第2章 力学的挙動と静的強度

第 2 章 力 学 的 挙 動 と 静 的 強 度
目 的
荷 重 が 作 用 した 際 の 金
属 材 料 の 力 学 的 挙 動 に
ついて 理 解 する.
2.1 応 力 -ひずみ 曲 線
2.1.1 公 称 応 力 /ひずみと
真 応 力 /ひずみ
2.1.2 応 力 -ひずみ 曲 線
2.1.3 力 学 的 性 質 ( 機 械 的 性 質 )
2.1.4 加 工 硬 化
2.1.5 じん 性
2.1.6 指 標 の 意 味
2.2 力 学 的 性 質 を 求 める 異 なる 方 法
2.2.1 ヤング 率 の 測 定 方 法
2.2.2 硬 さに 基 づく 強 度 推 定
2.3 延 性 破 壊 とぜい 性 破 壊
2.3.1 破 壊 形 態 の 相 違
2.3.2 フラクトグラフィ
2.1 応 力 -ひずみ 曲 線
2.1 公 称 応 力 /ひずみと 真 応 力 /ひずみ
公 称 応 力 (nominal stress) σ n
初 期 断 面 積 を 基 準 とした 応 力
σ n = F i / A 0
(2.1)
真 応 力 (true stress) σ t
瞬 間 の 面 積 を 基 準 とした 応 力
σ = F / A
t
i
i
(2.2)
公 称 ひずみ (nominal strain) ε n
初 期 長 さを 基 準 としたひずみ
ε = ∆l
/ l = ( l − l ) l
n
0 i 0 /
0
(2.3)
図 2.1 一 軸 荷 重 下 での 変 形
真 ひずみ (true strain)
瞬 間 の 変 形 を 考 慮 して 算 出 したひずみ
li
ε ( dl / l)
ln( l / l ) (2.4)
t
= ∫ =
i 0
l0
ε t

公 称 ひずみと 真 ひずみの 相 違
l2
− l
ε n =
l
ε
0
0
l1
− l
≠
l
1
t = ln = ln +
l0
l0
公 称 ひずみと 真 ひずみの 関 係
li
εt
= ln
l
0
0
l2 l l
ln
l
0
l2
− l1
+
l
2
1
⎛ li
− l0
⎞
= ln⎜
+ 1⎟
⎝ l0
⎠
= ln( ε + 1)
n
1
(2.5)
(2.6)
(2.7)
公 称 応 力 と 真 応 力 の 関 係
弾 性 域 (ひずみが 極 小 さい 場 合 )
σ ≈ σ , ε ≈ ε
n
塑 性 域 (ひずみ 大 )
t
n
(2.8)
(2.9)
この 領 域 では, 体 積 一 定 で 変 形 するので
A (2.10)
0l0
= A i l i
上 式 より
A0 li
li
− l0
= = + 1 = ε n + 1
A l l
i
σ ≠ σ , ε ≠ ε
0
n
t
0
n
t
t
(2.11)
よって
σ
F
F
A
i i 0
t
= =
n n
Ai
A0
Ai
= σ ( ε + 1)
(2.12)
2.1.2 応 力 -ひずみ 曲 線 (stress-strain curve)
図 2.2 公 称 応 力 -ひずみ 曲 線 の 求 め 方
図 2.3 応 力 -ひずみ 曲 線
ネッキングまでの 真 応 力 -ひずみ 曲 線 は, 式 (2.7)と 式 (2.12)を 用 いれば,
公 称 応 力 -ひずみ 曲 線 から 得 られる.

2.1.3 力 学 的 性 質 ( 機 械 的 性 質 )
(mechanical properties)
引 張 り 試 験 により, 材 料 の 力 学 的 性 質
が 明 らかとなる.
図 2.4 力 学 的 性 質 ( 機 械 的 性 質 )
E
σ y
σ 0.2
σ UTS
σ f
ε f
φ
J
n
ヤング 率
降 伏 応 力 (yield stress)
0.2% 耐 力
(0.2% off-set stress)
引 張 強 さ
(tensile strength)
破 断 応 力
(fracture stress)
破 断 ひずみ
(fracture strain)
絞 り (reduction in area)
φ=(A 0 -A f )/A 0
じん 性 (toughness)
加 工 硬 化 指 数 (work
hardening exponent)
2.1.4 加 工 硬 化 (work hardening)
塑 性 変 形 が 進 行 するにつれて, 塑 性
変 形 に 対 する 抵 抗 値 が 上 昇 する 現 象
図 2.5 加 工 硬 化 の 説 明
真 応 力 -ひずみ 曲 線 を 下 式 で 近 似
する( nは 加 工 硬 化 指 数 ).
n
σ t = cε t (2.13)
式 (2.7)と 式 (2.12)から
σ t = σ n(
ε n + 1)
(2.14)
εt
= ln( ε n + 1)
式 (2.13)に 式 (2.14)を 代 入 すると
σ
n
= c
{ln( n
ε + 1
ε
n
上 式 を 微 分 すると
+ 1)}
n
(2.15)
dσ
n c
= { n − ln( ε + 1)}
2
n
dε
n ( ε n + 1)
× {ln( ε + 1)}
n
n−1
(2.16)

