La matematica delle stringhe? - Rudi Mathematici

Legami tra teoria delle stringhee la funzione zeta di Riemanning. Rosario Turco 1 , prof. Maria Colonnese, dott. Michele NardelliEsiste un legame tra teoria delle stringhe e funzione zeta di Riemann: questo costituisce una stradainteressante, perché la funzione zeta è legata a quegli elementi matematici atomici nonscomponibili, rappresentati dai numeri primi e abbiamo visto in tante occasioni come la natura amaesprimersi attraverso leggi e modelli matematici perfetti.Non ultimo la situazione che determinatilivelli energetici degli atomi stabilipotrebbero essere associabili agli zeri nonbanali della funzione zeta di Riemann. In[6] ad esempio è stato mostrato il legamedella zeta di Riemann e dei suoi zeri nonbanali con la Fisica quantistica attraverso lalegge Montgomery-Odlyzko.La legge di Montgomery-Odlyzko dice chela distribuzione delle spaziature tra zerinon banali successivi della funzione zeta diRiemann (normalizzata) è identica, dalpunto di vista statistico, alla distribuzionedelle spaziature degli autovalori in unoperatore GUE , che rappresentano anche isistemi dinamici delle particellesubatomiche!In [6] gli autori hanno mostrato tutti gli aspetti matematici e teorici legati alla zeta di Riemann,mentre in [9] i legami di determinate formule della Teoria dei numeri con la sezione aurea e conaltri settori come la teoria delle stringhe. Gli autori hanno dato una duplice proposta sia disoluzione dell ipotesi di Riemann (RH) che della congettura sulla molteplicità degli zeri non banali,mostrando che sono zeri semplici[7][8].In [10][11] sono proposte delle ipotesi equivalenti RH, in [12][13] gli autori hanno presentatoarticoli divulgativi di Fisica sulle dimensioni extra, la Teoria delle stringhe e la M-teoria, in [15] lacongettura di Yang e Mills e in [16] la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer.1Rosario Turco è un ingegnere presso Telecom Italia (Napoli) ed ideatore di Block Notes Matematico insieme alla prof. Maria Colonnese delLiceo Classico De Bottis di Torre del Greco, provincia di Napoli1

Un aspetto matematico della teoria delle stringheDurante gli esperimenti condotti negli acceleratori di particelle, i fisici avevano osservato che lospin di un adrone non è mai maggiore di un certo multiplo della radice della sua energia; ma nessunmodello adronico semplice, come quello di vederli come composti da un serie di particelle piùpiccole legate insieme da un qualche tipo di forza, era in grado di spiegare tali relazioni e ilcomportamento degli adroni (vedi [12]).Nel 1968 Gabriele Veneziano trovò che una funzione a variabili complesse creata dal matematicosvizzero Leonhard Euler, potesse essere la soluzione giusta: la funzione beta, si adattavaperfettamente ai dati ottenibili sull'interazione nucleare forte.Veneziano applicò la Funzione Beta di Eulero all interazione forte:conma nessuno sapeva spiegarsi perché funzionasse. Nel 1970, Yoichiro Nambu, Holger Bech Nielsen,e Leonard Susskind presentarono una spiegazione fisica sulla straordinaria precisione teorica dellaformula di Eulero: rappresentando la forza nucleare attraverso stringhe vibranti ad una soladimensione, mostrarono che la funzione di Eulero descriveva effettivamente le interazioni forti.Ma anche dopo che i fisici ebbero proposto una possibile spiegazione fisica per l'intuizione diVeneziano, la descrizione che le stringhe davano della forza forte faceva predizioni checontraddicevano direttamente le esperienze.La funzione Beta di Eulero è detta anche Integrale di Eulero del primo tipo [6], è data dall'integraledefinito:(1)dove sia x che y hanno parte reale positiva e non nulla (se lo fossero, l'integrale non convergerebbea un numero finito).Questa funzione storicamente fu studiata per primo da Eulero, poi da Legendre, e fu Jacques Bineta battezzarla con tale nome. È una funzione simmetrica, ovvero il suo valore non cambiascambiando gli argomenti:(2)inoltre valgono anche le due seguenti identità:(1,1)=1(1/2,1/2)=2

