copia; 

–testo. 


♠

Esoneri 

• da tre anni, lo scritto può essere sostituito da 

“compiti di esonero”; 

• due compiti : 

" primo compito (marzo) riservato a chi frequenta; 

" prenotazioni per il primo esonero in aula; 

" secondo compito (fine maggio) riservato a chi ha 

superato il primo; 

" esonero per chi supera il secondo compito. 

• molti esercizi semplici, 

• esonero valido ~ 1 anno (se no, fare lo scritto). 


♠

Avviso ai naviganti (su internet) 

Queste presentazioni sono state espressamente create per gli studenti del primo anno 

del Corso di Laurea in CTF della “Sapienza”. Nonostante ciò, la loro utilità didattica è 

tutt’altro che garantita. La maggior parte dei miei colleghi docenti di Fisica, interpellati 

al riguardo, hanno espresso l’opinione che questo tipo di presentazione oscura i reali 

contenuti sotto la sofisticazione tecnologica e la raffinatezza formale, in analogia con 

gli spot televisivi, che mascherano rozzi messaggi commerciali con delle apparenze 

raffinate. 

La mia opinione personale è meno negativa : penso che una tecnologia potente, in 

mano ad un docente esperto e a studenti maturi, possa produrre dei buoni risultati. 

Tuttavia, come in tutte le scienze sperimentali, la sola verifica possibile è nel risultato 

reale, cioè nella utilità riscontrata dagli studenti. 

Pertanto, tutti coloro che volessero esprimere critiche, commenti, apprezzamenti di 

qualsiasi genere (oltre ovviamente segnalare errori tecnici, formali o sostanziali) sono 

vivamente pregati di farmi conoscere la loro opinione. Mi si permetta di ricordare che è 

molto difficile produrre della buona didattica senza una continua interazione con gli 

studenti. 

P.B., Roma, gennaio 2001 


♠

Sito web 

• Sito WWW : 

http://www.uniroma1.it 

→ dipartimenti 

→ Fisica 

→ DIDATTICA 

→ SERVER CON INFORMAZIONI SULLA DIDATTICA 

→ FISICA PER FARMACIA 

[http://www.phys.uniroma1.it/DOCS/CORSI/ChFar/bagnaia/index.html] 


♠

Fine Introduzione 

Paolo Bagnaia - CTF - Introduzione ♠ 15

La Meccanica 

• Cinematica, Statica, Dinamica. 

• La cinematica studia il moto dei corpi in modo 

descrittivo, senza indagarne le cause. 

• Cinematica = geometria analitica ⊕ evoluzione 

temporale. 

• Moto in una (per cominciare) e più dimensioni 

• ! quanti valori per identificare la posizione di 

un corpo ? Concetto di “grado di libertà”. 

Paolo Bagnaia - CTF - 1a - Cinematica 1 

♠

Rappresentazioni grafiche del moto 

y 

f(x,y) : equazione della traiettoria 

(no tempo) 

P(x’,y’) 

x 

x 

x = x(t) : equazione oraria del moto 

Differenti !!! 

x’=x’(t’) 

t 


♠

Velocità e accelerazione 

• Per ora, solo in una dimensione. 

• Spostamento ∆x : 

• Velocità media nel tempo t : 

• Velocità istantanea al tempo t : 

• Accelerazione media e istantanea : 

∆x 

v M 

v 

= 

= 

= x( t2) 

− x( 

t1) 

∆x 

∆t 

lim 

∆t→0 

= 

∆x 

∆t 

x( t2 

) − x( 

t1) 

x( 

t1 

+ ∆t) 

− x( 

t1) 

= 

t − t 

∆t 

= 

2 

lim 

1 

∆t→0 

x( 

t + ∆t) 

− x( 

t) 

≡ 

∆t 

dx 

dt 

a 

M 

= 

Δv 

Δt 

= 

v(t 2 ) 

t 

2 

− 

− 

v(t 

t 

1 

1 

) 

= 

v(t 

1 

+ 

Δt) 

Δt 

− v(t 

1 

) 

; 

a 

= 

lim 

Δt →0 

Δv 

Δt 

= 

lim 

Δt →0 

v(t 

+ 

Δt) 

Δt 

− v(t) 

≡ 

dv 

dt 

≡ 

d 

2 

dt 

x 

2 


♠

interpretazione geometrica 

x 

x 2 

v Media = ∆x / ∆t ∝ tan (α) 

corrisponde alla pendenza 

del segmento — ; 

x 1 

α 

∆t 

∆x 

se ∆t → 0 ⇒ ∆x → 0, 

il triangolo diviene più 

piccolo, ma α resta finito; 

il segmento — approssima la 

tangente alla curva — . 

t 1 

t 2 

t 

corrispondenza tra i concetti 

di “derivata”, “pendenza”, 

“tangente”, “approssimazione 

lineare”. 


♠

Esempi : 

• corpo fermo : v=0, a=0 : x-x º 

= v·(t-t º 

) = 0 ⇒ x = x º 

. 

• moto uniforme : v=cost, a=0 : 

x-x º 

= v (t-t º 

) → x = x º 

+ v t. 

• moto uniformemente accelerato : 

a=cost ; [t º 

= 0]. 

x 

v(t) - v º 

= a t → v(t) = v º 

+ a t. 

v M = [v(t) - v º 

] / 2 = v º 

+ ½ a t . 

x - x º 

= v M t 

→ x= x º 

+ v º 

t+ ½ a t 2 . 


t 

♠

moto uniformemente accelerato 

x 

t = - v º 

/a 

v 

a 

t = - v º 

/a 

a 

x o 

v o [

Esempio (caduta dei gravi) 

moto uniformemente accelerato 

a = - g 

y = y º 

+ v º 

t+ ½ a t 2 

se : v º 

= 0 ; a = - g 

y = y º 

-½ g t 2 

costante di gravità 

scelta del sistema di riferimento (verso l’alto) 

y 

Ex. : trovare t’ per cui y(t’) = 0 

??? 

y º 

- ½ g t’ 2 = 0 → 

2y 

g 

t 

0 

' = ± 

t’ 

t 


♠

Vettori : 

y 

r Y 

r=r(t) 

molte grandezze fisiche possono 

essere rappresentate da vettori 

[ex. punti nello spazio, velocità, ...] 

O 

r X 

x 

un vettore ha bisogno di 3 “numeri” 

per essere definito 

[ex. componenti x,y,z 

- OPPURE - 

modulo + 2 angoli] 

NB : 

• nel disegno, solo due 

dimensioni (x,y), 

aggiungere la terza (z); 

• si può scrivere r 

oppure r → 


♠

Operazioni tra vettori (1) 

• somma 

→ 

→ 

→ 

s = a + b 

a → 

• differenza 

→ → → 

d = a - b 

d → 

b → 

a → 

b → 

- 

+ 

s → 

v → 

-v → 


♠

Operazioni tra vettori (2) 

• prodotto “scalare” 

→ 

→ 

→ 

s = a · b 

→ → → 

• prodotto “vettoriale” v = a × b 

c → 

a → 

b cos φ 

b → 

b → 

a → 


♠

Velocità, accelerazione → vettori 

• posizione 

→ 

→ 

r = r(t) 

→ → → → → 

• spostamento ∆r = r(t 2 ) - r(t 1 ) = r(t 1 +∆t) - r(t 1 ) 

• velocità media 

• velocità istant. 

• accelerazione media 

→ 

→ 

v M = ∆r / ∆t 

→ → 

v=dr / dt 

[v x =dx/dt; v y =dy/dt; v z =dz/dt] 

→ 

→ 

a M = ∆v / ∆t 

→ → 

• accelerazione istant. a = dv(t)/dt = d 2 → 

r(t)/dt 2 . 


♠

vettore posizione e velocità 

y 

→ 

r 1 

→ 

∆r 

→ 

r 2 

x 

• posizione r 1 , r 2 ; 

• spostamento ∆r. 


♠

Velocità e accelerazione 

• la velocità istantanea è tangente alla traiettoria 

(semplice conseguenza della definizione); 

• viceversa, l’accelerazione non ha sempre la stessa 

direzione; 

• possiamo scomporla in due componenti : 

" componente parallela alla velocità (accelerazione 

tangenziale); modifica solo il modulo della velocità; 

" componente ortogonale alla velocità (accelerazione 

normale); modifica solo la direzione della velocità; 

" [esempi : l’acceleratore e il volante dell’automobile] 


♠

Accelerazione tangenziale e normale 

y 

v 

v’ 

a n a 

a t 

→ 

→ 

NB a n ·v = 0 

traiettoria 

→ → → → 

a t ·v = a ·v 

x x 


♠

Esempio : moto dei 

gravi in 2 dimensioni 

Asse x 

x 0 = 0; x 

= v ⋅ cos ϑ ; 

v 0 

a 

x 

= 

0 

Asse y 

y 

y 0; = v ⋅ sin ϑ ; 

0 = 

v 0 

a 

y 

= 

− g 

⎧x( 

t) 

⎪ 

⎨ 

y( 

t) 

⎪⎩ 

= 

= 

v⋅cosϑ 

⋅t 

v⋅sinϑ 

⋅t 

− 

1 

gt 

2 

2 

y 

= 

t = x ( v⋅cosϑ 

) 

x⋅tan 

2 

gx 

ϑ − 

2 2 

2v 

cos 

ϑ 


♠

moto dei gravi in 2 dimensioni 

y 

[v 2 sin(2θ)/(2g), 

v 2 sin 2 θ/(2g)] 

vsinθ 

θ 

[0,0] 

vcosθ 

[v 2 sin(2θ)/g, 0] 

x 


♠

Moto circolare 

uniforme 

ω ≡ 

d ϑ 

dt 

[=velocità angolare] 

y 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

x( 

t) 

y( 

t) 

= 

= 

R ⋅cos( 

ωt) 

R ⋅sin( 

ωt) 

θ 

x 

⎧v 

⎨ 

⎩v 

⎧a 

⎨ 

⎩a 

x 

y 

x 

y 

= −ωR 

⋅sin( 

ωt) 

= ωR 

⋅cos( 

ωt) 

= −ω 

= −ω 

2 

2 

R ⋅cos( 

ωt) 

R ⋅sin( 

ωt) 

v = ωR 

ω = v / R 

a 

= ω 

= 

v 

2 

2 

R 

R 

→ 

a 

= 

2 

−ω 

→ 

r 


♠

Moto circolare uniforme : accelerazione 

def. di accelerazione media 

v’ A 

v A 

α 

triangolo v’ A v A 

v B 

R’ 

∆θ 

R 

→ 

v′ 

A 

→ 

v′ 

A 

→ 

v 

B 

→ 

= vB 

⎫ 

⎪ 

⊥ R ⎬ ⇒ 

⊥ R' ⎪ 

⎭ 

α = ∆ϑ 

M 

⋅ ∆t 

= 

= 

v 

B 

− v 

A 

2v 

sin( ∆ϑ 

2) ⎯ 

= 2v 

sin( α 2) = 

⎯⎯ →v 

⋅ ∆ϑ 

t →0 

→ 

a 

a → → → R 

dϑ 

2 

= ⋅ v = ω ⋅ v = ω R 

dt 

= 

v 

2 

→ → 

∆t → 0 ⇒∆θ→0 ⇒ v a → v b ⇒α→0 

⇒ a → punta verso il centro. 


♠

Le unità di misura 

Unità 

fondamentali : 

• metro (m) : in origine 1/40 000 000 della 

circonferenza terrestre → definito in 

modo che c=299 792 458m/s 

• secondo (s) : in origine 1/(24x60x60) del 

giorno solare medio → definito dalla 

frequenza della luce emessa dal Cesio 

133 (1 s = T(cesio) x 9 192 631 770 

• massa (Kg) : chilogrammo campione - 

oppure in funzione delle masse atomiche 

Sistema “MKS” (esiste anche il sistema “CGS”) + 

unità derivate (ex. velocità : spazio / tempo → m/s 


♠

Unità derivate 

Si definiscono nuove unità di misura, derivate 

dalle unità fondamentali. Ex. : 

• velocità = dx/dt → misurata in m/s; 

• accelerazione = d 2 x/dt 2 → misurata in m/s 2 . 


♠

Dimensioni delle grandezze fisiche 

Tutte le grandezze fisiche sono definite a partire da poche 

grandezze fondamentali. 

Ex., in meccanica, sono sufficienti TRE grandezze fondamentali. 

Scegliamo : L, T, M. 

Conseguenza : ogni altra grandezza può essere espressa in 

funzione di MLT [equazioni dimensionali ]. Ex. 

[v] = [L·T -1 ]; [a] = [L·T -2 ]; [f] = [M · L · T -2 ]. 

NB : si confrontano, sommano, sottraggono solamente grandezze 

omogenee, cioè con le stesse dimensioni. Ex. v 1 = v 2 + v 3 . 

→ Gli argomenti di funzioni trascendenti sono “numeri puri”. Ex. 

x = R · sin(ωt) ove [x] = [R] = [L], [ω] = [T -1 ]. 


♠

Fine parte 1a 

Paolo Bagnaia - CTF - 1a - Cinematica ♠ 22

Leggi fondamentali della dinamica 

[I. Newton, ~ 300 anni fa] 

• Dal punto di vista della logica formale, sono postulati 

da cui è possibile derivare altre leggi come teoremi. 

• Sono state scelte in modo che esse, e le loro 

conseguenze, siano in accordo, entro le precisioni di 

misura, con le osservazioni sperimentali effettuate. 

• Nel tempo, nuovi fenomeni (o migliori precisioni) → 

miglioramenti successivi; le vecchie leggi sono prime 

approssimazioni delle nuove (ex. relatività speciale, 

meccanica quantistica). 

Paolo Bagnaia - CTF - 1b - Meccanica del punto 1 

♠

Prima legge 

“Un corpo non soggetto ad interazioni, permane nel suo stato di 

quiete o di moto rettilineo uniforme.” 

Sembra facile, in realtà : 

! richiede la conoscenza delle interazioni, a priori dal loro effetto 

sul moto dei corpi (altrimenti è un enunciato “circolare”); 

! si può sempre trovare un sistema di riferimento in cui il 

principio sia soddisfatto (ex. un sistema solidale con il corpo 

allo studio), in modo che il principio sia banalmente valido per 

tutti i corpi, soggetti ad interazioni, oppure no. 

¿ come si risolve questo problema ? 


♠

Soluzione 

Prima legge modificata : “Un corpo non soggetto ad interazioni 

permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, in 

un sistema di riferimento inerziale”. 

! la legge dice che il moto dei corpi si può studiare solo nei 

sistemi in cui non compaiono anomalie (accelerazioni non 

dovute ad interazioni); 

! dato un sistema di riferimento inerziale, tutti i sistemi, in quiete 

o in moto rettilineo uniforme rispetto ad esso, sono anche essi 

dei sistemi di riferimento inerziali; 

! dal punto di vista della dinamica, quiete e moto rettilineo 

uniforme sono equivalenti. 

[NB. non abbiamo fatto ricorso al concetto di “stelle fisse” (?!)] 


♠

Seconda legge 

“Una forza impressa ad un corpo produce un’accelerazione 

parallela alla forza e ad essa proporzionale; il coefficiente di 

proporzionalità non dipende dalla forza, ma dalle proprietà 

intrinseche del corpo.” 

F = m a 

! richiede la conoscenza delle forze, a priori dal loro effetto sul 

moto dei corpi (altrimenti è un enunciato “circolare”); 

! il coefficiente “m” èla massa di un corpo : 

" la massa non dipende dallo stato di quiete o di moto del corpo; 

" la massa si mantiene la stessa per tutta la vita di un corpo. 


♠

Le forze 

• la seconda legge è la base di tutta la dinamica : 

! osservando la natura, si descrivono le forze con leggi 

matematiche; 

! quindi, applicando la seconda legge, si calcola il moto 

dei corpi [in sistemi inerziali !!! ] ; 

• le forze sono additive : ex., se su un corpo si 

esercitano due forze ( F 1 e F 2 ) la legge dice che : 

m a = F 1 + F 2 = F Tot 


♠

Unità di misura della forza 

[F] = [m] · [a] = [m · l · t -2 ] 

si misura in Newton (MKS) o in dine (CGS); 

1 N = 1 Kg · 1 m / 1 s 2 

1 dine = 1 g · 1 cm / 1 s 2 = 1 N / 10 5 ♠ 

Paolo Bagnaia - CTF - 1b - Meccanica del punto 6

Terza legge 

“Quando un corpo A imprime una qualsiasi forza F AB su un 

corpo B, automaticamente il corpo B imprime su A una forza 

F BA uguale in modulo ed opposta in verso” (Principio di 

azione e reazione). 

F AB = - F BA 

! non è particolarmente difficile : molti esempi pratici (nuoto, 

barche a remi, ecc.); 

! nei sistemi isolati, la somma vettoriale di tutte le forze (cioè la 

forza totale) è sempre nulla, perché tutte le forze tra corpi, 

comunque complicate, si cancellano due a due. 


♠

La forza peso 

F = m g · g 

accelerazione di gravità 

[costante, = 9.8 m/s 2 , verso il basso] 

massa (meglio, “massa gravitazionale”) 

forza 

" g diretta verso il basso (vedi oltre, “gravitazione”); 

" m g = m per tutti i corpi; cioè la “massa” che compare nel 

secondo principio è identica a quella che compare nella 

espressione della forza peso (perché ???); 

" conseguenza : l’accelerazione di caduta è la stessa per tutti 

i corpi (a = g), ed è indipendente dalla massa. 


♠

“I vincoli” 

• esempi : tavoli, rotaie, fili inestensibili, ... 

• il “trucco” consiste nel sostituire il vincolo con una 

forza ortogonale al vincolo, che produca lo stesso 

effetto sul moto. 

Ex. : 

forza vincolare [=-mg] 

peso [=mg] 


♠

i vincoli nel moto circolare uniforme 

|a| = v 2 / r 

|F | = m v 2 / r 

y 

la forza è diretta 

verso il centro 

(forza centripeta) 

a 

a 

x 

in pratica, si può usare 

un filo robusto (vincolo) 

a 

a 


♠

Scomposizione delle forze 

• esempio classico : il piano inclinato 

• la forza totale (W tot ) è diretta verso il basso; 

• scomposizione : 

" sia θ l’angolo del piano inclinato 

" W · cos θ ortogonale al piano inclinato, bilanciata dalla 

forza vincolare; 

" W · sin θ efficace, parallela al piano inclinato. 

• cioè, lungo il piano inclinato : 

m a = W sin θ = m g sin θ 

l’accelerazione di gravità g è minore di un 

fattore sin θ . 


♠

il piano inclinato 

W cos θ 

W sin θ 

W = mg 

W cos θ 

θ 

W sin θ 

piano inclinato (caso senza attrito) 


♠

Forze di attrito 

" due tipi di attrito : 

" attrito statico (impedisce l’inizio del moto) : 

• opposto alle forze che agiscono sul corpo; 

• valore massimo : F stat (max) = µ s N = µ s m g 

(NB in modulo, la direzione è differente !!!). 

" attrito dinamico (agisce durante il moto) : 

• F = µ d N = µ d m g 

• direzione e verso = - v 

" i coefficienti µ s e µ d sono differenti (µ d < µ s ) e dipendono 

dalle superfici dei corpi e dalla presenza di lubificanti, 

polveri, etc. (cioè dalla presenza di asperità che 

impediscano lo scorrimento delle superfici) 


♠

il piano inclinato + attrito 

F TOT 

W cos θ 

F a = µ m g cos θ 

W = mg 

W cos θ 

θ 

W sin θ 

piano inclinato (caso con attrito dinamico) 


♠

il lavoro 

• Si definisce lavoro di una forza F su un corpo che 

si sposta di un tratto d : 

L = F · d = F d cos θ 

• L > 0 se F,d concordi (θ < 90°); 

• L < 0 se F,d discordi (θ > 90°); 

• L = 0 se F,d ortogonali (θ = 90°). 

ex. caduta di un grave da fermo (forza peso) : L = m g h; 

attrito dinamico : L < 0; 

attrito statico : L = 0; 

moto circolare uniforme (forza centripeta) : L = 0; 


♠

Il lavoro 

θ 

F 

d 

L = F · d 

θ 

F 

F cos θ 

d 

L = F d cos θ 


♠

Lavoro di forze variabili 

L’espressione precedente può 

essere impossibile da calcolare se 

una delle grandezze in gioco varia 

di modulo e/o di direzione nel 

periodo considerato. 

In tale caso, occorre scomporre il 

tragitto in intervalli piccoli (al limite, 

infinitesimi) e considerare il lavoro 

totale come la somma dei lavori 

infinitesimi, corrispondenti ai 

tragitti: 

L = ∫ 

→ → 

F(x)·dx 

F(x) 

x 


♠

Unità di misura del Lavoro 

[e di tutte le grandezze con le stesse dimensioni] 

[L] = [F d] = [m l 2 t --2 ] 

MKS : J = joule = 1 newton · 1 metro; 

CGS : erg = 1 dine · 1 centimetro = 1 J / 10 7 . 


♠

Energia cinetica 

• Un corpo, di massa m e velocità v (modulo), 

possiede un’energia cinetica data da : 

K = ½ m v 2 

• K dipende solo dal modulo della velocità, non 

da direzione e verso; 

•[K] = [ m v 2 ] = [ m l 2 t -2 ] = [ L ] 

• pertanto K si misura in J (erg). 


♠

teorema dell’energia cinetica 

Il lavoro totale delle forze agenti su un corpo è uguale 

alla variazione di energia cinetica del corpo stesso : 

y 

v FIN 

L = ∆ K = K FIN -K INI 

v INI 

FIN 

traiettoria 

• valido per qualsiasi forza; 

• correla grandezze differenti : 

! lavoro (forze, spostamenti); 

! en. cinetica (massa, velocità). 

INI 

x 


♠

teorema dell’energia cinetica (2) 

Dimostrazione (caso 

unidimensionale con 

accelerazione costante) 

L 

= 

= 

= 

= 

F 

⋅ ∆x 

v - 

m ⋅ 

v0 

∆t 

1 

m(v 

2 

- 

2 

1 

mv 

2 

- 

2 

= 

1 

2 

⋅ 

m ⋅ a ⋅ 

1 

2 

v 

2 

0 

(v + v 0 ) ∆t 

) 

= 

mv 

2 

0 

. 

∆x 

= 

= 

amedia 

= (v - v 0 ) / ∆t; 

x = x 

2 

0 + v0∆t 

+ 1 2 ⋅ a( 

∆t) 

; 

x − x0 

= ∆x 

= 

= v 0 ∆t 

+ 1 2 ⋅(v 

− v 0 ) ∆t 

= 

= 1 2 ⋅(v 

+ v 0 ) ∆t. 


♠

teorema dell’energia cinetica (3) 

x 

Dimostrazione (caso 

1 

∫ 

unidimensionale 

L = F( 

x) 

⋅ dx 

generale) x 

0 

F( 

x) 

⋅dx 

= 

m ⋅ 

dv 

⋅ 

dx 

= 

dx 

dt 

m ⋅a 

⋅dx 

dv 

⋅dx 

= m ⋅ ⋅dx 

= 

dt 

dv 

= m ⋅ ⋅ v ⋅dx 

= m ⋅ v ⋅dv 

dx 

v1 

1 

L = 

∫ 

mvdv 

= m(v 

2 

2 1 

v 

0 

− 

v 

2 

0 

) 

QED 


♠

La potenza 

• definizione : 

il lavoro compiuto nell’unità di tempo 

W = dL / dt 

1 Watt = 1 W = 1 J / 1 s 

(anche : cavallo-vapore = 736 W 

lavoro in watt-ora = 3600 J) 

W = dL / dt = d (F · x) / dt = F · v [ NB : se F costante ] 


♠

Forze conservative 

• una forza è conservativa se : 

" in ogni ciclo chiuso L=0; 

- oppure - 

! L in un cammino dipende solo dai punti iniziale e 

finale e NON dalla traiettoria 

y 

A 

B 

x 

" L AB + L BA = 0; 

! L AB = -L BA . 

[dimostrazione facile, da 

L AB = -L BA per le proprietà 

degli integrali] 


♠

Energia potenziale 

• se una forza è conservativa, si può definire una 

funzione U(x), che dipende unicamente dal 

punto dello spazio x, tale che [notare i “-” ]: 

L AB 

= -∆U AB 

=U(x A )-U(x B ) ; 

U(x B ) = U(x A ) - ∫ A 

B 

F ·dx 

• Teorema energia cinetica → 

L AB = K B 

-K A = U A - U B ; 

K B + U B 

= K A + U A = E TOT = costante 


♠

differenze di energia potenziale 

NB L’energia potenziale non è 

una grandezza direttamente 

misurabile. Solamente le 

differenze di e.p. hanno rilevanza 

in fisica (v. pag. prec.). La scelta 

del punto di riferimento, rispetto a 

cui si calcola l’e.p., si cancella 

nelle differenze. 

e.g. due scelte : U(x 0 )=0 

oppure U * (x 1 )=0. 

y 

P 0 

B 

U(x A )-U(x B ) = L AB = L A0 + L 0B = 

= L A1 + L 1B = U * (x A )-U * (x B ) 

A 

P 1 

x 


♠

y 

Conservazione dell’energia 

solo forze conservative 

B 

A 

K B + U B = K A + U A = E TOT = cost. 

