МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ ТРАЕКТОРИИ ВЫВЕДЕНИЯ КА С ...

Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà, ìåõàíèêà, ôèçèêà
ÓÄÊ 629.78.075 © Ì.Ñ. ÊÎÍÑÒÀÍÒÈÍÎÂ, ÌÈÍ ÒÕÅÉÍ, 2009
ÅÒÎÄ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÈ ÂÛÂÅÄÅÍÈß ÊÀ
ÝËÅÊÒÐÎÐÀÊÅÒÍÎÉ ÄÂÈÃÀÒÅËÜÍÎÉ ÓÑÒÀÍÎÂÊÎÉ ÍÀ ÃÑÎ
Ìèõàèë Ñåðãååâè÷ ÊÎÍÑÒÀÍÒÈÍΠðîäèëñÿ â 1939 ã. â ãîðîäå Ìîñêâå. Ïðîôåññîð ÌÀÈ. Äîêòîð òåõíè÷åñêèõ
íàóê, ïðîôåññîð. Îñíîâíûå íàó÷íûå èíòåðåñû — â îáëàñòè ìåõàíèêè êîñìè÷åñêîãî ïîëåòà, îïòèìàëüíîãî
óïðàâëåíèÿ. Àâòîð áîëåå 100 íàó÷íûõ ðàáîò. E-mail: mkonst@bk.ru
Mikhail S. KONSTANTINOV, D.Sci, was born in 1939, in Moscow. He is a Professor at the MAI. His research interests
are in spaceflight mechanics and optimal control. He has published over 100 technical papers. E-mail: mkonst@bk.ru
Ìèí ÒÕÅÉÍ ðîäèëñÿ â 1977 ã. â Ìüÿíìå. Àñïèðàíò ÌÀÈ. Îñíîâíûå íàó÷íûå èíòåðåñû — â îáëàñòè ìåõàíèêè
êîñìè÷åñêîãî ïîëåòà, îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. E-mail: minnntheino@gmail.com
Min THEIN was born in 1977, in Myanmar. He is a PhD student at the MAI. His research interests are in spaceflight
mechanics and optimal control. E-mail: minnntheino@gmail.com
Àíàëèçèðóåòñÿ ìåòîä îïòèìèçàöèè òðàåêòîðèè âûâåäåíèÿ êîñìè÷åñêèõ àïïàðàòîâ (ÊÀ) íà ãåîñòàöèîíàðíóþ îðèòó
(ÃÑÎ) ñ äâèãàòåëüíîé óñòàíîâêîé ìàëîé òÿãè. Îñíîâíûå óñèëèÿ íàïðàâëåíû íà ðåãóëÿðèçàöèþ ïðîöåññà ðåøåíèÿ
ðàåâûõ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. Ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà ìàêñèìóìà Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà ïîçâîëÿåò ñâåñòè çàäà÷ó
ïòèìèçàöèè òðàåêòîðèè ïåðåë¸òà ÊÀ ñ ýëåêòðîðàêåòíîé äâèãàòåëüíîé óñòàíîâêîé (ÝÐÄÓ) ê êðàåâîé çàäà÷å äëÿ ñèòåìû
îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ñóòü êðàåâîé çàäà÷è — ðåøåíèå íåëèíåéíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé. Â
àñòîÿùåé ðàáîòå äëÿ ðåøåíèÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé èñïîëüçóåòñÿ ãèáðèäíûé ìåòîä, êîòîðûé îáúåäèíÿåò
åâåíáåðã—Ìàðêâàðäò-ìåòîä ñ ìîäèôèöèðîâàííûì ìåòîäîì Íüþòîíà. Ñðàâíèâàåòñÿ ýôôåêòèâíîñòü ýòîãî ìåòîäà è
åòîäà ïðîäîëæåíèÿ ïî ïàðàìåòðó, êîòîðûé ïðåäëîæåí â ðÿäå ðàáîò Â.Ã. Ïåòóõîâà. Ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû ÷èñëåíîãî
àíàëèçà òðàåêòîðèè âûâåäåíèÿ êîñìè÷åñêîãî àïïàðàòà íà ÃÑÎ è ýôôåêòèâíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ÝÐÄÓ äëÿ òàêîãî
îñìè÷åñêîãî ìàíåâðà. Êàê êðèòåðèé îïòèìèçàöèè ðàññìàòðèâàåòñÿ èëè âðåìÿ âûïîëíåíèÿ êîñìè÷åñêîãî ìàíåâðà (îíî
èíèìèçèðóåòñÿ, çàäà÷à áûñòðîäåéñòâèÿ), èëè êîíå÷íàÿ ìàññà ÊÀ (îíà ìàêñèìèçèðóåòñÿ ïðè ôèêñèðîâàííîì âðåìåíè
ûâåäåíèÿ).
This paper describes the trajectory optimization method for spacecraft insertion into geostationary orbit (GSO) with the use of
lectric propulsion. Special efforts are made to provide regularization for the solving of the boundary value problems of optimal
ontrol. By applying the Pontryagin’s maximum principle, the low-thrust trajectory optimization problem is reduced to the boundary
alue problem for the ordinary differential equations system. The core sense of the boundary value problem is the solution of the
on-linear system of equations. To solve the non-linear system of equations, we offer to use the hybrid method which combines the
evenberg — Markquardt method with the quasi-Newton method. We compare the effectiveness of this method with the use of the
ontinuation method on parameter which offered in the works by V.G. Petukhov. The numerical results of the spacecraft’s trajectory
nto GSO and the effectiveness of the electric propulsion application for such insertion are presented. Two factors are considered as
he criteria of optimization — the time of flight (which is minimized for minimum-time transfer problem) and terminal mass of the
pacecraft (which is maximized for fixed-time transfer problem).
Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîñìè÷åñêèé àïïàðàò, ãåîñòàöèîíàðíàÿ îðáèòà, êðàåâàÿ çàäà÷à, ýëåêòðîðàêåòíàÿ äâèãàòåëüàÿ
óñòàíîâêà.
Key words: spacecraft, geostationary orbit, boundary value problem, electric propulsion.
ïèñîê ñîêðàùåíèé
ÊÀ — êîñìè÷åñêèé àïïàðàò
ÝÐÄÓ — ýëåêòðîðàêåòíàÿ äâèãàòåëüíàÿ óñòàíîâà
ÃÑÎ — ãåîñòàöèîíàðíàÿ îðáèòà
. Ââåäåíèå
 íàñòîÿùåå âðåìÿ âûâåäåíèå êîñìè÷åñêîãî
ïïàðàòà íà ãåîñòàöèîíàðíóþ îðáèòó — îäíà èç
âàæíûõ ïðîáëåì ñîâðåìåííîé êîñìîíàâòèêè. Â
íàñòîÿùåé ðàáîòå àíàëèçèðóåòñÿ ìåòîä îïòèìèçàöèè
òðàåêòîðèè âûâåäåíèÿ ÊÀ ñ ýëåêòðîðàêåòíîé
äâèãàòåëüíîé óñòàíîâêîé íà ãåîñòàöèîíàðíóþ îðáèòó.
Îñíîâíûå óñèëèÿ ïðè ýòîì íàïðàâëåíû íà ðåãóëÿðèçàöèþ
ïðîöåññà ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è
îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. Ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà
ìàêñèìóìà Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà ïîçâîëÿåò ñâåñòè îïòèìèçàöèîííóþ
çàäà÷ó ê êðàåâîé çàäà÷å äëÿ ñèñòå-
282 ÂÅÑÒÍÈÊ ÌÀÈ. Ò.16. ¹5

Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà, ìåõàíèêà, ôèçèêà
û îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
1, 2]. Ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è è ñîñòàâëÿåò îñíîâóþ
òðóäíîñòü ïðè èñïîëüçîâàíèè ïîäõîäà ïðèíèïà
ìàêñèìóìà (êàê è ìíîãèõ äðóãèõ íåïðÿìûõ
åòîäîâ).