La funzione Beta si può scrivere in molti modi, di cui i più comuni sono i seguenti:(3)(4)(5)dove (x) è la funzione Gamma, dovuta a Eulero, è una funzione meromorfa, continua sui numerireali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi, nel senso che per ogninumero intero non negativo n si ha:dove n! è il fattoriale., (7)Mentre la funzione Gamma descrive i fattoriali dei numeri interi, la funzione Beta può descrivere icoefficienti binomiali di Newton:(6)Significato fisico del risultato di G. VenezianoI processi d urto (vedi figura) hanno un ruolo fondamentale, sia dal punto di vista sperimentale cheteorico, nella fisica delle particelle elementari, e sono lo strumento primario per lo studio delle lorointerazioni. Fin dall inizio della teoria atomica la natura dell atomo fu studiata con tecniched urto : particelle sparate verso l atomo (vedi esperimento di Rutherford ad esempio).(8)Nella figura di sopra ci sono due diagrammi di Feynman ad albero per il processo d urtoe + e - e + e - tra un positrone (e + ) e un elettrone (e - ) e un esempio di diagramma di ordine superiore3

con un anello chiuso o loop . Le linee possono essere associate a traiettorie delle particelle chepartecipano al processo, e i vertici alle loro interazioni elettromagnetiche. I contributi di ordine piùbasso coinvolgono lo scambio di un fotone , nei canali s (verticale) e t (orizzontale)rispettivamente, e il contributo dominante alla sezione d urtodella loro somma.è legato al quadrato del moduloAbbiamo visto in [12] che una delle difficoltà maggiori nella QED è la presenza del vuotoquantomeccanico e delle particelle virtuali, che contribuiscono nelle interazioni dando luogo adaltre particelle e così via.Questa fatto è alla base della tecnica dei diagrammi di Feynman , che consente di collegare leprobabilità di reazione, note come sezioni d urto , ai processi elementari nei quali le particellereagenti generano i prodotti di reazione attraverso la formazione di altre particelle in stati intermedi.Alla somma dei diagrammi relativi ad un certo processo la teoria associa un ampiezza diprobabilità, un numero complesso il cui modulo quadrato determina essenzialmente le sezionid urto. Ma la proliferazione della particelle soggette alle interazioni forti ha limitato a lungol applicazione di questi metodi a causa dell estrema intensità di queste forze nucleari, e quindi neglianni 60 molti sforzi sono stati dedicati al problema di caratterizzare le sezioni d urto o la matriceS , una collezione delle corrispondenti ampiezze di probabilità..La Teoria delle Stringhe ha avuto origine precisamente in questo ambito, quando il ricorso allaTeoria Quantistica dei Campi e ai corrispondenti diagrammi di Feynman appariva impossibile per leinterazioni forti.In questo quadro si colloca il risultato di Veneziano. Nella (2), con le variabili x e y, Venezianoindividuava gli angoli di impatto e le energie delle particelle coinvolte nell urto. In generale, idiagrammi di Feynman dipendono da queste grandezze, ma non manifestano individualmentealcuna simmetria sotto il loro scambio, e quindi la peculiarità della funzione B era proprio la suasimmetria manifesta sotto lo scambio delle due variabili x e y, che in questo contesto è definitadualità planare . B(x; y) possiede inoltre infiniti poli per x = 0,-1,-2, e analogamente per y,nell intorno dei quali si comporta essenzialmente come la funzione 1/z in prossimità dell origineper z = 0.Singolarità di questo tipo sono caratteristiche dei contributi di ordine più basso (senza loops o adalbero , come i due diagrammi a sinistra nella figura precedente), i cui stati intermedi coinvolgonoaltrettanti tipi di particelle, una alla volta, e segnalano appunto il loro scambio.Fu quindi chiaro che l ampiezza di Veneziano aveva origine da una teoria molto più complessa diogni altra precedentemente nota, con infiniti tipi di particelle, tutte bosoniche, di masse e spincrescenti.Relazioni fra la funzione Gamma e la funzione BetaLa (3) si dimostra scrivendo il prodotto di due fattoriali come:4

Ora poniamo , in modo che:Trasformiamo in coordinate polari con a = rcos , b = rsin :e quindi riscriviamo gli argomento nella forma solita della funzione beta:La derivata della funzione beta può essere scritta sfruttando, di nuovo, la funzione Gamma e lafunzione digamma (x):Relazioni fra la funzione Beta e la funzione Zeta di RiemannIn [6] abbiamo visto che se la parte reale del numero complesso z è positiva, allora l'integraleconverge assolutamente e rappresenta la funzione Gamma.Usando la continuazione analitica, la converge anche per z con parte reale non positiva, purchénon intera. Usando l'integrazione per parti, si può dimostrare che:5

