改良式分析階層程序法權重求解模式之研究 - 工學院- 國立臺灣大學

國立臺灣大學「台大工程」學刊第九十二期民國九十三年十月第 11–27 頁 

Bulletin of the College of Engineering, N.T.U., No. 92, October 2004, pp. 11–27 

11 

改良式分析階層程序法權重求解模式之研究 

DEVELOPMENT OF AN IMPROVED 

WEIGHT-SOLVING MODEL FOR 

THE ANALYTIC 

HIERARCHY PROCESS 

* 

王建武 

** 

王明德 

張家祝 

† 

Jiann-Wuu Wang Ming-Teh Wang Chia-Juch Chang 

* 

助理教授 

** 

† 

兼任副教授兼任教授 

* 

中華技術學院建築工程學系 

** † 

國立台灣大學土木工程學系 

* Assistant Professor 

** Associate Professor 

† Professor 

* Department of Architecture and Building Engineering, China Institute of Technology, Taipei, Taiwan 11581, R.O.C. 

** † Department of Civil Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan 10617, R.O.C. 

Abstract 

The Analytic Hierarchy Process (AHP) is a popular 

multicriteria decision analysis methodology that yields 

priorities for decision attributes in various levels of a 

hierarchy. This paper proposes a new improved weightsolving 

approach for solving procedures of decisionmaking 

activity to ensure operative efficiency and 

effectiveness of the traditional AHP, which has some 

criticisms including the problems of acceptable consistency 

threshold and consistency test error. In this paper, an 

example is other introduced to analyze and illustrate the 

new weight-solving procedure of the proposed algorithm 

for application of decision-making. 

Keywords: consistency, weight-solving, analytic 

hierarchy process (AHP). 

摘要 

本文目的旨在針對現行多評準決策之權重設定問題求 

解 , 所廣泛採行之分析階層程序法 (AHP) 的缺失 , 發展一 

改良式之權重求解模式 , 以有效克服及解決原 AHP 法受人 

詬病之一致性可接受門檻及統計檢定偏誤等問題 , 從而提 

高原 AHP 法之決策制定的效率與效果 ; 並且以一範例剖析 

說明本文所發展改良模式之權重求解操作程序 , 以供作決 

策制定時的應用參考。 

關鍵詞 : 一致性、權重求解、分析階層程序法。 

1. 前言 

在瞬息萬變的工程市場環境中 , 無論是私部門或 

是公部門營建工程專案計畫之決策主體 ( 管理 / 決策 

者 ), 常需面臨著許多亟待解決的複雜決策問題。這些 

複雜的決策問題 , 由於其隱含著多屬性及多準則的特 

質 , 且其求解之諸目標或準則間 , 常有價值權衡 

(value tradeoffs) 的關係。因之如何決定這些目標或準 

則間之相對重要程度 ( 即權重大小 ), 以讓決策主體進 

而由其諸替選方案中 , 評選出一最佳的方案去執行 , 

已成為各決策主體在問題求解之過程中 , 所亟需要面 

對與謀求解決的重要課題之一。而在主觀權重求取之 

諸技術方法中 , 其目前廣受學術界及實務界普遍探討 

及採行之分析階層程序法 (analytic hierarchy 

process,AHP), 正可以其極佳的數量化理論基礎以及 

人性化設計特性 , 提供一個解決之道。 

前述揭櫫之分析階層程序法 (AHP), 係由美國匹 

茲堡大學教授 Saaty 於 1971 年首先提出 , 為一系統 

化、科學化解決多準則、多方案、主觀決策問題的技 

術方法。其後經由不斷地應用、修正以及驗證之後 , 

整個理論架構於 1980 年後才趨於成熟 , 並在 1980 年 

代以後陸續以專著 [1~7] 方式 , 提出其完整的決策制 

定方法論 (decision-making methodology)。該法由於 

其結構清晰、理論簡潔、操作容易 , 可整合多數決策 

主體的決策 , 可驗證判斷偏好之一致性程度 , 而在實 

務上甚具實用價值 , 並已被實証確認為具有甚佳的效 

度 (validity)[2]。雖然此方法在操作使用上 , 仍有諸 

多受到爭議及值得商榷的問題存在 ( 詳見 2.2 節 ), 惟 

其仍瑕不掩瑜、無損其成為多屬性決策 (multiattribute 

decision making,MADM) 分析技術中最重要 

的一支 , 並已被廣泛地應用於營建、運輸、資訊、能 

源、經濟、社會、財務、環境、教育、保健、行銷、

12 國立臺灣大學「台大工程」學刊第九十二期民國九十三年十月 

軍事、政治 ( 策 ) 等各個領域 , 做為規劃、最佳化、 

需求確定、優先順序決定、替選方案產生、最佳方案 

/ 政策選擇、資源配置、結果預測 ( 風險評估 )、績效 

衡量、系統設計、系統穩定性確保以及衝突化解 ( 管 

理 ) 等十二種類型問題 [1,2,4,5] 求解之輔助工具。 

惟分析階層程序法 (AHP) 發展至今 , 雖已歷經 

諸多的改良 , 然以往 AHP 之相關研究 , 無論是採行 

向外整合或是向內精進其理論方法 , 多係依循原 AHP 

法之操作邏輯及流程 , 著重於決策制定活動中的計算 

與評比 , 諸如評估準則之訂定、評比尺度之設定、群 

體偏好之整合、權重正規之方式以及替選方案之評選 

等方面。對於原權重求解模式之整體邏輯及程序 , 其 

適用性、實用性與效率性上之系統檢討與缺失改善 , 

則往往被漠視、未見文獻剖析與探討 , 以致構成 AHP 

理論基礎的核心 - 偏好權重計算與一致性統計檢 

定 , 所引起的頗多爭議與質疑如一致性意義、一致性 

上限門檻值、一致性檢定偏誤失真等問題 [8~10], 迄 

今仍舊存在、亟待有效予以解決。 

因此 , 為期能有效克服及解決前揭原 AHP 法受 

人詬病之一致性統計檢定等問題 , 以提高決策主體決 

策制定的效率與效果 , 本文擬先就 AHP 法之基本理 

論與其應用發展之相關文獻 , 作一系統性地回顧與探 

討 ; 其次就 AHP 法現行權重求解程序上的缺憾 , 說 

明其可行的改善途徑與分析邏輯 , 並嘗試從一致性矩 

陣的遞移性質 , 推導建立一易於理解及便利操作之權 

重求解改良模式 ; 最後則依本文所發展之主觀權重改 

良模式 , 以一範例闡釋說明其求解演算之運行操作步 

驟及判斷偏好值之敏感性 , 以供作工程決策主 ( 群 ) 

體從事決策分析時的參考。 

二、文獻回顧探討 

2.1 基本理論 

Saaty 之分析階層程序法 (AHP), 源於處理量化 

/ 質化值之衡量理論 (measurement theory) [11], 屬於 

多準則決策 (multi-criteria decision making,MCDM) 

分析中可獲得決策者基數 (cardinal) 型態偏好資訊 

之多屬性決策 (MADM) 方法。其主要係藉由階層分 

析 (hierarchical analysis) 的觀念 , 透過專家學者之主 

觀意見與評估 , 將錯綜複雜的決策問題加以系統化地 

逐步分解 , 使問題決策之情境能予以結構化 , 並架構 

其所有決策目標及評估準則之後 , 先利用評比尺度 

(scaling ratio) 來對其兩兩目標或準則間之相對重要 

性 , 進行量化之成對比較 (pairwise comparison); 然 

後再由其判斷矩陣中之主特徵向量 (principle 

eigenvector), 求取各決策目標或評估準則間之相對權 

重 , 並求得各替選計畫或方案之優勢程度 (priority), 

而據以進行排序、做出決策。 

該分析階層程序法 (AHP) 為一綜合應用歸納法 

(inductive) 與演繹法 (deductive) 的分析邏輯 , 來反 

映人類天生決策思維之分解 (decomposition)、判斷 

(judgement) 與綜合 (synthesis) 過程的一有效決策方 

法。其內所隱含的基本假設有九項 , 列述如下 

[2,7,11]: 

1. 每一系統均可被充分分解成數個類項 (classes) 

或組項 (components) , 並形成一有向網路 

(directed network)、上下隸屬之完整階層結構。 

2. 在系統階層結構中 , 各階層要素 ( 目標或準則 ) 

均具獨立性 (independence); 而其彼此之間 , 則 

為互斥集合 (disjoint sets) 的關係。 

3. 每一階層內任二要素 ( 目標或準則 ) 之相對重要 

性 , 可用其上一階層 (immediate higher level) 內 

某些或所有要素作為評比基準 , 來進行兩兩比較 

評估。 

4. 可轉換絕對數值尺度為比例尺度 (ratio scale), 使 

評比尺度有相同原點、具均質性 (homogeneity), 

以進行其成對比較判斷之評估。 

5. 成對比較評估後 , 可使用正倒值矩陣 (positive 

reciprocal matrix) 加以處理 , 來建立決策主體的 

偏好結構 (preference structure)。 

6. 決策者對各要素之偏好具獨立性 , 與替選計畫或 

方案之屬性無關 ; 且各要素間之偏好關係 , 包括 

其偏好之優劣與強度關係 , 均滿足遞移性 

(transitivity)。 

7. 在可允許之一致性 (consistency) 範圍內 , 容許部 

分不完全滿足遞移性質之成對比較判斷矩陣 ( 偏 

好結構 ) 存在。 

8. 各階層要素 ( 目標或準則 ) 之優勢程度 , 可依據 

加權法則 (weighting principle) 來加以綜合求得。 

9. 在階層結構中之任一要素 ( 目標或準則 ), 不論其 

優勢程度的大小如何 , 均與該問題系統之整個評 

估結構有關。 

利用分析階層程序法 (AHP) 來進行決策活動 , 

必須符合階層結構之預期性 (expectation , 即 

completeness)、判斷尺度之均質性 (homogeneity)、偏 

好強度之互倒性 (reciprocal) 以及要素 / 偏好之獨立 

性 (independence) 等四項理論的通則 (axioms) 

[11]。而其運行操作的程序 , 主要包括有三個階段 : 

(1) 建立階層結構 ( 問題之確認與分解 ),(2) 求解各階 

層要素權重 ( 判斷之識別與比較 ),(3) 計算整體階層 

權重 ( 優勢之綜合並排序 ) [1~3,7,11,12]。其中 , 位居 

AHP 關鍵地位之第二階段 , 其各階層要素 ( 決策目標

王建武 . 王明德 . 張家祝 : 改良式分析階層程序法權重求解模式之研究 13 

或評估準則 ) 主觀權重評價之程序 , 又可將其區分為 

如圖 1 所示之三個重要步驟 [1,2,5], 茲分述如下 : 

步驟 1. 建立成對比較矩陣 

某一階層要素 ( 數目 n ≤ 7), 以上一階層某一要 

素作為評估基準之下 , 依九點尺度法給予名目尺度 

(norminal scale) 重要性強度 1 至 9 的數值評點 

[1,2,7,12], 分別為 1/9、1/8、…、1/2 ( 倒數 ) 與 1、2、…、 

8、9 ( 整數 ) 十七個出象值 ( 以 1:1 為中心 ) 之評點 

比重 ( 參見表 1), 由決策主體本於個人專業知識及實 

務經驗 , 來進行 n 個要素間之 C n 2 = n(n − 1)/2 次、 

17 n(n −1)/2 

組合數的兩兩成對比較判斷與偏好相對衡量 

[3,13], 並建立 n × n 之成對比較正倒值判斷矩陣 

[a ij ] n×n , 如下式所示。 

⎡ 1 a12 

. . a1 

n ⎤ 

⎢ 

⎥ 

⎢1/ 

a21 

1 . . a2n 

⎥ 

A = [ a = 

⎢ 

⎥ 

ij 

] 

n× 

n ⎢ 

. . . . . 