Òðóäíîñòè ðåøåíèÿ òàêèõ êðàåâûõ çàäà÷ íîñÿò
ðèíöèïèàëüíûé õàðàêòåð è ñâÿçàíû, â ÷àñòíîñòè,
âîïðîñàìè ñóùåñòâîâàíèÿ è íååäèíñòâåííîñòè ðååíèÿ
ñèñòåì íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ìåòîäè÷åñèå
ñëîæíîñòè ñâÿçàíû ñ âû÷èñëèòåëüíîé íåóñòîéèâîñòüþ
è ñ îãðàíè÷åííîñòüþ îáëàñòè ñõîäèìîñè
÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ òàêèõ ñèñòåì óðàâåíèé.
Òðàäèöèîííî äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ îïòèìèçàèè
òðàåêòîðèé ÊÀ ñ äâèãàòåëüíûìè óñòàíîâêàìè
àëîé òÿãè èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè÷íûå ìîäèôèêàöèè
åòîäà Íüþòîíà. Îñíîâíîé ïðîáëåìîé ïðè èñïîëüîâàíèè
ýòîãî êëàññà ìåòîäîâ (âïðî÷åì, è äðóãèõ
òåðàöèîííûõ ìåòîäîâ) ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå íààëüíîãî
ïðèáëèæåíèÿ, äîñòàòî÷íî áëèçêîãî ê îïèìàëüíîìó
ðåøåíèþ. Ïðàêòè÷åñêè íå ðàçðàáîòàî
äîñòàòî÷íî óíèâåðñàëüíûõ àëãîðèòìîâ îïðåäååíèÿ
íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé ýòèõ ïàðàìåòðîâ äëÿ
áåñïå÷åíèÿ ñõîäèìîñòè ìåòîäîâ òèïà Íüþòîíà.
ñèëèÿ ìíîãèõ èññëåäîâàòåëåé íàïðàâëåíû íà ñîåðøåíñòâîâàíèå
ìåòîäîâ â äâóõ íàïðàâëåíèÿõ:
ðàñøèðåíèè îáëàñòè ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõ
ðîöåäóð ê îïòèìàëüíîìó ðåøåíèþ; â óâåëè÷åíèè
êîðîñòè ñõîäèìîñòè ýòèõ ïðîöåäóð. Â ðÿäå ðàáîò
.Ã. Ïåòóõîâà (íàïðèìåð, [2, 3]) ïðåäëàãàåòñÿ èñîëüçîâàòü
ìåòîä ïðîäîëæåíèÿ ïî ïàðàìåòðó. Ýòîò
åòîä ïîçâîëèë àâòîðó äëÿ ìíîãèõ ðàññìîòðåííûõ
ì çàäà÷ óâåëè÷èòü è îáëàñòü ñõîäèìîñòè (íàïðèåð,
â çàäà÷àõ ñ èäåàëüíî ðåãóëèðóåìûì äâèãàòååì
îêàçàëîñü âîçìîæíûì èñïîëüçîâàòü íóëåâîå
à÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå äëÿ íåèçâåñòíîãî âåêòîðà
îïðÿæåííûõ ïåðåìåííûõ) è äîáèòüñÿ âûñîêîé
êîðîñòè ñõîäèìîñòè.
Ñ÷èòàÿ ìåòîäè÷åñêèå ðàçðàáîòêè Â.Ã. Ïåòóõîà
âåñüìà ýôôåêòèâíûìè, ìû ïîëàãàåì, ÷òî öåëåîîáðàçíî
ðàçâèâàòü è äðóãèå ìåòîäè÷åñêèå íàïðàâåíèÿ.
 äàííîé ðàáîòå àíàëèçèðóåòñÿ âîçìîæíîñòü
ñïîëüçîâàíèÿ ãèáðèäíîãî ìåòîäà, îáúåäèíÿþùåî
ìåòîä Ëåâåíáåðãà—Ìàðêâàðäòà ñ ìîäèôèöèðîàííûì
ìåòîäîì Íüþòîíà, äëÿ ðåøåíèÿ íåëèíåéûõ
ñèñòåì â çàäà÷àõ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ.
ðàâíèâàåòñÿ ýôôåêòèâíîñòü ýòîãî ìåòîäà ñ óïîÿíóòûì
âûøå ìåòîäîì ïðîäîëæåíèÿ ïî ïàðàìåòó.
Ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî àíàëèçà òðàêòîðèè
âûâåäåíèÿ ÊÀ íà ÃÑÎ è ýôôåêòèâíîñòè
ñïîëüçîâàíèÿ ÝÐÄÓ äëÿ òàêîãî êîñìè÷åñêîãî ìàåâðà.
Êàê êðèòåðèé îïòèìèçàöèè ðàññìàòðèâàåòÿ
èëè âðåìÿ âûïîëíåíèÿ êîñìè÷åñêîãî ìàíåâðà
îíî ìèíèìèçèðóåòñÿ, çàäà÷à áûñòðîäåéñòâèÿ), èëè
ðåìÿ ðàáîòû äâèãàòåëÿ (ìîòîðíîå âðåìÿ, îíî ìèíèìèçèðóåòñÿ
ïðè ôèêñèðîâàííîì âðåìåíè âûâåäåíèÿ).
2. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ
Äâèæåíèå ÊÀ ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîä äåéñòâèåì
äâóõ ñèë: ãðàâèòàöèîííîé ñèëû ïðèòÿãèâàþùåãî
öåíòðà è ñèëû òÿãè ÝÐÄÓ. Âåëè÷èíà òÿãè è ñêîðîñòü
èñòå÷åíèÿ âêëþ÷åííîé ÝÐÄÓ ñ÷èòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè,
íà îðèåíòàöèþ âåêòîðà òÿãè íå íàêëàäûâàåòñÿ
êàêèõ-ëèáî îãðàíè÷åíèé. Ãðàâèòàöèîííîå
ïîëå ïðèòÿãèâàþùåãî öåíòðà áóäåì ñ÷èòàòü öåíòðàëüíûì
íüþòîíîâñêèì.
Ïðîåêöèè ðåàêòèâíîãî óñêîðåíèÿ íà îðòû îðáèòàëüíîé
ñèñòåìû êîîðäèíàò èìåþò âèä:
aτ =δ ( P / m)cos( ϕ )cos( ψ );
a =δ( P / m)sin( ϕ)cos( ψ);
r
a =δ( P / m) sin( ψ),
n
(1)
ãäå a
τ
, a r
, a n
— ñîîòâåòñòâåííî òðàíñâåðñàëüíàÿ, ðàäèàëüíàÿ
è áèíîðìàëüíàÿ ïðîåêöèè ðåàêòèâíîãî
óñêîðåíèÿ;
δ — ôóíêöèÿ âêëþ÷åíèÿ äâèãàòåëÿ ( δ = 1 íà
àêòèâíîì ó÷àñòêå òðàåêòîðèè ïðè âêëþ÷åííîé
ÝÐÄÓ, δ = 0 ïðè íåðàáîòàþùåé ÝÐÄÓ);
P — òÿãà ÝÐÄÓ;
m — ìàññà ÊÀ;
ϕ — óãîë òàíãàæà (óãîë ìåæäó ïðîåêöèåé âåêòîðà
òÿãè íà ïëîñêîñòü îñêóëèðóþùåé îðáèòû ÊÀ
è òðàíñâåðñàëüíûì íàïðàâëåíèåì);
ψ — óãîë ðûñêàíèÿ (óãîë ìåæäó âåêòîðîì òÿãè
è ïëîñêîñòüþ îñêóëèðóþùåé îðáèòû ÊÀ).
