Зонные расчеты

Зонные расчеты
(Элементарное введение)
1. Основные понятия, примеры
использования. (Стрельцов С.)
2. Как это работает (Пчелкина З.)
(Методы и приближения)
3. Где это неработает, и что можно
сделать, чтобы работало
1

План:
1. Мотивация
2. Основные уравнения зонной теории
(на примере метода Хартри-Фока)
3. Основные характеристики зонной
структуры (зоны, DOS etc.)
4. Применение зонных методов в ФТТ
2

Электронная структура:
от атомов к твердому телу
Атом водорода
Твердый водород
Зонный спектр
Дискретный спектр
{ (r),
r r r r r
ϕ
nlms
E = E ϕ
j
( ) = u r (
)exp( ikr ) ≡ ϕ r (
)
{ nlms
jk
jk
r
j
j
E = E (k )
j
3

Можно ли точно посчитать
электронную структуру в твердых телах
“The physical laws [. . . ] are [. . . ] completely known, [. . . ] only that
the exact application [. . . ] leads to equations much too complicated
to be soluble.”
Paul Dirac, , Proc. Royal Soc. (London) 123, 714; (1929).
Рассмотрим атом углерода (6 электронов):
• Для того, чтобы сохранить значения Ψ будем
использовать сетку из 10 точек в каждом из
направлений r = (x, y, z) =>
• Будем использовать 8-байт переменную =>
• 5 × 10 9 байт = DVD =>
r r
Ψ( 1
...
6)
10 3·6 = 10 18
значений
8 × 10 18 байт
10 13 DVD !
4

Площадь покрытия DVD, использованных для сохранения
информации о точной волной функции углерода.
Как насчет Cu или Ru ;-));
Взято из http://cpht.polytechnique.fr/houches/tddft_francescosottile.pdf
5

План:
1. Мотивация
2. Основные уравнения зонной теории
(на примере метода Хартри-Фока)
3. Основные характеристики зонной
структуры (зоны, DOS etc.)
4. Применение зонных методов в ФТТ
6

Метод Хартри (1928 г.)
Одноэлектронное приближение:
Уравнения Хартри:
Аналог теории Вейсса в магнетизме
Электрон в среднем поле V H
Кулон. взаим. с
средним полем, определяемым
всеми электронами
Кулон. Вз. с
окружающими
ионами
7

Метод Хартри – Фока
Сего значкочешуйна змия
Сгубила антисимметрия.
Матричнодышащий урод
Не будет уж пугать народ.
Уравнения Хартри-Фока
Фока:
В.А. Фок, 1930 г.
Обменная часть
(обеспечивает
заполнение по Хунду)
8

Обменно-корреляционная часть:
что это такое
1. Обменная энергия в теории Харти-Фока
или зонной теории*:
Уменьшение отталкивания между 2 эл.
нами того же спина на одном атоме (!)
из-за антисимметрии волновой функции
относительно перестановки;
2. Корреляционная энергия:
Разница между истинной
энергией многоэлектронной
системы и энергией в
приближении Хартри-Фока.
* не путать с обменом в модели Гейзенберга !
9

Обменно-корреляционная часть:
что это такое
1. Обменная энергия в теории Харти-Фока
или зонной теории*:
Уменьшение отталкивания между 2 эл.
нами того же спина на одном атоме (!)
из-за антисимметрии волновой функции
относительно перестановки;
2. Корреляционная энергия:
Разница между истинной
энергией многоэлектронной
системы и энергией в
приближении Хартри-Фока.
* не путать с обменом в модели Гейзенберга !
10

Метод Хартри: : решение уравнений
Уравнения Хартри: Как решить
Конечный результат:
r
ε , ϕ (
)
1. j jk
2. Полная энергия E = ∑
i
ϕ
i
H
1. Приближение для волновой
функции, например
ϕ
2.
3.
4.
ϕ
r
jk
i
(
r r
r r
∑
i(
k + Km
)
) = A r e
jk , m
m
r r
ϕ r ( ) → ρ(
)
jk
r r
ρ ( ) → VH
(
)
r r
V ( ) → ε , ϕ (
)
H
j
jk
11

