Fondamenti di Informatica - Università degli studi di Parma

Il crivello di Eratostene: esempio
Il crivello di Erastone
• Sequenza iniziale (da 2 a 20):
2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,19,20
2 e’ primo lo elimino con tutti i suoi multipli:
3,5,7,9,11,13,15,17,19
3 e’ primo lo elimino con tutti i suoi multipli:
5,7,11,13,17,19
5 e’ primo lo elimino con tutti i suoi multipli:
…
19 e’ primo, la sequenza e’ vuota, termino.
• Algoritmo
q Finito
q Non ambiguo
q Realizzabile
q Efficiente (si spera)
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Algoritmo di Euclide
Algoritmo di Euclide
• Calcola il massimo comun divisore fra due
interi positivi m ed n (supponiamo che n =
m, altrimenti li possiamo scambiare).
• L’ algoritmo si compone di 3 passi ripetuti
ciclicamente fino ad una condizione di
arresto:
• Passo E1 {ricerca del resto} : Sia m = n. Si
divide m per n. Sia r il resto. Allora 0 =
r < n.
• Passo E2 {r = 0?} : Se r = 0 l’ algoritmo e’
terminato e n e’ la risposta finale.
• Passo E3 {scambio} : Se r ? 0 si operano gli
scambi m ? n e n ? r. Si torni al passo E1.
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Algoritmo di Euclide: esempio
Si voglia l’ MCD fra 30 e 45 (I due numerivanno scambiati)
m
n
r
45
30
15
30
15
0
Algoritmo di Euclide: finitezza
• Poiche’ al passo E1 {ricerca del resto} si ha
senpre 0 = r < n, ad ogni scambio il valore di
n decresce.
• Dopo un numero finito di passi si
raggiungera` la condizione r = 0, e la
terminazione dell’ algoritmo.
Poiche’ il restor = o, l’ultimovalore per n e’ l’ MCD
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