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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE
Dispense del corso di:
MECCANICA COMPUTAZIONALE
DELLE STRUTTURE
Prof. Ing. C. Borri & W. B. Krätzig
(Univ. di Firenze) (Ruhr Univ. di Bochum)
Revisione: Dott. Ing. M. Betti
A.A. 2000/2001

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
I. Introduzione alla Meccanica delle Strutture Discrete
Delle tre discipline che congiuntamente prendono il nome di Meccanica, cioè Cinematica,
Statica e Dinamica, ci occuperemo esclusivamente delle prime due e del legame che intercorre tra
esse.
Si parla specificatamente di strutture discrete perché, con i metodi dell'analisi computazio-
nale, qualsiasi struttura continua deve essere trasformata in una struttura discreta (al contrario di
altri metodi in cui le strutture continue possono essere analizzate). Per esattezza bisogna ricordare
che in realtà tutte le strutture sono continue e non esistono strutture discrete; quando parliamo di
struttura continua o struttura discreta ci riferiamo al modello, che può essere al continuo o al di-
screto, di quella tal struttura.
Nei modelli al continuo (strutture continue) lo scopo finale è quello di definire le gran-
dezze caratteristiche punto per punto, cioè di determinare il campo delle grandezze di deforma-
zione e delle grandezze di tensione della struttura.
Nei modelli al discreto (strutture discrete) invece si cerca di approssimare al meglio la
geometria della struttura reale utilizzando dei componenti, o elementi, dotati di limitata variabilità
geometrica. Da tali modelli si estraggono, non le grandezze caratteristiche punto per punto, ma le
grandezze globali che interessano un insieme di punti; per una trave tale insieme di punti è la se-
zione trasversale, per un guscio è la superficie media.
2

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1. Rivista dei modelli della meccanica dei continui
1.1 Modelli ingegneristici
Il compito degli ingegneri è quello di trasformare modelli in strutture effettivamente realiz-
zabili, tenendo presente che la struttura deve svolgere una funzione durante tutto il suo ciclo di
vita (durabilità), assicurandosi che nello svolgimento di tale funzione essa sia garantita da danneg-
giamenti e che non arrechi danno a cose o persone. Si tratta quindi di fare un'analisi di previsione
del futuro, una sorta di prognosi (la vita della struttura si progetta).
Nell'ingegneria strutturale si devono trovare dei modelli per l'analisi di rigidezza e di resi-
stenza: dobbiamo prevedere quanto una struttura è rigida e la sua resistenza ultima.
MODELLAZIONE
RIGIDEZZA RESISTENZA
Rigidezza e resistenza non vanno sempre di pari passo; infatti una struttura può essere
molto rigida ma andare in crisi per un carico minore di un'altra struttura meno rigida, cioè più
deformabile, ma più resistente; inoltre le componenti strutturali contribuiscono alla sopportazione
di un carico in modo proporzionale alla propria rigidezza; gli elementi più rigidi si accollano così
una parte di carico maggiore rispetto agli elementi meno rigidi.
Concetto di struttura:
La struttura può essere pensata come l'insieme di quei componenti di una costruzione atti
a sopportare, con sicurezza, i carichi o le azioni esterne in genere.
Non tutte le componenti di una costruzione possono essere identificate con il termine
struttura; un edificio non è composto da soli elementi strutturali.
3

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Il problema è quello di modellare tre componenti: - carichi;
4
- struttura;
- risposta.
1. Carichi: La definizione di un modello dei carichi e delle azioni esterne è spesso
molto complicata, basti pensare all'azione del vento, del sisma, oppure alle azioni lente derivanti
dal fatto che strutture di grandi dimensioni sottoposte all'azioni dei carichi permanenti subiscono
delle deformazioni molto lente nel tempo (es.: "creep" e "fluage").
2. Struttura: Il modello strutturale equivale a considerare adeguatamente la geometria
della struttura, le proprietà di massa, di rigidezza, di smorzamento (quando la teoria ce lo con-
sente) in modo da ottenere un modello elementare che sia equilibrato, congruente e compatibile
con le leggi di legame (es.: legame elastico, se lavoriamo nel campo elastico).
3. Risposta : Bisogna modellare la risposta di una struttura perché quello che dobbiamo
analizzare, non sono i carichi, non è la struttura, ma la reazione della struttura stessa alle sollecita-
zioni esterne.
Dai modelli di previsione ingegneristici nasce la teoria del sistema; lo schema seguente ne
illustra a grandi linee il funzionamento:
La prima fase, quella di determinazione dei carichi, può essere vista come la fase di input;
la seconda fase, il modello strutturale, è il nostro strumento di soluzione, mentre la terza fase, la
risposta strutturale, è l'output, il risultato. Durante ogni fase di questo processo inoltre è impor-
tante controllare sempre di essere in condizioni di sicurezza.
Es.: Consideriamo il solaio di un edificio, procediamo ad identificare il modello strutturale
- isoliamo il solaio da ogni sovrastruttura (es.: pavimenti, etc... );
- avendo definito la geometria, ipotizziamo massa e rigidezza del solaio;
- infine consideriamo opportunamente le sue condizioni al contorno.

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1.2 Modelli strutturali
I modelli strutturali sono costituiti da elementi mono-, bi-, e tridimensionali che hanno as-
segnate, in modo continuo lungo linee, superfici o volumi e/o concentrate in punti, le loro pro-
prietà meccaniche.
1- Elementi monodimensionali: aste e travi.
Sono caratterizzati dall'avere una dimensione prevalente rispetto alle altre due; da ciò deri-
vano alcune conseguenze importanti, come la possibilità di poter semplificare enormemente il mo-
dello strutturale (vedi teoria di De Saint-Venant). Si possono distinguere i casi di elementi mono-
dimensionali piani (che si possono disporre solo complanarmente) e elementi monodimensionali
spaziali (che si possono disporre arbitrariamente nello spazio); e, per quanto riguarda le proprietà
di rigidezza, i casi di elementi monodimensionali non deformabili (infinitamente rigidi) a taglio e
deformabili a taglio.
Oss.: Differenza tra elemento-trave e elemento-asta:
h,b

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2- Elementi bidimensionali: superfici strutturali.
Sono caratterizzati dall'avere una delle tre dimensioni molto minore rispetto alle altre due.
Così come gli elementi monodimensionali possono essere ricondotti a una linea (una dimensione),
l'asse della trave, gli elementi bidimensionali possono essere ricondotti ad una superficie (due di-
mensioni), il piano medio.
Gli elementi bidimensionali possono essere distinti in:
- elementi in stato di tensione normale (cioè membranale, che non hanno rigidezza flessionale);
- elementi (piastre e gusci) in stato di tensione flessionale.
Questi elementi possono essere studiati secondo due diverse teorie:
1a.- Modellando le piastre dotate di rigidezza a taglio, ovvero considerando rigidezza debole a
taglio (Shear-Weak), in questo caso ci rifaremo alla teoria di REISSNER-MINDLIN.
2a.- Considerando una rigidezza a taglio infinita utilizzeremo la teoria di KIRCHHOFF-LOVE.
Oss.: Come strutture bidimensionali possiamo considerare anche i gusci.
La teoria dei gusci (Shell-Theory), ovvero delle superfici strutturali curve, si può dividere
in tre parti, ciascuna corrispondente ad un diverso livello di accuratezza dell'analisi:
- la teoria lineare;
- la teoria non lineare in grandi spostamenti e piccole deformazioni e rotazioni;
- la teoria non lineare in grandi spostamenti e grandi deformazioni e rotazioni.
Tale teoria si complica in quanto non avendo più superfici piane dovremo abbandonare il
sistema di riferimento cartesiano e scrivere la geometria e tutte le grandezze statiche e cinemati-
che in gioco attraverso coordinate gaussiane (cilindriche, sferiche).
6

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elementi in stato di tensione normale
7
h

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Ci sono strutture, dette "massiccie", in cui non esiste una dimensione prevalente sulle altre
(es.: pila di un ponte, diga, etc...) e per le quali è necessario simulare il comportamento del conti-
nuo avendo come dominio di definizione di tutti i parametri lo spazio tridimensionale: non pos-
siamo considerare nessun sottodominio di riferimento. Queste strutture sono le più semplici da
studiare perché raramente hanno problemi di grosse non linearità, di grandi spostamenti e rotazio-
ni (a differenza delle strutture monodimensionali).
Le proprietà di massa di un elemento sono ininfluenti e non necessarie per l'analisi statica e
di stabilità, mentre sono essenziali quando si vogliono determinare le caratteristiche dinamiche di
una struttura, cioè le frequenze proprie e/o la risposta nel tempo ad una azione dinamica.
Secondo Einstein "Models must be developed as simple as possible, but not simpler", si
devono usare i modelli più semplici possibile, ma non ancora più semplici; ovvero ad ogni analisi
corrisponde un livello minimo di accuratezza, al di sotto del quale non si ottengono più risultati
soddisfacenti. Quindi, dato che il livello di accuratezza dell'analisi dipende in gran parte dalla
scelta del modello, bisogna evitare di scegliere un modello troppo semplice. D'altra parte la scelta
di un modello più complesso del necessario porta a problemi che non giustificano tale scelta; in-
fatti ciò vuol dire sprecare tempo ed energie, ed esporsi di più a possibili errori, dato che un mo-
dello più è complesso e più è sensibile agli sbagli e alle imprecisioni dell'operatore.
I problemi dell'ingegneria strutturale, dal punto di vista della teoria, sono abbastanza sem-
plici rispetto a quelli di altre discipline come la fisica dell'atmosfera, l'idraulica, e così via. Per qua-
si tutti (forse tutti) i problemi dell'ingegneria strutturale è possibile impostare la risoluzione sotto
forma di equazioni differenziali o sistemi di equazioni differenziali; raramente però questi hanno
una soluzione in forma chiusa, e quando questa esiste spesso è di una complicazione estrema.
L'alternativa alle equazioni o ai sistemi di equazioni differenziali è rappresentata dalle
equazioni algebriche. Algebrizzare significa trasformare il problema strutturale in modo da ridurlo
ad un sistema di equazioni algebriche. In questo caso però le variabili non sono definite con conti-
nuità, come per le equazioni o sistemi di equazioni differenziali, ma in punti discreti: al di fuori di
questi punti dobbiamo agire noi, operando delle ipotesi di lavoro sul comportamento della struttu-
ra e adattando il modello di conseguenza.
8

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1° PASSO:
In conclusione, ci muoveremo nel seguente modo:
Consisterà in una riformulazione delle equazioni fondamentali di tutti i modelli visti so-
pra in modo "formalmente identico".
2° PASSO:
Consisterà nel "discretizzare" i sistemi continui, trasformandoli in sistemi discontinui
utilizzando gli stessi "schemi" (ovvero gli stessi operatori formali) per tutti i tipi strutturali.
SISTEMI CONTINUI ⇒ variabili definite con continuità ⇒ EQUAZIONI DIFFERENZIALI
(CONTINUI) sul campo tridimensionale
⇑
MODELLI STRUTTURALI
⇓
SISTEMI DISCRETIZZATI ⇒ variabili definite globalmente ⇒ EQUAZIONI ALGEBRICHE
(DISCONTINUI) in modo discreto (per punti)*
(*) Tali punti sono privilegiati e ci devono dare nel complesso la stessa descrizione del
comportamento della struttura come se fossimo nel continuo.
Es.: (vedi figura pag. successiva)
Si vede come la modellazione è già molto difficile per un fatto puramente geometrico, bi-
sogna riuscire a rappresentare come varia la funzione che descrive la geometria tra i vari nodi. Il
problema generale riguarda la determinazione della maglia e come tener conto dei vincoli, cioè di
come definire le condizioni al contorno.
9

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10

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
1.2.1 Osservazioni generali
Per studiare una struttura con i metodi dell'Analisi Computazionale è necessario definire
un doppio sistema di riferimento.
Qualsiasi struttura, sia discreta che continua, viene di fatto studiata come una struttura di-
screta, cioè suddivisa in elementi; è più facile allora scrivere le equazioni di congruenza e di equi-
librio di ogni singolo elemento in un sistema di riferimento locale, definito addosso all'elemento
stesso.
Una volta scritte le equazioni per tutti gli elementi strutturali, queste vengono trasformate
in modo da poter essere collegate ed elaborate tutte insieme, e ciò è possibile solo riscrivendole
tutte (se ne occupa l'elaboratore) in un sistema di riferimento unico, detto sistema di riferimento
globale.
STRUTTURA ⇒ sistema di riferimento globale
(si indica con lettere maiuscole : X,Y,Z o X1,X2,X3 )
ELEMENTI STRUTTURALI ⇒ sistema di riferimento locale
(si indica con lettere minuscole : x,y,z o x1,x2,x3 )
La soluzione del problema strutturale che così si ottiene è però riferita al sistema di riferi-
mento globale, e quindi di difficile lettura; è necessaria allora una ulteriore trasformazione (o con-
trotrasformazione, perché è opposta alla precedente) che ci permetta di leggere i risultati del cal-
colo, come spostamenti e caratteristiche di sollecitazione degli elementi, nel sistema di riferimento
locale di ogni singolo elemento.
In sostanza tutti i calcoli necessari per arrivare alla soluzione della struttura sono effettuati
nel sistema di riferimento globale, ma l'input dei dati e l'output dei risultati, che dovrebbero essere
semplici da gestire, avvengono nel sistema di riferimento locale, il quale può essere pensato come
il sistema di riferimento di servizio.
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Per riassumere quanto detto possiamo osservare il seguente diagramma:
S. R. LOCALE
cinematica
statica
spostamenti
carat. di soll.
INPUT DATI
OUTPUT DATI
dell'elemento
dell'elemento
12
cinematica
statica
S. R. GLOBALE
SOLUZIONE DEL PROBLEMA
STRUTTURALE
della struttura

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• PRINCIPI GENERALI (caso di indipendenza dal tempo):
equazioni di campo equazioni al contorno
1- equilibrio → statica De ⋅ + p = 0 s ∈ V t t R = = t ⋅s ∈ S
σij, i + p j = 0
2- congruenza → cinematica e = D k ⋅ u ∈ V r = r = R ⋅ u ∈ S
dove:
operatori differenziali (formali)
s = tensore delle tensioni
p = vettore carichi esterni
1
2
( u , u , u , u , )
εij = i j + j i + k i k j
D e → di equilibrio
D k →di congruenza (k" deriva da "kinematic")
R t → di tensione al contorno
R r → di spostamento al contorno
t = vettore tensione al contorno generate dalle forze superficiali
(carichi esterni applicati su S )
e = tensore delle deformazioni
u = campo degli spostamenti dei punti in V
r = campo degli spostamenti dei punti in S
t o
= vettore tensione al contorno
r o
= vettore spostamento al contorno
a) Lo stato tensionale interno, composto tramite D e , in modo formalmente corretto per il
continuo, sommato allo stato dei carichi esterni deve farsi equilibrio. D e , agisce in modo tale da
prendere la componente ij-esima di s, farne la derivata parziale e sommarla con la componente i-
esima del vettore p.
13
o
o
r

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b) Per soddisfare le condizioni di congruenza andiamo a considerare lo stato di sposta-
mento e deformazione. Il legame tra questi due sarà stabilito da un altro operatore differenziale
formale D k .
Oss.: D k è detto "operatore differenziale aggiunto (adjoint)".D k è sostanzialmente l'operatore
duale di D e .
Insieme alle equazioni di campo, sia per quelle "statiche" che per quelle "cinematiche",
dobbiamo definire le condizioni al contorno e quindi gli operatori R
t e R
r .
L'operatore formale differenziale:
- R
t , applicato al tensore delle tensioni s deve dare uno
stato di tensione t pari a quello al contorno t o
;
- R
r , applicato al vettore spostamento u dà r campo di
spostamenti in S che per la condizione al contorno
deve essere uguale a r o
.
Gli operatori differenziali formali nel caso lineare (operatori differenziali lineari), operano
algebricamente sulle componenti (somma e moltiplicazione per scalare); nel caso non lineare
avranno termini dipendenti dallo spostamento.
Restano da legare il tensore s con il tensore e . Se il legame è elastico si ha:
equazioni costitutive
3- legame costitutivo s = s
°
+ E( e - e
°
)
dove:
-
oppure e = e + E s - s
° °
1 ( )
E = tensore elastico (nel caso di legame lineare isotropo si riduce a due sole costanti);
s ° = tensore autotensioni, tensioni residue;
e ° = tensore deformazioni iniziali.
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Oss.: s ° e e ° sono presenti nella struttura a prescindere dalle tensioni indotte dai carichi , es.:
effetti lenti, azioni termiche ("temperatura").
Riguardo alla "temperatura": possiamo considerare l'azione termica come un vettore di
carico aggiuntivo al vettore di carico statico (p. es.: il vettore p se siamo in analisi lineare).
4- equazioni differenziali fondamentali - equazione di Lamé-Navier :
equazioni di campo
D ⋅ s + p = 0
e
s = E e
e = D ⋅ u
k
⇒ De ⋅ E ⋅ D k ⋅ u + p = 0 ∈ V equazione di Navier
Tale equazione è sintesi di equilibrio, congruenza e legame.
equazioni al contorno
o
t t R t
= = ⋅s t = t = R ⋅ E⋅ D ⋅ u
15
o
t k
s = E e
⇒ ∈ S
e = D k ⋅ u
r = r = R ⋅ u
L'operatore De ⋅ E ⋅ D k prende il nome di operatore fondamentale.
Tale operatore ha la proprietà di autodualità, in quanto è composto dall'operatore duale e
da quello antiduale.
Oss.: Se troviamo il modo di definire D e e D k per
- la trave di Navier (travi deformabili) ⇒ otteniamo l'equazione della linea elastica;
- il continuo (eq.ni di Cauchy per l'equilibrio e di Lagrange per la congruenza) ⇒
otteniamo l'equazione di Lamé (legame).
o
r