E TOT èla 

stessa nei vari 

punti del 

percorso !!! 

x 


♠

forze conservative : gravità 

Gravità : 

U(x) = U(x o ) - L 

= U(x o ) - m g h 

= - m g h + costante 

Ex. U(x A ) = 0; K(x A ) = 0; 

U(x B ) = -mgh; K(x B ) = ½ m v B2 = ? 

A 

B 

→ 0 = -mgh + ½ m v B 

2 

→ v B = (2gh) ½ 

oppure U(x B ) = 0; U(x A ) = +mgh; 

→ 0 + mgh = 0 + ½ m v B 

2 

→ v B = (2gh) ½ 

(!!!!) 


♠

forze conservative : molla 

Forze elastiche (ex. molla) : 

F = - Kx 

• la forza è proporzionale alla deformazione della molla; 

• la costante di proporzionalità K indica la “robustezza” della 

molla (= forza per deformazione unitaria); 

• la forza è diretta lungo l’asse della molla, in senso opposto alla 

deformazione; 

• la forza è conservativa (facile : immaginare un ciclo). 

U(x) = - L = - ∫dx (-Kx) = ½ K x 2 + costante. 

½m v 2 + ½ K x 2 = costante. 


♠

forze elastiche 

x 1 

F 1 

x 2 = 0 

F 2 = 0 

x 3 

F 3 

x 

0 


♠

forze elastiche : energia 

x 1 

F 1 

1 

→ 0 

⏐ — 

6 

→ 0 

⏐ — 

x 2 = 0 

F 2 = 0 

2 

0 

→ 

—⏐ 

5 

0 

← 

—⏐ 

x 3 

3 

← 0 

⏐ — 

4 

← 0 

⏐ — 

F 3 

x 

0 

a 

v 

U 

K 

a 

v 

U 

K 


♠

Oscillazioni - moto armonico 

Ex. molla (v. indietro) : 

F = - K x; U = ½ K x 2 ; 

" la forza riporta il corpo nel punto di equilibrio (segno “-”) 

→ oscillazioni, moto periodico; 

" ricordiamo il moto circolare uniforme (a = - ωr); 

" proiettiamo su un asse (ex. x) - moto “armonico” : 

! x = A sin (ωt); 

! v = dx/dt = Aω cos (ωt); 

! a = dv/dt = d 2 x/dt 2 = -Aω 2 sin (ωt); 

→ F = - Kx = - KA sin (ωt) = ma = - mA ω 2 sin (ωt); 

→ ω = (K / m) ½ ;T = 2π / ω = 2π (m / K) ½ ; 

" le oscillazioni sono “isocrone” (ω e T non dipendono da A) 

→ oscillazioni più ampie sono compiute a velocità maggiore; 


♠

y 

moto armonico 

proiettare il moto 

circolare uniforme 

sull’asse x 

x 

x 

x 

T = 2π / ω 

A 

x(t) = A sin (ωt + φ) 

t 


♠

UK 

moto armonico : energia 

x 

x,v 

E = ½Kx 2 + ½mv 2 = [ω = (K / m) ½ ] 

= ½K[Asin(ωt + φ)] 2 + ½m[Aωcos(ωt + φ)] 2 = 

= ½KA 2 = ½mA 2 ω 2 = costante 

Aω 

A 

t 

x(t) = A sin (ωt + φ) 

v(t) = A ω cos (ωt + φ) 


♠

forze conservative : pendolo 

F peso = m g (verso il basso) 

F filo = (vincolo lungo il filo) 

tutte le forze sono conservative. 

L 

θ 

U = m g h = m g L (1 - cos θ) 

m 

h = L (1-cos θ) 

anche : proiettare le forze lungo assi (parallelo e ortogonale al filo) : 

F PAR = mg cos θ + T = 0 

F ORT = - mg sin θ≈- mg θ (“-” indica la direzione verso 

il punto di equilibrio) 


♠

equazione del pendolo 

Pendolo, caso di “piccole oscillazioni” : 

x ≈ L θ; 

F = - m g sin θ≈- mg θ = - mg x / L ; 

" formalmente identico alla molla, con K = mg / L 

→ oscillazioni isocrone; frequenza, periodo : 

! ω [= (K / m) ½ ] = (g / L) ½ ; 

! T = 2π / ω = 2π (L / g) ½ ; 

" moto armonico, di equazione 

x = A sin (ωt); 

A = x MAX = L θ MAX . 


♠

pendolo 

L 

θ 

m 

mg cos θ 

θ 

h = L (1-cos θ) 

mg 

mg sin θ 

F PAR = mg cos θ + T = 0 

F ORT = - mg sin θ ≈- mg θ 


♠

Forze non conservative 

Ex. attrito : 

• il lavoro dipende dal cammino (a 

parità di coefficiente µ, maggiore 

percorso = maggiore lavoro); 

• la forza NON è conservativa (ex. 

il lavoro in un ciclo chiuso NON è 

nullo). 

y 

A 

L AB > L’ AB 

B 

x 

L’energia si disperde nell’ambiente, 

e.g. sotto forma di calore. 


♠

Fine parte 1b 

Paolo Bagnaia - CTF - 1b - Meccanica del punto ♠ 39

Sistemi di punti materiali 

• n punti materiali di massa m i e posizione r i 

(i = 1,2,3,...,N); 

definizione di centro di massa : 

→ 

r 

cm 

= 

∑ 

∑ 

mr 

i 

m 

→ → → → 

i 

i 

= 

m r 

→ M TOT 

r CM = Σ m i 

r i ; 

1 

1 

m 

1 

+ 

+ 

m r 

2 

m 

2 

+ ... 

+ ... 

M TOT 

v CM = Σ m i 

v i ; .... segue ... 

2 

+ 

+ 

m r 

m 

3 

3 

3 

Paolo Bagnaia - CTF - 1c - Meccanica dei sistemi 1 

♠

Sistemi di punti materiali (2) 

... segue ... 

→ M TOT 

r CM = Σ m i 

r i ; 

Principio di azione 

e reazione 

M TOT 

v CM = Σ m i 

v i ; 

M TOT 

a CM = Σ m i 

a i = Σ f i 

TOT 

= Σ f i 

EXT 

+ Σ f i 

INT 

Teorema del centro di massa : il moto (virtuale) del c.m. è 

deteminato dalle sole forze esterne al sistema; le forze interne 

determinano i moti relativi dei membri del sistema : 

M TOT 

a CM = Σ f i 

EXT 

= F TOT 

EXT 

= 0 


♠

quantità di moto 

definizione : p = m v 

→ F [= ma = m dv/dt = d (mv) / dt ] = dp / dt 

[spesso citata come espressione corretta della 2ª legge, 

include i sistemi a massa variabile, per cui dm/dt ≠ 0]. 

Nei sistemi a molti punti, definiamo : 

P = Σ p i = Σ m i v i = M TOT v CM 

Possiamo scrivere il teorema del centro di massa : 

F TOT 

EXT 

=0 → dP / dt = 0 

F TOT 

EXT 

= dP / dt 

→ P = Σ m i v i 

= costante 


♠

Urti 

! l’urto avviene in un tempo piccolo (qualche ms); 

! pertanto, le forze d’urto sono molto intense; 

! pertanto, durante l’urto, possiamo trascurare le altre forze (ex. 

gravità, forze elastiche, attriti); 

! poiché le forze d’urto sono interne al sistema di corpi che 

collidono e le forze esterne sono trascurabili, durante l’urto si 

conserva sempre la quantità di moto totale dei corpi che si 

urtano [→ P(prima) = P(dopo) ]; 

! se le forze d’urto sono conservative, poiché l’energia potenziale 

prima e dopo l’urto è la stessa (forze d’urto nulle fuori della 

collisione), anche l’energia cinetica si conserva durante l’urto 

[ → K(prima) = K(dopo) ]. 


♠

urti elastici (1) 

! si chiamano u.e. quelli in cui si conserva l’energia cinetica; 

! la quantità di moto si conserva comunque (vedi sopra); 

! studiamo il caso (semplice) in cui le forze d’urto sono collineari 

con la linea che congiunge i CM dei corpi che si urtano (urti 

“centrali”, cfr. due palle da biliardo che si “spizzano”); 

! semplifichiamo al caso in cui le velocità dei corpi prima dell’urto 

siano parallele (urti unidimensionali); 

! abbiamo quindi (in una sola dimensione) le seguenti variabili : 

• masse (M, m); 

• velocità prima dell’urto (V, v) e dopo l’urto (W, w); 

! ... e le seguenti equazioni : 

" conservazione della quantità di moto (in una dimensione); 

" conservazione dell’energia cinetica. 

... segue ... 


♠


M 

→ 

V 

→ 

v 

m 

prima dell’urto 

M m crash !!! 

W→ 

→ 

M m w 

→ → 

w ? W ? 


♠


MV + mv = MW + mw 

½MV 2 + ½mv 2 = ½MW 2 + ½mw 2 

p 

} equazioni iniziali 

E 

algebra → 

m (v - w) = M (W - V) 

m (v - w) (v + w) = M (W - V) (W + V) 

v + w = W + V → W = v + w - V 

m (v - w) = M (v + w - V - V) 

← algebra 

w (m + M) = mv - Mv + 2MV 

soluzioni → 

w = [ 2MV + v (m - M) ] / (M + m) 

W = [ 2mv + V (M - m) ] / (M + m) 


♠


Casi particolari : 

soluzioni 

w = [ 2MV + v (m - M) ] / (M + m) 

W = [ 2mv + V (M - m) ] / (M + m) 

! M=m → w = V, W = v (inversione); 

! M>>m, V=0 → w = - v; W ≈ 0 (rimbalzo). 

Leggi della riflessione (conseguenza) : 

1. l’angolo di incidenza θ e quello di 

riflessione θ’ sono uguali; 

2. la traiettoria incidente, quella riflessa e 

la normale al piano di riflessione 

giacciono nello stesso piano. 

θ θ’ 


♠

urti anelastici (1) 

! l’energia cinetica NON si conserva [forze non conservative]; 

! la quantità di moto si conserva [sistema isolato] ; 

! studiamo solamente il caso estremo : 

i due corpi restano attaccati dopo l’urto. 

MV + mv = (M + m) w 

w = (MV + mv) / (M + m) 

l’energia cinetica diminuisce 

(si disperde, ex. in calore o 

deformazioni) 

∆K = K FIN -K INI = ½ (M+m) w 2 -½MV 2 -½mv 2 = 

= - ½ mM (V - v) 2 / (M + m) < 0 


♠

urti anelastici (2) 

M 

V → 

→ 

v 

m 

prima dell’urto 

M m crash !!! 

M+m 

→ 

w 

→ 

w ? 


♠

momento delle forze 

• si definisce momento di un vettore v rispetto a un 

punto P : 

m = r ∧ v 

• il momento è correlato con il concetto di rotazione 

attorno ad un asse; 

• definiamo il momento della forza τ : 

τ = r ∧ f 

P 

→ 

r 

× 

m (verso 

il basso) 

→ 

v 


♠

Equilibrio dei corpi 

• i corpi puntiformi in quiete sono in equilibrio se 

f TOT = Σ i f i = 0 

• i corpi estesi richiedono in più : 

τ TOT = Σ i τ i = Σ i r i ∧ f i = 0 

Ex., f TOT = 0, τ TOT ≠ 0, 

il corpo ruota : 

f 1 

f 2 


♠

Tipi di equilibrio 

! stabile, se il corpo, allontanato 

dalla posizione di equilibrio, vi 

torna; 

! instabile, se si allontana 

ulteriormente; 

! indifferente, se resta nella 

nuova posizione; 

Attenzione in più dimensioni, 

ex. un “punto di sella”. 


♠

Forza di gravitazione 

• le masse (gravitazionali) si attraggono : 

F 

= 

Gm m 

1 2 

G = 6.67 × 10 

−11 

m 

3 

2 

/ 

12 

r 

; kg ⋅ s 

2 

m F 

F 

1 m 2 

stesso modulo, stessa direzione, 

verso opposto !!! (3 principio) 


♠

• se r 12 ≈ r terra , m 1 ≈ m terra 

Gravità e forza peso 

→ 

F = [Gm T /r T2 ] × m = m g 

cioè la forza peso mg è solo un caso particolare della 

forza di gravità, g dipende solo da m T e r T ; 

• la forza di gravità è conservativa (facile da dimostrare); 

• l’energia potenziale vale : 

U(r 12 ) = - G m 1 m 2 / r 12 + cost 

[dimostrare per esercizio : U(r 12 ) partendo da F; 

U(r 12 ) ≈ mgh, se sulla superficie della terra] 


♠

Le leggi di Keplero 

1. i pianeti percorrono orbite ellittiche; il sole occupa uno dei 

fuochi dell’ellisse; 

2. il raggio vettore tra sole e pianeta spazza aree uguali in 

tempi uguali; 

3. il rapporto tra il quadrato del periodo e il cubo del 

semiasse maggiore è lo stesso per tutti i pianeti. 

NB : 

" le leggi sono “dimostrabili” a partire dalla gravità; 

" valgono per qualsiasi sistema gravitazionale, il sistema solare è solo 

un esempio; 

" approssimazione m(sole) >> m(pianeti). 


♠

1ª legge di Keplero 

ellisse : (x/a) 2 + (y/b) 2 = 1 

(generalizzazione del cerchio, a = b = R). 

y 

" a, b = semiassi (maggiore, minore); 

" comete periodiche : ellissi schiacciate; 

" altri corpi celesti : ellissi oppure 

iperboli, parabole 

sole 

pianeta 

x 

NB : è un’esagerazione, le 

orbite reali dei pianeti sono 

quasi cerchi. 


♠

" ellisse : (x/a) 2 + (y/b) 2 = 1; 

" s 1 + s 2 = d 1 + d 2 = cost. 

" f 1 , f 2 fuochi. 

ellisse 

y 

s 1 

s 2 

f 1 

f 2 

d 1 

d 2 

b 

a 

x 

! il cerchio è un caso particolare con a = b = s 1 = s 2 = d 1 = d 2 = R. 


♠


• i due triangoli (! e !) corrispondono a tempi uguali, 

ed hanno area uguale; pertanto : 

∆ A = ½ × r × r θ = ½ r 2 ωδt = costante 

→ωr 2 = v r = costante → v ∼ 1 / r 

y 

r,θ 

sole 

r’,θ’ 

x 


♠


dati due pianeti : 

T 2 / a 3 = T’ 2 / a’ 3 

Dim. (caso particolare, 

orbite circolari): 

m 1 ω 1 

2 

r 1 = m 1 [2π/T 1 ] 2 r 1 = 

= G m s m 1 / r 1 

2 

a 

→ T 12 / r 13 = 4 π 2 / [G m s ] 

analogamente : 

sole 

a’ 

T 22 / r 23 = 4 π 2 / [G m s ] 

pertanto : 

T 12 / r 13 = T 22 / r 23 = costante 

(indipendente dal pianeta) 


♠

Fine parte 1c 

Paolo Bagnaia - CTF - 1c - Meccanica dei sistemi ♠ 21

Meccanica dei fluidi 

! definizioni; 

! statica dei fluidi (principio di Archimede); 

! dinamica dei fluidi (teorema di Bernoulli). 

[importanti applicazioni in biologia / farmacia : ex. circolazione del sangue] 

Paolo Bagnaia - CTF - 2 - Meccanica dei Fluidi 1 

♠

Definizioni 

• fluido = sostanza che può scorrere, ed assumere la forma 

(=liquido) o le dimensioni (=gas) del contenitore; 

• densità : ρ = dm / dV (= massa / volume, in Kg/m 3 , g/cm 3 ); 

• pressione : p = dF / dA (=forza/ area, in N/m 3 = pascal, dine/cm 3 ) [*]; 

• viscosità 

: F = η A v / s (forza “di taglio” tra superfici, vedi oltre). 

[*] p non è un vettore, la pressione è isotropa (= la stessa in tutte le direzioni, 

vedi il principio di Pascal). 


♠

Viscosità 

F → F → ♠ 

A 

v → 

v=0 

s 

F = η A v / s : 

" A = area di due lamine di liquido, poste a distanza s; 

" v = velocità relativa delle lamine; 

" η = coefficiente di viscosità del liquido (funzione anche di 

temperatura, pressione); 

" F = forza di viscosità (due forze uguali ed opposte sulle due lamine). 

Paolo Bagnaia - CTF - 2 - Meccanica dei Fluidi 3

Principio di Pascal 

Un cambiamento di pressione in un fluido è trasmesso 

inalterato a tutte le porzioni del fluido ed alle pareti 

(→ la pressione è isotropa). 

F → 

p 


♠

Statica dei fluidi 

p atm = p o 

1 

0 

[il liquido è a riposo] 

! F 2 = F 1 + mg = F 1 + ρVg; 

! p 2 = F 2 / A = F 1 / A + ρVg / A = 

= p 1 + ρg (y 2 - y 1 ); 

! y 1 → 0; y 2 - y 1 = h; p 1 = p o = p atm ; 

! p = p o + ρgh. 

y 

2 

la pressione aumenta 

linearmente con la profondità. 


♠

vasi comunicanti 

p o p o p o p o 

♠ 

p o 

stessa 

altezza 

p 1 

p 2 p 1 =p 2 

il liquido è in quiete → p 1 = p 2 ; 

→ h 1 = h 2 → il liquido è alla stessa altezza in tutti i vasi; 

[NB : è necessario che tutta la superficie del liquido sia a pressione p o ] 


Il barometro 

•p atm + ρgh 1 = p =0 + ρg(h 1 +h 2 ); 

•p atm = ρ g h 2 ; 

p=0 

vuoto 

h 2 

l’altezza della colonna di liquido (mercurio) 

non dipende né dalla forma dei tubi, né 

dall’altezza h 1 , ma solo dalla densità ρ e 

dalla pressione atmosferica p atm . Si può 

misurare p atm in mm-Hg ( = h 2 ). 

p atm 

ρ 

h 1 


♠

→ 

F 1 

La pressa idraulica 

S 1 

p 1 p 2 

p 1 = F 1 / S 1 = p 2 = F 2 / S 2 ; 

S 2 

→ 

F 2 

F 2 = F 1 × S 2 / S 1 >> F 1 ; 

È un moltiplicatore di forza 

(una “leva idraulica”) 

" lavoro, per spostamenti d 1 e d 2 (= d 1 × S 1 / S 2 ) : 

L 2 = F 2 × d 2 = [F 1 × S 2 / S 1 ] × [d 1 × S 1 / S 2 ] = F 1 × d 1 = L 1 . 

[le forze sono conservative → l’energia meccanica si conserva 

→ il lavoro speso sul pistone 1 viene integralmente restituito sul pistone 2] 


♠

Principio di Archimede 

" cubetto, di lato d, parallelo alla verticale; 

→ 

F 1 

→ 

F 2 

p 1 

" 6 forze, dovute alla pressione, sui lati; 

" 4 forze (due coppie) si annullano; 

" restano F 1 = p 1 ×d 2 e F 2 = p 2 ×d 2 ; 

p 2 

" F TOT = F 1 - F 2 = (p 1 - p 2 ) × d 2 ; 

F TOT = (p 1 - p 2 ) × d 2 = ρ liquido g d × d 2 = V corpo ρ liquido g = m liquido g; 

“la forza di Archimede è pari alla forza peso del liquido spostato, 

ed è diretta verso l’alto” 

la forza totale sul corpo è 

F Arch + F peso = (m liquido - m corpo ) g = (ρ liquido - ρ corpo ) V g 

[→ navi, etc.] 


♠

fluido ideale 

in fluidodinamica si definisce il “fluido ideale” : 

! incompressibile (i.e. ρ è costante, indipendente da p, 

v, T, h, ...); 

! viscosità nulla (η = 0, lavoro di scorrimento nullo); 

! moto non rotazionale (cfr. i vortici nei fiumi); 

! moto “laminare” (= le traiettorie delle molecole del 

fluido sono linee che non si chiudono e non variano 

nel tempo). 

Concetto di “tubo di flusso” : 


♠

Dinamica dei fluidi 

S 2 

♠ 

S 1 

→ 

v 

tubo di flusso 

nel tempo ∆t, dati due volumi uguali, di area ⊥ S 1 e S 2 : 

• attraverso S 1 : m 1 = ρ V 1 = ρ d 1 S 1 = ρ 1 v 1 ∆tS 1 ; 

• attraverso S 2 : m 2 = ρ V 2 = ρ d 2 S 2 = ρ 2 v 2 ∆tS 2 ; 

• ρ 1 = ρ 2 → m 1 = m 2 → v 1 S 1 = v 2 S 2 ; 

→ portata Q = dV / dt [= v 1 S 1 = v 2 S 2 ] = costante. 

NB : v ∼ 1 / S (!!!), cfr. le automobili in autostrada ! quale è la differenza ? 

Soluzione : ρ ≠ costante 


legge di Bernoulli (1) 

S 2 ,v 2 , 

→ 

h 

v 

2 ,p 2 

S 1, v 1 ,h 1 ,p 1 


" esprime la conservazione dell’energia nel moto dei fluidi; 

" calcoliamo variazione di energia cinetica, lavoro della 

gravità, lavoro delle forze di pressione tra i punti 2 e 1, per 

una piccola massa m, che occupa un volume V (m = ρ V) : 

! ∆K = K 2 - K 1 = ½ m v 22 -½m v 12 = ½ ρ V (v 22 - v 12 ); 

! ∆L G = L 12,G = - mg (h 2 - h 1 ); 

! ∆L P = L 2,P - L 1,P = - (p 2 S 2 δ 2 - p 1 S 1 δ 1 ) = - (p 2 - p 1 ) V; 


♠


spiegazione dei termini : 

S 2 ,v 2 , 

→ 

h 

v 

2 ,p 2 

S 1, v 1 ,h 1 ,p 1 

δ 


S 

→ 

v 

h = quota (→ energia 

potenziale); 

p = pressione; 

v = velocità; 

S δ = V = m / ρ. 


♠


S 2 ,v 2 , 

→ 

h 

v 

2 ,p 2 

S 1, v 1 ,h 1 ,p 1 


" teorema dell’energia cinetica : ∆K = ∆L G + ∆L P → 

½ ρ V (v 22 - v 12 ) = - m g (h 2 - h 1 ) -(p 2 - p 1 ) V; [ dividere / V ] 

½ ρ (v 22 - v 12 ) = - ρ g (h 2 - h 1 ) - (p 2 - p 1 ); 

½ ρ v 22 + ρ g h 2 + p 2 = ½ ρ v 12 + ρ g h 1 + p 1 ; 

[riarrangiare i termini] 

[i due punti sono generici] 

½ ρ v 2 + ρ g h + p = costante; 

NB : “costante” → la somma dei tre termini è la stessa, se calcolata in tutti i 

punti del tubo di flusso; inoltre, non varia nel tempo. 


♠

Fine parte 2 

Paolo Bagnaia - CTF - 2 - Meccanica dei Fluidi ♠ 15

Fenomeni termici 

• calore e temperatura; 

• dilatazione termica; 

• calorimetria; 

• passaggi di calore; 

• cambiamenti di fase; 

• 1° principio della termodinamica; 

• trasformazioni termodinamiche; 

• i gas perfetti; 

• 2° principio della termodinamica; 

• il ciclo di Carnot; 

• l’entropia. 

Paolo Bagnaia - CTF - 3 - Termodinamica 1 

♠

Calore e temperatura 

!attenzione : calore ≠ temperatura !!! 

[molti esempi : stufe e cerini, ...] 

! termometro : misura della temperatura; 

! principio 0 della termodinamica : “due corpi, in 

equilibrio termico con un terzo, sono in equilibrio tra 

loro” [NB equilibrio termico = stessa temperatura]; 

! definizione di temperatura (poi, meglio) : 

• 0° = ghiaccio fondente (a pressione atmosferica); 

• 100° = acqua bollente (” ” ” ); 

! termometro a gas (scala assoluta, vedi oltre). 


♠

dilatazione termica 

dato empirico : T aumenta → i corpi si dilatano 

[modellini microscopici]. 

a) dilatazione lineare, parametro “α” (in gradi C -1 ) : 

∆L = L α∆T; 

α = (∆L / L) (1/ ∆T ); 

α ≈ 10 -5 ÷ 10 -6 C -1 

∆L 

b) dilatazione di volume, parametro “β” : 

∆V = V β∆T ; 

β = (∆V / V ) (1/ ∆ T ); 

β ≈ 3 α. [... segue ...] 

T 

T+∆T 


♠

calcolo della dilatazione termica 

∆V / V = (V’ -V) / V = 

= [(L + ∆L) 3 - L 3 ] / L 3 = 

= [L 3 + 3L 2 ∆L + ... - L 3 ) / L 3 = 

≈ 3L 2 ∆L / L 3 = 3 ∆L / L. 

∆L 

T 

T+∆T 

β = (∆V / V) (1/ ∆T ) = 

≈ 3 (∆L / L) (1/ ∆T ) = 

= 3 α. 


