1. Dimensionamento del sistema di riscaldamento di un serbatoio

1. Dimensionamento del sistema di riscaldamento di un serbatoio
Un serbatoio del volume di 200 m 3 , cilindrico ad asse orizzontale, contiene un olio combustibile.
L’olio va mantenuto a 40 °C per migliorarne la fluidità: come fluido di servizio è disponibile acqua
di condensa calda a 90°C e le perdite di carico ammissibili sono pari a 30 kPa.
Proprietà fisiche medie dell’acqua di condensa, tra 50 e 90°C:
µ ≅ 0.38 cP, k = 0.66 W/m K, c p = 1 kcal/kg°C, ρ = 975 kg/m 3
Proprietà fisiche dell’olio a 40°C
µ = 7.5⋅10 -3 Pa s, k = 0.14 W/m K, c p = 1926 J/kg°C, ρ = 870 kg/m 3 , β = 7.8⋅10 -4 1/K
Stima del calore da fornire al serbatoio
Il serbatoio, ad asse orizzontale, sarà caratterizzato da un rapporto lunghezza/diametro intorno a 6.
2
3
D 6 ⋅ D
4 ⋅ V
V ≅ π L = π D = 3 = 3
4 4
6 ⋅ π
4 ⋅ 200
≅ 3.5 m
6 ⋅3.14
L = 3.5 ⋅ 6 = 21 m
Le massime perdite di calore ipotizzabili si avrebbero a serbatoio completamente pieno, a 40°C, con
ambiente esterno freddo e ventoso. Ipotizzando una temperatura esterna di –5°C ed un vento di 5
m/s, il coefficiente di scambio termico dell’aria vale:
h
aria
16.12 ⋅ u
=
T ⋅ D
0.168
f
0.6
0.40
Per semplicità, si assume che la parete del serbatoio sia a 40°C; la temperatura media del film, T f è
quindi la media tra quelle dell’aria e del serbatoio, pari a 17.5°C, ossia 290.7 K e si ottiene:
h
aria
0.6
16.12 ⋅5
=
0.168
290.7 ⋅3.5
0.4
≅ 10 W / m
2
K
La superficie del serbatoio, assimilando per semplicità i fondi curvilinei a cerchi piani, è pari a:
2
2
D
3.5
A = π ⋅ D ⋅ L + 2 ⋅ π = 3.14 ⋅ 3.5⋅
21+
3.14 = 250 m
4
2
Il flusso di calore disperso è:
( T − T ) = 10 ⋅ 250( 40 + 5) 112500 W
Q = h
aria
⋅ A
serbatoio aria
=
Stima della superficie di scambio termico
Occorre fissare la temperatura di uscita dell’acqua di condensa: il coefficiente di scambio termico
dell’olio nel serbatoio sarà modesto, per cui è conveniente che il salto di temperatura tra fluido
riscaldante e serbatoio non sia troppo basso. Assumendo un salto termico minimo di 20°C, la
temperatura di uscita dell’acqua di condensa è di 60°C.
A
o
=
U
D
Q
∆T
ML
( 90 − 40) − ( 60 − 40)
( 90 − 40)
ln
( 60 − 40)
∆ T ML
=
= 32.7 ° C
2
1

In base alle tabelle, il valore di U D atteso risulta compreso nell’intervallo 70 ÷ 150 W/m 2 K: si fissa
U D = 110 W/m 2 K
112500
A
o
= = 31.3 m
110 ⋅ 32.7
2
Scelta del dispositivo di scambio termico e calcolo dei coefficienti
Data la forma del recipiente da riscaldare, non si
userà un serpentino ma piuttosto dei tubi ad U o
un fascio tubiero immerso nel serbatoio.
I tubi ad U saranno attaccati a “sbalzo”, come
mostra la figura: per evitare sollecitazioni meccaniche eccessive sul serbatoio conviene limitare la
lunghezza dei tubi, fissando L = 3.6 m.
Si calcola la portata di acqua di condensa occorrente per il riscaldamento:
w
acqua
=
c
p
Q
112500
( T − T ) 1⋅
4186 ⋅ ( 90 − 60)
ing
usc
=
≅
0.90 kg / s
Q
acqua
w
=
ρ
acqua
acqua
=
0.90
975
= 0.92 ⋅10
La lunghezza complessiva di tubo, il numero di tubi piegati ad U e la velocità di passaggio
dell’acqua in ogni tubo, dipende dal diametro del tubo scelto:
A
0
L =
π ⋅ d
0
n t
L
=
3.6 ⋅ 2
v =
n
t
Q
acqua
2
⎛ d
⎜ π
i
⎝ 4
d o (mm) d i (mm) L (m) n t v (m/s)
20.0 16.0 498 69 0.066
25.0 21.0 399 55 0.048
30.0 25.4 332 46 0.039
38.0 32.8 262 36 0.030
⎞
⎟
⎠
È evidente come, per tutti i tubi considerati, la velocità di passaggio dell’acqua sia estremamente
bassa e quindi lo stesso accadrà presumibilmente per i coefficienti di scambio.
Scegliendo, comunque, un tubo da 20 /16 mm si ha:
v ⋅ d
i
⋅ρ 0.066 ⋅ 0.016 ⋅ 975
Re = =
= 2709
− 3
µ 0.38⋅10
Il flusso è poco più che laminare, ma ricade comunque nella zona di transizione: dal diagramma a
pag. 12, per L/d = 7.2/0.02 = 360, si legge j H ≅ 5 e si può quindi valutare il coefficiente di scambio
termico:
j
H
h
= 5 =
io
⋅d
k
o
⎛ cp
⋅µ
⎞
⎜
k
⎟
⎝ ⎠
Ponendo (µ / µ W ) 0.14 ≅1
si ha
h
⎛ cp
⋅µ
⎞
⎜ ⎟
k
⎝ ⎠
−1/ 3
⎛
⎜
⎝
µ
µ
W
⎞
⎟
⎠
−0.14
1/ 3
−3
1/ 3
k
⎞
i 0 = 5 ⋅
⎟ =
d
0
0.66 ⎛ 4186 ⋅ 0.38 ⋅10
= 5 ⋅ ⎜
0.020
⎝ 0.66
⎠
221 W / m
2
K
−3
m
3
/ s
2

Il coefficiente di scambio di calore dell’olio in convezione naturale
h
0
⋅ d
k
0
= 0.51
⎜
⎝
⎛
3 2
d 0 g T c
f p
⎜
⋅ρ ⋅ ⋅β ⋅ ∆ ⋅µ
2
µ
k
⎞
⎟
⎠
025
Come primo tentativo si assume che ∆T f sia pari alla differenza tra la temperatura dell’olio, 40°C, e
quella media dell’acqua, 75°C, ossia ∆T f = 35°C.
h
0.25
3 2
−4
−3
⋅870
⋅ 9.81⋅
7.8 ⋅10
⎞
⎟
0 =
2
0.14 ⎛ 0.020
= ⋅ 0.51⎜
0.020 ⎜
⎝
−3
( 7.5 ⋅10
)
⋅ 35 1926 ⋅ 7.5⋅10
⋅
0.14
⎟
⎠
148.3 W / m
Occorre quindi verificare le temperatura di parete e il ∆T del film e ricalcolare h o .
h
i0
(T
acqua
h i0 ⋅ Tacqua
+ h 0 ⋅ Tolio
− Tp
) = h 0 (Tp
− Tolio
) Tp
=
T p = 60.9 °C ∆T f = 20.9°C
h + h
si ricalcola h 0 = 130.3 W/m 2 K.
Iterando ancora si ha: T p = 62.0 °C, ∆T f = 22.0°C, h 0 = 132 W/m 2 K.
Possiamo considerare che l’accordo su h o sia accettabile e calcolare U D
1
U
D
=
1
h
io
+
1
h
o
+ R
d
' + R
d
''
Per lo sporcamento, dalla tabella a pag. 10 si scelgono i valori:
Acqua distillata
R
Olio di circolazione
d
2
m h°
C
' = 0.00005 /1.163 = 4.3⋅10
kcal
i0
0
−5
2
m h°
C
R
d"
= 0.0002 /1.163 = 1.72 ⋅10
kcal
1 1 1
−5
− 4
U
D
2
m K / W
= + + 4.3⋅10
+ 1.72 ⋅10
⇒ U D = 81.2 W / m 2 K
221 132
Verifica del dimensionamento e iterazioni successive
−4
2
m K / W
Calcolato il coefficiente di scambio globale occorre verificare la superficie di scambio:
Q 112500
A o = = = 42.4 m
U ∆T
81.2 ⋅ 32.7
D
ML
2
Questa superficie è maggiore da quella ipotizzata inizialmente, per cui occorre ripetere i calcoli
assumendo un valore di A 0 più grande.
Iterando, si può fare riferimento semplicemente al valore di A 0 calcolato, o correggerlo, verso l’alto
o verso il basso, per tenere conto dell’effetto che l’incremento (o la riduzione) del numero dei tubi
ha sui coefficienti di scambio. Infatti, se si aumenta il numero dei tubi, la velocità del fluido
diminuisce e quindi anche il suo coefficiente cala, portando ad un’ulteriore diminuzione di U D .
Visto che in questo caso la superficie necessaria (42.4 m 2 ) è nettamente maggiore di quella
disponibile (31.3 m 2 ) si decide di iterare con una superficie di scambio termico A 0 maggiore del
15% rispetto al valore calcolato:
A 0 = 42.4⋅1.15 = 48.7 m 2 .
2
K
3

