Appunti dalle lezioni Parte I: capitoli 1–3 - Vernimark

2 La logica 14
intendiamo oggi una procedura effettivamente computabile, che prenda in ingresso l’insieme delle
premesse e deduca o derivi la conclusione operando esclusivamente trasformazioni formali degli
enunciati. Una procedura del genere viene denominata procedura di prova o calcolo logico o
semplicemente calcolo. Se un calcolo C è in grado di derivare l’enunciato ϕ partendo da Γ scriviamo
Γ |– C ϕ,
o più semplicemente
Γ |– ϕ.
Gli enunciati appartenenti a Γ sono dette premesse, ϕ è detto conclusione e la derivazione formale di ϕ da
Γ è detta dimostrazione o deduzione o derivazione o prova della conclusione a partire dalle premesse. Si
dice anche che la conclusione deriva o è deducibile dalle premesse.
Un calcolo può essere formulato (anzi: deve essere formulato) senza fare nessun riferimento alla
semantica (e quindi alla verità degli enunciati). Naturalmente, però, lo scopo del calcolo è di derivare
formalmente proprio le conseguenze logiche di un insieme di assiomi. Quindi la relazione che sussiste
fra derivazione e conseguenza logica è molto importante.
Diremo che un calcolo è corretto (inglese: sound) quando gli enunciati derivati da Γ sono effettivamente
conseguenze logiche di Γ:
se Γ |– ϕ, allora Γ |= ϕ.
Viceversa, si dice completo un calcolo in grado di derivare tutte le conseguenze logiche delle premesse:
se Γ |= ϕ, allora Γ |– ϕ.
Attenzione però: nulla si dice sul comportamento del calcolo quando siano in ballo un insieme di
premesse e un enunciato che non è conseguenza logica delle premesse: anche un calcolo completo
potrebbe non essere in grado di stabilirlo in tempo finito. Per alcune logiche particolarmente semplici,
tuttavia, sono disponibili algoritmi di decisione, ovvero procedure che terminano in tempo finito con una
risposta positiva (ϕ deriva da Γ) o negativa (ϕ non deriva da Γ).
A seconda della particolare logica considerata si possono così verificare le situazioni seguenti:
• La logica è decidibile. Ovvero, esiste una procedura che termina in tempo finito con una risposta
positiva (ϕ deriva da Γ) o negativa (ϕ non deriva da Γ). Come si è già detto, una procedura del
genere viene chiamata algoritmo di decisione.
• La logica è indecidibile, ma comunque semidecidibile. Ovvero, esiste una procedura che termina in
tempo finito con una risposta positiva quando ϕ deriva da Γ, ma può non terminare quando ϕ non
deriva da Γ. Una procedura del genere viene denominata procedura di semidecisione.
• La logica è indecidibile e non semidecidibile. Ovvero, non esiste né un algoritmo di decisione né
una procedura di semidecisione.
La logica proposizionale, ad esempio, è decidibile, e lo sono pure alcuni frammenti interessanti della
logica predicativa del primo ordine (come ad esempio la logica monadica del primo ordine, che ammette
predicati con al più un argomento). La logica predicativa del primo ordine nella sua totalità è invece
soltanto semidecidibile, e le logiche predicative di ordine superiore al primo sono indecidibili e non
semidecidibili.
A questo punto è interessante vedere come si presenta un calcolo logico. L’idea di base è che il calcolo
si limita ad analizzare le argomentazioni dal punto di vista formale, senza fare mai appello al significato
delle costanti, dei predicati e così via. In altre parole, i calcoli sono algoritmi di elaborazione simbolica
che operano su espressioni formali (gli enunciati del linguaggio logico prescelto).
Marco Colombetti
Appunti dalle lezioni di Ingegneria della conoscenza e sistemi esperti
Politecnico di Milano Anno accademico 2000/2001 – Versione 2 aprile 2001