Siccome (1) = 1, questa relazione implica, per tutti i numeri naturali n, cheAltre definizioni sono:dove è la costante di Eulero-Mascheroni.In [6] abbiamo visto che altre importanti proprietà della funzione Gamma sono la formula diriflessione di Eulero:e quella di duplicazione:che a sua volta è un caso particolare della formula di moltiplicazioneLe derivate della funzione Gamma possono essere espresse in funzione di sé stessa e di altrefunzioni, per esempio:dove 0 è la funzione poligamma di ordine zero. In particolare,Il più noto valore che la funzione Gamma assume su numeri non interi èche si può trovare ponendo z=1/2 nella formula di riflessione, oppure osservando il valore che lafunzione Beta assume in (1/2, 1/2) che è proprio la radice di .In statistica si incontra di frequente l'integrale:6

[16che si ottiene ponendo , e quindi , ottenendo quindiSono interessanti anche le seguenti proprietà, che interessano i multipli dispari di 1/2dove n!! denota il semifattoriale.Ma sicuramente intrigante è la relazione della funzione Gamma con la zeta di Riemann e sapendoche c è il legame tra Gamma e Beta, si ottiene per conseguenza il legame tra Beta e zeta diRiemann:z( z) (1 z) (1 z)2 sin z 2Di conseguenza nella teoria delle stringhe in sostanza è presente la funzione zeta di Riemann.La L-function e le forme modulariz 1 1La domanda successiva da porsi è: Se l ipotesi di Riemann è vera, gli zeri non banali sono semplicied esiste un legame tra funzione di zeta di Riemann e le interazioni forti o comunque con la teoriadelle stringhe, come si possono usare tali risultati matematici con la teoria delle stringhe e dellebrane, le dimensioni extra o con la M-teoria? In un mondo di Calabi-Yau a 10 o 11 dimensioni lafunzione zeta di Riemann che può offrirci?In [15] abbiamo esaminato la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer. La teoria matematica cheporta a questa congettura ha gli elementi di base che sono utili alla teoria delle stringhe aperte ochiuse, legata difatti alle curve ellittiche, ai numeri p-adici, alla funzione zeta di Riemann e la L-function di Dirichlet, le forme modulari. Non dimentichiamo che gli zeri non banali della zeta diRiemann hanno valori razionali in Q.Per semplicità, supponiamo che la curva che consideriamo sia una curva ellittica E definita suinumeri razionali. Indicato con Z l insieme degli interi, supponiamo che E sia definita daun equazione della formaDefiniamo la funzione L di E come:y 2 = x 3 + ax + b, con a,b Z, E = 4a 3 + 27b 2 0.7

DoveL(E, s) =p1-s 1-2sE 1 - app + pa p = 1 + p - #E(Fp)In questa definizione di a p vediamo E come curva ellittica sul campo Fp, dove i coefficienti a e bdella E sono appartenenti alle classi di modulo n. Il fattore corrispondente a p è l inverso delnumeratore della zeta di E su Fp.L analogia trageometrico è (s) = L(P,s).(s) e L(E,s) si può introdurre geometricamente; se chiamiamo P un puntoIn [15] abbiamo visto che Il teorema di Hasse (l ipotesi di Riemann per E/Fp) implica che ilprodotto infinito che definisce L(E, s) converge ad una funzione differenziabile (in sensocomplesso) nel semipiano R(s) > 3/2. Mentre per il Teorema Wiles-Taylor: L(E, s) può essereestesa ad una funzione differenziabile su tutto il piano complesso.Il teorema di Weil (dimostrato in questo caso da Hasse nel 1931) segue dall uguaglianza ap = p +p, dove p e p sono numeri complessi aventi valore assoluto p 1/2 . Dal Teorema di Wiles-Taylor èdiscesa la dimostrazione del L ultimo Teorema di Fermat.La Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer afferma: L equazione y 2 = x 3 + ax + b ha infinitesoluzioni nei numeri razionali se e solo se L(E, 1) = 0. Ne consegue che se y 2 = x 3 + ax + b hainfinite soluzioni nei numeri razionali, allora L(E, 1) = 0.L ipotesi di Riemann per L(E, s): Gli zeri non banali di L(E, s) sono concentrati sulla retta verticaleR(s) = 1.L(E,s) soddisfa un equazione funzionale rispetto alla trasformazione s 2 s, mentre (s) soddisfaun equazione funzionale rispetto a s 1 s. In altri termini gli zeri devono stare su una linea disimmetria per l equazione funzionale.L ultimo modo di affrontare le funzioni L è quello della filosofia Laglands ed occorre riprendereil teorema di Wiles. Scriviamo L(E,s) come una serie infinita:L( E, s)n 1annWiles ha considerato la trasformata di Mellin inversa di L(E,s):sf ( z)2 inzanen 1Dove z è una variabile appartenente al semipiano complesso superiore: H z ; ( z) 0Il teorema di Wiles prosegue con tecniche algebriche affermando che f(z) è una forma modulare;cioè:8