⎥ 

(1) 

⎢ . . . . . ⎥ 

⎢ 

⎥ 

⎢⎣ 

1/ a 1/ . . 1 ⎥ 

1n 

a2n 

⎦ 

其中 : 

a 

= w / w = 1/ a > 0, ∀ i j 

(2) 

ij i j ji 

, 

式中 : 

a ij 為第 i 要素與第 j 要素之相對重要 ( 貢獻 ) 程度的 

比值 

w i 為第 i 要素對上一階層某要素之相對重要性 ( 貢獻 

度 ) 

這些成對比較判斷之偏好結構 [a ij ] n×n , 屬於乘法 

型矩陣 (multiplicative matrix) 形式 , 具有如式 (2) 所 

揭露之矩陣 A 內所有元素均為正值 (a ij > 0), 而對稱 

元素間是呈互為倒數關係 (a ij = 1/a ji ) 的性質。且依據 

前揭假設 (7), 在某一限度之內 , 是容許可有 a ik × a kj 

≠ a ij (∃ i, k, j) 之不一致 (inconsistency) 情形存在。 

而且若決策主體如係為多數 ( 數目 m ≥ 2), 則其不同 

判斷偏好整合之處理方式 , 係以幾何平均數來代表該 

群體決策 (group or collective decision making) 偏好 

的共識值 [2,5,14]。其計算式如下 : 

1. 建立成對比較矩陣 

A = [a ij ] n×n 

2. 計算最大特徵值及特徵 ( 優勢 ) 向量 

求取最大特徵值 λ max 

3. 檢定矩陣偏好一致性 

求算比較判斷矩陣 A 

之一致性比率 (CR) 

矩陣一致性 

不滿意 

重新評價棄卻 

滿意 

求取特徵 / 優勢向量 

接受相對權重 

( 提供決策資訊 ) 

圖 1 分析階層程序法之權重計算程序 

⎧ aijp 

, 當 m = 1 時 

⎪ 

m 

aij = ⎨ 

(3) 

m 

⎪ ∏ aijp 

, 當 m > 1 時 

⎩ 

p= 

1 

式中 : 

a ijp = w ip /w jp 為第 p 決策主體對 (i, j) 成對要素之評比值 

m 為決策主體人數 

前揭群體決策環境中 , 所需之最佳決策主體的規 

模 , 以 5 至 7 人為宜 [15]; 而 Saaty 提出以幾何平均 

函數 , 作為群體判斷偏好整合函數的作法 , 由於幾何 

平均函數已被證明是唯一能同時滿足可分解性 

(separability) 、同一性 (unanimity) 、互倒性 

(reciprocal) 、均質性 (homogeneity) 以及乘冪性 

(power) 條件等群體決策特性的函數 , 較其他準算術 

平均數 (quasiarithmetic mean) 型式之整合函數 , 如均 

方根 (root-mean-square)、均方冪 (root-mean-power)、 

算術平均數、調和平均數與指數平均數等函數 , 表示 

群體共識之效果為佳 [16], 有其理論上的數學基礎 , 

而廣獲許多學者們的支持與實務採用。 

表 1 AHP 法之評估尺度 

成對比較要素 X: 要素 Y 要素 Y: 要素 X 

名目尺度 

( 強度 ) 

絕 

強 

極 

強 

頗 

強 

稍 

強 

等 

強 

稍 

強 

頗 

強 

極 

強 

絕 

強 

比率尺度 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 

出象評點 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 

(X:Y) 整數倒數 

尺度區間 7 (= 9 – 2) ← → 0.4 (= 1/2 – 1/9) 

註 : Saaty 九點尺度法之設計方式 , 係以五個基本尺度為本 , 其間再加入妥協狀況下之折衷值 

(intermediate values) 而產生。


步驟 2. 計算最大特徵值及特徵 ( 優勢 ) 向量 

依主成份分析 (principal component analysis) 觀 

念 , 利用右特徵向量法 (right eigenvector method), 來 

求取其最大特徵值 (maximal or principal eigenvalue 

of A) λ max , 並找出其所對應之右特徵向量 ; 而此右特 

徵向量經由以總和為 1 方式 , 進行正規化 

(normalization) 後所得到的數值 , 即為各評估要素之 

相對權重 / 重要性向量 (relative weight/importance 

vector, 又稱為 priority vector)。其特徵方程式如下 : 

( A−λ I) W = 0 

(4) 

式中 : 

A = [a ij ] n×n 為成對比較矩陣 

λ 為判斷矩陣 A 之特徵值 

I 為 n × n 之單位矩陣 (identity matrix) 

∑ 

W = [w i ] n×1 為相對權重 ( 優勢 ) 向量 , 其 w = 1 。 

n 

i= 

1 

前揭判斷矩陣 A 之最大特徵值 , 已被證明為恆大 

於或等於其矩陣階數 (order) n, 亦即不等式 λ max ≥ n 

恆成立 [2,12]。而且若成對比較矩陣 A 具一致性時 , 

則由於其成對比較值能顯現出決策要素間真正的偏 

好強度 , 其 Rank (A) = 1, 故該比較矩陣 A 之特徵向 

量可由任一行向量來求得 ; 且其特徵值和、主對角線 

和以及最大特徵值 , 均等於矩陣的階數 [7,12]。換言 

之 , 亦即具有如下性質存在 : 

λ 

= 

n 

∑ 

λi = Trance( A) 

= n 

max 

(5) 

i= 

1 

Saaty 用來求取各階層要素權重所使用之右特徵 

向量法 , 在判斷矩陣 A 為一致性及非一致性之情況 

下 , 已被證明其結果均能維持一定的穩定程度 [17]。 

惟求解此一線性規劃問題之數學運算 , 在矩陣階數 (n) 

越多時 , 其計算複雜度將遽增 , 求解過程亦愈趨於繁 

複及困難 ; 而該特徵向量法的解答 , 另可以由式 (6) 

來予以近似地精確求出 [18]。 

k T 

⎛ A e ⎞ 

lim ⎜ ⎟ 

= c ϖ 

k→ 

∞ 

k T 

⎝ e A e ⎠ 

式中 : 

A = [a ij ] n×n 為成對比較矩陣 

e = (1, 1, …, 1) 為單位列向量 

ϖ = 

[ ω ] 

n× 

1 

i 

為矩陣 A 之特徵向量 

k, c 為正值常數 

式 (4) 求取相對權重 ( 優勢 ) 向量的方法 , 若不需 

要較嚴密精確性之數值時 , 可採用 Saaty 所提出之行 

元素平均值正規化 (average of normalized columns, 

ANC)、列元素平均值正規化 (normalization of the row 

i 

(6) 

average,NRA)、行元素和倒數正規化 (normalization of 

the inverse column sum,NIS) 或列元素幾何平均數正 

規化 (normalization of the geometric mean of the 

rows, NGM) 等四種近似特徵向量法來加以求得 

[1,2,11]。其中 , 以 NGM 法 ( 即對數最小平方法 ) 之 

求解效度最高 , 也最為常用 [19]。至於其最大特徵值 

λ max , 則可依據 Perron-Frobenius 定理 , 按下列計算式 

來加以估算求得 [7]。 

λ 

max 

1 

= 

其中 : 

n 

∑ 

n i= 

1 

wˆ 

i 

w 

i 

[ 

i 

] 

n× 1 

= AW = [ aij 

] 

n× 

n 

[ wi 

] 

n× 

1 

(7) 

w ˆ 

(8) 

w 

i 

⎧ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

= ⎨⎛ 

⎪ 

⎪ 

⎜1 

⎝ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎩ 

式中 : 

n 

1 

n 

∑ 

j= 

1 

n 

∑ 

i= 

1 

∏ 

j= 

1 

∑ 

⎛ 

⎜a 

⎝ 

∑∑ 

∑ 

∑ 

ij 

j= 1 i= 

1 

n 

n n 

n 

n 

a 

⎞ 

a 

⎟ 

ij 

⎠ 

a 

ij 

ij 

i= 1 j= 

1 

n 

⎛ 

⎜1 

⎝ 

a 

∑ 

j= 1 i= 

1 

n 

n 

∑ 

n 

∏ 

i= 1 j= 

1 

⎞ 

a 

⎟ 

ij 

⎠ 

n 

ij 

n 

a 

⎞ 

a 

⎟ 

ij 

⎠ 

ij 

, for 

, for 

, for 

, for 

ANC 

NRA 

NIS 

NGM 

ŵ 

i 

為判斷矩陣 A 與優勢向量 W 相乘後之新行向量元 

素 

w i 

∈ W 為相對權重行向量元素 ( 由式 (9) 近似法求得 ) 

n 為比較矩陣 A 之階數 ( 即評估目標或準則數 ) 

前述 Saaty 建議之兩種求取優勢向量的方法 - 

特徵向量法與近似特徵向量法 , 已被模擬驗證為「特 

徵向量法」比「近似特徵向量法」較具有更佳的求解 

能力 ; 而且在成對比較正倒值矩陣 A 滿足一致性條件 

下 , 利用此兩種解法所求得的結果是完全相同的 

[20]。 

步驟 3. 檢定比較矩陣 ( 主觀判斷 ) 之一致性 

對於成對比較矩陣 A 之整體一致性 , 由於判斷矩 

陣之階數 (n) 越大 , 其可容許之不一致程度亦較寬 ; 

加以最大特徵值 (λ max ) 如愈接近矩陣階數 (n), 其矩 

陣一致性水準即會愈高 , 而當成對比較矩陣 A 完全具 

一致性時 , 則其兩者之差即會等於零 (λ max − n = 0) 