Mantenendo la scelta dei tubi fatta in precedenza, i calcoli vanno ripetuti aumentando il loro
numero:
L = 775 m n t = 108 v = 0.043 m/s Re = 1758
Siamo in condizioni di flusso laminare: il valore di j H , letto sul diagramma a pagina 12 per L/d =
360 è circa 3. Il valore del coefficiente di scambio si può calcolare semplicemente correggendo
quello calcolato in precedenza sulla base del rapporto tra i valori vecchio e nuovo di j H :
jH,nuovo
3
2
hi 0 = hi0,vecchio
⋅ = 221⋅
= 132.6 W / m K
j
5
H,vecchio
Si calcola un valore di primo tentativo della temperatura di parete, assumendo per h 0 il valore
calcolato in precedenza
hio
⋅Tacqua
+ h 0 ⋅Tolio
132.6⋅75
+ 132⋅40
Tp =
=
= 57.5°
C
h + h
132.6 + 132
io
0
Procedendo come in precedenza si calcola: ∆T f = 17.5°C, h 0 = 122.9 W/m 2 K; iterando si ha: T p =
58.2°C, ∆T f = 18.2°C, h 0 = 125.9 W/m 2 K e, iterando ancora: T p = 58.0°C, ∆T f = 18°C, h 0 = 125.6
W/m 2 K. Questo valore è molto vicino al precedente e si può assumere di essere a convergenza.
Si ricalcola quindi il valore di U D :
1 1 1
−5
− 4
U
D
= + + 4.3⋅10
+ 1.72 ⋅10
⇒ U D = 63.6 W / (m 2 K)
132.6 125.6
112500
A
o
= = 54.1 m
63.6⋅32.7
2
Anche in questo caso la superficie di scambio calcolata (54.1 m 2 ) è diversa da quella ipotizzata
(48.7 m 2 ) e occorre iterare. Dato che i valori delle due superfici sono piuttosto vicini tra loro si
assume direttamente come nuovo valore A 0 = 54.1 m 2 .
L = 861 m n t = 120 v = 0.039 m/s Re = 1594
Il valore di j H , letto sul diagramma a pagina 12 per L/d = 360 è circa pari a 2.9 e quindi h i0 = 128.3
W/m 2 K. Si assume T p = 58°C, come ottenuto all’iterazione precedente e si ottiene: ∆T f = 18°C, h 0 =
125.6 W/m 2 K. Iterando, si ha: T p = 57.7. Con ∆T f = 17.7°C, h 0 = 125.1 W/m 2 , valore vicino al
precedente.
Si ricalcola quindi il valore di U D :
1 1 1
−5
− 4
U
A
D
o
= + + 4.3⋅10
+ 1.72⋅10
⇒ U D = 62.5 W / (m 2 K)
128.3 125.1
112500
= ≅
62.5⋅
32.7
55.1 m
2
Siamo arrivati a convergenza, visto che lo scarto tra superficie disponibile, 54.1 m 2 e richiesta, 55.1
m 2 è inferiore al 2%. Il dimensionamento effettuato è tuttavia insoddisfacente: l’acqua è in flusso
laminare ed il suo coefficiente è appena superiore a quello dell’olio in convezione naturale.
Verifica delle perdite di carico
f
∆p
=
t
⋅ G
2
t
2 ⋅ρ ⋅ d
⋅ L ⋅ n
i
⋅ φ
p
4

Si pone φ = (µ/µ W ) 0.14 64
≅ 1: v = 0.039 m/s Re = 1594 f
t
= = 0. 0402
Re
G
t
= v ⋅ρ = 0.039 ⋅975
=
38.03 kg / m
2
0.0402 ⋅38.03
⋅3.6
⋅ 2
∆ p =
= 13.4 Pa
2 ⋅975
⋅ 0.016
2
s
Vista la bassa velocità dell’acqua, le perdite di carico sono estremamente basse, come atteso.
Modifica della tipologia del dispositivo di scambio termico e calcolo dei coefficienti di scambio
Per un dimensionamento più realistico del dispositivo di scambio termico occorre aumentare la
velocità dell’acqua, cosa che si può ottenere ricorrendo ad un fascio tubiero che consenta un numero
di passaggi superiore a 2.
Ipotizziamo 8 passaggi, adottando tubi da 3.6 m con diametro 20.0/16.0 mm come scelto in
precedenza. Nel calcolo si riparte dalla superficie di scambio termico ipotizzata inizialmente, ossia
31.3 m 2 . Il numero di tubi occorrente è pari a:
n
A
=
π ⋅ d
31.3
=
⋅ L π ⋅ 0.02 ⋅ 3.6
0
t
=
0
138
Questo numero va però arrotondato per renderlo divisibile per 8 (numero dei passaggi): si fissano
perciò 144 tubi e risulta quindi A 0 = 32.6 m 2 .
La velocità di passaggio nei tubi si calcola tenendo conto che il fluido fa 8 passaggi:
n
n
Q
2
d
i
⋅ π⋅
4
−3
0.92 ⋅10
=
144 0.016
⋅ π ⋅
8 4
v
acqua
t
=
=
2
t
p
0.254 m / s
v
t
⋅ d
i
⋅ρ 0.254 ⋅ 0.016 ⋅975
Re = =
= 10427
− 3
µ 0.38 ⋅10
Il moto è turbolento ed il valore di j H si calcola con la:
0.8
jH = 0.023⋅
Re = 37.69
h
1/ 3
−3
1/ 3
k
⎞
i 0 = 37.69
⎟ =
d
o
⎛ c p ⋅ µ ⎞
⎜ ⎟
k
⎝ ⎠
0.66 ⎛ 4186 ⋅ 0.38 ⋅10
= 37.69 ⎜
0.020
⎝ 0.66
⎠
1668
t
W / m
Il coefficiente di scambio termico dell’acqua si è notevolmente incrementato, come atteso.
Per valutare il coefficiente di scambio dell’olio si ipotizza che la temperatura di parete sia prossima
a quella media dell’acqua, visto l’elevato coefficiente di scambio termico di quest’ultima, ossia T p =
75°C, e quindi ∆T f = 35°C:
h
0.25
3 2
−4
−3
⋅870
⋅ 9.81⋅
7.8 ⋅10
⎞
⎟
0 =
2
0.14 ⎛ 0.020
= ⋅ 0.51⎜
0.020 ⎜
⎝
−3
( 7.5 ⋅10
)
⋅ 35 1926 ⋅ 7.5⋅10
⋅
0.14
⎟
⎠
2
K
148.3 W / m
Si ricalcola quindi, T p = 72.14, ∆T f = 32.14°C, h 0 = 144.8 W/m 2 , valore vicino al precedente.
1 1 1
−5
− 4
U
D
= + + 4.3⋅10
+ 1.72⋅10
⇒ U D = 129.5 W/m 2 K
1668 144.8
2
K
5

112500
A =
129.5⋅
32.7
2
0 =
26.6 m
Verifica del dimensionamento e iterazioni successive
La superficie di scambio termico è diversa da quella ipotizzata (31.3 m 2 ), per cui occorre iterare
variando la superficie di scambio.
n
A
=
π ⋅ d
26.6
=
⋅ L π ⋅ 0.02 ⋅ 3.6
t
0
=
0
117
Il numero di tubi deve essere divisibile per 8: posto n t = 120 si ha quindi A 0 = 27.1 m 2 , v = 0.305
m/s, Re = 12521, j H = 43.63 e h i0 = 1931 W/m 2 K.
Per valutare il coefficiente di scambio dell’olio si parte dal valore stimato nell’ultima iterazione (h 0
= 144.8 W/m 2 K) e si calcola: T p = 72.93, ∆T f = 32.93°C, h 0 = 146.1 W/m 2 , valore molto vicino al
precedente.
1 1 1
−5
− 4
U
D
= + + 4.3⋅10
+ 1.72 ⋅10
⇒ U D = 131.9 W/m 2 K
1931 146.1
112500
A =
131.9 ⋅ 32.7
2
0 =
26.1 m
Il valore della superficie richiesta (26.1 m 2 ) è assai prossimo a quello della superficie disponibile
(27.1 m 2 ): lo scarto tra i due valori è inferiore al 5%. Dato che lo scambiatore ha 8 passaggi lato
tubi, il numero dei tubi andrebbe diminuito da 120 a 112, e la superficie di scambio diminuirebbe
di 1.8 m 2 , ottenendo uno scarto appena inferiore a quello ottenuto, ma anche una superficie
disponibile inferiore a quella richiesta. Si può quindi considerare completo il dimensionamento
termico.
Verifica delle perdite di carico
f
∆p
=
t
⋅ G
2
t
2 ⋅ρ ⋅ d
⋅ L ⋅ n
i
⋅ φ
p
4 ⋅ n
p
⋅ G
t
+
2 ⋅ρ
Si pone φ = (µ/µ W ) 0.14 ≅ 1:
2
G t = v ⋅ ρ = 0.305 ⋅975
=
297.4 kg / m
2
s
Re = 12521
f
t
−0.255
= 0.4191Re
f t = 0.038
2
0.038⋅
297.4 ⋅3.6
⋅8
4 ⋅8⋅
297.4
∆ p =
+
2 ⋅975
⋅ 0.016 2 ⋅975
2
= 3102 + 1451 = 4552 Pa
Le perdite di carico risultano nettamente superiori al caso precedente, ma largamente entro i limiti
richiesti.
6