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DIAGRAMMA di TONTI
Tale diagramma descrive in sintesi il processo fondamentale della meccanica strutturale (in
forma algebrizzata per l'uso computazionale).
Dal diagramma si vede come si possa arrivare a determinare, dati i carichi esterni, gli spo-
stamenti e quindi le caratteristiche di sollecitazione che si hanno nella struttura.
° t
° t =
Rt
. σ
p ° r ° r =
-p= . De � ε = . Dk u
σ
16
Rr
.
u
u
σ= E . ε ε

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1.2.2 Teoria della trave piana di Navier
Variabili vettoriali:
carichi esterni
spostamenti
p = t u r
⎡ ⎤
⎢ ⎥ =
⎣ ⎦
⎡
⎡ ⎤
⎤ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ =
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
=
⎣⎢
⎦⎥
⎡ ⎤
⎢ ⎥ =
⎣ ⎦
⎡
N
⎡u
⎤
qx
N
u ε ⎤ ⎢ ⎥
s Q
e ⎢ ⎥ =
q M
⎣ ⎦ ⎢
w
w
⎥
z
κ
M
⎣⎢
ϕ ⎦⎥
Equazioni di campo notazione : d
Equilibrio:
∑
∑
∑
− p = De ⋅s
x
− ⎡ ⎤
⎢ ⎥=
⎣ ⎦
⎡ qx
d
q
⎢
⎣ 0
2
z x
⎤
⎥⋅
⎦
⎡ 0 N ⎤
d
⎢ ⎥
⎣M
⎦
17
tensioni
Fx = 0 ⇒ N + dN − N + qx dx = 0 ⇒
dN
= N′= −qx
dx
Fz = 0 ⇒
M y = 0 ⇒
Q + dQ − Q − qz dx = 0 ⇒
2
( dx) M + dM − M − Q dx + qz = 0 ⇒
2
dQ ⎫
= Q′= −qz
dx ⎪
⎬ ⇒
dM ⎪
= M′= Q
dx ⎭⎪
2
d M
2
= M ′= −q
dx
x =
d
dx
z

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Equazioni indefinite* di congruenza: ("indefinite" in quanto si trovano soluzioni a meno
2
du dw dϕ
d w
ε = ϕ = − κ ≅ = − 2
dx dx dx dx
e = D ⋅ u
k
⎡ε
⎤ ⎡d
x
⎢
⎣κ
⎥= ⎢
⎦ ⎣ 0
0
−d
2
x
⎤
⎥⋅
⎦
⎡u
⎤
⎢ ⎥
⎣w
⎦
18
di condizioni al contorno)
Oss.: L'espressione corretta della curvatura sappiamo essere del tipo :
Equazione costitutiva:
( )
s= ⋅ e - e
⎡ ⎤
⎢ ⎥=
⎣ ⎦
⎡ N EA
M
⎢
⎣ 0
E T
κ = curvatura dell' asse
⎤
⎥⋅
⎦
⎡ 0
⎛
ε ⎤
⎡ α ⎤⎞
TT
⎜
⎢ ⎥− ⎢ T ⎥⎟
EJ ⎜⎣
κ⎦
⎝ ⎣⎢
α
⎦⎥
⎟ T
h ⎠
Δ
κ =
ϕ
' ( 1+
ϕ )
Oss.: Nell'espressione di e T il termine ΔT rappresenta la variazione totale di temperatura tra
estradosso e intradosso della trave, mentre T in realtà sarebbe un ΔT = T − T°
dove
T ° = 0.
Condizioni al contorno:
in termini di forze in termini di spostamento
o
t R t
= ⋅s
o ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎡ ⎤
o ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⋅
o ⎢ ⎥ ⎣⎢
⎦⎥
⎣ ⎦
⎡
N
1 0
N ⎤
Q 0 dx
⎢ ⎥
⎣M
⎦
0 1
M
o
r = R ⋅ u
t
o ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎡ ⎤
o ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⋅
o ⎢ ⎥ ⎣⎢
− ⎦⎥
⎣ ⎦
⎡
u
1 0
u ⎤
w 0 1 ⎢ ⎥
⎣w
⎦
0
dx
ϕ
'
3
2

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A questo punto dobbiamo comporre questi operatori formali in modo da ottenere l'equa-
zione di Navier (equazione fondamentale) nel modo descritto dal diagramma di Tonti:
Dal diagramma, componendo le relazioni algebriche per EA e EJ costanti, si ottengono le
seguenti equazioni fondamentali sintesi, lo ricordiamo, di equilibrio, congruenza e legame:
II
De ⋅ E⋅ D k ⋅ u + p = 0 ⇒ 1. EAu = − q
19
IV
2. EJw = q
Il vantaggio di questo procedimento è che quando trattiamo casi non lineari l'unica cosa da
modificare sono gli operatori differenziali.
z
x

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1.2.3 Teoria della trave piana con deformazione a taglio
Variabili vettoriali:
carichi esterni
spostamenti
20
tensioni
⎡q
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
x
N
u ε
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
p = ⎢q
z ⎥ s= t =
⎢
Q
⎥
u = r =
⎢
w
⎥
e =
⎢
γ
⎥
⎣⎢
m ⎦⎥
⎣⎢
M ⎦⎥
⎣⎢
⎦⎥
⎣⎢
⎦⎥
y
ϕ κ
Equazioni di campo notazione: d
x ≡
Equilibrio: Congruenza:
− p = De ⋅s
⎡q
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
x d x 0 0 N
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎢q
z ⎥=
⎢
0 d x 0
⎥
⋅
⎢
Q
⎥
⎣⎢
m ⎦⎥
⎣⎢
− d ⎦⎥
⎣⎢
M⎦⎥
y 0 1 x
d
dx
e = D ⋅ u
k
⎡ε
⎤ ⎡d
⎤ ⎡ ⎤
x 0 0 u
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
γ
⎥
=
⎢
0 d x 1
⎥
⋅
⎢
w
⎥
⎣⎢
κ⎦ ⎥ ⎣⎢
0 0
d ⎦⎥
⎣⎢
ϕ⎦⎥
x

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Equazione costitutiva:
( )
s= ⋅ e- e
E T
⎛ ⎡ ⎤⎞
⎡N
⎤ ⎡EA
0 0 ⎤ ⎜⎡
ε ⎤ ⎢ α ⎥⎟
TT
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜⎢
⎥ ⎢ ⎥⎟
⎢
Q
⎥
=
⎢
0 GAQ
0
⎥
⋅⎜
⎢
γ
⎥
−⎢
0 ⎥⎟
⎣⎢
M⎦⎥
⎣⎢
0 0 EJ⎦⎥
⎜⎣
⎢κ
⎦⎥
⎢ T ⎥⎟
⎜
⎝ ⎣⎢
α
⎦⎥
⎟ T
h ⎠
Δ
Oss.: Sul vettore destro delle temperature e T posso agire in due modi:
a- costruendo il campo di caratteristiche di deformazione conoscendo le deformazioni im-
presse per azioni termiche;
b- considerando nell'equazione di congruenza la compatibilità solo elastica, ovvero solo
quella legata alla deformabilità della trave e basta, dove in presenza di azione termica viene
inserita nell'equazione costitutiva.
Condizioni al contorno:
in termini di forze in termini di spostamento
o
t R t
= ⋅s
o ⎡ ⎤
⎢
N
⎥ ⎡1
0 0⎤
⎡N
⎤
o ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Q =
⎢ ⎥ ⎢
0 1 0
⎥
⋅
⎢
Q
⎥
o ⎢ ⎥ ⎣⎢
0 0 1⎦⎥
⎣⎢
M ⎦⎥
⎣
M
⎦
21
o
r = R ⋅ u
r
o ⎡ ⎤
⎢
u
⎥ ⎡1
0 0⎤
⎡u
⎤
o ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
w =
⎢ ⎥ ⎢
0 1 0
⎥
⋅
⎢
w
⎥
o ⎢ ⎥ ⎣⎢
0 0 1⎦⎥
⎣⎢
ϕ ⎦⎥
⎣
ϕ
⎦
Oss.: Stiamo scrivendo delle equazioni indefinite, non siamo in una trave con delle condizioni
specificate, quindi R t ≡ R r ≡ I.

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
Diagramma di Tonti:
Dal diagramma, per EA , GA Q e EJ costanti, si ottengono le seguenti equazioni fonda-
mentali sintesi di equilibrio, congruenza e legame:
Oss.:
II
1.
EAu = −q
( II I
ϕ )
( )
2.
GA w + = −q
Q
I II
3.
GA w + ϕ − EJϕ = m
1- La prima equazione non esiste nel caso di travi inflesse.
2- Nella terza equazione il termine GA ( w )
Q
Q
22
y
x
z
I +ϕ è il contributo del taglio che ci dà la parte
deformativa relativa a quella componente che in genere trascuriamo.
3- Derivando la terza equazione una volta rispetto ad x e sostituendo il tutto nella seconda
equazione otteniamo la forma generale dell'equazione della linea elastica.
= γ dove A
4- Q GA Q
Q =
A
effettiva
χ
e χ il fattore di taglio.

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
1.2.4 Stato piano di tensione (Teoria delle lastre isotrope)
Ipotesi iniziali :
• le azioni in gioco e le caratteristiche di deformazione hanno carattere limitato rispetto ad un
corpo di tipo tridimensionale; in particolare consideriamo le forze membranali (carichi che agi-
scono nel piano medio), ovvero questa teoria non considera la flessione e come stato di de-
formazione si considerano solamente le due deformazioni longitudinali (ε x e ε y ) e lo scorri-
mento o distorsione (2ε xy );
• le caratteristiche di sollecitazione sono unitarie (spessore h per unità di lunghezza);
• per ora i carichi si considerano nulli;
• al contorno le componenti del vettore degli sforzi le indichiamo con n n e n t poiché interessa-
no solo la direzione normale e quella tangente alla superficie (a rigore il sistema di riferimento
è definito sull'elemento);
• u z = 0 in quanto è esclusa ogni inflessione normale al piano medio;
• se la lastra è sottile n x , n y , n xy si possono considerare costanti su tutto lo spessore h.
23

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
Variabili vettoriali:
p = t u r
⎡
⎡ ⎤
⎤ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ =
⎣ ⎦
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎢ ⎥ =
⎣ ⎦
⎡
⎡ ⎤
⎤ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ =
⎣ ⎦
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡
nx
ε x
0
n u
n
x
un
⎤
s n y
e ε y
0
n u
⎢ ⎥
t
y
⎣u
t ⎦
nxy
2ε
xy
Equazioni di campo notazione: ∂
24
∂ ∂
= ; ∂ =
∂ x ∂ y
x y
Oss.: Adesso nell'equazioni di campo sono presenti le derivate parziali poiché la lastra è un
elemento bidimensionale e quindi il tutto sarà funzione di due variabili. Tali equazioni
sono quelle ottenute dallo stato di membrana.
Equilibrio: Congruenza:
− p = D e ⋅s
⎡ ⎤
⎢ ⎥=
⎣ ⎦
⎡
⎡
n
0 ∂ x 0 ∂ y ⎤ ⎢
⎢ ⎥⋅ ⎢n
0 ⎣ 0 ∂ y ∂ x ⎦
⎢
⎣n
Oss.: Qui vale la relazione D = D
Equazione costitutiva:
⎡
n
⎢
⎢n
⎢
⎣n
x
y
xy
T
e k
x
y
xy
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
( )
s= ⋅ e - e
⎤
⎥
⎥=
⎥
⎦
E T
2 ( 1 ν )
⎡
ε x ⎢
⎢ ε y
⎢
⎣2ε
xy
e = D ⋅ u
k
⎤ ⎡ ⎤
⎥ ⎢ ⎥
⎥=
⎢ ⎥⋅
⎥
⎦ ⎣⎢
⎦⎥
⎡
∂ x 0
u
0 ∂ y ⎢
⎣u
∂ y ∂ x
⎡ ⎤ ⎛⎡
⎤
⎢ ⎥
⎡ ⎤⎞
1 ν 0 ε
⎜ x 1
Eh
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎟
ν 1 0 ⋅⎜
⎢ ε y ⎥−
α
T T
− ⎢ − ⎥
⎢
1
⎥⎟
1 ν ⎜⎢
⎥
⎣⎢
⎦⎥
⎣ ⎦ ⎣⎢
⎦⎥
⎟
0 0 ⎝ 2ε
0
xy
2
⎠
x
y
⎤
⎥
⎦

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
Condizioni al contorno:
Diagramma di Tonti:
in termini di forze in termini di spostamento
o ⎡
n
⎤
⎡ ⎤
x
⎢
nn⎥
⎡1
0 0⎤
⎢ ⎥
= n
o
y
⎢ ⎥
⎢ ⎥⋅
⎣n
⎣0
0 1
⎢ ⎥
⎦
t ⎦ ⎢
⎣n
⎥
xy⎦
o ⎡ ⎤
nx
⎢
nn⎥
n
o
y
⎢ ⎥
⎣n
t ⎦
nxy
=
⎡ ⎤
⎡0
1 0 ⎤ ⎢ ⎥
⎢
⎣0
0 −1
⎥⋅ ⎢ ⎥
⎦
⎢ ⎥
⎣ ⎦
x = +a
y = +b
25
o ⎡ ⎤
u
u
n
y
⎢ ⎥
⎡ ⎤
= o ⎢ ⎥
⎢ ⎥⋅
u
u
⎣ ⎦ x
⎣ ⎦
⎡ 1 0 ⎤
⎢ ⎥
0 1 ⎣ ⎦
t
o ⎡ ⎤
u
u
⎢ n⎥
y
o ⎢ ⎥ u
u
x
⎣ ⎦
= ⎡ ⎤
⎢
⎣−
⎥⋅
⎦
⎡ 0 1 ⎤
1 0
⎢ ⎥
⎣ ⎦
t

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
chi.
Quello che troviamo dal precedente schema sono le forze interne che "reagiscono" ai cari-
Tale procedura prende, attraverso operazioni cinematiche, uno stato di deformazione e lo
trasforma in caratteristiche di deformazione puntuali o globali e poi in uno stato compatibile (con-
gruente). Il trasformato di questo stato di spostamenti, secondo il tensore elastico, è l'altra parte
dello stato di tensione; questa, composta con l'operatore di equilibrio, dà le forze che devono rea-
gire ai carichi.
Dal diagramma, per D
=
Eh
1 − ν
2
=
costante
26
, si ottengono le seguenti
equazioni fondamentali , sintesi di equilibrio, congruenza e legame:
1 − ν 1 + ν
1. u + u + u
2 2
x , xx x , yy y , xy
2. 1 + ν 1 − ν
u + u + u
2
2
x , xy y , yy y , xx
=
=
0
0
equilibrio lungo x
Oss.: In queste due espressioni tensioni e deformazioni sono già legate tra loro.

