Esercizio svolto

Esercizio svolto
Il sistema mostrato in figura viene rilasciato da fermo; non c’è attrito fra il blocco e il tavolo e la puleggia
priva di attrito ha raggio 8.0 cm e momento di inerzia I=0.008 kg m2. (a) A quale velocità si
muove la massa di destra dopo che è scesa di 100cm (b) quanto impiega la massa a scendere di tale
distanza (c) Qual è l’energia cinetica di rotazione della puleggia in quell’istante
500g
500g
Risoluzione
Quesito a.
A quale velocità si muove la massa di destra dopo che è scesa di 100cm
Posso risolvere applicando il principio di conservazione dell’energia meccanica. In particolare, il
blocco di destra è inizialmente fermo (energia cinetica nulla) ad una altezza h ed ha quindi energia
potenziale mgh. In un momento successivo si trova ad un’altezza h-1m (essendo sceso di 100cm)
ma con energia cinetica distribuita tra energia di traslazione e energia di rotazione. In formule:
Energia cinetica
acquisita dalla
puleggia in rotazione
Energia cinetica
della massa sul
tavolo
1 2 1 2 1 2
mgh = mg ( h − 1) + mv + Iω
+ mv
(1)
2 2 2
Energia potenziale
dopo essere sceso
di un metro
Energia cinetica
acquisita dalla
massa sospesa
Osserviamo che l’energia cinetica della massa sospesa è identica a quella della massa sul tavolo:
questa assunzione deriva dal fatto che la fune inestensibile trascina insieme le uguali masse alle
medesime velocità.
La puleggia è trascinata dalla corda, e questo significa che:

v
ω =
R
(2)
2
1 2 1 v 1 2
mgh = mgh − mg + mv + I + mv
2
2 2 R 2
(3)
Da cui, semplificando, si ottiene:
2
1 v 2 ⎛ 1 I ⎞ 2
2 2
mg = + I + mv = ⎜ + m⎟v
2 R ⎝ 2 R ⎠
(4)
Sostituendo i dati si ha:
v =
1
2
mg
I
+ m
2
R
(5)
Quesito b
0.5⋅9.8
v = = 2.09 m / s
1 0.008
+ 0.5
2 8 10
−2
( ⋅ ) 2
(6)
Quanto impiega la massa a scendere tale distanza (100 cm)
È possibile usare le formule del moto uniformante accelerato, e legare spazio percorso con velocità
impiegata.
Da cui, eliminando a:
1
s = at
2
v = at
2
(7)
Il tempo è dato da:
1 v 1
= = (8)
2 t 2
2
s t vt
2s
2
t = = = 0.957s
(9)
v 2.09
Quesito c
Qual è l’energia cinetica di rotazione della puleggia in quell’istante
È sufficiente applicare la formula:
( 2.09) 2
1 1 v
2 2 R
64⋅10
2
2
EC
= Iω
= I = 0.5⋅0.008⋅ = 2.73J
2 −4
(10)

Modo alternativo di risolvere il quesito a.
Il quesito “A quale velocità si muove la massa di destra dopo che è scesa di 100cm” può essere risolto
anche con considerazioni di tipo cinematico. Svincoliamo la struttura, evidenziando le tensioni
delle funi.
È importante osservare che, in questo caso, le tensioni delle funi sono differenti; se infatti fossero
uguali la puleggia sarebbe sottoposta ad una forza complessivamente nulla e non potrebbe girare.
500g
T 2
T 2
T 1
T 1
500g
Scriviamo le equazioni di moto:
P − T = ma
1
( )
T − T R = Iα
T
2
1 2
= ma
(11)
La prima equazione si applica al corpo sospeso, la seconda alla puleggia (di raggio r) ed è un equazione
di moto rotatorio, la terza si applica al corpo sul piano.
⎧ Iα
⎧P − T
1= ma ⎧ P − T
1= ma
⎪
P − ma − = ma
⎪ ⎪ R
⎪ Iα ⎪ Iα ⎪
Iα
⎨T1 − T2 = ⎨T1 − ma = ⎨ T1
= ma +
(12)
⎪ R ⎪ R ⎪
R
⎪
T2 ma
⎪
T2 ma
⎪
⎩ = ⎩ = T2
= ma
⎪ ⎩
Sapendo che:
a
α = (13)
R

⎧ ⎛ I ⎞
Ia
P = 2m + a
R ⎪
Iα
⎪
Iα
T1 = ma + ⎨ T1
= ma +
R ⎪
R
T2 = ma
⎪
T2
= ma
⎪
⎪⎩
⎧ 2
P − ma − = ma
⎪ ⎜ ⎟
R
2
⎝ ⎠
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪⎩
(14)
E quindi l’accelerazione può essere ricavata immediatamente:
⎧ P 0.5⋅9.8
⎪
a = = = 2.18 m / s
I 0.008
⎪ 2m + 1+
R
2 64 10
−4
⎪
⋅
⎪
Iα
⎨
T1
= ma +
⎪
R
⎪
T2
= ma
⎪
⎪
⎪⎩
2
(15)
E usando la legge per il moto uniformemente accelerato si ha:
Da cui
:
⎧ v
a =
⎪ t
⎨
⎪ 1 v 1 = =
⎪⎩ 2 t 2
2
s t vt
(16)
2s
2
t = = = 0.957s
(17)
v 2.09
E dalla seconda delle (16):
2s
2
v = = = 2.09 m / s
(18)
t 0.957