[2,12]。因此 Saaty 建議以如下定義之一致性比率 

(consistency ratio,CR), 來評定判斷矩陣 A 之一致性 

程度 [2] 。在式 (10) 中 , 一致性指標 (consistency 

index,CI) 係由判斷矩陣 A 之最大特徵值 λ max 所定 

義 , 而隨機指標 (random index,RI) 則是以隨機產生 

(9)


方式模擬多個樣本之正倒值矩陣一致性指標 (CI ) 的 

平均值 , 其值係隨著矩陣階數 (n 值 ) 的增加而增加 , 

詳如表 2 所示 [2,12]。 

CR = 

式中 : 

CI 

RI 

λmax 

− n 

= 

( n −1) 

⋅ RI 

CI = ( λ max 

− n) /( n −1) 

為一致性指標 

RI 為隨機指標 

λ max 為矩陣 A 之最大特徵值 

n 為比較矩陣階數 ( 評估目標或準則數 ) 

(10) 

前揭一致性比率 (CR) 之門檻值 (consistency 

threshold) δ,Saaty 係採取容許上限 0.10 之 10% 削除 

法則 (10% cut-off rule)[2,6~8,21] ; 並建議以 5% 

(0.05)、9% (0.09) 及 10% (0.10), 來分別作為三階、 

四階及更高階數 (n > 4) 判斷矩陣偏誤接受與否的檢 

定標準 [7]。若 CR = 0, 即 λ max = n, 表示該成對比較 

判斷矩陣具完全一致性 , 並無任何衡量誤差 

(measurement error) 存在。若 CR > 0, 即 λ max > n, 表 

示該成對比較判斷矩陣不完全具一致性 ; 而其判斷不 

一致之情境 , 又可依其不一致程度的大小區分為兩 

類。其一為 0 < CR ≤ δ, 此表示該成對比較矩陣具有 

令人滿意、可接受的一致性水準 ; 另一為 CR > δ > 0, 

此表示該成對比較矩陣之一致性 , 未達到滿意、可接 

受的信賴範圍內 , 而必須對該比較矩陣中之偏好評判 

值 , 重新加以理性地修正調整 , 以減少決策錯誤之風 

險 , 進而提高決策的品質。 

2.2 應用發展 

Saaty 所提出之分析階層程序法 (AHP), 為簡單 

加權法 (simple additive weighting) 的延伸 , 主要適用 

在近似清楚 ( 非模糊 ) 情況及具有多個評估要素 ( 目 

標或準則 ) 之決策問題上。目前其應用的範疇 , 業已 

廣泛擴及至各個學門領域 ; 而在土木工程與管理領域 

上之應用研究 , 則計有工程採購、發包選商、專案策 

略、維護管理、品質管制、益本分析、風險評估、區 

位選擇、設施佈置、運輸規劃以及系統評選等諸方面。 

AHP 法之應用範圍雖然廣泛 , 然其在操作使用 

上 , 仍有諸多受到爭議及值得商榷的問題存在。例 

如 : 比例尺度設定欠妥當性 [13,22~24]、決策要素具 

交互相關性 [25]、評比判斷比較值不確定性 [26]、 

權重正規化處置方式非適宜性 [22,27]、決策偏好結 

構一致性檢定偏誤失真 [10]、評估排序結果不嚴謹精 

確 [10,22,28]、增加方案因權重減少致排序逆轉 (rank 

reversal)[22,29] 以及執行決策效率隨矩陣階數 (n) 

的增加而降低 [30] 等問題。因此 ,AHP 法於理論與 

實証上之許多相關研究 , 自 1980 年代以後即係本諸 

前述問題發展之未完備狀況 , 來作為進一步探究改善 

的切入點。歸結之 , 可依其屬性類分為如下的研究主 

題 : 

1. 組合分析架構 : 如探討單一階層結構 [2]、多種 

階層結構 [31]、網狀結構 [2,5,17] 等。 

2. 評估尺度類別 : 如採取比率尺度 (ratio)[2,13]、順 

序尺度 (ordinal)[32]、區間尺度 (interval)[33]、 

語意尺度 (linguistic)[23] 等。 

3. 評比尺度等級 : 如選擇 1 ~ 9 尺度 [5,13,19,23]、 

1.1 ~ 1.9 尺度 [12]、7 點尺度 [19]、5 點尺度 

[10,19] 等。 

4. 判斷評點型態 : 如將評點視為隨機 [34]、區間 

[33]、模糊 [28] 等。 

5. 群體偏好整合 : 如採用中位數法 [32]、最大最小 

混合法 [32]、幾何平均數法 [2,14,16]、加權算術 

平均數法 [35]、加權幾何平均數法 [36]、機率判 

斷模式法 [29] 、折衷規劃法 (compromise 

programming)[37]、名目群體技術法 (norminal 

group technique)[38]、相似性整合法 (similarity 

aggregation)[39]、德爾菲法 (Delphi)[38]、模糊德 

爾菲法 (fuzzy Delphi)[25] 等。 

6. 主觀權重求算 : 如採行特徵向量法 [2,13,18,40]、 

對數最小平方法 [18,28,40]、幾何最小平方法 

[27]、加權幾何平均數法 [36] 等。 

7. 權重正規方式 : 如採循以權重總和為 1 [2,7,20]、 

以權重最大值為 1 [22] 之處置方法正規化等。 

8. 決策判斷檢定 : 如探討一致性 λ max 界限 [41]、一 

致性門檻 [42]、一致性指標 [43]、一致性衡量 

[8,9,21]、一致性改善 [44] 等。 

9. 其他理論整合 : 如結合德爾菲技術之德爾菲階層 

程序法 (Delphic hierarchy process,DHP)[39]、應 

用模糊集合理論之模糊分析階層程序法 (fuzzy 

AHP,FAHP)[45]、運用灰色系統理論之灰色分析 

階層程序法 (grey AHP,GAHP)[46] 等。 

表 2 隨機指標 (RI) 值 

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 

RI 0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.48 1.56 1.57 1.59 

註 :n = 1 ~ 11 之 RI 值係以 500 個樣本求得 

n = 12 ~ 15 之 RI 值則是以 100 個樣本求得。


揆諸以往 AHP 法之相關文獻 , 其研究發展多係 

著重於決策制定過程中之計算與評比 , 如評估準則訂 

定、評比尺度設定、群體偏好整合、權重正規方式、 

替選方案評選等方面 ; 不論是向外結合其他理論方法 

( 如模糊理論等 ), 抑或是向內強化其理論基礎或方法 

論 , 基本上其主觀權重的求解模式 , 仍多係沿用前揭 

2.1 節之 Saaty 邏輯程序 ( 參見圖 1), 以「比較判斷矩 

陣」為投入資料 , 以「要素相對權重」為產出資訊 , 

其間並經過決策偏好一致性檢定的確認處理過程 , 來 

構建其整個系統理論架構的操作體系。然而構成 AHP 

理論基礎之偏好權重計算與一致性統計檢定 , 迄今仍 

引起頗多的爭議與質疑 , 諸如 : 兩不一致性矩陣其 λ max 

(A 1 ) < λ max (A 2 ) 或 CI (A 1 ) < CI (A 2 ) 之一致性意義不 

詳 [8]、一致性比率 (CR) 或一致性指標 (CI ) 上限 

門檻值 0.1 訂定之妥當性在理論上並不清楚 [9]、判 

斷偏好矩陣一致性檢定發生偏誤失真現象 [10] 等問 

題 , 而亟待去探究與解決。茲就一致性檢定偏誤失真 

之指摘 , 釋例 [10] 說明如下 : 

設要素 X 1 比 X 2 重要的多 ( 評點取 7),X 2 比 X 3 

重要 ( 評點取 5); 若說要素 X 1 比 X 3 絕對重要 ( 評點 

取 9), 其成對比較判斷結果在邏輯上應是很合理的 , 

不存在偏好自相矛盾之處。惟下列判斷矩陣依 Saaty 

之 AHP 法求算與統計檢定 ( 詳見第四節 ) 之後 , 其最 

大特徵值 λ max = 3.2085, 一致性比率 CR = 0.1797 > 

0.05 ( 亦遠大於該法之上限門檻值 0.1), 卻是獲得該偏 

好結構一致性不在其可允許之信賴範圍內 , 而必須將 

該無效樣本予以重新評價 , 或是剔除棄卻的不合理結 

果。 

表 3 要素成對比較判斷例 

要素 X 1 X 2 X 3 

X 1 1 7 9 

X 2 1/7 1 5 

X 3 1/9 1/5 1 

前揭釋例之偏好一致性檢定失真問題 , 依系統觀 

點觀之 , 其肇因可能源自於系統的輸入或處理單元產 

生偏誤所導致 ; 換言之 , 即可能根源於決策主體所建 

立之成對比較判斷矩陣不佳 , 抑或是 AHP 法所設定 

之一致性門檻上限值不當等。由於決策主體所建立之 

成對比較判斷矩陣 ( 系統輸入資料 ), 為 Saaty 之 AHP 

法操作成效的核心 ; 雖然近年來已有些學者 [40,44] 

曾針對造成判斷矩陣不一致之評比尺度設定問題 , 提 

出不同的評比尺度轉換方式 , 來縮減原 Saaty 之評比 

尺度等級 , 以改善、提增原始比較判斷矩陣之一致性 

水準 ; 惟其轉換後之新矩陣是否仍保有原決策主體可 

信賴之偏好資訊 , 並沒有進一步地驗證與說明 , 而且 

因其仍依循原 AHP 法之操作邏輯及流程 , 對於前揭 

一致性檢定之諸多指摘 ( 如一致性意義、一致性上限 

門檻值等 ), 仍舊沒有獲得有效的解決。 

三、權重模式構建 

3.1 分析邏輯 

誠如前述 ( 參見 2.1 節 ),Saaty 之 AHP 法所採行 

之九點尺度法 (1 ~ 9), 係在一極不平衡區間 ( 以 1:1 

n 

為中心 ) 的比率尺度 ( 參見表 1) 下做出評估。在 C 2 

= n(n − 1)/2 次之兩兩成對比較中 , 由於其易讓決策主 

體於填答時感到繁瑣與混淆 ( 尤其是當評估要素 n ≥ 

3 時 ), 致使決策主體所建立之比較判斷矩陣 , 往往存 

在著有判斷偏誤的風險以及邏輯上的問題 [24], 而很 

難使其偏好達到完全一致性的條件 ( 即 a ik × a kj ≠ a ij , 

∀ i, j, k)。 

對於具有不一致性之正倒值判斷矩陣 , 當矩陣階 

數 (n) 越多時 , 其利用特徵向量法求取各要素相對權 

重 ( 重要性 ) 之複雜度即會變大 , 求解過程亦會變得 

相當地繁複而困難 , 致降低 AHP 法之實用性。另在 

AHP 法之權重求解過程中 , 其藉以檢定決策主 ( 群 ) 