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
1.2.5 Teoria Lineare per le Piastre rigide a taglio ( Kirchhoff - Love )
Elemento piastra:
Oss: E' una piastra e quindi non ho sforzo normale.
Variabili vettoriali :
dove
⎡m
⎤
x
⎢ ⎥
p = p s = ⎢m
y ⎥
⎣⎢
mxy⎦⎥
t = q
_ ⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣⎢
⎦⎥
m t
p sono i carichi esterni ,
s sono le caratteristiche globali ,
27
⎡ κ x
⎢
u = w e = ⎢ κ y
⎣⎢
2κ
xy
⎤
⎥
⎥
⎦⎥
r = w ⎡ ⎤
⎢
⎣ϕ
⎥
⎦
t é il valore delle grandezze al contorno nel rispetto della continuità ,
u è il vettore degli spostamenti ,
e è il vettore delle deformazioni (curvature) ,
r rappresenta gli spostamenti incogniti ;
ϕ t
rappresenta la rotazione intorno all'asse t (si considera la rotazione intorno
all'asse n trascurabile rispetto a quella intorno all'asse t).
t

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
Equilibrio:
Equazioni di Campo
− p = D e ⋅s
− [ p]
= [ ∂ xx ∂ yy
⎡m
⎤
x
⎢ ⎥
2∂ xy ] ⋅⎢
my
⎥
⎣⎢
m ⎦⎥
xy
⇒
Congruenza:
e = D k ⋅ u
28
(notazione: ∂
2
∂ m
2
∂ x
x
∂
=
∂ x
∂
y
∂
= )
∂ y
2
2
∂ m 2∂
m
+ + = − p = 0
2
∂ y ∂ x∂ y
x y xy
⎡ χ ⎤ ⎡ ∂ ⎤
x
xx
2
2
2
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
∂ w ∂ w
∂ w
⎢ χ ∂ [ ]
y ⎥=
−⎢
yy ⎥⋅
w ⇒− = χ ; − = χ ; − = χ
2
2
∂ x
∂ y
∂ x∂ y
⎣⎢
2χ xy ⎦⎥
⎣⎢
2∂
xy ⎦⎥
Oss.: E' immediato stabilire che:
Equazione costitutiva :
e = ⋅ ( e − e )
E T
∂ xx ∂ yy 2 ∂ xy = D = −D
x y xy
T
e k
⎡m
⎤
⎡ ⎤
x
x
⎢ ⎥ Eh
⎢1
0 ⎛⎡
⎤
⎥
⎡ ⎤⎞
3
⎜⎢
⎥ T
⎢m
y ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎟
2 1 0 ⋅ y T
− ⎢ ⎥−
12 1
⎜
h
⎣⎢
mxy⎦⎥
⎢ − ⎥
⎢ ⎥⎟
⎜
xy
⎣⎢
⎦⎥
⎝⎣
⎢ ⎦⎥
⎣⎢
⎦⎥
⎟
0 0 ⎠
1
ν κ
1
2Δ
ν
κ α 1
( ν ) ν
2κ
0
2

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
posto E
*
3
Eh
=
2
12( 1− ν )
si ottiene:
* ΔT * ΔT
mx = E ( κ x − α T ) + E ν ( κ y − α T )
h 2 h 2
* ΔT * ΔT
my = E ν( κ x − α T ) + E ( κ y − α T )
h 2 h 2
*
m = E ( 1−
ν ) κ
xy xy
Oss : La dualità fra equilibrio (statica) e congruenza (cinematica) è invariante, ovvero esiste
quasi sempre nelle strutture, poiché se una struttura non è congruente non è possibile
definire il suo equilibrio.
Condizioni al contorno :
statiche cinematiche
o
t R t
= ⋅s r = R ⋅ u
o
⎡m
⎤
⎡ ⎤
x
q ⎡∂
x 0 2∂
y⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥ o = ⎢ ⎥⋅ my
⎣⎢
mt
⎦⎥
⎣ 1 0 0 ⎦
⎢ ⎥
⎣⎢
mxy
⎦⎥
o ∂ mx
q = +
∂ x
o
m = m
t x
2∂
m
∂ y
xy
o
⎡
⎡ ⎤
m
q ⎡0
∂ y 2∂
x ⎤ ⎢
⎢ ⎥ o = ⎢ ⎥⋅ m
⎣⎢
mt
⎦⎥
⎣0
1 0 ⎦
⎢
⎣⎢
m
o ∂ mx
q = +
∂ y
o
m = m
t y
2∂
m
∂ x
xy
x
y
xy
⎤
⎥
⎥
⎦⎥
o ⎡ ⎤
w
per x = a ⎢ o ⎥ [ w]
⎣⎢
ϕ ⎦⎥
∂ x
= ⎡ 1 ⎤
⎢
⎣−
⎥⋅
⎦
29
t
o
o
t
w = w
o
ϕ
t
∂ w
= −
∂ x
o ⎡ ⎤
w
per y = b ⎢ o ⎥ [ w]
⎣⎢
ϕ ⎦⎥
∂ y
= ⎡ 1 ⎤
⎢
⎣−
⎥⋅
⎦
o
t
w = w
ϕ
o
t
∂ w
= −
∂
y

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
Diagramma di Tonti:
Equazione fondamentale:
2 2 4
p
∇ ∇ w = ∇ w = w, xxxx + 2w
, xxyy + w,
yyyy = *
E
è l' Equazione di Germaine-Lagrange che possiamo ricavare nel seguente modo:
30

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
* *
− p = D ⋅ s= D ⋅ E ⋅n ⋅ e = D ⋅ E ⋅n ⋅ D ⋅ u
e e e k
⎡ ⎤
⎢1
ν 0 ⎡
⎥ ∂ ⎤
xx
⎢ ⎥
D ⋅ ⋅ = [ ] ⋅⎢
⎥
e n Dk
∂ xx ∂ yy 2∂
xy ν 1 0 ⋅⎢
∂ yy ⎥=
⎢ − ν ⎥
⎣⎢
0 0
⎦⎥
⎣⎢
∂ ⎦⎥
xy
1
2
2
− + + −
⎡ ∂ ⎤
xx
⎢ ⎥
⋅⎢
∂ yy ⎥=
⎣⎢
2∂
⎦⎥
xy
= [ ∂ xx ν∂ yy ν∂ xx ∂ yy ( 1 ν ) ∂ xy]
=− ∂ + ν∂ + ν∂ + ∂ + 2( 1 − ν ) ∂ =
xxxx xxyy xxyy yyyy xxyy
=− ∂ + ∂ + 2∂
e quindi
xxxx yyyy xxyy
⎡ * w w w
p = E ⎢ + +
⎣ x y x y
∂
4 4
4
∂ ∂
4 4
∂ ∂ ∂ ∂
31
⎤
⎥
⎦
2 2 .

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
1.2.6 Teoria dei gusci ribassati
Ipotesi geometriche:
• In fig. abbiamo come sistema di riferimento { x x x z}
32
, , o rispettivamente i vettori tangenti
1 2 3
alle direzioni 1 (relativo a R 1 ), 2 (relativo a R 2 ) e il vettore perpendicolare ad essi.
• Porzione di guscio sottile: superficie a doppia curvatura di raggi R 1 e R 2 (nel punto conside-
rato), intesa dello stesso segno, ovvero in entrambi i piani perpendicolari contenenti i raggi;
la traccia del guscio su di essi è convessa (curvatura positiva):
• In generale k
curvatura: k
curvatura distorcente : k
ij
k
=
x
∂
11
12
= 1
R
, k 1
22 =
R
≅
1
1
R ⋅ R
1 2
ii
∂ j
, dove kij è la curvatura distorcente e indica la variazione della
curvatura i (di raggio R i ) muovendosi lungo la coordinata x j . Quindi nel nostro caso k 12 in-
dica la variazione di k 11 muovendosi lungo il piano contenente R 2 .
2

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
Le curvature distorcenti accoppiano le equazioni di equilibrio della piastra a quelle della
lastra, ovvero k ij accoppia il problema "flessionale" della piastra a quello "normale" della lastra,
esse dipendono dal sistema di riferimento.
Es.
R1
R2
R2 = ∞ k12 = k21
= 0
• Dai termini di accoppiamento si osserva l'importanza delle caratteristiche geometrico-
differenziali dell'elemento; ecco perché quando si scrivono le equazioni di equilibrio è bene
astrarsi dal sistema di riferimento e scriverle in un sistema il più possibile aderente alla superfi-
cie dell'elemento stesso.
• Per i gusci sottili è lecito ridursi ad una superficie media (o superficie di riferimento), a cui si
riferiscono anche le grandezze cinematiche e le tensioni. In pratica consideriamo tutte le pro-
prietà schiacciate sulla superficie di riferimento.
• Oltre all'ipotesi di sottili assumiamo che questi gusci siano anche ribassati (freccia ridotta ri-
spetto alla luce). Tale ipotesi geometrica ci permette di trascurare diversi termini nelle equa-
zioni di equilibrio.
Condizioni di ribassamento:
( z )
,2
(z ,1
)
2
2
z ⋅ z

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
Oss.:
1- Con le ipotesi fatte schiacciamo lo stato di tensione su una superficie piana.
2- Per noi il continuo strutturale guscio esiste in due dimensioni quindi, quando parliamo di
tensione e deformazioni, le immaginiamo sempre in termini globali su h: le caratteristiche
sono sempre globali per una striscia lunga 1 ed alta h .
3- I gusci ribassati sono notevolmente deformabili, ma molto spesso vengono costruiti se-
• Equilibrio
condo tipologie geometriche che hanno grandissima "rigidezza per forma".
condizione di sottigliezza: (h/R 1 , h/R 2 ) u2 , u1
e quindi anche lo stato di tensione indotto
è trascurabile. Inoltre la condizione di sottigliezza ci porta a dire che ε z = 0, ovvero la fibra orto-
gonale alla superficie media di riferimento non si deforma, quindi σ z = 0.
Es.:
⎤
⎥
⎥
⎦⎥

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
La grandissima rigidezza per forma di una torre di raffreddamento fa in modo che non
possa essere considerata come guscio ribassato, perché u3 non è molto maggiore di u2 e u1
.
membranale.
Le torri di raffreddamento erano prima progettate solo tenendo conto del comportamento
• Volendo definire le sei Caratteristiche di Sollecitazione occorre integrare sullo spessore:
sia θ l'ordinata ortogonale alla superficie media
⎛n
⎜
⎜
n
⎜
⎝n
11
22
12
⎞
⎟
⎟
⎠
=
h
2
∫
−h
2
⎡σ
⎢
⎢
σ
⎣⎢
σ
h/2
h/2
11
22
12
⎤
⎥
⎥
dθ
;
⎦⎥
Forze risultanti: n 11 e n 22 sono forze normali;
35
θ
⎛m
⎜
⎜
m
⎜
⎝m
11
22
12
⎞
⎟
⎟
⎠
=
h
2
∫
−h
2
⎡σ
⎢
⎢
σ
⎣⎢
σ
11
22
12
⎤
⎥
⎥
⋅θ
dθ
⎦⎥
n 12 è l'azione di taglio nel piano tangente alla superficie media.
Momenti risultanti: m 11 e m 22 sono momenti flettenti;
m 12 è il momento torcente.

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
Ipotizzo che ogni grandezza subisca un incremento infinitesimo secondo la direzione del-
l'asse di riferimento.
Quindi l'equilibrio alla traslazione si scrive:
∑ F1 = 0 : ( n11 + n11, 1dx1) dx2 − n11dx2 + q1....
+ ( n + n dx ) dx − n dx + q .... + p dx dx =
12 12, 2 2 1 12 1 2 1 1 2 0
⇒ n + n + p =
11, 1 12, 2 1 0
∑ F2 = 0 : n , + n , + p =
22 2 12 1 2 0
Nelle equazioni di equilibrio lungo x1 e x2
si possono trascurare le corrispondenti compo-
nenti del taglio q in quanto siamo nel caso di gusci sottili ribassati. Inoltre, rispetto all'equazione
di membrana vi sono in più i termini di accoppiamento: n , n .
∑ F3 = 0 : ( q + q , dx ) dx − q dx
1 1 1 1 2 1 2
36
12 , 1 12 , 2
+ ( q + q dx ) dx − q dx + p dx dx
2 2, 2 2 1 2 1 3 1 2
+ n dx k dx + n dx k dx + 2n dx k dx = 0
11 2 11 1 22 1 22 2 12 1 12 2

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
Oss:
1- Essendo il guscio ribassato posso sommare i due vettoriq dx
1 2
fossero paralleli.
37
e ( q + q dx ) dx come se
1 1, 1 1 2
2- Nella terza equazione di equilibrio (che è la più importante) si ha la composizione vetto-
riale degli sforzi normali n dx
11 2
riale lungo l'asse x3 pari a n11dx 2k 11dx 1 :
n11dx2
e n11dx 2 + n11, 1dx 1dx 2 ottenendo la componente vetto-
dx1
Quindi dall'equilibrio lungo l'asse x 3 otteniamo:
R1=1/k11
n11dx2
n11dx2
.
n11dx1 k11dx1
q + q + n k + 2n k + n k + p = 0
1, 1 2, 2 11 11 12 12 22 22 3
+
n11,1dx1dx2
Oss : Nell'equazione compare l'effetto della curvatura, a differenza del caso membranale dove
non compaiono né tagli né curvature.
Facendo l'equilibrio alla rotazione si ottengono le seguenti equazioni:

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
∑ M2 = 0 : ( m + m , dx ) dx − m dx + ( m + m , dx ) dx
11 11 1 1 2 11 2 12 12 2 2 1
−m dx − q dx dx + p dx dx =
dx1
12 1 1 2 1 3 1 2 0
2
⇒ m + m − q =
11, 1 12, 2 1 0
∑ M1 = 0 : m , + m , − q =
22 2 12 1 2 0
∑ M 3 = 0 da questa relazione ricavo la condizione di reciprocità
m12 = m21
(è identicamente soddisfatta)
Oss : In entrambe le equazioni di equilibrio il contributo del carico verticale p 3 è del terzo ordi-
ne, quindi trascurabile. Ricordiamoci l'analogia con il caso di trave inflessa dove trascuro il termi-
ne q dx dx
z ⋅ 2 .
Inoltre, derivando la prima equazione delle'equilibrio alla rotazione rispetto ad x 1 e la se-
conda rispetto ad x 2 , sommando e tenendo conto dell'equilibrio alla rotazione lungo x 3 , si ottiene
l'equazione di sintesi (eq. traslaz. vert. + eq. rotaz.) del problema dell'equilibrio del guscio sottile:
m + 2m + m + n k + 2n k + n k + p = 0
11, 11 12 , 12 22 , 22 11 11 12 12 22 22 3
che è l'equazione di Reissner-Mindlin.
Oss.: Si trascurano le flessioni nel piano del guscio sia per la rigidezza di forma del guscio sottile
ribassato, sia per il fatto che sono più importanti le flessioni nei piani ortogonali.
Se modello superfici curve con elementi "piatti", e se abbiamo più elementi complanari
intorno ad un "nodo", allora in quella particolare situazione non ho rigidezza per forma della
struttura, quindi diventa importante anche la flessione nel piano.
38

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
Posto ∂
1
∂
= , si ha
∂ x
1
D ⋅ s+
p = 0
e
⎡∂
1
⎢
⎢
0
⎣⎢
k11 0
∂ 2
k 22
∂ 2
∂ 1
2k 12
0
0
∂ 11
0
0
∂ 22
⎡n
11 ⎤
⎢
n
⎥
22
0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ p ⎤
1
⎥ ⎢n
12 ⎥ ⎢ ⎥
0
⎥
⋅⎢
⎥+
⎢
p2
⎥
= 0
m11
2∂
⎦⎥
⎢ ⎥ ⎣⎢
⎦⎥
12 p3
⎢m
22 ⎥
⎣⎢
m ⎦⎥
Oss : Se i termini di accoppiamento k ij fossero zero, ovvero se non avessimo curvatura né in
direzione 1 né in direzione 2, il problema strutturale diventerebbe una sovrapposizione esatta (in
analisi lineare) di uno stato tensionale normale caratteristico delle lastre, più uno flessionale ca-
ratteristico delle piastre.
⎡
⎢
⎢
⎣⎢
Elementi di
Tensioni normali a lastra
↑
accoppiamento del Flessione a piastra
comportamento
lastra - piastra dovuti
alla curvatura.
↵ ↓
39
⎤
⎥
⎥
⎦⎥
12

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
• Caso geometricamente non lineare
Ad una piccolissima variazione, p. es. della componente di spostamento u 3 e delle sue de-
rivate, corrisponde una notevole complicazione nel derivare poi le equazioni fondamentali.
Supponiamo che l'elemento di guscio subisca uno spostamento verticale "non piccolo"
(non nel senso dello spostamento vero e proprio, ma nel senso degli effetti che questo produce nel
campo di sollecitazione e deformazione), cosa accade in termini di contributo alla traslazione
verticale?
40
n11k11
n11(k11+u3,11)
Poiché u 3 è grande e il suo gradiente pure (cioè le sue derivate parziali), allora ho una mo-
difica delle curvature k 11 e k 22 e del termine misto iniziali; in pratica ho una curvatura aggiuntiva
data dalla derivata seconda dello spostamento:
da → k11 passo a → k11 + u3,
11 (al 1° ordine)
Al posto di k11 + u3,
11 potrei mettere uno sviluppo in serie della curvatura aggiunti-
va (arrestandomi però alla curvatura linearizzata). Mi accontento in prima approssimazione delle
curvature iniziali e della curvatura mista iniziale: è un primo livello di estensione al caso geometri-
camente non lineare. Tale approssimazione diventa insufficiente quando ci sono delle componenti
deformative interne, o anche quando ci sono grandi rotazioni, nel qual caso i bordi ruotano forte-
mente e devo tener conto anche dei termini di accoppiamento.