Äëÿ èñêëþ÷åíèÿ îñîáåííîñòåé óðàâíåíèé äâèæåíèÿ
ÊÀ â îêðåñòíîñòè íóëåâûõ çíà÷åíèé ýêñöåíòðèñèòåòà
è íàêëîíåíèÿ áóäåì ðàññìàòðèâàòü óðàâíåíèÿ
äâèæåíèÿ â ðàâíîäåíñòâåííûõ ýëåìåíòàõ
p
[1, 2] ( h = ; ïðîåêöèè âåêòîðà ýêñöåíòðèñèòåòà
µ
e = cos( Ω+ω),
e = sin( Ω+ω);
ïðîåêöèè âåêòîðà
x
y
i
i
íàêëîíåíèÿ i = tg cos Ω
x
, i = tg sin Ω
y
; èñòèííàÿ
2
2
äîëãîòà òî÷êè îðáèòû ÊÀ F = v +ω+Ω):
de
dt
x
dh p h
=δ h cos θcos ψ;
dt m ξ
ph
=δ { ξsin F sin θcos
ψ+
m ξ
}
(2a)
+ξ+ ( 1)cos F cos θcos ψ−e ηsin ψ;
(2b)
y
ÂÅÑÒÍÈÊ ÌÀÈ. Ò.16. ¹5
283

Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà, ìåõàíèêà, ôèçèêà
dey
ph
=δ { −ξcosF
sin θcosψ+
dt m ξ
+ [( ξ+ 1)sin F + e ]cos θcos ψ−e ηsin ψ ; (2c)
dix
dt
diy
dt
y
ph1 =δ ϕ cos F sin ψ ;
m ξ 2
ph1 =δ ϕ sin F sin ψ ;
m ξ 2
2
dF ξ p h 1
= +δ ξηsin ψ;
2
dt h m ξ 2
dm p
=−δ .
dt w
x
}
(2d)
(2e)
(2f)
(2g)
äåñü p — ôîêàëüíûé ïàðàìåòð; e — ýêñöåíòðèñèåò;
Ω — äîëãîòà âîñõîäÿùåãî óçëà; v — èñòèííàÿ
íîìàëèÿ;
ξ= 1+ e cos F + e sin F ; η= i sin F −i
sin F ;
x
y
2 2
ϕ= 1 + i + i ;
x
— ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ ÝÐÄÓ ÊÀ, µ — ãðàâèòàèîííûé
ïàðàìåòð öåíòðàëüíîãî òåëà.
Òðåáóåòñÿ ïåðåâåñòè ÊÀ íà÷àëüíîé ìàññû m 0
íà÷àëüíîé îðáèòû
h = h , e = e , e = e , i = i , i = i (3)
0 x x0 y y0 x x0 y y0
à êîíå÷íóþ îðáèòó
h = h , e = e , e = e , i = i , i = i (4)
k x xk y yk x xk y yk
à çàäàííîå èëè ìèíèìèçèðóåìîå âðåìÿ Ò.
. Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (2)—(4) èñïîëüçóåì ôîðìàèçì
ïðèíöèïà ìàêñèìóìà. Ãàìèëüòîíèàí çàäà÷è
ïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ (2)—(4) èìååò âèä
äå
p ξ
=−δ (1 + ) 2
p h
H p + p +δ { Aτ
θ ψ+
m 2 F
m h m ξ
cos cos
y
x
+ A sin θcos ψ+ A sin ψ ,
(5)
r
Aτ = hp + ⎡ ⎣( ξ+ 1)cosF h + ex ⎤ ⎦ peõ
+
n
}
+ ⎡ ξ+ + ⎤
⎣
( 1)sin F e p
⎦
;
y ey
y
( )
A =ξ sin F ⋅p −cos F ⋅p
;
r eõ ey
( )
A =η − e p + e p +
n y ex x ey
( )
1
+ ϕ cos F ⋅ p + sin F ⋅ p +ξηp
iõ iy F
;
2
p h
, p ex
, p ey
, p ix
, p iy
, p F
, p m
— ïåðåìåííûå, ñîïðÿæåííûå
ê ôàçîâûì êîîðäèíàòàì h, ex, ey, ix, iy, F è m
ñîîòâåòñòâåííî.
Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå δ (t), θ (t), ψ (t) îïðåäåëÿåòñÿ
èç óñëîâèÿ ìàêñèìóìà ãàìèëüòîíèàíà (5):
A
A
cos θ= ; sin θ= ;
A A A A
τ
r
2 2 2 2
τ
+
r
τ
+
r
2 2
τ r
n
2 2 2 2 2 2
τ
+ +
τ
+ +
r n r n
(6)
A + A A
cos ψ= ; sin ψ=
; (7)
A A A A A A
⎧⎪ 1, åñëè ψ >
s
0;
δ=⎨
⎪⎩ 0, åñëè ψ ≤
s
0,
+ p h A A A
w mξ
1
m
1/2
s τ r n
ãäå ψ =− +
2
( +
2
+
2)
(8)
— ôóíêöèÿ
ïåðåêëþ÷åíèÿ.  çàäà÷å î ïåðåë¸òå çà ìèíèìàëüíîå
âðåìÿ âìåñòî ñîîòíîøåíèÿ (8) èñïîëüçóåòñÿ òîæäåñòâî
δ≡1, (9)
à äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ ïåðåìåííûõ m
è p m
ìîæíî èñêëþ÷èòü èç ðàññìîòðåíèÿ, èñïîëüçóÿ
ÿâíóþ çàâèñèìîñòü ìàññû ÊÀ m îò âðåìåíè:
p
m = m0 − t.
(10)
w
Ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ
ïîçâîëÿþò çàïèñàòü ãàìèëüòîíèàí íà îïòèìàëüíîì
óïðàâëåíèè â âèäå
⎡ h
1/2 1 + p ⎤ ξ2
=δ
2
⎢ ( τ
+
2
+
2
m
H P A A A ) − ⎥+ p =
r n 2 F
⎣mξ
w ⎦ h
ãäå
=δ PkA [ + b] + H ,
(11)
h
1/2
k = =
2
( τ
+
2
+
2
; A A A A
r n)
;
mξ
1 + p ξ2
m
b=− ; H = p
F
.
2 F
w h
F
284 ÂÅÑÒÍÈÊ ÌÀÈ. Ò.16. ¹5

Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà, ìåõàíèêà, ôèçèêà
Óðàâíåíèÿ îïòèìàëüíîãî äâèæåíèÿ èìåþò âèä
2, 3]:
dx ∂H
⎡ ⎛ ∂Aτ
∂A ∂A
r
n ⎞ ⎤
−
= =δ P ⎢k⎜Aτ
+ A + Aτ
⎟A
1 r
⎥
dt ∂p ⎣ ⎝ ∂p ∂p ∂p
; (12a)
⎠ ⎦
⎡
⎛
∂A ∂A ∂A ⎞ ⎤ ∂H
τ
r n −1 F
=δ P ⎢k Aτ
+ A + Aτ
A ⎥+
;
⎜
r
∂ ∂ ∂ ⎟
⎢ p p p
F F F ⎥ ∂pF
⎣
⎝
dF ∂H
= =
dt ∂p
F
⎠
⎦
(12b)
dm ∂H ∂b
= =δP
;
dt ∂p ∂p (12c)
m
m
dp ∂H
∂H
F
=− =− −
dt ∂x ∂x
⎡∂k
⎛ ∂Aτ
∂A ∂A
r n ⎞ ⎤
−δ P ⎢ A+ k⎜Aτ
+ A + A
r
τ ⎟A
⎥
⎣∂x ⎝ ∂x ∂x ∂x
⎠ ⎦
dpF
∂H
∂H
F
=− =− −
dt ∂F ∂F
− 1 ;
⎡∂k
⎛ ∂Aτ
∂A ∂A
r n ⎞ ⎤
−δ P ⎢ A+ k⎜Aτ
+ A + A
r
τ ⎟A
⎥
⎣∂F ⎝ ∂F ∂F ∂F
⎠ ⎦
dpm
∂H ∂k
=− =−δP
A,
dt ∂m ∂m
ò
− 1 ;
äå x = ⎡h e e i i ⎤ = ⎡ ⎤
⎣ ⎦
, p p p p p p
⎣ ⎦
.
x y x y h ex ey ix iy
ò
(12d)
(12e)
(12f)
Òàê êàê ðàññìàòðèâàåòñÿ ìåæîðáèòàëüíûé ïååë¸ò
è çíà÷åíèå èñòèííîé äîëãîòû F â êîíå÷íîé
î÷êå òðàåêòîðèè ïåðåëåòà íå ôèêñèðîâàíî, èç óñîâèÿ
òðàíñâåðñàëüíîñòè ëåãêî ïîëó÷èòü p F
(T)=0.
