Lezione n.1 - Università degli Studi della Basilicata

Introduzione alla modellazione
dinamica in (micro)biologia
Lezione 1
Prof. Eugenio Parente
Dipartimento di Biologia- Università della Basilicata
19/01/2007
Università della Basilicata
Dipartimento di Biologia – Laboratorio di Microbiologia industriale
Questa presentazione è stata creata da Eugenio Parente, 2007. Il materiale è coperto da licenza
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Questo è un riassunto in linguaggio accessibile a tutti del Codice Legale (la licenza integrale).
1

In questa presentazione:
• classificazione dei modelli
• importanza della modellazione
• i componenti dei modelli dinamici
• i principi della modellazione dinamica
• confronto fra modelli e realtà
• esempi di modellazione: confronto fra
modelli empirici e modelli dinamici della
crescita microbica
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I modelli come rappresentazioni
della realtà
Fenomeno biologico
Modello logico-verbale
Modello (icono)grafico
Modello matematico
Modello fisico
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Un modello logico-verbale descrive verbalmente un fenomeno e le relazioni
principali fra le variabili di stato ma non fornisce dettagli sulle relazioni
numeriche. Esempio: in assenza di limitazioni i microrganismi crescono in
maniera esponenziale...
Un modello iconografico usa una rappresentazione ad icone per mostrare le
relazioni fra le variabili più importanti in un fenomeno: in questa lezione
verranno mostrati alcuni diagrammi di flusso di modelli
Un modello fisico usa analogie con leggi della chimica o della fisica per
rappresentare il fenomeno. Esempio: per rappresentare la crescita esponenziale
di una popolazione microbica si può rappresentare il fenomeno della crescita
come una reazione autocatalitica di ordine 1.
Un modello matematico traduce il modello fisico in un sistema di equazioni
(generalmente un sistema di equazioni differenziali).
3

Tipi di modelli
• modelli statici: descrivono lo stato delle
variabili del sistema in un dato momento del
tempo
• modelli statici comparativi: comparano lo
stato delle variabili del sistema in più
momenti nel tempo
• modelli dinamici: descrivono la dinamica
del sistema nel tempo
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Un modello statico.
• Rappresenta lo stato del sistema in un dato momento.
• Può essere rappresentato sotto forma di tabella o di
grafico
Biomass and residual glucose at 24 h
25
20
X, S (g/L)
15
10
X
S
5
0
A B C D
Sample
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I modelli statici sono di scarsa utilità se non nel descrivere lo stato del sistema
in un dato momento. Non ci dicono nulla di quanto è accaduto nel passato o di
quanto accadrà nel futuro, né ci dicono nulla dei fenomeni che hanno portato
ad un determinato stato del sistema.
5

Un modello statico comparativo.
• Rappresenta lo stato del sistema in vari istanti nel tempo.
• Può essere rappresentato sotto forma di tabella o di grafico.
• Le linee che uniscono i punti sono il risultato di un semplice
processo di interpolazione
• Anche se conosciamo l’andamento del processo nel tempo non
ne conosciamo la dinamica
biomass vs time
12
10
8
x (g/L)
6
4
x
2
0
0 2 4 6 8 10
time (h)
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Un modello dinamico
• Rappresenta lo stato del sistema in vari istanti nel tempo.
• Può essere rappresentato sotto forma di tabella o di grafico.
• Conosciamo lo stato del sistema in ogni istante
• Il modello rappresenta la dinamica del fenomeno sotto forma di
un sistema di equazioni differenziali
Run 1: 500 steps in 0 seconds
10
1
9
0.9
8
7
6
x:1
rx:1
logx:1
mu:1
0.8
0.7
0.6
5
0.5
4
0.4
3
0.3
2
0.2
1
0.1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
TIME
0
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Modelli empirici e modelli
meccanicistici
Un modello empirico è costituito da un’espressione
matematica adatta a fornire una ricostruzione del
fenomeno:
• i suoi parametri non hanno necessariamente un
significato biologico;
• permette l’interpolazione e la ricostruzione dei dati
sperimentali ma non aumenta la comprensione del
fenomeno
• spesso è poco applicabile al di fuori dell’intervallo
sperimentale per il quale è stato sviluppato
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I modelli empirici vengono talvolta definiti anche modelli statistici mentre
quelli meccanicistici vengono definiti modelli sistematici
8

