ﺗﺎرﯾﺨï½ﻪ و ﻣﻔﻬﻮم اﺣﺘﻤﺎل 1 : ﺼﻞ ﻓ
ﺗﺎرﯾﺨï½ﻪ و ﻣﻔﻬﻮم اﺣﺘﻤﺎل 1 : ﺼﻞ ﻓ
ﺗﺎرﯾﺨï½ﻪ و ﻣﻔﻬﻮم اﺣﺘﻤﺎل 1 : ﺼﻞ ﻓ
- TAGS
- mises
- ee.sharif.edu
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
فصل 1:<br />
تاریخچه و مفهوم احتمال<br />
Section 1.1<br />
تاریخچه و مفهوم احتمال:<br />
در واقع شانس و عدم قطعیت تاریخچهای به درازای تمدن بشریت دارد.<br />
گفته میشود که شواهدی از قماربازی در 3500 سال قبل از میلاد بهدست آمده (در مصر و<br />
(...<br />
و تاسی شبیه تاس کنونی در مصر<br />
(2000 سال قبل از میلاد) به دست آمده است. متأسفانه قماربازی و تاس نقش مهمی در توسعۀ تئوری احتمال داشته است.<br />
تئوری احتمال به طور ریاضی توسط پاسکال (و فرما) در قرن 17 آغاز شد که سعی در حل و بهدست آوردن احتمال دقیق در برخی<br />
مسائل قماربازی به طور ریاضی داشتند. البته قبل از آنها نیز کاردان و گالیله (قرن<br />
پرداختهاند.<br />
(16<br />
به حل چنین مسائلی (به طور عددی)<br />
از قرن هفدهم مرتباً تئوری احتمال توسعه یافت و در رشتههای مختلف بهکار گرفته شد. امروزه احتمال در اغلب زمینههای مهندسی<br />
و علوم مدیریت ابزار مهمی است و حتی استفاده از آن در پزشکی، رفتارشناسی، حقوق و<br />
...<br />
1<br />
مطرح است!
پاسکال:<br />
بشری درآید.<br />
فوقالعاده است که این علم در آغاز برای بررسی بازیهای شانس ابداع شده بود، ولی امروزه باید به عنوان مهمترین دانش<br />
با وجود کاربرد وسیع احتمال و علیرغم اینکه چنین مفاهیمی را دائماً در زندگی روزمره استفاده میکنیم، تعریف علمی یگانهای برای<br />
احتمال وجود ندارد و در طول تاریخ رشد تئوری احتمال تعاریف مختلفی از احتمال شده است که هر یک بعداً مورد انتقاد دیگران قرار<br />
گرفته است.<br />
2
.1<br />
تعریف کلاسیک احتمال (توسط پاسکال در قرن<br />
(17<br />
اگر در یک آزمایش تصادفی (بعد دقیق تعریف میکنیم)، تعداد کل نتایج ممکنه N باشد، احتمال واقعۀ A عبارت است از:<br />
تعداد نتایج مطلوب<br />
تعدادکل نتایج ممکنه<br />
N A<br />
P(A) = =<br />
N<br />
.2<br />
تعریف فراوانی (فرکانس) نسبی (تعریف آماری)<br />
این تعریف اولین بار در قرن جاری<br />
(1957)<br />
اگر آزمایش تصادفی را n بار انجام دهیم، برای n بزرگ داریم:<br />
توسط Von Mises برای اصلاح تعریف کلاسیک معرفی شد.<br />
P(A) <br />
n A<br />
n<br />
، یا به تعبیر بهتر:<br />
.<br />
n<br />
P(A) = lim<br />
A<br />
n →+∞ n<br />
.3<br />
تعریف ذهنی<br />
(Subjective)<br />
نگرش به احتمال به عنوان معیاری از میزان اعتقاد به یک امر است.<br />
مثلاً وقتی میگوییم فلان متهم به احتمال<br />
البته این بسیار به قضاوت کننده بستگی دارد<br />
احتمال<br />
%70<br />
مجرم است، در اینجا احتمال بیانگر میزان اعتقاد ما به حقیقت یک امر میباشد.<br />
Subjective) است)<br />
%90<br />
مجرم است.<br />
و ممکن است با همان دلایل و مدارک شخص دیگری بگوید به<br />
تعاریف گذشته اشکالاتی دارند که از آنها به عنوان مبنای یک تئوری ریاضی نمیتوان استفاده کرد.<br />
3
.4<br />
تعریف اصولی<br />
(Axiomatic Definition)<br />
این تعریف توسط کولموگروف در سال<br />
1933<br />
مبنای تئوری اندازه ارائه میشود و به هر واقعه عددی<br />
کند)<br />
نسبت داده میشود.<br />
ممکن است تطابق کامل با واقعیت نداشته باشد.<br />
ارائه شد<br />
اینکه چه عددی به هر واقعه نسبت داده شود<br />