òîìó íåîáõîäèìîìó óñëîâèþ îïòèìàëüíîñòè óäîâåòâîðÿåò
òîæäåñòâåííî íóëåâîå (ïî âðåìåíè ïîëåà)
çíà÷åíèå ýòîé ñîïðÿæåííîé ïåðåìåííîé. Íàøè
îïûòêè ðàññìîòðåòü îáùèé ñëó÷àé è íàéòè îïòèàëüíîå
èçìåíåíèå ýòîé ïåðåìåííîé âäîëü âñåé
ðàåêòîðèè âûâåäåíèÿ íå ïðèâåëè ê ïîëîæèòåëüíîó
ðåçóëüòàòó. Òàêîå èññëåäîâàíèå íå ìîæåò ñëóèòü
äîêàçàòåëüñòâîì òîãî, ÷òî p F
(t) äîëæíî áûòü
îæäåñòâåííî íóëåâûì. Íî ìû ñ÷èòàåì, ÷òî äîïóñàåìîå
ïðè ýòîì ñóæåíèå îáëàñòè îïòèìàëüíîãî
ïðàâëåíèÿ íå äîëæíî ñèëüíî óõóäøèòü õàðàêòåðèòèêè
ïîëó÷àåìîé òðàåêòîðèè. Òàêèì îáðàçîì, ìû
àññìàòðèâàåì òîæäåñòâî p F
(t) = 0 êàê äîïóùåíèå,
îçìîæíî ñóæàþùåå îáëàñòü îïòèìàëüíîãî óïðàâåíèÿ
ïîëåòîì ÊÀ.
4. Êðàåâàÿ çàäà÷à
Èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé (12) ñ ïðîèçâîëüíûì
íàáîðîì íåäîñòàþùèõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé äàåò
âîçìîæíîñòü îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ ôàçîâîãî âåêòîðà
x è âåêòîðà ñîïðÿæåííûõ ïåðåìåííûõ p â êîíå÷íûé
ìîìåíò âðåìåíè T, òàê æå êàê è çíà÷åíèÿ íåâÿçîê
ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è, íàïðèìåð [2, 3]:
⎛ hT ( ) − hk
⎞
⎜ ⎟
⎜e ( T)
− e
x xk ⎟
⎜e ( T)
− e ⎟
= ⎜ y yk
f
⎟=
0
⎜ i ( T)
− i ⎟
x xk
⎜ ⎟
⎜ iy( T)
− iyk
⎟
⎜
⎟
⎝ pm
( T)
⎠
äëÿ çàäà÷è ñ ôèêñèðîâàííûì âðåìåíåì è
⎛ hT ( ) − hk
⎞
⎜ ⎟
⎜e ( T)
− e
x xk ⎟
⎜e ( T)
− e ⎟
= ⎜ y yk
f
⎟=
0
⎜ i ( T)
− i ⎟
x xk
⎜ ⎟
⎜ iy( T)
− iyk
⎟
⎜
⎟
⎝ HT ( ) ⎠
(13à)
(13b)
äëÿ çàäà÷è íà îïòèìàëüíîå áûñòðîäåéñòâèå.
Ýòè íåâÿçêè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè âåêòîðà íåèçâåñòíûõ
ïàðàìåòðîâ êðàåâîé çàäà÷è. Ïîýòîìó
ðàâåíñòâà (13a), (13b) ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê
óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî âåêòîðà íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ
êðàåâîé çàäà÷è:
⎛P
⎞
z = ⎜ ⎟
⎝pm
⎠
äëÿ çàäà÷è ñ ôèêñèðîâàííûì âðåìåíåì è
⎛P
⎞
z = ⎜ ⎟
⎝T
⎠
äëÿ çàäà÷è íà îïòèìàëüíîå áûñòðîäåéñòâèå.
5. Ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è
(14a)
(14b)
Ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óðàâíåíèÿ
ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû íåëèíåéíûõ
óðàâíåíèé, ñîñòàâëåííîé èç íåâÿçîê çàäàííûõ ôàçîâûõ
êîîðäèíàò íà ïðàâîì êîíöå òðàåêòîðèè è èç
óñëîâèé òðàíñâåðñàëüíîñòè (13) îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðîâ
(14). Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû
èñïîëüçóåòñÿ ãèáðèäíûé ìåòîä, êîòîðûé
îáúåäèíÿåò ìåòîä Ëåâåíáåðãà—Ìàðêâàðäòà ñ ìîäèôèöèðîâàííûì
ìåòîäîì Íüþòîíà.
ÂÅÑÒÍÈÊ ÌÀÈ. Ò.16. ¹5
285

Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà, ìåõàíèêà, ôèçèêà
Ïóñòü íåîáõîäèìî ðåøèòü ñèñòåìó íåëèíåéíûõ
ðàâíåíèé
f(z) = 0. (15)
Ïîñòàâèì çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ òàêèõ êîìïîíåíîâ
âåêòîðà z, êîòîðûå ìèíèìèçèðóþò ñóììó êâàäàòîâ
íåâÿçîê ñèñòåìû (15). Ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî
îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâåíèé
(15) ýêâèâàëåíòíî íàõîæäåíèþ ìèíèìóìà
óíêöèè F(z):
j
1 2 1 2 1
F
ò
() z = ∑( fi()) z = f() z = f() z f(),
z (16)
2 2 2
i=
1
äå j — ðàçìåðíîñòü âåêòîðà f (â íàøåì ñëó÷àå j = 6).
Íàìè áûëà ðàññìîòðåíà âîçìîæíîñòü èñïîëüçîàíèÿ
ãèáðèäíîãî ìåòîäà, êîòîðûé îáúåäèíÿåò
åòîä Ëåâåíáåðãà—Ìàðêâàðäòà ñ ìîäèôèöèðîâàíûì
ìåòîäîì Íüþòîíà. Ýòîò ãèáðèäíûé ìåòîä
îêàçàë õîðîøóþ ñõîäèìîñòü â ðàññìàòðèâàåìîé
àäà÷å ïðè èñïîëüçîâàíèè âåëè÷èí óïðàâëÿþùèõ
òåðàöèîííûì ïðîöåññîì ïàðàìåòðîâ, ðåêîìåíäîàííûõ
â [4]. Êîðîòêî îïèøåì ñóùíîñòü ýòîãî ãèáèäíîãî
ìåòîäà.
Ìåòîä àíàëèçèðóåò çíà÷åíèå ñàìîé ôóíêöèè F
çíà÷åíèå åå ïðîèçâîäíîé íà êàæäîì øàãå èòåðàèîííîãî
ïðîöåññà. Åñëè îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñàìî
íà÷åíèå ôóíêöèè äîñòàòî÷íî äàëåêî îò íóëåâîãî
íà÷åíèÿ, à çíà÷åíèå åå ïðîèçâîäíîé ìàëî (ïðèáëèåííî
âûïîëíÿåòñÿ íåîáõîäèìîå óñëîâèå ìèíèìóà
ôóíêöèè F) íà íåñêîëüêèõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ
àãàõ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà, òî ïðåäëàãàåòñÿ
åðåéòè îò èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà Ëåâåíáåðãà—
àðêâàðäòà ê èñïîëüçîâàíèþ êâàçèíüþòîíîâñêîãî
åòîäà. Ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà â êâàçèíüþòîíîâêîì
ìåòîäå îñíîâûâàåòñÿ íà èñïîëüçîâàíèè îöåíè
ìàòðèöû âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ îò F
2
∂ F
B = ∂ 2 ,
z ( z )
àçìåð èòåðàöèîííîãî øàãà h qN
ïî àðãóìåíòàì íàîäèòñÿ
èç ñîîòíîøåíèÿ
h
qN
=−B
∂F
zz (17)
−1 ,
∂ (
i
)
ûïîëíåíèå êîòîðîãî äîëæíî îáåñïå÷èòü ýôôåêèâíîå
óáûâàíèå âåëè÷èíû ïåðâîé ïðîèçâîäíîé
èíèìèçèðóåìîé ôóíêöèè.
