Scomposizione di polinomi - Ticino.com

CALCOLO ALGEBRICO SD
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5. SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO IN UN PRODOTTO
Finora abbiamo visto che per semplificare un’espressione algebrica, cioè per scriverla nel
modo più semplice possibile, si può calcolare (sommare, moltiplicare, dividere, calcolare le
potenze). Un’altro procedimento molto utile è la scomposizione di un polinomio in un
prodotto. Per scomporre un polinomio si possono utilizzare diversi metodi: vediamone
alcuni.
5.1 La messa in evidenza.
Esempi:
2 3
ab + 3ac + 2a b =
2 2
8m n − 4m p =
3a
+ 6 =
2
2x
+ 4x
+ 8 =
4 3
5x
+ 5x
=
Quando è possibile, si mettono in evidenza tutti i fattori comuni (numeri e lettere) tra i
termini che compongono il polinomio. In questo modo si scrive il polinomio come un
prodotto.
5.2 La messa in evidenza parziale.
Esempi:
ab + 3b + 2a + 6 =
3xy + 4x + 6y + 8 =
ax − 5x + 2ay −10y
=
m
− m + am − a =
ax + bx − a − b =
ab + ax − mb − mx =
a
2
2
− a
3
+ 2 − 2a =
Prova a fare gli esercizi 1 e 2.
5.3 Riconoscere dei prodotti notevoli.
Ricordati che:
a
a
a
2
2
2
+ 2ab
+
− 2ab
+
− b
2
=
2
b = ( a + b )
2
b = ( a − b)
( a + b) ( a − b )
2
2

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Esempi:
x
2
m
2
+ 2xz
+ z
− 6bc
− 9c
2
121y
− 132y
+ 36 =
2 1
z − z + =
4
2 2
u − v =
25 − t
− 1 =
1−
4x
2
2
2
4a
b
2
2
25r
81t
m
y
− 2my
+ y
2
36k
+ 4ax
+ x
2
36e
− 70rs
+ 49s
+ 18t
+ 1 =
=
=
− 9 =
2
2
81m
2
144x
x
− f
+ t
− 100 =
2
2
2
− 2 =
2
2
=
=
2
− 169y
2 2
x y
− =
9 16
16 2 25
a − b
25 49
2
=
2
2
2
2
=
=
=
=
=
2
=
5.4 Il trinomio tipico
Si chiama trinomio tipico il risultato della moltiplicazione tra due binomi (x+a) e (x+b), dove a
e b sono numeri.
( ) ( ) 2 2
( )
x + a x + b = x + ax+ bx+ ab = x + a + b x + ab
Proviamo a scomporre il trinomio tipico x 2
+ 10x + 24 in un prodotto.
( ) • ( )
2
x + 10x + 24 = x + a x + b
Dobbiamo determinare due numeri a e b in modo che a • b = 24
a + b = 10

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Iniziamo a cercare tra i divisori di 24 due numeri che moltiplicati tra loro diano 24.
24 • 1 =
12 • 2 =
8 • 3 =
6 • 4 =
Questi due numeri devono soddisfare un’altra condizione: la loro somma deve essere 10. I
due numeri non possono essere che 6 e 4, infatti: 6 • 4 = 24 .
6 + 4 = 10
Allora: x 2 + 10x + 24 = ( x + 6) • ( x + 4)
2 2
x + 6 • x + 4 = x + 6x + 4x + 24 = x + 10x
+ 24 .
Verifica: ( ) ( )
Esempi:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+ 3x
+ 2 =
+ 5x
+ 6 =
+ 7x
+ 6 =
+ 7x
+ 12 =
+ 8x
+ 12 =
+ 13x
+ 12 =
+ 10x
+ 24 =
+ 11x
+ 24 =
+ 14x
+ 24 =
I due numeri cercati possono essere anche entrambi negativi.
Esempi:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
− 6x
+ 5 =
− 7x
+ 10 =
− 11x
+ 10 =
− 9x
+ 18 =
− 19x
+ 18 =
− 11x
+ 18 =
− 10x
+ 16 =
− 17x
+ 16 =
− 8x
+ 16 =