f (z) è una funzione differenziabile su H, che soddisfa un opportuna condizione di crescitaper ( z ) ;az b2f ( ) ( cz d) f ( z)a bcz d per ogni matrice tale che a,b,c,d Z, ad-bc=1 e N|c perc dun intero positivo NLe proprietà di L(E,s) discendono (col teorema di Hecke) dalle proprietà analitiche di f(z).In sintesi le proprietà delle funzioni modulari forniscono una via di accesso alle proprietà analitichedella funzione L(E, s) (definita geometricamente) e quindi, per mezzo della congettura di Birch eSwinnerton-Dyer, alle soluzioni razionali dell equazione di E.Le formule modulari sono importantissime nella Teoria delle stringhe.Muovendoci in direzione opposta rispetto a quanto detto in precedenza, si osserva che a volte è lageometria che permette di accedere alle proprietà delle forme modulari.Consideriamo la funzione :242 iz 2 inz 2 inz( z) e 1 e ( n)en 1dove i coefficienti di Fourier (n), sono detti coefficienti di Ramanujan e è una forma modularedel tipo:az b12( ) ( cz d) ( z)cz da bper ogni matrice tale che a,b,c,d Z, ad-bc=1. In particolare ha peso 12 mentre la fc dassociata a L(E,s) ha peso2.In particolare il Teorema di Deligne dice che: | (n)| = O(n 11/2+ ) per ogni > 0.n 1La dimostrazione di questa congettura non segue direttamente dalle proprietà analitiche dicui(z), da(n) = O(n 6 ); ma è conseguenza della dimostrazione delle congetture di Weil ottenuta daDeligne. Innanzitutto si osserva che (n) = O(n 6 ) segue da (p) per p primo (congettura diRamanujan, dimostrata da Mordell).Il punto cruciale consiste nel dimostrare che (p) dipende dal numero di punti di una varietàalgebrica su Fp e non si tratta di una curva in questo caso, bensì di una varietà di dimensione 11.Questo tipo di geometria offre quello che la Teoria delle stringhe vuole trattare.9

Le funzioni beta p-adiche nella teoria di superstringa. [16]Nel caso ordinario si conosce che l ampiezza di base quadri-punto per la superstringa aperta ha laformas t2g 2 2A4 pk1; k2; k3; k4K k1, k2, k3, k4(1)2 s t12 222dove s k 1k 2e t k 2k 3sono le variabili di Mandelstam. Poichè 4 P 4B, 4 F oppure2 B2F , l ampiezza (1) di conseguenza dipende dai vettori di polarizzazione delle particellevettoriali prive di massa e dalle funzioni d onda spinoriali deca-dimensionali di Majorana-Weyl.Il modo più semplice per ottenere un ampiezza analoga a quella di Veneziano è porre le ordinariefunzioni gamma nell ampiezza di Venezianoattraverso le loro analoghe p-adiche, cioèAa bA a, b,c(2)a bpapba, b,c. (3)a bp,pNelle eq. (2) e (3), a s 11s , b2t e c u , ed esse soddisfano la condizionedi strato elettronico - massa s t u 8 oppure a b c 1. Notiamo che s t u 8, puòessere riscritta come seguestu134 antiloglog100cos txw'ecosh xe2tw'4w'2x w'itw'dx11 2 10 7441422t w'2, (4)dove è possibile notare che il numero 8, che è un numero di Fibonacci, è connesso con i modi checorrispondono alle vibrazioni fisiche di una superstringa attraverso la funzione di Ramanujan sopracitata.A causa della semplice relazionepyp1 y 1 (5)Che è una semplice conseguenza dell espressione10

py11ppy 1y(6)L ampiezza p-adica (3) esibisce una totale simmetria incrociata.nella seguente formaA a, b dx x 1 x , (6b)kabA pa, b,c può essere presentatoaconax x , dove x Qppe ... indica la norma p-adica. Da un punto di vista adelico, lepampiezze A pa, b,c p 2,3,5,...sono state considerate come partners dell ordinaria ampiezza disimmetria incrociatanella forma (6b), doveA a, b,c A a,b,c A b,c,a A c,a,b , la quale può anche essere scrittaaax x e x R .In modo analogo il metodo sopra menzionato può essere applicato all ampiezza di superstringa datadall eq. (1) e possiamo osservare la sua analoga p-adica nella forma2gA4 P , pa,b,cps,t,u K k,(7)2dove il fattore cinematico K k,rimane invariato. Prendendo s, t u in accordo alla proceduradi sopra, abbiamos tpp2 2ps,t,u(8)s tp12 2p,dove a s / 2 , b t / 2 e c u / 2 con la condizione di strato elettronico - massas t u 0 . (9)Notiamo che è possibile riscrivere l eq. (7) anche come segues t2 ppg 2 2A4P , pa,b,cK k,2 s tp12 2. (9b)Usando l equazione funzionale (5), otteniamo l ampiezza simmetrico - incrociata totale2g s t uA4 P , pa,b,cpppK k,. (10)2 2 2 2L ampiezza (10) ha poli ai punti realis 0 , t 0 , u 0 . (11)11

