1 - 南京航空航天大学精品课程建设

材 料 力 学
第 十 四 章
静 不 定 结 构
南 京 航 空 航 天 大 学
陶 秋 帆 等
1

简 要 复 习
§13. 8 计 算 莫 尔 积 分 的 图 乘 法
• 图 乘 法 的 条 件
• 用 图 乘 法 计 算 莫 尔 积 分
Δ = ∫ l
M
= ω ⋅
( x)
M ( x)
d
EI
M C
EI
杆 件 为 等 截 面 直 杆 。
式 中 ,ω 为 M(x) 弯 矩 图 的 面 积 ;
x
M
C
为 M (x)
图 中 与 M (x)
图 的 形 心 C 对 应
的 纵 坐 标 。
2

用 图 乘 法 时 , 应 注 意 :
1 当 弯 矩 图 有 变 化 时 , 应 分 段 图 乘 ;
2 当 EI 有 变 化 时 , 应 分 段 图 乘 ;
3 作 弯 矩 图 时 , 可 用 叠 加 法 , 分 别 进 行 图 乘 。
3

新 课
第 十 四 章
静 不 定 结 构
§14. 1 静 不 定 结 构 概 述
1 静 不 定 结 构
• 外 力 静 不 定 • 内 力 静 不 定 • 混 合 静 不 定
2 静 不 定 次 数 的 确 定
静 不 定 次 数 = 未 知 力 个 数 - 独 立 平 衡 方 程 数
(1) 外 力 静 不 定 次 数 的 确 定
根 据 约 束 的 性 质 及 力 系 的 类 型 来 确 定 。
4

(2) 内 力 静 不 定 次 数 的 确 定
平 面 桁 架
未 知 力 个 数 = 约 束 反 力 数 + 杆 件 数
独 立 方 程 数 = 节 点 数 乘 以 2
刚 架
对 于 闭 口 的 平 面 刚 架 , 为 三 次 内 力 静 不 定 ;
每 增 加 一 个 闭 合 框 架 , 就 增 加 三 次 静 不 定 。
5

3 静 定 基 和 相 当 系 统
静 定 基 ( 基 本 静 定 系 )
静 不 定 系 统 在 解 除 某 些 约 束 后 得 到 的 静 定 系 统 .
静 定 基 不 唯 一 。
相 当 系 统
在 静 定 基 上 作 用 外 载 荷 和 被 解 除 约 束 的 约 束 反
力 的 系 统 。 ⎯⎯ 与 静 不 定 系 统 静 力 等 效 。
6

§14. 2 用 力 法 解 静 不 定 结 构
1 力 法 与 位 移 法
• 力 法 • 位 移 法
2 力 法 解 静 不 定
• 例 子
静 不 定 次 数 1 次
静 定 基
相 当 系 统
变 形 协 调 条 件
Δ 1 = 0
7

位 移 的 表 示
Δ 1
=
Δ + Δ
1P
1X 1
△ 1X1
的 表 示
在 B 点 沿 X 1
的 方
向 加 单 位 力
δ 11
对 线 弹 性 结 构 , 有 :
Δ = X ⋅δ
1X
1 1 11
代 入 变 形 协 调 条 件 , 得 到 :
Δ ⋅δ
1P 1 11
+ X = 0 δ X + Δ = 0
11 1 1P
8

代 入 变 形 协 调 条 件 , 得 到 :
Δ + X ⋅δ
= 0
1P 1 11
X + Δ =
11 1 1P
这 就 是 求 解 一 次 静 不 定 问 题 的 力 法 正 则 方 程 。
其 中 每 一 项 的 物 理 意 义 是 位 移 。
△ 1P 表 示 :
在 X 1 作 用 点 沿 X 1 方 向
由 于 外 载 荷 作 用 而 引 起 的 位 移 。
δ
0
注 意 : 外 载 荷 中 不 包 括 X 1 。
可 用 莫 尔 积 分 表 示 为 :
Δ
1P
= ∫
l
M 1( x)
M
EI
( x)
d
9
x