2. Dimensionamento di uno scambiatore di calore a fascio tubiero
20000 kg/h di cherosene vanno raffreddati da T i = 200 °C a T u = 90 °C, utilizzando una corrente di
70000 kg/h di grezzo leggero, disponibile a t i =40 °C.
Cherosene
Grezzo leggero
P ingresso (bar) 5.0 6.5
∆P ammissibile (bar)
(comprensivo dei bocchelli)
0.8 0.8
Sporcamento (m 2 °C/W) 0.0002 0.00035
c p (J/kg°C) 2470 2040
k (W/m°C) 0.132 0.134
ρ (kg/m 3 ) 770 820
µ (Pa⋅s) 0.43⋅10 -3 3.2⋅10 -3
Bilancio termico e stima della superficie di scambio
Si valuta la quantità di calore da scambiare e la temperatura di uscita del grezzo.
20000
( T − T ) = ⋅ 2470 ⋅ ( 200 − 90) 1509400 W
Q = w
chero
⋅ c
p,chero ing,chero usc, chero
=
3600
Q = w
grezzo
⋅ c
p,grezzo
70000
( T − T ) 1509400 = ⋅ 2040( T − 40)
usc,grezzo
Si ricava: T usc, grezzo = 78.0 °C
ing,grezzo
t 1 = 40
t 2 = 78
3600
usc, grezzo
Il coefficiente globale di scambio termico U D , date le caratteristiche dei fluidi, dalle tabelle risulta
compreso tra 100 e 400 W/m 2 °C: si assume U D = 300 W/m 2 °C.
Come primo tentativo si assume che lo
scambiatore abbia 1 passaggio lato mantello e
2 passaggi lato tubi.
Il fluido più sporcante è il grezzo e quindi lo si
fa passare lato tubi.
( 200 − 78) − ( 90 − 40)
∆ T ML
=
= 80.7 ° C
⎛ 200 − 78 ⎞
ln⎜
⎟
⎝ 90 − 40 ⎠
Dato il tipo di scambiatore non c’è
equicorrente pura ed occorre valutare il fattore F T .
200 − 90
78 − 40
R = = 2.9 S = = 0. 24
78 − 40
200 − 40
Si legge F T sul diagramma a pag. 30: F T ≅ 0.85.
Si valuta quindi la superficie di scambio:
T 2 = 90
T 1 = 200
7

Q
1509400
A =
2
0 =
=
73.31
U
300 80.7 0.85
m
D ⋅ ∆TML
⋅ F ⋅ ⋅
T
La superficie non è particolarmente grande. Si può pensare di utilizzare tubi di lunghezza 4.8 m e di
diametro 20/16 mm, e si fissa una maglia triangolare con passo p = 1.25 d 0 = 25 mm. Occorrono
n
A
=
π⋅d
73.3
=
⋅ L π⋅0.02⋅
4.8
0
t
=
0
243
Il numero dei tubi deve essere divisibile per 2, dato che ci sono 2 passaggi: si fissa n t = 244, da cui
risulta una superficie di A 0 = 73.6 m 2 .
Calcolo dei coefficienti di scambio termico
Si valuta il coefficiente di scambio termico lato tubi:
w
t
=
2
n
t
d
i
ρ ⋅ ⋅π⋅
n 4
70000
=
244 0.016
3600 ⋅820
⋅ ⋅π⋅
2 4
v
t
=
2
p
v ⋅di
⋅ρ 0.97⋅0.016⋅820
Re = =
− 3
µ 3.2⋅10
t
=
3977
8
0.97 m / s
La velocità è modesta ed il moto è nel regime di transizione. Dal diagramma a pag. 12, per L/d =
4.8/0.02 = 240, si legge j H ≅ 12 e si può quindi valutare il coefficiente di scambio termico:
j
H
h i0d
= 12 =
k
0
⎛ cpµ
⎞
⎜ ⎟
k
⎝ ⎠
−1/
3
⎛
⎜
⎝
µ
µ
W
⎞
⎟
⎠
−0.14
Si pone (µ / µ W ) 0.14 ≅ 1: questa ipotesi non è molto corretta, tenuto conto dell’elevata viscosità del
fluido e del fatto che la temperatura di parete è presumibilmente alquanto superiore a quella della
massa del fluido. Questo aspetto sarà comunque approfondito successivamente.
0.134 ⎛ 2040⋅3.2⋅10
= 12⋅
⎜
0.020
⎝ 0.134
−3
1/ 3
W
= 293.6
m ° C
hi0
2
⎞
⎟
⎠
Il valore di h i0 ottenuto non è congruente con quello di U D ipotizzato (300 W/m 2 °C). Visto che il
numero di Reynolds è risultato basso, si preferisce aumentare la velocità di passaggio nei tubi,
piuttosto che assumere un valore di U D più basso.
Si assume quindi di effettuare 4 passaggi nei tubi. Il valore di F T non cambia rispetto al caso
precedente: mantenendo 244 tubi (il numero è divisibile per 4) la velocità raddoppia: v = 1.94 m/s,
come pure il numero di Reynolds Re = 7954.
Dal diagramma si legge j H ≅ 30 e si ottiene h io = 734 W/m 2 °C, valore congruente con quello di U D .
Si passa quindi al calcolo del coefficiente di scambio lato mantello.
Dato il numero dei tubi e di passaggi si valuta il diametro del mantello:
D
n ⎡
p
⋅ b
2a + ⋅ ⎢1
+
m ⎢⎣
4 ⋅ p
1+
n
⋅ n
2
t
S
=
2 2
p
⋅ b
⋅ m ⎤
⎥
⎥⎦
Per la maglia triangolare, e con d o in mm, i parametri 2a, m e b si calcolano dalle:
2a =
2 −3
( 64.287 −1.574d
+ 0.0499d ) ⋅10
0.0528 m
o o
=

m = 3.864 − 0.0155 ⋅ d = o
3.554
b =
−3
( 43.675 − 0.743⋅d
) ⋅10
0.0288 m
o
=
2
4⋅0.0288
⎛ 4 0.025 244 3.554 ⎞
0.0528 ⎜ ⋅ ⋅ ⋅
S
= + 1+
1+
⎟ = 0.501 m
2
3.554 ⎜
4 0.0288 ⎟
⎝
⋅
⎠
D
2
Il valore del diametro va arrotondato a quello del diametro interno del tubo commerciale
immediatamente più grande: ipotizziamo che tale valore sia pari a D s = 0.55 m.
Occorre fissare la distanza tra i diaframmi B, compresa tra D s e 0.2 D s : come primo tentativo si
assume che i diaframmi siano distanziati di 0.6 D S = 0.33 m. Si verifica che il numero di diaframmi
risultante sia intero:
L 4.8
N = −1
= −1
= 13.55
B 0.33
Si pone quindi N = 13, da cui risulta B = 0.343 m
La sezione di passaggio vale:
D
⋅(p
− d ) ⋅B
0.55⋅(0.025
− 0.02) ⋅0.343
S 0
a
s
=
=
=
p ⋅n
m
0.025⋅1
w
=
a
20000 1
= ⋅
3600 0.03773
kg
147.2
m s
s
G
s
=
2
s
Per la maglia triangolare
d
2.54
=
2
2
( 0.43p − 0.39d
o
)
0.0143 m
e
=
d
G
s
⋅ d
e 147.2 ⋅ 0.0143
Re = =
− 3
µ 0.43⋅10
j
s
o
s
=
= 0.36 ⋅ Re
0.55
h
= 38.52 =
o
⋅ d
k
e
4897
⎛ c
p
⋅ µ ⎞
⎜
k
⎟
⎝ ⎠
−1/
3
Ponendo in prima approssimazione µ / µ W ≅1
0.132 ⎛ 2470⋅0.43⋅10
= 38.52⋅
⎜
0.0143
⎝ 0.132
⎛
⎜
⎝
µ
µ
W
0.03773 m
⎞
⎟
⎠
−0.14
W
= 712.6
m ° C
h 0
2
−3
⎞
⎟
⎠
1/ 3
1 1 1 ' " 1 1
Il coefficiente globale si valuta dalla: = + + R d + R d = + + 0.00035 + 0. 0002
U h h
734 712.6
e risulta
W
301.6
m C
U = D 2
Q
1509400
2
0 =
=
72.96
U
301.6 80.7 0.85
m
D ⋅ ∆TML
⋅ F ⋅ ⋅
T
A =
D
i0
Il valore ottenuto è vicinissimo a quello ipotizzato (73.6 m 2 ), per cui il dimensionamento termico è
corretto.
0
2
9