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
1° livello:
dove
D ⋅ s+ p = ( D + D ( u) ) ⋅ s+
p = 0
e e L e N
D e L è l'operatore differenziale di equilibrio visto precedentemente nel caso lineare;
D e N è l'operatore differenzale di equilibrio quale componente aggiuntiva non lineare.
( )
D u
e N
⎛ 0 0 0 0 0 0⎞
⎜
⎟
= ⎜ 0 0 0 0 0 0⎟
⎜
⎟
⎝u
3, 11 u3, 22 2u3, 12 0 0 0⎠
da cui si osserva come l'operatore di equilibrio dipende da u.
e quindi
Complessivamente si avrà :
⎡ ∂ 1
⎢
⎢ 0
⎣
⎢k
11 + u3, 11
0
∂ 2
k 22 + u3, 22
∂ 2
∂ 1
2( k12 + u3,
12 )
0
0
∂ 11
0
0
∂ 22
⎡n
⎢
n
0 ⎤ ⎢
⎥ ⎢n
0 ⎥⋅
⎢m
2∂
12 ⎦
⎥ ⎢
⎢m
⎣⎢
m
41
11
22
12
11
22
12
⎤
⎥
⎥ ⎡p
⎤
1
⎥ ⎢ ⎥
⎥+
⎢
p2
⎥
= 0
⎥ ⎣⎢
p3
⎦⎥
⎥
⎦⎥
⎡
⎤
⎢n
11, 1 + n12, 2 + p1
= 0
⎥
⎢n
22, 2 + n12, 1 + p2
= 0
⎥
⎢
⎥
⎣⎢
n11( k11 + u3, 11) + n22( k 22+ u3, 22) + 2n12( k12 + u3, 12) + m11, 11 + m22, 22 + 2m12, 12 + p3
= 0⎦⎥
Sono equazioni non lineari perchè gli spostamenti sono incogniti , allora si approssimano
con equazioni lineari (vedi es. 4.4, 4.5 e 4.6).

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
42

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
43

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
44

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
• Congruenza
Non si derivano le relazioni cinematiche in maniera rigorosa, perchè già dal primo ordine
risulterebbero troppo complesse. Si usano piuttosto delle derivazioni empiriche, avendo i gusci
continuità come una sintesi di piastra curva e sforzo piano.
deformazioni
scorrimento
variazionre di curvatura
deformazione distorcente
e = D k ⋅ u
⎡
ε ⎤⎤
⎡∂
0
11
⎢
⎥⎥
⎢
⎢ ε 0 ∂
⎢ 22 ⎥⎥
⎢
⎢⎣
⎢2ε
∂ ∂
12 ⎦⎥
⎥ ⎢
⎢
⎡ κ ⎤
⎥=
⎢ 0 0
⎢ 11
⎢ ⎥⎥
⎢
⎢ κ 0 0
⎢ 22 ⎥
⎥ ⎢
⎢
⎣
⎢2
κ 0 0
12 ⎦ ⎥
⎦ ⎣⎢
Queste equazioni in forma estesa divengono:
ε
11
∂ u1
= − k11u 3 ; ε
∂ x
1
22
-u3k11 dx1/dx1
2
45
1 11
2 22
2 1 12
−k
⎤
−k
⎥
⎥ ⎡u
⎤
1
−2k
⎥ ⎢ ⎥
2
−∂
⎥⋅
⎢
u
⎥
11
⎥ ⎣⎢
u3
⎦⎥
−∂
22 ⎥
−∂
⎦⎥
12
∂ u2
= − k22u 3 ; ε
∂ x
u3
dx1
R1=1/k11
12
u3 +...
dove troviamo i termini della curvatura distorcente: −k11 , −k22 , −2k 12 .
spost. tangenziali
spost. trasversali
∂ u1
∂ u2
= + − 2k
u
∂ x ∂ x
2
1
12 3

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
Nel caso non lineare l'operatore D k si scinde in una parte lineare, esattamente uguale alla
precedente, ed in una parte non lineare:
dove
• Equazioni costitutive
Stato piano di tensione:
1
ε = σ − νσ
E
( )
11 11 22
1
ε = σ − νσ
E
( )
22 22 11
1
2ε
= σ
G
12 12
E
dove: G =
2( 1+ ν)
Introducendo i termini
e = D ⋅ u = ( D + D ( u) ) ⋅ u
( )
D u
k N
k kL kN
2
n = ∫ σ dθ
e
−
11 h
2
11
h
⎡0
⎢
0
⎢
1⎢
0
=
2⎢
0
⎢
⎢0
0
0
0
0
0
u3,
1∂ 1 ⎤
u
⎥
3, 2∂ 2 ⎥
2u3,
1∂ 2 ⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎣⎢
0 0 0 ⎦⎥
46
σ
σ
E
=
1−
ν
( ε + νε )
11 2 11 22
E
=
1−
ν
( ε + νε )
22 2 22 11
E
σ = 2G
ε =
1 − ν
1 ν
⋅ 2ε
2
−
12 12 2 12
2
m = ∫ σ θ dθ
−
11 h
2
11
(dove n 11 rappresenta il momento del primo ordine e m 11 rappresenta il momento del secondo or-
dine).
h

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
possiamo scrivere le equazioni in forma matriciale
da cui
con
D
s = E ⋅e
⎡
⎤ ⎤
⎢
n11
⎥ ⎥ ⎡ ⎡ ⎤
1 0
⎢
n ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ν ⎥
22
⎢
⎥ ⎥ ⎢D⎢
ν 1 0 ⎥
⎢ n
1
⎣⎢
12 ⎦⎥
⎥ ⎢ ⎢ − ν ⎥
0 0
⎢ ⎥ ⎢ ⎣⎢
2 ⎦⎥
⎢⎡
⎤⎥
= ⎢
⎢
m ⎥
11 ⎥ ⎢
⎢
⎥ ⎢
⎢
0
⎢ m ⎥
22 ⎥ ⎢
⎢
⎥ ⎢
⎣⎢
⎣⎢
m12
⎦⎥
⎦⎥
⎣
Eh
=
1 −
2
ν
3
Eh
B =
12 1 ν
2 ( − )
47
⎤
⎥ ⎡
ε ⎤⎤
11
0 ⎥ ⎢
⎥⎥
⎥ ⎢
ε22
⎥⎥
⎥ ⎢⎣
⎢2ε12
⎦⎥
⎥
⎥⋅
⎢ ⎥
⎡ ⎤
1 0
11
⎢ ⎥
⎥ ⎡ ⎤
ν ⎢ κ ⎥
⎥ ⎢
⎥
B⎢ν
1 0 ⎥ 22
⎢ 1−
⎥
⎥ ⎢
κ ⎥
⎢ ⎥⎥
ν 2 12
0 0
⎣⎢
2 ⎦⎥
⎥ ⎣
⎢ κ ⎦⎥
⎦
⎦
rigidezza piana (assiale)
rigidezza di curvatura (flessionale)
L'operatore E, che traduce la scrittura delle equazioni costitutive, è un operatore lineare
costante non differenziale. Può diventare differenziale in casi altamente non lineari, qualora si in-
troducano equazioni costitutive di ordine superiore al primo.
E' da notare come il primo blocco della matrice E è relativo allo stato piano di tensione,
mentre il secondo allo stato flessionale.
• Vediamo adesso come si può ricavare l'equazione fondamentale in forma estesa, cioè scrive-
re l'equazione di superficie elastica per i gusci curvi:
D ⋅ + p = 0 s
e
s = E⋅ e
e = Dk u ⋅

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
da cui si ottiene la ben nota relazione
De ⋅ E ⋅ D K ⋅ u + p = 0
La matrice E è quella precedentemente scritta, mentre gli operatori D e e D K saranno di-
visi in una parte lineare ed in una non lineare, cioè:
1
D eL
D kL
⎡∂
⎤
1 0 ∂ 2 0 0 0
⎢
⎥
=
⎢
0 ∂ 2 ∂ 1 0 0 0
⎥
⎣⎢
k k 2k ∂ ∂ 2∂
⎦⎥
11 22 12 11 22 12
⎡∂
1
⎢
0
⎢
⎢∂
2
= ⎢ 0
⎢
⎢ 0
0
∂ 2
∂ 1
0
0
−k11
⎤
−k
⎥
22 ⎥
−2k12
⎥
−∂
⎥
11
⎥
−∂
22 ⎥
⎣⎢
0 0 −2∂
⎦⎥
⎡u
⎤
1
⎢ ⎥
u =
⎢
u2
⎥
⎣⎢
u ⎦⎥
3
12
48
D eN
D kN
⎡ 0
⎢
= ⎢ 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0⎤
⎥
0⎥
⎣⎢
u3, 11 u3, 22 2u3, 12 0 0 0⎦⎥
⎡ p ⎤
1
⎢ ⎥
p =
⎢
p2
⎥
⎣⎢
p ⎦⎥
Nel caso lineare si ottengono le seguenti equazioni:
⎡0
⎢
0
⎢
⎢0
= ⎢0
⎢
⎢0
0
0
0
0
0
u3,
11∂ 1 ⎤
u
⎥
3, 22∂ 2 ⎥
2u3,
12∂ 2 ⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎣⎢
0 0 0 ⎦⎥
⎡
⎤
D u1 11 k11u3 1 u2 21 k22u3 1 u1 22 u2 12 2k12u3 2 p1
0
⎣
⎢
⎝ 2 ⎠
⎦
⎥ + =
⎛1
− ⎞
) ( , − , ) + ( , − , ) + ⎜ ⎟ ( , + , − , )
ν
ν
2
⎡
⎣
⎢
⎤
u1 12 k11u3 2 u2 22 k22u3 2 u1 21 u2 11 2k12u3 1 p2
0
⎝ 2 ⎠
⎦
⎥ + =
⎛1
− ν ⎞
) D ν(
, − , ) + ( , − , ) + ⎜ ⎟ ( , + , − , )
3

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
3
{
[ , ν , ] [ ν(
, ) ( , ) ]
) ( ) ( )
D k u − k u + u − k u + k u − k u + u − k u +
11 1 1 11 3 2 2 22 3 22 1 1 11 3 2 2 22 3
⎡⎛
1−
ν ⎞
⎤⎫
+ 2k
⎜ ⎟ 12 ( u1, 2 + u2, 1 − 2k12u3
) + B[ ( u3, 1111 u3, 2211) ( u3, 1122 u3,
2222)
⎣
⎢⎝
2 ⎠
⎦
⎥⎬
− − ν + −ν − +
⎭
+ ( 1− ν)(
− 2u3, 1212)] + p3
= 0
Se i raggi di curvatura tendono all' infinito ottengo le equazioni di equilibrio valide per il
problema della piastra caricata fuori dal piano. Queste equazioni si risolvono molto raramente in
forma chiusa (solo per gusci cilindrici o sferici), mentre negli altri casi le equazioni vengono di-
scretizzate.
Vediamo cosa succede nel caso non lineare, cioè quando
De = D eL + D eN
e D = D + D
{ [ ]
⎛1
− ν ⎞
⎜ [ u1, 12 u2, 12 k12u3, 2 ( u3, 12u3, 2 u3, 1u3, 22) ]} p1
) D ( u1, 11 k11u3, 11 u3, 1u3, 11) ν(
u2, 21 k22u3, 1 u3, 2u3, 21)
1 − + 2 + − + 2 +
+
⎝
2
49
k kL kN
⎟ + − 2 + 2 + + = 0
⎠
{ [ ]
) D ν(
u1, 12 k11u3, 2 u3, 1u3, 12) ( u2, 22 k22u3, 2 u3, 2u3, 22)
2 − + 2 + − + 2 +
3)
[ , , , ( , , , , ) ]
⎛1
− ν ⎞
⎫
+ ⎜ ⎟ u1 21 + u2 11 − 2k12u3 1 + 2 u3 11u3 2 + u3 1u ⎬ 3 21 + p2
= 0
⎝ 2 ⎠
⎭
⎧
⎫
⎪
2
2
( k11 + u3 11) [ ( u1 1 − k11u3 + u3 1)
+ ( u2 2 − k22u3 + u3
2 ) ] + ⎪
, , , ν , ,
⎪
⎪
⎪
⎪
2
2
D⎨+
( k22 + u3 22 ) [ ( u1 1 − k11u3 + u3 1)
+ ( u2 2 − k22u3 + u3
2 ) ] + ⎬
, ν , , , ,
⎪
⎪
⎪ ⎡⎛
1−
ν ⎞
⎤ ⎪
+ ( 2k12
+ u3 12 ) ⎜ ⎟ ( u1 2 + u2 1 − 2k12u3 + 2u3
1u3 2)
⎣
⎢⎝
2 ⎠
⎦
⎥
⎩⎪
, , , , ,
⎭⎪
+
( )
+ ( 1− ν)( −2u3,
1212)
( 3, 2222)
⎡ −u3, 1111 − νu3 , 2211 + −νu 3, 1122 − u
B⎢
⎢
⎣
+ ⎤
⎥+
p3
= 0
⎥
⎦
I termini al quadrato sono le componenti delle deformazioni al secondo ordine, significativi
quando u 3 assume valori grandi.

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
1.2.7 Teoria elastica lineare in coordinate cartesiane
Oss: E' precisato "in coordinate cartesiane" poiché vedremo che in molti casi tridimensionali
non si potranno usare tali coordinate, ma dovremo usare coordinate gaussiane o curvilinee.
Elemento continuo:
Oss: Per definire le componenti di tensione e deformazione in modo univoco si utilizza il meto-
do delle permutazioni semplici : 1 2
Variabili vettoriali:
⎡ρ
f
⎢
p =
⎢
ρ f
⎣⎢
ρ f
1
2
3
⎤
⎥
⎥
⎦⎥
⎡σ
⎢
σ
⎢
⎢σ
; s= ⎢σ
⎢
⎢σ
⎣⎢
σ
11
22
33
12
23
31
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎥
⎡t
⎢
; t =
⎢
t
⎣⎢
t
1
2
3
2 3
3 1
⎤
⎥
⎥
⎦⎥
⎡u
⎤
1
⎢ ⎥
; u =
⎢
u2
⎥
⎣⎢
u ⎦⎥
50
3
⎡γ
11 ⎤
⎢
γ
⎥
22 ⎢ ⎥
⎢γ
33 ⎥
; e = ⎢2γ
⎥
12
⎢ ⎥
⎢2γ
23 ⎥
⎣⎢
2γ
⎦⎥
31
⎡r
⎤
1
⎢ ⎥
; r =
⎢
r2
⎥
⎣⎢
r ⎦⎥
3

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
dove p rappresenta le forze di massa
s le tensioni
t le tensioni al contorno o forze di superficie
u gli spostamenti
e le deformazioni
r gli spostamenti al contorno (esempio classico è quello dei vincoli)
Oss: Ricordiamo che il tensore s è simmetrico (facendo l'equilibrio alla rotazione si trovano le
relazioni di reciprocità: σ = σ ; σ = σ ; σ = σ
12 21 13 31 23 32
Inoltre nello stato di spostamento u non possono essere definite le rotazioni, perché qua si
intende stato di spostamento punto per punto e quindi non posso definire la rotazione di un punto
(si può parlare di rotazione per una sezione che è un insieme di punti).
Equazioni di campo : (notazione ∂
i
∂
=
∂ x
51
).
i
i = 1,2,3)
Oss: 1- Vale la convenzione di Einstein sulla somma : a b = a b + a b + a b
i i
1 1 2 2 3 3
T
2- E' immediato verificare che De = D k e quindi che la dualità fra aspetto
statico ed aspetto cinematico vale anche per i continui.
Equilibrio : equazione di Cauchy : σij , j + ρ fi
= 0
D ⋅s ⋅+ p = 0 ⇒
e
∂σ11
∂σ12
∂σ 31
+ + + ρ f1
= 0
∂ x ∂ x ∂ x
1
∂σ22
∂σ 12 ∂σ
+ +
∂ x ∂ x ∂ x
2
2
1
∂σ33
∂σ 23 ∂σ31
+ + + ρ
f3
= 0
∂ x ∂ x ∂ x
3
2
3
23
3
1
⎡∂
1
⎢
⎢
0
⎣⎢
0
0
∂ 2
0
0
0
∂ 3
∂ 2
∂ 1
0
0
∂ 3
∂ 2
⎡σ
11⎤
⎢
σ
⎥
22
∂ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
3 ρ f1
0
⎥ ⎢σ33⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0
⎥
⋅⎢
⎥+
⎢
ρ f2
⎥
=
σ ⎢
0
⎥
12
∂ ⎦⎥
⎢ ⎥ ⎣⎢
ρ ⎦⎥
⎣⎢
⎦⎥
1
f3
0
⎢σ23⎥
⎣⎢
σ ⎦⎥
31
tenendo conto che:
+ ρ f = 0 σ = σ ; σ = σ ; σ = σ
2 31 13 12 21 23 32