一 方 ,ネッキング 開 始 時 の 公 称 ひずみe n =e n0 では,
式 (2.16)と 式 (2.17)から
dσ
/ dε
= 0
n
n
(2.17)
(2.18)
加 工 硬 化 指 数 n はネッキング 開 始 時 の 公 称 ひずみから 概 算 できる.
n
= n
ln( ε 0 +1)
2.1.5 じん 性
材 料 が 破 断 するまでに 消 費 する
単 位 体 積 あたりのエネルギー( 応
力 -ひずみ 曲 線 下 側 の 面 積 ). 強
度 と 延 性 のバランスを 示 す 指 標 .
J
=
F dl
V
F dl
Al
∫ = ∫ = ∫
ε
0
f
σ ( ε ) dε
(2.19)
図 2.6 じん 性 の 説 明
2.1.6 指 標 の 意 味
材 料 の 力 学 的 特 性
指 標 を 用 いて 記 述 される.
弾 性 変 形 : ヤング 率 , 剛 性 率
塑 性 変 形 : 加 工 硬 化 指 数
2.2 力 学 的 性 質 を 求 める
異 なる 方 法
2.2.1 ヤング 率 の 測 定 方 法
棒 の 質 量 m ≪ 重 りの 質 量 M
棒 の 長 さ:l
棒 の 直 径 :d( ≪ l)
強
延
度 : 降 伏 応 力 ,0.2% 耐 力
引 張 り 強 さ, 破 断 応 力
性 : 伸 び, 絞 り
強 度 と 延 性 のバランス: じん 性
図 2.7 測 定 方 法

図 2.9 棒 の 振 動
図 2.8 棒 中 央 でのたわみ
一 方 , 振 動 方 程 式
2
d y
M = −ky
2
dt
(2.22)
4
F 3 Ed
k π
(2.21) f =
3
(2.24)
より, 変 位 y は
y( t)
= y0
cos
k
t
M
(2.23)
したがって, 棒 の 固 有 振 動 数 f は
材 料 力 学 より, 丸 棒 の 断 面 2 次 モーメ
ント I, 力 F が 棒 中 央 に 作 用 した 際
のたわみ d はそれぞれ
4
3
πd
Fl
I = , δ = (2.20)
64 48EI
上 式 を 用 いると, 棒 のばね 定 数 k は
δ =
4l
1
2π
k
M
式 (2.21)および 式 (2.24)より
3 2
16πl
f
E =
(2.25)
4
3d
あとは 棒 を 振 動 させ,ストロボ 装 置 を
用 いて 棒 の 固 有 振 動 数 を 求 め, 上 式
に 代 入 すれば,ヤング 率 を 精 密 に 求
めることができる.
2.2.2 硬 さに 基 づく 強 度 推 定
荷 重 :P, 圧 痕 の 側 面 積 Aとすると 硬
さ (hardness) は
H V = P /
A
(2.26)
図 2.10 ストロボ 装 置
図 2.11 ビッカース 硬 さ

圧 子 がめり 込 む→ 先 端 で 塑 性 変 形
圧 痕 が 大 きくなる→ 先 端 での 応 力 低 下
圧 痕 先 端 の 平 均 応 力 ( 硬 さ)は, 材 料
の 塑 性 変 形 に 対 する 抵 抗 ( 降 伏 応 力 )
と 密 接 に 関 連 する.
特 に 鉄 鋼 材 料 の 場 合 , 降 伏 応 力 およ
び 疲 労 強 度 σ w とビッカース 硬 さの 間 に
は 明 瞭 な 関 係 が 成 立 する. 近 似 的 に
σ ≈ 3H
H
y
V,
σ w ≈1.
5
V
(2.27)
図 2.12 硬 さと 強 度 の 関 係
2.3 延 性 破 壊 とぜい 性 破 壊
2.3.1 破 壊 形 態 の 相 違
延 性 破 壊 ある 程 度 大 きな 延 性 ( 転 位 の 移 動 )を 示 した 後 に 生 ずる 破 壊 .
ぜい 性 破 壊 ほとんど 延 性 を 示 さずに 生 ずる 破 壊 .
応 力 -ひずみ 曲 線 の 相 違
ぜい 性 的 に 破 壊 する 材 料 では, 降 伏
以 降 の 伸 びが 著 しく 小 さい. 破 壊 様 相
も 破 面 形 態 ( 図 2.14)も 大 きく 異 なる.
ぜい 化
過 度 に 転 位 ( 後 述 )の 移 動 が 妨 げられ
ると, 内 在 する 欠 陥 等 から 急 速 破 壊
が 生 ずるようになる.これをぜい 化 と
呼 ぶ.
図 2.13 応 力 -ひずみ 曲 線 の 相 違