Verifica delle perdite di carico
Le perdite di carico ammissibili, pari a 80 kPa per entrambi i fluidi, sono comprensive delle perdite
di carico concentrate nei bocchelli di ingresso e di uscita dei fluidi nello scambiatore. Il primo
termine risulterà superiore al secondo, dato che si ha un allargamento di sezione, e si può stimare
pari a circa 0.1 atm, cioè 10 kPa. Il secondo sarà pari a circa la metà di questo valore, ossia intorno
a 5 kPa. Le perdite di carico ammissibili nello scambiatore sono quindi circa pari a 65 kPa.
Si valutano le perdite di carico lato tubi:
∆P
t
f
=
t
⋅G
2
t
2⋅ρ⋅d
⋅L⋅
n
i
⋅φ
p
4⋅n
p
⋅G
t
+
2⋅ρ
Si pone φ = (µ / µ W ) 0.14 ≅ 1
−0.255
Re t
= 7954 f = 0.4191Re 0. 0424
2
t
=
kg
G
t
= v ⋅ρ = 1.94⋅820
= 1591
2
m s
2
2
0.0424⋅1591
⋅ 4.8⋅
4 4⋅
4⋅1591
∆ Pt =
+ = 78531+
24695 = 103226 Pa
2⋅820⋅0.016
2⋅820
Poiché le perdite di carico superano il valore massimo ammissibile, occorre ridurre la velocità di
passaggio nei tubi, aumentando il numero dei tubi: ciò comporterà, tuttavia, anche una riduzione del
coefficiente di scambio. Per valutare il nuovo numero di tubi si tiene presente che ∆P varia
all’incirca col quadrato della velocità, e la velocità è inversamente proporzionale al numero di tubi
per passaggio.
Ipotizzando di mantenere invariato il numero di passaggi lato tubi, e fissando, conservativamente,
che le perdite di carico massime siano pari a 60 kPa, si ha:
2 cos t
∆Pvecchio
103226
∆ P = cos t1
⋅ v = ⇒ n
t nuovo
= n
t vecchio
⋅ = 244⋅
= 320
n
∆P
60000
2
2
t
Assumendo quindi di utilizzare 320 tubi, la superficie di scambio diviene A 0 = 96.51 m 2 . Si
ricalcola la velocità del fluido e si verificano le perdite di carico:
v = 1.47 m/s Re = 6044 f t = 0.0455 G t = 1209 kg/m 2 s ∆P t = 62931 Pa
10
nuovo
Come atteso, le perdite di carico nei tubi rispettano il limite di 65 kPa.
Il coefficiente di scambio lato tubi si valuta noto il numero di Reynolds, Re = 6044, leggendo dal
diagramma a pag.12 j H ≅ 21: si ottiene h io = 513.8 W/m 2 °C.
Data la superficie di scambio termico, pari a 96.51 m 2 , il valore di U D corrispondente è pari a:
Q 1509400
2
U =
=
= 228 W / m C
D
A ⋅∆T
⋅F
96.51⋅80.7
⋅0.85
°
0
ML
T
Essendo variato il numero dei tubi, va ricalcolato il diametro del mantello ed il coefficiente di
scambio lato mantello.
2
4 ⋅ 0.0288 ⎛ 4 0.025 320 3.554 ⎞
D 0.0528 ⎜ ⋅ ⋅ ⋅
= + 1+
1+
⎟
2
2
3.554 ⎜
4 0.0288 ⎟
⎝
⋅
⎠
S
=
0.561 m
Il valore del diametro va arrotondato a quello del diametro interno del tubo commerciale
immediatamente più grande: ipotizziamo che tale valore sia pari a D s = 0.6 m.

Occorre fissare la distanza tra i diaframmi B, compresa tra D s e 0.2 D s : assumendo ancora che siano
distanziati di 0.6 D S si ha B = 0.36 m. Si verifica che il numero di diaframmi risultante sia intero:
L 4.8
N = −1
= −1
= 12.33
B 0.36
Si pone quindi N = 12, da cui risulta B = 0.369 m
Procedendo come in precedenza si ottiene:
a s = 0.0443 m 2 G s = 125.3 kg/m 2 s Re s = 4170 j s = 35.26 h 0 = 652.5 W/m 2 °C
1
U
D
1 1
= + + 0.00035 + 0.0002 ⇒ U D = 248.2 W/m 2 °C
513.8 652.5
Il valore del coefficiente di scambio risulta superiore a quello richiesto (228 W/m 2 °C), e quindi lo
scambiatore è sovradimensionato dal punto di vista termico.
Occorre però verificare le perdite di carico lato mantello:
∆P
s
f
=
s
2
⋅ G
s
⋅ D
2 ⋅ ρ ⋅ d
S
e
( N + 1)
⋅ φ
Si pone φ = (µ/µ W ) 0.14 ≅ 1, come già fatto in precedenza:
−0.194
fs = 1.815Res
= 0.2759
∆ P
2
0.2759 ⋅125.3
⋅ 0.6 ⋅ (12 + 1)
=
2 ⋅ 0.0143⋅
770 ⋅1
s
=
1534 Pa
Le perdite di carico risultano largamente inferiori al valore ammissibile.
Lo scambiatore è quindi dimensionato correttamente: si potrebbe pensare di distanziare ancora di
più i diaframmi, in modo da ridurre ulteriormente il coefficiente di scambio lato mantello,
riducendo il valore di U D disponibile fino a eguagliare quello richiesto, diminuendo quindi
ulteriormente le perdite di carico lato mantello. D’altra parte, queste ultime sono però già molto
basse ed un leggero sovradimensionamento termico dello scambiatore fornisce comunque un
margine di sicurezza al suo funzionamento, per cui tale operazione non sembra conveniente.
Si può notare come, per rispettare il vincolo riguardo alle perdite di carico ammissibili per il grezzo,
la superficie dello scambiatore risulti nettamente superiore rispetto a quella che sarebbe stata
necessaria ad effettuare lo scambio termico (96.51 m 2 contro circa 73 m 2 ).
Rapporto µ/µ W
Nel calcolo dei coefficienti di scambio è stato sistematicamente trascurato il fattore φ = (µ/µ W ) 0.14 .
Questa ipotesi va probabilmente bene per il cherosene, che è poco viscoso, ma potrebbe non essere
giustificata per il grezzo, che ha viscosità molto superiore.
La temperatura t media del fluido lato tubi (greggio) è t = 59°C e quella del fluido lato mantello
(cherosene) è T = 145°C: dato il piccolo spessore del tubo (2 mm) e l’elevata conducibilità termica
del metallo di cui esso è costituito, si può considerare che la parete si trovi a temperatura uniforme,
T p . Il valore massimo di questa temperatura si avrà a tubi puliti, quindi, nel calcolo della
temperatura di parete si trascura la presenza dello sporcamento:
Q
A
0
= h
i0
( T − t) = h (T − T )
p
0
p
11

Si ricava
h
i0
⋅ t + h
0
⋅ T 513.8 ⋅59
+ 652.5 ⋅145
Tp =
=
= 107.1°
C
h + h 513.8 + 652.5
i0
0
La viscosità del grezzo a questa temperatura è circa pari a 1.85⋅10 -3 Pa⋅s, quindi si ha:
⎛ µ
φ =
⎜
⎝ µ
W
⎞
⎟
⎠
0.14
⎛ 3.2 ⋅10
=
⎜
⎝1.85⋅10
−3
−3
⎞
⎟
⎠
0.14
= 1.08
Questo termine va a moltiplicare il valore del coefficiente di scambio ed a dividere le perdite di
carico distribuite nello scambiatore: la correzione da apportare ai coefficienti è modesta, ma non
trascurabile. Va rimarcato che, in caso di temperatura di parete superiore rispetto a quella del fluido
(ossia quando il fluido viene riscaldato), tenendo conto della variazione della viscosità, il
coefficiente di scambio aumenta e le perdite di carico diminuiscono. Ciò sta a significare che,
trascurando φ, il progetto risulta conservativo. La situazione inversa si presenta invece se la
temperatura di parete è inferiore a quella del fluido, ossia se esso viene raffreddato: in questo caso,
trascurando φ, lo scambiatore può risultare sottodimensionato.
12

3. Dimensionamento di un condensatore per una miscela di vapori
Una miscela di vapori di propano e n-butano, che si trova alla pressione di 1138 kPa ed alla
temperatura corrispondente al punto di inizio condensazione, va condensata utilizzando acqua
industriale disponibile a 30°C. La miscela ha portata 45000 kg/h e composizione molare del 43% in
propano e del 57% in n-butano.
Espressione della tensione di vapore:
Componenti
propano n-butano
Costante A 15.7260 15.6782
Costante B 1872.46 2154.90
B
ln p s
= A −
(p s = mmHg; T = K)
T + C
Costante C -25.16 -34.42 Acqua Condensato Vapore
PM (kg/kmol) 44 58 (35°C) (63°C) (63°C)
c p,v (kcal/kg°C) 0.28 0.33 µ (Pa⋅s) 7.71⋅10 -4 0.935⋅10 -4 8.91⋅10 -6
c p,L (kcal/kg°C) 0.576 0.549 ρ (kg/m 3 ) 995 494 25.3
λ v (a 70°C) (kcal/kg) 60 74 k (W/mK) 0.62 0.089
Calcolo delle temperature di inizio e fine condensazione
Si calcolano le temperature di inizio e fine condensazione:
1138 kPa ≅ 11.38 atm ≅ 11.38 ⋅760 = 8535 mmHg
La temperatura di inizio condensazione T D si ricava dalla condizione Σx i = 1
y
p
0,propano
s,propano
P y
+
p
Per T = 70°
C
Per T = 71°
C
0,bu tan o
s,bu tan o
P
= 1
Σx
Σx
i
i
0.43⋅8535
p
s,propano
= 1.007⎫
⎬ ⇒ T
= 0.985⎭
D
( T ) p ( T )
D
0.57 ⋅8535
+
= 70.3°
C
s,bu tan o
D
= 1
La temperatura di fine condensazione T B si ricava dalla condizione Σy i = 1
y
0,propano
p
P
s,propano
Per T = 55°
C
Per T = 56°
C
y
+
Σy
Σy
0,bu tan o
i
i
p
P
s,bu tan o
= 1
= 0.986⎫
⎬ ⇒ T
= 1.008⎭
Calcolo della curva di condensazione
B
= 55.7°
C
( T ) 0.57p ( T )
0.43⋅
ps,propano
B
s,bu tan o B
+
8535
8535
Q
Q
Per dimensionare il condensatore si ha A 1 dQ
0
=
U
∫
T − t
per cui occorre valutare l’integrale ∫ dQ .
T −
D
0
= 1
0 t
Ciò significa determinare la curva di condensazione, ossia il legame tra Q e T: si procede fissando
una serie di valori del grado di condensazione:
13

