1 Primi passi della teoria della risposta lineare...

1 Primi passi della teoria della risposta lineare...
Consideriamo una Hamiltoniana perturbata
H = H 0 + Aθ(t)
dove θ e’ la funzione di Heaviside e in cui la perturbazione (debole) e’ accesa a tempo zero
(nota che uso il segno + per sommare la perturbazione. Molti libri usano −. Alla fine
basta cambiare il segno di A).
Supponiamo di voler veder come l’ osservabile B varia nel tempo. A tempo infinito il
sistema e’ in equilibrio e
< B > H =
∫
B(r1 , .., r N )dr 1 ...dr N e −βH 0
e −βA(r 1,..,r N )
∫
dr1 ...dr N e −βH 0 e −βA
Sviluppando in serie di Taylor e −βA ,
< B > H =
∫
B(r1 , .., r N )dr 1 ...dr N e −βH 0
(1 − βA(r 1 , .., r N ))
∫
dr1 ...dr N e −βH 0 [1 − βA(r1 , .., r N )]
=
< B > H = < B > H 0
−β < A B > H0
[1 −
∫
dr1 ...dr N e −βH 0 βA(r 1 ,..,r N )
∫
dr1
]
...dr N e −βH 0
= < B > H 0
−β < A B > H0
1 − β < A > H0
Se l’ operatore A e’ a media nulla (o se β < A > H0 H − < B > H0 = −β < A B > H0
E’ possibile risalire teoricamente non solo al valore asintotico a grandi tempi, ma anche
alla dipendenza temporale di ∆B(t) . La teoria della risposta lineare offre una soluzione
a questa domanda.
1.0.1 Ripasso
Definiamo un osservabile come A(t) = A[r N (t), p N (t)], cioe’ come una quantita’ la cui
dipendenza dal tempo e’ tutta contenuta nella evoluzione dinamica del sistema [r N (t), p N (t)].
L’ evoluzione nel tempo di A e’ controllata da dA/dt = ∑ i,α ( ∂A ∂r i,α
∂r i,α ∂t
+ ∂A ∂p i,α
∂p i,α ∂t
) e, dalle
equazioni di Hamilton
dr i,α
dt
= ∂H
∂p i,α
dp i,α
dt
= − ∂H
∂r i,α
dA
dt = ∑ ( ∂A
∂r
i,α i,α
∂H
− ∂A
∂p i,α ∂p i,α
∂H
∂r i,α
) = {A, H} = −{H, A}
1

e definendo LA = i{H, A} possiamo scrivere simbolicamente l’evoluzione di A come
e l’evoluzione temporale di A come
dA
dt = −iLA
A(t) = e −iLt A(0)
2 Risposta lineare ad una perturbazione a gradino θ(t)
La distribuzione di probabilita’ e’ controllata dalla equazione di Liouville
con
Definendo L.... = i{H, ....}
{A, B} = ∑ i,α
Nel nostro caso H = H 0 + Aθ(t) e
∂f
∂t
( ∂A
= {H, f}
∂r i,α
∂B
+ ∂A )
∂B
∂p i,α ∂p i,α ∂r i,α
∂f
∂t = −iLf
∂f
∂t = i{H ′ + Aθ(t), ....} = −iL 0 f + {Aθ(t), f}
se la perturbazione modifica di poco la distribuzione di probabilita’, f = f 0 + ∆f, e
∂∆f
∂t
= −iL 0 ∆f + {A, f 0 }θ(t)
La soluzione formale di questa equazione differenziale e’
∆f(t) =
∫ t
Infatti, derivando rispetto al tempo troviamo
0
e −i(t−s)L 0
{A, f 0 }θ(s)ds
∂∆f
∂t
∫ t+dt
0
e −i(t+dt−s)L 0
{A, f 0 }θ(s)ds − ∫ t
0
= lim
e−i(t−s)L 0
{A, f 0 }θ(s)ds
=
dt→0 dt
∂∆f
∂t
∫ t+dt
0
e −i(t−s)L 0
e −idtL 0
{A, f 0 }θ(s)ds − ∫ t
0
= lim
e−i(t−s)L 0
{A, f 0 }θ(s)ds
=
dt→0 dt
2