Что нужно чтобы посчитать зонную
структуру
Входная информация для расчета зонной
структуры программой LMTO47:
И это все !
Вернее почти все... Осталось только выбрать
• Способ учета ОК части (HF, LDA, GGA, SIC, LDA+U, LDA+DMFT...);
• Волновые функции (PW, LAPW, LMTO, гаусcианы ... );
• Какие взаим. вкл. в гамильтониан;
И заставить все это работать !
12

Что нужно чтобы посчитать зонную
структуру
Входная информация для расчета зонной
структуры программой LMTO47:
+
Walter Kohn
Нобелевская
премия 1998 г.
(индекс Хирша 59)
13

План:
1. Мотивация
2. Основные уравнения зонной теории (на
примере метода Хартри-Фока)
3. Основные характеристики зонной
структуры (зоны, DOS etc.)
4. Применение зонных методов в ФТТ
14

Основные характеристики электронной
структуры: зоны
MgO
O: 2s 2 2p 4
Mg: 3s 2
1 Mg - 3s
зона Mg 2+ (3s 0 )O 2- (2p 6 )
Запрещенная щель
3 O-2p
зоны
E F
Ширина зоны
(W ~ хоппингу t)
15

Основные характеристики электронной
структуры: DOS
Плотность cостояний (DOS):
1
ρ(
ε ) =
3
r
dS
∫ r
∇
( )
число состояний на 1 энергии 4π
r ε k
Интегральная DOS:
число носителей в
выбранном
диапозоне энергий
k
N
12
=
E2
∫
E
1
ρ
( ε) dε
N
=
E F
∫
−∞
ρ
( ε) dε
16

Что еще можно напрямую извлечь из
зонных расчетов
Внешний вид
орбиталей (Ti-3d)
3d):
Зарядовая
плотность:
LaTiO 3
S. Streltsov et al., PRB 71, 245114 (2005)
MgO
J.M. Zuo et al., PRL 78, 4777 (1997)
17

План:
1. Мотивация
2. Основные уравнения зонной теории (на
примере метода Хартри-Фока)
3. Основные характеристики зонной
структуры (зоны, DOS etc.)
4. Применение зонных методов в ФТТ
«The
proof of the pooding is in the eating»
18

План:
Применение зонных
методов в ФТТ
Описание
электронных
свойств
Описание
магнитных
свойств
19

Электронная спектроскопия: XAS
Электронная спектроскопия: XAS
X-ray
Arbsorbtion
Spectroscopy
e
Измеряется: интенсивность
поглощения в зависимости от
частоты
hυ
X-ray
20

Электронная спектроскопия: PES
Электронная спектроскопия: PES
За пределы образца
E B
e
hυ
X-ray
Arbsorbtion
Spectroscopy
(пуст. сост.)
Photo
Emission
Spectroscopy
(заполн. сост.)
Ультрафиолет
Измеряется: кинетическая
энергия
E
B
= hυ
− Ekin
− Φ
Φ - работа выхода
21

Электронная спектроскопия: Оптика
Электронная спектроскопия: Оптика
e
hυ
Свет
X-ray
Arbsorbtion
Spectroscopy
(пуст. сост.)
Photo
Emission
Spectroscopy
(заполн. сост.)
Optical
Spectroscopy
(пустые + заполн. сост.)
22

Электронная спектроскопия:
Тонкость #1: Матричные элементы
Imε
( ω)
~
∑∫
c,
v
d
3
k
c
v
k
∇
v
δ ( ε
диэлектрическая пронициаемость:
v
k
v
v
k
∇
c
v
k
−ε
c k v
k
−
hω)
23