α =
L
V
=
y
− y
i i0
0
yi
− x
i
quindi si valutano i valori di T dalla condizione Σx i = 1, dove:
x
i
=
psi
P
y
0i
⎜
⎛ p + α ⋅ 1 − si
⎝ P
⎞
⎟
⎠
y0,propano
y
0,bu tan o
Σx i = 1 ⇒ +
= 1
ps,propano
⎛ ps,propano
⎞ ps,bu tan o ⎛ p,bu tan o2 ⎞
+ α ⋅ 1
1
P
⎜ −
+ α ⋅
P
⎟
P
⎜ −
P
⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Valutati in questo modo i valori T e di x propano e x butano composizioni del liquido, si valutano le
composizioni del vapore, y propano e y butano , dalla relazione di equilibrio liquido-vapore:
y
i
x
=
i
⋅ p
P
si
( T)
La quantità di calore scambiata in corrispondenza del grado di condensazione α si valuta dalla
relazione di bilancio termico per il vapore che sta condensando:
Q = V
+
( c
pV,propano
y
propano
+ c
pV,bu tan oy
bu tan o
)( TD
− T)
+
L λ (T )x + λ (T )x + ( c x + c x )( T − T)
[ ]
propano
D
propano
bu tan o
D
bu tan o
pL,propano
propano
pL,bu tan o
tenendo conto che L = α⋅V 0 e che V = V 0 -L. V 0 è la portata di vapore entrante, espressa in moli:
V 0 =
x
propano
⋅ PM
propano
W
v
+ x
bu tan o
⋅ PM
bu tan o
bu tan o
45000
= (0.43⋅
44 + 0.57 ⋅58)
= 0.24 kmol/ s
3600
Anche i calori specifici e latenti del propano e del n-butano vanno quindi espressi in unità molari:
c pV,propano = 0.28 kcal/(kg°C) = 1172 kJ/(kg°C) = 5.16⋅10 4 J/(kmol°C)
c pV,butano = 0.33 kcal/(kg°C) = 1381 kJ/(kg°C) = 8.01⋅10 4 J/(kmol°C)
λ propano (T D ) = 60 kcal/kg = 251160 kJ/kg = 1.105⋅10 7 J/kmol
λ butano (T D ) =74 kcal/kg = 309764 kJ/kg = 1.797⋅10 7 J/kmol
c pL,propano = 0.576 kcal/(kg°C) = 2411 kJ/(kg°C) = 1.06⋅10 5 J/(kmol°C)
c pL,butano = 0.549 kcal/(kg°C) = 2298 kJ/(kg°C) = 1.33⋅10 5 J/(kmol°C)
La temperatura t del fluido refrigerante in corrispondenza del valore di α fissato si valuta dalla
relazione di bilancio termico per il fluido refrigerante:
t = t
fin
−
c
p,ref
Q
⋅ w
ref
La portata di refrigerante si calcola nota la quantità totale di calore da scambiare, la temperatura
iniziale e quella finale del refrigerante.
La quantità totale di calore da scambiare è pari a:
D
14

Q = V
0
0.24
[ λ
propano
(TD
)x
propano
+ λ
bu tan o
(TD
)x
bu tan o
+ ( c
pL,propano
x
propano
+ c
pL,bu tan ox
bu tan o
)( TD
− TB
)]
7
7
5
5
1.105 ⋅10
⋅ 0.43 + 1.797 ⋅10
⋅ 0.57 + ( 1.06 ⋅10
⋅ 0.43 + 1.33⋅10
⋅ 0.57)( 70.3 − 55.7)
[ ]
4024000 W
Trattandosi di acqua industriale si fissa la temperatura di uscita a 40°C; c pref = 4186 kJ/kg K.
w
Q
4024000
=
4186⋅(40
− 30)
tot
ref =
=
cp,ref
( t fin − tin
)
96.1 kg /s
Quindi, la temperatura del refrigerante t, in corrispondenza ad un certo valore di Q, è pari a:
t = t
fin
−
c
pref
Q
w
ref
Q
= 40 − = 40 −
4186⋅96.1
Q
402400
I valori ottenuti per le variabili in corrispondenza dei valori fissati del grado di condensazione α
sono riportati nella tabella seguente
α T x propano y propano L (kmol) Q (kW) t T – t
0 70.3 0.195 0.430 0 0 40.0 30.3
0.1 69.2 0.210 0.454 0.024 415.7 39.0 30.2
0.2 68.0 0.227 0.481 0.048 830.5 37.9 30.1
0.3 66.7 0.246 0.509 0.072 1243.7 36.9 29.8
0.4 65.3 0.268 0.538 0.096 1654.1 35.9 29.4
0.5 63.8 0.291 0.569 0.120 2062.2 34.9 28.9
0.6 62.1 0.317 0.599 0.144 2468.4 33.9 28.2
0.7 60.5 0.344 0.630 0.168 2.833.6 33.0 27.5
0.8 58.9 0.372 0.661 0.192 3258.6 31.9 27.0
0.9 57.2 0.401 0.688 0.216 3646.9 30.9 26.3
1.0 55.7 0.430 0.715 0.240 4024.0 30.0 25.7
=
=
Stima della superficie di scambio termico
Per valutare il valore del coefficiente di scambio U D occorre prima fissare la geometria
dell’apparecchio, in base ad una stima della superficie di scambio.
Il valore stimato di A 0 si ottiene dalla relazione:
A
0
=
U
D
Q
⋅ ∆T
ML
( 70.3 − 40) − ( 55.7 − 30)
∆ T ML =
= 27.9°
C
70.3 − 40
ln
55.7 − 30
Il coefficiente globale di scambio termico U D , date le caratteristiche dei fluidi, dalle tabelle risulta
compreso tra 700 e 1000 W/m 2 °C: si assume U D = 850 W/m 2 °C.
Q 4024000
A =
2
0 = =
169.7
U
m
D ⋅ ∆TML
850 ⋅ 27.9
15

Lo scambiatore è abbastanza grande: si fissa L = 4.8 m e si scelgono tubi piccoli, con d 0 /d i = 17.2
/13.6 mm. Si ipotizza uno scambiatore orizzontale, con condensazione lato mantello: dato che la
portata di refrigerante è elevata si assume uno scambiatore 1:1. Il vapore è poco sporcante e quindi
si adotta una maglia triangolare: si pone una distanza tra i tubi i = 6 mm, per cui il passo risulta
passo p T = d 0 + i = 17.2 + 6 = 23.2 mm.
Calcolo dei coefficienti di trasferimento del calore e della superficie di scambio termico
Il calcolo della superficie di scambio termico viene effettuato con la relazione:
Q
1 dQ
A 0 = ∫ dove:
U T − t
A
D
0
0
= n
t
⋅π⋅d0
⋅ L = n
t
⋅3.14⋅0.0172⋅4.8
= 0.2594⋅
n
t
L’integrale si può calcolare per via numerica dai dati riportati nella tabella precedente:
Q
N
dQ ∆Q
≅ ∑ i
0 T − t t
∫
=
( T − )
1 medio
415.7
30.25
+
414.3
30.15
+
=
413.2
29.95
+
410.4
29.6
= 141 .1 kW / ° C = 141100 W/°C
Il coefficiente globale di scambio è dato da:
1
U
D
=
1
h
i0
+
1
h
0
+ R
'
d
+ R
"
d
R d acqua = 0.0006 m 2 h°C/kcal
R d vapore organico = 0.0001 m 2 h°C/kcal
+
408.1
29.15
+
406.2
28.55
R d tot = 0.0007 m 2 h°C/kcal = 0.0007 / 1.163 = 0.0006 m 2 °C/W
+
398.2
27.85
+
392.0
27.25
+
388.3
26.65
+
377.1
26.0
Il coefficiente di scambio lato tubi, h i0 , se il moto è turbolento, è funzione esplicita di Re, e quindi,
attraverso la velocità, del numero dei tubi. Nel caso di condensazione lato mantello di un
apparecchio orizzontale, anche il coefficiente di scambio h 0 risulta funzione esplicita del numero di
tubi, attraverso la portata specifica G. Ne consegue che, in questo caso, il coefficiente globale di
scambio U D è una funzione esplicita del numero di tubi: ciò consente di valutare immediatamente il
Q
1 dQ
numero di tubi necessario dalla A 0 = ∫ , senza necessità di effettuare iterazioni.
U T − t
D
0
Il coefficiente di trasferimento lato tubi, nell’ipotesi di flusso turbolento, in funzione del numero di
tubi si valuta come segue:
w ref
96.1
v =
=
=
2
2
di
0.0136
ρref
⋅ n t ⋅ π 995⋅
n t ⋅ π
4
4
v ⋅ di
Re =
µ
⋅ ρ
Ipotizzando Re > 10000
t
665.3
n
665.3⋅
0.0136 ⋅ 995 1.1675 ⋅10
=
=
−4
n ⋅ 7.71⋅10
n
t
t
7
16