∂∆f
∂t
∫ t+dt
0
e −i(t−s)L 0
[1 − idtL 0 ]{A, f 0 }θ(s)ds − ∫ t
0
= lim
e−i(t−s)L 0
{A, f 0 }θ(s)ds
=
dt→0 dt
∂∆f
∂t
∫ t+dt
0
e −i(t−s)L ∫
0 t+dt
{A, f 0 }θ(s)ds − idtL 0 0
e −i(t−s)L 0
{A, f 0 }θ(s)ds − ∫ t
0
= lim
e−i(t−s)L 0
{A, f 0 }θ(s)ds
=
dt→0 dt
∂∆f
∂t
∫ t+dt
t
e −i(t−s)L ∫
0 t+dt
{A, f 0 }θ(s)ds − idtL 0 0
e −i(t−s)L 0
{A, f 0 }θ(s)ds
= lim
=
dt→0 dt
e riconoscendo nell’ ultimo termine proprio la soluzione ∆f
∂∆f
∂t
Dunque
∫ t+dt
= {A, f 0 }θ(t) − iL 0 e −i(t−s)L 0
{A, f 0 }θ(s)ds = {A, f 0 }θ(t) − iL 0 ∆f
0
∆f(t) =
∫ t
0
e −i(t−s)L 0
{A, f 0 }θ(s)ds
ed il cambio risultante in < ∆B(t) > sara’
∫ ∫
< ∆B(t) >= dr N dp N ∆f(t)B(r 1 , .., r N ) =
∫ ∫
per la hermitianita’ di L 0 ,
∫ t
dr N dp N e −i(t−s)L 0
{A, f 0 }θ(s)dsB(r 1 , .., r N )
0
e −i(t−s)L 0
{A, f 0 } = {A, f 0 }e +i(t−s)L 0
e
∫ ∫
< ∆B(t) >=
dove
∫ ∫
dr N dp N {A, f 0 }e +i(t−s)L 0
Bθ(s)ds =
dr N dp N {A, f 0 }B(t−s)θ(s)ds
B(t) ≡ B(r 1 (t), .., r N (t)) = e +itL 0
B(r 1 (0), .., r N (0))
La parentesi di Poisson {A, f 0 } e’ data da
3

−β ∑ i,α
{A, f 0 } = ∑ ( ∂A ∂f 0
+ ∂A )
∂f 0
=
∂r
i,α i,α ∂p i,α ∂p i,α ∂r i,α
( ∂A ∂H 0
+ ∂A )
∂H 0
f 0 = −β(iL 0 A)f 0 = −βAf ∂r i,α ∂p i,α ∂p i,α ∂r ˙ 0
i,α
per cui
∫ ∫
< ∆B(t) >= −β
∫ t
dr N dp N Af ˙ 0 B(t − s)θ(s)ds = −β < AB(t ˙ − s) > θ(s)ds
0
Ricordandoci che < AB(t) ˙ >= − < AḂ(t) >= − d dt < AB(t) >
∫ t
d
< ∆B(t) >= β
< AB(t − s) > θ(s)ds
0 d(t − s)
cambiando variabile t ′ = t−s e notando che l’ argomento della funzione θ e’ sempre positivo
< ∆B(t) >= −β
invertendo i limiti di integrazione
= β
∫ t
0
∫ 0
t
d
dt ′ < AB(t ′ ) > θ(t ′ − t)dt ′ =
d
dt ′ < AB(t ′ ) > dt ′ = β(< AB(t) > − < AB >)
Al tempo infinito, < AB(t) >= 0 (se < A >= 0 o < B >= 0) e ritroviamo il risultato
termodinamico < ∆B(∞) >= −β < AB >. Quindi, se io accendo una perturbazione al
tempo zero, la variazione temporale di B e’ la stessa che descrive la funzione di correlazione
all’ equilibrio < B(t)A(0) >
2.1 Un caso spesso usato
Capita spesso di vedere una perturbazione del tipo
A = ρ k + ρ ∗ k
cioe’ una perturbazione periodica reale alla lunghezza d’onda 2π/k. Se come osservabile
guardiamo la densita’ allo stesso k, il cui valor medio all’ equilibrio e’ zero,
abbiamo
B = ρ k
< ρ k > (t) = β(< [ρ k (t) + ρ ∗ k (t)]ρ k(0) > − < [ρ k (0) + ρ ∗ k (0)]ρ k(0) >) =
4