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
1
Congruenza : γ = ( + u )
ij
2
u i,
j j,
i
1
Oss: Adottando come equazione cinematica γ = ( + u + u u )
Oss: D = D
T
e k
si ottiene ad esempio γ 11 u1,
1
e = D ⋅ u ⇒
Equazione costitutiva : σ = E ( γ − α Tδ
)
k
52
ij
2
= +
u i,
j j,
i k , i k , j
⎛u
+ u + u
⎜
⎝ 2
2 2 2
1, 1 2, 1 3, 1
⎡ γ 11 ⎤ ⎡∂
1
⎢
γ
⎥ ⎢
22 0
⎢ ⎥ ⎢
⎢ γ 33 ⎥ ⎢ 0
⎢ ⎥=
2γ
⎢
12 ∂ 2
⎢ ⎥ ⎢
⎢2γ
23⎥
⎢ 0
0
∂ 2
0
∂ 1
∂ 3
0 ⎤
0
⎥
⎥ ⎡u
⎤
1
∂ 3⎥
⎢ ⎥
⎥⋅
⎢
u2
0 ⎥
⎥ ⎣⎢
u ⎦⎥
3
∂ 2⎥
⎣⎢
2γ
⎦⎥
⎣⎢
∂ 0 ∂ ⎦⎥
31
ij ijkl kl T kl
3 1
dove quindi le variazioni termiche danno contributo solo alle tensioni normali puntuali
s = E ⋅ ( e − e T )
⎡σ
⎢
σ
⎢
⎢σ
⎢σ
⎢
⎢σ
⎣⎢
σ
11
22
33
12
23
31
⎤
⎡1
− ν 0 0 0 0 0 ⎤
⎥
⎢
0
⎥
⎢
⎥ E ⎢ 0
⎥=
( 1− ν )( 1− 2ν
) ⎢ 0
⎥
⎢
⎥
⎢ 0
1− ν
0
0
0
0
1− ν
0
0
0
0
( 1− 2ν ) / 2
0
0
0
0
( 1− 2ν ) / 2
0
0
0
0
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎥
⎣⎢
0 0 0 0 0 ( 1− 2ν ) / 2⎦⎥
⎞
⎟
⎠
⋅

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
Condizioni al contorno :
53
⎛⎡
γ 11 ⎤
⎜⎢
γ
⎥
⎜ 22 ⎢ ⎥
⎜⎢
γ 33 ⎥
⋅ ⎜⎢
α
2γ
⎥−
12
⎜⎢
⎥
⎜⎢
2γ
23⎥
⎜
⎝⎣
⎢2γ
31⎦⎥
T T
⎡1
⎤⎞
⎢
1
⎥⎟
⎢ ⎥⎟
⎢1
⎥⎟
⎢0
⎥⎟
⎢ ⎥⎟
⎢0
⎥⎟
⎣⎢
0⎦⎥
⎟
⎠
statiche cinematiche
&t = σ n
&r = u
n ij j
i
t& = σ n + σ n + σ n
n
t& = σ n + σ n + σ n
n
t& = σ n + σ n + σ n
n
1
2
3
11 1 12 2 13 3
21 1 22 2 23 3
31 1 32 2 33 3
e considerando un piano di normale x 1 con n =(1,0,0) si ottiene:
in forma matriciale
⎡t
& ⎤ ⎡
1 1
⎢
t&
⎥ ⎢
⎢ 2⎥
=
⎢
0
⎣⎢
t&
3⎦⎥
⎣⎢
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
⎡σ
⎢
σ
0⎤
⎢
⎥ ⎢σ
0
⎥
⋅⎢
σ
1⎦⎥
⎢
⎢σ
⎣⎢
σ
11
22
33
12
23
31
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎥
i i
&t = R t ⋅s &r = R r ⋅ u
dove R t è l'operatore al contorno per le tensioni
R r è l'operatore al contorno per gli spostamenti
⎡r
& ⎤ ⎡
1 1 0 0⎤
⎡u
⎤
1
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
r&
2 ⎥
=
⎢
0 1 0
⎥
⋅
⎢
u2
⎥
⎣⎢
r&
⎦⎥
⎣⎢
0 0 1⎦⎥
⎣⎢
u ⎦⎥
3
3

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
Se consideriamo un piano qualunque ad x j = costante
⎡t
& ⎤ ⎡
1 δ 1 j
⎢
t&
⎥ ⎢
⎢ 2⎥
= ⎢ 0
⎣⎢
t&
3⎦⎥
⎣⎢
0
0
δ 2 j
0
0
0
δ 3 j
δ 2 j
δ 1 j
0
0
δ 3 j
δ 2 j
⎡σ
⎢
σ
δ ⎤ ⎢
3 j
⎥ ⎢σ
0 ⎥⋅
⎢σ
δ 1 j ⎦⎥
⎢
⎢σ
⎣⎢
σ
Equazione fondamentale di LAMÉ-NAVIER:
G E
u i, ij + Gu j, ii + ρ f j = 0
con G =
1− 2ν
2( 1+
ν )
che possiamo ricavare nel seguente modo attraverso il diagramma di Tonti
sviluppando
⎡ u1,
1
⎢
u2,
2 ⎢
⎢ u3,
3
Dk ⋅ u = ⎢u
+ u
⎢
⎢u
+ u
⎣⎢
u + u
− p = D ⋅ s = D ⋅ E ⋅ D ⋅ u ⇒ D ⋅ E⋅ D ⋅ u + p = 0
1, 2 2, 1
2, 3 3, 2
3, 1 1, 3
e e k
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎥
E
con B =
( 1+ ν )( 1− 2ν
)
Le equazioni fondamentali risultano dunque:
54
11
22
33
12
23
31
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎥
e k
⎡ B( 1−
ν ) u1,
1 ⎤
⎢
B( 1−
ν ) u
⎥
2, 2
⎢
⎥
⎢ B( 1−
ν ) u3,
3 ⎥
⎢ B
⎥
⇒ E⋅ Dk ⋅ u = ⎢ ( 1− 2ν
)( u1, 2 + u2,
1)
2 ⎥
⎢B
⎥
⎢ ( 1− 2ν
)( u2, 3 + u3,
2 ) ⎥
⎢
2
B
⎥
⎢ ( 1− 2ν
)( u + u ) ⎥
⎣
3, 1 1, 3
2 ⎦
B
B( 1−
ν ) u111
, + ( 1− 2ν )( u1, 22
2
+ u 2, 12 + u1, 33 + u3, 13 ) + ρ f1
= 0
B
B( 1−
ν ) u 2, 22 + ( 1− 2ν )( u1, 21 + u 2, 11 + u 2, 33 + u 3, 23 ) + ρ f 2
2
= 0
B
B( 1−
ν ) u 3, 33 + ( 1− 2ν )( u2 , 32
2
+ u 3, 22 + u3, 11 + u1, 31 ) + ρ
f 3 = 0

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
1.2.8 Teoria non lineare per travi rettilinee piane rigide a taglio
Anche in questo caso facciamo un approccio approssimato.
Per quanto riguardano le azioni interne il taglio non lo consideriamo anche se poi al con-
torno può far comodo (in termini di reazioni vincolari). Questo lo si può fare perché la trave è ri-
gida a taglio e quindi poco deformabile sotto tale sollecitazione.
Variabili vettoriali :
p = ⎡q
x ⎤
⎢ ⎥ ; s=
⎣q
z ⎦
N
⎡N
⎤
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎢
⎣M
⎥ ; t =
⎦ ⎢
T
⎥
; u =
⎣⎢
M⎦⎥
⎡
⎡u
⎤
u ⎤ ⎡ε
⎤ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ; e =
⎣w
⎢
⎦ ⎣κ
⎥ ; r =
⎦ ⎢
w
⎥
⎣⎢
ϕ⎦⎥
Poniamo : d
x
= = ...'
d
dx
55

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
Equilibrio: − p = D ⋅ s= D + D ( u)
⋅s
− ⎡q
⎢
⎣q
x
z
56
( )
e eL eN
⎤
⎥=
⎦
⎡ ⎛ d x
⎜⎢
⎝⎣
0
dove: equilibrio alla traslazione lungo x:
equilibrio alla traslazione lungo z:
⎤ ⎡ ⎤⎞
⎥+ ⎢
⎦ ⎣ +
⎥⎟⋅
⎦⎠
⎡
0 0 0 N ⎤
2
d w w d
⎢ ⎥
x ' ' ' x 0 ⎣M
⎦
dN
dx
dT
dx
= N′= −qx
= T′= −qz
dM dw
equilibrio alla rotazione intorno y: T = + N ⋅ = M'+ N ⋅ w'
dx dx
Oss.: 1- Le equazioni indefinite di equilibrio valgono sempre, indipendentemente dagli sposta-
menti:
2
d M
dx
2 = qz è sempre vero.
2- "Non lineare" non significa soltanto che la relazione carico-spostamento non è una ret-
ta, ma soprattutto che l'operatore di equilibrio dipende dallo stato di spostamento (lo stesso vale
per l'operatore cinematico).
( )
Congruenza : e = D ⋅ u = D + D ( u) ⋅ u
dove ϕ = −w
Sviluppando si ottiene :
⎡ε
⎤ ⎛⎡
dx
⎢
⎣κ
⎥= ⎜⎢
⎦ ⎝⎣
0
k kL kN
0
−d
2
x
⎤
⎥+
⎦
⎧ du
⎪ε
= + w
dx
⎨
⎪
κ = −
⎩
dw 1
'
2 dx
2
d w
2
dx
⎡ ⎤⎞
⎢ ⎥⎟⋅
⎣ ⎦⎠
⎡
1 0 w' d x u ⎤
2 0 0
⎢ ⎥
⎣w
⎦

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Oss : 1- Con le ipotesi: - w non deve essere piccolo;
- u piccolo (ci si ferma alla teoria lineare).
2- v non è presente perché siamo nel caso di trave piana; v' 2 sarà importante per tutte
quelle travi in cui lo stato di sollecitazione assiale è significativo (associato a questo avrò anche
una grande deformabilità).
Quando vogliamo considerare anche il taglio, si adopera una teoria della trave che è una
sovrapposizione della teoria della trave di Navier e di Jurawsky.
Equazioni di legame : s = E⋅ e
⎡N
⎤ EA
⎢
⎣M
⎥=
⎦
⎡
⎢
⎣ 0
57
⎤
EJ
⎥⋅
⎦
⎡ 0 ε ⎤
⎢ ⎥
⎣κ
⎦
Oss.: Secondo le ipotesi di Navier non esiste una equazione di legame per il taglio.
Condizioni al contorno :
in termini di tensioni in termini di spostamenti
°
°
t = R ( R R ( u)
t ⋅ s= tL + tN
) ⋅s
r = R ⋅ u
° ⎡ ⎤
⎢
N
⎥ ⎛⎡
⎤ ⎡ ⎤⎞
° ⎢ ⎥ ⎜⎢
⎥ ⎢ ⎥⎟
N
⎢
T
⎥
= ⎜⎢
dx ⎥
+
⎢
w
⎥⎟
M
° ⎜
⎢ ⎥ ⎣⎢
⎦⎥
⎣⎢
⎦⎥
⎟
⎣
M
⎝
⎠
⎦
⋅⎡
1 0 0 0
⎤
0 ' 0 ⎢ ⎥
⎣ ⎦
0 1 0 0
r
° ⎡ ⎤
⎢
u
⎥ ⎡ ⎤
° ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ u
⎢
w
⎥
=
⎢ ⎥
⋅
w
° ⎢ ⎥ ⎣⎢
−d
x ⎦⎥
⎣ ⎦
⎡
1 0
⎤
0 1 ⎢ ⎥
⎣ ⎦
0
ϕ

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
Da cui, seguendo lo schema di Tonti, ricaviamo l'equazione fondamentale di LAMÉ-
NAVIER, che è in pratica l'equazione della linea elastica per una trave qualsiasi con sforzo assiale
di qualsiasi tipo
De ⋅ E⋅ D k ⋅ u = − p , con EA, EJ = cost. si ha:
( '' ' '')
EA u + w w = − qx equilibrio alla traslazione orizzontale
⎡
3 2 ⎤
EA ( u' w''+ u'' w') + ( w') w'' EJw'''' qz ⎣
⎢
⎦
⎥− = −
2
58
equilibrio alla traslazione verticale
Oss.: 1- Questa teoria è stata pensata per strutture prevalentemente compresse, anche leggere in
cui vi è una grossa presenza di deformazione assiale, mentre le deformazioni flessionali sono tra-
scurabili. Si adattano bene a questa teoria le strutture reticolari.
2- La teoria classica del 2° ordine presuppone che le deformazioni trasversali (w) siano
decisamente più piccole di quelle assiali (u). Quindi D ( u) ≅ 0 e i termini sottolineati cadono:
kN
2 { ( w') w'', w' w''}

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
1.3 Teoremi dell'energia
Introduzione
Illustriamo adesso alcuni teoremi che legano le quantità statiche e le quantità cinematiche
attraverso il lavoro di deformazione e che ci saranno utili in seguito. Tali teoremi ci permettono di
vedere il principio di conservazione dell'energia sotto diversi aspetti :
- il principio dei lavori virtuali;
- bilancio tra energia di deformazione e variazione di potenziale delle forze esterne.
In particolare, quando si vogliono caratterizzare le strutture fondamentale risulta l'energia
di deformazione. Se vale il principio di conservazione, ovvero il bilanciamento energetico, le forze
esterne agenti devono essere equivalenti energicamente alle forze interne reagenti. Questa "reatti-
vità" è quella proprietà che consente di definire la rigidezza della struttura stessa. In pratica la ri-
gidezza rappresenta il rapporto tra un carico e uno spostamento; essa lega il dato (azioni) con
l'incognita (spostamenti) del problema.
Il legame che c'è tra forza esterna ed energia di deformazione è una derivazione rispetto
allo spostamento (Teorema di Castigliano); quindi, se la forza è una derivata prima dell'energia e
la rigidezza è una derivata prima della forza, la matrice di rigidezza è legata alla derivata seconda
dell'energia. Una rigidezza positiva indica la capacità che ha una struttura ad assorbire energia,
viceversa una rigidezza negativa indica la tendenza della struttura stessa a liberarsi dell'energia e a
darla alle forze; inoltre rigidezza negativa in genere è associata a fenomeni di instabilità.
Volendo dare una definizione più completa della matrice di rigidezza, si può affermare che
questa è la "forma quadratica associata all'energia". Analizzando tale "forma" è possibile dare un
giudizio sul comportamento della struttura.
In conclusione, tutto ruota intorno al principio di conservazione dell'energia meccanica:
l'ipotesi fondamentale è che i fenomeni siano tutti "reversibili" (non entra in gioco l'entropia e
quindi i fenomeni "dissipativi") e i sistemi in cui lavoriamo sono detti conservativi.
59

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
1.3.1 Conservazione dell'energia meccanica
Ipotesi:
• sia un campo di forze e tensioni { p t }
, ,s equilibrato:
1 1 1
p1 = −D e ⋅s 1 e t = R ⋅s
• sia un campo di spostamenti e deformazioni { u r }
60
2 2
1 t 1
, ,e 2 congruenti:
e 2 = D k ⋅ u 2 e r = R ⋅ u
2 r 2
Oss.: I due sistemi sono indipendenti e non legati da un rapporto causa-effetto.
Scriviamo il principio di conservazione dell’energia meccanica per questi due sistemi,
calcoliamo il lavoro delle forze del primo sistema per gli spostamenti del secondo:
T
T
T
W = p ⋅ u dV + t ⋅ r dS − s ⋅ e dV = 0
1, 2
∫ ∫ ∫
V 1 2 S 1 2 V
esterno al contorno interno
lavoro
Oss.: Non è altro che il principio dei lavori virtuali P.L.V. (per corpi deformabili) inteso come
teorema:
EQUILIBRIO + CONGRUENZA ⇒ P.L.V.
• I teoremi di conservazione dell'energia implicano l'importante teorema di unione degli ope-
ratori di campo detto in inglese di adjointness (in italiano si potrebbe chiamare proprietà di
coniugio o di reciprocità):
∫ ∫ ∫
T T
T
W = p ⋅ u dV + t ⋅ r dS − s ⋅ e dV = 0
V 123 S V
↓ ↓
( s)
T
u ⋅ p ← −D ⋅ D ⋅ u
e k
1
2