La struttura dell eq. (8) non ci permette di scrivere l ampiezza (10) come significato dellaconvoluzione di caratteri moltiplicativi x , cioè,agA 124 P,pa,b,c K k,axbx dx . (12)2Q pInoltre, la mancanza di una rappresentazione dell ampiezza (10) nella forma del membro di destradella (12) non ci permette di estrarre il canale d ampiezza (st) da quella simmetrica - incrociata.Ricordiamo che il consueto campo conforme in una formulazione Euclidea è definito dalpropagatorex z x w g ln z w , (13)2dove g indica la metrica piatta nello spazio-tempo D-dimensional e z, w sono variabilicomplesse. Il vertice tachionico ha la formaikV k,z : e : (14)e l ampiezza di stringa chiusa ad N-punto può essere scritta come seguexzANNNNii ii 1 i 1i 1Nim nmknkm/ 2nk ,..., k dz V K Z dz z z (15)1dove dz è la misura standard sul piano complesso. L espressione (15) è divergente per l invarianzadi SL(2,C) e dopo l estrazione del volume del gruppo sullo strato elettronico - massa2ki2 puòessere presentata nella forma di Koba-NielsenANNm nmkmkn/ 2nk ,..., k dV z z (16)1dovedV3Nzaz2bzbazb2cdz dz dzczbz2cNi 1dzi. (17)Quindi, l eq. (16) può essere riscritta anche come segueANk222N3 Nzazbzbzczbzckmkn/ 21,..., kNdzizmzn. (17b)dzadzbdzci 1 m nLa procedura descritta sopra può essere applicata facilmente alla derivazione dell ampiezza distringa aperta. In tale caso l integrazione nell eq. (15) va sopra il simplesso sull asse reale,z ...1z2z N(18)12

e la potenza distringa apertazmznsarà moltiplicata per 2 in accordo con la forma del propagatore per unax z X w g ln z w ln z w . (13 )22Una divergenza connessa all invarianza di SL(2,R) dell integrando può essere rimossa dividendoesso per il volume di questo gruppo. Si ottiene l ampiezza del canale-st scegliendoz , z 1, z 0 . (19)12NIndicando la funzione caratteristica di un simplesso che soddisfa le condizioni (18) e (19) attraverso0 ,1,z1...z Npossiamo scrivere in basso1NopenANk1 ,..., kNdzi0,1,z3,...,zN1V kiziVi 1 Vdzi0,1,z3,...,zN11mnzmz(15 )kmknnL estrazione del volume del gruppo SL(2,R)introducendo particelle virtuali a e b ( a, a e b, b )[oppure SL(2,C)] è fatta automaticamentebzcwz1w(20)e sostituendo il vertice (14) attraversoikV z c z : e : (21)ai punti z1, z21 and z 0 . L eq. (15 ) può essere riscritta adesso nella seguente formaNxz113...N 1N 1ik1 x z1ik2x z2ik N 1xz N 1 ik N x z Nc z1e c z2e ... e c zNe0i 3openA k ,..., kdz . (22)NNzziPrendendo in considerazione la funzione di correlazionec z1 c zN1c zNz1zN1z1zNzN1zN(23)si ottiene il ben noto risultato. Notiamo che abbiamo introdotto dei moduli nella (23) per l ordinedelle variabili z .La generalizzazione p-adica delle formule di sopra è semplice. Sia K l estensione quadratica diQ oppure un campo compatto localmente arbitrario con norma ... . Il corrispondente campopconformex z , dove z K , è definito attraverso il propagatoreKx z x w g log z w (24)2K13