Modelli empirici e modelli
meccanicistici
Un modello meccanicistico è costituito da
un’espressione matematica derivata (anche per analogia)
da leggi fisiche o chimiche:
• i suoi parametri hanno un significato biologico;
• oltre a permettere l’interpolazione e la ricostruzione dei
dati sperimentali aumenta la comprensione del fenomeno
• i suoi risultati sono generalmente più semplici da
estrapolare
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Perché costruire dei modelli?
1. La modellazione migliora la
comprensione dei processi dinamici.
Nella formulazione del modello si è spinti
a considerare tutte le relazioni di causaeffetto
e le relazioni complesse fra le
variabili implicate. Confrontando le
predizioni del modello con la realtà si è
portati a valutare in quali aspetti il
modello sia sbagliato o incompleto e come
sia possibile migliorarlo
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Perché costruire dei modelli?
2. La modellazione è utile per la
progettazione di esperimenti.
L’analisi del modello permette di
individuare i parametri più importanti, per
i quali sono necessari più esperimenti per
ottenere valori affidabili; d’altra parte,
l’analisi di sensitività permette di
individuare quei parametri che hanno poco
effetto sul modello e che quindi possono
essere trascurati
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Perché costruire dei modelli?
3. La modellazione può essere utilizzata
per scopi predittivi.
Una volta che un modello è stato validato
può essere utilizzato per scopi predittivi in
una varietà di condizioni e può essere
persino utilizzato per gestire complessi
algoritmi di controllo. Può inoltre essere
utilizzato per progettare un processo
(termico, fermentativo, etc.).
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Perché costruire dei modelli?
4. I modelli dinamici possono essere utilizzati
nell’ottimizzazione di processo.
L’ottimizzazione in genere implica la
valutazione dell’effetto di due o più parametri di
input su delle variabili di output che descrivono
la qualità del processo o i costi. L’uso dei
modelli consente di ridurre significativamente il
numero degli esperimenti necessari per
l’ottimizzazione di un processo
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Perché costruire dei modelli?
5. I modelli possono essere utilizzati per
scopi didattici.
Esercitazioni pratiche su processi biologici
dinamici sono costose e, a volte, lente; i
modelli possono permettere di simulare un
gran numero di processi permettendo agli
studenti di valutare l’effetto della
variazione di parametri importanti sul
processo.
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Componenti dei modelli
I modelli dinamici sono formulati sotto forma di
sistemi di equazioni differenziali che vengono in
genere risolti numericamente. Sono componenti del
sistema:
• le variabili di stato (serbatoi)
• le variabili di controllo (flussi)
• i convertitori e le costanti
Per la risoluzione del modello sono inoltre necessari
altri parametri, come i valori iniziali delle variabili di
stato e l’intervallo di integrazione
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Le variabili di stato
Sono indicatori dello stato istantaneo del sistema.
Sono le variabili sulle quali vengono eseguiti tutti gli
altri calcoli del modello. Possono essere distinte in:
• variabili conservate: rappresentano i “serbatoi” che
vengono svuotati o riempiti dalle variabili di controllo
(flussi); le variabili conservate non influenzano i flussi
(esempio: il livello di acqua in un serbatoio il cui tasso
di riempimento è indipendente dal flusso);
• variabili non conservate: sono “serbatoi” il cui
tasso di riempimento o svuotamento dipende dal
“livello” del serbatoio (esempio: temperatura di un
corpo che si raffredda)
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E’ sulle variabili di stato che il processo di integrazione agisce, aggiornandone
il valore da un intervallo di tempo a quello successivo.
Un altro esempio di variabile non conservata è la concentrazione: la
concentrazione di una sostanza dipende dalla massa e dal volume. Usare
concentrazione e massa è equivalente solo se il volume è costante.
16