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
inserendo le equazioni di equilibrio e congruenza nell'equazione della conservazione dell'energia
meccanica si ottiene:
T
T ∫ ( ) ∫
T
u ⋅ D ⋅ s+ s ⋅ D ⋅ u dV = t ⋅ r dS
V
e
k
S
i due operatori, che sono all'interno di questa doppia forma quadratica che esprime l'energia, sono
coniugati. Il primo termine, poiché u e s sono sempre gli stessi, esprime il principio di recipro-
cità tra gli operatori di campo differenziali De e Dk
; questo vale anche nei casi non lineari.
1.3.2 Principi del lavoro virtuale
La forma variazionale fornisce in pratica la possibilità di esprimere tutte le quantità in gio-
co (campi di spostamenti e di forze) in maniera tale da "astrarmi" dalle stesse realmente in causa.
Attivo un meccanismo di disturbo di tali campi del tutto arbitrario.
Cominciamo dal teorema dell'energia:
∫ ∫ ∫
o
T T T
W = u ⋅ p dV + r ⋅ t dS − e ⋅ s dV = 0
V S V
e consideriamo una variazione virtuale delle variabili di spostamento:
chiamo:
u = u + δ u
( )
e = D ⋅ u + δ u = D ⋅ u + D ⋅ δ u = e + δ e
k k k
r = R ⋅ ( u + δ u) = R ⋅ u + R ⋅ δ u = r + δ r
r r r
S t : insieme dei punti dove si possono applicare le condizioni al contorno statiche
t = t
o
61

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
mo-)
S r : insieme dei punti dove si possono applicare le condizioni al contorno cinematiche
Quindi
r = r
o
62
r = R r ⋅ u = r
o
∗
W = W + δ W = (δ ∗ ≡ congruente e virtuale - compatibile con i vincoli e infinitesi-
T o T o o T
∫ ∫ ∫ ∫
= u ⋅ p dV + r ⋅ t dS + r ⋅ t dS − ε ⋅ σ dV + → W = 0
V S S V
t r
o o
∫ ∫ ∫
T T
+ δ u ⋅ p dV + δ r ⋅ t dS − δ e ⋅ s dV = 0 → δ ∗
W = 0
V St V
Adesso utilizzando il principio di "reciprocità" (o "coniugio"):
⇒
∫ ∫ ∫
T
T T
δ u ⋅ D ⋅s dV − δ r ⋅ t dS = − s ⋅δ
e dV
e
V S V
t
o o
∗
T ⎛
δ = δ ⋅⎜ ⎞
⎝
⋅ + ⎟ T ⎛
⎠
+ δ ⋅⎜ ⎞
W ∫ u D p ∫ r
⎝
t − t⎟
e s dV
⎠
dS = 0
⇒ D ⋅ + p = 0 ∈
s
e
V S
o
T
t
T
o o
V t− t = t− R t ⋅s ∈ St che rappresentano le equazioni di Eulero-Lagrange ottenute da problemi variazionali.
Queste sono equazioni di equilibrio "debole" (esprimono l’equilibrio in termini globali), in
quanto condizioni necessarie.
Oss.: 1. In pratica si è scritto: P.L.V.+ CONGRUENZA ⇒ EQUILIBRIO
2. Per arrivare a tali espressioni ho dato la variazione alle quantità cinetiche; è pos-
sibile dare la variazione anche alle quantità statiche. Il principio dei lavori virtuali si può quindi
esprimere in due forme, considerando rispettivamente spostamenti virtuali o forze virtuali.

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
P.L.V. - SPOSTAMENTI VIRTUALI (potenziale)
con
da cui
o o
∫ ∫ ∫
∗
T T
δ W = δ u ⋅ p dV + δ r ⋅ t dS − δ e ⋅ s dV = 0
δ e = D ⋅δ u ∈V
k
δ r = R ⋅δ u ∈
t
D ⋅ s+
p = 0 ∈V
o
e
t− R ⋅ s = 0 ∈
t
o
V S V
⎛
= ⋅⎜ ⎞
⎝
⋅ + ⎟
⎠
+ ⋅ −
⎛
o T o
T
⎜ ⎞
∫ δ u D p ∫ δ r ⎟
e s dV
⎝
t t
⎠
dS
V S
S t
S t
63
t
come condizioni al contorno
come equazioni di Eulero-Lagrange
Oss.: Forma che si utilizza quando si lavora con il metodo degli spostamenti (o dell’equilibrio):
tra le infinite configurazioni congruenti, quella tale che δ ∗
W = 0 è anche equilibrata.
P.L.V. - FORZE VIRTUALI (potenziale coniugato)
con
da cui
o
∫ ∫
∗ ∗ T T
δ W = δ t ⋅ r dS − δ s ⋅ e dV = 0
S V
t
T ∫ s ( e ) ∫
o ⎛
= − ⋅ − ⋅ + ⋅⎜ ⎞
δ D δ
⎝
− ⎟
k u dV t r r
⎠
dS
δ p = D ⋅ δ s= 0 ∈V
e
δ p = R ⋅δ u ∈ S
V S
t r
e − D ⋅ u = 0 ∈V
k
t
T
come condizioni al contorno
o come equazioni di Eulero-Lagrange
r− R ⋅ u = 0 ∈
r
S r
Oss.: Forma che si utilizza quando si lavora con il metodo delle forze (o della congruenza): tra
le infinite configurazioni equilibrate, quella tale che δ ∗ *
W = 0
è anche congruente.
Fondamentale è il principio di reciprocità perché permette di riorganizzare il tutto.

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
1.3.3 Potenziale elastico
Il potenziale elastico interno è quella parte di energia che è dedicata alla deformazione
della struttura e quindi, come noto dalla "Scienza delle Costruzioni", è una forma quadratica: rela-
zione bilineare in e (o in s nella forma duale) che ha come forma quadratica associata il tensore
elastico.
Si assume:
• l'esistenza di un potenziale interno Π i :
Oss.:
1
π π ( )
i = i e = − e ⋅ ⋅e
2
( − )
∂ π
∂e
i
=
s T
• l'esistenza di un potenziale esterno Π e :
T
E : δ ( π )
Π e
64
( - )
∂ π i
T
− i = δ e = s ⋅ δ e
∂e è, in pratica , il teorema di Castigliano.
∫ ∫
T T
= − u ⋅ p dV − r ⋅ t dS
V S
(le variabili di forza non dipendono dagli spostamenti)
Chiamiamo: Π i + Π e = Π potenziale totale
Quindi :
1 T
o o
T T
Π = Πi + Πe
= ∫ e ⋅ E⋅ e dV −∫ u ⋅ p dV − ∫ r ⋅ t dS
2
V V S
• δΠ = 0 condizione di stazionarietà (equilibrio)
• δ 2 Π ≥ 0 (condizione di stabilità dell'equilibrio) (*)
t
Π → min (valore stazionario)

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
con
e = D ⋅ u ∈V
o
k
r = r ∈
S r
come condizioni al contorno
(*): E' una condizione aggiuntiva, in quanto tutte le situazioni di equilibrio che noi tro-
viamo, senza ancora entrare nel merito della "stabilità", sono di questo tipo.
1.3.4 Potenziale elastico coniugato
Come nel paragrafo precedente, si assumono le seguenti condizioni:
∗
• l'esistenza di un potenziale coniugato interno Π i :
Oss.:
∗ ∗ 1
π π ( )
i = i s = − s ⋅ ⋅s
2
∗ ( − )
∂ π
i
∂s
= eT
T ∗
E : δ ( π )
∗
l'esistenza di un potenziale coniugato esterno Π e :
65
∗ ( − )
∂ π i
− i =
∂s è, in pratica, il teorema di Castigliano.
Π e
∗ T
= −∫t ⋅ r dS
(le variabili di spostamento non dipendono da quelle di forza)
2
• δ Π = 0 , δ Π ≥ 0 : Π
con
∗ ∗ ∗
De ⋅ s+ p = ∈
o
0 V
o
t = t ∈
S r
∗ ∗ ∗ 1
o
T T
Π = Πi + Πe
= ∫ s ⋅ E⋅ s dV − ∫ t ⋅ r dS
2
S t
o
V S
⇒ min (stazionario)
come condizioni al contorno.
t
T
δ s= e ⋅δ
s

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Rivisitazione dei modelli della meccanica dei continui
1.3.5 Sommario
Principio degli spostamenti virtuali:
o o
∫ ∫ ∫
Principio di adjointness:
T
T ∫ ( ) ∫
T
u ⋅ D ⋅ s+ s ⋅ D ⋅ u dV = t ⋅ r dS
V
e
k
S
Equazioni di campo:
−p = De ⋅s
e = Dk u ⋅
Conservazione dell’energia:
∫ ∫ ∫
T T T
u ⋅ p dV + r ⋅ t dS − e ⋅ s dV = 0
V S V
T T
δ u ⋅ p dV + δ r ⋅ t dS = δ e ⋅s
dV
V S V
δ e = D ⋅δ u ∈V
k
δ r = R ⋅δ u ∈
t
S t
T
1
π i = − e ⋅ ⋅e
2
Energia potenziale:
Materiale elastico:
T E πi
1 T
o o
T T
Π = ∫ e ⋅ E ⋅e dV − ∫ u ⋅ p dV − ∫ r ⋅ t dS
2
V V St
2
Π Π ⇒ min
δΠ = 0 , δ ≥ 0 :
66
Principio delle forze virtuali:
o
∫ ∫
T T
δ t ⋅ r dS = δ s ⋅e
dV
S V
t
δ p = D ⋅ δ s= 0 ∈V
e
δ p = R ⋅δ u ∈ S
∗ 1 T
= − s ⋅ E ⋅s
2
t r
Energia potenziale coniugata:
Π ∗ 1
o
T
T
= ∫ s ⋅ E ⋅s dV − ∫ t ⋅ r dS
2
V S
δΠ = 0 , δ ≥ 0 :
∗ 2 ∗ ∗
Π Π ⇒ min
t

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
2. Modelli strutturali discretizzati (discontinui)
La descrizione del comportamento statico di una struttura è data da equazioni di campo e
da condizioni al contorno che vengono unite; tutto questo per un certo tipo di continuo, che di
volta in volta ha una dimensione trascurabile rispetto alle altre, oppure due, etc. Adesso vogliamo
discretizzare un continuo poiché le strutture sono composte da vari elementi strutturali. Per ogni
singolo elemento possono allora valere le equazioni di campo e al contorno già viste.
Questo tipo di approccio è diverso dal metodo alle "differenze finite" che trasformava eq.
differenziali in eq. algebriche, perché al posto delle eq. differenziali si sostituivano dei rapporti in-
crementali. Il metodo alle "differenze finite" non si può utilizzare in geometrie particolarmente
complesse, poiché il metodo presuppone la suddivisione del continuo in un reticolo di punti (dove
definiamo le nostre incognite) a maglia regolare ed è quindi evidente che non si riescono ad espli-
citare al meglio le condizioni al contorno.
2.1 Definizioni
2.1.1 Strutture discretizzate
Z
Y
base globale
1
2
3
59
elemento finito
nodi
X

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
DEFINIZIONI PER DISCONTINUI
• Modelli strutturali le cui variabili sono definite solo in punti discreti: punti nodali.
Le strutture discretizzate sono insiemi arbitrariamente composti da elementi ognuno dei
quali è modellabile come un continuo. Questi continui si compongono in maniera tale da avere dei
punti in comune: i nodi.
Es.: Telaio piano: l'elemento è la trave; telaio non piano: abbiamo travi e lastre.
• i punti nodali determinano un numero finito di elementi strutturali: elementi.
La determinazione dei nodi dipende dal tipo di struttura e dal tipo di carico. Quando ab-
biamo sistemi discretizzati, abbiamo tutte le grandezze riferite soltanto nei nodi.
• Per definire la posizione dei punti nodali nello spazio si utilizza una base globale.
Infatti dobbiamo distinguere equazioni di equilibrio e congruenza locali da quelli globali
che saranno scritte in sistemi di riferimento diversi.
Oss.: Le discretizzazioni artificiali si cominciano a fare quando si affrontano le strutture
bidimensionali.
La numerazione dei nodi e degli elementi può essere fatta in maniera arbitraria ma ci sono
dei criteri guida che rendono una maggior efficienza da un punto di vista computazionale.
2.1.2 Variabili esterne
Def: • Le variabili spostamenti esterni V i sono date dai cosiddetti gradi di libertà essenziali dei
punti nodali, che sono scomposti e positivi nella direzione degli assi del sistema globale. Non dob-
biamo avere dei gradi di libertà che in realtà sono combinazione lineare degli altri; essi devono
quindi essere essenziali, cioè linearmente indipendenti.
• Le variabili forze esterne P i si corrispondono energeticamente con le V i .
60

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
Oss.: Si parla di P come ente statico e di V come ente cinematico.
Spiegazione:
• Tutti i V i P i vengono numerati corrispondentemente e disposti in colonne V, P:
⎡P
1 ⎤
⎢
P
⎥
2 ⎢ ⎥
⎢M
⎥
P = ⎢ ⎥=
Pi
⎢ ⎥
⎢M
⎥
1 2
i m
⎡V
1 ⎤
⎢
V
⎥
2 ⎢ ⎥
⎢M
⎥
V = ⎢V
⎥
i
⎢ ⎥
⎢M
⎥
⎣⎢
P ⎦⎥
⎣⎢
V ⎦⎥
m
• Lavoro delle variabili esterne:
2.1.3 Variabili interne
Z
{ P P K P K P } , = { V V K V K V }
61
m
1 2
(a) T T
W = PV + P V + K + PV + K + P V = P ⋅ V = V ⋅ P
Y
1 1 2 2
9
8
base globale
12
i i m m
11
7
y e 2
z
x
3
1
5
6
10
4
base locale
i m
X

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e
• Le variabili di stato interne vi sono da considerarsi come il valore che queste funzioni assu-
mono nei nodi, sono gli “opportuni” gradi di libertà dei nodi dell’elemento; gli spostamenti
sono scomposti e positivi nella base locale.
e e
• Le variabili delle forze interne si corrispondono energeticamente con le vi .
e e
• Tutti i v e s vengono numerati corrispondentemente e disposti in colonne v e ed s e :
i
i
⎡s
1 ⎤
⎢
s
⎥
2 ⎢ ⎥
e ⎢M
⎥
s = ⎢ ⎥ =
si
⎢ ⎥
⎢M
⎥
1 2
i k
⎡v
1 ⎤
⎢
v
⎥
2 ⎢ ⎥
e ⎢M
⎥
v = ⎢v
⎥
i
⎢ ⎥
⎢M
⎥
⎣⎢
s ⎦⎥
⎣⎢
v ⎦⎥
k
• Lavoro delle variabili interne:
e
e
e
{ s s K s K s } , = { v v K v K v }
62
k
e
1 2
( i) e
− W = s v + s v + K + s v + K + s v = s ⋅ v = v ⋅ s
1 1 2 2
i i k k
e T e e T e
i k
• Le variabili di ogni elemento di una struttura presa in considerazione sono disposti in colonne
come segue:
⎡s
1 ⎤
a ⎡s
⎤ ⎢
s
⎥
2
⎢ b ⎥ ⎢ ⎥
s
s =
⎢ ⎥ ⎢s
3 ⎥
=
⎢ ⎥ ⎢ ⎥=
M s4
⎢ p ⎥ ⎢ ⎥
⎣s
⎦ ⎢M
⎥
⎣⎢
s ⎦⎥
5
a ⎡v
⎤
⎢ b ⎥
v
⎢M
⎥
⎢ p ⎥
⎣v
⎦
⎡v
1 ⎤
⎢
v
⎥
2 ⎢ ⎥
⎢v
⎥
⎢v
⎥
4
⎢ ⎥
⎢M
⎥
⎣⎢
v ⎦⎥
{ s1 s2 s3 s4 K sl } ; v =
⎢ ⎥ 3
= = { v1 v2 v3 v4 K vl }
• Lavoro interno della struttura completa (di tutti gli elementi):
( i)
T T
− W = s v + s v + s v + s v + K + s v = s ⋅ v = v ⋅ s
1 1 2 2 3 3 4 4
Oss: La numerazione è molto importante, si devono corrispondere forze e spostamenti che av-
vengono nella stessa direzione.
l l
5

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2.1.4 Quadro sinottico
P e V sono i vettori dei carichi e degli spostamenti, hanno m componenti (necessarie) e la
loro dimensione (m) è pari alla dimensione caratteristica della struttura. Gli eventuali vincoli
diminuiscono i gradi di libertà della struttura e sono linearmente indipendenti (cioè essenziali).
P e V sono scritte in un sistema di riferimento globale
s e v sono scritte in un sistema di riferimento locale
Struttura completa e-esimo elemento
P s v V s e v e
(m,1) (l,1) (l,1) (m,1) (k,1) (k,1)
63