Äëÿ îöåíêè ìàòðèöû âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ Alaali
è Fletcher [5] ïðåäëîæèëè îðèãèíàëüíóþ ïðîåäóðó,
êîòîðàÿ îäíîâðåìåííî êîíòðîëèðóåò âåëèèíó
øàãà è îáåñïå÷èâàåò ïîëîæèòåëüíóþ îïðåäååííîñòü
ìàòðèöû âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ â ïðîöåñå
èòåðàöèîííîãî ïîèñêà.
i
Ýòîò àëãîðèòì îôîðìëåí â âèäå ïðîöåäóðû áèáëèîòåêè
ïðîãðàìì MatLab, è ýòîé ïðîöåäóðîé óäàëîñü
óñïåøíî âîñïîëüçîâàòüñÿ.
Èòåðàöèîííûé ïîèñê íà÷èíàåòñÿ ñ ðÿäà øàãîâ,
âûïîëíÿåìûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà Ëåâåíáåðãà—Ìàðêâàðäòà.
Åñëè âûïîëíåíèå ýòèõ øàãîâ ïîêàçûâàåò,
÷òî çíà÷åíèå F(x * ) ñèëüíî îòëè÷íî îò
íóëÿ è ñëàáî óìåíüøàåòñÿ ïî èòåðàöèÿì:
∂F
< 0,02 F ( z )
(18)
∂zz
( )
(çäåñü ÷èñëî 0,02 — îäèí èç ïàðàìåòðîâ óïðàâëåíèÿ
èòåðàöèîííûì ïðîöåññîì), òî îáåñïå÷èâàåòñÿ
ïåðåõîä ê èñïîëüçîâàíèþ êâàçèíüþòîíîâñêîãî ìåòîäà.
Ïåðåõîä ê êâàçèíüþòîíîâñêîìó ìåòîäó ïðåäëàãàåòñÿ
îñóùåñòâëÿòü, åñëè óñëîâèå (18) óäîâëåòâîðåíî
â òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ, óñïåøíûõ èòåðàòèâíûõ
øàãàõ. ×èñëî òðè — ýòî åùå îäèí ïàðàìåòð
óïðàâëåíèÿ èòåðàöèîííûì ïðîöåññîì.
Êîíå÷íî, ìîäèôèöèðîâàííûé ìåòîä Íüþòîíà
òîæå íå ãàðàíòèðóåò ñõîäèìîñòü èòåðàöèîííîãî
ïðîöåññà ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è. Êàê
òîëüêî ýôôåêòèâíîñòü èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà
∂F
ñíèæàåòñÿ (íîðìà óìåíüøàåòñÿ ìåäëåííî),
∂ zz ( )
íåîáõîäèìî âåðíóòüñÿ ê èñïîëüçîâàíèþ ìåòîäà
Ëåâåíáåðãà—Ìàðêâàðäòà. Ïîäðîáíåå ñ ýòèì ìåòîäîì
ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â [4].
6. ×èñëåííûå ðåçóëüòàòû äëÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî
áûñòðîäåéñòâèÿ ïðè âûâåäåíèè íà ÃÑÎ
Ïóñòü íà÷àëüíàÿ îðáèòà èìååò ñëåäóþùèå õàðàêòåðèñòèêè
â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å:
• ðàäèóñ ïåðèöåíòðà íà÷àëüíîé îðáèòû
10000 êì;
• ðàäèóñ àïîöåíòðà íà÷àëüíîé îðáèòû 65000 êì;
• íàêëîíåíèå íà÷àëüíîé îðáèòû 30°;
• àðãóìåíò ïåðèãåÿ 0°;
• äîëãîòà âîñõîäÿùåãî óçëà 0°.
Ïóñòü êîñìè÷åñêèé àïïàðàò íà íà÷àëüíîé îðáèòå
èìååò ñëåäóþùèå õàðàêòåðèñòèêè:
• íà÷àëüíàÿ ìàññà 1500 êã;
• òÿãà ýëåêòðîðàêåòíîé äâèãàòåëüíîé óñòàíîâêè
0,4 Í;
• óäåëüíûé èìïóëüñ ýëåêòðîðàêåòíîé äâèãàòåëüíîé
óñòàíîâêè 2000 ñ.
Ðåøåíèå çàäà÷è ïî áûñòðîäåéñòâèþ ïîêàçàëî,
÷òî ìèíèìàëüíîå âðåìÿ (Tfmin) ïåðåë¸òà íà ÃÑÎ
ðàâíî 93,1 ñóòîê. Ìàññà ÊÀ â ìîìåíò âûâåäåíèÿ íà
ÃÑÎ ðàâíà 1335,93 êã. Õàðàêòåðèñòèêè îïòèìàëüíîé
ïî áûñòðîäåéñòâèþ òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ ïîêàçàíû
íà ðèñ. 1—5.
286 ÂÅÑÒÍÈÊ ÌÀÈ. Ò.16. ¹5

Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà, ìåõàíèêà, ôèçèêà
Ðèñ. 1. Èçìåíåíèå ôîêàëüíîãî ïàðàìåòðà
îñêóëèðóþùåé îðáèòû (42164 êì)
êàê ôóíêöèè âðåìåíè ïîëåòà (ñóòêè)
Ðèñ. 2. Èçìåíåíèå ýêñöåíòðèñèòåòà êàê ôóíêöèè
âðåìåíè ïîëåòà (ñóòêè)
Ðèñ. 3. Èçìåíåíèå íàêëîíåíèÿ (ãðàä) êàê ôóíêöèè
âðåìåíè ïîëåòà (ñóòêè)
Ðèñ. 4. Èçìåíåíèå óãëà òàíãàæà (ðàä) êàê ôóíêöèè
âðåìåíè ïîëåòà (ñóòêè)
Èçìåíåíèå ôîêàëüíîãî ïàðàìåòðà êàê ôóíêöèè
ðåìåíè ïåðåëåòà ïîêàçàíî íà ðèñ. 1. Èçìåíåíèå
îêàëüíîãî ïàðàìåòðà ïðèâîäèòñÿ â áåçðàçìåðíîì
èäå, êîãäà åäèíèöà äëèíû ïðèíèìàåòñÿ ðàâíîé
àäèóñó ãåîñòàöèîíàðíîé îðáèòû. Âèäíî (ðèñ. 1),
òî âäîëü òðàåêòîðèè ïåðåëåòà ôîêàëüíûé ïàðàìåòð
ðàêòè÷åñêè ìîíîòîííî ðàñòåò è òîëüêî â ñàìîì
îíöå òðàåêòîðèè âûâåäåíèÿ ñòàíîâèòñÿ ÷óòü áîëüå
ðàäèóñà ÃÑÎ è çàòåì óìåíüøàåòñÿ äî ðàäèóñà
ÑÎ. Íà ðèñ. 2 ïîêàçàíî èçìåíåíèå âåëè÷èíû ýêöåíòðèñèòåòà
îñêóëèðóþùåé îðáèòû êàê ôóíêöèè
ðåìåíè ïåðåëåòà. Çäåñü âèäíî, ÷òî ýêñöåíòðèñèåò
ìîíîòîííî óìåíüøàåòñÿ äî íóëåâîãî çíà÷åíèÿ,
ðè ýòîì ñêîðîñòü åãî óáûâàíèÿ ìîíîòîííî óâåëèèâàåòñÿ.
Íà ðèñ. 3 ïîêàçàíî èçìåíåíèå íàêëîíåíèÿ êàê
óíêöèÿ âðåìåíè ïåðåëåòà. Íà òðàåêòîðèè ïåðåëåòà
àêëîíåíèå ìîíîòîííî óìåíüøàåòñÿ äî íóëåâîãî
íà÷åíèÿ. Íà íà÷àëüíîì ó÷àñòêå ïåðåëåòà (äî 30-õ
óòîê ïîëåòà) íàêëîíåíèå îñêóëèðóþùåé îðáèòû
ìåíüøàåòñÿ ïðàêòè÷åñêè ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ.
àòåì ñêîðîñòü óìåíüøåíèÿ íàêëîíåíèÿ óáûâàåò.