♠

il calore 

" il calore è l’energia che si trasferisce da un 

corpo all’altro, a causa delle differenze di 

temperatura; 

" pertanto, si misura in J (= joule); 

" altra unità (obsoleta) : caloria (= calore 

necessario per innalzare di 1 C la massa di 1 

g di acqua); 

" conversione : 

! 1 Joule = 0.2389 calorie; 

! 1 caloria = 4.186 Joule 


♠

calorimetria 

! descrive i trasferimenti di calore, senza studiarne le 

cause [analogia : cinematica]; 

! definizioni : 

• capacità termica C di un corpo : calore necessario ad innalzare di 

un grado la temperatura del corpo [per una trasformazione 

generica : Q = C ∆T ]; 

• calore specifico c di una sostanza : calore necessario ad 

innalzare di un grado la temperatura di un grammo della sostanza 

[per una trasformazione generica : Q = m c ∆T, C = m c ]; 

• calore specifico “molare” c m di una sostanza (gas) : calore 

necessario ad innalzare di un grado la temperatura di una mole* 

della sostanza [per una trasformazione generica : Q = n m c m ∆T, 

C = n m c m ]. 

[*] 1 mole : N A 

molecole; N A 

= numero di Avogadro = 6.02 × 10 23 . 


♠

passaggi di calore 

il calore va “spontaneamente” 

dal corpo più freddo a quello 

più caldo, fino a che la 

temperatura dei due corpi non 

diventa la stessa. 

⏐Q(1→2) ⏐ = ⏐Q(2→1)⏐; 

m 1 c 1 ⏐T f - T 1 ⏐= m 2 c 2 ⏐T f - T 2 ⏐; 

m 1 c 1 (T 1 - T f )= m 2 c 2 (T f - T 2 ). 

T 1 Q→ T 2 

T 1 > T 2 

↓ 

T f 


♠

cambiamenti di fase 

per certi valori critici dei parametri della 

materia (ex. ghiaccio a 0° a pressione atmosferica), 

una immissione di calore non provoca 

aumento di temperatura, ma un cambio 

di “fase” (stato di aggregazione della 

materia (ex. da solido a liquido) ); 

“calore latente” L = quantità di calore 

necessaria per il cambiamento di fase di 

una quantità unitaria di massa del 

materiale (ex. L[acqua↔ghiaccio] = 333 KJ / Kg) : 

Q = L m. 

m 

↓ Q = L m 


♠

trasmissione del calore : conduzione 

• passaggio del calore tra due corpi a contatto (a livello 

microscopico : piccoli urti tra molecole contigue); 

• legge della conduzione : 

A 

L 

T 1 

T 2 

H = dQ/dt = k A (T 1 - T 2 ) / L 

k = coefficiente di conduzione, dipende 

dal materiale : 

# metalli : k grande, 10÷500 W / (m K); 

# isolanti termici : k piccolo, .01÷1 W / (m K). 


♠

trasmissione del calore : convezione 

• il liquido, scaldandosi, si 

dilata → diviene meno 

denso → risale per il 

principio di Archimede; 

→in alto fluido caldo, in 

basso fluido freddo; 

• molto comune in natura 

(pentole di cucina, 

atmosfera terrestre, ...); 

NB : la gravità gioca un 

ruolo : scaldare dal basso 

o dall’alto è differente ! 

discesa 

principio di 

Archimede 

espansione 


♠

trasmissione del calore : irraggiamento 

• le onde elettromagnetiche (v. oltre) trasportano energia, in 

assenza di materiali intermedi; 

• la potenza irraggiata è data dalla legge di Stefan-Boltzmann : 

W irr = ε σ A T 4 . 

emittanza della 

superficie ( ≤ 1 ) 

temperatura 

(Kelvin, vedi) 

A 

costante di S.-B. 

(5.67×10 -8 W/m 2 K 4 ) 

area del corpo 

(m 2 ) 


♠

termodinamica 

Concetti fondamentali (vedi libro di testo) : 

# stati micro-scopici e macro-scopici; 

# parametri micro- e macro-scopici; 

# equilibrio termodinamico; 

# trasformazioni termodinamiche; 

# trasformazioni reversibili (e non-reversibili); 

# variabili di stato (ex. p V T U S ); 

# variabili definite dalla trasformazione (ex. L Q ); 

# equazioni (= leggi) di stato; 

# principi della termodinamica (leggi delle trasformazioni). 


♠

Lavoro in una trasformazione 

dL = F · ds = (pA) ds = p dV ; 

L = ∫ pdV; [NB p è la pressione esterna] 

dV 

p 

F → 

L’ ≠ 

L 

2 1 

NB : in questo esempio, L > 0 

V 


♠

precisazione : calore e lavoro 

secondo le nostre convenzioni : 

# L = + ∫ pdV [ L > 0 se il volume aumenta ]; 

[ L < 0 ” ” ” diminuisce ]. 

# Q > 0 se il sistema (ex. gas) assorbe calore; 

Q < 0 se il sistema (ex. gas) cede calore; 

NB in letteratura, altre convenzioni : 

Q ↔ - Q; L ↔ - L 

controllate bene 

il vostro testo !!! 


♠

esperimento di Joule 

• i processi termodinamici, in cui il 

lavoro si trasforma in calore, non 

sono conservativi : L non si 

trasforma in energia potenziale 

meccanica, ma “scompare” 

dando origine a calore; 

• equivalenza calore ↔ lavoro 

(Joule); → 

• il lavoro non si “conserva”; forse 

la somma algebrica di calore e 

lavoro è una quantità che si 

conserva ... 

1 caloria = 4.186 Joule 


♠

1º principio della termodinamica 

• separatamente, Q e L dipendono dalla trasformazione 

(cioè non sono variabili di stato); 

• si osserva sperimentalmente che la differenza “Q - L” è 

una variabile di stato (= per tutte le trasformazioni con 

gli stessi stati iniziale e finale, “Q - L” è lo stesso); 

• si definisce ∆U (= variazione di “energia interna”) la 

differenza “Q - L” (→ U è una variabile di stato); 

• 1º principio della termodinamica : 

∆U = Q - L 


♠

1º principio della termodinamica : commenti 

• 1º principio della termodinamica : ∆U = Q - L ; 

• l’enunciato precedente è corretto, ma può indurre in 

errore : ∆U, Q, L non sono grandezze fisiche definite 

operativamente, tra cui il principio stabilisce una 

relazione [cfr. ad ex. “pV = nRT”]; 

• il significato fisico del principio è invece che la 

differenza “Q - L” è una variabile di stato (cioè è la 

stessa per tutte le trasformazioni con gli stessi stati 

iniziale e finale). 


♠

Trasformazioni adiabatiche, isocore, isobare, 

isoterme, cicliche, libere 

! adiabatiche : senza scambi di calore con l’esterno 

(Q=0 →∆U =-L); 

! isocore : senza cambiamenti di volume della sostanza 

(∆V =0 → L = 0 →∆U = Q); 

! isobare : senza cambiamenti di pressione sulla 

sostanza (L = p ∆V →∆U = Q - p ∆V ); 

! isoterme : a temperatura costante (dipende dalla 

sostanza, ex. gas perfetto →∆U = 0 → Q = L ); 

! cicliche : stato finale = stato iniziale (∆U = 0 → Q = L ); 

! libere (espansione libera) : p = 0 ; Q = L = 0 (∆U = 0). 


♠

grafici di trasformazioni adiabatiche, isocore, 

isobare, isoterme, cicliche, libere 

p 

adiabatica 

isocora 

isoterma 

ciclica 

Esempi di trasformazioni 

libera * 

isobara 

NB * solamente stati di equilibrio (e pertanto trasformazioni che si discostano 

“poco” dall’equilibrio [ reversibili ] ) possono essere disegnate sul piano p-V. 

V 


♠

il “gas perfetto” 

• semplice sistema termodinamico, su 

cui è facile ragionare; 

• buona approssimazione per gas reali 

rarefatti e ad alta temperatura; 

• caratteristiche : 

! numero molecole grande (~ N A ); 

! volume (gas) >> volume (proprio); 

! urti elastici tra molecole e con pareti; 

! uniche forze presenti : collisioni (tra 

molecole + pareti); 

• in pratica : p piccola, ρ piccola, T grande. 


♠

Equazione di stato dei gas perfetti 

• equazione verificata sperimentalmente : 

p V = n R T 

• p : pressione del gas; 

• V : volume occupato; 

• n : numero di moli (= n molecole / N A , oppure m / m molare ); 

• R = 8.31 J / (mol K), costante dei gas perfetti (la 

stessa per tutti i gas); 

• T = temperatura in gradi Kelvin (= C + 273.16°). 


♠

Trasformazioni isoterme dei gas perfetti 

• isoterme a T = T * : 

pV = nRT * → L = ∫ p dV = nRT * ∫ dV/V = nRT * ln (V F / V I ); 

p 

T 3 

T 1 < T 2 < T 3 

T 2 

T 1 

NB isoterme reversibili 

V 


♠

teoria cinetica dei gas (1) 

# modello di gas perfetto con una scatola a forma di cubo, di lato 

d, una sola molecola di massa m e velocità v, parallela (caso a) 

alle pareti della scatola; 

# urti molecola-pareti elastici, m scatola >> m ; 

(a) 

m v → 

# variazione di quantità di moto nell’urto : 

∆q = m v prima - m v dopo = 2 m v ; 

d 

# pertanto, la forza media su ogni faccia è : 

F a media = ∆q / t 2d = 2 m v / [ 2 d / v ] = m v 2 / d ; 

# caso b : v con direzione qualsiasi; 

# in media, dal teorema di Pitagora : 

= = = / 3; 

m v → 

d 

(b) 

segue ... 


♠


m v → 

# pertanto, in media : 

F b d 

media = m / d = m / ( 3 d ) ; 

# consideriamo ora il caso di N molecole : 

[ n ≡ n moli ; M ≡ m mole ; N = nN A ; N m = m TOT = n M ] ; 

(b) 

F TOT = Σ i F b i = N m / ( 3 d ) = n M / ( 3 d ); 

# pressione su una faccia (principio di Pascal : p FACCIA = p GAS ≡ p ) : 

p = F TOT / S = nM / ( 3 d 3 )= nM / ( 3 V ) = ρ / 3; 

# “velocità quadratica media” = √ : 

3 pV 3 

v 2 = = 

nM 

RT 

M 


♠


dN/dv 

3pV 3RT 

v 2 = = 

nM M 

T 2 > T 1 

# fƒ(T) i 

≡ numero ≡ distribuzione molecole di Maxwell con 

velocità delle velocità v → f i 

(calcolabile) 

i = f i (T ); ; 

# Σ∫ ƒ(T i f i (T 1 ) 1 

dv ) = = Σ∫ i ƒ(T f i 2 ) dv = N; = N; 

# v [f 1 

≡ max [ƒ(T)] i] = vel. = vel. più più probabile; 

# v Σ 2 

≡ ∫ƒ(T) i f i v i 

dv / N / = N vel. = vel. media; 

# v 3 ≡√


# per gas reali a T ambiente (controllare) : 

√ ≈ 100 ÷ 1000 m/s; 

# per un gas perfetto monoatomico : 

U = Σ i ½ m i v i2 = ½ m Σ i v i2 × N / N = ½ Nm ×√ = 

= ½ Nm ×3 R T / M = 3 n R T / 2 ; 

3pV 3RT 

v 2 = = 

nM M 

# cioè U (= energia interna) è solo funzione di T (= temperatura) 

[ questo risultato è vero per tutti i gas perfetti, anche non monoatomici ] ; 

! curiosità : distribuzione di Maxwell f(v) : 

/ 2 

⎛ 

2 

⎛ M ⎞ 2 − Mv ⎞ 

f(v) = 4π⎜ 

⎟ v exp⎜ 

⎟ 

⎝ 2πRT 

⎠ 

⎝ 2RT 

⎠ 

3 

T 


f 

♠ 

v

calori specifici dei gas perfetti (1) 

# definizione di calore specifico molare : c x = Q / ( n ∆T ) ; 

# [differente dal calore specifico “di massa”, più usato per solidi e 

liquidi : c = Q / ( m ∆T ) ] ; 

# problema : a parità di ∆T, Q (e quindi c) dipendono dalla 

trasformazione che porta il gas da T a T+∆T ; 

# l’indice “x” in c x indica la trasformazione prescelta; 

# i calori specifici più comunemente studiati sono : 

# c p (a “pressione costante”); 

p 

# c v (a “volume costante”). 

T +∆T 

c p 

c v 

♠ 

T 

V 

Paolo Bagnaia - CTF - 3 - Termodinamica 27


# isocora ( c v ) : 

! L = 0 → ∆U = Q = n c v ∆T → c v = ∆U / ( n ∆T ); 

! monoatomico : U = 3 n R T / 2 → ∆U = 3 n R ∆T / 2 ; 

c v 

mono 

= ∆U / ( n ∆T ) = c v 

mono 

= 3 R / 2 ; 

# isobara ( c p ) : 

! L = p (V F - V I ) = n R (T F - T I ) = n R ∆T 

→∆U = Q -L = nc p ∆T - n R ∆T ; 

! U = U(T) → ∆U v = ∆U p 

→ nc v ∆T = nc p ∆T - n R ∆T 

→ c p - c v = R ; 

! monoatomico : 

c p 

mono 

= c v 

mono 

+ R = c p 

mono 

= 5 R / 2 . 

p 

c p 

c v 

♠ 

T +∆T 

T 

V 



tabella riassuntiva per c v , c p , γ : 

mono- 

bi- 

poli- 

p 

T +∆T 

T 

V 

c v 3R/2 5R/2 6R/2 

c p 5R/2 7R/2 8R/2 

γ = 

5/3 7/5 8/6 

c p / c v 

c p 

c v 

♠ 


trasformazioni adiabatiche (Q = 0) 

• Legge delle adiabatiche : 

[ NB facile, ma non dimostrare ] 

p 

T 1 

V 1 

γ-1 

= T 2 

V 2 

γ-1 

; 

I 

p 1 

V 1γ = p 2 

V 2γ ; 

mat. : γ > 1 → adiabatica più “ripida” che isoterma; 

fisica : Q = 0 → ∆U = - L → 

∆V > 0 → L > 0 → ∆U < 0 → ∆T < 0. 

F 

T 1 

T 2 

V 


♠

legge delle adiabatiche 

dimostrazione [per curiosità] : 

• 1º princ. → dU = nc v dT = dQ - p dV = - p dV ; 

• eq. gas → pdV + Vdp = nRdT = n(c p -c v )dT = nc v dT (γ-1); 

• - p dV (γ - 1) = p dV + V dp → V dp = - γ p dV; 

• dp / p = - γ dV / V ; 

• ln (p f / p i )=-γ ln (V f / V i ) = 

= ln [ (V i / V f ) γ ] ; 

p 

I 

• p f V f γ = p i V i 

γ 

[QED]. 

F 

T 1 

T 2 

V 


♠

2º principio della termodinamica (1) 

[elenco di fatti sperimentali che sono permessi dal 1º principio, 

ma non avvengono nel mondo reale ...] 

! [Kelvin] non esiste una trasformazione, il cui unico 

risultato sia trasformare integralmente calore in lavoro 

da una sorgente ad un’unica temperatura; 

! [Clausius] non esiste una trasformazione, il cui unico 

risultato sia trasferire calore da un corpo più freddo ad 

uno più caldo. 

T 

L 

no !!! 


T 1 

Q 

T 1

2º principio della termodinamica (2) 

! due enunciati non indipendenti, ciascuno dimostrabile a partire 

dall’altro [facile, ma un po’ artificioso, non lo facciamo ...] ; 

! principio basato sul concetto di “unico risultato”; 

! quindi, occorre definire trasformazioni, in cui lo stato iniziale 

coincida con quello finale ( cicli ), e discutere Q e L in queste 

trasformazioni; 

! definizione di “rendimento termodinamico di un ciclo” η : 

η≡| L | / | Q assorbito | = ( | Q assorbito | - | Q ceduto | ) / | Q assorbito | ; 

NB : • | x | significa “valore assoluto” di x; 

• per il 1° principio, in un ciclo ∆U = 0 → L = | Q assorbito 

| - | Q ceduto 

| . 


♠

il ciclo di Carnot : definizione 

p 

Trasformazione ciclica composta 

da 4 trasformazioni elementari 

reversibili di un gas perfetto : 

a 

d 

b 

c 

T 1 

T 2 

V 

1. a-b : isoterma a T = T 1 ; 

2. b-c : adiabatica T : T 1 → T 2 ; 

3. c-d : isoterma a T = T 2 ; 

4. d-a : adiabatica T : T 2 → T 1 ; 

Q 

L 

∆U 

a-b 

+ 

+ 

0 

L TOT = ♦ 

b-c 

0 

+ 

- 

c-d 

- 

- 

0 

d-a 

0 

- 

+ 

TOT 

+ 

+ 

0 


♠

il ciclo di Carnot : rendimento 

# Q ab = L ab = nRT 1 ln(V b / V a ) ; 

# Q cd = L cd = -nRT 2 ln(V c / V d ) ; [NB : ln (a/b) = - ln (b/a) ] 

# ⏐Q ab / Q cd ⏐ = T 1 / T 2 [ ln(V b / V a ) / ln(V c / V d ) ]; 

# T 1 V 

γ-1 

b = T 2 V 

γ-1 

c ; 

p 

# T 1 V 

γ-1 

a = T 2 V 

γ-1 

d ; 

# (V b / V a ) γ-1 = (V c / V d ) γ-1 a 

; 

# V b / V a = V c / V d ; 

b 

# ⏐Q ab / Q cd ⏐ = T 1 / T 2 ; 

# η = (⏐Q ab ⏐- ⏐Q cd ⏐) / ⏐Q ab ⏐= 

d 

= 1 - T 2 / T 1 . 

c 

T 1 

T 2 

V 


♠

ciclo di Carnot : conclusioni 

• il ciclo di Carnot è reversibile : pertanto, possiamo 

pensare di percorrerlo in senso inverso (“frigorifero”); 

• teorema di Carnot : 

“nessuna macchina termica 

operante tra le temperature 

T 1 e T 2 (< T 1 ) può avere 

rendimento superiore al ciclo 

di Carnot” : 

η x ≤η carnot = 1 - T 2 / T 1 ; 

p 

a 

d 

b 

c 

T 1 

T 2 

V 


♠

entropia S : trasf. reversibili 

• definizione (provvisoria) : 

in una trasformazione reversibile ∆S = ∫ 

F 

I dQ / T ; 

• nel ciclo di Carnot : isoterme ∆S = Q / T ; 

adiabatiche ∆S = 0; 

in totale : ∆S TOT = Q 1 /T 1 + 0 + Q 2 /T 2 = 0; [*] 

• una qualsiasi trasformazione ciclica reversibile può 

essere approssimata da una somma di cicli di Carnot; 

• pertanto ∆S = 0 in ogni ciclo reversibile. 

• pertanto S è una funzione di stato. 

[*] : ⏐Q 1 / Q 2 ⏐ = T 1 / T 2 → Q 1 / T 1 = - Q 2 / T 2 . 


♠

cicli reversibili e ciclo di Carnot 

p 

Si può sempre approssimare un ciclo 

reversibile (—) con una “spezzata” di 

isoterme (—) e di adiabatiche (—), che 

approssimano il ciclo con la precisione 

desiderata. 

isoterme 


V 

♠

entropia S : trasf. irreversibili 

• in una trasf. irreversibile, ∆S = ∫ I 

F 

dQ / T non è 

definita !!! 

• soluzione : S è una funzione di stato ; 

→ per calcolare ∆S in una trasf. irreversibile, si sceglie 

una trasf. reversibile con gli stessi stati iniziale e finale, 

si calcola ∆S REV e si definisce ∆S IRREV = ∆S REV ; 

p 

F 

IRREV. (non disegnabile) 

REV 1 ; 

∆S 1 = ∆S 2 = ∆S IRREV 

I 

REV 2 

V 


♠

entropia : espansione libera 

• espansione libera V → 2V : 

Q = 0, L = 0 →∆U = 0 → T = cost. 

∆S = ∫ dQ / T = 1/T × ∫ dQ = Q / T = 0 

no !!! 

V, gas V, vuoto 

• calcoliamo lungo l’isoterma reversibile (∆U = 0) : 

∆S = ∫ dQ / T = 1/T ∫ dQ = 1/T ∫ dL = 

= ( 1/T ) nRT ln ( V F / V I ) = nR ln ( V F / V I ) = nR ln 2 . 


♠

entropia : riscaldamento irreversibile 

# due corpi, entrambi di massa m e calore specifico c, posti a 

contatto, raggiungono l’equilibrio termico con una trasformazione 

non reversibile; 

# calcoliamo le due variazioni di entropia utilizzando due 

trasformazioni reversibili, e.g ottenute ponendo entrambi i corpi a 

contatto con termostati, e poi diminuendo lentamente la 

temperatura del termostato; 

# ∆S 1 = ∫ dQ / T = mc ∫ dT / T = mc ln (T F / T I ) = mc ln [ T / (T+∆T ) ]; 

# ∆S 2 = ∫ dQ / T = ... ... = mc ln [ T / (T-∆T ) ]; 

# ∆S TOT = ∆S 1 + ∆S 2 = mc ln [ T 2 / ( T 2 - ∆T 2 ) ]; 

NB ∆S TOT > 0. 

T+∆T 

Q→ 

T-∆T 


♠

entropia di un gas perfetto 

• consideriamo una qualsiasi trasformazione di un gas perfetto, tra 

uno stato I [p I V I T I ] e uno stato F [p F V F T F ] ; 

• calcoliamo ∆S lungo una qualsiasi trasf. reversibile tra I e F : 

# dU = dQ - dL → dQ = dU + dL ; [ tr. reversibile ] 

# dQ = n c v 

dT + p dV = n c v 

dT + n R T dV / V ; [ gas perfetto ] 

# dQ / T = n c v 

dT / T + n R dV / V ; 

# ∆S = ∫ dQ / T = n c v ln ( T F / T I ) + n R ln ( V F / V I ) ; [ T V ] 

= n (c v 

+ R ) ln ( V F 

/ V I 

) + n c v 

ln ( p F 

/ p I 

) ; [T F 

/ T I 

= p F 

V F 

/ p I 

V I 

] 

# ∆S = n c p ln ( V F / V I ) + n c v ln ( p F / p I ) ; [ p V ] 

= n c p ln ( T F / T I ) + n ( c v - c p ) ln ( p F / p I ) ; 

# ∆S = n c p ln ( T F / T I ) - n R ln ( p F / p I ) ; [ p T ] 


♠

entropia : conclusioni 

a) l’entropia è una funzione di stato → non dipende dalla 

trasformazione, ma solo dagli stati iniziali e finali → il calcolo è 

valido per qualsiasi trasformazione; 

b) alternativamente, si può usare il calcolo precedente per 

dimostrare che, poichè ∆S dipende solo dagli stati iniziale e 

finale → S è una funzione di stato. 

p 

F 

dU = dQ - dL 

I 

V 


♠

Fine parte 3 

Paolo Bagnaia - CTF - 3 - Termodinamica ♠ 44

Elettromagnetismo 

! elettrostatica 

" legge di Coulomb; 

" campo elettrico; 

" teorema di Gauss; 

" potenziale elettrostatico; 

" capacità e condensatori; 

" campi elettrici nella materia; 

! correnti continue 

" leggi di Ohm; 

" forza elettro-motrice; 

" resistenze e circuito RC; 

! campi magnetici 

" legge di Biot-Savart; 

" legge di Ampère; 

" solenoide; 

" toroide; 

! induzione 

elettromagnetica 

" legge di Faraday- 

Neumann-Lenz; 

" induttanza; 

" circuito RL; 

! equazioni di Maxwell 

[vedi → onde elettromagnetiche] 

Paolo Bagnaia - CTF - 4a - Elettrostatica 1 

♠

La legge di Coulomb nel vuoto 

→ 

F 

= 

4 

1 

π 

ε 0 

q 

1 

2 

12 

r 

q 

2 

ε 0 = 8.85 × 10 -12 C 2 / [N m 2 ] ; 

1/(4πε 0 ) = 8.99 × 10 9 N m 2 / C 2 

r 

!""#""$ 

12 

q 1 q 2 

+ - 

+ + 

- - 


♠

la legge di Coulomb : commenti 

• nuova unità MKS : coulomb [ C ] (molto grande) ; 

• q 1 e q 2 nel vuoto; ε 0 = “costante dielettrica del vuoto” ; 

• analoga alla legge di gravitazione, tranne segno “ ±q ”; 

• la carica elettrica si conserva (cfr. massa) ; 

• la carica elettrica è discreta : q = ± N e [N molto grande] ; 

• q protone = 1.6 × 10 -19 C = -q elettrone = -e ; 

• natura simmetrica se q↔-q (tutte le cariche cambiano segno); 

• q elettrone < 0 → scelta (a posteriori, non troppo felice). 


♠

campi vettoriali 

definire : 

" sorgenti e pozzi; 

" linee di campo; 

" superfici equipotenziali; 

" flusso; 

" integrale di linea; 

+ 

- 


♠

linee di campo 

+ - 

ex. campo di dipolo 


♠

Il campo elettrico 

• concetto di campo vettoriale : v = v (x,y,z) ; 

+ 

• linee di campo escono da +q, entrano in -q ; 

• E = F / q 0 [ “carica esploratrice” ] ; 

• q puntiforme → E = q / ( 4πε 0 r 2 - 

) ; 

• q distribuzione qualsiasi, E(x,y,z) contiene l’informazione 

completa [è equivalente conoscere la distribuzione delle cariche, 

oppure il campo elettrico in tutto lo spazio] ; 

• il campo è additivo : E TOT = E 1 + E 2 + E 3 + ... 

• forza su carica q in (x,y,z) : F = E(x,y,z) × q ; 

• E si misura in N / C (oppure -vedi oltre - in V / m). 