△ 1P 表 示 :
δ
X + Δ =
11 1 1P
0
在 X 1 作 用 点 沿 X 1 方 向
由 于 外 载 荷 作 用 而 引 起 的 位 移 。
注 意 : 外 载 荷 中 不 包 括 X 1 。
可 用 莫 尔 积 分 表 示 为 :
δ 11 表 示 :
在 X 1 作 用 点 沿 X 1 方 向 由
于 X 1 处 的 单 位 载 荷 引 起
的 位 移 。
Δ
1P
= ∫
l
M 1( x)
M
EI
( x)
d
10
x

δ 11 表 示 :
在 X 1 作 用 点 沿 X 1 方 向 由
于 X 1 处 的 单 位 载 荷 引 起
的 位 移 。
• 对 本 例
可 用 莫 尔 积 分 表 示 为 :
δ 11
3
M 1( x)
M ( x)
= ∫
1
d x
l
EI
用 莫 尔 积 分 法 , 或 图 乘 法 可 求 出
l
Pa
δ = , Δ = − (3l
− a)
11
1P
3EI
6EI
Pa
2
X = (3 )
1
2 3 l − a
l
由 正 则 方 程 解 出 :
2
11

3 N 次 力 法 正 则 方 程
先 以 三 次 静 不 定 问 题 为 例
相 当 系 统
变 形 协 调 条 件 :
Δ
i
=
0 ( i =
1,
2,
3)
12

变 形 协 调 条 件 :
Δ
i
=
0 ( i =
1,
2,
3)
Δ = + δ + δ + Δ
1
Δ
Δ
δ = 0
X X X
11 1 12 2 13 3 1P
= δ X + δ X + δ X + Δ = 0
2 21 1 22 2 23 3 2 P
= δ X + δ X + δ X + Δ = 0
3 31 1 32 2 33 3 3P
同 理 , 对 N 次 静 不 定 问 题 , 有
δ X + δ X + + δ + Δ = 0
11 1 12 2
1 n X n 1 P
δ X + δ X + + δ + Δ = 0
21 1 22 2
2 n X n 2 P
δ X + δ X + +
δ X + Δ = 0
n1 1 n2
2
nn n nP
13

同 理 , 对 N 次 静 不 定 问 题 , 有
⎧δ
X
11
⎪
⎪δ
X
21
⎨
⎪
⎪
⎩δ
X
n1
1
1
1
+
+
+
δ
δ
δ
12
22
n2
X
X
X
2
2
2
+ +
+ +
+ +
δ
δ
δ
1n
2n
nn
X
n
X
X
n
n
+ Δ
+ Δ
+ Δ
1P
2P
nP
= 0
= 0
= 0
其 中 的 常 数 项 △ iP 表 示 :
在 X i 作 用 点 沿 X i 方 向 由 于 外 载 荷 而 引 起 的 位 移 。
可 用 莫 尔 积 分 表 示 为 :
Δ
iP
= ∫
l
M
i
( x)
M
EI
( x)
d x
14

其 中 的 常 数 项 △ iP 表 示 :
在 X i 作 用 点 沿 X i 方 向 由 于 外 载 荷 而 引 起 的 位 移 。
可 用 莫 尔 积 分 表 示 为 :
其 中 的 系 数 δ ij 表 示 :
Δ
i P
= ∫
l
M
i
( x)
M
EI
( x)
在 X i 作 用 点 沿 X i 方 向 由 于 X j 处 的 单 位 载 荷 引 起 的
位 移 。
δ ij 可 用 莫 尔 积 分 表 示 为 :
δ
ij
∫
M
( x)
M
=
i j
l
EI
d
( x)
x
d
x
根 据 位 移 互 等 定 理 , 有 :
δ =
ij
δ
ji
15

• 解 静 不 定 问 题 的 一 般 步 骤
1) 判 定 静 不 定 次 数 ;
2) 选 择 静 定 基 , 得 到 相 当 系 统 ;
3) 分 解 载 荷 : 分 别 将 外 载 荷 、 各 单 位 载 荷 作
用 在 静 定 基 上 ;
4) 画 出 各 载 荷 下 的 内 力 ( 弯 矩 ) 图 或 写 出 内 力
( 弯 矩 ) 方 程 ;
5) 用 图 乘 法 或 莫 尔 积 分 等 求 出 △ iP
和 δ ij
;
6) 求 解 正 则 方 程 , 解 出 未 知 力 。
16