Ðèñ.5. Èçìåíåíèå óãëà ðûñêàíèÿ (ðàä) êàê ôóíêöèè
âðåìåíè ïîëåòà (ñóòêè)
Îðáèòà âñå áîëåå «ñêðóãëÿåòñÿ», ñêîðîñòü â àïîãåå
îñêóëèðóþùåé îðáèòû ðàñòåò (èç-çà òîãî ÷òî óâåëè÷èâàåòñÿ
âûñîòà ïåðèãåÿ è îäíîâðåìåííî ïîíèæàåòñÿ
âûñîòà àïîãåÿ), è ïîýòîìó óñëîâèÿ äëÿ ýôôåêòèâíîãî
óìåíüøåíèÿ íàêëîíåíèÿ óõóäøàþòñÿ.
Íà ðèñ. 4 è 5 ïîêàçàíû èçìåíåíèÿ óãëà òàíãàæà
è óãëà ðûñêàíèÿ êàê ôóíêöèé âðåìåíè ïåðåëåòà
ñîîòâåòñòâåííî. Âèäíî, ÷òî ïðàêòè÷åñêè íà âñåõ
âèòêàõ òðàåêòîðèè ýòè óãëû èçìåíÿþòñÿ â î÷åíü
áîëüøèõ èíòåðâàëàõ. Âèäíî (ðèñ. 4), ÷òî óãîë òàí-
ÂÅÑÒÍÈÊ ÌÀÈ. Ò.16. ¹5
287

Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà, ìåõàíèêà, ôèçèêà
àæà íà ïåðâûõ âèòêàõ òðàåêòîðèè èçìåíÿåòñÿ ïðèåðíî
îò ïëþñ 80° äî ìèíóñ 80°. Çàòåì àìïëèòóäà
îëåáàíèÿ âåëè÷èíû óãëà òàíãàæà óìåíüøàåòñÿ.
ðèìåðíî íà 36-å ñóòêè ïîëåòà çíà÷åíèå óãëà òàíàæà
ïðàêòè÷åñêè ðàâíî íóëþ íà íåêîòîðîì âðååííîì
èíòåðâàëå. Çàòåì íà äàëüíåéøèõ âèòêàõ
ðàåêòîðèè ïåðåëåòà çíà÷åíèÿ óãëà òàíãàæà îêàçûàþòñÿ
ïðàêòè÷åñêè ëþáûìè â äèàïàçîíå îò ïëþñ
80° äî ìèíóñ180°.
Íå ìåíåå èíòåðåñíî èçìåíåíèå óãëà ðûñêàíèÿ
äîëü îïòèìàëüíîé òðàåêòîðèè âûâåäåíèÿ (ðèñ. 5).
à êàæäîì âèòêå òðàåêòîðèè ýòîò óãîë èçìåíÿåòñÿ
ò íåêîòîðîãî ïîëîæèòåëüíîãî ìàêñèìàëüíîãî çíàåíèÿ
(äîñòèãàåòñÿ â ïåðèãåå îñêóëèðóþùåé îðáèû)
äî îòðèöàòåëüíîãî ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ
â àïîãåå îñêóëèðóþùåé îðáèòû). Äî 40-õ ñóòîê ïîåòà
ìîäóëü îòðèöàòåëüíîãî ìèíèìàëüíîãî çíà÷åèÿ
ñóùåñòâåííî áîëüøå ìîäóëÿ ïîëîæèòåëüíîãî
àêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ. Ýòî è ïîíÿòíî: èçìåíÿòü
îëîæåíèå ïëîñêîñòè îðáèòû öåëåñîîáðàçíî, ñîçäààÿ
áèíîðìàëüíóþ òÿãó â òî÷êå îðáèòû ñ ìèíèìàëüîé
ñêîðîñòüþ (â àïîãåå îñêóëèðóþùåé îðáèòû).
. Àíàëèç ÷èñëåííûõ ðåçóëüòàòîâ äëÿ çàäà÷è
ôèêñèðîâàííûì âðåìåíåì
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ñ ôèêñèðîâàííûì âðåìååì
ïåðåëåòà íà ÃÑÎ (êîòîðîå äîëæíî áûòü áîëüå
ìèíèìàëüíîãî âðåìåíè ïåðåëåòà) êàê íà÷àëüíîå
ðèáëèæåíèå èñïîëüçóåòñÿ ïîëó÷åííîå ðàíåå ðåøåèå
çàäà÷è íà áûñòðîäåéñòâèå. Îáùàÿ ñõåìà ðåøåèÿ
èìååò òàêîé âèä. Âðåìÿ ïåðåëåòà ìåíÿåòñÿ ñ
åêîòîðûì øàãîì îò íàéäåííîãî ðàíåå ìèíèìàëüîãî
âðåìåíè. Îíî ôèêñèðóåòñÿ âûáîðîì ïàðàìåòðà
tf (C tf ≥ 1): T f
= T fmin
· C tf
. (19)
Êîãäà C tf
ðàâíÿåòñÿ åäèíèöå, òî ðàññìàòðèâàåàÿ
çàäà÷à åñòü çàäà÷à îïòèìàëüíîãî áûñòðîäåéòâèÿ.
Íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ äëÿ ñîïðÿæåííûõ ïåðåìåííûõ
áåðóòñÿ èç ðåøåíèÿ ïðåäûäóùåé çàäà÷è
(ïåðâàÿ çàäà÷à ðåøàåòñÿ ïðè íà÷àëüíîì ïðèáëèæåíèè
äëÿ ñîïðÿæåííûõ ïåðåìåííûõ, ïîëó÷åííûõ èç
ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî áûñòðîäåéñòâèÿ).
Íèæå ïðåäñòàâëåíû íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû àíàëèçà.
Íà ðèñ. 6 ïðåäñòàâëåíà ôóíêöèÿ ïåðåêëþ÷åíèÿ
âäîëü âñåé òðàåêòîðèè ïåðåëåòà äëÿ ðàçëè÷íûõ
âðåìåí ïåðåëåòà. Ëåâûé ãðàôèê ñîîòâåòñòâóåò ñëó-
÷àþ, êîãäà âðåìÿ ïåðåëåòà î÷åíü áëèçêî ê ìèíèìàëüíîìó
âðåìåíè (ïðåâûøàåò ìèíèìàëüíîå âðåìÿ
íà 0,1 %). Âèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ ïåðåêëþ÷åíèÿ
áûâàåò îòðèöàòåëüíîé íà íåñêîëüêèõ âèòêàõ òðàåêòîðèè
â äèàïàçîíå 16—24 ñóòîê ïåðåëåòà. Èìåííî
íà ýòèõ âèòêàõ òðàåêòîðèè ïîÿâëÿþòñÿ ïàññèâíûå
ó÷àñòêè.
Ãðàôèê, ðàñïîëîæåííûé â öåíòðå ðèñ. 6, ñîîòâåòñòâóåò
ñëó÷àþ, êîãäà âðåìÿ ïåðåëåòà íà 1 % áîëüøå
ìèíèìàëüíîãî âðåìåíè (C tf
= 1,01). Ïàññèâíûå
ó÷àñòêà íà âèòêàõ òðàåêòîðèè ïåðåëåòà ïîÿâëÿþòñÿ
â äèàïàçîíå 10—39 ñóòîê ïåðåëåòà.
Ãðàôèê, ðàñïîëîæåííûé â ïðàâîé ÷àñòè ðèñ. 6,
ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ, êîãäà âðåìÿ ïåðåëåòà íà 10 %
áîëüøå ìèíèìàëüíîãî âðåìåíè (C tf
= 1,1). Ìèíèìàëüíîå
çíà÷åíèå ôóíêöèÿ ïåðåêëþ÷åíèÿ íà âñåõ
âèòêàõ òðàåêòîðèè âûâåäåíèÿ íà ÃÑÎ îêàçûâàåòñÿ
îòðèöàòåëüíûì. Ïðè ýòîì íà êàæäîì âèòêå òðàåêòîðèè
ñóùåñòâóþò ïàññèâíûå ó÷àñòêè.
Ïîëîæåíèå ïàññèâíûõ ó÷àñòêîâ íà âèòêàõ òðàåêòîðèè
ìîæíî àíàëèçèðîâàòü ñ ïîìîùüþ ðèñ. 7.