♠

Campo elettrico di dipòlo 

• applicazioni importanti (ex. molecola d’acqua H 2 O) ; 

• caso particolare : lungo l’asse del dipolo : 

E TOT 

= E + + E − 

= 

1 

4π 

ε 

0 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

q 

− 

2 

( z − d / 2) ( z + d / 2) 

q 

2 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

= 

= 

q 

4π 

ε 

0 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

z 

2 

− 

dz 

1 

+ 

d 

2 

/ 

4 

− 

z 

2 

+ 

1 

dz + 

d 

2 

/ 

4 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

= 

= 

q 

4π 

ε 

0 

z 

z 

+ d 

z 

2 

− 

− 

z 

d 

+ 

2 

d 

= 

2qd 

4π 

ε 

0 

z 

3 

= 

qd 

2π 

ε 

0 

z 

3 

= 

p 

4π 

ε 

0 

z 

3 

- d 

+ 

z 

P 


♠

Flusso del campo elettrico 

• Definizione di flusso di un campo vettoriale v 

attraverso una superficie S, di cui n è il vettore unitario 

normale (versore) : 

Φ v (S) = v · n S 

Φ v (S) = ∫ v · n dS 

[oppure] 

• caso particolare : 

v è il campo elettrico E . 

NB : 

" S è una superficie geometrica “ideale”; 

" Φ v (S) è uno scalare, che dipende da vettori. 


S 

n^ 

♠ 

v →

Teorema di Gauss 

Data una superficie chiusa S 

elettrostatico E : 

ed un campo 

Φ E (S) = ∫ E · n dS = Σ i q i / ε o ; 

la somma algebrica Σ i è estesa a tutte le cariche 

contenute nella superficie S. 

NB • il teorema di Gauss è matematicamente equivalente alla 

legge di Coulomb; 

• è un potente strumento di calcolo dei campi elettrici (cfr. 

conservazione dell’energia in meccanica). 


♠

campi elettrici : carica puntiforme 

• carica puntiforme Q : 

E(r) = 1/(4πε 0 ) Q / r 2 ; 

Φ (E)= Σ ds E · n = 

S 

= 4πr 2 ×1/(4πε 0 ) Q/r 2 

= Q / ε 0 

Q 

Φ (E)= Σ ds E · n = 

= 4πr 2 × E = Q / ε 0 ; 

⇒ E(r) = 1/(4πε 0 ) Q / r 2 . QED 

E 


♠

conseguenze : 

campi elettrici : guscio sferico 

!un guscio sferico produce 

all’esterno lo stesso campo di 

una carica puntiforme; 

S 

!all’interno di un guscio sferico 

carico in modo uniforme il 

campo è nullo. 

Q 

E 


♠

campi elettrici : sfera piena 

sfera piena 

(raggio R, carica Q) : 

a) esterno (r>R) : 

E(r) = 1/(4πε 0 ) Q / r 2 ; 

R 

r 

b) interno (r

campi elettrici : filo carico 

• filo carico, densità λ = dQ/dx : 

Φ (E)= Φ (E, mantello) + Φ (E, tappi) = 

[Φ (E, tappi) = 0 ] 

= S E = 

= 2πrh × E = λ × h / ε 0 ; 

E = 1/(2πε 0 ) λ /r . 

[NB : E ∼ 1/r ] 

E 

r 


♠

campi elettrici : strato 

• strato carico piano, densità σ = dQ/dS : 

Φ (E) = Φ (E, mantello) + Φ (E, tappi) = 

[Φ (E, mantello) = 0 ] 

= 2S E = Q / ε 0 = σ S / ε 0 ; 

S 

E = σ / 2 ε 0 . 

E 

NB E non dipende dalla distanza punto-piano 

carico !!! capire bene le approssimazioni implicite ... 


♠

campi elettrici : doppio strato 

• doppio strato carico (due piani 

indefiniti paralleli, con densità ±σ) ; 

• tre zone dello spazio : a,b,c 

(somme vettoriali); 

+ - 

S 

a) E = 0; 

b) E = E + + E - = σ / ε 0 ; 

c) E = 0. 

0 0 

a) b) c) 


♠

conduttori ed isolanti 

• si chiamano “isolanti” quei corpi (ex. legno, vetro, ceramica) in cui 

le cariche elettriche NON possono muoversi; l’elettrostatica degli 

isolanti è simile a quella del vuoto (vedi oltre ε 0 →ε 0 ε r ); 

• si chiamano “conduttori” (ex. metalli) quei corpi, all’interno dei 

quali le cariche elettriche scorrono liberamente (meglio, gli 

elettroni degli orbitali esterni sono liberi); l’elettrostatica dei 

conduttori richiede che le cariche elettriche siano in equilibrio 

elettrostatico tra loro (cfr. l’acqua in un sistema di condotti). 

+ 

- 

- 

+ 

+ 

- + 

isolante 

- 

+ 

- 

- 

+ 

+ 

- + 

conduttore 

- 


♠

campo elettrico di un conduttore 

• situazione statica (= cariche ferme); 

• campo interno E = 0 (se E ≠ 0, le 

cariche si muovono); 

• teorema di Gauss per la superficie “…” 

→ carica nulla all’interno del corpo 

→ tutte le cariche (Q) si dispongono 

sulla superficie; 

• il campo E sulla superficie del corpo è 

ortogonale alla superficie stessa (la 

componente parallela metterebbe le 

cariche in movimento). 

E=0 

Q 

E 


♠

potenziale elettrico 

• la forza elettrostatica è conservativa (cfr. forza 

gravitazionale); 

• pertanto, esiste l’energia potenziale e.s. : 

∆U AB = U B - U A = -L AB = - ∫ 

B 

A F · dx ; 

• si definisce il “potenziale e.s.” V ; 

• ∆V AB è il lavoro della forza e.s. per portare una carica q 0 

dal punto A al punto B, diviso q 0 : 

∆V AB = V B - V A = ∆U AB / q 0 = -L AB / q 0 

A 

B 


♠

potenziale elettrico (2) 

• ∆V AB non dipende dal cammino della carica, ma solo dai 

punti iniziale e finale; 

• ∆V AB è l’integrale del campo elettrico tra A e B : 

∆V AB = - L AB / q 0 = - ∫ A 

B 

F · dx / q0 = - ∫ A 

B 

E · dx ; 

• nel caso di carica puntiforme q : 

∆V AB, puntiforme = - ∫ 

B 

A E · dx = q/(4πε0 ) [ 1/r B -1/r A ] ; 

• usualmente si sceglie la “costante” di V in modo che il 

valore di V(∞) sia zero : 

∆V ∞X = V X - V ∞ = V X 

A 

B 


♠

il volt 

• unità di misura MKS del potenziale elettrico : 

1 Volt = 1 V = 1 Joule / 1 Coulomb 

• utilizzando il Volt, il campo elettrico può essere 

misurato in : 

[campo] = [forza / carica] = N / C = 

= N × m / ( C × m ) = Volt / m 


♠

superficie equipotenziale 

• “superficie equipotenziale” : luogo dei 

punti con lo stesso potenziale [dati due 

punti A e B su una s.e., ∆V AB =0]; 

• se il campo è generato da una carica 

puntiforme, le s.e. sono sfere centrate 

nella carica; 

s.e. 

E 

• [si potrebbe dimostrare che] E in un punto è 

ortogonale alla s.e. passante nel punto. 


♠

capacità 

• si definisce “capacità elettrica” di un conduttore (C) il 

rapporto tra la carica portata sul conduttore e il 

corrispondente aumento di potenziale : 

C = Q / ∆V 

• C si misura in Farad (F) : 1 Farad = 1 F = C / V ; 

• per un conduttore isolato, ∆V ∼ Q → C non dipende da 

Q e da ∆V → dipende solamente dalla geometria dei 

conduttori; 

• si chiama “induzione completa” il caso in cui tutte le linee di campo che escono 

da un conduttore entrano in un secondo (ex. il doppio strato); 

• un sistema di conduttori in situazione di i.c. costituisce 

un “condensatore”. 


♠

condensatori 

• un condensatore è costituito da due 

“armature” (ex. piatti), una delle quali è 

caricata +Q (ex. con una pila, vedi oltre); 

• l’altra armatura, in condizioni di induzione 

completa, acquista una carica -Q ; 

• la carica totale del condensatore è Q TOT = 

= +Q -Q = 0; 

• in elettrotecnica, un condensatore si 

disegna come due sbarrette affacciate 

(vedi a lato); 

• in commercio si trovano c. da 10 -6 ÷10 -12 F. 

+ - 

- + 

- + 


♠

condensatore piano 

• campo tra le armature (doppio strato) E = σ / ε 0 ; 

• d.d.p. ∆V = ∫ E·dx = E d ; 

• carica Q = σ × S ; 

• capacità C = Q / ∆V = σ S / (E d) = σ S ε 0 / (σ d) 

= ε 0 

S / d. 

+ - 

d 

S 


♠

condensatore cilindrico 

• altezza del cilindro : h ; 

• campo tra le armature (filo carico) : 

E = [ 1/(2πε 0 ) λ/r = ] q / (2πε 0 

rh ) ; 

• d.d.p. ∆V = ∫ E·dr = q / (2πε 0 

h)ln (b/a) ; 

• carica Q = q ; 

• capacità C = Q / ∆V 

C = q (2πε 0 

h) / [q ln (b/a) ] = 

= 2πε 0 

h / ln (b/a) . a 

b 


♠

condensatore sferico 

• campo tra le armature (guscio sferico) : 

E = q / (4πε 0 r 2 ) ; 

• d.d.p. ∆V = ∫ E·dr = q / (4πε 0 )[1/a -1/b] ; 

• carica Q = q ; 

• capacità C = Q / ∆V = (4πε 0 ) / [1/a -1/b] 

= 4πε 0 

ab / (b - a) . 

a 

b 


♠

condensatori in serie / parallelo 

!serie : ∆V TOT = ∆V 1 + ∆V 2 ; q 1+ = q 1- = q 2+ = q 2- ≡ q; 

" ∆V TOT = q/C 1 + q/C 2 = q (1/C 1 + 1/C 2 ); 

" 1/C TOT = 1/C 1 + 1/C 2 . 

!parallelo: ∆V 1 = ∆V 2 ≡∆V ; q 1 = C 1 ∆V ; q 2 = C 2 ∆V; 

" q = q 1 + q 2 = C 1 ∆V + C 2 ∆V = (C 1 + C 2 )∆V ; 

" C TOT = C 1 + C 2 . 

C 1 

C 1 C 2 

C 2 

♠ 

Paolo Bagnaia - CTF - 4a - Elettrostatica 27

campi elettrostatici nella materia 

" spiegazione microscopica : se un isolante si trova in un 

campo elettrico, le sue molecole si deformano (→ piccoli 

dipoli) [oppure le molecole sono piccoli dipoli anche in 

assenza di campo elettrico, ex. acqua]; 

" i dipoli di allineano al campo elettrico, e in questo modo 

complicano la distribuzione di cariche; 

" → il campo totale è la risultante di tutti questi effetti; 

" regola empirica : ogni materiale possiede una “costante 

dielettrica” ε r , un numero puro > 1; le leggi dell’elettrostatica 

si modificano nella materia : ε 0 → ε 0 ε r ; 

" ex. legge di Coulomb : F = 1/(4πε 0 ε r ) Q/r 2 ; 

" capacità di un condensatore piano : C = ε 0 ε r S / d. 


♠

Fine parte 4a 

Paolo Bagnaia - CTF - 4a - Elettrostatica ♠ 29

la corrente elettrica 

+ 

+ + + + 

+ 

+ + 

+ 

+ 

- - 

- - 

- - 

- - 

• le cariche sono libere di muoversi all’interno dei 

conduttori; 

• una superficie ortogonale all’asse di un 

conduttore è attraversata da una carica q 

nell’unità di tempo : 

i = dq / dt 

! unità di misura : 1 Ampère = A = C / s. 

- 

+ 

- 

+ + 

- 

- 

- 

Paolo Bagnaia - CTF - 4b - Elettromagnetismo 1 

♠

densità di corrente 

• il conduttore ha superficie S, normale al suo asse; 

• si chiama “densità di corrente” J (vettore parallelo alla 

velocità delle cariche positive)[*] : 

⏐J⏐= J = i / S = 1/S dq/dt 

• detto n il numero di elettroni di conduzione per unità di 

volume, v la velocità media degli elettroni, e la loro 

carica [*] : 

q = N el e = n V e = (n S v ∆t ) e ; L S 

i = dq /dt = n S v e ; 

J = n v e . 

- - - - 

- - - - - - - 

[*] NB attenzione al verso, l’elettrone ha carica negativa !!! 


- - 

♠

leggi di Ohm 

• per molti conduttori (conduttori “ohmici”, ex. metalli) : 

V / i = costante = R 

• R i = R J S = V = E L → E = R J S / L ≡ρJ 

R = ρ L / S 

L 

S 

• R in Volt / Ampere = Ohm = Ω ; 

• ρ (resistività) dipende dal tipo di materiale e dalle sue 

condizioni (ex. temperatura); 

• ρ in Ω m; per i metalli ρ = (1 ÷ 50)×10 -8 Ω cm. 


♠

elettroni nei metalli 

! modello a “elettroni liberi”, di massa m e carica e : 

" senza campo elettrico, gli elettroni si muovono liberamente nel conduttore; 

" collidono con gli atomi del reticolo cristallino, in media dopo un tempo τ; 

" la velocità quadratica media dipende da : temperatura + effetti quantistici; 

" la velocità media vettoriale è nulla (v q.m. 

∼10 6 m/s, v M = 0); 

! un campo elettrico E modifica la situazione : 

" la velocità media vettoriale è data da F = ma = eE → v M = aτ = eEτ / m ; 

" poiché v M = J / ne → E = v M 

m / eτ = Jm / ne 2 τ [NB v M 

∼10 -5 m/s] ; 

" poiché E = ρJ →ρ= m / ne 2 τ ; 

! affinché la legge di Ohm sia valida, ρ deve essere costante e non 

dipendere da E → τ non dipende da E (vero se v M

energia nei circuiti elettrici 

• campo E : accelerazione costante degli elettroni; 

• legge di Ohm : corrente costante ( → v elettroni costante); 

• la resistenza dissipa energia (potenza dissipata); 

• calcoliamo gli effetti energetici della corrente : 

" dU = V dq = V i dt ; 

" potenza W = dU / dt = V i ; 

" W = V i = i 2 R = V 2 / R. 

[se R aumenta, W aumenta ? diminuisce ? ] 

R 

V 

- + 


♠

forza elettro-motrice 

• f.e.m. di un generatore : ƒ = dL / dq ; 

• differenza di potenziale (d.d.p.) ↔ (f.e.m.) ; 

• dL = ƒ dq = ƒ i dt = i 2 R dt → ƒ = i R [simile alla l. di.Ohm] ; 

• definizione di “resistenza interna” di un generatore; 

• NB : la forza associata alla f.e.m. NON è conservativa. 


♠

elementi dei circuiti : 

circuiti elettrici 

" generatore di f.e.m. ∆V = ƒ 

- + 

∆V 

" resistenza ∆V = R i 

R 

" condensatore ∆V = Q / C 

C 

" induttanza ∆V = L di/dt 

L 


♠

• definizione di 

! “generatore”; 

! “resistenza interna”; 

! “circuito”; 

! “nodo”; 

! “maglia”. 

• leggi dei circuiti : 

leggi dei circuiti 

! la somma algebrica delle d.d.p. in una maglia è nulla; 

! la somma algebrica delle correnti in un nodo è nulla; 

- + 

- + 


♠

esistenze in serie e in parallelo 

"serie : i 1 = i 2 ≡ i ; ∆V TOT = ∆V 1 + ∆V 2 ; 

! ∆V TOT = i R 1 + i R 2 = i (R 1 + R 2 ); 

! R TOT = R 1 + R 2 . 

"parallelo: ∆V 1 = ∆V 2 ≡∆V ; 

! i = i 1 + i 2 = ∆V / R 1 + ∆V / R 2 = ∆V (1/R 1 + 1/R 2 ); 

! 1 / R TOT = 1 / R 1 + 1 / R 2 . [ → R TOT = R 1 R 2 / (R 1 + R 2 )] 


♠

circuito RC : carica 

! legge dei circuiti : ƒ - i R - q / C = 0; 

! ƒ = i R + q / C ; q(t=0) = 0; 

! ƒ = R dq / dt + q / C ; [equazione differenziale] 

! q(t) = q C (t) = Cƒ [1 - e - t / (RC) ] ; 

! i(t) = dq / dt = ƒ e - t / (RC) / R ; 

! ∆V C (t) = q C (t) / C = ƒ [1 - e - t / (RC) ] ; 

! ∆V R (t) = R i(t) = ƒ e - t / (RC) ; 

R 

ƒ 

+ - 

C 

♠ 

NB : ∆V C (t) + ∆V R (t) = ƒ 

[QED] 

Paolo Bagnaia - CTF - 4b - Elettromagnetismo 10

circuito RC : carica (2) 

∆V 

∆V C = q C (t) / C 

∆V R = R i(t) 

ƒ 

R 

ƒ 

C 

0 

t 

+ - 

! ∆V C (t) = q C (t) / C = ƒ [1 - e - t / (RC) ] ; 

! ∆V R (t) = R i(t) = ƒ e - t / (RC) ; 


♠

circuito RC : scarica 

! non c’è più il generatore ƒ ; q(t=0) = q 0 ; 

! R dq / dt + q / C = 0; [equazione differenziale] 

! q(t) = q C (t) = q 0 e -t/(RC) = V 0 C e -t/(RC) ; 

! i(t) = dq / dt = - V 0 e -t/(RC) / R . [ NB : “-” ] 

| i(t) | 

V 0 /R 

R C 

i(t) 

0 t 


♠

energia di un condensatore 

• dall’eq. precedente [ i(t) = dq / dt = - V 0 e -t/(RC) / R ] : 

• W = V 2 / R = i 2 R = V 

2 

0 e - 2t / (RC) / R ; 

• L = ∫ W dt = V 0 

2 

/ R ∫ o 

∞ 

e 

- 2t / (RC) 

dt = ½ CV 0 

2 

; 

• altro metodo [portiamo una carica dq attraverso la ddp V ] : 

• dL = V dq = q dq / C ; 

• L = ∫ dL = ∫ o 

∞ 

q(t) / C dq = ½ q0 

2 

/ C = ½ CV 0 

2 

. 


♠

campo magnetico B 

• fenomeni magnetici in natura (calamita, elettrocalamita, 

etc.); 

• analogia : il campo elettrico E è definito dalla forza su 

una carica q ferma, il campo magnetico B dalla forza su 

una carica q in movimento con velocità v : 

F E = q E ↔ F M = q v ∧ B [ forza di Lorentz ] 

• B si misura in “Tesla” (T) : T = N / (C m / s ) = N / (A m) 

[in CGS anche Gauss (G) : 1 Gauss = 10 -4 T] . 


♠

campo B : esempi 

campo B costante lungo z : B = B k ; 

! v 1 lungo z : v 1 = v 1 k : 

! B ∧ v 1 = 0 → F M = 0; 

z 

! traiettoria rettilinea. 

! v 2 lungo y : v 2 = v 2 j : 

v 1 

v 2 

! F M = q v 2 B ; 

! forza costante in modulo, sempre 

ortogonale a v 2 ; 

! traiettoria : moto circolare uniforme; 

x 

B 

y 

! q v 2 B = m v 2 

2 

/ r → r = m v 2 / ( q B ). 

! v qualsiasi : traiettoria ad elica . 


♠

proprietà del campo magnetico 

• esperienza della “calamita spezzata”; 

• in natura, non esistono “monopoli magnetici”, l’analogo 

delle cariche elettriche per il campo magnetico; 

• dal punto di vista dei campi vettoriali, il campo 

magnetico non ha “sorgenti” né “pozzi”, le sue linee di 

campo sono tutte linee chiuse. 

N S N S N 

S 


♠

forza su un filo percorso da corrente 

[per semplicità, i ⊥ B] 

• su un elettrone nel filo {m, e, v} : 

F = e v B ; 

x B 

• su un tratto del filo { lunghezza L, sezione S, 

elettroni/Volume n } : 

F TOT = N el. e v B = n L S e v B = i L B ; 

i 

• definito un vettore L parallelo al filo, nel 

caso generale [angolo filo/campo qualsiasi] : 

F TOT = i L ∧ B. 


♠

legge di Biot-Savart 

un filo rettilineo indefinito, percorso da una 

corrente i genera in tutto lo spazio un campo 

magnetico B, che in un punto P distante r dal 

filo vale : 

! il modulo |B| : 

B = µ 0 i / (2πr); µ 0 =1.26×10 -6 T m / A; 

! la direzione di B è tangente alla 

circonferenza, passante per il punto P, 

giacente sul piano ortogonale al filo e 

centrata nel filo; 

r 

i 

P 

B 

! il verso di B segue la “regola della mano 

destra” (pollice || i, indice || B); 


♠

analogia E ↔ B : 

correnti → campi magnetici 

• una carica elementare dq genera un campo elettrico : 

dE = 1 / (4πε 0 ) dq r / r 3 ; 

• un pezzetto elementare di filo ds percorso da corrente i 

genera un campo magnetico : 

dB = µ 0 / (4π) i ds ∧ r / r 3 . 

i 

dB 

× 

dq 

r 

dE 

ds 

r 


♠

spira percorsa da corrente 

spira di raggio percorsa da corrente i : 

! dB = µ 0 / (4π) ids ∧ r / r 3 ; 

! s ⊥ r ; 

! B = µ 0 

i / (4π) ∫ ds / r 2 = µ 0 

i / (4π) 2πr / r 2 = 

= µ 0 i / (2r). 

i 

r 

B 


♠

due conduttori paralleli 

! la corrente i 1 genera un campo magnetico che esercita 

una forza sul filo 2 [ F 12 ] ; 

! la corrente i 2 genera un campo magnetico che esercita 

una forza sul filo 1 [ F 21 ] ; 

! F 12 = i 2 L B 1 = µ 0 L i 1 i 2 / (2πd) = i 1 L B 2 = F 21 ; 

! correnti concordi → forze attrattive; 

! correnti discordi → forze repulsive. 

i 1 i 2 

NB questo metodo è quello realmente usato per misurare 

con precisione le correnti (→ definizione dell’ Ampère) 

d 


♠

la legge di Ampère 

il valore di ∫ B · ds (prodotto scalare tra il campo 

magnetico e l’elemento di linea), calcolato per una 

linea chiusa è uguale alla somma algebrica delle 

correnti concatenate con la linea chiusa, moltiplicato 

per µ 0 : 

→ 

→ 

∑ ( i) 

∫ B ⋅ ds = µ ± 

o 

concatenat 

e 

B 

ds 

x i 1 

• i 2 


♠

la legge di Ampère : commenti 

" c’è parallelismo tra elettrostatica e magnetismo : 

carica ↔ legge di Coulomb ↔ legge di Gauss ; 

corrente ↔ legge di Biot-Savart ↔ legge di Ampère. 

→ 

→ 

∑ ( i) 

∫ B ⋅ ds = µ ± 

o 

concatenat 

e 

B 

ds 

x i 1 

• i 2 


♠

la legge di Ampère : filo indefinito 

• [si ritrova il valore della legge di Biot-Savart] 

• ∫ B ·ds = 2π r B = µ 0 i → 

→ B = µ 0 i / (2π r ). 

→ 

→ 

∑ ( i) 

∫ B ⋅ ds = µ ± 

o 

concatenat 

e 

B 

r 

• i 

ds 


♠

• ∫ B ·ds = 

la legge di Ampère : solenoide 

= ∫ a,int B ·ds + ∫ b B ·ds + ∫ a,ext B ·ds + ∫ b B ·ds = 

= ∫ a,int B ·ds = B a = µ 0 i TOT = µ 0 i N = µ 0 i n a → 

→ B = µ 0 in. 

b 

a 

B 


♠

la legge di Ampère : toroide 

• ∫ B ·ds = B 2π r = µ 0 i TOT = µ 0 i N → 

→ B = µ 0 iN / (2π r ). 

B 

r 


♠

legge di Faraday-Neumann-Lenz 

• Φ (B) =∫ B ·dA = ∫ B ·n dA; 

• 1 Weber = 1 Tesla × 1 m 2 ; 

• Φ (B) non dipende dalla scelta della 

superficie A, è lo stesso per tutte le 

superfici delimitate dalla stessa linea; 

• legge di F.-N.-L. : quando il flusso 

concatenato con una spira varia nel 

tempo, si induce nella spira una f.e.m. 

S 

N 

ƒ= -d Φ (B) / d t. 


♠

legge di Lenz 

• se la spira è conduttrice, con 

resistenza R, si genera una corrente : 

i = - 1/R dΦ (B) / d t; 

• la corrente i, a sua volta, genera un 

campo magnetico, il cui flusso si 

oppone alla variazione di flusso che lo 

ha generato (significato del “-”) : 

B → Φ (B) → dΦ (B) / dt → ƒ → i → 

B’ → Φ (B’) opposto a Φ (B). 

B 

(aumenta) 

i 

B’ 


♠

correnti indotte 

• B ⊥ A ; A costante ; B varia : 

ƒ= -dΦ/dt = - d(BA) / dt = -A dB/dt; 

i = A/R dB/dt. 

