Orgoglio e pregiudizio - Rudi Mathematici

Rudi Mathematici
Numero 116 – Settembre 2008
Nella figura che segue sono disegnati gli sviluppi di questi cubi ed etichettati i 91
cubetti con almeno una faccia colorata (i numeri in grassetto indicano i cubetti con
più facce colorate).
Ringraziando Trekker, facciamo un po’ di spazio alle figure del Panurgo, che sono
bellissime:
Per prima cosa è necessario capire in quanti modi sia possile colorare f facce del
cubo n × n × n.
Per n = 1, qualunque sia il numero di facce colorate, il numero di cubetti colorati è
1.
Per n > 1, con riferimento alla figura, una faccia può essere colorata in un solo
modo; la prima faccia modifica radicalmente la simmetria del cubo differenziando
la faccia opposta dalle quattro laterali che sono equivalenti per rotazione: si hanno
perciò due modi di colorare le seconda faccia, 2a e 2b. A partire da 2a, le quattro
facce rimanenti sono tra loro equivalenti e otteniamo 3a; viceversa, a partire da 2b
le due facce parallele a quelle colorate sono equivalenti e portano a 3a mentre
quelle perpendicolari portano a 3b. Da 3b, le tre facce rimanenti sono equivalenti e
si arriva a 4b, mentre da 3a la faccia parallela porta a 4a, le altre due a 4b. Quando
quattro facce sono colorate le due rimanenti sono sempre equivalenti e vi è un solo
modo di colorare 5 facce, cosi come vi è un solo modo di colorarne 6.
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