7
h i0d
0 −1/
3
0.8
⎛1.1675⋅10
⎞ 10364
j H = Pr = 0.023⋅
Re = 0.023⎜
⎟ =
0.8
k
n
⎝ t ⎠ n t
h
io
= j
H
k
d
o
⎛ cpµ
⎞
⎜ ⎟
k
⎝ ⎠
1/ 3
10364
=
n
0.8
t
0.62
0.0172
⎛ 4186 ⋅ 7.71⋅10
⎜
⎝ 0.62
−4
0.8
⎞
⎟
⎠
1/ 3
6.475⋅10
=
n
Il coefficiente di scambio lato mantello, dove i vapori condensano si valuta da:
h
h
0
⎛ 4⋅G
⎞
= h = 1.51⎜
⎟
⎝ µ ⎠
−1/3
⎛
⎜
⎝ k
3
µ
2
⋅ρ
2
⎞
⎟
⋅g
⎠
−1/ 3
⎛
2
4 w c
1.51⎜
⋅ ⋅µ
=
2/3 3
⎝ L ⋅n
t µ ⋅k
⋅ρ
−1/ 3
⎛
−4
4 45000 0.935 10 ⎞
2/ 9
0 1.51⎜
⋅ ⋅ ⋅
=
⎟ = 181.4⋅n
2/ 3 3 2
t
3600⋅
4.8⋅n
t ⋅0.089
⋅ 494 ⋅9.81
⎝
Il coefficiente di scambio complessivo è:
⎠
2
⎞
⎟
⋅g
⎠
0.8
t
−1/ 3
5
1
U
D
= R
d
+
1
h
i0
+
1
h
0
0.8
t
n
= 0.0006 +
6.475⋅10
5
1
+
181.4 ⋅ n
2 / 9
t
La relazione
Q
1 dQ
A 0 = ∫ diviene quindi:
U T − t
D
0
0 .2594 ⋅ n
t
⎛
0.8
⎜
n t
= 141100 0.0006 +
⎝ 6.475⋅10
5
1
+
181.4 ⋅ n
Il valore di n t si trova per tentativi e risulta n t = 1190 tubi. Ne consegue che il valore della superficie
di scambio termico risulta pari a
2
0 = n t ⋅ π ⋅ d 0 ⋅ L = 1190 ⋅ 3.14 ⋅ 0.0172 ⋅ 4.8 309 m
A =
Il valore della superficie è risultato assai superiore a quello stimato inizialmente; inoltre, date le
dimensioni ottenute, sembra consigliabile utilizzare tubi di lunghezza maggiore, ad esempio 6 m.
Si ripetono quindi i calcoli assumendo questa nuova lunghezza dei tubi
A
0 = n t ⋅π⋅d0
⋅L
= n t ⋅3.14⋅0.0172⋅6
= 0.324⋅n
t
Procedendo come visto in precedenza si valutano i coefficienti di scambio termico in funzione del
numero di tubi:
h
i0
6.475 ⋅10
=
n
0.8
t
5
h
2/9
0 = 195.4⋅
n t
ottenendo l’equazione risolutiva:
0 .324 ⋅ n
t
⎛
0.8
⎜
n t
= 141100 0.0006 +
⎝ 6.475 ⋅10
5
1
+
195.4 ⋅ n
Risolvendo si ha n t = 908 tubi. Ne consegue che il valore della superficie di scambio termico risulta
pari a 294 m 2 , riducendosi leggermente rispetto al valore calcolato in precedenza.
Va ora controllato il valore di Re per il fluido lato tubi, visto che si sono utilizzate le relazioni per il
coefficiente di scambio in moto turbolento. Con n t = 908 si ha Re = 12858 e quindi il moto è
17
t
t
2 / 9
2 / 9
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠

effettivamente turbolento. I valori dei coefficienti di scambio sono: h io = 2785 W/m 2 K e h 0 = 888
W/m 2 K, con U D = 480 W/m 2 K. Il coefficiente di scambio globale è risultato nettamente inferiore ai
valori attesi per questo tipo di scambiatore: la ragione è principalmente dovuta al valore
relativamente basso del coefficiente di scambio del vapore condensante.
Calcolo del diametro del mantello e delle perdite di carico
Lo scambiatore ha 1 passaggio lato tubi ed 1 lato mantello: il diametro del mantello si calcola come:
D
= 2a
s
+
2a =
2p
n
t
m
2 −3
( 64.287 −1.574d
+ 0.0499d ) ⋅10
0. 0520
m 3.864 − 0.0155d = o
3.5974
o o
=
D s = 0.0520 + 2 ⋅ 0.0232
908
= 0.786
3.5974
m
=
Il valore del diametro va arrotondato: in questo caso il valore del diametro è notevole e non
probabilmente possibile utilizzare un tubo commerciale per il mantello. Il mantello sarà quindi
costruito a partire da lamiera calandrata e saldata, con diametro anche molto vicino a quello
calcolato, per esempio D s = 0.79 m. Lo scambiatore presenta quindi un valore di L/D intorno a 7.5,
che ricade nel campo previsto (L/D compreso tra 5 e 10).
Le perdite di carico lato tubi valgono:
∆p
t
f
=
t
⋅ G
2
t
L ⋅ n
2 ⋅ ρ ⋅ d
i
p
−0.255
4 ⋅ n
p
⋅ G
t
+
2 ⋅ρ
f t = 0.4191Re = 0.4191⋅12858
= 0.0375
G
∆ p
w
πd
i
4
n
96.1⋅
4
=
3.14 ⋅ 0.0136
t
t =
=
2
2
t
0.0375 ⋅ 729 ⋅ 6 4 ⋅ 729
=
+
2 ⋅ 995⋅
0.0136 2 ⋅ 995
2
⋅908
2
2
t =
−0.255
729 kg / m
5491 Pa
Le perdite di carico lato tubi risultano modeste.
2
Le perdite di carico del vapore condensante si possono calcolare come la media tra quelle che si
avrebbero se nel mantello passasse tutta la portata come vapore e tutta la portata come liquido:
∆p
s
=
1 ⎡f
⎢
2 ⎢⎣
L
⋅ G
2
s
2 ⋅ d
⋅ D
e
s
⋅ ρ
2
( N + 1) f ⋅ G ⋅ D ( N + 1)
Il diametro equivalente si valuta dalla:
d
2.54
=
L
+
V
S
2 ⋅ d
e
2
2
2
2
( 0.43⋅
p − 0.39 ⋅ d ) 2.54( 0.43⋅
0.0232 − 0.39 ⋅ 0.0172 )
T
o
e
=
=
d
o
0.0172
s
⋅ρ
V
s
⎤
⎥
⎥⎦
18
0.0171 m
I diaframmi, in questo caso, non hanno influenza sul coefficiente di scambio, ma vengono
ugualmente utilizzati per mantenere distanziati i tubi del fascio tubiero: per minimizzare le perdite
di carico si pongono ben distanti tra loro. Si assume quindi B = D s = 0.79 m e si ha: (N + 1) = L / B
= 6 / 0.79 = 7.6. Si fissa quindi N = 6 e B risulta pari 0.86 m.

( p − d ) ⋅ B 0.79 ⋅ ( 0.0232 − 0.0172) ⋅ 0.86
2
Ds
⋅ o
a s =
=
= 0.176 m
p ⋅ n
0.0232 ⋅1
G
Re
w
=
a
m
45000
=
3600 ⋅ 0.169
s
s
=
s
G sd
=
µ
71.0 ⋅ 0.0171
=
−4
0.935 ⋅10
e
L =
L
71.0 kg / m
12985
2
s
Re
G sd
=
µ
71.0 ⋅ 0.0171
=
−6
8.91⋅10
e
V =
V
136263
−0.194
fs = 1.815Res
= 0.289
−0.194
fs = 1.815Res
= 0.183
1 ⎡
2
2
0.289 ⋅ 71.0 ⋅ 0.79 ⋅ 6 0.183⋅
71.0 ⋅ 0.79 ⋅ 6⎤
1
∆ ps = ⎢
+
⎥ =
=
2 ⎢⎣
2 ⋅ 0.0171⋅
494 2 ⋅ 0.0171⋅
25.8 ⎥⎦
2
( 409 + 4955) 2682 Pa
Le perdite di carico del liquido sono molto inferiori rispetto a quelle del vapore: se si fosse
utilizzato il metodo approssimato, assumendo semplicemente che le perdite di carico siano pari alla
metà di quelle del vapore, si sarebbe ottenuto un valore di 2478 Pa, vicino a quello calcolato come
media tra liquido e vapore.
Lo scambiatore appare ben proporzionato, con perdite di carico modeste lato tubi e sufficientemente
basse lato mantello.
NOTA
Per calcoli rapidi e approssimati, anziché valutare la curva di condensazione, si può supporre una
variazione lineare di T tra T D e T B , e quindi utilizzare ∆T ML :
Q
0
∫
dQ
≅
T − t
Q
∆T
ML
=
4024000
= 144200 W / ° C
27.9
Ciò semplifica notevolmente i calcoli perché non occorre valutare Q in funzione di 1/(T-t). Nel caso
in esame il valore approssimato è assai vicino a quello calcolato in precedenza (141100 W/°C) in
quanto i costituenti la miscela hanno proprietà fisiche piuttosto simili. Il valore approssimato
calcolato risulta in ogni caso maggiore, ossia conservativo, rispetto a quello stimato con il metodo
più preciso.
19