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I due numeri possono anche essere uno positivo e l’altro negativo.
Esempi:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+ x − 2 =
− 2x
− 3 =
+ 3x
− 4 =
− 5x
− 6 =
+ x − 6 =
+ 5x
− 6 =
− 2x
− 24 =
+ 10x
− 24 =
− 5x
− 24 =
ESERCIZI SUL CAPITOLO 5: SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO IN UN PRODOTTO.
1. Scomponi i seguenti polinomi in prodotti, sfruttando la messa in evidenza.(Ricopia i
polinomi su un altro foglio.)
6 4 3
5x − 3x + x
3y − 2y − y
4 3 2
5 4
2t + 9t − t
3 2
2t − 4t + 6t
6 + 27x
+ 12x
2xy + 3x y + 5xy
3 2 4 3 2 5
6x y z − 2x y z + 4xy z
2
2 2
2. Calcola i seguenti prodotti notevoli.
2ab
8x
3
2
3
5x
y
2
c − 6a
b
2 2
4
y t + 4x
y − 16x
y
4
2
c
5
+ 10x
y
2
2
3
+ 2a
b
3
6
− 15x
y
2 2
( a + 5 ) ( 2x + 2) ( 2x − 2) ( 12 − 3y)
2 2
( x + 12) ( b − 13) ( 3a − 2b)( 3a + 2b)
( x + 4) ( x − 4) ( c + 15) ( x − y )
2 2 2 2
3. Scomponi i seguenti polinomi in prodotti notevoli.
x
x
2
2
4 − x
4x
− 36
− 10x + 25
2
2
1
− x +
16
x
x
x
2
2
2
+ 8x + 16
2
x
3
+ 20x + 100
9
+ 3y + y
4
4. Scomponi in prodotti i seguenti trinomi tipici.
−
+
1
9
2
9x
x
9x
y
2
2
2
−
2
− 49
9
4
+ 6x + 1
− 2y + 1
2

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25
2
x + 3x − 18
2
x + 2x − 48
2
x − 10x
+ 21
2
x + 7x − 18
2
x − 8x − 48
2
x − 10x
− 24
2
x − 17x − 18
2
x − 13x − 48
2
x − 10x
− 144
5. Combinando le tecniche viste e un po’ d’ingegno, prova a scomporre anche i seguenti
polinomi.
2
6x + 4x + 72
2
4z − 28z + 48
3
2y
2
− 22y + 48y
2
16x y − 8xy + y
3
x y − 9xy
3
4xy
2
3
4u v − uv
− 12xy + 9x
3
6s
2
3m
3
+ 36st + 54t
− 6m
3
2
+ 15m
6. Determina il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo tra i seguenti gruppi di
monomi e polinomi.
a) abc; 2a 4
b ; 6a
3
c ;
b) 3
12xy ;
7
18yz ;
3
4xyz
;
c) 5
16d km; 5 4
42d k ;
5 2 6 3
28d k m p ;
d) 3a + 3; 5a + 5; 7a
+ 7;
e) 2
x − 25; 2x + 10; 2
3x + 30x
+ 75;
f) 3x + 12; 7x + 28; 42x
+ 168;
g) 5x + 10; 5x + 15; 12x
+ 24;
h) 2
4a − 9; 16a + 24; 30a
− 45;
i) 2
16a + 56a + 49; 8a + 14; 28 + 16a;
l) 21a − 63; 2
2a − 18;
2
2a
− 12a + 18;
Soluzioni:
4. (x-3)(x+6) (x-6)(x+8) (x-7)(x-3)
(x-2)(x+9) (x-12)(x+4) (x-12)(x+2)
(x-18)(x+1) (x-16)(x+3) (x-18)(x+8)
5. 2(3x 2 +2x+36) 4(z-4)(z-3) 2y(y-8)(y-3)
y(4x-1) 2 x(2y-3) 2 6(s+3t) 2
xy(x-3y)(x+3y) uv(2u-v)(2u+v) -3m(m 2 -5)
6. MCD mcm
a 6a 5 b 4 c 3
2y 36xy 3 z 7
2d 5 k 336d 5 k 4 m 6 p 3
a+1 105(a+1)
x+5 6(x+5) 2 (x-5)
x+4 42(x+4)
1 60(x+2)(x+3)
1 120(2a+3)(2a-3)
4a+7 4(4a+7) 2
a-3 42(a-3) 2 (a+3)