例 1 ( 书 例 11.4)
已 知 : q, a, EI 为 常 数 。
求 : 静 不 定 问 题 。
解 :• 静 不 定 次 数 3 次
• 静 定 基 • 相 当 系 统
• 分 解 载 荷
外 载 荷
单 位 载 荷
17

• 分 解 载 荷
单 位 载 荷
• 用 图 乘 法
求 系 数
外 载 荷 的
弯 矩 图
外 载 荷
M P
1 qa
2
2
18

• 用 图 乘 法 求 系 数
外 载 荷 的 弯 矩 图
单 位 载 荷 的 弯 矩 图
a
M P
1 qa
2
2
a
M M
1
2
a
19

单 位 载 荷 的 弯 矩 图
a
计 算 常 数 项 △ iP
△ 1P 为 M P 图 与 M 1 图 互 乘
a
M 1
1
M 2
1 M3
a
20

计 算 常 数 项 △ iP
△ 1P 为 M P 图 与 M 1 图 互 乘
Δ 1
[
1P = 1 1
⋅ a ⋅ qa
2
⋅( −a)]
EI 3 2
= −
qa
4
6EI
△ 2P 为 M P 图 与 M 2 图 互 乘
a
M P
a
M 1
1 qa
2
2
21

△ 1P 为 M P 图 与 M 1 图 互 乘
Δ 1
[
1P = 1 1
⋅ a ⋅ qa
2
⋅( −a)]
EI 3 2
△ 2P 为 M P 图 与 M 2 图 互 乘
= −
Δ 1
[
2P = 1 1 3
⋅ a ⋅ qa
2
⋅( − a)]
EI 3 2 4
qa
4
6EI
4
qa
= −
8EI
M P
M 2
1 qa
2
2
a
22

△ 2P 为 M P 图 与 M 2 图 互 乘
Δ 1
[
2P = 1 1 3
⋅ a ⋅ qa
2
⋅( − a)]
EI 3 2 4
△ 3P 为 M P 图 与 M 3 图 互 乘
1
= −
Δ 1
[
3P = 1 1
⋅ a ⋅ qa
2
⋅(−1)]
= −
EI 3 2
qa
qa
4
8EI
3
6EI
M P
1 M3
1 qa
2
2
23

△ 3P 为 M P 图 与 M 3 图 互 乘
Δ 1
[
3P = 1 1
⋅ a ⋅ qa
2
⋅(−1)]
EI 3 2
= −
qa
3
6EI
计 算 系 数 δ ij
1
δ 11 为 M 1 图 与 M 1 图 自 乘
M P
1 M3
1 qa
2
2
24

计 算 系 数 δ i j
δ
δ
11
22
a
1 1
= (
EI 2
1 1
= (
EI 2
⋅
⋅
δ 11 为 M 1 图 与 M 1 图 自 乘
a ⋅
a ⋅
a
a
⋅
⋅
2
3
a
2 a )
3
+ a ⋅ a ⋅ a)
=
a
3
3EI
=
4a
3
3EI
a
M 1
M 2
a
25

δ
22
=
1
EI
1
(
2
⋅
a ⋅
a
δ 33 为 M 3 图 与 M 3 图 自 乘
1
δ = ( a ⋅1⋅1
33
EI
⋅
2 a )
3
=
+ a ⋅1 ⋅1)
a
3
3EI
2a
=
EI
1
M 2
1 M3
a
26

δ 33 为 M 3 图 与 M 3 图 自 乘
1
δ = ( a ⋅1⋅1
33
EI
δ 12 为 M 1 图 与 M 2 图 互 乘
δ
12
= δ
a
21
=
1
EI
(
+ a ⋅1 ⋅1)
=
1
a ⋅ a ⋅ a ) =
2
2a
EI
a
3
2EI
a
M 1
M 2
a
27