4. Dimensionamento di un ribollitore tipo kettle
Si devono vaporizzare 6000 kg/h di alcool etilico, che si trova a 70°C, alla pressione di 0.51 MPa
(T b = 125.0 °C). Come fluido riscaldante si usa un olio termico disponibile a 165 °C e che si può
raffreddare fino a 145°C. La perdita di carico ammissibile per l’olio è di 50 kPa.
Proprietà fisiche Olio 40°API Alcool etilico
c p (J / kg K) 2600 3800
µ (Pa⋅s) 3.4 ⋅10 -4
k (W / m K) 0.131
ρ L (kg / m 3 ) 730 795
ρ V (kg / m 3 ) 7.6
P c (MPa) 6.436
0. 4
λ (J / kg) ⎡ ⎛ T + 273.2 ⎞⎤
1338810 ⋅ ⎢1
− ⎜ ⎟
516
⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎦
Stima della superficie di scambio termico
Il calore scambiato è la somma di quello che occorre per riscaldare il liquido fino alla temperatura
di ebollizione, Q R , e di quello che occorre per vaporizzarlo, Q B .
6000
Q
R
= w
alcool
⋅ c
p,alcool
(Tb
− Ting
) = ⋅3800
=
3600
⎡ ⎛ Tb
+ 273.2 ⎞⎤
λ (T ) = 1338810⎢1
− ⎜ ⎟⎥
⎣ ⎝ 516 ⎠⎦
( 125 − 70) 348330 W
0.4
0.4
b
=
6000
Q
B
= w
alcool
⋅ λ(Tb
) = ⋅ 741510 = 1235850 W
3600
Q = Q
R
+ Q
B
= 348330 + 1235850 = 1584180 W
⎡ ⎛ 125 + 273.2 ⎞⎤
= 1338810⎢1
− ⎜ ⎟
516
⎥
⎣ ⎝ ⎠⎦
741510 J / kg
Per valutare ∆T ML occorre tenere presente che il liquido nel ribollitore si trova a temperatura
costante e pari a quella di ebollizione, ossia 125°C. Infatti, il liquido entrante a 70°C, a contatto con
quello bollente, si porta in modo pressoché istantaneo alla temperatura di ebollizione: il fatto che il
liquido entri a temperatura inferiore rispetto a quella di ebollizione comporta semplicemente una
diminuzione del tasso di evaporazione, ma non una variazione di temperatura del liquido bollente.
Ovviamente questa ipotesi non comporta alcuna variazione del calore che è necessario fornire
all’apparecchio, che è somma di quello che occorre per riscaldare il liquido entrante e di quello di
vaporizzazione.
( 145 −125) − ( 165 −125)
∆ T ML
=
= 28.9°
C
⎛145
−125
⎞
ln⎜
⎟
⎝165
−125
⎠
Il coefficiente globale di scambio termico U D , date le caratteristiche del fluido bollente, dalle tabelle
risulta compreso tra 900 e 1200 W/m 2 °C: per tenere conto che il fluido riscaldamento è olio termico
anziché vapore d’acqua, come indicato nella tabella, si assume U D = 900 W/m 2 °C.
20

Dato che l’alcool bolle a temperatura costante, F T = 1 indipendentemente dal numero di passaggi
del fluido lato tubi, che in ogni caso, dato il tipo di ribollitore, saranno 2 o multipli di 2.
Si può quindi stimare la superficie di scambio termico:
Q 1584180
A
o
=
=
= 60.9 m
U ⋅ ∆T
⋅ F 900 ⋅ 28.9 ⋅1
D
ML
T
2
Poiché la superficie di scambio non è molto elevata, si fissa L = 3.6 m. I tubi saranno di diametro
abbastanza grande, con maglia quadrata e passo piuttosto ampio: si fissa d i = 22.9 mm, d o = 26.9
mm, p Q = 1.35⋅d o ≅ 36.3 mm
Verifica del carico termico
Nota la superficie di scambio di primo tentativo si può stimare il carico termico:
=
Q
A
1584180 W 3600 kcal
= = 26012 × ≅ 22371
2
60.9 m 4186 m h
q
2
o
Il carico termico critico vale:
q
c
= 3.2 ⋅10
4
0.51
P R
= =
6.436
⋅ P
C
⋅ P
0.35
R
0.07924
( 1−
P ) 0. 9
P c = 6.436 MPa = 6.436⋅10 6 /101325 = 63.52 atm
R
4
0.35
0.9 kcal
qc = 3.2⋅10
⋅63.52⋅0.07924
( 1−
0.07924)
= 777000
2
m h
Si effettua un primo controllo sul valore del carico termico:
q
qc
22371
= = 0.029 < 0.05 quindi si possono proseguire i calcoli.
777000
Calcolo del coefficiente di scambio e perdite di carico lato tubi
La portata di olio termico è pari a:
w
Q
1584180
=
) 2600(165 −145)
TOT
olio
=
=
c
p,olio
(Ting
− Tusc
Il numero di tubi dello scambiatore è:
n
t
A0
60.9
= =
≅ 200 tubi
π⋅d
⋅3.6
0.0269⋅
π⋅3.6
0
Assumendo, inizialmente, 2 passaggi lato tubi:
w
n
⋅
n
30.5
=
200 0.0229
730⋅
⋅3.14⋅
2 4
olio
volio =
=
2
2
t
di
ρolio
⋅ π⋅
p
4
v⋅d
⋅ρolio
1.01⋅0.0229⋅730
Re = =
− 4
µ
3.4⋅10
j
i
=
olio
= 0.023Re
0.8
H
=
131.4
49659
30.5 kg / s
1.01 m /s
21

j
H
h i0d
=
k
0
⎛ c pµ
⎞
⎜ ⎟
k
⎝ ⎠
Si pone (µ / µ W ) = 1
h
⎛ c pµ
⎞
⎜ ⎟
k
⎝ ⎠
−1/
3
⎛
⎜
⎝
µ
µ
W
⎞
⎟
⎠
−0.14
1/ 3
−4
1/ 3
k
⎞
W 3600
i 0 = j
⎟
H
= 1209 = 1209 ⋅ =
2
d
0
m K 4186
0.131 ⎛ 2600 ⋅ 3.4 ⋅10
= 131.4 ⎜
0.0269
⎝ 0.131
⎠
kcal
1040
2
m hK
Prima di procedere conviene verificare le perdite di carico dell’olio
f
= 0.4191Re
−0.255
t
=
0.0266
kg
G
t
= v ⋅ρolio
= 1.01⋅730
= 737.3
2
m s
2
2
2
2
4⋅
n
p
⋅G
t 0.0266⋅737.3
⋅3.6⋅2
4⋅2⋅737.3
t
+ =
+
=
i
2⋅ρ
2⋅730⋅0.0229
2⋅730
f
t
⋅G
t
L⋅n
p
∆ P =
2⋅ρ⋅d
22
6090 Pa
Le perdite di carico sembrano piuttosto basse rispetto a quelle ammissibili e il coefficiente supera di
poco il valore di U D ipotizzato: si decide quindi di aumentare il numero di passaggi lato tubi.
portandoli a 4.
Si ottiene quindi: v = 2.02 m/s, Re = 99318, j H = 229, h io = 2105 W/m 2 °C = 1810 kcal/m 2 h°C.
Per le perdite di carico si ha: f t = 0.0223, G t = 1474.6 kg/m 2 s, ∆P t = 44714 Pa.
Le perdite di carico sono considerevolmente aumentate ma sono ancora al di sotto di quelle
ammissibili.
Calcolo del carico termico e verifica della superficie di scambio
Il carico termico effettivo va calcolato sulla base del coefficiente del liquido bollente e del ∆T del
film. Poiché il fluido riscaldante non è a temperatura costante si devono calcolare due valori di ∆T f .
∆ T = ∆T f
+ β⋅∆T f
ε ⋅ k
β =
h '
i0
3.33
h
B effettivo
Il fattore di sicurezza ε = ≅ 0. 7
h
k =
0.69
[ 0.10P f ( P )] 3. 33
c
R
B calcolato
0.17 1.2
10
0.17
1.2
10
f (PR ) = 1.8⋅
PR
+ 4⋅
PR
+ 10⋅
PR
= 1.8⋅0.07924
+ 4⋅0.07924
+ 10⋅0.07924
= 1.361
k =
0.69 3.33
0.69
3.33
[ 0.10P f ( P )] = [ 0.10⋅63.52
⋅1.361] 18. 13
c R
=
Per calcolare il coefficiente di scambio h’ i0 , comprensivo dello sporcamento, si fissano dalla tabella
a pag. 10 gli sporcamenti pari a 0.0002 m 2 h°C/kcal per l’olio e 0.00012 m 2 h°C/kcal per l’alcool.
In totale R d = 0.00032 m 2 h°C/kcal.
1 1 1
= + R d = + 0.00032 ⇒
h ' h 1810
i0
i0
kcal
h i 0 ' = 1146
2
m hK