Le variabili di controllo (flussi)
Sono le variabili che determinano il cambiamento
delle variabili di stato. Le variabili di controllo
agiscono sulle variabili di stato ad ogni intervallo di
tempo facendone cambiare il valore. Possono essere:
• unidirezionali: svuotano o riempiono i “serbatoi”;
• bidirezionali: possono agire in entrambe le direzioni
Esempio: il flusso di acqua (variabile di controllo) che
cambia il volume di acqua (variabile di stato) in un
serbatoio)
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Le variabili di controllo possono essere rappresentate con:
equazioni differenziali
equazioni a differenze finite
elementi discreti
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Convertitori e costanti
I convertitori sono delle equazioni che accettano
come input uno o più parametri e li trasformano. I
parametri in input possono essere costanti, variabili di
stato o di controllo.
Una costante è un convertitore che assegna un valore
fisso ad una variabile.
I convertitori possono essere utilizzati per costruire
anelli di retroazione (feedback) positivi o negativi.
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Relazioni non lineari fra le variabili possono causare effetti complessi e
talvolta determinare andamenti caotici.
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I parametri di integrazione
Per integrare numericamente il modello è necessario
indicare:
1. il metodo di integrazione
2. il valore iniziale delle variabili di stato (inizializzazione)
3. il tempo iniziale
4. il tempo finale
5. il passo di integrazione
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Solo alcuni modelli piuttosto semplici possono essere risolti analiticamente; in
generale è più semplice usare metodi numerici.
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Un semplice modello dinamico:
il riempimento di un serbatoio
• il modello flussocostante rappresenta il
riempimento di un serbatoio a flusso
costante: ha la funzione di illustrare i
principi dell’uso di un bilancio di massa e
dell’uso di semplici equazioni differenziali
• il modello flussovariabile introduce l’uso
di convertitori per rendere il modello più
aderente alla realtà
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Usa i modelli flussocostante e flussovariabile, esplorando le note e eseguendo
gli esercizi. Entrambi i modelli sono derivati da Dunn, IJ, Heinzle, E, Ingham,
I, Prenosil, JE 1992 Biological reaction engineering. VCH
20

Principi della modellazione dinamica
1. Definisci il problema e gli obiettivi del modello:
a. quali sono le domande cui il modello deve
rispondere?
b. qual è lo scopo della modellazione?
- predizione
- ottimizzazione
- controllo di processo
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Un modello dinamico può essere costruito mediante 10 passi, che vanno
ripetuti in modo iterativo, come proposto da Hannon e Ruth. La prima fase è
abbastanza ovvia ed è anche la più importante. La struttura del modello può
variare notevolmente anche in funzione degli scopi della modellazione
21

Principi della modellazione dinamica
2. Seleziona le variabili di stato (serbatoi):
• Quali sono le condizioni di non-negatività delle
variabili di stato?
• Quali sono le variabili conservate? Quali quelle non
conservate?
• Quante variabili di stato sono realmente necessarie?
• Quali sono le unità di misura delle variabili di stato?
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Il numero delle variabili di stato influenza fortemente la complessità di un
modello. Inizialmente è opportuno limitarle al minimo indispensabile.
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Principi della modellazione dinamica
3. Seleziona le variabili di controllo (flussi):
• Qual è la direzione del flusso?
• E’ necessario includere effetti ritardati nelle variabili
di controllo o nelle variabili che le influenzano?
• Esistono delle analogie che è possibile applicare?
• Quali sono le unità di misura delle variabili di
controllo?
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Il principio di analogia è applicato frequentemente nella modellazione. Un
esempio ovvio è l’equazione di Monod, che descrive l’effetto della
concentrazione di un substrato limitante sulla velocità specifica di crescita di
un microrganismo: l’equazione è derivata per analogia dall’equazione di
Michaelis e Menten, che si basa invece su principi chimici e fisici
meccanicistici nel descrivere l’effetto della concentrazione di substrato sulla
velocità iniziale di una reazione enzimatica. L’applicabilità dell’analogia è
abbastanza ovvia in questo caso. D’altra parte la legge di azione di massa è
applicata in moltissimi campi: dall’economia, all’ecologia, all’epidemiologia.
Anche per le variabili di controllo è opportuno incrementare la complessità del
modello gradualmente.
23

