ANALISI DEL PROTOCOLLO SRP (SECURE REMOTE PASSWORD)

e che gode delle seguenti proprietà:
1. φ(1) = 1
2. se p ∈ P =⇒ φ(p) = (p − 1)
3. se p ∈ P =⇒ φ(p n ) = (p n − p n−1 ) = p n (1 − 1 p )
4. se (m,n) = 1 =⇒ φ(mn) = φ(m)φ(n)
Teorema 2.1 (di Eulero - s.d.) Dati a ∈ Z e n ≥ 1
tali che siano relativamente primi tra loro, cioè
si ha che
□
(a,n) = 1
a φ(n) ≡ n 1 (1)
Definizione 2 (Radice primitiva) Siano α , n ∈ N
tali che (α,n) = 1, si definisce come ordine di α
modulo n la seguente quantità
ord n (α) = min{i > 0 | α i ≡ n 1}
Dal teorema di Eulero avremo necessariamente
che
ord n (α) ≤ φ(n)
Allora si dirà che α è radice primitiva di n se vale
che
ord n (α) = φ(n) (2)
In generale si ha che vale il seguente risultato
Teorema 2.2 (Forma delle radici primitive - s.d.)
Un numero n ha radici primitive se e solo se è nella
forma
dove
□
2 , 4 , p α , 2p α
p ∈ P , p > 2 , α > 1
Consideriamo adesso un certo α radice primitiva di n.
Per quanto appena visto vale che
(α,n) = 1
ma dalla teoria dei numeri sappiamo che in questo
caso esiste un unico
α −1 mod n
Dati quindi i seguenti valori
α 1 , α 2 , ... , α φ(n)
valgono le seguenti considerazioni:
• i valori elencati sono tutti diversi tra loro (modulo
n)
• i valori elencati sono tutti relativamente primi con
n, poichè già vale che (α,n) = 1. Di conseguenza
questo varrà anche modulo n e che quindi
{α 1 mod n , α 2 mod n , ... , α φ(n) mod n} = Z ∗ p
Basandoci sulle precedenti considerazioni si
introduce la seguente
Definizione 3 Sia p ∈ P e α radice primitiva di p, si
definiscono le seguenti funzioni
dove
exp α,p : Z ∗ p → Z ∗ p , ind α,p : Z ∗ p → Z ∗ p
exp α,p (i) = (α i mod p) (3)
è detta esponenziazione discreta. Mentre
ind α,p (a) = min{i > 0 | α i mod p = a} (4)
è detto logaritmo discreto.
Concludendo abbiamo che la funzione di esponenziazione
è biettiva e risulta che
ind α,p = exp −1
α,p
2.1.1 One-wayness della esponenziazione
discreta
La funzione di esponenziazione discreta è supposta
essere di tipo one-way e quindi il calcolo di ind α,p (n)
con p molto grande non è computazionalmente praticabile.
Infatti, uno dei modi per ottenere il logaritmo
discreto è quello di provare tutte le potenze di α finchè
non si trova l’esponente giusto, ma con numeri grandi
questo richiede molte risorse di calcolo. Esistono anche
strategie più sofisticate ed efficienti, come il Pollard’s
rho method [13] che comunque si vanificano
con adeguate grandezze di p.
Esempio
Supponiamo sia dato
ind 2,19 (9) = h
e che si voglia ottenere h procedendo per tentativi.
Dalla definizione avremo che
h = min{i > 0 | 2 i mod 19 = 9}
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