احتمال میتوانیم احتمال وقایع دیگر مورد نظرمان را بهدست آوریم.<br />
(البته سالها طول کشید تا مورد توجه قرار گیرد).<br />
در اینجا احتمال بر<br />
(که احتمال آن واقعه نامیده میشود و باید در اصول موضوعۀ سهگانه صدق<br />
(با فرض ارضاء شرایط اصول موضوعه)<br />
دلخواه است و<br />
اما با فرض صحت این احتمالات مفروض برای واقعهها، با استفاده از تئوری<br />
یعنی سه مرحله<br />
(در مدلسازی احتمالاتی)<br />
وجود دارد:<br />
سکه<br />
با پروسهای مواجهیم که به دلیل پیچیدگی، وقوع وقایع را به صورت احتمالی میخواهیم مدل کنیم (مثل شیر یا خط آمدن<br />
و یا پیشبینی وضع هوا، در واقع<br />
احتمالاتی است (مثل مکانیک کوانتومی).<br />
پروسههای<br />
دترمینیستیک(Deterministic) و تابع قوانین فیزیکی) یا اینکه ذاتاً<br />
لذا برای واقعههای<br />
P(A i ) احتمالات ،A i<br />
را در نظر میگیریم.<br />
.1<br />
با فرض اینکه ) i P(Aها اصول موضوعۀ معینی را ارضاء کنند، با استفاده از منطق و استدلال احتمال وقایع<br />
محاسبه می کنیم.<br />
) i P(B را<br />
B i<br />
.2<br />
پیشبینی میکنیم که در عمل وقایع<br />
به احتمال<br />
P(B i )<br />
اتفاق بیفتند.<br />
B i<br />
.3<br />
4
1 و مراحل<br />
3 با جهان خارج سر و کار دارند، در حالی که مرحلۀ دوم کاملاً مفهومی است و ما در آن با مدل احتمالاتی که از جهان<br />
خارج ساختهایم سر و کار داریم. در مرحلۀ دوم هیچ شک و شبهه و گمانی نیست. همه چیز بر مبنای استدلالات کامل و دقیق منطقی<br />
است. یعنی به این ترتیب احتمال نیز علمی کاملاً دقیق و استدلالی خواهد بود.<br />
در این درس ما از تعریف اصولی احتمال استفاده میکنیم. البته در مراحل<br />
1 و<br />
3 که نسبت دادن احتمالات به جهان خارج است،<br />
استفاده از سایر تعاریف احتمال مفید واقع میشود. ممکن است گفته شود چه فایده که نتایج لزوماً با نتایج واقعی تطابق نخواهد داشت.<br />
ولی در هر علم دیگری نیز همینطور است.<br />
ما مدلهایی را که اغلب خیلی سادهتر از<br />
جهان خارج اتفاق میافتد پیشبینی میکنیم.<br />
جهان خارج هستند را فرض کرده و آنالیز میکنیم و نتیجۀ آنالیز را با تقریب برای آنچه در<br />
مثلاً در تئوری مدار داریم:<br />
V<br />
.R =<br />
I<br />
مقاومت واقعی با آنچه ما در آنالیز ایدهآل خود مدل<br />
کردهایم متفاوت است و لذا پاسخ مداری که در جهان خارج داریم کاملاً با پاسخی که تئوری مدار میدهد مطابقت نمیکند.<br />
عنوان تقریبی از آن قابل استفاده است.<br />
ولی به<br />
نکتۀ دیگر اینکه ممکن است تصور شود استفاده از احتمالات همواره ناشی از جهل ما نسبت به پدیدهها و قوانین حاکم بر آنها است و<br />
لذا آنالیز احتمالاتی را پیش میگیریم. ولی در واقع باید دانست که در بسیاری از موارد وقتی از آنالیز دترمینیستیک استفاده میکنیم،<br />
مسأله را آنقدر ساده کردهایم که به مراتب میزان جهل و کنار گذاشتن اطلاعات در آن بیشتر است.<br />
5
مثلاً مقدار مقاومت 2Ω دقیقاً 2Ω نیست، بلکه توزیعی حول و حوش 2Ω دارد. وقتی دو مقاومت 2Ω را سری میکنیم اگر فقط<br />
متوسطها را بهکار بریم، میگوییم مقاومت حاصله 4Ω است. در حالی که آن هم یک رنج مقادیر و توزیع خاصی دارد.<br />
یا گلولۀ توپ وقتی پرتاب میشود، در آنالیز سادۀ دترمینیستیک یک نقطه برای محل برخورد آن با زمین پیشبینی میشود، در حالی<br />
که در آنالیز احتمالاتی یک محوطه با تعیین میزان چگالی احتمال نقاط مختلف بهدست میآید.<br />
6
Change language