體偏好是否符合可接受一致性水準之衡量指標 (CR) 

及一致性門檻值 (δ), 可能產生如前揭所述之一致性 

檢定失真等問題 ; 並於矩陣階數很大 (n ≥ 5) 時 , 因 

其一致性比率 (CR) 難以小於 0.1 之可容忍上限門檻 

值 , 致其統計檢定結果不被接受 , 而降低了 AHP 法 

之適用性。 

此外 , 由於 AHP 法統計檢定時所採用的一致性 

比率 (CR) 或一致性指標 (CI ), 係為最大特徵值 

(λ max ) 及比較矩陣階數 (n) 的函數 ; 不論該決策主 

( 群 ) 體所建立之比較判斷矩陣 , 其最終檢定的結果是 

否被評定為有效資訊樣本 ( 即具令人滿意、可接受之 

一致性水準 ), 依據該 AHP 法之權重求解邏輯及程序 

( 參見圖 1), 均應事先進行其最大特徵值 (λ max ) 及特 

徵向量的繁複計算過程後 , 才能依其偏好一致性程度 

的高低 , 據以決定先前經繁複作業過程所求得的相對 

權重 ( 優勢 ) 向量 , 是否為一徒勞無功的無效求解活 

動。很顯然地 , 此一事後一致性檢定之求解操作程 

序 , 將使得 AHP 法在決策效率上大打折扣 , 而不符 

合經濟效益的原則。 

鑑於 AHP 法在權重求解邏輯程序中之實用性、 

適用性與效率上的缺憾 , 其問題癥結乃在於其系統投 

入之決策偏好結構並非為一致性矩陣 , 且其決策主 

( 群 ) 體主觀判斷 ( 比較矩陣 ) 之一致性檢定 , 係在於 

依特徵向量法求得其最大特徵值及特徵向量之後。若 

我們能將該一致性檢定作業提前施行 , 由原來之事後


檢定 (ex post test) 改變為事前檢定 (ex ante test), 而 

在未求解複雜線性規劃以得到特徵值及特徵向量之 

前 , 即先對決策主 ( 群 ) 體偏好結構 ( 比較矩陣 ) 予 

以一致性地檢定 , 然後再視該樣本是否為一致性矩 

陣 , 再決定是否接受該決策主 ( 群 ) 體之偏好資訊 , 

以及是否進行各決策目標或評估準則之相對權重計 

算 , 將不失為一較有效率的權重求算方法。 

而在決策主 ( 群 ) 體偏好結構 ( 比較矩陣 ) 之整 

體一致性上 , 由於擷取一份由知識工程師、專案經理 

或領域專家們個人主觀判斷之偏好資訊 , 需要耗費相 

當多的時間以及行政與作業等成本。若我們不容許決 

策主 ( 群 ) 體可存有某些限度之不一致 , 而在判定其 

偏好結構並非為一致性矩陣時 , 即將該偏好結構資料 

予以廢棄 , 或是重新發回原決策主 ( 群 ) 體加以修 

正 , 均是一種費用的浪費與成本的支出 , 亦是不符經 

濟效益之原則。因此 , 本文仍將保留原 AHP 法的彈 

性 , 容許決策主 ( 群 ) 體之偏好結構 , 仍可有某一限 

度的不一致情形。然為避免利用繁複運算之特徵向量 

法 , 徹底解決前揭一致性檢定之諸問題 , 則該不一致 

性之比較判斷矩陣 , 唯有將其透過轉換方式轉型為一 

完全一致性矩陣 , 方能克竟全功 ; 惟其亦需要有一驗 

證的回饋機制 , 來事先檢測該樣本轉換之有效性 

(efficiency), 以決定是否該從事其相對權重的計算作 

業 , 詳如圖 2 之思考邏輯所示。 

原決策偏好結構 ( 訪調 ) 

是 

一致性矩陣 

a 

a 

ik 

jk 

a 

= 

a 

i, 

k+ 

1 

j, 

k+ 

1 

< 證明 > 依式 (2) 矩陣性質 , 

知 a 

ij 

wi 

= 

w 

j 

; ∀ i, 

j, 

k = 1, 2, , ( n −1) 

(12) 

⎛ w 

j ⎞ 1 

= 1 ⎜ = > 0 ; ∀ i, j 

w 

⎟ 

⎝ i ⎠ a 

ji 

wi 

wi 

w ⎛ wi 

⎞ ⎛ w 

j ⎞ 

k 

a 

故 a 

ij 

= = × = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 

w 

j 

wk 

w 

j 

w 

k 

w 

⎝ ⎠ ⎝ k ⎠ a 

= a × a ; ∀ i, 

j, 

k , 得證。 

ik 

另式 (11) 如成立 , 則由 

a 

a 

kj 

i1 

i2 

aij 

= = = 

a 

j1 

a 

j2 

a 

= 

a 

ik 

jk 

a 

= 

a 

i,k+ 

1 

i, k+ 

1 

a 

= 

a 

i, 

k−1 

j, 

k−1 

a 

= = 

a 

a a 

可知 

ik i, 

k+ 

1 

= ; ∀ i, 

j, 

k = 1, 2, , ( n −1) 

a a 

jk 

j, 

k+ 

1 

恆成立 , 故得證。 

而由命題 1, 我們可以推論到如下之命題 : 

【命題 2】若一正倒值成對比較矩陣 [a ij ] n×n 為一致 

性矩陣 , 則其具有下列之數學關係式。 

a 

ij 

n 

= n 

∏ a 

k= 

1 

ik 

× a 

kj 

in 

jn 

; 1 ≤ i < j ≤ n (13) 

< 證明 > 因 [a ij ] n×n 為一致性矩陣 , 根據命題 1 之遞 

移性質 , 可知 : 

ik 

jk 

否 

新比較判斷矩陣 ( 轉換 ) 

有效性樣本 

是 

否 


相對權重 ( 計算 ) 

a 

ij 

= 

n 

( a ) 

n 

ij 

n 

= 

= n 

∏ ( a 

k= 

1 

ik 

n 

⎛ 

⎜ 

a 

⎝ 

a 

× a 

ik 

jk 

kj 

恆成立 , 故得證。 

n 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= 

n 

n 

∏ 

k= 

1 

⎛ 

⎜ 

a 

⎝ 

a 

ik 

jk 

) ; 1≤ 

i < j ≤ n 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

圖 2 權重求解程序改善分析邏輯 

3.2 理論推導 

依據 Saaty 對一致性矩陣「各元素 ( 偏好 ) 滿足遞 

移性」之定義 , 我們可據以獲得如下的命題 : 

【命題 1】若一正倒值成對比較矩陣 [a ij ] n×n 滿足下 

列式 (11) 或式 (12) 條件之性質 , 則該正倒值 

矩陣為一致性矩陣。 

a 

ij 

= a / a = a × a ; ∀ i , j , k (11) 

ik 

jk 

ik 

kj 

由於決策主 ( 群 ) 體在進行主觀判斷之成對比較 

時 , 很難使其偏好達到完全一致性的情境 ( 參見 3.1 

節 ), 致使其原判斷矩陣 A 內之元素 a ij 與理想之 w i /w j 

值 (w i , w j 為要素相對權重 ) 間多少有些差異存在 ; 換 

言之 , 即式 (2) 之 a ij = w i ′/w j ′ ≠ w i /w j 。而為確使其所輸 

入之決策偏好結構能具一致性性質 , 則其需回歸讓「a ij 

= w i /w j 」之關係型式得以獲得滿足 , 並以 w i /w j 值來取 

代原矩陣 A 內之 a ij 值。惟因要素相對之權重 (w), 可 

以式 (9) 之 NGM 近似特徵向量法來求解 ; 並在滿足一 

致性條件下 , 可獲得特徵向量法相同的結果值 ( 參見 

2.1 節 )。是故其 w i /w j 比值 , 可將其改寫為 :


wi 

w 

j 

= 

n 

n 

∏ 

r= 

1 

n 

a 

ir 

= 

n 

∏ ( a 

r= 

1 

ir 

n 

× a 

n 

∏ 

r= 

1 

rj 

a 

jr 

= 

n 

n 

∏ 

r= 

1 

⎛ 

⎜ 

a 

⎝ 

a 

) ; 1≤ 

i < j ≤ n 

ir 

jr 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(14) 

其中 ,D ij = [(ã ij − a ij )/a ij ] × 100 為其調整係數 , 其正 

負號表調整方向 , 大小表調整幅度百分比 (%), 而且 

與式 (17) 所定義之不一致性偏距 Δ ij 值呈正相關之關 

聯。當 a ir × a rj < a ij 時 , 若欲使原不一致性矩陣 (A) 轉 

換後能具一致性條件 , 則其判斷偏好值 a ir 、a rj 必須向 

由前揭之式 (13) 與式 (14), 若我們令 w i /w j = ã ij , 

來轉換產生另一新的判斷偏好矩陣 Ã = [ã ij ] n×n ; 則我 

們可以讓該轉換後之新的判斷矩陣 [ã ij ] n×n , 能同時滿 

足互倒性及遞移性性質 , 為一具完全一致性之正倒值 

比較判斷矩陣。而由前揭 2.1 節之說明可知 : 該一致 

性新矩陣 [ã ij ] n×n , 將確定具有最大特徵值等於矩陣階 

數 ( 即 λ max = n), 且一致性比率 CR = 0 之特性 ; 而其 

原 AHP 法之偏好一致性檢定確認作業 , 很顯然地即 

已沒有意義需要再去進行的必要。如此 , 則原 AHP 

法所遭受到之一致性檢定諸多指摘 , 如一致性意義、 

一致性上限門檻值、一致性檢定偏誤等問題 , 在此一 

新判斷矩陣 [ã ij ] n×n 上即不復存在。 

【命題 3】若一正倒值成對比較矩陣 A = [a ij ] n×n 非為 

一致性矩陣 , 則經由下列轉換函數轉換 

後 , 所得到之新的判斷偏好矩陣 Ã = 

[ã ij ] n×n , 亦為一致性之正倒值成對比較矩 

陣。 

n 

f ( a 

~ ) = n 

∏ ( air 

× arj 

) 

r= 

1 

< 證明 > 根據式 (15) 之定義 , 

因 a 

~ 

= 

ij 

且 a 

~ 

= 

ij 

n 

n 

∏ 

r= 

1 

⎛ 

⎜ 

a 

⎝ 

a 

ir 

jr 

⎞ 

⎟ = 

⎠ 

n 

⎛ a 

= 1 n 

∏ 

⎜ 

r 1 ⎝ a 

= 

n 

n 

n 

∏ 

r= 

1 

n 

∏ 

r= 

1, ∀k 

jr 

n 

; 1 ≤ i < j ≤ n 

n 

∏ 

r= 

1 

⎞ 

⎟ = 

⎠ 

⎡ a 

⎢1/ 

⎣ a 

1 

a 

~ 

= ir ji 

⎛ 

⎜ 

a 

⎝ 

a 

ir 

jr 

⎛ a 

⎜ 

⎝ a 

⎞ 

⎟ = 

⎠ 

ir 

kr 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

a ik 

a 

~ 

ik 

a 

~ 

kj 

a 

~ = × 

jk 

n 

n 

∏ 

r= 

1, ∀k 

n 

∏ 

r= 

1, ∀k 

jr 

ir 

> 0 

⎛ a 

⎜ 

⎝ a 

ir 

kr 

⎛ a 

⎜ 

⎝ a 

jr 

kr 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

恆成立 

⎞ ⎛ 

⎜ 

a 

⎟ ⋅ 

⎠ ⎝ 

a 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

kr 

jr 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(15) 

n 

n 

⎛ a ⎞ ⎛ a 

jr ⎞ 

ir 

= n 

n 

∏ 

⎜ 

r k 

a 

⎟ ∏ 

⎜ 

= ∀ kr r= 

∀ 

a 

⎟ 

1, ⎝ ⎠ 1, k ⎝ kr ⎠ 

~ 

= 亦恆成立 (∀ i, j, k ) 

