Disequazioni. (Slides) - Università degli Studi di Milano

DISEQUAZIONI
A cura di Matteo Fini
matteo.fini@unimi.it
Università degli Studi di Milano

DISEQUAZIONI
DI PRIMO GRADO
DI SECONDO GRADO
Il grado viene determinato dal più alto
esponente associato alla variabile x
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DISEQUAZIONI DI
PRIMO GRADO
ax
>
b,
ax
<
b
a
≠
0
x
>
b
a
;
x
<
b
a
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Esempio 1
2
6
2
4
6
2
3
3
6
6
2
4
6
2
3
2
1
1
3
1
2
+
−
<
−
−
+
−
<
+
−
−
−
−
<
+
−
−
x
x
x
x
x
x

Esempio
(Continuazione)
− 2x
−1
1 3 − 2x
+ 1 < −
3 2 6
−
6x
< −4
x
>
4
6
2
3
x
>
2
3
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DISEQUAZIONI DI
SECONDO GRADO
ax
2
+
bx
+
c
>
0
ax
2
+
bx
+
c
<
0
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REGOLA RISOLUTIVA
( )
trovo i due valori x 1,2 con la
formula risolutivo delle
equazioni
Studio le soluzioni facendo
attenzione al delta e al
segno della disequazione
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Esempio 2
− 3x
2
+
x
+
2
>
0
3x
2
−
x
−
2
<
0
x
1,2
=
1±
1−
4
6
( − 6)
=
1±
6
25
=
1±
5
6
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Esempio
3x
2 − x − 2 <
0
(Continuazione)
x
1
=
− 2
3
x
2
= 1
−
2
3
<
x
< 1
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Esempio 3
2 3
3x
− 3x
+ < 0
4
2
12x
−12x
+ 3 < 0
x
1,2
12 ±
=
144 − 4⋅
24
( 36)
=
12 ±
144 −144
24
=
12
24
=
1
2
∆=0, segno disequazione

Esempio 4
2 1
x + x + > 0
2
2
2x
+ 2x
+ 1 >
0
x
1,2
∀x
=
−
2
±
4
4
−8
=
−
2
±
4
−
4
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DISEQUAZIONI FRATTE:
1. Si studia l’insieme di definizione
delle soluzioni del numeratore
2. Si studia l’insieme di definizione
delle soluzioni del denominatore
(ATTENZIONE: deve essere anche
diverso da zero essendo a
denominatore!!)
3. Si studia il segno tra gli insiemi
ottenuti ai primi due punti
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STUDIARE IL SEGNO
a
b
N
- + +
- - +
D
+ - +
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Esempio 5
1
x +
2
−
x
1
−
2
< 1+
1
4 − x
2
1
2 +
x
+
1
2 −
x
−1−
1
( 2 + x)( 2 − x)
<
0
2 −
x
+
2
+ x − ( 2 − x)( 2 + x)
( 2 − x)( 2 + x)
−1
<
0
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Esempio
1
x + 2
−
1
x − 2
< 1+
1
4 − x
2
(Continuazione)
x
2
−1
( 2 − x)( 2 + x)
<
0
N : x
2
−1
> 0
x < −1∨
x
> 1
D :
x
−
< 2; x > −2
2 < x < 2
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Esempio
1
x + 2
−
1
x − 2
< 1+
1
4 − x
2
N:
(Continuazione)
-2 -1 1 2
D:
-
+ - + -
La richiesta era < di zero per cui la
soluzione finale è
x
< −2 ∨ x > 2 ∨ −1
< x <
1
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Esempio 6
x
2
4x
N :
2
− x + 5
x
+ x − 3
2
− x +
> 0
5 >
0
x
1,2
=
1±
1−
2
4
( 5)
=
1±
2
−19
∀x
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Esempio
(Continuazione)
x
4x
2
2
− x + 5
+ x − 3
>
0
D : 4x
2
+
x
− 3
>
0
x
1,2
=
−1±
1−
4
8
( −12)
=
−1±
8
49
=
−1±
7
8
x
< −1∨
x
>
3
4
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Esempio
(Continuazione)
2
x
4x
2
− x + 5
+ x − 3
>
0
-1 3/4
+ - +
La richiesta era > di zero per cui la
soluzione finale è
< −1 ∨ x >
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x
3
4