Paradosso dei condensatori e dell'energia mancante - atuttoportale

Paradosso dei condensatori e dell’energia
mancante.
A cura di Eugenio Amitrano
Contenuto dell’articolo:
1. Introduzione . . . . . . . . 2
2. Descrizione del paradosso . . . . . . . 2
3. Dimostrazione . . . . . . . . 3
4. Conclusioni . . . . . . . . . 4

Paradosso dei condensatori e dell’energia mancante.
1. Introduzione
Il presente articolo vuole dimostrare matematicamente l’inesistenza del paradosso
dei condensatori e dell’energia mancante, che spesso gli studenti di elettronica
incontrano durante il loro percorso di studio.
2. Descrizione del paradosso
Dati due condensatori di pari capacità C
i
, il primo carico, del quale misuriamo ai
suoi capi una tensione V
i
e il secondo completamente scarico.
L’energia immagazzinata nel condensatore carico, corrisponde al lavoro svolto per
caricarlo, ed è data dalla seguente formula:
E
i
1
C
2
i
V
2
i
Cosa succede, quando colleghiamo i due condensatori fra loro?
Da semplici considerazioni fisiche, è facile verificare che:
1) La capacità raddoppia C
f
2 Ci
1
2
2) La tensione dimezza V f
Vi
Se proviamo a calcolare nuovamente l’energia, notiamo qualcosa che non quadra:
E
f
2
2
1 2 1 1 1 2
C
f
V
f
2
1
2
2
Ci
Vi
Ci
Vi
Ei
2
4
Visto che idealmente non ho considerato nessuna resistenza, la domanda è che fine
ha fatto metà dell’energia iniziale?
Molto spesso ci si accontenta del paradosso, ma la risposta corretta alla precedente
domanda è che l’energia mancante, in realtà si è dissipata.
Eugenio Amitrano 2

Paradosso dei condensatori e dell’energia mancante.
3. Dimostrazione
Consideriamo il seguente circuito.
La potenza elettrica per il calcolo dell’energia dissipata da una resistenza elettrica,
2
istante per istante, è data dalla formula Pt
R I t
da cui l’energia dissipata è
t
t
2
W Px
dx R I x
dx .
0
0
(1) t 2
W R I x
0
Nel nostro caso reale la corrente ë variabile nel tempo ed è data dalla relazione:
dx
I
t
dQ(
t)
t
d V
i
C
f
1
e
t
t
RC
f
V C
i
f
d1
e
t
t
RC
f
V C
i
f
t
RC
e
RC
f
f
Vi
e
R
t
RC
f
V
2t
i RCi
(2) It
e
Considerando che con la presenza della resistenza risulta
R
1
C f
C
2
i
Sostituendo la relazione (2) nella relazione (1), otteniamo:
W
t
0
R I
2
x
dx
t
0
Vi
R e
R
2x
RC
i
2
2
Vi
dx
R
t
0
e
4x
RC
i
2
Vi
dx
R
RC
4
i
e
4x
RC
i
t
0
1 CiVi
4
2
1
e
4t
RC
i
(3)
1
W CiVi
4
e
2 1
4t
RC i
Non possiamo calcolare l’intensità di corrente e di conseguenza nemmeno l’energia
dissipata per valori di R 0, ma possiamo farlo nel suo intorno.
Osserviamo cosa succede quando i valori di R 0:
Eugenio Amitrano 3

Paradosso dei condensatori e dell’energia mancante.
4t
1
2 RC 1
W lim . Ci
V
i
1
i
e Ci
V
R0 4
4
2
i
1
Ci V i
.
4
Quindi l’energia dissipata è sempre
2
Come Volevasi Dimostrare.
4. Conclusioni
La dimostrazione del paradosso è di natura puramente matematica. Non sono stati
presi in esame i reali effetti fisici e comportamenti del fenomeno.
Eugenio Amitrano 4