Esercizi proposti Foglio 7 - Integrali impropri Esercizio 1. Discutere ...

Esercizi proposti
Foglio 7 - Integrali impropri
Esercizio 1.
Discutere la convergenza dei seguenti integrali impropri su domini illimitati:
∫ +∞ 1
1.a)
−1 x 2 + 2x + 2 dx
[conv.];
1.b)
1.c)
1.d)
1.e)
1.f)
1.g)
1.h)
1.i)
1.l)
1.m)
1.n)
∫ +∞
0
∫ +∞
1
∫ +∞
0
∫ +∞
1
∫ +∞
0
∫ +∞
2
∫ +∞
2
∫ +∞
0
∫ +∞
0
∫ +∞
2
∫ +∞
1
cos x dx ,
[non conv.];
1
dx, α ∈ IR [conv. per α > 1, div. per α ≤ 1];
xα e −αx dx, α > 0 [conv. per ogni α > 0];
1
√ x
e −√x dx
e −2x sin(e −x ) dx
1
x log x dx
[conv.];
[conv.];
[div.];
1
dx [conv.];
(x log x)
2
x
dx [conv.];
(1 + x 2 )
2
sin 2 x dx
[div.];
( x
x tg α 2 )
+ 1
dx,α ∈ IR [conv. per α>1, div. per α≤1];
x 4 + cos x
√
(x + 2) sin
1
dx [conv.];
(x + 3)
2

∫ +∞
1.o)
1.p)
1.q)
0
∫ +∞
2
∫ +∞
3
(1 + sin x) 3√ 3x 2 − 5x + 2
x 2 + 1
dx
[conv.];
x 2n+1
dx [conv. per n < 2, div. per n ≥ 2];
(x 2 + 1)
3
log( √ x + 1) − log( √ x − 1)
√ x
dx . [div.].
Esercizio 2.
Discutere la convergenza dei seguenti integrali impropri di funzioni illimitate
in un intervallo limitato:
∫ 1 1
2.a) √ dx
[conv.];
1 − x
2
2.b)
2.c)
2.d)
2.e)
2.f)
2.g)
2.h)
2.i)
2.l)
2.m)
0
∫ 1
0
∫ 2
1
∫ 1
0
∫ 1
2
0
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 4
3
∫ 1
0
∫ 1
2
0
∫ 1
2
0
log x dx
[conv.];
1
dx, α ∈ IR [conv. per α < 1, div. per α ≥ 1];
(x − 1)
α
1
3√
1 − x
4 dx
( √ 1 + x − √ 1 − x) log 2 x
x √ x
x log x dx
dx
[conv.];
[conv.];
[non improprio];
sin x
dx [div.];
x 2 ( ) x
arctg dx
[non improprio];
x − 3
1 − e −x
dx
x 3 2
1
x log x dx
1
x(log x) 2 dx
[conv.];
[div.];
[conv.];

∫ 1 1
2.n) √ dx
0 2 + arcsin x
[non improprio].
Esercizio 3.
Discutere la convergenza dei seguenti integrali impropri con punti critici sia
al finito che all’infinito.
∫ +∞ 1
3.a) √
e
3x
− 1 dx
[conv.];
3.b)
3.c)
3.d)
0
∫ +∞
0
∫ +∞
0
∫ +∞
0
1
dx, α > 0 [conv. per 0 < α < 1, div. per α ≥ 1];
|e 3x − 1|
α
e x − 1 − sin x
e πx − 1 − sin πx dx
[conv.];
1
x a (4 + 9x)
b
dx, a > 0, b > 0 [conv. per 0 < a < 1, b > 1 − a,
div. negli altri casi].