Principi della modellazione dinamica
4. Seleziona i convertitori:
• Quali variabili influenzano?
• Quali sono costanti e quali sono funzioni di altre
variabili?
• E’ necessario introdurre degli effetti ritardati?
• Quali sono le unità di misura dei convertitori?
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Principi della modellazione dinamica
5. Usa l’analogia per formulare un modello basato
su leggi fisiche, chimiche, biologiche, economiche:
• controlla i bilanci di massa, energia, carica, etc.
• verifica che le unità di misura delle variabili siano
coerenti
• verifica la possibilità che i calcoli portino a risultati
irrealistici o ad errori (NAN, …)
• costruisci il sistema di equazioni differenziali
• individua i valori iniziali delle variabili di stato
• documenta accuratamente il modello
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Sono necessarie tante equazioni quante sono le variabili di stato per poter
risolvere il modello. Se si prevede anche di dover stimare i parametri del
modello utilizzando dei dati reali è inoltre necessario avere un’equazione per
ciascuna delle incognite del sistema.
Il raggiungimento di condizioni irrealistiche (per esempio la biomassa
microbica non può avere valori negativi…) o l’ottenimento di errori di calcolo
(divisione per 0, radice quadrata di numeri negativi) può essere evitata
utilizzando espressione condizionali (equazioni LIMIT in Madonna, iF…
THEN … ELSE).
La documentazione del modello, in tutti i suoi aspetti (assunzioni, unità di
misura, variabili di stato, di controllo, convertitori, principi di base, condizioni
inziali…) è molto importante per poter ricostruire i passaggi che hanno portato
ad un determinato modello e permettere ad altri utenti di comprenderlo e
modificarlo.
25

Principi della modellazione dinamica
6. Scegli l’orizzonte spaziale e temporale del
modello:
• scegli l’intervallo di integrazione sulla base della
dinamica del sistema (quanto velocemente cambiano
le variabili?)
• scegli un metodo di integrazione
• costruisci un grafico e tenta di prevedere
l’andamento delle variabili prima di far girare il
modello
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In molti casi, soprattutto per sistemi in flusso, è importante costruire i bilanci
(anche in termini di orizzonti temporali e spaziali) per zone (o regioni) che
possono essere assunte come omogenee.
Il metodo di integrazione può dipendere dalla complessità del modello, dalla
precisione desiderata ma anche dai tipi di flussi utilizzati (RK2 e RK4 non
danno incrementi di precisione per flussi descritti da elementi discreti). I
metodi a passo di integrazione fisso possono dare errori clamorosi nella
soluzione di alcuni problemi.
26

Principi della modellazione dinamica
7. Fai girare il modello:
• i risultati sono ragionevoli?
• qualcuna delle domande iniziali è rimasta senza
risposta?
• cambiando l’intervallo di integrazione o il metodo
d’integrazione cambia qualcosa?
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L’esercizio di prevedere l’andamento delle variabili di stato prima di far girare
effettivamente il modello è importante perché permette spesso di individuare
errori nelle proprie assunzioni o condizioni irrealistiche generate dal modello.
Non sempre è facile anticipare il comportamento di un modello. E’
fondamentale metterlo alla prova in un gran numero di condizioni diverse per
essere sicuri della sua robustezza.
27