ed il vertice come anche le ampiezze di stringa acquisiscono rispettivamente la forma (14) e (15),dove dz è adesso la misura di Haar su K . Invece di SL(2,C) qui abbiamo l invarianza SL(2,K).Per un ampiezza di stringa aperta p-adica possiamo considerare le formule (13 ) e (14) come unadefinizione di una teoria conforme, dove z, w Q e ... sarà sostituito dalla norma p-adica... . L ampiezza p-adica di N-punto è data dall eq. (15 ) dove z1...znindicherà uno dei possibilipanaloghi p-adici della funzione caratteristica sul simplesso (18), cioè,pANopenN ,k1kNV kiziz1,...,i 1,..., z dz . (25)NQ pNNi 1iQuesta espressione divergente ha un invarianza SL(2,Q p ) e dopo l estrazione del volume del gruppo2sullo strato elettronico di massa k 2 può essere rappresentata nella forma di Koba-NielseniNopenN ,k1,...,kNc c 1 c 0 V kizi0,1,z3,...,zN1N 1N 3Q pi 1i 3A dz (26)idovez ...z0,1,1 Nè adesso l analogo p-adico del simplesso finito definito dalle (18) e (19).L ampiezza di base per lo scattering dei quattro fermioni può essere data da1 2A4 Fk1u1; k2u2;k3u3;k4u4g dz0,1z V1/ 2V1/21 V1/ 2z V1/20 . (27)2Perfezionando il corrispondente calcolo, otteniamoA11 21 k2k31 k3k44Fk1u1;k2u2;k3u3;k4u4u u u u g dz z 1 z 120z z1 t stg 2 u u u u B 1 ,B ,1s . (28)22 22 2L ampiezza di transizione da due fermioni a due bosoni può essere scritta nella forma1 2A2 F 2 Bk1u1; k2u2;k33;k44g dz0,1z V1V01 V1/ 2z V1/ 20 . (29)2Perfezionando i calcoli con i corrispondenti correlatori ed imponendo le condizioni cinematichesullo stato elettronico di massa, si ottieneA2F2B1 21 k3k41 k2kg dz0,1z z 1 z321 z k u u k u u u k u . (30)3424143231z433k223u124u1124k33u2u1Analogamente, si può ottenere l ampiezza di scattering del quadri-bosone. Le formule ottenutesopra, (28) e (30), possono essere facilmente generalizzate al caso p-adico. Come nel caso della14

stringa bosonica, dobbiamo sostituire la norma standard con quella p-adica. In particolare,l ampiezza di stringa per il quadri-fermione p-adico può essere scritta come segue:1A 12st21 t / 2 1 s / 24 Fk1u1;k2u2;k3u3;k4u4g u1u2u3u4dz0,1z z 1 z z z .pppQ p(31)L esplicita forma dell eq. (31) dipende dalla forma scelta dell analogo p-adico della funzionecaratteristica0 ,1 ,z , dove indica una delle tre estensioni quadratiche. Per esempio, quandoepossiamo scrivere la seguente ampiezza p-adica10 ,1z Sign z Sign 1 Sign 1 z , (32)2Ast4F, p,u1u2u3u4t / 2 114gs / 22Bp~t / 2,t / 2 1s / 2 1s / 2Bpt / 2, ~B ~ , B , ~(33)pps / 21doveu i u kiep a bB , sono le funzioni beta p-adiche.Così,Ast4 F , p,u1u2u3u412g211p11ppu12u2pt / 2p1t / 2 1ps2p1 ps / 2 1tps / 2ps / 2p1s / 2 1pt2p1t / 2 1pspt / 2. (34)Questa ampiezza evidentemente contiene poli ai punti reali s 0 , t 0 , s 2 and t 2 , comeanche poli ai punti complessi.Perfezionando l integrazione nell eq. (31) sull intero campoche contiene anche un u-polo.Qp, si ottiene l espressione1 t st sA24F , pg Bp1 ,Bp,1(35)2 2 22 2Quindi, dall eq. (31), abbiamo che:15

st1 21 t / 2 1 s / 2A4Fk1u1; k2u2;k3u3;k4u4g u1u2u3u4dz0,1z z 1 z 1p2Q p1 t stg 2 B 1 ,,1spBp2 2 22 2zpz. (35b)pP-adiche, adeliche e stringhe-zeta. [17] [18] [19] [20] [21]Come nell ordinaria teoria di stringa, il punto di partenza delle stringhe p-adiche è la costruzionedelle corrispondenti ampiezze di scattering. Ricordiamo che l ordinaria ampiezza simmetricaincrociata di Veneziano può essere rappresentata nelle seguenti forme:Aa,bg2Rxxdxgaabbbbccccaag1 aa1 bba 1 b 1 2211i4222jg DX exp d X X djexp ik X2j 1, (1 4)ccdove 1, T 1/cioè a b c 1., ea s 1 s , b t , c u con la condizione s t u 8,2La generalizzazione p-adica dell espressione sopraARa 1b 12a, b g x 1 x dx ,è:Ap2pQ pa 1pb 1a, b g x 1 x dx , (5)pdove ... indica il valore assoluto p-adico. In questo caso soltanto il parametro del fogliopd universo di stringa x è trattato come una variabile p-adica, e tutte le altre quantità hanno la lorosolita (reale) valutazione.Adesso, ricordiamo che gli integrali di Gauss soddisfano la formula del prodotto adelicoR22ax bx d x ax bx d x 1pPQ ppp, a Q , b Q , (6)che consegue daQ vvax2bx dvxva2a12vv2b4a, v , 2,..., p.... (7)Questi integrali di Gauss si applicano nella valutazione degli integrali di cammino di Feynman16