Оптика: : полный расчет
(с матр. . элементами) для Pt
K. Glantschnig and C. Ambrosch-Draxl (unpublished)
24

Электронная спектроскопия:
Тонкость #2: # Многочастичные эффекты
CaO
L 2,3 XAS
E B
e
!
Ca
Ca
X-ray
hυ
25

Электронная спектроскопия:
Тонкость #2: Многочастичные эффекты
CaO
E B
e
Ca
Ca
X-ray
hυ
Необходимо учитывать экситоны !
26

Зонная структура: теория - эксперимент
Зонный расчет (линии) и
данные ARPES (точки)
для Cu
Thiry et al, Phys. Rev. Lett. 43, 82 (1979).
ARPES = angle resolved photo
emission spectroscopy
(см. A. Damascelli Phys. Scripta T109, 61
(2004))
27

Поверхность Ферми -
геометрическое место точек E(k)=E F
Sr 2 RuO 4
28

Плотность состояний на уровне Ферми:
теплоемкость
Теплоемкость:
Свободный электронный газ:
S.M. Podgornykh et. al., to be published in JMMM
29

План:
Применение зонных
методов в ФТТ
Описание
электронных
свойств
Описание
магнитных
свойств
30

Магнитные свойства: обмен
Магнитные свойства: обмен
s
1
= s2
=
1
2
Модель Изинга:
(спины коллинеарны)
€ = 2
€ 1 €
H JS z S
z
1
J – обменный параметр модели Изинга
E = − J
↑↓
E =
↑↑
J
2
2
⇒
J
= E E
↑↑ −
↑↓
31

Магнитные свойства.
Зная J можно (попробывать)(
) посчитать:
1. Температуру Кюри-Вейсса
χ
C 2
J – обмен, S – спин
= , θ = S ( S + 1)
zJ
T + θ 3
2. Спиновую щель
Z – число ближайших
соседей
2a. Изолированный димер ∆ = J
2b. Халдейновская цепочка (АФМ цепочка S=1) ∆ = 0.41J
2c. Цепочка S=1/2 с альтернированным обменом
∆ =
3/ 4 1/ 4
( 1− α ) (1 + α)
α =
J 1
/ J 2
2d. Цепочка S=1/2 с обменом через соседа ∆ ~ exp( −α)
32

Магнитные свойства.
Зная J можно (попробывать)(
) посчитать:
3. Сам спектр спиновых возбуждений
χ
33

Электронный свойства
• Зарядовая плотность;
• Энергии ионизации, сродства;
• Оптические спектры;
• Рентгеновские спектры;
• Зонная структура, ширины зон,
g(E F ), зап. щель, расщепления;
• Магнето-оптич. свойства;
• Параметры для модельных
расчетов t, U, J H ;
Структурные свойства
• Структурная оптимизация
(положения атомов, группа сим.);
• Дефекты структуры;
• Фонноные частоты, коэф. электронфононного
взаим.;
• Структурные нестабильности
(нестинг поверхности Ферми);
E
r
ϕ
Зонные методы ε
i
( k ), ( k , r )
r
r
Магнитные свойства
• Магнитные моменты;
• Параметры обменного взаим.;
• Температура Кюри-Вейсса;
• Маг. восприимчивость,
спин-волновой спектр;
• Температуры переходов с изм.
спиного состояния;
• Магн. неустойчивость (к. Стонера);
• Кинетика: эл. сопротивление;
• Кинетика: теплопроводоность;
• Результаты измерения сканирующего
тунельного микроскопа
• Механические свойства (сжимаемость,
модули упругости, жесткость)
• Люминисценция
• ГЭП для ЯМР и ЭПР
34

Вклад зонных методов в физику ХХ века
Результаты анализа (2003 г.) индекса цитирования
Physical Review (S. Redner physics/0407137):
Av. Age = средний возраст ссылающихся статей
Scientific impact = (Av. Age) * (Number of citations)
35