δ 12 为 M 1 图 与 M 2 图 互 乘
δ
12
= δ
21
=
1
EI
δ 13 为 M 1 图 与 M 3 图 互 乘
δ
13
= δ
a
31
=
1
EI
(
(
1
a ⋅ a ⋅ a ) =
2
1
2
a ⋅
a
a
3
2EI
⋅1+ a ⋅ a ⋅1)
1
=
a
3 2
2EI
a
M 1
1 M3
28

δ 13 为 M 1 图 与 M 3 图 互 乘
δ
13
= δ
31
=
1
EI
(
1
2
a ⋅
δ 23 为 M 2 图 与 M 3 图 互 乘
δ
23
= δ
32
=
1
EI
(
1
2
a ⋅
a
a
⋅1+ a ⋅ a ⋅1)
⋅1)
=
a
1
2
2EI
=
a
3 2
2EI
M 2
1 M3
a
29

δ 23 为 M 2 图 与 M 3 图 互 乘
δ
23
= δ
32
=
1
EI
(
1
2
a ⋅
a
⋅1)
=
a
2
2EI
• 将 求 出 的 系 数 和 常 数 代 入 正 则 方 程 , 有 :
8aX + + X = qa
3aX
9
1 2
12aX + + X = qa
8aX
12 3
1 2 3
9aX + + X = qa
3aX
12
1 2
3
3
2
2
2
X
1
=
−
qa
16
,
X =
2
7qa
16
,
X =
3
qa
2
48
30

例 2 ( 书 例 11.2)
已 知 : P, a, 各 杆 EA 相 同 。
求 : 各 杆 内 力 。
解 :• 静 不 定 次 数 1 次
• 静 定 基
• 相 当 系 统
3
4
2
a
5
6
1
P
a
• 正 则 方 程
X 1
P
Δ 1
=
δ X + Δ
11 1 1
这 里 ,Δ 1 的 物 理 意 义 是 4 号
P
4
5
杆 切 口 处 的 相 对 位 移 。
3
6
1
所 以 应 有 : δ X 0
+ Δ =
11 1 1P
2
31

• 正 则 方 程
X 1
P
Δ 1
=
δ X + Δ
11 1 1
这 里 ,Δ 1 的 物 理 意 义 是 4 号
杆 切 口 处 的 相 对 位 移 。
P
3
4
5
6
1
所 以 应 有 : δ X 0
+ Δ =
11 1 1P
2
• 分 解 载 荷
P
外 载 荷 作 用 时 的 内 力
4
5
N = −P,
N = −P,
1 2
N = 0, ,
3 N 4 = 0
3
2
6
1
N = 2P,
N = 0
5 6
32

外 载 荷 作 用 时 的 内 力
N = −P,
1
N = −P,
2
N = 0,
3 N ,
4 = 0
N =
5
2P,
N = 0 6
单 位 载 荷 作 用 时 的 内 力
3
4
X 1
5
2
6
1
P
N =1, N =1,
1 2
N = 1, N =1,
3 4
N = − 2, N = − 2
5 6
• 计 算 △ 1P
Δ
1P
=
6
∑
i=
1
N N l
i
EA
i
i
i
3
4
1
5
2
6
33
1

• 计 算 △ 1P
Δ
1P
=
6
∑
i=
1
N N l
i
EA
i
i
i
= −
2 (1 +
EA
2)Pa
• 计 算 δ 11
δ
11
=
6
∑
i=
1
N N l
i
EA
• 代 入 正 则 方 程 , 解 得 :
X
1
= −
i
i
i
Δ
δ
=
1P
11
4 (1 +
=
• 由 叠 加 原 理 , 各 杆 的 内 力 :
P
2
EA
2)a
N
P
= N + X
i i 1
N
34
i

例 3 ( 书 例 11.3)
已 知 : 四 分 之 一 圆 曲
杆 ,P, a , EI 为 常 数 。
求 : 弯 矩 图 。
解 :• 静 不 定 次 数 1 次
• 静 定 基
• 相 当 系 统
A
P
45°
B
a45°
• 正 则 方 程
δ
X + Δ =
11 1 1P
0
• 对 曲 杆 , 不 能 用 图 乘
法 , 用 莫 尔 积 分 求 。
• 分 解 载 荷
A
P
45°
45°
B
X 1
35