x'',t''1 t''Kvx'',t'';x',t'vL q,q,t dt Dvq, (8)x',t'h t'per i kernels K vx'', t'';x',t'dell operatore di evoluzione nella meccanica quantistica adelica perLagrangiane quadratiche. Nel caso della Lagrangiana21 qL q,qq 1 ,2 4per il modello cosmologico di de Sitter si ottieneK x' ', T;x',0K x'',T;x',01, x '',x', Q , T Q , (9)p PpdoveKvx'',T;x',0v8T4Tv12v2T243x''x'2T4x''x'8T2. (10)Anche qui abbiamo il numero 24 che corrisponde alla funzione di Ramanujan che ha 24 modi ,che corrispondono alle vibrazioni fisiche di una stringa bosonica. Quindi, otteniamo la seguenteconnessione matematica:Kvx'',T;x',0v8T4Tv12v2T243x''x'2T4x''x'8T2cos txw'2x w'e dx0 cosh1424 antilogx2t2w't w'4e itw'log101142w'10742. (10b)La funzione d onda adelica per il più semplice stato fondamentale ha la formaAxxpPxpx , x Z, (11)0, x Q \ Zdove x 1 se x 1 e x 0 se x 1. Poichè questa funzione d onda è diversa da zeroppppsoltanto nei punti interi, essa può essere interpretata come distinzione dello spazio dovuto aglieffetti p-adici nell approccio adelico. Le funzioni Gel fand-Graev-Tate gamma e beta sono:aRxa1x dx1aa,paQ pxa 1ppxdpx11ppa 1a, (12)17

BBpRa11b 1a, b x x d x a b c , (13)a, b x x d x a b c , (14)Q pap11b 1pppppdove a , b,c C con la condizione a b c 1 e a è la funzione zeta di Riemann. Con unaregolarizzazione del prodotto delle funzioni gamma p-adiche si hanno i prodotti adelici:u u 1, pa bp Pp PB , B a,b 1, u 0,1,u a, b,c,(15)pdove a b c 1. Notiamo che B a, b e B pa, b sono le ampiezze standard simmetricheincrociate e p-adiche di Veneziano per lo scattering di due stringhe tachioniche aperte. Introducendoreali, p-adiche ed adeliche funzioni zeta comepa1aRa22exp x x d x1aa, (16)21 a 1 1x x dpx, 11 Q p pappAa a a a a , (18)p Pp1pRe a , (17)si ottiene1 AaAa , (19)doveAa può essere chiamata funzione zeta adelica. Abbiamo anche cheAaapPpaaaRexpx2xa1dx11p1Q pxpxa 1pd x . (19b)p2Notiamo che exp x e x sono funzioni analoghe nei casi reale e p-adico. L oscillatoreparmonico adelico è connesso con la funzione zeta di Riemann. Il più semplice stato di vuotodell oscillatore armonico adelico è la seguente funzione di Schwartz-Bruhat:Ax142x2 e x , (20)pPppla cui trasformazione di FourierAkAkxAx142k2 e k (21)pPppha la stessa forma dixA. La trasformazione di Mellin di xAè18

Aaaa 1 1a 1a2aAx x dAxx x d xx x dpx2R1 Q ppp P 1 p2a(22)e la stessa è perAk . Allora in accordo alla formula di Tate si ottiene (19).L esatta Lagrangiana fondamentale per l effettivo campo scalare che descrive la stringatachionica aperta p-adica èdove p è qualche numero primo,21 p 1 12p 1Lpp, (23)2gp122t2p1è il d Alambertiano D-dimensionale ed adottiamouna metrica con segnatura ... . Adesso, vogliamo mostrare un modello che incorpora leLagrangiane di stringhe p-adiche in un ristretto modo adelico. Prendiamo la seguente LagrangianaLn1112n 1CnL nL2 nn. (24)2n 1 n 1 n g 2 n 1 n 1 n 11Ricordiamo che la funzione zeta di Riemann è definita comes 1 1sp, s i , 1. (25)sn 1 n p 1Impiegando la solita espansione per la funzione logaritmica e la definizione (25) possiamoriscrivere (24) nella forma1 1L ln 1 , (26)2g 2 2dove 1.2agisce come un operatore pseudo-differenziale nel seguente modo:2x12Deixk2k2~k2 2 2dk , k k k 2 , (27)0~dove k eikxx dx è la trasformata di Fourier di x .Le dinamiche di questo campo sono incluse nella forma (pseudo)differenziale della funzione zetadi Riemann. Quando il d Alambertiano è un argomento della funzione zeta di Riemann noichiameremo tale stringa una stringa zeta . Conseguentemente, la sopra è una stringa zetascalare aperta. L equazione di moto per la stringa zeta è12k ~e (28)22Dixk02 2k k 2 2k dk1che ha una evidente soluzione 0 .19