Principi della modellazione dinamica
8. Conduci un’analisi di sensitività sui parametri e
sui valori iniziali del modello:
• esistono valori che causano risultati irragionevoli?
• quali sono i parametri o i valori iniziali che hanno
un effetto maggiore?
• è necessario cambiare qualcosa?
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Un’analisi di sensitività può essere condotta in molti modi diversi in Madonna.
Per esempio con un Sensitivity run, o batch run o parameter plot.
Nel primo caso viene prodotto il grafico della sensitività per le variabili che si
stanno analizzando; in pratica il parametro (o i parametri) scelti vengono
variati di una quantità molto piccola (vengono portati a p+0.001*p, dove p è il
valore iniziale del parametro e viene mostrata la sensititità in funzione del
tempo come (V1-V2)/0.001. Se si variano più parametri viene prodotto un
nuovo run per ogni combianzione di parametri.
Nel secondo caso viene condotto un run per ogni valore del parametro. Nel
terzo caso è possibile plottare il valore iniziale, finale, medio etc. della
variabile che si vuole analizzare in funzione del parametro.
28

Principi della modellazione dinamica
9. Confronta i risultati del modello con i risultati
sperimentali:
• le stime dei parametri sono corrette?
• i risultati del modello sono in accordo con i risultati
sperimentali?
• è necessario cambiare qualcosa?
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In Madonna è possibile usare l’opzione curve fit. Molte delle analisi statistiche
andrebbero condotte dopo aver esportato i dati sperimentali e quelli calcolati in
un software statistico per poter calcolare un’analisi dei residui e altre statistiche
importanti. Potrebbe essere opportuno confrontare modelli diversi
29

Principi della modellazione dinamica
10. Ripeti il processo dall’inizio:
• è necessario rendere il modello più complesso?
• è necessario cambiare i parametri?
• è necessario cambiare la struttura del modello?
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Il processo è necessariamente iterativo e finisce per rappresentare la particolare
“visione” del fenomeno del modellatore. Lavorare in squadra può fornire
risultati migliori, integrando diversi punti di vista.
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Confermare i modelli
1. un modello può fornire risultati erronei:
• perché è sbagliato
• perché è insufficiente o troppo semplicistico
• perché le condizioni reali in sistemi aperti sono poco
prevedibili
2. un modello può essere confermato:
• usando solo una parte dei dati sperimentali per stimarne i
parametri e il resto per verificare il modello
• sviluppando il modello con un set di dati sperimentali e
utilizzandone uno completamente nuovo per verificarlo
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Nessun modello è unico: il modello riflette sempre le idee e le percezioni di chi
lo ha creato. E’ sempre opportuno confrontare il modello con altri modelli
alternativi ed analizzare le differenze fra valori predetti e sperimentali per
diversi parametri e a diversi tempi.
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La curva di crescita dei
microrganismi
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Attenzione questa figura è tratta da Madigan et al. Microbiologia ed è coperta
da copyright
La curva di crescita dei microrganismi in una coltura batch è tipicamente
rappresentata in un grafico semilogaritmico (vedi dopo) che mostra la
variazione del logaritmo del numero di cellule vive o morte, della biomassa
o di qualche sua componente in funzione del tempo di incubazione.
In una coltura batch (cioè in una coltura in cui una popolazione microbica
venga inoculata in un determinato substrato e lasciata crescere fino
all’esaurimento della crescita senza ulteriori aggiunte o sottrazioni di
substrato) i microrganismi attraversano diverse fasi:
a. Fase lag o di adattamento. La velocità specifica di crescita misurata sulla
base del numero di cellule è 0, anche se la biomassa può diminuire o
aumentare lievemente. La cellula si adatta al nuovo ambiente medinate la
sintesi di enzimi, l’aggiustamento del numero di ribosomi per unità di
massa, etc.
b. Fase di accellerazione: la velocità specifica di crescita aumenta fino a
raggiungere il massimo
c. Fase log o esponenziale; la velocità specifica di crescita è costante, la
crescita è bilanciata, il numero di cellule, la biomassa e la velocità assoluta
di crescita aumentano in modo esponenziale
d. Fase di decelerazione: la velocità di crescita specifica diminuisce in seguito
ad una varietà di fenomeni (esaurimento dei nutrienti, accumulo di sostanze
di rifuito, creazione di un ambiente ostile, etc.)
e. Fase stazionaria: la velocità specifica di crescita è 0, ma la cellula può
subire adattamenti anche otevoli della sua composizione per prepararsi a
resistere a condizioni prolungate di starvation o di stress
32