• B ⊥ A ; B costante ; A varia (ex. si stringe) : 

ƒ= -dΦ/dt = - d(BA) / dt = -B d(bh)/dt = Bhv; 

i = Bhv / R; F = ihB = B 2 h 2 v / R; W = B 2 h 2 v 2 / R. 

h 

• 

B 

v 


♠

correnti alternate 

• in una spira rotante in un campo 

magnetico costante si induce una 

corrente “alternata”, di periodo pari 

a quello della rotazione della spira; 

• B = costante; A = costante; 

θ = angolo(B,A) = ωt ; 

ƒ= -dΦ /dt = -BA d(cosθ) / dt 

= BA ω sin(ωt); 

i = BA ω sin(ωt) / R. 

B 


♠

induttanza 

• [simile alla capacità in corrente continua]; 

• dato un circuito elettrico di N spire, attraversato da una 

corrente i, che induce un campo magnetico B, il cui 

flusso concatenato è Φ(B), si definisce “induttanza” del 

circuito il valore 

L ≡ N Φ (B) / i 

• ex. solenoide di lunghezza d, area A, N spire : 

B = µ 0 in → NΦ (B) = ( n d )( B A ) = µ 0 i n 2 d A → 

L = µ 0 n 2 d A [N.B. L non è funzione della corrente i ]. 


♠

autoinduzione 

• in una bobina di induttanza L passa una corrente 

i, variabile nel tempo : 

ƒ= -dΦ /dt = - d [ iL ]/dt = - Ld i /dt 

• L si misura in henry : 

1 henry = 1H = 1 T · 1 m 2 / 1 A. 


♠

•-iR - Ldi/dt + ƒ = 0; 

•ƒ= iR + Ldi/dt ; 

• i = ƒ / R [1 - e -tR/L ]; 

circuito RL (cenni) 

R 

L 

∆V 

∆V R = R i 

ƒ 

ƒ 

+ - 

∆V L = -Ldi/dt 

0 

t 


♠

equazioni di Maxwell (cenni) 

tutto l’elettromagnetismo in quattro equazioni : 

A. legge di Gauss del campo elettrico (→ legge di Coulomb) : 

∫ S E · dA = q / ε 0 ; 

B. legge di Gauss del campo magnetico (→ calamita spezzata) : 

∫ S B · dA = 0; 

C. legge dell’induzione di Faraday : 

∫ L E · ds = -d Φ (B) /d t ; 

D. legge di Ampère (+ correzione di Maxwell) : 

∫ L B · ds = µ 0 ε 0 d Φ (E) /d t + µ 0 i. 


♠

Fine parte 4b 

Paolo Bagnaia - CTF - 4b - Elettromagnetismo ♠ 35

Onde e ottica 

!Onde 

" proprietà delle onde; 

" onde sonore; 

" il decibel; 

!Ottica 

" la luce; 

" il principio di Huygens; 

" la rifrazione; 

" ottica geometrica; 

" riflessione e rifrazione; 

" specchi, lenti, microscopi. 

Paolo Bagnaia - CTF - 5 - Onde e oscillazioni 1 

♠

le onde 

• onde del mare, corde vibranti, onde elettromagnetiche ... 

• fenomeno periodico (T); 

• caso semplice : onda sinusoidale in due dimensioni; 

• l’onda si muove nello spazio e nel tempo. 

y 

t=0 

t=T/2 

t=T/4 

x 


♠

parametri delle onde 

• y(x,t) = A sin (kx -ωt ) = 

= A sin (2πx/λ -2πt/T ); 

• ampiezza A ; 

• periodo T = 2π / ω ; 

• lunghezza d’onda λ = 2π / k. 

y 

λ 

y 

x=0 

A 

A 

x 

t=0 t 

T 


♠

velocità delle onde 

• [attenzione al significato di “velocità”] ; 

• in un tempo T [= periodo] una cresta si sposta di una 

distanza λ [= lunghezza d’onda]; 

• più in generale, v si calcola da : kx - ωt = costante; 

• v = ∆x / ∆t = λ / T = ω / k = λν ; 


♠

il suono 

• le onde sonore sono “longitudinali”; 

• il mezzo vibrante è il corpo interposto tra la sorgente 

(ex. violino) e il ricevitore (ex. orecchio) : in genere aria; 

• il metodo elementare di propagazione sono gli urti tra le 

molecole del mezzo; 

• il mezzo, in media, non si muove; 

• i fronti d’onda sono sfere centrate nella sorgente. 

min 

max 

min max 

v onda 

S 


♠

misura del suono : il decibel 

• la sorgente emette suoni con potenza W S ; 

• un ricevitore a distanza r, di superficie S, riceve una 

potenza W R = W S × S / (4 π r 2 ) ; 

• si definisce “intensità sonora” I = W R / S = W S / (4 π r 2 ); 

• l’intensità sonora si misura in Watt / m 2 ; 

• altro modo di misurare (più usato) : 

β = log 10 (I / I 0 ) [=“bel”]; 

I 0 = 10 -12 W / m 2 = intensità minima udibile; 

intensità in decibel (dB) = 10 × β = 10 log 10 (I / I 0 ). 


♠

le onde elettromagnetiche 

[trattazione qualitativa, si può dimostrare dalle eq. di Maxwell] 

• le onde e.m. sono onde trasversali del campo e.m. ; 

• la loro velocità nel vuoto è costante [c=3×10 8 m/s] ; 

• c = 1 / √ε 0 µ 0 ; 

• “costante” significa indipendente da : 

" proprietà delle onde (frequenza, lunghezza d’onda, ampiezza); 

" sistema di riferimento della misura (¿?) → relatività speciale; 

• pertanto, per un’onda e.m. nel vuoto : 

λν = c, 

i.e. lunghezza d’onda e frequenza non sono 

indipendenti, λ = c / ν , ν = c / λ. 


♠

proprietà delle onde e.m. 

y 

E 

x 

• x : propagazione dell’onda; 

• y : campo elettrico E; 

z 

z 

z 

y 

• z : campo magnetico B. 

B 

B 

x 

E 

y 

x 


♠

la luce 

λ (m) 

10 8 ÷ 10 4 onde lunghe 10 1 ÷ 10 4 

10 3 ÷ 10 -1 onde radio 10 5 ÷ 10 10 

luce visibile 

10 -3 ÷ 10 -6 infrarosso 10 11 ÷ 10 14 

700 ÷ 400nm visibile 4÷7.5×10 14 

700 nm 400 nm 

10 -7 ÷ 10 -9 ultravioletto 10 15 ÷ 10 17 

10 -9 ÷ 10 -11 raggi X 10 17 ÷ 10 19 

10 21 

ν (Hz) 


♠

principio di Huygens 

s 

principio di Huygens 

“la luce si propaga con onde sferiche. 

Tutti i punti sulla superficie di un fronte 

d’onda si comportano come sorgenti 

puntiformi di un nuovo fronte d’onda 

sferico. L’onda totale è data 

dall’inviluppo delle onde elementari”. 

t=0 

t=s/c 


♠

principio di Huygens - fenditure 

! caso (a) : una 

fenditura, 

onda sferica; 

! caso b) : due 

fenditure, due 

onde sferiche, 

interferenza. 

a) b) 


♠

indice di rifrazione 

• la velocità v della luce nei mezzi è minore di 

quella nel vuoto; 

• definiamo l’indice di rifrazione n : 

n = c / v 

c 

•se v ≤ c : 

1 ≤ n ≤∞ 

v=c/n 

• n dipende da : 

" proprietà del mezzo; 

" [quasi indipendente dalle] proprietà della luce (λ). 


♠

• note le proprietà dei mezzi 

[n 1 , n 2 , v 1 =c/n 1 , v 2 =c/n 2 ] e le 

proprietà del raggio incidente 

[λ 1 , θ 1 ], trovare le proprietà 

del raggio rifratto [λ 2 , θ 2 ]; 

• ∆t 1 = λ 1 / v 1 = ∆t 2 = λ 2 / v 2 → 

→λ 1 / λ 2 = v 1 / v 2 ; 

• triangoli BAC e BDC : 

BC = λ 1 / sin θ 1 = λ 2 / sin θ 2 → 

→ sin θ 1 / sin θ 2 = λ 1 / λ 2 

= v 1 / v 2 

= n 2 / n 1 

[legge della rifrazione] 

rifrazione 

λ 1 

θ 1 

n 1 ,v 1 

B 

A 

θ 2 

D 

n 2 ,v 2 λ 2 

C 


♠

• approssimazioni : 

ottica geometrica 

" “dimentichiamo” che la luce è un’onda e.m.; 

" assumiamo che sia data da “raggi” che si propagano in linea 

retta nei mezzi omogenei trasparenti; 

" alcuni mezzi sono riflettenti (= specchi) → leggi della 

riflessione; 

" assumiamo valida la legge della rifrazione (riformulata, vedi 

seguito) quando i raggi incontrano una superficie di 

separazione tra due mezzi trasparenti; 

• ricaviamo, con semplici dimostrazioni geometriche, leggi 

valide per specchi, lenti, microscopi, occhio umano, 

macchine fotografiche, etc. 


♠

leggi della riflessione 

• leggi della riflessione: 

1) angolo di incidenza θ = angolo di riflessione; 

2) raggio incidente, raggio riflesso e normale coplanari. 

[NB se superficie riflettente non planare, si prende la normale nel 

punto di incidenza → ex. specchi sferici] 

θ 

θ 


♠

ifrazione in ottica geometrica 

λ 1 

θ 1 

n 1 ,v 1 

B 

A 

θ 2 

D 

n 2 ,v 2 λ 2 

C 

θ 1 

n 1 ,v 1 

θ 2 

n 2 ,v 2 

ottica ondulatoria (legge di Huygens) → ottica geometrica (legge di Snell) 


♠

leggi della rifrazione 

• leggi della rifrazione (Snell- 

Cartesio) : 

1) legge dei seni : 

θ 1 = raggio inc. -normale 

θ 2 = raggio rifr. -normale 

sin θ 1 / sin θ 2 = n 2 / n 1 ; 

θ 1 

n 1 ,v 1 

θ 2 

2) raggio inc., raggio rifr., 

normale sono coplanari. 

n 2 ,v 2 


♠

il prisma 

• n dipende da λ per tutti i materiali 

• ex. quarzo : 

" n(λ=400 nm) = 1.52; 

" n(λ=500 nm) = 1.51; 

" n(λ=700 nm) = 1.50; 

• un prisma investito da un raggio 

di luce bianca (mistura di più λ) 

separa la luce di differenti λ; 

→ escono raggi colorati; 

• ex arcobaleno. 

luce 

bianca 


♠

" sin θ 1 / sin θ 2 = n 2 / n 1 ; 

→ sin θ 2 = n 1 / n 2 sin θ 1 ≤ 1; 

riflessione totale 

→ sin θ 1 ≤ n 2 / n 1 ; 

→θ 1 ≤ asin(n 2 / n 1 ) ; 

• se θ 1 > θ c = asin(n 2 / n 1 ) 

→ riflessione totale (ex. fibre 

ottiche). 

n 1 

n 2 

n 2 < n 1 


♠

specchi piani 

• riflessione; 

• def. di oggetto e immagine; 

• immagine reale o virtuale; 

• immagine diritta o capovolta; 

• per gli specchi piani : 

" |p| = |i| ; 

" i = - p ; 

" immagine virtuale, diritta. 

o 

i 

[per convenzione, p>0, i>0 se reale, 

i

specchi sferici : elementi 

definizioni : 

• specchio concavo (ex, altri casi 

possibili); 

S 

• PC = r = raggio dello specchio; 

• OC = asse dello specchio; 

P 

• F = fuoco = punto in cui 

convergono tutti i raggi paralleli 

all’asse; 

C 

F 

O 

• OF = f = distanza focale; 

• dimostreremo : 

f = ½ r. 


♠

specchi sferici : dimostrazione 

dimostrazione : 

• α≈PS / OS = PS / p ; 

• β≈PS / CS = PS / r ; 

• γ≈PS / IS = PS / i ; 

• OPC : α + θ + ( 180 - β ) = 180 ; 

• OPI : α + 2 θ + ( 180 - γ ) = 180 ; 

• 2 α + 2 θ = 2 β ; 

• α + 2 θ = γ ; 

• α = 2 β - γ ; 

• α + γ = 2 β ; 

1 / p + 1 / i = 2 / r [... segue] 

POC = α = ♦ 

PCI = β = ♦ 

PIS = γ = ♦ 

OS = p ; 

CS = r ; 

IS = i ; 

OPC = CPI = θ. 


O 

C 

I 

♠ 

P 

S

[ ... segue ] 

specchi sferici : equazione 

1 / p + 1 / i = 2 / r ; 

" per def., se p → ∞⇒i → f ; 

" 0 + 1 / f = 2 / r ; 

" f = r / 2 [QED] ; 

" 1 / p + 1 / i = 1 / f . 

NB. nella dim., non si usa la direzione 

dei raggi; pertanto, i ↔ p . 

" i = f p / (p - f); 

" p < f ⇒ immagine virtuale; 

" p > f ⇒ immagine reale; 

" p = f ⇒ ??? ; 

" ingrandimento m = | i | / | p | . [no dim.] 

O 

C 

POC = α = ♦ 

PCI = β = ♦ 

PIS = γ = ♦ 

OS = p ; 

CS = r ; 

IS = i . 

I 

P 

S 


♠

ifrazione su superfici sferiche 

• approssimazione : Q’ ≈ Q (cioè r grande, γ piccolo) ; 

• OPC : α + β + (180 - θ 1 ) = 180 →α+ β = θ 1 ; 

• IPC : γ + θ 2 + (180 - β) = 180 →γ+ θ 2 = β ; 

• n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 →θ 1 , θ 2 piccoli → n 1 θ 1 ≈ n 2 θ 2 ; 

• n 1 (α + β) ≈ n 2 (β - γ) → n 1 α + n 2 γ = β (n 2 -n 1 ) [ ... segue ... ] 

n 1 n 2 

♠ 

θ 1 

P 

θ 2 

O 

α β γ 

Q’ Q 

C 

I 

p 

r 

i 

Paolo Bagnaia - CTF - 5 - Onde e oscillazioni 24

ifrazione su superfici sferiche (2) 

• n 1 

α + n 2 

γ = β (n 2 -n 1 ) ; 

• sinα≈α≈PQ / p ; sin β≈β≈PQ / r ; sin γ≈γ≈PQ / i ; 

• n 1 / p + n 2 / i = (n 2 -n 1 ) / r ; 

• la formula non dipende da α→tutti i raggi uscenti da O convergono in I ; 

• noti i mezzi (n 1 , n 2 , r), p ↔ i ; 

• non dipende dal verso dei raggi → oggetto e immagine possono scambiarsi. 

θ 1 

P 

θ 2 

O 

n 1 n 2 

α β γ 

Q’ Q 

C 

♠ 

I 

p 

r 

i 

Paolo Bagnaia - CTF - 5 - Onde e oscillazioni 25

lenti sottili 

• prendiamo n 1 ≈ 1, n 2 = n ; 

• passaggio 1 → 2 : 

1/p - n / i’ = ( n-1 ) / r 1 ; [“-”] 

• passaggio 2 → 1 : 

n / (i’+L) + 1/ i = (1 - n) / r 2 ; 

• L → 0 (“lente sottile”) ; 

• n / i’ = 1/p - ( n-1 ) / r 1 = 

= (1 - n) / r 2 - 1 / i ; 

• 1/p + 1/i = (n-1)(1/r 1 -1/r 2 ); 

n 1 n 2 n 

Q 1 

P 

O C 1 C 2 I 

p r 1 r 2 i 

i’ L 


♠

equazioni delle lenti sottili 

• 1/p + 1/i = (n-1)(1/r 1 -1/r 2 ); 

• p →∞⇒i → f (dist. focale); 

" Equazione delle lenti sottili : 

1 / p + 1 / i = 1 / f; 

" Equazione dei costruttori di 

lenti : 

1/ f = (n-1)(1/r 1 -1/r 2 ) . 

n 1 n 2 n 

Q 1 

P 

O C 1 C 2 I 

p r 1 r 2 i 

i’ L 


♠

immagine di una lente 

• Ex. lente convergente con oggetto “lontano” ; 

• altri casi possibili (ex lenti divergenti) ; 

• “costruzione dei raggi” ; 

• ingrandimento m = | i | / p (in questo caso m > 1). 

p 

i 

O 

F 1 

F 2 

I 

f 

f 


♠

microscopio 

• due lenti : “obiettivo” + “oculare” ; 

• l’immagine complessiva è virtuale e capovolta; 

• ingrandimento globale m = m 1 ×m 2 . 

obiettivo 

oculare 

I 

occhio 

O 


♠

Fine parte 5 

Paolo Bagnaia - CTF - 5 - Onde e oscillazioni ♠ 30

Liquidi viscosi 

! la viscosità; 

! moti di liquidi viscosi; 

! legge di Hagen-Poiseuille; 

! moto turbolento; 

! velocità di sedimentazione; 

! legge di Stokes. 

Paolo Bagnaia - CTF - 6 - seminari ♠ 1

viscosità 

F → F → ♠ 

A 

v → 

v=0 

s 

F = η A v / s : 

" A = area di due lamine di liquido, poste a distanza s; 

" v = velocità relativa delle lamine; 

" η = coefficiente di viscosità del liquido (funzione anche di 

temperatura, pressione); 

" F = forza di viscosità (due forze uguali ed opposte sulle due lamine). 

Paolo Bagnaia - CTF - 6 - seminari 2

coefficiente di viscosità 

• η si misura in N·m / (m 2·m/s) = Pa·s; 

• il valore varia con il tipo di liquido e la 

temperatura; alcuni valori in tabella : 

0° 

1.8×10 -3 Pa·s 

olio motore 

30° 

200×10 -3 Pa·s 

acqua 

20° 

1.0×10 -3 Pa·s 

glicerina 

20° 

1500×10 -3 Pa·s 

100° 

0.3×10 -3 Pa·s 

sangue 

37° 

4.0×10 -3 Pa·s 

aria 

20° 

0.018×10 -3 Pa·s 

plasma 

37° 

1.5×10 -3 Pa·s 

idrogeno 

0° 

0.009×10 -3 Pa·s 

alcool 

20° 

1.2×10 -3 Pa·s 

vapore 

100° 

0.013×10 -3 Pa·s 

Paolo Bagnaia - CTF - 6 - seminari 3 

♠

legge di Bernoulli 

[valida solo per liquidi non viscosi con η = 0] 

S 2 ,v 2 , 

→ 

v 

S 1, v 1 ,h 1 ,p 1 


h 2 ,p 2 

♠ 

½ ρ v 2 + ρ g h + p = costante; 

Paolo Bagnaia - CTF - 6 - seminari 4

moti di liquidi viscosi 

• discutiamo il moto di un liquido incompressibile, viscoso (η ≠0) in un condotto 

cilindrico piano di raggio R costante : 

1 v → 

L 

2 

r 

R 

• a causa della simmetria cilindrica, possiamo discutere il moto del liquido, 

considerando le forze tra “cilindretti” coassiali di altezza L, raggio di base r e 

spessore infinitesimo dr ; a causa della viscosità : 

v[r=R] = 0; v[r+dr] < v[r]; v[r=0] = v max 

. 

NB : usiamo “[ ]” per le dipendenze funzionali, “( )” nel solito modo algebrico; 

chiamiamo v’[r] = dv/dr; v”[r] = d 2 v/dr 2 → F viscosa 

[r] = η S v / d = η 2πrL v’[r] ; 

dv[r+dr]/dr = d [v + dv/dr · dr] / dr → v’[r+dr] = v’[r] + v”[r] · dr. 


♠

forze nei liquidi viscosi 

1 v → 

L 

2 

r 

R 

• su ogni cilindretto agiscono le pressioni sulla superficie di base (2πrdr) e le 

forze viscose del cilindretto più interno (r) e di quello più esterno (r + dr) : 

F pressione [lato 1] - F pressione [lato 2] = F viscosa [r] - F viscosa [r+dr]; 

• (p 1 -p 2 ) 2πrdr = η 2πrL v’[r] - η 2π(r+dr)L v’[r+dr] ; { / 2π, sviluppo di v’[r+dr] } 

• (p 1 -p 2 ) r dr = ηrLv’ - η(r+dr)Lv’ - η(r+dr)Lv” · dr ; {+-rv’, trascurare dr 2 , / dr } 

• (p 1 -p 2 ) r = -ηLv’ - ηrLv” = -ηL d [rv’] / dr ; {separazione di variabili} 

• (p 1 -p 2 ) ∫ r dr = -ηL ∫ d [rv’] → ½(p 1 -p 2 ) r 2 = -ηLr dv/dr + cost. 

r=0 ⇒ dv/dr = 0 ⇒ cost. = 0 → ½(p 1 -p 2 ) r 2 = -ηLr dv/dr. {... continua ...} 


♠

equazione dei liquidi viscosi 

1 v → 

L 

2 

r 

R 

• ½ (p 1 -p 2 ) r 2 = -ηLr dv/dr → (p 1 -p 2 ) r dr = - 2 ηL dv {integrare r = r ÷ R, v= v ÷ 0 } 

• ½ (p 1 -p 2 ) (r 2 -R 2 ) = - 2 ηL v; 

• v[r] = (p 1 -p 2 ) · (R 2 -r 2 ) / (4ηL). 

• notare : 

" il calo di pressione (p 1 

-p 2 

) / L; 

" la dipendenza da η : v ~ 1/η ; 

" l’andamento di v = v[r] → vedi 

" NB : in un liquido ideale v[r] = cost. 


v 

v * v * = v[r=0] = 

= (p 1 -p 2 ) R 2 / (4ηL) 

0 

R 

r 

♠

equazione di Hagen - Poiseuille 

• v[r] = (p 1 -p 2 ) · (R 2 -r 2 ) / (4ηL); 

• Q = dV/dt = ∫ v dS = ∫ 0 

R v[r] · 2πr dr = ∫ 0 

R (p1 -p 2 ) · (R 2 -r 2 ) / (4ηL) · 2πr dr = 

= 2π (p 1 -p 2 ) / (4ηL) · (R 2 · ½R 2 -¼R 4 ) = 2π (p 1 -p 2 ) / (4ηL) · ¼ R 4 = 

= π R 4 (p 1 -p 2 ) / (8ηL) {eq. di Hagen-Poiseuille} 

• notare : 

" Q ~ π R 4 , nei liquidi ideali Q ~ π R 2 (v = cost ⇒ Q ~ S); 

" ∆p = ZQ, con Z = 8ηL / (π R 4 ), analogo alle leggi di Ohm delle correnti elettriche; 

" Q ~ 1/L (“impedenza di un condotto”); 

" Q ~ 1/η (“impedenza di un condotto”); 

→ 

v 


♠

moti turbolenti 

• un liquido viscoso può scorrere in modo turbolento, 

caratterizzato da vortici; 

• l’equazione di Poiseuille non è più valida, il valore della 

portata Q è minore, non si può più descrivere il moto in 

modo matematicamente semplice; 

• la turbolenza insorge spontaneamente per alti valori del 

numero di Reynolds n R : 

• esperienza : 

n R = vdρ / η 

" v : velocità del liquido; 

" d : diametro del condotto; 

" ρ : densità; 

" η : viscosità. 

n R < 2000 → moto laminare; 

n R > 2000 → moto turbolento; 


♠

velocità di sedimentazione 

• una sferetta di raggio r e densità 

ρ S , scende in un liquido di viscosità 

η e di densità ρ L (ρ S > ρ L ) ; 

→ 

v 

• forza viscosa (“legge di Stokes”) : 

F viscosa = 6π ηrv ; 

• bilancio totale delle forze (asse verso il basso) : 

F TOT = ma = 4/3 π r 3 ρ S a = F peso -F archimede -F viscosa = 

= 4/3 π r 3 ρ S g - 4/3 π r 3 ρ L g - 6π ηrv; 

• a = g (1 - ρ L / ρ S ) - 9 ηv / ( 2 r 2 ρ S ); [... continua ...] 


♠

velocità limite 

• a = g (1 - ρ L / ρ S ) - 9 ηv / ( 2 r 2 ρ S ); 

• v[t=0] ≈ 0 → a[t=0] > 0 → v aumenta ... 

• v limite = v[a=0] = 2 r 2 g (ρ S - ρ L ) / (9 η) 

v 

! v = g t ; 

! v = gt(1-ρ L /ρ S ) ; 

! v limite ; 

! v[t]. 

0 

t 


♠

Gas reali 

! gas perfetto e gas reali; 

! equazione di van der Waals; 

! diagrammi di fase. 


♠

il “gas perfetto” 

1. sistema termodinamico costituito da N 

molecole; 

2. molecole in moto casuale, isotropo, 

governato dalle leggi degli urti; 

3. il numero N è grande (~ N A ), le 

fluttuazioni statistiche sono trascurabili; 

4. il volume proprio occupato dalle 

molecole è piccolo rispetto al volume 

totale del recipiente; 

5. le molecole non sono soggette ad altre 

interazioni, oltre gli urti elastici tra loro, 

e con le pareti del recipiente. 

pV = nRT 


♠

i gas reali - volume proprio 

(...) 