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
2.2 Trasformazioni strutturali
2.2.1 Equilibrio
Def: • Le condizioni di equilibrio connettono le variabili delle forze interne ed esterne a livello
della struttura. Se le forze interne ed esterne devono equilibrarsi devo poter definire una matrice
(non un operatore) tale che:
s = b⋅ P :
⎡s
1 ⎤ ⎡b
⎢
s
⎥ ⎢
2 b21
⎢ ⎥ ⎢
⎢s
3⎥
⎢b
31
⎢ ⎥=
s ⎢
4 b41
⎢ ⎥ ⎢
⎢M
⎥ ⎢ M
b K b
⎣⎢
s ⎦⎥
⎣⎢
b
5
11 12 1m
l1
64
⎤
⎥
⎡P
1 ⎤
⎥
⎢
⎥ P
⎥
2
⎥⋅
⎢ ⎥
⎢M
⎥
⎥
⎥ ⎣⎢
P ⎦⎥
m
⎦⎥
( l, 1) ( l, m) ( m,
1)
• Questa è la scrittura delle equazioni di equilibrio per tutti gli l gradi di libertà possibili ma non
essenziali.
Oss: - La j-esima colonna della matrice b, contiene tutte le forze nodali dell'elemento dovute a
P = 1 , P = P = K P = 0;
j 1 2 m
- b non esiste se la struttura non è in equilibrio.
Pb: Come determinare la matrice b ?
• Le condizioni di equilibrio ai nodi portano a:
P = g⋅ s :
⎡P
1 ⎤ ⎡g
⎢
P
⎥ ⎢
2 g21
⎢ ⎥=
⎢
⎢M
⎥ ⎢ M
g g g K g
⎣⎢
P ⎦⎥
⎣⎢
g
m
11 12 13 14 1l
m1
⎡s
1 ⎤
⎤
⎢
s
⎥
2
⎥
⎢ ⎥
⎥
⎢s
3 ⎥
⋅
⎥
⎢s
⎥
4
⎦⎥
⎢ ⎥
⎢M
⎥
⎣⎢
s ⎦⎥
( m, 1) ( m, l) ( l,
1)
l

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• Se g è composta da variabili di forza indipendenti ed è
- quadratica (struttura staticamente determinata):
inversione: s = b ⋅ P
- rettangolare(struttura staticamente indeterminata):
pseudo inversione: s = b 0 ⋅ P + b x ⋅ X
Pb: Cosa sono variabili di forza completamente dipendenti o indipendenti?
Elemento trave Elemento in stato piano di tensione
Nl
Ml
Ql
e
Qr
Con variabili complete delle forze:
Nr
Mr
Forze nodali indipendenti:
Nr*
Ml* Mr*
65
S1
S1*
S2
S3 S4
60°
S2*
S3*
e
l
S6
S5
l√3/2

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-Ql = (Mr*+Ml*)/l
Nl = -Nr*
Forze nodali dipendenti:
• Trasformazione delle forze nodali da linearmente indipendenti a dipendenti:
2.2.2 Congruenza
⎡N
l ⎤ ⎡−
1 0 0 ⎤
⎢
Q
⎥ ⎢
l 0 1 1 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ l l ⎥ ⎡ N
⎢M
l ⎥ ⎢ 0 1 0 ⎥ ⎢
⎢
M
N ⎥=
⎢
⎥⋅
r 1 0 0 ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎣⎢
M
⎢Q
r ⎥ ⎢ 0 − 1
l − 1
l ⎥
⎣⎢
M ⎦⎥
⎣⎢
0 0 1 ⎦⎥
r
∗
r
∗
l
∗
r
⎤
⎥
⎥
⎦⎥
66
⎡S
1 ⎤ ⎡1
⎢
S
⎥ ⎢
2 0
⎢ ⎥ ⎢
⎢S
3 ⎥ ⎢0
⎢S
⎥=
⎢
4 0
⎢ ⎥ ⎢
⎢S
5 ⎥ ⎢1
0
1
0
1
0
0⎤
0
⎥
⎥ ⎡S
1⎥
⎢
S
0⎥⋅
⎢
⎥ S
0
⎣⎢
⎥
⎣⎢
S ⎦⎥
⎣⎢
0 0 0⎦⎥
Def.: • Le condizioni di congruenza connettono le variabili cinematiche interne ed esterne a li-
vello del sistema globale.
Qr = (Mr*+Ml*)/l
Opero fra gradi di libertà totali e gradi di libertà essenziali, assumendo:
v = a ⋅ V
⎡v
1 ⎤ ⎡a
⎢
v
⎥ ⎢
2 a21
⎢ ⎥ ⎢
⎢v
3 ⎥ ⎢a
31
⎢ ⎥=
v ⎢
4 a41
⎢ ⎥ ⎢
⎢M
⎥ ⎢ M
a K a
⎣⎢
v ⎦⎥
⎣⎢
a
l
11 12 1m
l1
6
⎤
⎥
⎡V
1 ⎤
⎥
⎢
⎥ V
⎥
2
⎥⋅
⎢ ⎥
⎢ M ⎥
⎥
⎥ ⎣⎢
V ⎦⎥
m
⎦⎥
( l, 1) ( l, m) ( m,
1)
S4 = S2*
S6 = S3*
S5 = S1*
∗
1
∗
2
∗
3
⎤
⎥
⎥
⎦⎥

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
dove: v è il vettore spostamento con tutti i gradi di libertà;
V è il vettore spostamento con i gradi di libertà essenziali.
Oss. la j-esima colonna della matrice contiene tutti i gradi di libertà degli elementi dovuti agli
spostamenti nodali globali unitari: V = 1, V = V = KK = V = 0.
j 1 2
m
Partendo da un sistema cinematicamente determinato (V1 = V2 = = V j = = 0
67
KK K ) si cal-
cola colonna per colonna la matrice a imponendo v j = 1 (teorema dello spostamento unitario).
2.2.3 Proprietà di controvarianza (dualità)
Definita la trasformazione:
• b = • h =
P s v V
= g • = a •
Conservazione dell'energia:
• Definiamo:
( a ) ( i ) T T T T
W + W = P ⋅ V − s ⋅ v = V ⋅ P − v ⋅ s = 0
δ s, δ P δ v, δ V
come stato di forze equilibrato: come stato di deformazioni congruente:
δ s = b ⋅δ P
δ v = a ⋅δ
V

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
• Dal P.L.V. abbiamo:
T T
δ P ⋅ V = δ s ⋅ v
T T
= δ P ⋅ b ⋅ v
essendo δ P, δ V arbitrari, otteniamo:
T T
V = b ⋅ v → h = b
68
T T
δ V ⋅ P = δ v ⋅ s
T T
= δ V ⋅ a ⋅ s
T T
P = a ⋅ s → g = a
• Teorema: Il campo di forze (P, s)
sono in equilibrio e il campo di spostamenti (V , v ) sono
congruenti, se valgono le proprietà di controvarianza:
T
s = b ⋅ P , V = b ⋅ v
T
e v = a ⋅ V , P = a ⋅ s
T −1 T −1
da queste due relazioni è evidente che b = a e a = b
(a e b sono duali).

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2.2.4 Equazioni costitutive
Vogliamo definire quali sono le grandezze che ci serviranno per lavorare con le strutture
(grandezze che abbiamo già incontrato per scrivere le equazioni fondamentali per i continui ).
• MATRICE DI FLESSIBILITÀ
L'equazione seguente è simile all'equazione che, per un continuo elementare, legava le
grandezze statiche e quelle cinematiche tramite l'operatore di elasticità.
Quello che cambia fra l'operatore di elasticità visto precedentemente e questa matrice di
flessibilità è che quest' ultima è scritta in un sistema di riferimento locale. In ogni caso ho il nume-
ro di righe e colonne pari al grado di libertà dell' elemento.
La scrittura di questa relazione è strettamente funzione della base locale; tutte le matrici,
affinché possano essere interfacciate l'una con l'altra, devono essere scritte in un sistema di riferi-
mento globale.
o
e e e e
v = f ⋅ s + v
e
e
o
⎡v
⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤
1 f 11 f12 L f1 j L f 1k
s1
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢
v
⎥
o
v2
f 21
s2
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢v
⎥
2
⎢ M ⎥ ⎢ M
⎥ ⎢ M ⎥
⎢ ⎥
; ⎢ ⎥ = ⎢
⎥⋅
⎢ ⎥ + ⎢ M ⎥ o
vi
f i1
s j
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢v
⎥
i
⎢ M ⎥ ⎢ M
⎥ ⎢ M ⎥
⎢ ⎥
⎣⎢
⎦⎥
⎣⎢
⎦⎥
⎣⎢
⎦⎥
⎢ M
o ⎥
vk
f k1
sk
⎣⎢
v ⎦⎥
Questa è la scrittura delle equazioni di congruenza che derivano dall'annullamento dei la-
vori virtuali totali. In essa sono considerati anche i carichi che non sono nodali.
Nella matrice di flessibilità sono contenute le caratteristiche elastiche della struttura.
Gli elementi della matrice si possono calcolare con il principio dei spostamenti virtuali.
e
v i
o
e
v i
Definiamo ciascun elemento:
: spostamento indotto dalla forza unitaria s e j = 1 nell' elemento nodale;
: spostamento nodale indotto da carichi non nodali;
69
k
e

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
e
fij : matrice di flessibilità dell' elemento per la quale valgono le seguenti proprietà
- quadrata;
e eT
- simmetrica: f = f (la simmetria è diretta conseguenza del teorema di Betti-Maxwell);
- regolare: det f e ≠ 0, in generale; (non si va molto avanti se det = 0, anche se è possibile
muoversi in un sistema a molti gradi di libertà con la matrice degenere su un grado di libertà, basta
che il sistema sia caricato in un certo modo. Pur avendo rami di equilibrio instabile, noi troviamo
sempre una soluzione equilibrata e congruente, ma instabile);
eT e e
- definita positiva: s ⋅ f ⋅ s > 0 (occorre fare lavoro per delle deformazioni positive)
• La matrice di flessibilità deve essere sintesi di equilibrio, congruenza e legame.
• MATRICE DI RIGIDEZZA
Definiamo per ogni elemento:
o
e e e e
s = k ⋅ v + s
e
e e o
⎡s
⎤ ⎡k
k k j k k ⎤ ⎡v
⎤ ⎡ ⎤
1 11 12 K 1 K 1 1 s
⎢
s
⎥ ⎢
k
⎥ ⎢
v
⎥
⎢ 1⎥
o
2 21
2
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢s
⎥
2
⎢ M ⎥ ⎢ M
⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥
: ⎢s
⎥ = ⎢
i k
⎥ ⋅⎢
i
v ⎥ + ⎢ M
o ⎥
1
j
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢s
⎥ i
⎢ M ⎥ ⎢ M
⎥ ⎢ M ⎥ ⎢
M
⎥
⎣⎢
sk
⎦⎥
⎣⎢
kk
⎦⎥
⎣⎢
vk
⎦⎥
⎢ o ⎥
1
⎣s
⎦
70
↓ ↓
matrice di rigidezza forze prime dovute
k
ai carichi sugli elementi
e e
e
Def.: • La colonna k j della matrice k contiene tutte le forze prime si dovute agli spostamenti
e
nodali unitari v j = 1.
• Elenchiamo le proprietà che valgono per la mat.k e :
- quadrata;
e e t
- simmetrica: k = k ;

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
- regolare: detk e ≠ 0 (sotto certe condizioni) se s i , v i sono
e t e e
- definita positiva: v ⋅ k ⋅ v > 0 variabili indipendenti
- singolare: det k e = 0 se s i , v i sono
e t e e
- semidefinita positiva: v ⋅ k ⋅ v ≥ 0 variabili complete
• Nel caso di variabili indipendenti:
o
− − −
( ) ( ) ( )
− −
( ) ( )
71
−
( )
e e e e e
v = f ⋅ s + v moltiplico per f ambo i membri e ottengo:
o
e 1 e e 1 e e e 1 e
f ⋅ v = f ⋅ f ⋅ s + f ⋅ v
Id
o
e 1 e e 1 e
s = f ⋅ v − f ⋅ v
↓ ↓
o
e e
k s
• Composizione della struttura globale:
1
da cui:
o
a a
a
⎡v
⎤ ⎡f
⎤ ⎡s
⎤
⎡ a ⎤
v
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
b
b
b
o
o v f
s v
v = f ⋅ s + v ⎢ ⎥ ⎢
⎥⋅
⎢ ⎥
⎢ b ⎥
: =
+
⎢ M ⎥ ⎢ O ⎥ ⎢ M ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎣v
⎥ ⎢
⎦ ⎣
f
⎥ ⎢
⎦ ⎣s
⎥
⎢ M
o ⎥
p
p p
⎦
⎣⎢
p
v ⎦⎥
o
s = k ⋅ v + s :
↓
matrice di flessibilità di tutti gli elementi
o
a a
a
⎡s
⎤ ⎡k
⎤ ⎡v
⎤
⎡ a ⎤
⎢ b ⎥ ⎢ b ⎥ ⎢ b ⎥
⎢s
o ⎥
⎢
s
⎥
k
v
= ⎢
⎥⋅
⎢ ⎥
⎢ b
+
s ⎥
⎢ M ⎥ ⎢ O ⎥ ⎢ M ⎥
⎢ ⎥
⎢ p
⎣s
⎥ ⎢
p
⎦ ⎣
k
⎥ ⎢ p
⎦ ⎣v
⎥
⎢ M
o ⎥
⎦
⎣⎢
p
s ⎦⎥
↓
matrice di rigidezza di tutti gli elementi

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
Def.: • Proprietà di f , k:
- quadrate;
- simmertiche;
- f ,k : regolari,definite positive;
• Il lavoro interno per strutture elastiche è una quadratica che ha come forma la matrice k (che
lavora con gli spostamenti) oppure è una quadratica con forma f (che lavora con le forze):
( i) t t t t t t
− W = s ⋅ v = s ⋅ f ⋅ s + s ⋅ v = v ⋅ s = v ⋅ k ⋅ v + v ⋅ s
2.2.5 Schema di trasformazione completo
72
o o
Il "Complete Transformation Scheme" ci consente di passare dall'insieme delle relazioni
scritte nel sistema di riferimento locale alla relazione di insieme scritta nel sistema globale.
Noi intendiamo connettere insieme entrambe i vettori di variabili esterne usando le se-
guenti trasformazioni:
• Se le variabili indipendenti sono i carichi, avremo
V = b ⋅ v
t
v = f ⋅ s + v
o
................................... Congruenza
....................... Equazioni costitutive
s = b ⋅ P ............ Equilibrio
o o
t t t
V = b ⋅ f ⋅ b ⋅ P + b ⋅ v = F ⋅ P + b ⋅ v
Congruenza: l'insieme degli spostamenti di tutti gli elementi v deve in qualche maniera essere le-
gato a V. La matrice b ci da la congruenza dei nodi, cioè è quella matrice che ci dice che le
estremità degli elementi che convergono nello stesso nodo devono assumere lo stesso sposta-
mento.