La modellazione della crescita
microbica: modelli empirici primari
L’equazione logistica modificata:
4 N 1
A
ln
2
/ =
3 N 0 & , 4 . µ
)#
0 max
% 1+
exp
*
.( 5 - ) + 2
'"
$ + A
t
(!
L’equazione di Gompertz modificata:
4
ln
2
3
N
N
0
1 & , µ
/ = A.
exp%
- exp
*
0 $ +
. e
A
max
( 5 - t)
)#
+ 1
'"
(!
Zwietering MH, Jongenburger I, Rombouts FM, van’t Riet K (1990) Appl.
Envinron. Microbiol. 56: 1875-1881
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L’equazione logistica modificata e l’equazione di Gompertz modificata sono
due funzioni che producono curve sigmoidali.
A = asintoto, popolazione massima
µmax= pendenza massima
lag= intercetta con l’asse delle x della tangente al punto di flesso
Entrambi i modelli sono riparametrizzati per mettere in evidenza dei parametri
importanti per descrivere la crescita microbica e per eliminare alcune
correlazioni fra i parametri originali dei modelli che ne renderebbero
impossibile una stima indipendente. Per esempio in entrambi i modelli i valori
della velocità specifica di crescita massima sono fortemente correlati con il
valore iniziale della popolazione.
I modelli sono qui espressi in forma esplicita, anche se possono essere espressi
come equazioni differenziali. Nella forma differenziale il legame di
dipendenza fra variabili di stato e parametri è molto più evidente.
33

I problemi dei modelli empirici primari
1. sono modelli non strutturati: la cellula microbica
viene assunta come un’entità costante; in realtà la
composizione e lo stato fisiologico della cellula
cambiano durante la crescita;
2. l’ambiente esterno viene assunto come costante e
in genere si assume che i nutrienti non siano
limitanti; in realtà:
a. solo alcune condizioni esterne sono costanti;
b. alcune condizioni esterne possono variare
significativamente anche come risultato della
crescita
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In linea di massima i modelli empirici primari funzionano piuttosto bene e
sono stati molto utilizzati per descrivere la crescita di microrganismi in
particolare negli alimenti, anche se si discostano notevolmente dalla realtà.
Infatti se si analizzano il modello logistico e il modello di Gompertz si può
osservare facilmente che µ non è costante, mentre la teoria prevede che lo sia
almento per un breve intervallo. Inoltre il modello logistico produce una
sigmoide assolutamente simmetrica, difficile da ritrovare in realtà.
34

Un modello dinamico della crescita microbica
1. la crescita microbica può essere descritta come un
processo autocatalitico con una velocità specifica µ
variabile. Il numero di cellule x (o la biomassa) cresce x 0
e x max mentre t cresce da 0 a ∞.
dx
dt
= µ( x)!
x
Baranyi J, Roberts TA, McClure P (1993) Food Microbiol. 10:43-59
Baranyi J, Roberts TA (1994) Int. J. Food Microbiol. 23:277-294
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Si tratta di un modello non-autonomo: la variabile di stato dipende da se stessa
mu di x è differenziabile in tutto l’intervallo e la sua derivata è negativa
35