• 分 解 载 荷
外 载 荷
单 位 载 荷
外 载 荷 的 弯 矩 方 程
P
C
ϕ
B
BC 段 M = 0
CA 段
( 0 ≤ϕ ≤π
/ 4)
A
M = Pa sin( ϕ −
π
( π / 4 ≤ ϕ ≤ π /
单 位 载 荷 的 弯 矩 方 程
/
4)
2)
C
B
ϕ 1
M = −asinϕ
( 0 ≤ ϕ ≤ π
/
2)
A
36

• 单 位 载 荷 的 弯 矩 方 程
M = −asinϕ
( 0 ≤ ϕ ≤ π
/
2)
C
B
ϕ 1
• 用 莫 尔 积 分 求 △ 1P
Δ
1P
= ∫
=
M ( x)
M
S
1 π / 2
EI
∫
π / 4
EI
[ Pa
3
π
Pa
= −
8 2EI
( x)
d s
sin(
ϕ
−
π
/
A
4)] ⋅( −a sin ϕ)
a dϕ
37

• 用 莫 尔 积 分 求 △ 1P
Δ
1P
= ∫
=
S
= −
M ( x)
M
1 π / 2
EI
∫
π / 4
Pa
EI
8 2EI
[ Pa
3
π
• 用 莫 尔 积 分 求 δ 11
( x)
d s
sin(
ϕ
−
π
/
4)] ⋅( −a sin ϕ)
a dϕ
11
M ( x)
M ( x)
= ∫
d s
S
EI
1 π / 2
δ = ∫ ( −
EI
0
a
sin
ϕ
2
)
a dϕ
38

• 用 莫 尔 积 分 求 δ 11
11
M ( x)
M ( x)
= ∫
d s
S
EI
π a
3
=
4EI
1 π / 2
δ = ∫ ( −
• 代 入 正 则 方 程 , 得 :
X =
1
2
EI
π a
P
3
4EI
2
0
X
• 由 叠 加 原 理 , 可 得 到 弯 矩 方 程
1
asin
ϕ
3
π
2
)
a dϕ
Pa
− = 0
8 2EI
39

• 代 入 正 则 方 程 , 得 :
3
π a
X
4EI
P
X =
1
2 2
• 由 叠 加 原 理 , 可 得 到 弯 矩 方 程
BC 段
CA 段
1
3
π
Pa
− = 0
8 2EI
Pa
M = X M = − sinϕ
1
2 2 ( 0 ≤ϕ ≤π
/ 4)
M = M + X M
P 1
Pa
= Pa sin( ϕ −π
/ 4) − sinϕ
2 2
( π / 4 ≤ ϕ ≤ π / 2)
40

§14. 3 对 称 及 反 对 称 性 质 的 利 用
1 对 称 结 构 的 对 称 变 形 和 反 对 称 变 形
• 对 称 结 构
若 结 构 的 几 何 尺 寸 、 形
状 , 构 件 材 料 及 约 束 条
件 均 对 称 于 某 一 轴 , 则
称 此 结 构 为 对 称 结 构 。
• 对 称 载 荷
若 载 荷 的 作 用 位 置 , 大 小 和 方 向 也 对 称 于 结 构
的 对 称 轴 , 则 称 为 对 称 载 荷 。
41

• 对 称 载 荷
若 载 荷 的 作 用 位 置 , 大 小 和
方 向 也 对 称 于 结 构 的 对 称 轴 ,
则 称 为 对 称 载 荷 。
• 反 对 称 载 荷
若 载 荷 的 作 用 位 置 , 大 小 对
称 于 结 构 的 对 称 轴 , 但 方 向
反 对 称 , 则 称 为 反 对 称 载 荷 。
• 对 称 结 构 在 对 称 载 荷 作 用 下
对 称 变 形
42