故由命題 1 可知 : 該新的矩陣 Ã = [ã ij ] n×n 

亦為一致性之正倒值成對比較判斷矩陣。 

上述轉換後新一致性矩陣 Ã 之 ã ij 值 , 與原判斷矩 

陣 A 之 a ij 值間 , 為具有如式 (16) 之調整關係式存在。 

上作調整 , 而 a ij 亦需同時作向下修正 , 以促使 ã ir × ã rj 

= ã ij 能成立 ; 故其 D ir(r≠i) 與 D rj(r≠j) 值同為正 , 而 D ij 

值為負 , 且其大小隨原矩陣偏好結構之不一致程度 

(Δ ij ) 的增加而增大。同理 , 當 a ir × a rj > a ij 時 , 其 a ir 

與 a rj 需作向下調整 ,a ij 需作向上修正 , 以促使 ã ir × ã rj 

= ã ij 成立 ; 故其 D ir(r≠i) 與 D rj(r≠j) 值同為負 , 而 D ij 值則 

為正。而當 a ir × a rj = a ij 時 , 則因其已為一致性判斷矩 

陣 , 故其 D ir(r≠i) 、D rj(r≠j) 與 D ij 值均係為零。 

a ~ = (1+ 

D ) × a 

(16) 

Δ 

ij 

ij 

ij 

ij 

= Max. ( a × a ) − Min. 

( a × a ) ; r = 1, 2, , 

n 

∀r 

ir 

rj 

∀r 

ir 

rj 

(17) 

另由式 (15) 與式 (16) 間之關係 , 其新一致性矩陣判 

斷偏好值 (ã ij ) 之轉換調整幅度 (D ij ) 的大小 , 可經由 

下列之數學推演過程 , 而求得其值如式 (18) 所示。 

∵a ~ 

= n ( a × a ) × ( a × a ) × × 

( a × a ) × × 

( a × a ) × × 

( a × a ) 

ij 

i1 

1j 

i2 

2j 

= 

⎛ 

∏ 

⎝ 

= (1 + D ) × a 

n 

n 

2 

n 

n a 

ir 

arj 

a ⎜ 2− 

ij 

n aij 

air 

a ⎟ 

∏ ( × ) × = ( ) × ( × 

rj 

) × 

⎜ 

r= 1, r≠i, 

j 

r= 

1, r≠i, 

j ⎟ 

ij 

ij 

n 

2−n 

ij n ij ir rj 

r= 1, r≠i, 

j 

⇒ D = ( a ) × ∏ ( a × a ) −1 

(18) 

前揭決策主 ( 群 ) 體主觀判斷之成對比較矩陣 , 

其由非一致性矩陣 [a ij ] n×n 轉換為一致性矩陣 [ã ij ] n×n 

之狀況改變過程 , 依據熱力學第二定律原理 -「投 

入 ( 能 ) = 產出 ( 功 ) + 熵」, 可知 : 任何系統狀況 

的改變 , 均會有能的損失 , 致存在有誤差存在 ; 而這 

種損失 ( 即誤差 ) 越大 , 將會使系統之熵 (entropy) 

增加 , 並擴大其無序的程度 (degree of disorder)。因 

此 , 為保證該調整後之新判斷矩陣 [ã ij ] n×n , 仍足以解 

釋、說明及代表決策主 ( 群 ) 體原評量矩陣 [a ij ] n×n 之 

偏好結構 , 則其兩矩陣系統間之相似度 ( 接近程度 ), 

若以最為常用之相關係數 (coefficient of correlation) 

R 來加以衡量 , 其下限門檻值 (ζ) 依據一般系統經 

驗 , 至少應在 0.85 以上才較為理想 [47]。若 R ≥ 0.85, 

表示該轉換後之新一致性矩陣 Ã, 仍保有原決策主 

( 群 ) 體大部分的偏好資訊 ( 信賴度 ≥ 85%), 並對原 

不一致性矩陣 A 所存在之差異變動 , 具有相當程度地 

解釋、說明能力與代表性 , 而為一有效資訊的樣本。 

若 R < 0.85, 則表示該轉換後之新一致性矩陣 Ã, 並 

不保有原決策主 ( 群 ) 體大部分的偏好資訊 ( 信賴度 

ii 

ij 

ij 

jj 

⎞ 

⎠ 

in 

a 

ij 

nj


< 85%), 其對原不一致性矩陣 A 之差異變動的解釋、 

說明能力與代表性欠佳 ( 即其誤差不在可容許、接受 

之範圍內 ), 而屬於一無效資訊的樣本。 

由前述之分析說明 , 我們將可以獲得如下的命題 : 

【命題 4】經由命題 3 所轉換後之新的一致性比較判 

斷矩陣 [ã ij ] n×n , 若能滿足下列相關係數 

(R) 之條件不等式 , 則該新矩陣 [ã ij ] n×n 將 

對原矩陣 [a ij ] n×n 具有相當程度地代表性。 

R= 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ 

n n n n n n 

2 

n ⎜ aij aij ⎟−⎜ aij aij 

⎟ 

⎜∑∑ 

⎟ ⎜∑∑ ⎟⎜∑∑ 

 

⎟ 

⎝i= 1 j= 1 ⎠ ⎝i= 1 j= 1 ⎠⎝i= 1 j= 

1 ⎠ 

2 2 

⎛ n n ⎞ ⎛ n n ⎞ ⎛ n n ⎞ ⎛ n n ⎞ 

2⎜ 2 2 2 

ij 

⎟−⎜ ij 

⎟ ⎜ 

ij 

⎟−⎜ ij 

⎟ 

⎜∑∑ ⎟ ⎜∑∑ ⎟ ⎜∑∑ 

⎟ ⎜∑∑ 

 

⎟ 

i= 1 j= 1 i= 1 j= 1 i= 1 j= 1 i= 1 j= 

1 

n a a n a a 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

≥ζ (19) 

式中 : 

[a ij ] n×n 為原成對比較判斷矩陣 

[ã ij ] n×n 為轉換後之新一致性矩陣 

ζ 為轉換效度下限門檻值 , 其預設值為 0.85。 

n 為比較判斷矩陣 A 或 Ã 之矩陣階數 

< 證明 > 略 ( 參見統計學之相關分析 ) 

前述式 (19) 左側之相關係數 (R) 計算式 , 亦可藉助 

於 Microsoft Excel 2000 之支援工具 , 直接利用該軟體 

所提供之統計函數 PEARSON ( ), 來簡便快速地求得 

相同的係數值。其函數格式如下 : 

PEARSON ( 原矩陣 A 陣列 , 新矩陣 Ã 陣列 ) (20) 

在正倒值成對比較矩陣 [a ij ] n×n 或 [ã ij ] n×n 均滿足 

一致性之條件下 , 由於利用簡便運算之近似特徵向量 

法所求得的解答 , 與依特徵向量法所得到的結果完全 

相同 [20]; 加上以權重最大值為 1 方式來進行正規 

化 , 可以有效地改善排序逆轉情況的發生 [22]。因 

此 , 可據以修改原 Saaty 所提出之近似特徵向量法 , 

而依下式來加以求算各階層決策目標或評估準則之 

相對權重。 

w 

ω 

( m+ 

1) 

( m+ 1) 

i 

( m) 

i 

= × W 

(21) 

( m+ 

1) 

max. { ωi 

} 

∀ i 

其中 : 

⎧ n 

⎪n 

aij 

⎪ 

∏ 

j= 

1 

⎪ 

, 當 [ a ] 

( m 1) 

ij 為一致性矩陣 

+ ⎪ 

ω i = ⎨ (22) 

n n n 

1 n 

⎪ ⎡ ⎤ 

⎪ n aij n 

∏ = ∏⎢∏( air × arj) 

⎥ 

⎪ 

j= 1 j= 1 ⎢⎣ 

r= 

1 ⎥⎦ 

⎪ 

⎪⎩ 

, 當 [ a ij ] 非一致性矩陣 

式中 : 

( +1) 

ω m 

i 

為第 m + 1 階層要素 i 之權重 ( 即矩陣 A 之特徵 

向量元素 ) 

( + 1) 

max.{ ω m 

i 

} 為第 m +1 階層所有要素 ( 目標或準則 ) 

∀ i 

之最大權重 

W (m) 為直屬第 m 階層要素 ( 目標或準則 ) 之相對權重 

3.3 演算方法 

由前述之推導分析 , 其改良式權重模式之求解程 

序 , 詳如圖 3 所示 ; 而其演算操作步驟如下 : 

1. 建立成對比較矩陣 

A = [ a ij ] n×n 

2. 檢定比較矩陣 A 一致性 

一致性矩陣 

否 

3. 建立新的一致性判 

斷矩陣 Ã = [ã ij ] n×n 

4. 檢定新矩陣 Ã 之有效性 

求算新矩陣 Ã 與原矩陣 

A 間相關係數 (R) 

無 

有效性樣本 

否 


有 

圖 3 改良式權重求解模式操作程序 

步驟 1. 建立決策主 ( 群 ) 體之成對比較矩陣 

5. 計算相對權重 

( 提供決策資訊 ) 

同前述 AHP 法 , 以式 (1) 至式 (3) 來建立 n × n 之成 

對比較正倒值判斷矩陣 [a ij ] n×n ; 惟為利決策主 ( 群 ) 

體之勾選及訪調問卷的進行 , 近年來已有將名目尺度 

縮減為較為簡明、且較能顯現判斷矩陣一致性之五點 

尺度的處理方式。 

步驟 2. 檢定比較矩陣 ( 主觀判斷 ) 之一致性 

根據 Saaty 之一致性矩陣定義 , 以命題 1 之式 (11) 

