351 - 5.3 Alcune classi di funzioni integrabili - Mucchioselvaggio.Org

3. Si verifichi che per ogni f, g : [a, b] → R si ha
f ∨ g = g + (f − g) ∨ 0, f ∧ g = f + g − f ∨ g;
dedurne che se f, g ∈ R(a, b) allora f ∨ g, f ∧ g ∈ R(a, b).
[Traccia: si osservi che basta verificare che f ∨ 0 ∈ R(a, b), e si provi
che risulta osc(f ∨ 0, I) ≤ osc(f, I).]
4. Se A è un sottoinsieme di R m o di C m , una funzione f : A → R
si dice lipschitziana (dal nome del matematico tedesco Lipschitz) se
esiste L > 0 tale che
|f(x) − f(y)| ≤ L|x − y| m
∀x, y ∈ A
(il più piccolo numero L che soddisfa la definizione si chiama costante
di Lipschitz di f). Si provi che se f ∈ R(a, b) e Φ : R → R è una
funzione lipschitziana, allora Φ ◦ f ∈ R(a, b).
[Traccia: si provi che osc(Φ ◦ f, I) ≤ L · osc(f, I).]
5. Dimostrare la proposizione 5.2.7.
6. Si calcoli, se esiste, la misura dell’insieme
A =
∞⋃
[2 −2n−1 , 2 −2n [.
n=0
7. Dimostrare che l’insieme ternario di Cantor (esercizio 3.1.22) è misurabile,
e calcolarne la misura.
5.3 Alcune classi di funzioni integrabili
Utilizzando il criterio fornito dalla proposizione 5.1.9 si determina facilmente
una prima importante classe di funzioni integrabili: quella delle funzioni
monotone.
Teorema 5.3.1 Sia f : [a, b] → R una funzione monotona.
integrabile su [a, b].
Allora f è
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Dimostrazione
monotonia segue
Osserviamo anzitutto che f è limitata, in quanto dalla
f(x) ∈ [f(a), f(b)] se f è crescente,
f(x) ∈ [f(b), f(a)] se f è decrescente.
Consideriamo le suddivisioni equispaziate σ N , con nodi x i = a + i (b − a)
N
(esempio 5.1.2). Supponendo ad esempio f crescente, si ha
cosicché
S(f, σ N ) =
N∑
f(x i )(x i − x i−1 ), s(f, σ N ) =
i=1
N∑
f(x i−1 )(x i − x i−1 ),
i=1
S(f, σ N ) − s(f, σ N ) =
=
N∑
[f(x i ) − f(x i−1 )](x i − x i−1 ) =
i=1
N∑
i=1
[f(x i ) − f(x i−1 )] b − a
N
− a
= [f(b) − f(a)]b
N .
Quindi, fissato ε > 0, il criterio di integrabilità (proposizione 5.1.9) è soddisfatto
se si sceglie N abbastanza grande.
Uniforme continuità
Il nostro prossimo obiettivo è quello di dimostrare l’integrabilità delle funzioni
continue su un intervallo compatto. A questo scopo conviene introdurre la
nozione di uniforme continuità, la quale, come suggerisce il nome, è una
proprietà più restrittiva della continuità.
Ricordiamo che se A è un sottoinsieme di R m (oppure di C m ) e f : A → R è
una funzione, dire che f è continua in A significa che
∀x 0 ∈ A, ∀ε > 0 ∃δ > 0 : |f(x) − f(x 0 )| < ε ∀x ∈ A con |x − x 0 | m < δ.
Definizione 5.3.2 Sia A un sottoinsieme di R m (o di C m ) e sia f : A → R
una funzione. Diciamo che f è uniformemente continua in A se
∀ε > 0 ∃δ > 0 : |f(x) − f(x 0 )| < ε ∀x ∈ A, ∀x 0 ∈ A con |x − x 0 | m < δ.
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Come si vede, nella definizione di uniforme continuità si è spostata la stringa
“∀x 0 ∈ A” dall’inizio alla fine della frase. Questo fa sì che il numero δ di
cui si prescrive l’esistenza sia sottoposto ad una richiesta più forte: esso deve
garantire che sia |f(x) − f(x 0 )| < ε non solo per ogni x vicino ad un fissato
punto x 0 , ma per ogni coppia di punti x, x 0 fra loro vicini, in qualunque parte
di A essi si trovino. In definitiva: il numero δ deve dipendere da ε, ma non
da x 0 .
La definizione di uniforme continuità si esprime bene facendo intervenire
l’oscillazione di f (definizione 5.2.1): f è uniformemente continua in A se e
solo se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che risulti
osc(f, B) = sup f − inf f ≤ ε
B B
per ogni palla B ⊆ A che abbia raggio non superiore a δ/2, ovunque si trovi
il suo centro.