• 对 称 结 构 在 对 称 载 荷 作 用 下
对 称 变 形
• 对 称 结 构 在 反 对 称 载 荷 作 用 下
反 对 称 变 形
2 对 称 结 构 受 对 称 载 荷 时 的 特 点
结 论 :
对 称 结 构 受 对 称 载 荷 作 用 时 ,
在 对 称 截 面 上 , 反 对 称 内 力
( 剪 力 ) 为 零 。
证 明 : 从 对 称 截 面 截 开 。
43

证 明 : 从 对 称 截 面 截 开 。
即 要 证 明 ,X 3
= 0
由 正 则 方 程
δ
X δ + δ + Δ =
11 1 12 2 13 3 1
+ X X
P
0
δ
X δ + δ + Δ =
21 1 22 2 23 3 2
+ X X
P
0
δ
X δ + δ + Δ =
31 1 32 2 33 3 3
+ X X
P
• 用 图 乘 法 可 证 明 △ 3P , δ 31 和 δ 32 均 为 零 。
0
44

• 用 图 乘 法 可 证 明 △ 3P , δ 31 和 δ 32 均 为 零 。
画 出 弯 矩 图 。
由 M P 和 M 3 图
Δ 3
= 0
P
由 M 1 和 M 3 图
δ 31 = 0
由 M 2 和 M 3 图
δ 32 = 0
又
所 以
δ 33 ≠ 0
X 3
= 0
45

3 对 称 结 构 受 反 对 称 载 荷 时 的 特 点
结 论 :
对 称 结 构 受 反 对 称 载 荷 作 用 时 , 在 对 称 截 面
上 , 对 称 内 力 ( 弯
矩 和 轴 力 ) 为 零 。
注 意 :
上 述 结 论 只 对 对 称 截 面
处 成 立 , 对 其 它 截 面 不
成 立 。
46

4 可 转 化 为 对 称 载 荷 或 反 对 称 载 荷 的 情 况
+
47

例 1 ( 书 例 14.5)
已 知 : 等 截 面 圆 环 ,P, a , EI
为 常 数 。
求 : 直 径 AB 的 长 度 变 化 。
解 :• 静 不 定 次 数 3 次
• 因 为 结 构 和 载 荷 关 于 CD 对 称
所 以 在 C、D 截 面 上 ,
P
P
反 对 称 内 力 ⎯ 剪 力 Q=0。
A
• 又 因 为 结 构 和 载 荷
M 0
M
关 于 AB 对 称
0
C
D
所 以 ,C、D 截 面 上 的
N 0
48
内 力 也 关 于 AB 对 称 。
C
a
A
B
P
D
N 0

• 又 因 为 结 构 和 载 荷
关 于 AB 对 称
所 以 ,C、D 截 面 上 的
内 力 也 关 于 AB 对 称 。
A
P
M 0
M 0
C
D
C、D 截 面 上 的 内 力 相 等 。
由 ∑Y = 0
N =
0
P
2
• 由 半 圆 环 关 于 AB 的 对 称 性
N 0
A
D
N 0
M 0
可 取 四 分 之 一 圆 环 研 究 。
N 0
49

• 由 半 圆 环 关 于 AB 的 对 称 性
A
可 取 四 分 之 一 圆 环 研 究 。
• 对 整 体 , 由 变 形 的 对 称 性 可 知 ,
A、B、C、D 截 面 的 转 角 为 零 。
所 以 对 四 分 之 一 圆 环 AD,
可 将 A 处 看 作 受 固 定 端 约 束 。
而 将 D 截 面 转 角 为 零 作 为 变
形 协 调 条 件 。
这 样 , 就 简 化 为 一 次 静 不
定 问 题 。
C
a
A
B
D
P
M 0
N 0
D
P
50

这 样 , 就 简 化 为 一 次
静 不 定 问 题 。
记 未 知 约 束 力 偶 M 0 为
X 1 , N 0 用 P/2 代 替 。
• 求 解 静 不 定 问 题
正 则 方 程
δ
11
X
1
载 荷 分 解
+ Δ1P
=
0
外 载 荷 的 弯 矩 方 程
M P
= Pa
2
(1 −
cos
ϕ
)
A
A
D
M 0
N 0
A
D
X 1
51
P
2
ϕ D ϕ D 1
P
2
A