或式 (12) 來檢定比較判斷矩陣 [a ij ] n×n 之整體一致 

性。若滿足式 (11) 或式 (12), 表示該判斷矩陣為一完全 

一致性矩陣 , 則其可逕至步驟 5, 來進行其相對權重 

的求算 ; 否則 , 即表示該判斷矩陣並非為一完全一致 

性的矩陣 , 而需至步驟 3 來進行其系統置換的處理。 

步驟 3. 建立新的一致性成對比較判斷矩陣 

依一致性矩陣的遞移性質 , 利用命題 3 中式 (15) 

之轉換函數 , 將不具完全一致性之原判斷矩陣 A = 

是 

是


[a ij ] n×n , 轉型為完全一致性之正倒值成對比較新判斷 

矩陣 Ã = [ã ij ] n×n 。 

步驟 4. 檢定新的一致性矩陣之有效性 

依命題 4 中式 (19) 左側之相關係數求解公式 , 或 

依式 (20) 之統計函數指令格式 , 檢定該新的成對比較 

矩陣 [ã ij ] n×n 是否足以說明、解釋及代表原矩陣 [a ij ] n×n 

之偏好結構。若滿足不等式 (19), 則至步驟 5 進行該 

有效資訊樣本之相對權重求算 ; 否則 , 即需剔除棄卻 

此一無效資訊樣本 , 或回溯至步驟 1 重新評價及建立 

其成對比較之判斷矩陣。 

步驟 5. 計算各決策目標或評估準則之相對權重 

在比較判斷矩陣 (A 或 Ã ) 確定為一致性矩陣之 

下 , 依式 (21) 及式 (22) 來計算各階層決策目標或評估準 

則之相對權重。 

3.4 系統比較 

在求解多評準權重設定之問題上 , 本文所發展之 

改良方法 ( 參見圖 3) 與原 Saaty 所提出之傳統方法 

( 參見圖 1), 因在其決策活動過程中均容許決策主 ( 群 ) 

體之偏好結構 , 可有某一限度的不一致情形 , 而具有 

相當彈性地人性化設計特性 , 故其基本上兩者之精神 

是趨於一致的。而且由系統整體操作之關聯組件觀 

之 , 若我們將系統處理 / 控制單元視為一個黑箱 

(black box), 則前揭兩系統架構模型 , 亦因其考慮變 

數均係為權重 , 且均是以比較判斷矩陣為投入資料 , 

以要素相對權重為產出資訊 , 同時並各提供一檢定的 

回饋控制機制 , 來確認原決策主 ( 群 ) 體比較判斷矩 

陣偏好結構樣本之有效性。是故從系統外觀 (outside 

view) 的觀點而言 , 該兩方法論之系統構架表面上似 

是相同的。 

惟從系統內觀 (inside view) 的觀點而論 , 若我們 

將系統處理 / 控制單元的黑箱予以白化 (whitened), 

則前揭兩系統操作運行模型之間 , 確是有顯著地差異 

性存在。其中 ,Saaty 所提出之 AHP 傳統方法 , 一般 

係以特徵向量法來求取各要素之相對權重 , 且採行單 

一階段之檢核方式 , 來構成系統回饋控制之循環環路 

(cycle loop); 其檢定時機為在求得原判斷矩陣 (A) 最 

大特徵值及特徵向量之後 , 評估客體為原判斷矩陣 

(A) 系統偏好之一致性程度 , 衡量指標為一致性比率 

(CR), 而評判準則為 CR ≤ δ (δ 定義請參見 2.1 節 )。 

但本文所發展之 AHP 改良方法 , 則係以近似特徵向 

量法來求取各要素之相對權重 , 且採行二階段檢核之 

漸進方式 , 來構成系統回饋控制之循環環路 ; 其第 I 

階段之檢定時機為在建立成對比較判斷矩陣 (A) 之 

後 , 評估客體為原判斷矩陣 (A) 系統偏好之完全一致 

性 , 衡量指標為一致性遞移條件 , 評判準則為 a ir × a rj 

= a ij ; 而第 II 階段之檢定時機則在建立新的一致性判 

斷矩陣 (Ã ) 之後 , 評估客體為轉換前後兩判斷矩陣 

(A 與 Ã ) 系統偏好之相似性程度 , 衡量指標為相關係 

數 (R), 評判準則為 R ≥ ζ (ζ 定義請參見 3.2 節 ), 詳 

示如表 4 之系統定性比較。 

表 4 原 AHP 法與本文改良法之系統比較 

項目傳統 AHP 法改良 AHP 法 

程序詳如圖 1 詳如圖 3 

輸入比較判斷矩陣比較判斷矩陣 

輸出要素相對權重要素相對權重 

處變數權重權重 

理評價特徵向量法近似特徵向量法 

回 

二階段檢核 

型式單一階段檢核 

第 I 階段第 II 階段 

饋在求得 A 最大特徵在建立成對比較在建立新一致性 

時機 

值及特徵向量之後判斷矩陣 A 之後判斷矩陣 Ã 之後 

控客體 A 之一致性程度 A 之完全一致性 A 與 Ã 相似性程度 

指標一致性比率一致性遞移條件相關係數 

制 

準則 CR ≤ δ ã ir × ã rj = ã ij R ≥ ζ 

4.1 模式檢證 

四、案例驗證說明 

承 2.2 節之問題說明釋例 ( 摘自 [10]), 已知決策 

主體之成對比較判斷矩陣 , 如前揭表 3 所示 ; 其相對 

權重的求解 , 茲以原 Saaty 之 AHP 法及本文前揭之 

AHP 改良法 , 分述如下 : 

一、原 AHP 求解法 

步驟 1. 該決策主體之偏好結構矩陣為 

A = 

⎡1.0000 

⎢ 

⎢0.1429 

⎢ 

⎣0.1111 

7.0000 

1.0000 

0.2000 

9.0000⎤ 

⎥ 

5.0000⎥ 

1.0000 

⎥ 

⎦ 

3× 

3 

步驟 2. 由 Cramer 法則可知 : 特徵方程式 (A – λ I ) W 

= 0 若要有非零解 W, 則需 

| A − λ I | = 

1− λ 

0.1429 

0.1111 

7.0000 

1− λ 

0.2000 

= −λ 

3 + 3λ 

2 + 2.1460 = 0 

9.0000 

5.0000 

1− λ 

可解得其最大特徵值為 λ max = 3.2085; 

將 λ = λ max 代回 (A − λ I)W = 0 式中 , 可得 

⎡− 

2.2085 

⎢ 

⎢ 0.1429 

⎢ 

⎣ 0.1111 

7.0000 

− 2.2085 

0.2000 

9.0000 ⎤ ⎡w1 

⎤ ⎡0⎤ 

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

5.0000 ⎥ ⎢w2 

⎥ = ⎢0⎥ 

− 2.2085 

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎦ ⎣w3 

⎦ ⎣0⎦


解三元一次聯立方程式 , 可求得其特徵向量為 

(w 1 , w 2 , w 3 ) = (0.7720, 0.1734, 0.0545)。 

步驟 3. 因 n = 3,RI = 0.58 ( 查表 2), 且 λ max = 3.2085; 

λmax 

− n 3.2085 − 3 

而一致性比率 CR = = 

( n −1) 

⋅ RI 2× 

0.58 

= 0.1797 > 0.05 (NG) 

此表示該成對比較判斷矩陣 A 之偏好結構一 

致性 , 並不在可允許之信賴範圍內 , 而必須 

對此決策資訊予以重新評價或是剔除棄卻不 

用。 

此一不合理的結果 , 證實了 AHP 法在判斷偏好 

一致性之檢定上 , 將會產生偏差失真的情形。 

二、本文改良求解法 

步驟 1. 該決策主體之偏好結構矩陣為 

A = 

⎡1.0000 

⎢ 

⎢0.1429 

⎢ 

⎣0.1111 

7.0000 

1.0000 

0.2000 

9.0000⎤ 

⎥ 

5.0000⎥ 

1.0000 

⎥ 

⎦ 

3× 

3 

步驟 2. 因 a 12 = 7 ≠ a 13 /a 23 = 1.8, 故該判斷矩陣 A 並 

非為一致性矩陣。 

步驟 3. 依式 (15) 之轉換函數 , 

3 

由 a 

~ 3 

12 

= ∏ ( a1 

r 

× a r 2) 

= 4.4513 , 

r= 1 

a 

~ 

13 

= 14.1531 , a 

~ 

23 

= 3.1795 , 

可得其新的一致性判斷矩陣為 

⎡1.0000 

~ ⎢ 

A = ⎢0.2247 

⎢ 

⎣0.0707 

3 

3 

∑∑ 

4.4513 

1.0000 

0.3145 

步驟 4. 因 a = 24.4540 , 

故 

i= 1 j= 

1 

3 

3 

∑∑ 

i= 1 j= 

1 

3 

3 

∑∑ 

i= 1 j= 

1 

3 

3 

∑∑ 

ij 

a 

~ 

= 25.3937 , 

ij 

a ~ 

= 177.5375 

ij a ij 

且 a 2 = 158.0728 , 

i= 1 j= 

1 

3 

3 

∑∑ 

i= 1 j= 

1 

ij 

a 

~ 2 = 233.3878 , 

ij 

14.1531⎤ 

⎥ 

3.1795⎥ 

1.0000 

⎥ 

⎦ 

3× 

3 

R = 

(9× 

177.5375) − (24.4540× 

25.3937) 

2 

2 

[9× 

158.0728 − (24.4540) ][9× 

233.3878 − (25.3937) ] 

= 0.8916 > 0.85 (OK) 