0.7 ⋅18.13
β = = 0.01107
1146
∆ T = ∆T
+ β⋅∆T
f
3.33
f
= ∆T
f
+ 0.01107 ⋅∆T
3.33
f
Inserendo i due valori di ∆T si ottengono, per tentativi, i valori dei ∆T f
∆ T 1 = 165 −125
= 40 ° C
∆ = 10.67 C
T f 1
°
∆ T 2 = 145 −125
= 20 ° C ∆ = 8.13 C
T f 2
°
Si calcola quindi il carico termico corrispondente a ∆T f1
3.33
3.33 kcal
q1 = ε ⋅ k ⋅ ∆Tf1
= 0.7 ⋅18.13⋅10.67
= 33673
2
m h
Il carico termico va quindi corretto per tener conto che ∆T f non è costante:
q = q1
− 33
∆Tf
α =
∆T
0.4206
2
f1
=
ε ⋅k
⋅ ∆T
ρ =
h '
io
3.33
1− α + ρ( 1− α )
2.
( α −1) − 3.33⋅
ρ ⋅ ln ( α)
8.13
10.67
2.33
f1
33673
0.4206
= 0.762
0.7 ⋅18.13⋅10.67
=
1146
2.33
= 2.754
3.33
1−
0.762 + 2.754( 1−
0.762 )
kcal
= 22077
2.33
( 0.762 −1) − 3.33⋅
2.754 ⋅ ln ( 0.762) m h
q =
−
2
q
q
c
=
22077
777000
= 0.0284 < 0.05
Il valore così calcolato va diminuito del 20% per tenere conto del fatto che le relazioni valgono per
un tubo singolo.
22077
1.2
kcal
m h
4186
3600
*
q = = 18398 = 18398×
=
2
W
21392
2
m
Da questo valore si ricava la superficie di scambio termico da confrontata con quella disponibile.
Q 1584180
A
o
= = = 74.05 m
*
q 21392
Iterazioni successive
2
Poiché il valore della superficie ipotizzato era di 60.9 m 2 va aumentato il numero dei tubi:
n
A
=
π ⋅ d
74.05
=
⋅ L 0.0269 ⋅ 3.14 ⋅3.6
0
t
=
0
243 tubi
Poiché un aumento del numero dei tubi porterà ad una diminuzione del coefficiente di scambio
termico e la superficie di scambio è aumentata alquanto rispetto all’iterazione precedente, si
incrementa il numero di tubi così ottenuto del 10%, avendo cura che sia divisibile per 4: fissato
quindi n t = 268, risulta A 0 = 81.5 m 2 .
Procedendo come in precedenza si ottiene:
23

v = 1.51 m/s, Re = 74118, j H = 181, h io = 1664 W/m 2 °C = 1431 kcal/m 2 h°C.
I limiti sulle perdite di carico sono certamente rispettati, visto che la velocità è diminuita rispetto
all’iterazione precedente.
Procedendo con il calcolo del carico termico, come visto in precedenza, si ha:
h’ io = 982 kcal/m 2 h°C, β = 0.0129, ∆T f1 = 10.23, ∆T f2 = 7.82°C, q 1 = 29267 kcal/m 2 h, α = 0.764,
ρ = 2.913, q = 19265 kcal/m 2 h.
q
qc
=
19265
777000
19265
1.2
= 0.025 < 0.05
kcal
m h°
C
*
q = = 16054 =
2
Q 1584180
A
o
= = = 84.8 m
*
q 18671
W
18671
2
m
2
Questo valore risulta ancora superiore a quello della superficie disponibile. Si itera quindi
nuovamente:
n
A
=
π⋅d
84.8
=
⋅L
0.0269⋅3.14⋅3.6
0
t
=
0
279 tubi
Procedendo come prima, si arrotonda il numero di tubi, incrementandolo del 5%, poiché la
superficie va ancora aumentata, ma di poco rispetto al valore precedente. Si fissa quindi n t = 292, da
cui risulta A 0 = 88.8 m 2 . La superficie di scambio è divenuta più grande, per cui si potrebbero
utilizzare tubi da 4.8 invece che da 3.6 m; tuttavia, si può anche proseguire con tubi da 3.6 m.
Si calcola nuovamente il coefficiente di scambio: h io =1554 W/m 2 °C = 1336 kcal/m 2 h°C.
Proseguendo con il calcolo del carico termico si ha: h’ io = 936 kcal/m 2 h°C, β = 0.0136, ∆T f1 =
10.09, ∆T f2 = 7.72°C, q 1 = 27955 kcal/m 2 h, α = 0.765, ρ = 2.960, q = 18438 kcal/m 2 h.
q
qc
=
18438
777000
18438
1.2
= 0.0237 < 0.05
kcal
m h°
C
*
q = = 15365 =
2
Q 1584180
A
o
= = = 88.7 m
*
q 17869
W
17869
2
m
2
Questo valore è praticamente coincidente con quello della superficie effettiva (88.8 m 2 ), per cui si è
giunti a convergenza e lo scambiatore è dimensionato dal punto di vista termico.
Si verificano le perdite di carico lato tubi:
v = 1.39 m/s, Re = 68026, f t = 0.0246, G t = 1014.7 kg/m 2 s, ∆P t = 22192 Pa.
I limiti sulle perdite di carico sono quindi largamente rispettati.
Dimensionamento del mantello del kettle
Va ora calcolato lo spazio occupato dal fascio tubiero con la relazione
D
n ⎡
p
⋅ b
2a + ⋅ ⎢1
+
m ⎢⎣
4 ⋅ p
1+
n
⋅ n
2
t
S
=
2 2
p
⋅ b
⋅ m ⎤
⎥
⎥⎦
24

in cui si pone 2 a = 0 perché nel ribollitore kettle il fascio è ben distanziato dal mantello
m = 3.285 − 0.0096 ⋅ d = o
3.027 (d o mm)
b =
−3
( 43.675 − 0.743⋅
d ) ⋅10
0. 02369
o
=
(d o mm)
2
4⋅0.02369
⎡ 4⋅0.0363
⋅292⋅3.027
⎤
S
= ⎢1
+ 1+
= 0.745 m
2
⎥
3.027 ⎢⎣
4 ⋅0.02369
⎥⎦
D
2
In questo caso non si procede ad arrotondare questo valore, dato che non è l’effettivo diametro del
mantello del kettle.
Il rapporto L/D s ottenuto è, seppure di poco, inferiore a 5: lo scambiatore risulta quindi un po’ tozzo
e sarebbero stati forse da preferire tubi da 4.8 m.
Al di sopra del fascio tubiero va lasciata una sezione a disposizione del vapore per ridurre la sua
velocità ed evitare trascinamenti di goccioline liquide. La velocità di sicurezza del vapore è:
ρL
− ρV
795 − 7.6
u
s
= 0.035 = 0.035 =
ρ
7.6
V
0.356 m / s
La superficie minima richiesta per il passaggio del vapore si calcola sulla base di questa velocità
minima, assumendo che nella sezione passi metà della portata di vapore (il bocchello di uscita del
vapore è posto centralmente sul mantello).
w
6000
V
A
s
= = ⋅
=
2 ⋅ρ ⋅V
⋅u
s
3600 2 ⋅ 7.6 ⋅ 0.356
1
0.308 m
2
Si assume che la superficie di passaggio del vapore sia del 30% superiore al valore minimo e si
fissa: A s = 0.4 m 2 .
Il valore del diametro del mantello si calcola quindi in base a considerazioni di tipo geometrico.
L’area di un segmento circolare è data da:
A
s
dove
= R
2
2
[ arccos( x)
− x 1−
x ]
y
x = 1−
e R = D m / 2
R
25
D S
i D m
Al di sopra del fascio tubiero occorre lasciare un battente di liquido, i, in modo da garantire che i
tubi siano coperti dal liquido, come mostra la figura: in questo caso si fissa i = 0.05 m.
Le relazioni precedenti, con riferimento alla simbologia utilizzata in figura, portano alla:
2
As
arccos( x)
− x 1−
x 0.4
=
2
( D + i)
( 1+
x) 2 ( 0.745 + 0.05)
S
arccos
=
( x)
− x
( 1+
x)
1−
x
2
=
2 2
Risolvendo per tentativi questa reazione, in cui x è espresso in radianti, si ottiene:
x = 0.274
D
( D + i) 2( 0.745 + 0.05)
2
S
=
1+
x
m
=
=
1+
0.274
1.248 m
0.633
Date le dimensioni, il mantello verrà costruito a partire da lamiera saldata, e il suo diametro potrà
essere arrotondato a 1.25 m.
La “freccia” del segmento circolare, y, risulta pari a:
y
R

1.248
y = R 1
=
2
( − x) = ( 1−
0.274) 0.453 m
Il liquido occupa quindi un’altezza pari a:
h L = D m – y = 1.25 – 0.453 = 0.797 m.
Il liquido occupa un po’ più del 60% della sezione ribollitore e l’apparecchio sembra, nel
complesso, ben dimensionato.
26