L’uniforme continuità di una funzione f si può interpretare geometricamente
nel modo seguente: si consideri un rettangolo R, di base 2δ ed altezza
2ε, centrato in un punto del grafico di f; si ha continuità uniforme se per
qualunque ε > 0 vi è una base δ > 0 tale che, facendo scorrere il centro
del rettangolo R lungo il grafico di f, il grafico non intersechi mai i due lati
orizzontali del rettangolo.
Esempi 5.3.3 (1) Siano A = [0, ∞[ e f(x) = x 2 . Per ogni intervallo I a =
[a, a + δ] si ha
osc(f, I a ) = (a + δ) 2 − a 2 = 2aδ + δ 2 ;
dunque f, pur essendo continua in [0, ∞[, non è uniformemente continua in
tale semiretta in quanto, fissato ε > 0 e comunque preso δ > 0, risulta, per
valori di a sufficientemente grandi, osc(f, I a ) = 2aδ + δ 2 ≥ ε.
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(2) Ogni funzione lipschitziana in un insieme A è uniformemente continua
in A: dato ε > 0, basta scegliere δ = ε/L, ove L è la costante di Lipschitz di
f. In particolare, le funzioni f : R → R derivabili con derivata limitata sono
uniformemente continue, in quanto per il teorema di Lagrange esse risultano
lipschitziane con costante L ≤ sup R |f ′ |. Si noti che in generale le funzioni
appartenenti a C 1 (R) non sono né lipschitziane né uniformemente continue,
come mostra l’esempio della funzione f(x) = x 2 .
Come abbiamo visto, non tutte le funzioni continue sono uniformemente
continue; tuttavia vale il seguente importante risultato:
Teorema 5.3.4 (di Heine-Cantor) Sia f una funzione reale, definita su
un sottoinsieme compatto A di R m o di C m . Se f è continua in A, allora f
è uniformemente continua in A.
Dimostrazione Supponiamo per assurdo che f non sia uniformemente continua
in A: allora, negando la definizione 5.3.2, troviamo che esiste ε > 0
tale che, qualunque sia δ > 0, possiamo determinare due punti x, x 0 ∈ A che
verificano |x − x 0 | m < δ, ma |f(x) − f(x 0 )| m ≥ ε. Scegliendo allora δ = 1/k,
con k ∈ N + , per ogni k troveremo x k , x ′ k ∈ A tali che
|x k − x ′ k| m < 1 k , |f(x k) − f(x ′ k)| ≥ ε.
Le due successioni {x k } e {x ′ k } così costruite sono costituite da punti del
compatto A. Per definizione di insieme compatto (osservazione 3.1.20), esiste
una sottosuccessione {x kn } ⊆ {x k } che converge ad un punto x ∈ A; la
corrispondente sottosuccessione {x ′ k n
} ⊆ {x ′ k } converge anch’essa a x, dato
che |x kn − x ′ k n
| m < 1/k n → 0 per n → ∞. Ma allora, essendo f continua nel
punto x, si deve avere f(x kn ) → f(x) e f(x ′ k n
) → f(x) per n → ∞, il che è
assurdo perché |f(x kn ) − f(x ′ k n
)| ≥ ε per ogni n.
Osservazione 5.3.5 Il teorema di Heine-Cantor vale se A è compatto, ossia
limitato e chiuso (teorema 3.1.19 e osservazione 3.1.20): il risultato è falso
se A non è limitato, come mostra l’esempio 5.3.3 (1), ed anche se A non è
chiuso, come mostra l’esempio della funzione f(x) = 1/x, x ∈ ]0, 1] (si veda
l’esercizio 5.3.4).
Integrabilità delle funzioni continue
Proviamo ora l’integrabilità delle funzioni continue su un intervallo [a, b].
Notiamo che ogni funzione continua f : [a, b] → R è necessariamente limitata
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(per il teorema di Weierstrass) e uniformemente continua (per il teorema di
Heine-Cantor).
Teorema 5.3.6 Ogni funzione continua f : [a, b] → R è integrabile in [a, b].
Dimostrazione Sia ε > 0. Poiché f è uniformemente continua, esiste δ > 0
tale che
x, x ′ ∈ [a, b], |x − x ′ | < δ =⇒ |f(x) − f(x ′ )| < ε
b − a .
Prendiamo, per ogni N ∈ N + , le suddivisioni equispaziate σ N i cui nodi sono
x i = a + i b−a
(b − a), i = 0, 1, . . . , N. Se scegliamo N > , avremo
N δ
x i − x i−1 = b − a
N
< δ, i = 1, . . . , N.