4. il volume proprio occupato dalle molecole è piccolo rispetto al volume 

totale del gas; 

(...) 

sostituire : 

4’) ogni molecola occupa un certo volume, 

( ex. r m = raggio tipico → V m = 4/3 π r m3 , 

V mole ≡ b = N A V m = 4/3 π N A r m 

3 

); 

ex. r m =2.5×10 -10 m → b = 4×10 -5 m 3 /mole = 4×10 -2 l/mole, 

da confrontare (T=300K, p=1 atm) con V=22.6 l/mole. 

nell’equazione di stato V → V’ = V - nb 

(importante a piccolo V) 


♠

i gas reali - forze intermolecolari 

(...) 

5. le molecole non sono soggette ad altre interazioni, oltre gli urti elastici 

tra loro, e con le pareti del recipiente. 

5’) esistono forze intermolecolari attrattive; 

esse aumentano la “pressione efficace” 

in funzione della densità : 

[ogni molecola sente una forza ~ al numero di molecole 

che ha in un piccolo intorno, i.e. ~ N/V; inoltre, il numero 

di molecole che si trovano in tale situazione è anche 

esso ~ N/V; in totale, effetto ~ (N/V) 2 , cioè ~ (n/V) 2 ] 

nell’equazione di stato p → p’ = p + a(n/V) 2 

(importante ad alta densità, i.e. alto n e/o piccolo V) 


♠

equazione di stato dei gas reali 

• equazione dei gas reali (di van der Waals) : 

(p + a n 2 / V 2 ) (V - nb) = n R T 

• p : pressione del gas; 

• V : volume occupato; 

• n : numero di moli (= n molecole / N A , oppure m / m molare ); 

• R : 8.31 J / (mol K), costante dei gas perfetti; 

• T : temperatura in gradi Kelvin (= C + 273.16°); 

• a,b : parametri dei gas reali, da determinare 

sperimentalmente per ogni gas. 


♠

p [10 5 Pa] 

500 

400 

500 K, 

gas perfetto 

CO 2 

n = 1 mole 

300 

500 K 

200 

344 K 

100 

b 

304 K 

T=264 K 

0 

0 100 200 300 V (cm 3 ) 400 


♠

diagrammi di fase 

• nel piano pT si scrivono le linee 

di separazione tra le fasi di un 

corpo 

• differente per ogni sostanza, 

ex. ~ acqua (scala ~ log); 

• lungo le linee coesistono due 

fasi; 

• A : punto triplo (i.e. le tre fasi 

possono coesistere); 

• C : punto critico (per T>T C , non 

c’è più liquido, solo gas); 

• l’acqua ha pendenza differente 

dagli altri materiali; 

---p 0 = 1 atm. 

p 

p C 

p 0 

p A 

(acqua) 

solido 


A 

T A 

liquido 

vapore 

— sublimazione 

— fusione 

— evaporazione 

C 

T C 

gas 

T 

♠

Fine 

Paolo Bagnaia - CTF - 6 - seminari ♠ 19

Esercizi di Fisica 

Paolo Bagnaia 

! Cinematica 

! Meccanica del punto 

! Meccanica dei sistemi 

! Meccanica dei fluidi 

! Termologia 

! Termodinamica 

! Elettrostatica 

! Correnti continue 

! Campo magnetico 

! Ottica. 

Paolo Bagnaia - CTF - 1a - Esercizi di cinematica ♠ 1

Alcune avvertenze 

1. Queste note sono il testo degli esercizi svolti a lezione, con una breve traccia delle 

soluzioni. Quindi non sostituiscono né un buon libro di esercizi, né le lezioni in aula. 

2. La soluzione serve come controllo dello svolgimento autonomo elaborato dallo 

studente. Non è molto utile guardarla subito dopo avere letto il testo, senza provare a 

risolvere l’esercizio senza aiuto esterno. 

3. Il livello degli esercizi è molto semplice, adatto ad una prima comprensione degli 

argomenti. Il livello degli esercizi d’esame è un po’ più difficile. Esiste anche una 

raccolta degli esercizi d’esame degli ultimi anni (rivolgersi all’ufficio dispense del 

Dipartimento di Fisica, Edificio Fermi, piano terreno). 

4. È buona norma risolvere un esercizio in modo simbolico, utilizzando lettere al posto 

dei valori numerici (ex. “v” per velocità, “m” per massa, etc.). Una volta ottenuta la 

soluzione, si potrà così controllare la correttezza delle dimensioni e la plausibilità del 

risultato. Poi si otterrà la soluzione numerica, sostituendo i valori dei dati. 

5. Talvolta i dati non usano sistemi di misura omogenei (ex. la velocità in Km/h e lo 

spazio in m). In questo caso è bene fare subito le “equivalenze”, passando ad un 

unico sistema di misura. 

P.B., Roma, Gennaio 2002. 

Paolo Bagnaia - CTF - 1a - Esercizi di cinematica 2

Cinematica 


Esercizi presi da Halliday-Resnick-Walker / Serway 

notazione : “HRW capitolo [esercizi]” oppure “S capitolo [esercizi]” 

" CINEMATICA : 

HRW 2 [1E, 3E, 9P, 11P, 13P, 19P, 29P, 33E, 35E, 37E, 39E, 41E, 43E, 47P, 

49P, 51P, 55P, 57P, 61E, 63E, 65E, 67E, 71P, 77P, 79P, 83P, 85P, 89P], 

HRW 3 [1E, 3E, 5P, 9E, 11E, 15P, 19E, 21E, 27P, 29P, 31P], HRW 4 [5E, 9E, 

19E, 21E, 23E, 25E, 27E, 31E, 37P, 41P, 47P, 51E, 53E, 55E, 57E, 59E, 61P, 

65P, 67E, 69E, 73E, 75P, 77P, 81P], S 1 [33, 35, 37, 39, 41, 49], S 2 [1, 

7,9,11, 13, 17, 21, 23, 25, 29, 33, 35, 37, 43, 47], S 3 [3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 

17, 19, 25, 27, 29, 31, 35, 37, 39, 41, 55]. 

Paolo Bagnaia - CTF - 1a - Esercizi di cinematica 4

Esercizio – Un’automobile viaggia per un certo tempo T alla velocità di 40 

Km/h e poi per lo stesso tempo alla velocità di 80 km/h. Trovare la velocità 

media. 

———————————— 

Soluzione – 

La velocità media si ottiene dalla definizione : 

v 

s 

v T 

+ v 

T 

+ v 

2 

tot 1 2 1 2 

m = = = = 60 Km / h 

Ttot 

T + T 

v 

. 

Non è necessario (ma non è neppure sbagliato) trasformare da Km/h a m/s. 

Paolo Bagnaia - CTF - 1a - Esercizi di cinematica 5 

♠

Esercizio – Un’automobile viaggia per un certo tempo T alla velocità di 40 

Km/h, percorrendo un cammino S, e poi per lo stesso tragitto alla velocità di 

80 km/h. Trovare la velocità media. 

———————————— 

Soluzione – 

La velocità media si ottiene dalla definizione : 

v 

m 

= 

s 

T 

tot 

tot 

= 

S + S 

S / v + S / v 

1 

2 

= 

1/ v 

1 

2 

+ 1/ v 

2 

= 

= 

( v 

1 

+ v 

2 

2 

) /( v 

1 

⋅v 

2 

) 

= 

2 v1 

⋅v 

v + v 

1 

2 

2 

= 

2 ⋅ 40 ⋅ 80 

40 + 80 

= 

53.3 

Km / h. 

NB – 1. È differente dal caso precedente (capire bene !!!); 

2. Non occorre trasformare da Km/h a m/s. 


♠

Esercizio – Una barca naviga controcorrente dal punto A al punto B alla 

velocità costante v 1 = 10 Km/h rispetto alla riva. Successivamente torna 

indietro alla velocità v 2 = 16 Km/h rispetto alla riva. Sapendo che il motore 

della barca ha lavorato al massimo della potenza in entrambi i percorsi, 

trovare la velocità della corrente e la velocità della barca rispetto alla corrente. 

———————————— 

Soluzione – 

La velocità della barca rispetto alla corrente (chiamata u) è la stessa nei due 

casi. Nel primo caso la velocità della corrente (chiamata w) si sottrae dalla 

velocità della barca, nel secondo si somma : 

v = u − w; 

v = u + w; 

1 

u = 

v 

1 

+ v 

2 

2 

2 

= 13 Km / h; 

B barca (u) A 

fiume (w) 

v2 

+ v1 

w = = 3 Km / h. 

2 

NB – Non c’è nessun bisogno di trasformare da Km/h a m/s, ma non è vietato. 


♠

Esercizio – Stessa situazione del caso precedente. Sono note la velocità 

della corrente (w=2Km/h) e la velocità della barca rispetto alla corrente 

(u=10Km/h). Calcolare la velocità media della barca. 

———————————— 

Soluzione – Definendo S la distanza tra A e B, la barca compie un tragitto 

totale 2S. Il tempo totale è facile da calcolare : 

v 

m 

s 

= 

T 

tot 

tot 

S + S 

= 

S / v + S / v 

1 

2 

= 

S /( u 

S + S 

+ w) 

+ S /( u 

= 

− w) 

= 

1/( u 

2 

+ w) 

+ 1/( u 

− w) 

= 

2( u 

u − v 

2 

2 

− v ) 

+ u + v 

= 

u 

2 

− v 

u 

2 

= 

100 − 

10 

4 

= 

9.6 

Km / h. 

B 

barca (u) 

A 

fiume (w) 


♠

Esercizio – Un’automobile, durante una frenata uniforme, passa in un minuto 

dalla velocità di 40 Km/h a quella di 28 Km/h. Trovare il valore della 

accelerazione e lo spazio percorso. 

Soluzione – 

———————————— 

v 1 = 40 Km/h = 11.11 m/s; v 2 = 28 Km/h = 7.78 m/s; 

a = (v 2 -v 1 ) / ∆t = (7.78 - 11.11) / 60 = - 0.055 m/s 2 ; 

v 1 

v 2 

[quale è il significato del segno “-” ???] 

∆t 

s = 1/2 a ∆t 2 + v 1 ∆t = - 0.5 · 0.055 · 60 2 + 7.78 · 60 = - 100 + 666.6 = 566.6 m. 


♠

Esercizio – Un treno si muove tra due stazioni, poste ad 1.5 Km di distanza. 

Percorre la prima metà del tragitto di moto uniformemente accelerato e la 

seconda di moto uniformemente ritardato. Data la velocità massima (50Km/h), 

calcolare il valore dell’accelerazione e il tempo totale di percorrenza. 

———————————— 

Soluzione – È sufficiente mettere a sistema le equazioni dello spazio e della 

velocità, e poi risolvere per T, a; prima bisogna trasformare la velocità in m/s : 

v 

max 

= 

⎛ 50 × 10 

⎜ 

⎝ 3.6 × 10 

3 

3 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= 13.88m 

/ s; 

⎧d 

⎪ 

⎪2 

⎨ 

⎪ 

⎪v 

⎩ 

1 ⎛T 

⎞ 

= a⎜ 

⎟ ; 

2 ⎝ 2 ⎠ 

max 

= 

T 

a ; 

2 

2 

⇒ 

⎧⎛T 

⎞ v 

⎪⎜ 

⎟ = 

⎪ 

⎝ 2 ⎠ a 

⎨ 

⎪d 

1 2 

⎪ = v 

⎩2 

2a 

max 

max 

; 

; 

⇒ 

⎧ 

⎪a 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎪T 

⎩ 

= 

= 

2 

max 

v 

d 

2v 

a 

max 

2 

13.88 

= 

1.5 × 10 

3 

= 217s 

= 

= 

0.128m 

/ s 

3min37s. 

2 

; 


♠

Esercizio [S 2.39] – In una gara sui 100 m, due atleti impiegano lo stesso 

tempo di 10.2 s. Il primo impiega 2 s in accelerazione costante, poi mantiene 

la velocità costante fino alla fine, mentre il secondo accelera per 3 s, poi 

mantiene la velocità costante. Determinare per ciascun concorrente 

l’accelerazione e la velocità massima. 

———————————— 

Soluzione – 

Primo concorrente : ½ a 1 t 12 +a 1 t 1 (T - t 1 ) = s tot ⇒ 

a 1 =s tot / (½ t 12 + t 1 T - t 12 ) = s tot / (t 1 T - ½ t 12 ) = 

= 100 / (2 · 10.2 - 0.5 · 2 2 ) = 5.43 m/s 2 ; 

v 1 =a 1 t 1 = 5.43 · 2 = 10.86 m/s; 

Secondo concorrente : ½ a 2 t 22 +a 2 t 2 (T - t 2 ) = s tot ⇒ 

a 2 =s tot / (½ t 22 + t 2 T - t 22 ) = s tot / (t 2 T - ½ t 22 ) = 

= 100 / (3 · 10.2 - 0.5 · 3 2 ) = 3.83 m/s 2 ; 

v 2 =a 2 t 2 = 3.83 · 3 = 11.5 m/s. 


♠

Esercizio [S 2.39 parte 2] – Nella stessa gara dell’es. precedente, quale 

concorrente si trova in testa dopo un tempo di 6 secondi ? 

———————————— 

Soluzione – 

Primo concorrente : s 1 = ½ a 1 t 12 +a 1 t 1 (t * -t 1 ) = 

= 0.5 · 5.43 · 2 2 + 5.43 · 2 · (6 - 2) = 54.3 m; 

Secondo concorrente : s 2 = ½ a 2 t 22 +a 2 t 2 (t * -t 2 ) = 

= 0.5 · 3.83 · 3 2 + 3.83 · 3 · (6 - 3) = 51.7 m; 

È in testa il primo concorrente di una distanza d = 54.3 - 51.7 = 2.6 m. 


♠

Esercizio – Un’automobile viaggia a 120 Km/h. Visto un ostacolo, il 

conducente riesce a fermarsi in 110 m. Quale è l’accelerazione e quanto 

tempo impiega ? 

Soluzione – 

———————————— 

v o = 120 Km/h = 33.3 m/s; 

s = v o T - 1/2 a T 2 ; 

v fin = 0 = v o -aT ⇒ 

T = v o / a; s = v o2 / a - 1/2 v o2 / a = 1/2 v o2 / a ⇒ 

a = v o2 / 2 s = 33.3 2 / (2 · 110) = 5.040 m / s 2 ; 

T = v o / a = 33.3 / 5.040 = 6.60 sec. 


♠

Esercizio – Una palla viene lanciata da terra verso l’alto con velocità iniziale 

di 12 m/s. 

a) Quanto tempo impiega a raggiungere il punto più alto della traiettoria ? 

b) Quanto vale la distanza da terra del punto più alto ? 

c) Dopo quanto tempo ricade a terra ? 

d) Con che velocità la palla tocca terra ? 

e) Quanto vale lo spazio totale percorso dalla palla ? 

———————————— 

Soluzione – 

a) v f -v i =gt⇒ t = (v f -v i ) / g = (0 - 12) / (-9.8) = 1.24 s; 

b) s = - 1/2 g t 2 + v i t = -0.5 · 9.8 · 1.24 2 + 12 · 1.24 = 7.3 m; 

c) t 2 = t [perché ???]; 

d) v terra = v i = 12 m/s [perché ???]; 

e) s tot = 2s = 14.6 m. 


♠

Esercizio [S 2.27] – Un oggetto viene lanciato da terra ad un’altezza di 4 m. Il 

tragitto dura 1.5 s. Determinare la velocità dell’oggetto : 

a) al momento del lancio; 

b) all’istante di arrivo. 

———————————— 

Soluzione – 

a) h = v o t - ½ g t 2 ⇒ v o = (h + ½ g t 2 ) / t = (4 + 0.5 · 9.8 · 1.5 2 ) / 1.5 = 10 m/s 

b) v fin =v o - g t = 10 - 9.8 · 1.5 = - 4.70 m/s; 

y 

che significa “-” 4.70 m/s ? (l’oggetto sta ricadendo). 

h 

x 


♠

Esercizio – Un uomo lancia un sasso dal tetto di un palazzo verso l’alto, con 

una velocità di 12.25 m/s. Il sasso raggiunge il suolo dopo 4.25 s. Si calcoli : 

a) l’altezza del palazzo; 

b) la massima altezza raggiunta dal sasso; 

c) la velocità con cui il sasso tocca il suolo. 

———————————— 

Soluzione – 

a) y = h + v o t-½gt 2 ; 

b) v(t) = v o -gt; 

y = 0 ⇒ h= ½ gt 2 -v o t = 0.5·9.8·4.25 2 - 12.25·4.25 =36.4 m; 

v(t) = 0 ⇒ t * =v o /g ; y max = y(t * ) = h + v o2 /g - ½ v o2 /g = h + ½ v o2 /g = 

= 36.4 + 0.5 · 12.25 2 · / 9.8 = 44.1 m; 

c) v suolo =v o -gt suolo = 12.25 - 9.8 · 4.25 = -29.4 m/s [che vuol dire “-” ?]. 


♠

Esercizio – Una barca naviga in un fiume, che ha una corrente di 1 m/s. Il suo 

motore è in grado di produrre una velocità di 2 m/s rispetto alla corrente. 

Trovare la velocità della barca rispetto alla riva in tre casi : 

a) barca in favore di corrente; 

b) barca contro corrente; 

c) barca che naviga a 90° rispetto alla corrente. 

Soluzione - 

———————————— 

a) 

v 

1 

= 

u 

+ w 

= 

3 

m / s; 

b) 

v 

2 

= 

u 

− w 

= 1 m / s; 

c) 

v 

3 

= 

u 

2 

+ v 

2 

= 

5 

= 

2.23 

m / s. 

v 

v 3 

u 


♠

Esercizio – Una barca a motore si dirige a 7.2 Km/h, in direzione 

perpendicolare alla riva. Però la corrente la fa approdare a 150 m più a valle 

di un fiume largo 500 m. Trovare la velocità della corrente e il tempo totale di 

attraversamento del fiume. 

———————————— 

Soluzione – I moti lungo gli assi sono indipendenti, ma durano lo stesso 

tempo totale T. Pertanto : 

v y = v motore = 7.2 Km/h = 2 m/s; 

v y = v motore = s / T ⇒ T = s / v y = 500 / 2 = 250 s = 4 min 10 s; 

v x = v corrente = d/T = 150 / 250 = 0.6 m/s. 

y 

d 

B 

fiume 

s 

x 

A 


♠

Esercizio – Un oggetto viene lanciato da una torre, alta 25 m, in direzione 

orizzontale, con velocità 15 m/s. A che distanza cade, rispetto al bordo della 

torre ? In quanto tempo ? 

Soluzione – 

———————————— 

in orizzontale : x = v x t; 

in verticale : y = h - ½ g t 2 ; 

di conseguenza : y = h - ½ g (x/v x ) 2 

y 

h 

y=0 ⇒ h = ½ g (x 1 /v x ) 2 ⇒ x 12 = 2 h v x2 / g ⇒ 

x 1 =v x (2 h / g) ½ = 15 (2 · 25 / 9.8) ½ = 33.9 m; 

t = x 1 /v x = 33.9 / 15 = 2.26 s. 

x 1 

x 


♠

Esercizio – Un cannone spara un proiettile alla velocità di 100 m/s. Si calcoli 

l’angolo rispetto al piano orizzontale che causa la gittata massima e il valore 

della gittata. Si calcoli inoltre l’angolo necessario per colpire un bersaglio a 

500 m di distanza. 

———————————— 

Soluzione – 

⎧ 

⎧ 

y 

⎪ x = vT cosϑ 

⎪ T = x /( v cosϑ) 

⎪ 

⎪ 

v o 

⎨ 

⇒ ⎨ 

⎪ 

2 

2 

y = vT sinϑ 

− 

1 

gT ⎪ 

2 

tan 

1 

gx 

⎪ 

⎪y 

= x ϑ − ; 

ϑ 

2 2 2 

⎩ 

⎩ 

v cos ϑ 

x 

sinϑ 

2v 

cos ϑ 2v 

sinϑ 

cosϑ 

v 

y = 0 ⇒ x = 0 oppure x = 

= 

= 

cosϑ 

g 

g 

gittata max per sin(2ϑ) = 1 ⇒ϑ= 45° ⇒ y max = v 2 /g = 1020 m; 

2 

sin2ϑ 

; 

g 

d = v 2 sin(2ϑ)/g ⇒ ϑ =asin(gd/v 2 )/2 = asin(9.8·500/100 2 )/2 = asin(0.49)/2 = 

= 14° 40’ 13” (o 59° 40’ 13”) [perché 2 sol. ???] 


2 

2 

2 

♠

Esercizio – Trovare la velocità angolare nei seguenti casi : 

a) la Terra che ruota attorno al Sole (supporre il moto circolare uniforme); 

b) la Terra che ruota attorno a se stessa; 

c) la lancetta delle ore; 

d) la lancetta dei minuti; 

e) la lancetta dei secondi. 

Soluzione – 

———————————— 

a) ω 1 = 2π / T 1 = 2π / (365 · 24 · 60 · 60) = 1.99 · 10 -7 rad/s; 

b) ω 2 = 2π / T 2 = 2π / (24 · 60 · 60) = 7.27 · 10 -5 rad/s; 

c) ω 3 = 2π / T 3 = 2π / (12 · 60 · 60) = 1.45 · 10 -4 rad/s; 

d) ω 4 = 2π / T 4 = 2π / (60 · 60) = 1.7 · 10 -3 rad/s; 

e) ω 5 = 2π / T 5 = 2π / 60 = 0.104 rad/s. 


♠

Esercizio – Determinare la velocità e la velocità angolare che deve 

mantenere un aeroplano all’equatore affinché il sole appaia fisso all’orizzonte. 

L’aereo deve volare verso est o verso ovest ? 

Soluzione – 

———————————— 

ω aereo = - ω Terra = 7.27 · 10 -5 rad/sec (vedi esercizio precedente); 

il segno “-” significa che l’aereo deve andare da est verso ovest; 

v aereo = ω ·r Terra = 7.27 · 10 -5 · 6.37 · 10 6 = 463 m/s = 1670 Km/h. 


♠

Esercizio – Un treno, affrontando una curva di raggio 150 m, nei 15 s che 

impiega a percorrere la curva rallenta da 90 Km/h a 50 Km/h. Calcolare 

l’accelerazione tangenziale e normale nel momento in cui la velocità è 50 

Km/h, assumendo che il treno continui a decelerare. 

———————————— 

Soluzione – 

a) trasformiamo da Km/h a m/s : 

v 1 = 90 Km/h = 25.0 m/s; v 2 = 50 Km/h = 13.9 m/s; 

b) l’accelerazione tangenziale : a 

media 

T = (v -v 2 1 ) / T = -0.74 m/s 2 ; 

c) accelerazione radiale : a 

centripeta 

R = v 22 / r = 1.29 m/s 2 ; 

d) accelerazione totale (modulo), poiché a T ea R sono ortogonali : 

a 

2 2 

2 2 

tot = aT 

+ aR 

= ( −0.74) 

+ 1.29 = 

1.49m 

/ s 

NB – se il treno non continuasse a decelerare, a T =0, a tot =a R . 


2 

. 

♠

Fine 


Meccanica del 

punto 

Paolo Bagnaia - CTF - 1b - Esercizi di meccanica del punto e dei sistemi ♠ 1



! MECCANICA DEL PUNTO E DEI SISTEMI 

HRW 5 [5E, 7E, 9E, 11P, 13E, 15E, 17E, 19E, 23E, 25E, 27E, 29E, 31E, 33P, 

35P, 41P, 43P, 45P, 47P, 51P, 57P, 63P], HRW 6 [1E, 3E, 7E, 9E, 11E, 15E, 

17P, 21P (*) , 25P, 33P, 35P, 37P (*) , 39P (*) , 45E, 49E, 51E, 53E, 57E, 59P, 65P], 

HRW 7 [1E, 7P, 9E, 11E, 19P, 21E, 25P, 27E, 35E, 37P, 41E, 43E, 45P, 47P, 

49P], HRW 8 [1E,3E, 5E, 7P, 11E, 13E, 15P, 17P, 19P, 37P, 41E, 45E, 47P, 

49P, 51P], HRW 9 [1E, 3E, 7P, 13E, 17P, 19P, 21E, 23P, 31P, 33P], HRW 10 

[1E, 3E, 5E, 13P, 21P, 29E, 31E, 33E, 41E, 45E, 49P, 51P, 55P], HRW 14 [1E, 

3E, 7E, 19E], HRW 16 [1E, 5E, 7E, 13E, 17P, 19P, 25P, 51E, 53E], S 4 [3, 7, 9, 

13, 17, 27, 29, 31, 33, 37, 39], S 5 [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 23, 27, 35, 

39, 41, 45, 47, 49, 51], S 6 [1, 3, 7, 9, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 33, 35, 

37, 39, 43, 49], S 7 [1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 21, 23, 29, 41, 43], S 8 [1, 3, 5, 7, 9, 13, 

15, 17, 21, 23, 45, 51], S 11 [1, 3, 5, 11], S 12 [1, 3, 5, 9, 11, 19, 33, 37]. 

Paolo Bagnaia - CTF - 1b - Esercizi di meccanica del punto e dei sistemi 2

Esercizio – Un filo di ferro si spezza ad una tensione massima di 4400 N. 

Quale accelerazione massima verso l’alto può imprimere ad un oggetto di 400 

Kg ? 

Soluzione – 

Per il corpo : 

pertanto : 

———————————— 

ma = T – mg; 

T = m (a + g) ⇒ T max = m (a max + g) ⇒ 

a max =T max /m – g = 4400 / 400 – 9.8 = 1.2 m/s 2 . 