Íà íåì ïðåäñòàâëåíà ýêâàòîðèàëüíàÿ ïðîåêöèÿ
òðàåêòîðèé ïåðåëåòà íà ÃÑÎ äëÿ òðåõ óæå ðàññìîòðåííûõ
âðåìåí ïåðåëåòà. Êàê è íà ïðåäûäóùåì
ðèñóíêå, ñëåâà ïðåäñòàâëåí ñëó÷àé, êîãäà âðåìÿ ïåðåëåòà
áîëüøå ìèíèìàëüíîãî âðåìåíè íà 0,1%. Â
öåíòðå ïðåäñòàâëåí ñëó÷àé, êîãäà âðåìÿ ïåðåëåòà
áîëüøå ìèíèìàëüíîãî âðåìåíè íà 1%. Ñïðàâà ïðåäñòàâëåí
ñëó÷àé, êîãäà âðåìÿ ïåðåëåòà áîëüøå ìè-
Ðèñ. 6. Ôóíêöèÿ ïåðåêëþ÷åíèÿ êàê ôóíêöèÿ âðåìåíè ïîëåòà íà âñåé òðàåêòîðèè ïåðåëåòà
288 ÂÅÑÒÍÈÊ ÌÀÈ. Ò.16. ¹5

Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà, ìåõàíèêà, ôèçèêà
Ðèñ. 7. Ïðîåêöèè òðàåêòîðèè ïåðåëåòà ÊÀ íà ÃÑÎ íà ïëîñêîñòü ýêâàòîðà
èìàëüíîãî âðåìåíè íà 10%. Àêòèâíûå ó÷àñòêè ïîåòà
ïîêàçàíû ñïëîøíîé ëèíèåé. Ñâåòëûå ïÿòíà íà
èñ. 7 — ïàññèâíûå ó÷àñòêè ïîëåòà.
Âèäíî, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ âðåìåíàõ
åðåëåòà (íàïðèìåð, ïðè C tf
= 1,001) íà íåêîòîðîì
èòêå òðàåêòîðèè (íàïðèìåð, íà 16-å ñóòêè ïîëåà)
ïîÿâëÿþòñÿ ñðàçó äâà ïàññèâíûõ ó÷àñòêà. Îíè
èììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ëèíèè óçëîâ (ñîâïàäàùåé
ñ ëèíèåé àïñèä). Îäèí èç ýòèõ ïàññèâíûõ
÷àñòêîâ ðàñïîëàãàåòñÿ ïðèìåðíî â äèàïàçîíå èñèííîé
àíîìàëèè 45°—90°. Äèàïàçîí èñòèííîé àíîàëèè
âòîðîãî ïàññèâíîãî ó÷àñòêà ïðèìåðíî ìèíóñ
0°—ìèíóñ 45° îñêóëèðóþùåãî âèòêà òðàåêòîðèè.
Ïðè óâåëè÷åíèè âðåìåíè ïîëåòà (C tf
= 1,01)
ëèòåëüíîñòü ïàññèâíûõ ó÷àñòêîâ íà âèòêàõ òðàåêîðèè
óâåëè÷èâàåòñÿ. Ïîÿâëÿþòñÿ âèòêè òðàåêòîèè,
íà êîòîðûõ îïèñàííûå äâà ïàññèâíûõ ó÷àñòà
ñëèâàþòñÿ â îäèí, êîòîðûé îõâàòûâàåò ïåðèãåéóþ
îáëàñòü îñêóëèðóþùåãî âèòêà òðàåêòîðèè.
Ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè âðåìåíè âûâåäåèÿ
íà êîíå÷íóþ îðáèòó (C tf
= 1,1) âñå âèòêè òðàêòîðèè
èìåþò îäèí ïàññèâíûé ó÷àñòîê, ðàñïîëîåííûé
â îêðåñòíîñòè ïåðèãåÿ îñêóëèðóþùåé îðèòû
(åãî ìîæíî ñ÷èòàòü è ñèììåòðè÷íûì îòíîñèåëüíî
ëèíèè óçëîâ îñêóëèðóþùåé îðáèòû).
Ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî ëèíèÿ óçëîâ ïðàêòè÷åñêè
íå ìåíÿåòñÿ âäîëü âñåé îïòèìàëüíîé òðàåêòîðèè
ïåðåëåòà. Èíòåðåñíî è òî, ÷òî ïàññèâíûå ó÷àñòêè
íà âèòêàõ òðàåêòîðèè ðàñïîëàãàþòñÿ öåíòðàëüíî
ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ýòîé ëèíèè óçëîâ.
Íà ðèñ. 8 õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ñêîðîñòü ìàíåâðà
âûâåäåíèÿ ÊÀ íà ÃÑÎ ïðåäñòàâëåíà êàê ôóíêöèÿ
ïàðàìåòðà C tf
. Âèäíî, ÷òî óâåëè÷åíèå âðåìåíè
âûâåäåíèÿ ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ õàðàêòåðèñòè-
÷åñêîé ñêîðîñòè ìàíåâðà. Óâåëè÷åíèå âðåìåíè âûâåäåíèÿ
íà 2% óìåíüøàåò õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ñêîðîñòü
ÊÀ íà ïðèìåðíî 60 ì/ñ (ñ 2242 äî 2183 ì/ñ).
Óâåëè÷åíèå âðåìåíè âûâåäåíèÿ íà 10% óìåíüøàåò
òðåáóåìóþ õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ñêîðîñòü ÊÀ äî
2023 ì/ñ. Óâåëè÷åíèå âðåìåíè âûâåäåíèÿ íà 20%
óìåíüøàåò õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ñêîðîñòü ÊÀ äî
1936 ì/ñ.
Íà ðèñ. 9 ìàññà ÊÀ â ìîìåíò âûâåäåíèÿ íà ÃÑÎ
ïðåäñòàâëåíà êàê ôóíêöèÿ ïàðàìåòðà C tf
, îïðåäåëÿþùåãî,
âî ñêîëüêî ðàç âðåìÿ âûâåäåíèÿ áîëüøå
ìèíèìàëüíîãî âðåìåíè (íàïîìíèì, ÷òî ìèíèìàëüíîå
âðåìÿ âûâåäåíèÿ â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå
ðàâíî 93,1 ñóòîê). Âèäíî, ÷òî óâåëè÷åíèå âðåìåíè
âûâåäåíèÿ ïðèâîäèò ê ðîñòó ìàññû ÊÀ íà ÃÑÎ.
Ðàññìàòðèâàåìàÿ çàâèñèìîñòü ñóùåñòâåííî íåëèíåéíà.
Åñëè óâåëè÷åíèå âðåìåíè âûâåäåíèÿ íà 2 %
Ðèñ. 8. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ñêîðîñòü (ì/ñ)
êàê ôóíêöèÿ C tf
(âðåìåíè âûâåäåíèÿ)
Ðèñ. 9. Ìàññà ÊÀ â ìîìåíò âûâåäåíèÿ íà ÃÑÎ (êã)
êàê ôóíêöèÿ C tf
(âðåìåíè âûâåäåíèÿ)
ÂÅÑÒÍÈÊ ÌÀÈ. Ò.16. ¹5
289

Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà, ìåõàíèêà, ôèçèêà
ðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ ìàññû ïðèìåðíî íà 4 êã
ïðèìåðíî íà 0,3 %), òî óâåëè÷åíèå âðåìåíè íà
0 % (íà 9 ñóòîê) ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ ìàññû ÊÀ
à ÃÑÎ âñåãî íà 15 êã (ïðèìåðíî íà 1,1 %). Íà íàø
çãëÿä, ýòî îáñòîÿòåëüñòâî îáúÿñíÿåò òî, ÷òî ìíîèå
ñ÷èòàþò âîçìîæíûì èñïîëüçîâàòü ðåøåíèå çàà÷è
îïòèìàëüíîãî ïåðåëåòà ÊÀ ñ ÝÐÄÓ ïðè ìèèìèçàöèè
âðåìåíè âûâåäåíèÿ. Õîòÿ, êîíå÷íî,
âåëè÷èâàÿ ýòî âðåìÿ, ìîæíî óâåëè÷èòü ìàññîâóþ
òäà÷ó òðàíñïîðòíîé îïåðàöèè.