载 荷 分 解
外 载 荷 的 弯 矩 方 程
M P
= Pa
2
(1 −
cos
ϕ
单 位 载 荷 的 弯 矩 方 程 M = −1
用 莫 尔 积 分 求 △ 1P
)
A
ϕ D ϕ D 1
P
2
A
Δ
=
1P
=
∫
∫
S
1 π / 2
EI
0
M ⋅ M
EI
Pa
2
P
d s
(1 −cos
ϕ
) ⋅(−1)
Pa π
a dϕ
= − ( −1)
2EI
2
3
52

用 莫 尔 积 分 求 △ 1P
Δ
=
1P
=
∫
∫
S
1 π / 2
EI
0
M ⋅ M
EI
Pa
2
P
(1 −
d s
cos
ϕ
) ⋅(−1)
ad
ϕ
2
π
Pa
= − ( −1)
2EI
2
用 莫 尔 积 分 求 δ 11
11
M ⋅ M
= ∫ d s
S
EI
1 π / 2
δ = ∫ ( −
EI
0
1)
2
a dϕ =
1 1
代 入 正 则 方 程 , 解 得 : X = Pa(
− )
1
2
π
π
a
2EI
53

1 1
代 入 正 则 方 程 , 解 得 : X = Pa(
− )
1
2
• 求 AB 两 点 的 相 对 位 移
外 载 荷 的 弯 矩 方 程
由 叠 加 原 理 ,AD 段 的 弯 矩 方 程
A
π
P
M = M − X
P
= Pa 1 1
(1 − cosϕ)
− Pa(
− )
2
2 π
= Pa 1 cosϕ
( )
π − 2
在 A、B 两 点 加 一 对 单 位 力
1
C
a
B
ϕ D
P
54

由 叠 加 原 理 ,AD 段 的 弯 矩 方 程
M = M − X
P
= Pa 1 1
(1 − cosϕ)
− Pa(
− )
2
2 π
= Pa 1 cosϕ
( )
π − 2
在 A、B 两 点 加 一 对 单 位 力
单 位 载 荷 的 弯 矩 方 程
只 需 在 上 式 中 , 令 P = 1
M 1 cosϕ
( )
1
= a π −
1
2
C
a
A
B
1
ϕ D
1
55

单 位 载 荷 的 弯 矩 方 程
1
只 需 在 上 式 中 , 令 P = 1
M
1
= a 1
(
π −
cos
2
ϕ
用 莫 尔 积 分 求 相 对 位 移
δ
/ 2 ⋅
= 4∫
π M M
1
a dϕ
0
EI
4Pa
3
π / 2 1 cos
= ∫ ( − EI
0
2
π
)
ϕ
)
2
d
C
Pa
ϕ = EI
a
3
A
ϕ
B
π
( −
4
1
2
)
π
D
56

例 2 ( 书 例 14.6)
已 知 : 刚 架 如 图 ,q, a 。
求 : 约 束 反 力 。
解 :• 静 不 定 次 数
• 取 静 定 基
1 次
解 除 在 C 截 面 处 对 相 对 转 动
的 约 束 , 则 C 处 的 约 束 成 为
铰 链 。 代 之 以 力 偶 M C 。
• 又 因 为 结 构 对 称 而 载 荷 反 对 称
所 以 ,C 截 面 上 的 对 称 内 力 M C 和 N C 均 为 零 。
则 ,C 处 的 铰 链 成 为 可 动 铰 支 座 。
q
EI
A
a
M C
C
q
a
EI
57
B

• 又 因 为 结 构 对 称 而 载 荷 反 对 称
所 以 ,C 截 面 上 的 对 称 内 力 M C 和 N C 均 为 零 。
则 ,C 处 的 铰 链 成 为 可 动 铰 支 座 。
q
M C
C
q
C
a
q
a
a
EI
A
EI
B
EI
A
成 为 静 定
结 构
58

谢 谢 大 家 !
59