該相關係數 (R) 值 , 亦可利用 Microsoft 

Excel 軟體之 PEARSON ( ) 函數運算功能 , 直 

接求得其值亦為 0.8916 (> 0.85)。 

此表示原比較判斷矩陣 A 具有相當的有效 

性 , 而且經轉換後之該新矩陣 [ã ij ] 3×3 , 足以 

代表原矩陣 [a ij ] 3×3 之偏好結構。 

3 

∏ 

步驟 5. 由 ω = 3 a 

~ 

3.9791, ω 0.8939 , 

1 1 j 

= 

j= 1 

ω 

3 

= 0.2811 , 

知 max.{ 

ω } = ω = 1 

3.9791, 

∀ i 

i 

2 

= 

故可得 w 1 = 1.0000, 

w 2 = 0.8939/3.9791 = 0.2247, 

w 3 = 0.0707, 

亦即其優勢向量為 

(w 1 , w 2 , w 3 ) = (1.0000, 0.2247, 0.0707), 

而相對權重 ( 重要性 ) 排序為 w 1 > w 2 > w 3 。 

此一結果驗證了本文前揭之改良方法 , 可以成功 

地解決原 AHP 法在一致性檢驗偏誤失真的缺失。 

4.2 敏感性分析 

前節釋例中 , 其原矩陣各判斷偏好值 (a ij ) 變 

動 , 對其不一致性偏距 (Δ ij )、新矩陣偏好值 (ã ij )、轉 

換調整幅度 (D ij ) 以及相關係數 (R) 之影響程度 , 詳 

如表 5 所示 ; 而其敏感性分析圖 , 則詳示如圖 4 至圖 6。 

在表 5 及圖 4 至圖 6 之中 , 顯示 : 轉換後之新的 

判斷矩陣 Ã, 具有「ã ir ×ã rj = ã ij 」之一致性特性 ; 其偏 

好值 ã ir 與 ã rj 之調整方向恰與 ã ij 相反 , 大小則視原判 

斷矩陣偏好結構之不一致性偏距 (Δ ij ) 而定。Δ ij 值越 

大 ,ã ij 值向上或向下調整 a ij 之幅度 (D ij ) 即越大 , 造 

成原意失真的風險性亦會越高 ( 即相關係數 R 越 

小 ), 而其可提供對原不一致性矩陣判斷偏好 (a ij ) 之 

解釋、說明能力與代表性亦即會越差。一旦原判斷矩 

陣 A 之不一致性程度 (Δ ij ) 太大時 , 由於其偏好結構 

本身之有效性已明顯不足 , 縱使可透過系統轉換 ( 類 

如座標變換 ) 方式 , 循前揭式 (15) 之轉換函數 , 將其 

成功地轉換成一新的一致性判斷矩陣 Ã; 然因其一致 

性轉換作業中 , 為克竟全功所需為之調整幅度 (D ij ) 

過大 , 致使其新的一致性矩陣偏好值 (ã ij ) 偏離決策 

主 ( 群 ) 體的原意甚遠 , 超過其滿意、可接受之允許 

誤差範圍 (< 85% 信賴水準 ), 而屬於一不合宜地無效 

轉換舉措 , 例如 :a 12 = a 23 = a 13 = 9 等案例 ( 參見表 5) 

即是。


表 5 判斷偏好結構評點變動分析表 

a 12 a 23 a 13 Δ 12 ã 12 D 12 (%) Δ 23 ã 23 D 23 (%) Δ 13 ã 13 D 13 (%) R 有效性 

1 1 9 8.00 2.0801 +108.0 8.00 2.0801 + 108.0 8.00 4.3267 − 51.9 0.8785 

2 1 9 7.00 3.3019 +65.1 3.50 1.6510 + 65.1 7.00 5.4514 − 39.4 0.9177 

3 1 9 6.00 4.3267 +44.2 2.00 1.4422 + 44.2 6.00 6.2403 − 30.7 0.9385 

4 1 9 5.00 5.2415 +31.0 1.25 1.3104 + 31.0 5.00 6.8683 − 23.7 0.9581 

5 1 9 4.00 6.0822 +21.6 0.80 1.2164 + 21.6 4.00 7.3986 − 17.8 0.9746 是 

6 1 9 3.00 6.8683 +14.5 0.50 1.1447 + 14.5 3.00 7.8622 − 12.6 0.9868 

7 1 9 2.00 7.6117 +8.7 0.29 1.0874 + 8.7 2.00 8.2768 − 8.0 0.9947 

8 1 9 1.00 8.3203 +4.0 0.13 1.0400 + 4.0 1.00 8.6535 − 3.9 0.9988 

9 1 9 0.00 9.0000 0.0 0.00 1.0000 0.0 0.00 9.0000 0.0 1.0000 

1 2 9 3.50 1.6510 +65.1 7.00 3.3019 + 65.1 7.00 5.4514 − 39.4 0.9177 

2 2 9 2.50 2.6207 +31.0 2.50 2.6207 + 31.0 5.00 6.8683 − 23.7 0.9775 

3 2 9 1.50 3.4341 +14.5 1.00 2.2894 + 14.5 3.00 7.8622 − 12.6 0.9932 

4 2 9 0.50 4.1602 +4.0 0.25 2.0801 + 4.0 1.00 8.6535 − 3.9 0.9993 

5 2 9 0.50 4.8274 − 3.5 0.20 1.9310 − 3.5 1.00 9.3217 3.6 0.9993 是 

6 2 9 1.50 5.4514 − 9.1 0.50 1.8171 − 9.1 3.00 9.9058 10.1 0.9945 

7 2 9 2.50 6.0414 − 13.7 0.71 1.7261 − 13.7 5.00 10.4281 15.9 0.9859 

8 2 9 3.50 6.6039 − 17.5 0.88 1.6510 − 17.5 7.00 10.9027 21.1 0.9748 

9 2 9 4.50 7.1433 − 20.6 1.00 1.5874 − 20.6 9.00 11.3393 26.0 0.9623 

1 3 9 2.00 1.4422 + 44.2 6.00 4.3267 + 44.2 6.00 6.2403 − 30.7 0.9385 

2 3 9 1.00 2.2894 + 14.5 1.50 3.4341 + 14.5 3.00 7.8622 − 12.6 0.9932 

3 3 9 0.00 3.0000 0.0 0.00 3.0000 0.0 0.00 9.0000 0.0 1.0000 

4 3 9 1.00 3.6342 − 9.1 0.75 2.7257 − 9.1 3.00 9.9058 + 10.1 0.9960 

5 3 9 2.00 4.2172 − 15.7 1.20 2.5303 − 15.7 6.00 10.6707 + 18.6 0.9859 是 

6 3 9 3.00 4.7622 − 20.6 1.50 2.3811 − 20.6 9.00 11.3393 + 26.0 0.9713 

7 3 9 4.00 5.2776 − 24.6 1.71 2.2618 − 24.6 12.00 11.9372 + 32.6 0.9536 

8 3 9 5.00 5.7690 − 27.9 1.88 2.1634 − 27.9 15.00 12.4805 + 38.7 0.9343 

9 3 9 6.00 6.2403 − 30.7 2.00 2.0801 − 30.7 18.00 12.9802 + 44.2 0.9144 

1 4 9 1.25 1.3104 + 31.0 5.00 5.2415 + 31.0 5.00 6.8683 − 23.7 0.9581 

2 4 9 0.25 2.0801 + 4.0 0.50 4.1602 + 4.0 1.00 8.6535 − 3.9 0.9993 

3 4 9 0.75 2.7257 − 9.1 1.00 3.6342 − 9.1 3.00 9.9058 + 10.1 0.9960 

是 

4 4 9 1.75 3.3019 − 17.5 1.75 3.3019 − 17.5 7.00 10.9027 + 21.1 0.9836 

5 4 9 2.75 3.8315 − 23.4 2.22 3.0652 − 23.4 11.00 11.7446 + 30.5 0.9662 

6 4 9 3.75 4.3267 − 27.9 2.50 2.8845 − 27.9 15.00 12.4805 + 38.7 0.9453 

7 4 9 4.75 4.7950 − 31.5 2.71 2.7400 − 31.5 19.00 13.1386 + 46.0 0.9220 是 

8 4 9 5.75 5.2415 − 34.5 2.88 2.6207 − 34.5 23.00 13.7366 + 52.6 0.8977 

9 4 9 6.75 5.6696 − 37.0 3.00 2.5198 − 37.0 27.00 14.2866 + 58.7 0.8734 

1 5 9 0.80 1.2164 + 21.6 4.00 6.0822 + 21.6 4.00 7.3986 − 17.8 0.9746 

2 5 9 0.20 1.9310 − 3.5 0.50 4.8274 − 3.5 1.00 9.3217 + 3.6 0.9993 

3 5 9 1.20 2.5303 − 15.7 2.00 4.2172 − 15.7 6.00 10.6707 + 18.6 0.9859 

4 5 9 2.20 3.0652 − 23.4 2.75 3.8315 − 23.4 11.00 11.7446 + 30.5 0.9662 

5 5 9 3.20 3.5569 − 28.9 3.20 3.5569 − 28.9 16.00 12.6515 + 40.6 0.9434 

是 

6 5 9 4.20 4.0166 − 33.1 3.50 3.3472 − 33.1 21.00 13.4442 + 49.4 0.9182 

7 5 9 5.20 4.4513 − 36.4 3.71 3.1795 − 36.4 26.00 14.1531 + 57.3 0.8916 

8 5 9 6.20 4.8658 − 39.2 3.88 3.0411 − 39.2 31.00 14.7973 + 64.4 0.8645 

9 5 9 7.20 5.2632 − 41.5 4.00 2.9240 − 41.5 36.00 15.3898 + 71.0 0.8377 否 

1 6 9 0.50 1.1447 + 14.5 3.00 6.8683 +14.5 3.00 7.8622 − 12.6 0.9868 

2 6 9 0.50 1.8171 − 9.1 1.50 5.4514 − 9.1 3.00 9.9058 + 10.1 0.9945 

3 6 9 1.50 2.3811 − 20.6 3.00 4.7622 − 20.6 9.00 11.3393 + 26.0 0.9713 

4 6 9 2.50 2.8845 − 27.9 3.75 4.3267 − 27.9 15.00 12.4805 + 38.7 0.9453 是 

5 6 9 3.50 3.3472 − 33.1 4.20 4.0166 − 33.1 21.00 13.4442 + 49.4 0.9182 

6 6 9 4.50 3.7798 − 37.0 4.50 3.7798 − 37.0 27.00 14.2866 + 58.7 0.8902 

7 6 9 5.50 4.1889 − 40.2 4.71 3.5905 − 40.2 33.00 15.0399 + 67.1 0.8616 

8 6 9 6.50 4.5789 − 42.8 4.88 3.4341 − 42.8 39.00 15.7244 + 74.7 0.8330 

9 6 9 7.50 4.9529 − 45.0 5.00 3.3019 − 45.0 45.00 16.3541 + 81.7 0.8051 

否 

1 7 9 0.29 1.0874 + 8.7 2.00 7.6117 + 8.7 2.00 8.2768 − 8.0 0.9947 

2 7 9 0.71 1.7261 − 13.7 2.50 6.0414 − 13.7 5.00 10.4281 + 15.9 0.9859 

3 7 9 1.71 2.2618 − 24.6 4.00 5.2776 − 24.6 12.00 11.9372 + 32.6 0.9536 

4 7 9 2.71 2.7400 − 31.5 4.75 4.7950 − 31.5 19.00 13.1386 + 46.0 0.9220 

是 

5 7 9 3.71 3.1795 − 36.4 5.20 4.4513 − 36.4 26.00 14.1531 + 57.3 0.8916 

6 7 9 4.71 3.5905 − 40.2 5.50 4.1889 − 40.2 33.00 15.0399 + 67.1 0.8616 

7 7 9 5.71 3.9791 − 43.2 5.71 3.9791 − 43.2 40.00 15.8329 + 75.9 0.8319 

8 7 9 6.71 4.3495 − 45.6 5.88 3.8058 − 45.6 47.00 16.5535 + 83.9 0.8028 否 

9 7 9 7.71 4.7048 − 47.7 6.00 3.6593 − 47.7 54.00 17.2164 + 91.3 0.7745


表 5 判斷偏好結構評點變動分析表 ( 續 ) 