. Ñðàâíåíèå ÷èñëåííûõ ðåçóëüòàòîâ ñ
åçóëüòàòàìè, îïóáëèêîâàííûìè â ëèòåðàòóðå
Ïðîâîäèëîñü ñðàâíåíèå ïîëó÷åííûõ ÷èñëåííûõ
åçóëüòàòîâ ñ ðåçóëüòàòàìè, îïóáëèêîâàííûìè äðóèìè
àâòîðàìè. Â ðàáîòå [6] ïðèâåäåíî ðåøåíèå
åîñðåäíåííîé çàäà÷è ìèíèìèçàöèè âðåìåíè ïååëåòà
ÊÀ ñ âûòÿíóòîé ýëëèïòè÷åñêîé îðáèòû íà
ÑÎ. Áûëè ïðèíÿòû ñëåäóþùèå ïðîåêòíûå ïàðàåòðû
ÊÀ è ïàðàìåòðû ïåðåëåòà: íà÷àëüíàÿ ìàññà
À 1500 êã, òÿãà ÝÐÄÓ 0,2 Í, ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ
ÐÄÓ 19561,82 ì/ñ, ôîêàëüíûé ïàðàìåòð íà÷àëüîé
îðáèòû 11625 êì, íà÷àëüíûé ýêñöåíòðèñèòåò
,75, íà÷àëüíîå íàêëîíåíèå 7°, êîíå÷íàÿ îðáèòà —
ðóãîâàÿ ýêâàòîðèàëüíàÿ îðáèòà ðàäèóñîì 42165 êì.
ëÿ ýòîé çàäà÷è áûëî ïîëó÷åíî ìèíèìàëüíîå âðåÿ
ïåðåëåòà, ðàâíîå 177,738 ñóòîê. Â ðàáîòå Â.Ã. Ïåóõîâà
[2] äëÿ òåõ æå âõîäíûõ óñëîâèé ïîëó÷åî
ìèíèìàëüíîå âðåìÿ ïåðåëåòà 177,360 ñóòîê. Èñîëüçîâàíèå
ïðèâåäåííîãî â íàñòîÿùåé ñòàòüå àëîðèòìà
äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è ïðèâåëî ê
íà÷åíèþ âðåìåíè ïåðåëåòà 178,013 ñóòîê. Ñ íàøåé
î÷êè çðåíèÿ, òî÷íîñòü ïîëó÷åííîé îöåíêè âðåìåè
ïåðåëåòà äîñòàòî÷íî âûñîêà. Îòìåòèì, ÷òî òî÷îñòü
óäîâëåòâîðåíèÿ óñëîâèé âûâåäåíèÿ ÊÀ íà
ÑÎ îêàçûâàåòñÿ î÷åíü âûñîêîé (ñóììà áåçðàçìåðûõ
êâàäðàòîâ íåâÿçîê ðàâíà 0,00000775).
Äëÿ îöåíêè âû÷èñëèòåëüíîé ýôôåêòèâíîñòè
ðåäëàãàåìîãî ìåòîäà áûëî ðàçðàáîòàíî ïðîãðàììîå
îáåñïå÷åíèå, ðåàëèçóþùåå èäåè ìåòîäà ïðîäîëåíèÿ
[1, 2, 3, 7], è îáåñïå÷åíèå, ðåàëèçóþùåå àëîðèòì
ñ èñïîëüçîâàíèåì ðåøåíèÿ ìîäåëüíîé çàà÷è
[1, 6]. Ïðè íàøåé ðåàëèçàöèè îòìå÷åííûõ
åòîäîâ è àëãîðèòìîâ ïðåäëàãàåìûé ïîäõîä îêàçàëÿ
íåñêîëüêî ýôôåêòèâíåå. Åãî èñïîëüçîâàíèå ïîâîëèëî
ñîêðàòèòü âðåìÿ ðåàëèçàöèè èòåðàöèîíûõ
ïðîöåäóð. Òàêîé âûâîä íèñêîëüêî íå óìàëÿåò
íà÷èìîñòü ðàçðàáîòàííûõ ðàíåå ìåòîäîâ (îñîáåíî
ìåòîäà ïðîäîëæåíèÿ ïî ïàðàìåòðó), à ëèøü ïîàçûâàåòñÿ
âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ïðåäëàãàìîãî
â ðàáîòå ìåòîäà.
Ïðèâåäåííûå ñðàâíåíèÿ ïîêàçûâàþò âîçìîæíîñòü
èñïîëüçîâàíèÿ ïðåäëàãàåìîãî ìåòîäà ïðè
ïðîåêòíî-áàëëèñòè÷åñêîì àíàëèçå òðàíñïîðòíûõ
ñèñòåì ñ ýëåêòðîðàêåòíûìè äâèãàòåëüíûìè óñòàíîâêàìè.
Âûâîäû
 ðàáîòå ïðåäëîæåíà ìåòîäèêà îïòèìèçàöèè
ñõåì âûâåäåíèÿ ÊÀ ñ äâèãàòåëåé ìàëîé òÿãè ñ ýëëèïòè÷åñêîé
íà ïðîñòðàíñòâåííóþ êðóãîâóþ îðáèòó.
Ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû èñïîëüçîâàíèÿ ðàçðàáîòàííîé
ìåòîäèêè è ðåçóëüòàòû àíàëèçà îïòèìàëüíîé
òðàåêòîðèè âûâåäåíèÿ ÊÀ ñ ÝÐÄÓ íà ÃÑÎ,
îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì ÊÀ ïðè ýòîì
âûâåäåíèè. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñðàâíèâàþòñÿ
ñ ðåçóëüòàòàìè, îïóáëèêîâàííûìè äðóãèìè àâòîðàìè.
Ïðåäëàãàåìàÿ ìåòîäèêà ïîêàçàëà äîñòàòî÷íî
âûñîêóþ ýôôåêòèâíîñòü. Îíà ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà
äëÿ îïòèìèçàöèè ìíîãîâèòêîâûõ ïåðåëåòîâ
ñ ýëëèïòè÷åñêîé íà÷àëüíîé îðáèòû íà ÃÑÎ äëÿ ÊÀ
ñ ÝÐÄÓ.
Áèáëèîãðàôè÷åñêèé ñïèñîê
1. Konstantinov M. Optimization of Low Thrust transfer
from elliptical orbit into noncoplanar circular orbit.
Proceedings of 2nd International Symposium on Low-Thrust
Trajectories LOTUS-2, Toulouse, France, 2002.
2. Ïåòóõîâ Â.Ã. Îïòèìèçàöèÿ ìíîãîâèòêîâûõ ïåðåëåòîâ
ìåæäó íåêîìïëàíàðíûìè ýëëèïòè÷åñêèìè îðáèòàìè
// Êîñìè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ. 2004. Ò. 42. ¹42.
Ñ.1—20.
3. Petukhov V. Spacecraft insertion into high working
orbits using light class launcher and electric propulsion. 17th
International symposium on space flight dynamics. Moscow,
Russia, June 16, 2003.
4. Madsen K., Nielsen H.B., Tingleff O. Methods for nonlinear
least square problems, 2nd Edition, April 2004.
5. Al-Baali M. and Fletcher R. Variation methods for nonlinear
least-squares. J. Opl. Res. Soc. 36. ¹ 5. Pp 405-421,
1985.
6. Caillau J.B., Gerguad J., Noailles J. 3D
Geosynchronous Transfer of a Satellite: Continuation on the
Thrust, journal of optimization theory and applications.
Vol.118, No: 3, pp.541-565, September 2003.
7. Konstantinov M. Optimization of low thrust transfer
between no coplanar elliptic orbits. Paper IAF-97-A.6.06,
Turin, Italy, October 1997.
Ðàáîòà âûïîëíåíà â Ìîñêîâñêîì àâèàöèîííîì
èíñòèòóòå (ãîñóäàðñòâåííîì òåõíè÷åñêîì
óíèâåðñèòåòå) ïðè ÷àñòè÷íîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ,
ãðàíòû ¹ 09-08-01140-à, 09-08-01228-à.
Ìîñêîâñêèé àâèàöèîííûé èíñòèòóò
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 19.11.2009
290 ÂÅÑÒÍÈÊ ÌÀÈ. Ò.16. ¹5