T 

mg 

m 

Paolo Bagnaia - CTF - 1b - Esercizi di meccanica del punto e dei sistemi 3 

♠

Esercizio – Una fune, collegata ad una carrucola, connette due masse 

identiche, una delle quali è libera di muoversi su un piano inclinato di angolo ϑ 

(ϑ = 30°), mentre l’altra penzola nel vuoto. Calcolare l’accelerazione su 

entrambe le masse. 

Soluzione – 

———————————— 

L’accelerazione è identica per entrambe le masse. Il bilancio delle forze dà : 

(m 1 + m 2 ) a = m 2 g – m 1 g sin ϑ⇒m 1 = m 2 = m ⇒ 

a = m g (1 – sin ϑ) / (2m) = g (1 – sin ϑ) / 2 = 9.8 × (1 - 0.5) / 2 = 2.45 m/s 2 ; 

l’accelerazione è diretta verso il basso per 

la massa libera e verso l’alto del piano per 

quella sul piano inclinato. 

ϑ 

m 

aaaaa 

m 


♠

Esercizio – Un corpo scivola senza attrito su un piano inclinato di angolo 30°, 

lungo 40 m, partendo da fermo. Determinare il tempo totale del tragitto e la 

velocità finale. 

Soluzione – 

———————————— 

a = g sinϑ; 

L = ½ a t 2 = ½ g sinϑ t 2 ⇒ t = [2 L / (g sinϑ)] ½ = 4.04 s; 

v = a t = g sinϑ t = 19.8 m/s. 


♠

Esercizio – [stesso esercizio del caso precedente] C’è un attrito dinamico, di 

coefficiente k d = 0.5. Determinare il tempo totale del tragitto e la velocità finale. 

Soluzione – 

———————————— 

ma = m g sin ϑ -k m g cos ϑ⇒a = g sinϑ - kg cos ϑ = g (sinϑ -k cos ϑ); 

L = ½ a t 2 = ½ (g sinϑ - k cos ϑ) t 2 ⇒ t = [2 L / (gsinϑ - kgcos ϑ)] ½ = 11.03 s; 

v = a t = g (sinϑ - k cos ϑ) t = 7.24 m/s. 


♠

Esercizio – [stesso esercizio del caso precedente, senza attrito] Al termine 

del piano inclinato [senza attrito] c’è un tratto piano, con attrito dinamico di 

coefficiente k d = 0.25. Determinare la distanza percorsa dal corpo sul tratto 

piano del tragitto e il tempo impiegato prima di fermarsi. 

Soluzione – 

———————————— 

ma = F = -k m g ⇒ a = -k g; 

v(t) = v o - k g t ⇒ t fin = v o / k g = 8.08 s; 

L tot = v o t fin + ½ a t fin2 = v o t fin -½k g t fin2 = 80 m. 


♠

Esercizio – Trovare il lavoro necessario per portare un corpo di massa 2 Kg 

dalla velocità di 2 m/s a quella di 5 m/s. 

Soluzione – 

———————————— 

L = ½ m v fin2 -½m v ini2 = 0.5 × 2 × (5 2 -2 2 ) = 21 J. 


♠

Esercizio – Trovare il lavoro necessario a fermare un corpo di massa 2 Kg, 

che procede alla velocità di 8 m/s. 

Soluzione – 

———————————— 

L = - ½ m v ini2 = -0.5 ×2 ×8 2 = - 64 J. 

[perché “-” ?] 


♠

Esercizio – Un carrello di massa 100 Kg 

compie il percorso indicato in figura, passando 

dal punto A al punto C. Nota la velocità iniziale 

(v A =0) e le differenze di quota tra A e B (a=20 

m) e tra C e B (c=18m), calcolare il valore 

dell’energia potenziale in A e della velocità in B 

e in C. 

———————————— 

A 

a 

B 

C 

c 

Soluzione – Scegliamo la costante dell’energia potenziale in modo che 

E pot B=0. In tal caso : 

E pot A = m g a = 100 × 9.8 × 20 = 19600 J; 

E pot A + ½ m v A2 = E pot B + ½ m v B2 

= mga = ½ m v B2 

⇒ 

v B2 = 2 g a ⇒ v B = (2 × 9.8 × 20) ½ = 19.8 m/s; 

m g a = ½ m v C2 + mgc ⇒ 

v C2 = 2 g (a - c) ⇒ v C = [2 × 9.8 × (20-18)] ½ = 6.26 m/s. 


♠

Esercizio – Un corpo di massa 2 Kg cade dall’altezza di 2 m su una molla di 

costante elastica 200 N/m. Di quanto si abbassa la molla ? Dopo un po’, le 

oscillazioni si smorzano. Dove è il punto di riposo della molla ? 

———————————— 

Soluzione – Si può scrivere : mgh = ½ k d 2 ⇒ d 2 = 2mgh / k; no ! sbagliato ! 

mg (h + d) = ½ k d 2 ⇒ k d 2 - 2mgd - 2mgh = 0 ⇒ 

d 

= 

mg 

± 

m 

2 

g 

k 

2 

+ 

2kmgh 

= 

mg 

k 

⎛ 

⎜1± 

⎝ 

1+ 

2kh 

mg 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

scegliere il 

segno" + " [perche'?] 

d 

= 

mg 

k 

⎛ 

⎜1+ 

⎝ 

1+ 

2kh 

mg 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= 

2 × 9.8 ⎛ 

⎜1+ 

200 ⎝ 

1+ 

2 × 200 × 2 

2 × 9.8 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= 

0.73m 

Il punto di riposo si ottiene da : mg = kb ⇒ b = mg/k = 2 ×9.8 / 200 = 9.8 cm. 


♠

Esercizio – Un trattore di massa 1200 Kg percorre una salita di pendenza 

30°; il motore eroga una potenza di 9800 W. Calcolare la velocità massima 

disponibile. 

———————————— 

Soluzione – 

In un tempo t : 

L = W t = m g h=m g s sinϑ ⇒ 

s / t = v = W / (m g sinϑ) = 9800 / (1200 × 9.8 ×0.5) = 1.67 m/s = 6 Km/h. 


♠

Meccanica dei 

sistemi 


Esercizio – Una pallina di massa 1 Kg urta alla velocità di 1 cm/s una 

seconda pallina ferma, di massa 2 Kg. Dopo l’urto, le palline si appiccicano. 

Trovare la loro velocità e la viariazione di energia cinetica nell’urto. 

Soluzione – 

m 1 v ini = (m 1 + m 2 ) v fin 

⇒ 

———————————— 

v fin = v ini ×m 1 / (m 1 + m 2 ) = .01 × 1 / (1 + 2) = 0.33 cm/s; 

∆T = T fin -T ini = ½(m 1 + m 2 ) v fin2 -½m 1 v ini2 = 

= 0.5 ×(1000 + 2000) × 0.33 2 - 0.5 × 1000 × 1 2 = -333 erg; 

[perché “-” ???] 


♠

Esercizio – Un corpo di massa 20 Kg è attaccato con una fune lunga 4 m. 

Una pallottola di massa 50 g lo urta, restandovi conficcata. Il corpo percorre 

un angolo di 30°. Trovare la velocità iniziale della pallottola. 

———————————— 

Soluzione – 

Nel primo urto anelastico vale : mv = (M+m)w ⇒ w = v m / (M+m) 

L’energia cinetica dei due corpi si converte poi in energia potenziale : ϑ 

½(M+m)w 2 = ½(M+m) v 2 m 2 / (M+m) 2 = ½ m 2 v 2 / (M+m) = 

R 

= (M+m) g h = (M+m) g R (1 - cos ϑ) ⇒ 

v 2 = 2 (M+m) 2 g R (1 - cos ϑ) / m 2 ⇒ 

M + m 

20 + 0.050 

! 

v = 2gR(1− 

cosϑ) 

= 

2 × 9.8 × 4 × (1− 

cos30 ) = 1300m 

/ s. 

m 

0.050 

h 


♠

Esercizio – Un corpo di massa 20 Kg è attaccato con una fune lunga 4 m. 

Una pallottola di massa 50 g, che procede alla velocità di 1000 m/s, lo urta, 

perforandolo, e proseguendo alla velocità di 300 m/s. Trovare l’angolo di cui si 

alza il corpo. 

Soluzione – 

———————————— 

Nel primo urto anelastico vale : mv = MW +mw ⇒ 

W = m (v - w) / M = 1.75 m/s; 

L’energia cinetica del corpo si converte poi in energia potenziale : 

R 

ϑ 

½MW 2 = M g h = M g R (1 - cos ϑ) ⇒ 

1 - cos ϑ = ½ W 2 / (gR) ⇒ 

h 

2 

gR − 1 

2W 

9.8 × 4 − 0.5 × 1.75 

cosϑ 

= = 

= 0.961⇒ 

ϑ ≈ 

gR 

9.8 × 4 


2 

! 

16 

♠

Esercizio – Una sbarra di massa trascurabile e lunghezza 50 cm è attaccata 

agli estremi con due elastici, di costanti 200 N/m e 300 N/m rispettivamente. In 

quale punto della sbarra bisogna porre un corpo puntiforme di massa 5 Kg, in 

modo che la sbarra rimanga orizzontale ? Di quanto si allungano gli elastici ? 

———————————— 

Soluzione – Se la sbarra è orizzontale, l’allungamento 

di entrambi gli elastici è identico (chiamiamolo d); le 

forze sono k 1 

d e k 2 

d. Affinché la sbarra rimanga ferma, 

occorre che il momento totale delle forze sia nullo. 

Calcolando il momento rispetto al punto in cui è posto il 

d 

corpo, si ha (notare i segni +-) : 

k 2 k 1 

k 1 

dx - k 2 

d(L-x) + mg·0 = 0 ⇒ 

x = k 2 

dL / (k 1 

d + k 2 

d) = k 2 

L / (k 1 + k 2 ) = 30 cm; 

m x 

L’allungamento si ottiene ponendo la somma vettoriale 

L 

delle forze uguale a zero (asse positivo verso l’alto) : 

k 1 

d + k 2 

d – mg = 0 ⇒ d = mg / (k 1 + k 2 ) = 9.8 cm. 


♠

Esercizio – Una bilancia a statera (vedi figura) di massa trascurabile ha la 

massa scorrevole (m) di 500 g, il braccio del piatto (a) di 40 cm. Quando una 

certa massa M é posta sul piatto, l’equilibrio richiede che la massa m venga 

posta a 20 cm dal punto di sospensione. Quanto segna la bilancia ? 

m 

b 

a 

M 

———————————— 

Soluzione – 

Eguagliamo a zero il momento totale delle forze : 

Mga - mgb = 0 ⇒ M = mb / a = 500 × 20 / 40 = 250 g. 


♠

Esercizio – Una sbarra di massa trascurabile e lunghezza 2 m è fissata al 

centro e libera di ruotare. Ha alle estremità due masse, rispettivamente di 80 

Kg e 60 Kg. Dove bisogna mettere una terza massa, di 30 Kg, in modo che la 

sbarra resti orizzontale ? 

Soluzione – 

———————————— 

Eguagliamo a zero il momento totale, calcolato rispetto al punto centrale 

(fulcro) : 

m 1 gL/2 – m 2 gL/2 – m 3 gx = 0 ⇒ 

x = (m 1 L/2 – m 2 L/2) / m 3 = L/2 (m 1 –m 2 ) / m 3 = 66 cm. 

x 

m 1 m 3 m 2 


♠

Esercizio – Trovare il raggio dell’orbita di un corpo che percorre un’orbita 

circolare geostazionaria [dati raggio terrestre : 6.37 × 10 6 m]. 

———————————— 

Soluzione – Si eguaglia la forza di gravità a quella necessaria per un moto 

circolare uniforme; si impone inoltre che la velocità angolare sia la stessa 

della rotazione terrestre : 

mv 

R 

2 

= 

mT 

m 

G 

2 

R 

m 

= G 

R 

T 

2 

T 

mR 

⋅ 

2 

R 

2 

T 

= 

g 

mR 

R 

2 

T 

2 

; 

v 

= 

2πR 

T 

⇒ 

v 

2 

= 

2 

⎛ 2πR 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ T ⎠ 

= 

4π 

T 

2 

R 

2 

2 

= 

g 

2 

T 

R 

R 

⇒ 

R 

3 

= 

gR 

2 2 

TT 

2 

4π 

⇒ 

R 

= 

3 

gR 

2 2 

TT 

2 

4π 

= 

3 

9.8 × (6.37 × 10 

4π 

6 

2 

⋅ 24 × 3600) 

2 

= 

42.2 × 10 

3 

Km 

NB - L’orbita non deve necessariamente essere tutta al di sopra dell’equatore; 

deve però avere come centro il centro della Terra [perché ???]. 


♠

Esercizio – Determinare la velocità di un corpo che, senza usare alcun 

motore, gira attorno alla Terra ad una quota di 100 m sul livello del mare. 

Trascurare la resistenza dell’aria e approssimare la Terra con una sfera 

perfetta di raggio R T = 6.37 × 10 6 m. 

———————————— 

Soluzione – 

Si eguaglia la forza peso subita dal corpo con la forza centripeta necessaria a 

compiere il moto in questione : 

mg 

= 

mv 

R 

2 

= 

mv 

R + h 

T 

2 

⇒ 

v 

= 

g( 

R 

T 

+ h) 

= 

9.8 ⋅(6.37 

⋅10 

6 

+ 10 

2 

) 

= 

7.9 ⋅10 

3 

m / s 


♠

Esercizio – Partendo da fermo, un motociclista 

compie il percorso indicato in figura, composto da 

un tratto in discesa e da una circonferenza di 

A 

raggio 4 m. Trascurando gli attriti, trovare il valore h 

minimo della quota h, affinché il percorso riesca. In 

tale ipotesi, trovare la velocità del motociclista nei 

punti più alto e più basso della circonferenza. 

———————————— 

R B 

Soluzione – Il punto critico è quello chiamato “A” nella figura; in A, per 

mantenere la traiettoria circolare, l’accelerazione di gravità deve essere al più 

uguale a quella richiesta dal moto circolare uniforme (g ≤ v A2 /R). Pertanto : 

1 

2 

mv 

2 

A 

+ mg2R 

= 

mgh = 

1 

2 

mv 

2 

A 

+ 2mv 

2 

A 

= 

mhv 

2 

A 

/ R ⇒ 

1 

2 

+ 

2 

= 

h / R 

⇒ 

h 

= 

5R 

/ 2 

= 10 

m; 

v 

A 

= 

2g( 

h 

− 

2R) 

= 

2 × 9.8 × (10 − 

2 × 4) 

= 

6.3m 

/ s; 

v 

B 

= 2gh 

= 2 × 9.8 × 10 = 14m 

/ s. 


♠

Fine 


Meccanica dei 

fluidi 

Paolo Bagnaia - CTF - 2 - Esercizi di Meccanica dei Fluidi ♠ 1



! MECCANICA DEI FLUIDI : 

HRW 15 [1E, 3E, 5P, 13E, 15E, 29E, 31E, 33E, 35E, 37P, 39P, 41P, 43P, 

47E, 49P, 51E, 53E, 55P, 57P], S 15 [1, 5, 7, 9, 13, 15, 17, 21, 23, 25, 27, 31, 

33, 35, 39, 45]. 

Paolo Bagnaia - CTF - 2 - Esercizi di Meccanica dei Fluidi 2

Esercizio – Un tubo ad “U” contiene due fluidi non miscibili : da un lato c’è 

mercurio (massa volumica 13.6 g/cm 3 ) fino all’altezza di 30 cm, dall’altro un 

liquido ignoto, fino all’altezza di 100 cm. Calcolare la massa volumica di tale 

liquido. 

Soluzione – 

———————————— 

h 1 

ρ 1 g = h 2 

ρ 2 g ⇒ ρ 2 = h 1 

ρ 1 / h 2 = 30 ×13.6 / 100 = 4.08 g/cm 3 . 

Paolo Bagnaia - CTF - 2 - Esercizi di Meccanica dei Fluidi 3 

♠

Esercizio – Quale frazione di un iceberg è sott’acqua ? (ρ ghiaccio =0.9 g/cm 3 ) 

Soluzione – 

———————————— 

Dal principio di Archimede : 

V tot 

ρ g g = V immerso 

ρ a g ⇒ V immerso / V totale = f = ρ g / ρ a = 90%. 


♠

Esercizio – Una lastra di ghiaccio (ρ ghiaccio =0.9 g/cm 3 ) spessa 10 cm galleggia 

su un fiume. Che superficie deve avere per impedire che un uomo di massa 

50 Kg si bagni ? 

———————————— 

Soluzione – 

Dal principio di Archimede, nell’ipotesi che la lastra sia completamente 

immersa : 

Vρ 

g 

g 

+ 

mg 

= Vρ 

g 

a 

= 

Sdρ 

g 

g 

+ 

mg 

= 

Sdρ 

g 

a 

⇒ 

S 

= 

m 

d( 

ρ − 

a 

ρ 

g 

) 

= 

50 

0.1× 

(1000 

− 900) 

= 

5m 

2 

. 

NB - attenzione !!! ρ a = 1 g/cm 3 (sistema CGS !!!). 


♠

Esercizio – Un recipiente cilindrico di diametro 50 cm ha un buco sul fondo di 

diametro 1 cm. Il recipiente è pieno d’acqua fino all’altezza di 20 cm. Trovare 

la velocità di abbassamento del pelo dell’acqua. 

———————————— 

Soluzione – Dalla legge di Bernoulli : 

1 

2 

ρv 

[ 

2 

2 

p = p ; Q = S v = π r v = S v = π r v ] 

1 

2 

1 

+ ρgh 

+ p 

2 

1 

1 

1 

= 

1 

2 

ρv 

1 

2 

2 

1 

+ 

p 

2 

2 

⇒ 

2 

2 

2 

r 1 

v 1 

v 

2 

1 

+ 

2gh 

= 

⎛ 

⎜ 

v 

⎝ 

1 

r 

r 

2 

1 

2 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

⇒ 

h 

r 2 

v 2 

v 

1 

= 

( r 

1 

2gh 

/ r 

2 

) 

4 

−1 

= 

2 × 9.8 × 0.2 

(0.25 / 0.005) 

4 

−1 

= 

0.079cm 

/ s. 

NB - Il risultato è quasi uguale se si trascura il termine cinetico v 12 nella legge 

2 

di Bernoulli : v 1 = ( r2 

/ r1) 

2gh. 


♠

Esercizio – Una mongolfiera piena di elio (ρ e = 0.14 Kg/m 3 ) ha forma sferica, 

con raggio di 10 m. La strumentazione ha massa di 10 Kg. Nota la massa 

volumica dell’aria (ρ a = 1.3 Kg/m 3 ), trovare la forza ascendente. 

Soluzione – 

———————————— 

F asc = Vρ a g - Vρ e g - Mg = 4/3 πR 3 g (ρ a - ρ e ) - Mg = 

= 4/3 π ×10 3 ×9.8 ×(1.3 -0.14) -10 ×9.8 = 4.76 ×10 4 N. 


♠

Esercizio – Un corpo di massa 5 g e volume 11 cm 3 è immerso in acqua, 

trattenuto da una molla di costante elastica 6 × 10 -3 N/cm. Calcolare 

l’allungamento (o accorciamento) della molla. 

Soluzione – 

———————————— 

All’equilibrio (asse positivo verso l’alto) : 

kd + V ρ a g - mg = 0 ⇒ 

d = g (m - V ρ a ) / k = 980 × (5 - 11 × 1) / 600 = 9.8 cm. 


♠

Esercizio – Una pompa di potenza 1 KW solleva acqua all’altezza di 5 m. In 

quanto tempo svuota una pozza di 4 m 3 ? 

Soluzione – 

———————————— 

L = W t = V ρ g h ⇒ 

t = V ρ g h / W = 4 × 1000 × 9.8 × 5 / 1000 = 196 s = 3 min 16 s. 


♠

Esercizio – Che potenza occorre per sollevare 50 litri d’acqua di un metro ed 

immetterli in un condotto alla pressione di 2 atmosfere ? 

Soluzione – 

———————————— 

W = L / t = (mgh + V ∆p) / t = (.050 × 9.8 × 1 + .050 × 1 × 1.01 × 10 5 ) = 

= 5050 W; 

(in pratica il sollevamento è trascurabile rispetto alla compressione). 


♠

Fine 

Paolo Bagnaia - CTF - 2 - Esercizi di Meccanica dei Fluidi ♠ 11

Termologia 

Paolo Bagnaia - CTF - 3 - Esercizi di termologia e termodinamica ♠ 1



! CINEMATICA : 





65P, 67E, 69E, 73E, 75P, 77P, 81P], S 1 [33, 35, 37, 39, 41, 49], S 2 [1, 

7,9,11, 13, 17, 21, 23, 25, 29, 33, 35, 37, 43, 47], S 3 [3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 

17, 19, 25, 27, 29, 31, 35, 37, 39, 41, 55]. 

! MECCANICA DEL PUNTO 

HRW 

Paolo Bagnaia - CTF - 3 - Esercizi di termologia e termodinamica 2

Esercizio – Un cubetto di ghiaccio di 150 g alla temperatura di 0 ° C è gettato 

in un recipiente, che contiene 300 g di acqua alla temperatura di 50 ° C. Dato il 

calore latente di fusione del ghiaccio di 80 cal/g, trovare la temperatura finale. 

———————————— 

Soluzione – Bilancio del calore assorbito e ceduto (m = m ghiaccio ; M = m acqua ): 

Q ghiaccio = Q acqua = mλ + mc(T fin -T o ) = Mc(T ini -T fin ) ⇒ 

T fin = (McT ini -mλ -mcT o ) / (Mc + mc) = (300×1×50 - 150×80) / (300+150) = 

= 6.6 ° C. 

NB - Abbiamo fatto l’esercizio con unità “pericolose” : calorie, gradi centigradi, 

grammi; tutto bene, ma attenzione ! 

Paolo Bagnaia - CTF - 3 - Esercizi di termologia e termodinamica 3 

♠

Termodinamica 


Esercizio – Un recipiente di volume 820 cm 3 contiene 2 g di O 2 alla pressione 

di 2 atm. Calcolare la temperatura. 

Soluzione – 

———————————— 

n moli = 2 / 32 = 0.0625; 

Dalla legge dei gas perfetti : 

T = pV / (nR) = 2 × 1.01 × 10 5 ×820 ×10 -6 / (0.0625 × 8.31) = 320 K = 47 ° C. 


♠

Esercizio – Un recipiente di volume 90 cm 3 contiene 3.5 g di O 2 alla 

pressione di 28 atm. Calcolare la temperatura. 

Soluzione – 

———————————— 

n moli = 3.5 / 32 = 0.109; 

Dalla legge dei gas perfetti : 

T = pV / (nR) = 28 × 1.01 × 10 5 ×90 ×10 -6 / (0.109 × 8.31) = 281 K = 8 ° C. 


♠

Esercizio – Calcolare la velocità quadratica media dell’aria alla temperatura di 

17 ° C (supporre l’aria una mistura di peso molare effettivo 29 g/mole). 

Soluzione – 

Dalla teoria cinetica : 

———————————— 

2 3nRT 

3 × 8.31× 

(273 + 17) 

〈 v 〉 = = 

= 

− 

M 

3 

29 × 10 

500 

m / s. 


♠

Esercizio – Trovare il rapporto tra la velocità quadratica media tra due 

quantità di gas alla stessa temperatura, la prima di He, la seconda di N 2 . 

———————————— 

Soluzione – Dalla teoria cinetica : 

〈 v 

2 

〉 

= 

3nRT 

M 

⇒ 

〈 v 

〈 v 

2 

2 

〉 

〉 

He 

N 

2 

= 

m 

m 

N 

2 

He 

= 

28 

4 

= 

2.65; 

La velocità quadratica media è maggiore per il gas He. 


♠

Esercizio – Un recipiente sigillato di volume 4 litri contiene 5 g di N 2 alla 

temperatura di 20 ° C. Se la temperatura viene portata a 40 ° C, di quanto 

aumenta la pressione ? 

Soluzione – 

———————————— 

n moli = 5 / 28 = 0.178; 

Dalla legge dei gas perfetti, a volume costante : 

∆p = p 2 -p 1 = nRT 2 / V - nRT 1 / V = nR(T 2 -T 1 ) / V = 

= 0.178 × 8.31 × (313 - 293) / .004 = 7396 N/m 2 = 7396 Pa; 

NB - Per calcolare la differenza di temperatura, non è necessario passare a K. 


♠

Esercizio – Un gas compie un’espansione adiabatica, che raddoppia il 

volume e diminuisce la temperatura di un fattore 1.32. Dire se si tratta di un 

gas mono- oppure bi-atomico. 

———————————— 

Soluzione – Dalla legge delle adiabatiche : 

T 1 V 1 

γ-1 

= T 2 V 2 

γ-1 

⇒ T 1 /T 2 = (V 2 / V 1 ) γ-1 ⇒ 

γ = 1 + log(T 1 /T 2 ) / log(V 2 / V 1 ) = 1 + log(1/1.32) / log(1/2) = 1.4 = 7/ 5 ⇒ 

biatomico. 


♠

Esercizio – Due quantità di gas, uno mono- e uno bi-atomico, hanno la stessa 

temperatura e lo stesso volume. Subiscono entrambe una compressione 

adiabatica, che ne dimezza il volume. Quale dei due gas è più caldo ? 