Un modello dinamico della crescita microbica
(Baranyi et al. 1993, Baranyi & Roberts 1994)
2. se le cellule vengono trasferite da un ambiente E 1 ad un
ambiente E 2 esse cresceranno inizialmente ad una
velocità inferiore a quella possibile in E 2 a causa della
necessità di adattarsi alla nuova condizione
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dx
dt
= "( t)
! µ ( x)
! x
dove α(t) varia fra 0 e 1 e dipende da E 1 ed E 2 e dallo
stato dell’inoculo e costituisce una funzione di
aggiustamento fra i due ambienti. µ(x) dipende solo da
E 2 .
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Un modello dinamico della crescita microbica
(Baranyi et al. 1993, Baranyi & Roberts 1994)
3. assumiamo che l’adattamento dipenda da un composto
essenziale, P, che questa dipendenza abbia una cinetica di
Michaelis e Menten, e che P si accumuli con una cinetica
di primo ordine con una costante di velocità specifica ν
dipende da E 2
P(
t)
( t)
=
K
P
+ P(
t)
dP
! =" ! P
dt
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Dipartimento di Biologia – Laboratorio di Microbiologia industriale
questa è l’espressione più generale perché ammette che l’ambiente E2 possa
cambiare nel tempo; si ammette che Kp sia indipendente dall’ambiente. Nel
lavoro del 1993 alfa di t viene stimato come t^n/(lambda^n+t^n) con n=4.
Ovviamente quando P(t) è molto grande rispetto a Kp, alfa(t) è praticamente 1
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Un modello dinamico della crescita microbica
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4. lo stato fisiologico della cellula può essere definito
dalla quantità:
con dei semplici
P(
t)
q( t)
= riarrangiamenti si può
dimostrare che:
K P
!(
t)
=
K
P(
t)
=
+ P(
t)
K
K
P
P(
t)
K
P
P(
t)
+
K
P
q(
t)
=
1 q(
t)
P P +
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Questa è l’espressione più generale perché ammette che l’ambiente E2 possa
cambiare nel tempo
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5. dato che
q
q(0)
q(0)
+ e
! t
( t)
= q(0)"
e allora: "(
t ) =
#!
t
se l’ambiente è costante, allora ν è costante ed è possibile
definire:
* 1 '
ln(
1 +
q(0)
%
) &
!
$ ln
!
("
)
h
!
0 0
# =
= =
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La prima espressione deriva dall’integrazione di dP/dt=ni*P; q(t) tende
all’infinito ma questo è irrilevante; volendo lo si può limitare in funzione di
qualche fattore esterno; quello che conta è che q 0 esprime lo stato della cellula
all’inizio dell’incubazione (se è basso il lag sarà lungo) e νι la velocità della
transizione dalla fase lag all’esponenziale.
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6. µ(x) può assumere diverse forme:
a. curve di Richards
(m=1 logistica)
µ
( x)
& ,
= µ $ -
*
$
1 max
% +
x
x
max
)
'
(
m
#
!
!"
b. equazione di
Monod
µ
( x)
= µ max
K
S
S +
S
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7. assumendo un ambiente costante e µ(x) definito da
una curva di Richards il modello può essere integrato
per stimare y=ln(x):
m(
µ max ( A(
t)
1 & e ' 1#
y( t)
= y0 + µ
max
A(
t)
' ln$
1+
m(
ymax
' y0
) !
m % e "
con:
A(
t)
= t
'(t
1 & e + q
+ ln
$
( % 1+
q0
0
#
!
"
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Nel lavoro del 1994 q0 viene stimato a 0.0425; ni dovrebbe essere dello stesso
ordine di mumax.
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Come fare per costruire ed usare un modello?
I software più diffusi per la modellazione dinamica:
(Stella, Berkeley’s Madonna) consentono di:
• costruire il modello sotto forma di icone o
direttamente sotto forma di sistema di equazioni
differenziali
• integrare le equazioni e produrre grafici e tabelle
• eseguire analisi di sensitività o valutare l’effetto dei
singoli parametri
• stimare i parametri del modello usando dati
sperimentali
• e molto altro ancora …
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Questa presentazione è stata creata da Eugenio
Parente, 2006. Il materiale è coperto da licenza Creative
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