Valutiamo la quantità S(f, σ N ) − s(f, σ N ): si ha
S(f, σ N ) − s(f, σ N ) =
=
N∑
(
i=1
N∑
i=1
max f −
[x i−1 ,x i ]
[f(ξ i ) − f(η i )] · b − a
N ,
)
min
[x i−1 ,x i ]
f (x i − x i−1 ) =
ove ξ i e η i sono rispettivamente punti di massimo e di minimo per f nell’intervallo
[x i−1 , x i ]. Poiché, ovviamente, |ξ i − η i | ≤ x i − x i−1 < δ, avremo
f(ξ i ) − f(η i ) <
ε , e dunque
b−a
S(f, σ N ) − s(f, σ N ) <
N∑
i=1
ε
b − a · b − a
N = ε ∀N > b − a .
δ
Per la proposizione 5.1.9 si conclude che f è integrabile in [a, b].
Osservazione 5.3.7 Più in generale, risultano integrabili in [a, b] le funzioni
che sono limitate in [a, b] e continue salvo che in un numero finito di punti
{x 1 , . . . , x k } ⊂ [a, b]. La dimostrazione di questo fatto, benché formalmente
un po’ pesante, non è affatto difficile, e per essa si rimanda all’esercizio 5.3.5.
La classe R(a, b) è considerevolmente ampliata dal seguente risultato:
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Teorema 5.3.8 Sia f ∈ R(a, b) e poniamo M = sup [a,b] f, m = inf [a,b] f. Se
Φ : [m, M] → R è una funzione continua, allora Φ ◦ f ∈ R(a, b).
Si noti che Φ ◦ f non è necessariamente una funzione continua.
Dimostrazione Fissato ε > 0, sia δ ∈]0, ε[ tale che
t, s ∈ [m, M], |t − s| < δ =⇒ |Φ(t) − Φ(s)| < ε;
tale δ esiste poiché Φ è uniformemente continua in [m, M] in virtù del teorema
di Heine-Cantor.
Poiché f ∈ R(a, b), esiste una suddivisione σ = {x 0 , x 1 , . . . , x N } di [a, b] tale
che
S(f, σ) − s(f, σ) < δ 2 .
Posto I i = [x i−1 , x i ], consideriamo gli insiemi
Si ha allora, posto K = sup [m,M] |Φ|,
Quindi
A = {i ∈ {1, . . . , N} : osc(f, I i ) < δ},
B = {i ∈ {1, . . . , N} : osc(f, I i ) ≥ δ}.
osc(Φ ◦ f, I i ) < ε ∀i ∈ A, osc(Φ ◦ f, I i ) ≤ 2K ∀i ∈ B,
δ ∑ (x i − x i−1 ) ≤ ∑
i∈B
i∈B
osc(f, I i )(x i − x i−1 ) ≤ S(f, σ) − s(f, σ) < δ 2
ovvero
Da ciò segue
∑
(x i − x i−1 ) < δ.
i∈B
S(Φ ◦ f, σ) − s(Φ ◦ f, σ) =
= ∑ osc(Φ ◦ f, I i )(x i − x i−1 ) + ∑ osc(Φ ◦ f, I i )(x i − x i−1 ) ≤
i∈A
i∈B
cioè la tesi.
≤ ε(b − a) + 2Kδ < ε(b − a + 2K),
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Esercizi 5.3
1. Sia f : R → R una funzione continua, e supponiamo che f abbia
asintoti obliqui per x → ±∞. Provare che f è uniformemente continua
in R.
2. Esibire una funzione f : R → R limitata e di classe C ∞ , ma non
uniformemente continua su R.
3. Si provi che |x α − y α | ≤ |x − y| α per ogni x, y ≥ 0 e per ogni α ∈ [0, 1];
se ne deduca che se α ∈ [0, 1[ la funzione f(x) = x α è uniformemente
continua in [0, ∞[, ma non è lipschitziana in tale semiretta.
4. Si provi che per ogni α > 0 la funzione f(x) = x −α non è uniformemente
continua in ]0, 1].
5. Dimostrare che ogni funzione limitata in [a, b], e continua salvo che in
un numero finito di punti, è integrabile in [a, b].
6. Sia f : [a, b] → R una funzione convessa. Provare che
( ) a + b
f
2
≤ 1
b − a
∫ b
a
f(x) dx ≤
f(a) + f(b)
2
5.4 Il teorema fondamentale del calcolo integrale
Se f è una funzione integrabile secondo Riemann in un intervallo [a, b], sappiamo
dalla proposizione 5.2.7 che si ha anche f ∈ R(a, x) per ogni x ∈ [a, b].
Quindi possiamo definire la funzione
F (x) =
∫ x
a
f(t) dt,
x ∈ [a, b],
che si chiama funzione integrale della f. Si noti, di passaggio, che non è
lecito scrivere ∫ x
f(x) dx: la variabile di integrazione non va confusa con gli
a
estremi dell’intervallo di integrazione, esattamente come nelle sommatorie si
scrive ∑ n
k=0 a k e non ∑ n
n=0 a n.
Analizziamo le proprietà della funzione integrale F .
.
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