Per il caso di soluzioni omogenee spazialmente dipendenti dal tempo, abbiamo la seguenteequazione di moto22tt12k02eik2t k ~t0 0k0dk0. (29)21 tRiguardo le stringhe zeta scalari aperte e chiuse, le equazioni di moto sono221Deixk2k2~kdkn1n n 12n, (30)421D2n n 1~2 11ixk kn n n2 n 1e k dk1 , (31)4n 12 n1e si può facilmente notare la soluzione banale 0 .MassimoMassimo[1] J ohn Derbyshire, "L ossessione dei numeri primi: Bernhard Riemann e il principale problemairrisolto della matematica ", Bollati Boringhieri.[2] J. B. Conrey, "The Riemann Hypothesis", Notices of the AMS, March 2003.[3] E. C. Titchmarsh, "The Theory of the Riemann Zeta-function", Oxford University Press 2003.[4] A. Ivic, "The Riemann Zeta-Function: Theory and Applications", Dover Publications Inc 2003.[5] Proposta di dimostrazione della variante Riemann di Lagarias Francesco Di Noto e MicheleNardelli sito ERATOSTENE[6] Rosario Turco et al. - Sulle spalle dei giganti - dedicato a Georg Friedrich Bernhard Riemann[7] Rosario Turco, Maria Colonnese - Proposta di dimostrazione alle Ipotesi di Riemann eCongettura molteplicità degli zeri[8] Rosario Turco, Maria Colonnese - Sulla ipotesi di Riemann - Disquisizioni su alcune formule - (x)come RH equivalente - Regione libera da zeri: gli zeri che contano- Alla ricerca degli zeri multipliinesistenti20

[9] Rosario Turco, Maria Colonnese, Michele Nardelli - On the Riemann Hypothesis. Formulasexplained - (x) as equivalent RH. Mathematical connections with Aurea section and some sectorsof String Theory[10] Rosario Turco, Maria Colonnese, Michele Nardelli, Giovanni Di Maria, Francesco Di Noto,Annarita Tulumello - The Landau s prime numbers and the Legendre s conjecture[11] Rosario Turco, Maria Colonnese, Michele Nardelli, Giovanni Di Maria, Francesco Di Noto, Annarita Tulumello -Goldbach, Twin Primes and Polignac equivalent RH[12] Rosario Turco, Maria Colonnese - Le dimensioni extra nascoste, la particella di Higgs ed il vuotoquantomeccanico, supersimmetria e teoria delle stringhe[13] Rosario Turco, Maria Colonnese - Teoria delle Stringhe e delle Brane[14] Rosario Turco, Maria Colonnese - Congettura di Yang e Mills o del gap di massa[15] Rosario Turco, Maria Colonnese - Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer Curve ellittiche Fattorizzazionediscreta Crittografia[16] I. Ya. Aref eva, Branko Dragovich, I. V. Volovich: p-Adic Superstrings CERN-TH. 5089/88 June 1988.[17] Branko Dragovich: Adelic strings and noncommutativity arXiv:hep-th/0105103v1- 11 May 2001.[18] Branko Dragovich: Adeles in Mathematical Physics arXiv:0707.3876v1 [hep-th] 26 Jul 2007.[19] Branko Dragovich: Zeta Strings arXiv:hep-th/0703008v1 1 Mar 2007.[20] Branko Dragovich: Zeta Nonlocal Scalar Fields arXiv:0804.4114v1 [hep-th] 25 Apr 2008.[21] Branko Dragovich: Some Lagrangians with Zeta Function Nonlocality arXiv:0805.0403 v1[hep-th] 4 May 2008.Siti e Blog varihttp://mathbuildingblock.blogspot.com/ ing. Rosario Turcodott. Michele Nardelli (articoli vari sulla teoria delle stringhe)http://xoomer.virgilio.it/stringtheory/http://blog.mrwebmaster.it/stringCNR SOLARhttp://150.146.3.132/gruppo ERATOSTENEhttp://www.gruppoeratostene.com21

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