a 12 a 23 a 13 Δ 12 ã 12 D 12 (%) Δ 23 ã 23 D 23 (%) Δ 13 ã 13 D 13 (%) R 有效性 

1 8 9 0.13 1.0400 + 4.0 1.00 8.3203 + 4.0 1.00 8.6535 − 3.9 0.9988 

2 8 9 0.88 1.610 − 17.5 3.50 6.6039 − 17.5 7.00 10.9027 + 21.1 0.9748 

3 8 9 1.88 2.1634 − 27.9 5.00 5.7690 − 27.9 15.00 12.4805 + 38.7 0.9343 是 

4 8 9 2.88 2.6207 − 34.5 5.75 5.2415 − 34.5 23.00 13.7366 + 52.6 0.8977 

5 8 9 3.88 3.0411 − 39.2 6.20 4.8658 − 39.2 31.00 14.7973 + 64.4 0.8645 

6 8 9 4.88 3.4341 − 42.8 6.50 4.5789 − 42.8 39.00 15.7244 + 74.7 0.8330 

7 8 9 5.88 3.8058 − 45.6 6.71 4.3495 − 45.6 47.00 16.5535 + 83.9 0.8028 

8 8 9 6.88 4.1602 − 48.0 6.88 4.1602 − 48.0 55.00 17.3070 + 92.3 0.7735 

否 

9 8 9 7.88 4.5000 − 50.0 7.00 4.0000 − 50.0 63.00 18.0000 + 100.0 0.7455 

1 9 9 0.00 1.0000 0.0 0.00 9.0000 0.0 0.00 9.0000 0.0 1.0000 

2 9 9 1.00 1.5874 − 20.6 4.50 7.1433 − 20.6 9.00 11.3393 + 26.0 0.9623 

3 9 9 2.00 2.0801 − 30.7 6.00 6.2403 − 30.7 18.00 12.9802 + 44.2 0.9144 

是 

4 9 9 3.00 2.5198 − 37.0 6.75 5.6696 − 37.0 27.00 14.2866 + 58.7 0.8734 

5 9 9 4.00 2.9240 − 41.5 7.20 5.2632 − 41.5 36.00 15.3898 + 71.0 0.8377 

6 9 9 5.00 3.3019 − 45.0 7.50 4.9529 − 45.0 45.00 16.3541 + 81.7 0.8051 

7 9 9 6.00 3.6593 − 47.7 7.71 4.7048 − 47.7 54.00 17.2164 + 91.3 0.7745 否 

8 9 9 7.00 4.0000 − 50.0 7.88 4.5000 − 50.0 63.00 18.0000 + 100.0 0.7455 

9 9 9 8.00 4.3267 − 51.9 8.00 4.3267 − 51.9 72.00 18.7208 + 108.0 0.7178 

20.00 

18.00 

16.00 

新 14.00 

矩 

陣 12.00 

判 

10.00 

斷 

偏 8.00 

好 

值 6.00 

4.00 

2.00 

0.00 

Ã12 Ã23 Ã13 

a 13 = 9 

a 23 = 1 

a 23 = 9 

8 

7 6 5 

4 

3 

2 

a 23 = 1 

2 

2 

3 

4 

3 

1 

4 

5 

5 

67 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 

a 12 值 

6 

8 

9 

20.00 

18.00 

16.00 

新 14.00 

矩 

陣 12.00 

判 

10.00 

斷 

偏 8.00 

好 

值 6.00 

4.00 

2.00 

0.00 

Ã12 Ã23 Ã13 

a 13 = 9 

a 12 = 9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

a 12 = 1 

2 

2 

a 12 = 1 

1 

3 

4 

4 

3 

7 5 6 

6 

5 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 

a 23 值 

9 8 

圖 4 偏好 a ij 與 ã ij 間之關聯 

不 

一 

致 

性 

偏 

距 

與 

轉 

換 

調 

整 

幅 

度 

120 

110 

100 

90 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

-10 

-20 

-30 

-40 

-50 

-60 

2 

3 

4 

5 

Δ12 D12 (%) 

a 23 ( 或 a 12 ) 

=1 

6 

8 

7 

9 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 

a 12 ( 或 a 23 ) 值 

不 

一 

致 

性 

偏 

距 

與 

轉 

換 

調 

整 

幅 

度 

120 

110 

100 

90 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

-10 

-20 

-30 

-40 

-50 

-60 

4 

3 

2 

1 

Δ13 D13 (%) 

a 23 ( 或 a 12 ) 

= 9 

8 

7 

6 

5 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 

a 12 ( 或 a 23 ) 值 

圖 5 a ij 與 Δ ij 及 D ij 間之關聯


1.10 

a 23 

( 或 

a 12 

) =1 

有效地避免原 AHP 法應用特徵向量法求解 , 

其計算繁複程度隨矩陣階數 (n) 的增加 , 呈 

指數成長的缺點。 

(3) 改變現行 AHP 法之權重求解邏輯與操作程 

序 , 將事後一致性檢定作業予以提前施行 , 

並構建其樣本有效性之驗證回饋控制機制 , 

以有效地避免原 AHP 法可能徒勞無功的無效 

求解活動 , 甚至可有效地解決一致性統計檢 

定偏誤失真的問題。 

1.00 

3 

2 

相 

關 

係 

數 

R 

0.90 

0.80 

0.70 

5 

7 

9 

4 

6 

8 

0.60 

0.50 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 

2. 本研究係以相關係數 (R) 來檢證轉換樣本之有 

效性 , 其可接受之下限門檻值 (ζ) 是否需隨矩陣 

階數 (n) 的增加而酌予降低 , 本文並未加以深入 

地研究探討 , 而尚待後續研究之模擬實驗解決。 

a 12 ( 或 a 23 ) 值 

圖 6 判斷偏好 a ij 與相關係數 R 間之關聯 

五、結論與建議 

在評價各階層要素 ( 決策目標或評估準則 ) 主觀 

權重問題之求解活動上 , 針對前人迄今尚未獲得有效 

解決之 AHP 法關鍵核心 -「一致性統計檢定」等指 

摘問題 , 本研究跳脫以往相關研究依循原 AHP 法操 

作邏輯 ( 參見圖 1) 的思維框框 , 從另一系統角度切 

入探究 , 來突破觀點、精進方法、克服問題 , 以改良、 

構建其權重求解之系統架構模式 , 將對未來 AHP 法 

相關課題之諸研究 ( 無論是向外整合抑或是向內精 

進 ), 產生正面的啟發思考方向 , 進而開拓另一研究新 

局的蓬勃發展。 

茲綜合上述理論推導分析結果 , 結論及建議如 

下 : 

1. 前揭本研究所發展之 AHP 改良解法 , 較原 Saaty 

所提出之 AHP 傳統解法 , 具有下列幾項優點存 

在 , 其模式之實用性、適用性及效率性均較佳。 

對於提升 AHP 決策制定的效率與效果 , 實有其正 

面的莫大助益及實務應用上的價值。 

(1) 透過一致性矩陣的遞移性質 , 來轉換原不一 

致性矩陣為完全一致性矩陣 , 由於其一致性 

比率 (CR) 確定為零 , 已無再去進行一致性 

檢定的必要 , 故可有效地解決原 AHP 法受人 

詬病之一致性意義、一致性上限門檻值等問 

題。 

(2) 由於系統投入為一完全一致性矩陣 , 可直接 

利用簡便運算之近似特徵向量法 , 來求算各 

階層決策目標或評估準則之相對權重 , 故可 

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Analysis, Vol. 7, No. 3, 1998, pp. 144−154. 

[44] X. Zeshui and W. Cuiping, “A consistency 

improving method in the analytic hierarchy 

process,” European Journal of Operational 


[45] L. C. Leung and D. Cao, “On consistency and 

ranking of alternatives in fuzzy AHP,” European 


2000, pp. 102−113. 

[46] J. Xu, “The GAHP model of the competitive ability 

analysis on the industrial products of multiple 

countries in the international market,” Journal of 

Grey System Theory and Practices, Vol. 3, No. 2, 

1993, pp. 16−22. 

[47] 曾國雄 , 現代統計學 , 鴻儒堂出版社 , 台灣台北 , 

1979 年 10 月 , 第十三章及第十五章。 

王建武 (Jiann-Wuu Wang) 國立台灣大學工學博士 ( 主修營建工程與管理 ), 曾任 

台北市政府建築管理處助理工程員、國防部中山科學研究院副工程師兼小組長、交通部 

運輸研究所工程師與規劃師、內政部營建署研究員、交通部電信訓練所講師等職 , 現為 

中華技術學院建築工程學系專任助理教授 ; 研究興趣及領域為專案規劃與管控、系統分 

析與評估、決策理論與演算方法論等。 

王明德 (Ming-Teh Wang) 美國麻省理工學院營建管理博士 , 曾任國立台灣大學 

副教授兼總務處營繕組主任、行政院公共工程委員會採購申訴審議委員會諮詢委員、台 

北市捷運木柵線馬特拉仲裁案仲裁人、桃園縣政府副縣長與工務局局長、世正開發 ( 股 ) 

公司總經理等職 , 現為財團法人台灣營建研究院院長、國立台灣大學土木工程學研究所 

兼任副教授 ; 研究專長及領域為採購法與營建法規制度、營建工程專案管理、工程資訊 

管理、營建財務與經濟等。


張家祝 (Chia-Juch Chang) 美國普渡大學工學博士 ( 主修都市及運輸工程 ), 曾任 

美國堪薩斯大學客座教授、威斯康辛州東南區域規劃委員會特別顧問、馬凱大學土木工 

程研究所交通組主任、國立交通大學教授兼交通運輸研究所所長、交通部運輸研究所所 

長、台灣省政府省政委員、民航局兼局長等職 , 現為交通部常務次長、國立台灣大學土 

木工程學研究所兼任教授 ; 研究專長及領域為運輸系統工程、運輸政策分析、運輸規劃 

管理、交通車流理論等。 

收稿日期 91 年 12 月 2 日、修訂日期 92 年 3 月 28 日、接受日期 92 年 5 月 8 日 

Manuscript received December 2, 2002, revised March 28, 2003, accepted May 8, 2003

改良式分析階層程序法權重求解模式之研究 - 工學院- 國立臺灣大學

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