ぜい 化 の 原 因
1 低 温 ( 特 に 軟 鋼 等 )→ 低 温 ぜい 性
2 欠 陥 , 切 欠 き,き 裂 等 ( 応 力 集 中 源 )の
存 在 → 切 欠 きぜい 性
3 過 度 な 強 化
3 高 ひずみ 速 度 ( 衝 撃 等 )
4セラミックスなど 転 位 移 動 が 元 来 困 難
な 場 合
図 2.14 延 性 的 破 壊 (カップアンド
コーン, 上 ),ぜい 性 的 破
壊 ( 下 )
2.3.2 フラクトグラフィ
破 壊 の 様 相 は, 破 面 を 観 察 すると 記 録 されている. 破 面 様 相 から 破 壊 現 象 に
ついて 検 討 する 分 野 をフラクトグラフィと 呼 ぶ. 事 故 原 因 を 究 明 する 際 などに
は 必 ずは 面 形 態 を 確 認 する. 以 下 に, 典 型 的 な 破 面 形 態 を 示 す.
延 性 破 面 ぜい 性 破 面 疲 労 破 面
(ディンプル) (リバーパターン) (ストライエーション)
図 2.15 各 種 破 面 形 態

2 章 演 習 問 題
問 題 1 S45C( 約 0.45%の 炭 素 を 含 む 鉄 鋼 )をダンベル 型 丸 棒 試 験 片 に 加 工
し,これを 引 張 試 験 に 供 する. 試 験 片 のゲージ 部 の 直 径 は14 mm,
ゲージ 長 さは50 mmである. 試 験 機 の 表 示 によれば, 現 在 , 試 験 片
に 作 用 している 荷 重 は 50 kNであり,またゲージ 部 の 長 さは50.077
mmである. 材 料 は 未 だ 弾 性 域 内 にある.
(1-1) 試 験 片 に 作 用 している 公 称 応 力 を 求 めよ.
(1-2) この 時 の 公 称 ひずみを 求 めよ.
(1-3) 材 料 のヤング 率 を 求 めよ.
問 題 2 上 記 の 引 張 試 験 の 結 果 ,この 材 料 の 引 張 強 さは570 MPaで,その
時 の 公 称 ひずみは20 % (0.2)であった.また, 絞 りは40 % (0.4)で
あった.
(2-1) ネッキングが 生 じた 際 の 公 称 ひずみを 答 えよ.
(2-2) この 材 料 の 加 工 硬 化 指 数 を 求 めよ.
(2-3) 材 料 の 真 応 力 -ひずみ 曲 線 を 式 で 示 せ.
(2-4) (2-3)の 結 果 を 用 いて 材 料 のじん 性 値 を 求 めよ.
問 題 3
右 図 に 示 す 応 力 -ひずみ 曲
線 の1~4の 名 前 を 答 えな
さい.
問 題 4
どのような 条 件 下 でぜい 性 破
壊 が 生 じやすいか 答 えなさ
い.
2 章 演 習 問 題 解 答
問 題 1
(1-1) 公 称 応 力 は,
(1-2) 公 称 ひずみは,
σ n
ε n
3
F 50×
10 (N)
6
= =
= 325×
10 (Pa) = 325(MPa)
A
-3 2
0
3.14{7×
10 (m)}
∆l
50.077
− 50(mm)
−3
= =
= 1.54×
10
l 50(mm)
0
6
σ 325×
10 (Pa)
9
(1-3) ヤング 率 は, E = n
=
= 211×
10 (Pa) = 211(GPa)
ε
−3
n
1.54×
10
問 題 2 (2-1) 作 用 応 力 が 引 張 強 さに 達 した 際 にネッキングが 始 まる.したがって,
ネッキングが 始 まった 際 の 公 称 ひずみは, ε n0 =0.2.

(2-2) 加 工 硬 化 指 数 は,ε n0
=0.2より, n = ln( ε
n0 + 1) = ln(1.2) = 0.182
c
n
(2-3) 2.1.4 節 より, σ = n
{ln(
n
+ 1)}
ε
n
+ 1
ε
この 式 にσ n
=570 MPa,ε n
=0.2 を 代 入 すれば,c=933 MPaが 求 められる.よって 真 応 力
n
-ひずみ 曲 線 は, σ 933 0182
t
= cε
t
= ε
t
(MPa)
(2-4) (2-3)で 求 めた 真 応 力 -ひずみ 曲 線 と 絞 りからじん 性 値 を 求 める.2.1.3 節 より 絞
A0
− Af
Af
りは,
φ = = 1−
A0
A0
l
f A0
1 1
よって, 材 料 の 破 断 時 の 真 ひずみは, ε
tf
= ln = ln = ln = ln = 0.511
l A 1−φ
1−
0.4
2.1.5 節 よりじん 性 値 は, J =
ε tf
∫
0
σ dε
= 933×
10
t
6 3
3
= 357×
10 (J/m ) = 357 (MJ/m )
問 題 3 1ヤング 率 ,2 降 伏 応 力 ,3 引 張 強 さ,4 伸 び( 破 断 ひずみ)
問 題 4 2.3.1 節 参 照 .
t
0
0.511
6 0.182
∫ ε
t
0
f
1+
0.182
6
⎡ ε ⎤
t
dε
t
= 933×
10 ⎢ ⎥
⎣1+
0.182⎦
0.511
0