β(< ρ k (t)ρ k (0) > +S(k, t)− < ρ k (0)ρ k (0) > +S(k, 0)) =
Le due funzioni < ρ k (t)ρ k (0) > e < ρ k (0)ρ k (0) > sono entrambe nulle. Infatti abbiamo
< ρ k (0)ρ k (0) >=< |ρ k | 2 e 2iφ >
e la media su φ fa zero. Analogamente per < ρ k (t)ρ k (0) >=< |ρ k (t)||ρ k (0)|e iφ(t)+φ(0) >.
Si vede forse anche meglio separando parte reale e parte immaginaria di ρ k . Per cui
< ρ k > (t) = β[S(k, t) − S(k, 0)]
e al tempo infinito
< ρ k > (∞) = −βS(k, 0)
3 Risposta lineare nel caso di una perturbazione arbitraria
nel tempo F(t)
Ripetendo gli stessi calcoli per una perturbazione arbitraria F(t), attiva dal tempo t = −∞
(prima del quale il sistema e’ assunto in equilibrio termodinamici) si arriva a
< ∆B(t) >=
∫ t
−∞
∫
dr N dp N {A, f 0 }B(t − s)F(s)ds
possiamo ora definire una funzione after-effect come
∫
Φ BA (t) =
∫
dr N dp N {A, f 0 }B(t) = −β
dr N dp N ˙ Af 0 B(t) = −β < ˙ AB(t) >= β < AḂ(t) >
cosi’ che
< ∆B(t) >=
∫ t
−∞
Φ BA (t − s)F(s)ds
Per capire il significato della funzione Φ BA (t) conviene osservare che essa coincide con
la risposta < ∆B(t) > quando la perturbazione e’ una delta a t = 0.
3.1 Perturbazione monocromatica
Quando
F(t) = F 0 e −iωt+ɛt
< ∆B(t) >=
∫ t
−∞
Φ BA (t − s)F 0 e −iωs+ɛs ds = F 0 e iωt−ɛt ∫ t
−∞
Φ BA (t − s)e −iω(t−s)+ɛ(t−s) ds
5

e cambiando variabile t ′ = t − s
< ∆B(t) >=
∫ t
−∞
∫ 0
Φ BA (t − s)F 0 e −iωs+ɛs ds = −F 0 e −iωt−ɛt Φ BA (t ′ )e iωt′ +ɛt ′ dt ′ =
∫ ∞
F 0 e −iωt−ɛt Φ BA (t ′ )e iωt′ +ɛt ′ dt ′
0
e prendendo il limite di ɛ → 0, e definendo la suscettivita’ dinamica o funzione di risposta
χ(ω) come
possiamo scrivere
χ(ω) = lim
ɛ→0
∫ ∞
0
Φ BA (t ′ )e iωt′ +ɛt ′ dt ′
< ∆B(t) >= F 0 e −iωt ˜ΦBA (ω)
Ricordandoci che Φ BA (t) = −β < AB(t) ˙ >= β < AḂ(t) > possiamo anche scrivere
∫ ∞
d
χ(ω) = lim
ɛ→0 0 dt ′ β < AB(t) > +ɛt ′ eiωt′ dt ′ =
che integrato per parti, e chiamando ω con z per ricordarci che e’ una trasformata di
Laplace, da’
∞
∫ ∞
χ AB (z) = β[< AB(∞) > − < AB(0) > −iz < AB(t ′ ) > e izt′ dt ′ = β[−C AB (t = 0)−iz ˜C AB (z)]
0
4 Applicazioni: Diffusione e mobilita’
Supponiamo di aggiungere alla Hamiltoniana un contributo del tipo
H ′ = −Fx 1 θ(t)
cioe’ una forza di intensita’ F che agisce nella direzione x della particella numero uno.
Se guardiamo la velocita’ lungo x nel tempo della particella uno troviamo, con A = −x 1
e B = u x
∫ t
∫ t
< u x (t) >= −β < ȦB(t′ ) > dt ′ = β < u x (0)u x (t ′ ) > dt ′ F
0
0
e per tempi lunghi
∫ ∞
< u x (∞) >= β < u x (0)u x (t ′ ) > dt ′ = βDF
0
6

che mostra la relazione esistente tra mobilita’ µ ≡< u x (∞) > /F e coefficiente di
diffusione
µ = D
k B T
5 Applicazioni: Corrente in un fluido di particelle cariche
Se abbiamo un fluido di N particelle con carica z i e (con e la carica dell’ elettrone) in
presenza di un campo elettrico dobbiamo aggiungere alla Hamiltoniana imperturbata il
termine
N∑
H ′ = − (z i e)r i E(t)ˆx
i=1
In questo caso la corrente di carica j x risultante sara’ data da (con A = − ∑ N
i=1 (z ie)r iˆx
e B = j x ). Se il campo elettrico e’ statico ed acceso a t = 0
e
< j x (t) >≡<
N∑
(z i e)u x (i, t) >= −β
i=1
∫ t
< j x (t) >= β < j x (t ′ )j x (0) > dt ′ E 0
0
A tempi lunghi, quando il transiente e’ finito
∫ t
0
∫ t
< AB(t ˙ ′ ) > dt ′ = β < j x (0)j x (t ′ ) > dt ′ E 0
0
< j x (∞) >= β
∫ ∞
0
< j x (t ′ )j x (0) > dt ′ E 0 = σ 0 E 0
dove σ 0 e’ la conducibilita’ statica del materiale. Se invece il campo elettrico e’ oscillante
a frequenze ω
∫ ∞
< j x (t) >= βE 0 e −iωt < j x (i, 0)j x (t) > e +iωt dt ′
che offre una formulazione per la conducibiita’ elettrica σ(ω).
0
7