———————————— 

Soluzione – Si applica la legge delle adiabatiche : 

p 

ini 

V 

γ 

ini 

= 

p 

fin 

V 

γ 

fin 

= 

p 

fin 

⎛V 

⎜ 

⎝ 2 

ini 

γ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⇒ 

p 

p 

fin 

ini 

= 

⎛ 2V 

⎜ 

⎝ V 

ini 

ini 

γ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= 

2 

γ 

⇒ 

p 

p 

fin 

ini 

T 

= 

V 

fin 

fin 

V 

T 

ini 

ini 

= 

2T 

T 

fin 

ini 

⇒ 

T 

T 

fin 

ini 

= 

2 

γ −1 

⇒ 

T 

T 

fin;1 

fin;2 

= 

T 

fin;1 

T 

ini 

T 

T 

ini 

fin;2 

= 

2 

2 

γ −1 

1 

γ −1 

2 

= 

2 

2 

γ 

γ 

1 

2 

= 

2 

2 

5 / 3 

7 / 5 

= 1.203; 

È più caldo il gas monoatomico. 


♠

Esercizio – Un gas si trova alla temperatura di 17 C, pressione di 2×10 5 Pa, 

volume di 5 litri. Compie un’espansione isobara, il cui lavoro è 200 J. Trovare 

la temperatura finale. 

———————————— 

Soluzione – 

L = p (V fin -V ini ) ⇒ V fin = V ini + L / p ⇒ V fin / V ini = 1 + L / (p V ini ); 

pV ini /T ini = p V fin /T fin 

⇒ 

T fin = T ini V fin /V ini = T ini [1 + L / (p V ini )] = 

= 290 × [1 + 200 / (2 × 10 5 ×5 ×10 -3 )] = 348 K = 75 º C. 


♠

Fine 


Elettrostatica 

Paolo Bagnaia - CTF - 4 - Esercizi di elettrostatica e correnti ♠ 1








65P, 67E, 69E, 73E, 75P, 77P, 81P], S 1 [33, 35, 37, 39, 41, 49], S 2 [1, 

7,9,11, 13, 17, 21, 23, 25, 29, 33, 35, 37, 43, 47], S 3 [3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 

17, 19, 25, 27, 29, 31, 35, 37, 39, 41, 55]. 


HRW 

Paolo Bagnaia - CTF - 4 - Esercizi di elettrostatica e correnti 2

Esercizio – Calcolare il campo elettrico nel punto centrale tra due cariche, di 

valore q 1 =2×10 -7 C e q 2 = -5×10 -8 C, poste alla distanza di 10 cm. 

Soluzione – 

———————————— 

Dalla legge di Coulomb : 

! 

E 

tot 

= 

! 

E 

1 

+ 

! 

E 

2 

= 

1 

4πε 

0 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

q 

2 

2 

2 

( d 2 

) ( d ) 

2 

1 

− 

q 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= 

= 

1 

πε d 

0 

2 

( q 

1 

− q 

2 

) 

= 

2 × 10 

−7 

4 × π × 8.89 × 10 

+ 5 × 10 

−12 

−8 

× (0.1) 

2 

= 

9.04 × 10 

5 

N 

/ C. 

nella direzione della carica negativa. 

Paolo Bagnaia - CTF - 4 - Esercizi di elettrostatica e correnti 3 

♠

Esercizio – Calcolare il campo elettrico nel punto centrale tra due cariche, di 

valore q 1 =2×10 -7 C e q 2 = +5×10 -8 C, poste alla distanza di 10 cm (identico al 

caso precedente, a parte il segno della seconda carica). 

———————————— 

Soluzione – 

Tutto identico al caso precedente, a parte i segni : 

! 

E 

tot 

= 

! 

E 

1 

+ 

! 

E 

2 

= 

1 

4πε 

0 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

q 

2 

2 

2 

( d 2 

) ( d ) 

2 

1 

− 

q 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= 

= 

1 

πε d 

0 

2 

( q 

1 

− q 

2 

) 

= 

2 × 10 

−7 

4 × π × 8.89 × 10 

− 5 × 10 

−12 

−8 

× (0.1) 

2 

= 

5.4 × 10 

5 

N 

/ C. 

nella direzione della carica minore (cioè q 2 ). 


♠

Esercizio – Quattro cariche, ciascuna di valore 2 C, sono poste ai vertici di un 

quadrato di lato 2 m. Calcolare il valore del campo elettrico al centro del 

quadrato e al centro di ciascun lato. 

———————————— 

Soluzione – Nel centro del quadrato, i campi si cancellano due a due e il 

campo totale è nullo. Per quanto riguarda il campo nel punto centrale tra A e 

B (gli altri tre casi sono analoghi), i campi delle cariche A e B si cancellano; i 

campi delle cariche C e D hanno componente orizzontale che si cancella e 

componente verticale che si somma. Essa vale : 

A B 

y y y y 2 Q 

Etot 

= EC 

+ ED 

= 2EC 

= cosα 

= 

2 

4πε0 

d 

L 

1 

= 

2πε 

0 

L 

2 

Q 

+ ( L / 2) 

2 

L 

2 

L 

+ ( L / 2) 

2 

= 

D 

C 

= 

1 

2πε 

0 

Q 

2 

L 

1 

1+ 

(1/ 2) 

2 

1 

1+ 

(1/ 2) 

2 

= 

1 

2πε 

0 

8 

5 5 

Q 

L 

2 

= 

??? 


♠

Esercizio – Due cariche elettriche, di valore rispettivamente 1 C e -2 C, si 

trovano alla distanza di 2 m. Trovare i punti in tutto lo spazio in cui il campo 

elettrico totale è nullo. 

———————————— 

Soluzione – Questi punti, se esistono, possono unicamente trovarsi sulla retta che 

passa per i due punti. Infatti, nel resto dello spazio, i campi delle due cariche non sono 

collineari, e pertanto la loro somma vettoriale non può essere nulla. 

Sulla retta si possono inividuare tre zone : (a) tra infinito e prima carica, (b) tra le due 

cariche, (c) tra seconda carica e infinito. In (b) i campi sono paralleli e pertanto la 

somma non può essere nulla; in (c) il campo della seconda carica è sempre maggiore 

(carica più grande a distanza minore); viceversa in (a) i due campi possono 

compensarsi (q 1 

e q 2 

sono i moduli delle cariche) : 

! ! 1 q1 

1 q2 

q1 

q2 

E1 

= E2 

= = 

⇒ − = 0 ⇒ q1x 

2 

2 2 

2 

4πε 

x 4πε 

( x + L) 

x ( x + L) 

0 

0 

2 

2 

+ q L 

1 

+ 2q 

xL − q 

1 

2 

x 

2 

= 0 ⇒ 

x 

2 

( q 

2 

2 

q1 

± q1 

+ q1( 

q2 

− q1) 

q1 

± q1q 

2) 

− q1) 

− 2q1xL 

− q1L 

= 0 ⇒ x = L 

= L 

= 2(1 ± 

( q2 

− q1) 

( q2 

− q1) 

(a) (b) (c) 

x 

2 

+ - 

L 

2) m → 4.8m 


♠

Esercizio – Come nel caso precedente, ma stavolta le cariche sono entrambe 

positive (+1 C e +2 C). 

———————————— 

Soluzione – Identica al caso precedente, ma stavolta la soluzione è nella zona (b) tra 

le due cariche (q 1 

e q 2 

sono i moduli delle cariche) : 

! 

E 

1 

! 

= E 

2 

1 

= 

4πε 

0 

q 

x 

1 

2 

1 

= 

4πε 

0 

q 

2 

( L − x) 

2 

⇒ 

q 

x 

1 

2 

q2 

− 

( L − x) 

2 

= 0 ⇒ 

q 

1 

x 

2 

2 

+ q L 

1 

− 2q 

xL − q 

1 

2 

x 

2 

= 0 ⇒ 

x 

2 

( q 

2 

− q ) + 2q 

xL − q L 

1 

1 

1 

2 

= 0 ⇒ 

x 

− q 

= L 

1 

± 

q 

2 

1 

( q 

2 

+ q1( 

q 

− q ) 

1 

2 

− q ) 

1 

− q1 

± q1q 

= L 

( q − q ) 

2 

1 

2 

) 

= 

= 2( −1± 

2) m → 0.8m 

(a) x 

(b) (c) 

+ - 

L 


♠

Esercizio – Nel modello di Bohr dell’atomo di idrogeno, l’elettrone orbita 

attorno al protone alla distanza di 0.5×10 -8 cm. Trovare la forza di attrazione 

elettrostatica tra le due particelle e la velocità dell’elettrone. 

———————————— 

Soluzione – 

Dalla legge di Coulomb : 

F 

= 

1 

4πε 

0 

e 

r 

2 

2 

= 

(1.6 × 10 

4 × π × 8.89 × 10 

−12 

−19 

) 

2 

× (0.5 × 10 

−10 

) 

2 

= 

9.26 × 10 

−8 

N 

F 

= 

mv 

r 

2 

⇒ 

v 

= 

Fr 

m 

= 

9.26 × 10 

−8 

9.11× 

10 

× 0.5 × 10 

−31 

−10 

= 

2.25 × 10 

6 

m / s. 


♠

Esercizio – Due cariche, di valore q 1 =7×10 -9 C e q 2 = 14×10 -9 C sono poste 

alla distanza di 40 cm. Trovare il lavoro necessario per avvicinarle alla 

distanza di 25 cm. 

———————————— 

Soluzione – 

Dalla definizione di energia potenziale elettrostatica : 

L 

= 

1 

4πε 

0 

q q 

1 

2 

⎛ 1 

⎜ 

⎝ r1 

− 

1 

r 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= 

= 

−9 

7 × 10 × 14 × 10 

− 

4 × π × 8.89 × 10 

−9 

12 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 

0.25 

− 

1 

0.40 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= 1.3 × 10 

−6 

J. 


♠

Esercizio – Un elettrone (e=1.6×10 -19 C, m=9.11×10 -31 Kg) è scagliato alla 

velocità di 10 6 m/s contro un secondo elettrone, che è mantenuto fermo. 

Trovare la minima distanza cui arrivano i due elettroni. 

———————————— 

Soluzione – La distanza minima corrisponde alla completa trasformazione 

dell’energia cinetica in energia potenziale elettrostatica : 

1 

2 

mv 

2 

= 

1 

4πε 

0 

2 

e 

d 

⇒ 

d 

= 

2 

e 

4πε 

0 

2 

mv 

2 

= 

4 × π × 8.89 × 10 

2 × (1.6 × 10 

−12 

−19 

) 

2 

× 9.11× 

10 

−31 

× (10 

−6 

) 

2 

= 

5.08 × 10 

−10 

m. 


♠

Esercizio – Un condensatore piano ha un campo di 10 4 V/m e una lunghezza 

(parallela alle armature) di 5 cm. Un elettrone entra tra le armature con una 

velocità di 10 7 m/s ortogonale al campo. Calcolare l’angolo di deflessione 

all’uscita del condensatore e il modulo della velocità. Trascurare gli effetti di 

bordo. 

———————————— 

Soluzione – La forza elettrostatica (lungo l’asse y) è ortogonale alla velocità 

iniziale dell’elettrone (asse x). Pertanto : 

x = v 

0x 

t ⇒ t = 

x / v 

0x 

⇒ T 

tot 

= L / v 

0x 

; 

v 

y 

= at ⇒ 

α vfin 

v 

y, 

fin 

= 

Ee 

m 

L 

v 

0x 

= 

10 

4 

× 1.6 × 10 

9.11× 

10 

−31 

−19 

× 10 

× .05 

7 

= 

8.8 × 10 

6 

m / s; 

L 

E 

α = 

⎛v 

a tan⎜ 

⎝ v 

y, 

fin 

0x 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= 

8.8 × 10 

a tan 

7 

10 

6 

= 

41 

" 

3; 

v o 

m 

v 

tot, 

fin 

= 

v 

2 

y, 

fin 

+ v 

2 

0x 

= 

(8.8 × 10 

6 

) 

2 

+ (10 

7 

) 

2 

= 1.33 × 10 

7 

m / s. 


♠

Fine 


Correnti 

continue 









65P, 67E, 69E, 73E, 75P, 77P, 81P], S 1 [33, 35, 37, 39, 41, 49], S 2 [1, 

7,9,11, 13, 17, 21, 23, 25, 29, 33, 35, 37, 43, 47], S 3 [3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 

17, 19, 25, 27, 29, 31, 35, 37, 39, 41, 55]. 


HRW 

Paolo Bagnaia - CTF - 4 - Esercizi di elettrostatica e correnti 2

Esercizio – Un conduttore di rame (peso atomico 63.5 g/mole, massa 

volumica 8.9 g/cm 3 ) ha una sezione costante di 1.3 cm 2 ed è percorso dalla 

corrente di 2 A. Calcolare la velocità media degli elettroni. 

———————————— 

Soluzione – 

N moli /m 3 : M rame /(Vm mole ) = ρ / m mole = 8.9×10 3 ×1/(63.5×10 -3 ) =1.4×10 5 moli/m 3 ; 

N elettroni di conduzione / mole : N Avogadro = 6.02×10 23 ; 

N elettroni / m 3 : N Avogadro × ρV / m mole = 6.02×10 23 ×1.4×10 5 = 8.44×10 28 m -3 ; 

i=nSev ⇒ v = i / (nSe) = 2 / (8.44×10 28 ×1.3×10 -4 ×1.6×10 -19 ) = 1.14×10 -6 m/s. 


♠

Esercizio – Una stufa è alimentata da una d.d.p. di 240 V con una corrente da 

10 A. Determinare la resistenza della stufa e la potenza dissipata. 

———————————— 

Soluzione – 

V = R i ⇒ R = V / i = 240 / 10 = 24 Ω; 

W = V i = 240 × 10 = 2400 W 

cioè, a parità di i, ddp → 2 ddp ⇒ R → 2 R, W → 2 W. 


♠



———————————— 

Soluzione – 

V = R i ⇒ R = V / i = 120 / 20 = 6 Ω; 

W = V i = 120 × 20 = 2400 W 

cioè, a parità di d.d.p., i → 2i ⇒ R → R / 2, W → 2 W. 


♠



———————————— 

Soluzione – 

V = R i ⇒ R = V / i = 120 / 10 = 12 Ω; 

W = V i = 120 × 10 = 1200 W. 


♠

Esercizio – 

Circuito : 

R 1 = 4 Ω; R 2 = 2 Ω; 

A 

R 1 

R 2 

B 

R 3 = 4 Ω; i 1 = 3 A; 

trovare i 2 , i 3 , ∆V AB . 

R 3 

———————————— 

Soluzione – 

R tot = R 1 + R 2 R 3 / (R 2 + R 3 ) = 4 + 2×4 / (2 + 4) = 16/3 Ω = 5.33 Ω; 

∆V tot = R tot i 1 = 5.33×3 = 16 V; 

V 2 = ∆V tot -R 1 i 1 = 16 - 4×3 = 4 V ⇒ i 2 = V 2 / R 2 = 4 / 2 = 2 A; 

V 3 = V 2 = 4 V ⇒ i 3 = V 3 / R 3 = 4 / 4 = 1 A. 


♠

Esercizio – Circuito : 

R 1 = R 2 = R 6 = 4 Ω; 

R 3 = 8 Ω; 

R 4 = R 5 = 2 Ω; 

∆V = 24V; 

trovare W 6 , R tot . 

∆V 

R 1 

R 2 

R 3 

R 4 

R 6 

R 5 

Soluzione – 

R 

tot 

= R 

1 

+ R 

2 

+ 

R 

R 

3 

3 

( R4 

+ R 

———————————— 

+ R5 

+ R6) 

+ R + R 

4 

5 

6 

8 × 8 

= 4 + 4 + 

16 

= 12 Ω; 

i 

tot 

= 

∆V 

/ R 

tot 

= 

24 /12 

= 

2 

A; 

⎧ i 

⎨ 

⎩R 

3 

3 

+ i 

i 

3 

6 

= 

= 2; 

( R 

4 

+ R 

5 

+ R 

6 

) i 

6 

; 

⇒ 

⎧i3 

⎨ 

⎩8i 

+ i6 

= 2; 

− 8i 

= 

3 

6 

0; 

⇒ 

i 

3 

= 

i 

6 

= 1 

A; 

W 

6 

= 

i 

2 

6 

R 

6 

= 4 W . 


♠

Esercizio – Circuito (ponte di Wheatstone) : 

R 1 = 30 Ω; R 2 = 45 Ω; R 3 = 200 Ω; 

∆V = 2V; i g = 0 (ruotare il potenziometro); 

trovare R 4 , i 1 , i 2 , i 3 , i 4 . 

R 1 

R 2 

———————————— 

Soluzione – 

g 

∆V 

1 

= 

∆V 

3 

⇒ ∆V 

1 

= 

R i 

1 1 

= 

∆V 

3 

= 

R 

3 

i 

3 

; 

R 3 R 4 

analogamente 

poiche' 

i 

g 

R 

2 

= 0 ⇒ i 

i 

1 

2 

= 

= 

i 

R 

2 

; 

4 

i 

i 

4 

3 

; 

= 

i 

4 

; 

∆V 

R i 

1 1 

= 

R 

3 

i 

3 

; 

R 

2 

i 

1 

= 

R 

4 

i 

2 

⇒ 

( R 

1 

+ R 

2 

) i 

1 

= 

∆V 

1 

+ ∆V 

2 

= 

∆V; 

i 

1 

= 

i 

2 

= 

∆V 

/( R 

1 

+ R 

2 

) 

= 

2 / 75 

= 

27mA; 

∆V 

1 

= 

R i 

1 1 

= 

30 × 0.027 

= 

0.8 V; 

∆V 

2 

= 

R 

2 

i 

2 

= 

45 × 0.027 

= 1.2 V; 

i 

3 

= 

i 

4 

= 

∆V 

1 

/ R 

3 

= 

0.8 / 200 

= 

4mA; 

R 

4 

= 

∆V 

2 

/ i 

4 

= 1.2 / 0.004 

= 

300 

Ω. 


♠

Esercizio – Un fornello elettrico di potenza 500 W porta un litro di acqua dalla 

temperatura ambiente di 16 °C all’ebollizione in 20 minuti. Calcolare la 

frazione di calore dispersa nell’ambiente. 

———————————— 

Soluzione – 

Q tot = W t = 500 × 20 × 60 = 6×10 5 J = 1.435×10 5 cal; 

Q acqua = mc(T fin -T ini ) = 1 × 10 3 ×(100 – 16) = 8.4×10 4 cal; 

η = (Q tot -Q acqua ) / Q tot = 1 – 8.4×10 4 / (1.435×10 5 ) = 41.5 %. 


♠

Esercizio – Una teiera elettrica può essere riscaldata con due resistenze 

elettriche. Utilizzando la prima si prepara il tè in 15 minuti, mentre con la 

seconda occorrono 30 minuti. Trascurando la dispersione di calore 

nell’ambiente, calcolare il tempo necessario per fare il tè utilizzando le due 

reistenze in serie oppure in parallelo. 

———————————— 

Soluzione – 

1° caso : W 1 = ∆V 2 / R 1 ; Q = W 1 t 1 = ∆V 2 t 1 / R 1 ; 

2° caso : W 2 = ∆V 2 / R 2 ; Q = W 2 t 2 = ∆V 2 t 2 / R 2 ; [Q e ∆V sono gli stessi !!!] 

rapporto : t 1 / t 2 = R 1 / R 2 = ½ ⇒ R 1 = ½ R 2 ; 

a) serie : R tot;a = R 1 +R 2 = 1.5 R 2 ⇒ t a / t 2 = R tot;a / R 2 ⇒ t a = t 2 R tot;a / R 2 = 45 min. 

b) parallelo : R tot;b = R 1 R 2 /(R 1 +R 2 ) = R 2 /3 ⇒ t b = t 2 R tot;b / R 2 = 10 min. 


♠

Campo 

magnetico 


Esercizio – Due conduttori rettilinei, in cui passa una corrente di 2 A e 3 A 

rispettivamente, formano una croce, sfiorandosi senza toccarsi. Calcolare il 

valore del campo magnetico nei quattro punti posti a 2 cm da entrambi i 

conduttori. 

———————————— 

Soluzione – I campi sono tutti ortogonali al 

piano; chiamiamo “+” il verso uscente : 

A) 

B 

z 

tot 

= 

B 

z 

1 

− B 

z 

2 

= 

0 ⎛ i1 

⎜ 

2π 

⎝ L 

− 

i2 

L 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= 

µ 0 

2π 

L 

( i − i ) 

1 

2 

= 

D 

L 

A 

= 

2 × 10 

0.02 

−7 

× (2 − 3) 

= 

−1× 

10 

−5 

T; 

L 

B) 

C) 

B 

B 

z 

tot 

z 

tot 

= 

= 

−B 

−B 

z 

1 

z 

1 

− B 

+ B 

z 

2 

z 

2 

µ i 2 

i 1 

= −5 

× 10 

= 1× 

10 

−5 

−5 

T; 

T; 

C 

B 

D) 

B 

z 

tot 

= 

B 

z 

1 

+ 

B 

z 

2 

= 

5 × 10 

−5 

T; 


♠

Esercizio – Una bobina rettangolare, di lati 5 cm e 3 cm, composta da 100 

spire, ruota compiendo 10 giri al secondo all’interno di un campo magnetico di 

2 T, ortogonale all’asse di rotazione della spira. Calcolare la f.e.m. indotta. 

———————————— 

Soluzione – Calcoliamo il flusso del campo attraverso la spira, in funzione del 

tempo, poi deriviamo : 

! ! 

Φ = NB ⋅S 

= NBab sin( ωt) 

= NBab sin(2πν 

t); 

dΦ 

I = 

dt 

I 

B 

max 

B 

= 

d 

dt 

[ NBab sin(2πν 

t) 

] 

= 2πνNBab 

cos(2πν 

t); 

= 2 × π × 10 × 100 × 2 × 0.05 × 0.03 = 18.8 V; 

ω = 

2πν 

= 

2 × π × 10 

= 

62.8s 

−1 

. 


♠

Esercizio – Una bobina quadrata, di lato 20 cm, ha un lato che è libero di 

scorrere rispetto agli altri. La bobina è fatta di materiale conduttore con 

resistenza 2 Ω, indipendente dalla posizione del lato mobile. La bobina si 

trova in un campo magnetico di 3 T, ortogonale ad essa, con il lato mobile che 

si muove alla velocità di 4 m/s verso l’esterno. Calcolare la corrente indotta. 

———————————— 

Soluzione – Calcoliamo il flusso in funzione del tempo, poi deriviamo : 

Φ 

B 

= 

! ! 

B ⋅S 

= 

Ba( 

a 

+ vt); 

i 

= 

1 

R 

dΦ 

dt 

B 

= 

1 

R 

d 

dt 

Bav 

R 

3 × 0.2 × 4 

2 

[ Ba( 

a + vt) 

] = = = 1.2 A. 


♠

Fine 


Ottica 

Paolo Bagnaia - CTF - 1x - Esercizi di yy ♠ 1








65P, 67E, 69E, 73E, 75P, 77P, 81P], S 1 [33, 35, 37, 39, 41, 49], S 2 [1, 

7,9,11, 13, 17, 21, 23, 25, 29, 33, 35, 37, 43, 47], S 3 [3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 

17, 19, 25, 27, 29, 31, 35, 37, 39, 41, 55]. 


HRW 

Paolo Bagnaia - CTF - 1x - Esercizi di yy 2

Esercizio – In quale direzione un subacqueo vede il sole che tramonta ? 

(n acqua = 1.33) 

———————————— 

Soluzione – 

L’effetto è causato dal cambio di direzione della luce che entra nell’acqua. 

Dalla legge di Snell : 

sin i / sin r = n r / n i ⇒ 

sin 90° / sin α = n acqua / n aria ⇒ 

α 

sin α = 1 / 1.33 = 0.752 ⇒ 

α = 48° 75. 

Paolo Bagnaia - CTF - 1x - Esercizi di yy 3 

♠

Acustica 


Esercizio – Un aeroplano emette suoni con la potenza di 5 W. Quale è 

l’intensità sonora a 1 m, 10 m, 1 Km ? Se la soglia auditiva è a 50 dB, a che 

distanza è udibile ? 

———————————— 

Soluzione – Dalla definizione di intensità sonora : 

β = 10 Log 10 I/I 0 = 10 Log 10 [W/(4πR 2 I 0 )] [I 0 = 10 -12 W/m 2 ]; 

a) β 1 (1 m) = 10 Log 10 [W/(4πR 2 I 0 )] = 10 Log 10 [5 / (4×π×1 2 ×10 -12 )] = 116 dB; 

b) β 2 (10 m) = 10 Log 10 [5 / (4×π×10 2 ×10 -12 )] = 96 dB; 

c) β 3 (1 Km) = 10 Log 10 [5 / (4×π×1000 2 ×10 -12 )] = 56 dB; 

d) β 4 = 10 Log 10 [W/(4πx 2 I 0 )] ⇒ 

x = [W / (4π I 0 10 β/10 )] ½ = [5 / (4×π×10 -12 ×10 5 )] ½ = 1995 m = 1.99 Km. 

Paolo Bagnaia - CTF - 1x - Esercizi di yy 5 

♠

Fine

(AL) AA 2002-2003 Paolo Bagnaia - Fisica - Sapienza

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