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
Equilibrio: L'insieme delle sollecitazioni s che convergono in un nodo devono essere equilibrate
da P.
t
• La relazione F = b ⋅ f ⋅ b
bilità globale con le seguenti proprietà:
- quadrata;
- simmetrica: F F t
= ;
- regolare: detF ≠ 0;
t
- definita positiva: P ⋅ F ⋅ P > 0.
è detta relazione di flessibilità globale dove F è la matrice di flessi-
• Se le variabili indipendenti sono gli spostamenti, avremo
P = a ⋅ s
t
s = k ⋅ v + s
o
t
• Dove K = a ⋅ k ⋅ a
- quadrata;
- simmetrica: K K t
= ;
................................... Equilibrio
....................... Equazioni costitutive
v = a ⋅ V ............ Congruenza
- regolare: detK ≠ → K = F
−
0
o o
t t t
P = a ⋅ k ⋅ a ⋅ V + a ⋅ s = K ⋅ V + a ⋅ s
è la matrice di rigidezza globale con le seguenti proprietà:
1 ;
t
- definita positiva: V ⋅ K ⋅ V > 0 (se la struttura è libera dai modi di corpo rigido);
- singolare: detK = 0
t
- semi definita positiva: V ⋅ K ⋅ V ≥ 0 (se sono possibili modi di corpo rigido).
N.B. La matrice di rigidezza è una proprietà intrinseca della struttura quindi la possiamo
definire a prescindere dal metodo con cui viene calcolata.
73

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
Oss: Modi di corpo rigido sono quei modi di spostamento, quei campi cinematicamente ammis-
sibili che esistono nonostante la struttura sia ben definita, nonostante che tutti gli elementi abbiano
rigidezza positiva.
• Per il singolo elemento:
• Schema di trasformazione completo:
Nella "Upper transformation" possiamo definire la trasformazione stessa soltanto se V
contiene i gradi di libertà attivi, cioè se s e v contengono solamente le variabili interne indipen-
denti; infatti, utilizzando qui il metodo della congruenza, non posso considerare tutte le variabili
bensì solo quelle indipendenti dal punto di vista dell' equilibrio.
Nella "Lower transformation", V può contenere variabili dipendenti (gradi di libertà non
solo attivi), poiché siccome fra tutte le soluzioni congruenti cerco quella equilibrata, le variabili
dipendenti le elimino con l'imposizione dell'equilibrio.
P
(m,1)
• b =
(l, m)
= a T •
(m, l)
a T • b = I
s
(l, 1)
• f e =
s e v e
= k e •
• F =
(m ,m)
• f =
(l, l)
= k •
(l, l)
= K •
(m, m)
74
v
(l, 1)
b T • a = I
• b T =
(m, l)
= a •
(l, m)
V
(m, 1)

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2.3 Teoremi dell'energia
2.3.1 Conservazione dell'energia
Assumiamo:
t
P = a ⋅ s1
; s = b ⋅ P : vettore delle forze in equilibrio su un dato corpo (a T = b -1 )
1
1 1
t
V = b ⋅ v ; v = a ⋅ V : vettore degli spostamenti dei punti di applicazione dei carichi
2
2
Con W e
1, 2
2 2
nodali (b T = a -1 )
scritto nel sistema di riferimento locale
75
↑ ↑
( e) ( i)
t
t
t
t
W = W − W = P ⋅ V − s ⋅ v = V ⋅ P − v ⋅ s =
1, 2 1, 2 1, 2 1 2 1 2 2 1 2 1 0
↓ ↓
scritto nel sistema di riferimento globale
( ) ( i)
potenziale esterno e W potenziale interno.
1, 2
• Trasformiamo adesso tutto a livello globale:
W1, 2 = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =
a ⋅ V2 b ⋅ P1 ↑ ↑
t
t
t
t
P V s v V P v s 0
1
2 1
P b
2 2
1 2
↓ ↓
t t
1 ⋅ a ⋅ V2 t
t t
t
t t
= P ⋅ V − P ⋅ b ⋅ a ⋅ V = V ⋅ P − V ⋅ a ⋅ b ⋅ P = 0
1
2 1
2 2
1 2
La conservazione dell'energia viene scritta attraverso la proprietà di controgradienza del-
l'equilibrio e della congruenza (per i continui avevamo fatto l'inverso).
1
1

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2.3.2 Teorema di Betti.
Consideriamo due sistemi diversi di forze e spostamenti:
Sistema 1 : { P , s } → { V , v = f ⋅ s }
1 1 1 1 1
Sistema 1 : { P , s } → { V , v = f ⋅ s }
2 2 2 2 2
Si ipotizza un sistema 1 (2) in equilibrio dove ho che gli spostamenti v (v )
1 2
di riferimento locale e le caratteristiche di sollecitazione s (s )
1 2
76
nel sistema
sono legati dalla matrice di flessi-
bilità. I due sistemi di riferimento hanno ovviamente la stessa matrice perché il corpo è lo stesso.
Calcoliamo adesso il lavoro mutuo dei due sistemi:
W1, 2 = ⋅ − ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅
W2 , 1 = ⋅ − ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅
da cui, essendo f = f t , si ha:
t
t
t
t
t
P V s v 0 :P V s v s f s
1
2 1
2 1
2 1
2 1
t
t
t
t
t
P V s v 0 :P V s v s f s
2
1 2
1 2
1 2
1 2
( e) ( e)
t
t
W = W
P ⋅ V = P ⋅ V
1, 2 2, 1
1
2 2
Oss: La matrice di flessibilità è simmetrica , questo non è dovuto alla discretizzazione del si-
stema bensì all'origine della matrice stessa; infatti i coefficienti di flessibilità sono quelli dell' equa-
zione di Müller-Breslaw dove ηi k = ηk
i (scambiare i con k significa solo scambiare il momento
con la curvatura: si sposta EJ).
1
2
1

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
2.3.3 Principio dei lavori virtuali
t t t t
W = P ⋅ V − s ⋅ v = V ⋅ P − v ⋅ s =
1. Principio dei lavori virtuali nella forma degli spostamenti:
0
t t
δ W = δ V ⋅ P − δ v ⋅ s = 0
con la condizione di congruenza δ v = a ⋅δ V si ottiene:
da cui:
t t t t t
δ V ⋅ P − δ V ⋅ a ⋅ s = δ V (P − a ⋅ s) = 0
t
P = a ⋅ s
eq.ne di equilibrio della struttura nella forma di Eulero Lagrange.
2. Principio dei lavori virtuali nella forma delle forze:
δ W δ δ
∗ t t
= P ⋅ V − s ⋅ v = 0
con la condizione di equilibrio δ s = b⋅ δ P si ottiene:
da cui:
t t t t t
δ P ⋅ V −δ P ⋅ b ⋅ v = δ P ⋅ (V − b ⋅ v) = 0
t
V = b ⋅ v
eq.ne di congruenza della struttura nella forma di Eulero Lagrange.
77

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
2.3.4 Condizioni di estremo per i discontinui
1. Minimo del potenziale elastico:
Definiamo:
t
Πe = −V ⋅ P
Πi = 1 t
⋅ 1 t
2 v s = 2 v ⋅ k ⋅ v (forma quadratica)
↓
s = k ⋅ v (struttura elastica)
Supponiamo che si deformi la struttura e quindi che i carichi esterni perdano potenziale
perciò abbiamo Π e Π ≤ 0 e non i . Tutto dipende solo dal fatto che è la struttura a far lavoro sul
sistema o il sistema sulla struttura, infine tanto la somma è comunque uguale a zero.
Π = Π + Π = 1 t t
2
v ⋅ k ⋅ v − V ⋅ P
i e
Condizione di stazionarietà:
Condizione di minimo:
t t
δ Π = δ v ⋅ k ⋅ v − δ V ⋅ P = 0
(P.L.V. nella forma degli spostamenti per una struttura elastica)
2
t
δ Π = δ v ⋅ k ⋅δ v ≥ 0
(k matrice semi-definita positiva)
78

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
2. Minimo del potenziale elastico coniugato:
Definiamo:
Π e
Π i
∗ t
= −P ⋅ V
∗
= 1 t
⋅ 1 t
2 s v = 2 s ⋅ f ⋅ s
↓
v = f ⋅ s
∗ ∗ ∗
Π = Π + Π = 1 t t
2 s ⋅ f ⋅ s − P ⋅ V
i e
Condizione di stazionarietà:
Condizione di minimo:
δ Π δ δ
∗ t t
= s ⋅ f ⋅ s − P ⋅ V = 0
(P.L.V. nella forma delle forze per una struttura elastica)
2
δ Π δ δ 0
∗ t
= s ⋅ f ⋅ s >
(f è sempre definita positiva).
79

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
2.4 Analisi strutturale
2.4.1 Strategie di approssimazione
Molti problemi nella meccanica strutturale ammettono soltanto delle soluzioni approssi-
mate, nel senso che il problema meccanico formulato nella sua maniera più completa non è risol-
vibile in forma chiusa: le travi sono un eccezione perché i problemi sono derivabili e simulabili
quasi senza approssimazione. Le strategie di approssimazione seguono dei criteri di convergenza
energetica, cioè il bilancio energetico che si scrive per il modello deve risultare il più possibile vi-
cino a quello che si ottiene nella struttura effettiva.
Passi fondamentali:
a) scelta di un funzionale adatto all'energia;
b) adeguata approssimazione delle variabili (statiche e cinematiche) nei rispettivi funzionali in
termini di variabili discrete nodali;
c) tener conto delle condizioni al contorno;
d) scrivere la condizione di minimo e di stazionarietà rispetto alle variabili nodali.
Per fare questo è necessario conoscere i funzionali dell'energia in forma discretizzata.
2.4.2 Metodo degli spostamenti
• Potenziale elastico totale:
1
o
T T T
Π = Πi + Π
Π = Πi + Π a = v ⋅ k ⋅ v + v ⋅ s− V ⋅ P
2
dove P indicano i carichi nodali, s o
forze sui fixed joints
80

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
• Trasformazione di congruenza: v → V
v = a ⋅ V
1
o
T T T T T
Π = V ⋅ a ⋅ k ⋅ a ⋅ V + V ⋅ a ⋅ s− V ⋅ P
2
• Pongo la condizione di stazionarietà di Π facendo riferimento ad una delle variabili di sposta-
mento nel sistema di riferimento globale.
o o
T
posto poi a ⋅ s = S
∂Π
∂ V
o
K ⋅ V + S− P = 0
2.4.3 Metodo delle forze
• Potenziale elastico coniugato:
o o
T T T
= a ⋅ k ⋅ a ⋅ V + a ⋅ s− P = K ⋅ V + a ⋅ s− P =
si ottiene:
• Trasformazione di equilibrio: s → P
s = b P
81
Relazione fondamentale per l'analisi
strutturale statica (sintesi di equilibrio
congruenza e legame)
∗ ∗ ∗ 1
o
T T T
Π = Πi + Π a = s ⋅ f ⋅ s + s ⋅ v− P ⋅ V = 0
2
Π ∗ 1
o
T T T T T
= P ⋅ b ⋅ f ⋅ b ⋅ P + P ⋅ b ⋅ v− P ⋅ V
2
0

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
• Condizione di stazionarietà:
∂
∂ P
Π T T T
∗
o o
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − = ⋅ + ⋅ − =
b f b P b v V F P b v V 0
Oss: Lo svantaggio di entrambe i metodi (degli spostamenti e delle forze) è che non tutte le va-
riabili di interesse appaiono nelle equazioni governanti il problema, cosa che invece non accade
nel metodo misto.
2.4.4 Metodo misto
Si chiama "metodo misto" perchè, al posto di un potenziale libero da ogni condizione par-
ticolare, si associa un potenziale in cui la condizione di equilibrio è esplicitata come equazione di
limite per le variabili di sollecitazione; dando un limite a queste e si ottiene quello che si chiama la
forma discretizzata del principio variazionale. In questo modo si costruisce un metodo in cui la
condizione di minimo è una condizione in cui senz'altro si esclude tutte quelle soluzioni che non
sono di equilibrio.
• Potenziale coniugato:
T
con equilibrio: P − a ⋅ s = 0
• Potenziale coniugato “vincolato”:
dove l è il moltiplicatore Lagrangiano.
∗ ∗ ∗ 1
o
T T T
Π = Πi + Π a = s ⋅ f ⋅ s + s ⋅ v− P ⋅ V
2
Π ∗∗ 1
o
T T T T T
= s ⋅ f ⋅ s + s ⋅ v+ l ⋅ ( P − a ⋅ s) − P ⋅ V
2
E’ la forma discretizzata del principio di HU.
82

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
• Condizioni di stazionarietà:
a-
b-
c-
∂
∂ P
Π ∗∗
∂
∂ s
∂
∂
Π ∗∗
T
Π ∗∗
l T
Dalla b e c otteniamo:
T T
= l − V = 0
o
= f ⋅ s + v− a ⋅ V = 0
T
= P − a ⋅ s = 0
A⋅ Z = R :
−f ⋅ s+ a⋅ V = v o
83
congruenza
usando l= V
flessibilità (legame)
T
a ⋅ s = P
equilibrio
⎡-f
a⎤
s v
⎢ T
⎣a
0
⎥⋅
⎦ V P
⎡
o
⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣⎢
⎦⎥
quadratica;
simmetrica: A=A T ;
singolare: detA=0;
indefinita.
−1
→ Z = A ⋅ R
• Principio: Le condizioni di stazionarietà della forma discretizzata del princio di HU sono le
equazioni di equilibrio, le equazioni di flessibilità di tutti gli elementi e le condizioni di con-
gruenza: → metodo misto.
Oss: Se anzichè le sollecitazioni ci mettessi gli spostamenti otterrei il potenziale duale.
• Analoga formulazione si ottiene usando il principio di HU-WASHIZU:
* * *
A ⋅ Z = R :
⎡-k
b⎤
v s
⎢ T
⎣b
0
⎥⋅
⎦ P V
⎡
o
⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣⎢
⎦⎥
−1
→ Z = A ⋅ R
* * *

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
2.4.5 Calcolo delle matrici di rigidezza dell'elemento
Nella trattazione seguente consideriamo solo il metodo degli spostamenti nella speciale
forma del metodo diretto della rigidezza , metodo in cui si cerca direttamente la matrice di rigi-
dezza.
• Elemento arbitrario:
• Potenziale dell'elemento:
• Procedimento:
Π
p o
84
t o
e
St 1
= ∫ ε ⋅ E⋅ ε − ∫ u ⋅ p − ∫ r ⋅ t
2 dV dV dSt e
e
e
o o
e T e T e T e
vincoli: ε = D ⋅ u ∈V
o
r = r
k
V V
St
∈V
e
e
Per ogni elemento costruiamo l'approssimazione del campo degli spostamenti che chia-
miamo u e . E' opportuno definire un vettore di coordinate generalizzate incognite (ad esempio gli
spostamenti nodali) $u e .
Fra l'approssimazione del campo degli spostamenti e il vettore di coordinate incognite c'è
la matrice di approssimazione, matrice che mi definisce la bontà della approssimazione fatta in ba-
se al grado delle funzioni usato.
4
base locale
z
y
Vediamo come possiamo definire le quantità che ci necessitano.
x
1
3
V e
2

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
• Approssimazione del campo degli spostamenti all'interno di V e (sono gli spostamenti dei
nodi scritti per il sistema di riferimento globale ):
stessi.
e e e
u = f ⋅ u$
Sostituendo nella f e le coordinate dei nodi devo ottenere il campo di spostamenti dei nodi
e e
• Definizione dei gradi di libertà nodali di v da u attraverso la sostituzione delle coordinate
nodali in f e :
v = f$
⋅ u$
e e e
dove $f e è la matrice che imprime le condizioni nodali al contorno , cioè le coordinate nodali dei
gradi di libertà dell'elemento.
• Inversione: voglio esprimere il vettore generalizzato $u e in funzione degli spostamenti nodali
− −
( ) ( )
1 1
u$ = $ ⋅ v → u = ⋅ $ e
f f f ⋅ v = W ⋅ v
e e e e e e e e
dove W e è la matrice delle funzioni di forma (lega le coordinate globali agli spostamenti nodali).
• Determinazione delle deformazioni dell'elemento e e e degli spostamenti al contorno dell' ele-
mento r e corrispondenti a u e :
e
e
e = D ⋅ u = D ⋅W ⋅ v = H ⋅ v
k
e
e
r = R ⋅ u = R ⋅W ⋅ v
dove H e è l'operatore cinematico discretizzato.
r
k
r
85
e e e e
e e

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
Operare con D k , che è un operatore differenziale, su una matrice di funzioni (W e ), signifi-
ca sostanzialmente fare delle derivate di funzioni, quindi H e è la derivata della funzione di forma.
Quindi per avere definite delle deformazioni occorre avere una espressione, sufficientemente ap-
prossimata, degli spostamenti attraverso la relazione e e
zione di forma adeguata: H deve essere ben posto.
• Sostituzione in Π e :
86
= D ⋅ ⋅ v
k
e e
W , cioè devo avere una fun-
T
e e 1 T T T o T
o
e e e e e e e e
Π = v ⋅ H ⋅ E⋅ H dV ⋅ v − v ⋅ Ω ⋅ p dV − v ⋅ R ⋅Ω ⋅ tdS
• Condizione di stazionarietà:
∂Π
∂ v
e
e
e
t
∫ ∫ ∫ ( )
2 e e
V V S
e e e e e e
e ( )
t
T T
∫ ∫ Ω ∫ Ω
= H ⋅ E⋅ H dV ⋅ v − ⋅ p dV − R ⋅ ⋅ t dS =
e e
V V S
o o
o o
e e e e e e e e
= k ⋅ v + s − s = 0 ⇒ s = k ⋅ v + s
e
r
e
r
e
t
e
t

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
• CRITERI DI CONVERGENZA:
Attraverso la scelta di diverse ipotesi di funzioni si è sviluppata , nel corso del tempo, una
varietà ormai non più enumerabile di elementi.
Nonostante la grande libertà nella formulazione degli elementi, o meglio delle funzioni che
descrivono le loro quantità cinematiche , esiste una serie di condizioni necessarie, cioè di esigenze,
che gli elementi debbono soddisfare. Iniziamo con due caratteristiche di base, senza il cui rispetto
ogni formulazione è completamente priva di senso.
1. Le singole funzioni di ogni riga della matrice f devono essere tra loro linearmente indipen-
denti, in modo che la $f e risulta quadratica e invertibile (per poter ottenere W e ).
2. Per l'eventuale definizione dei gradi di libertà delle derivate di f, le funzioni forma devono
essere continue e differenziabili tanto quanto necessario (cioè un numero di volte almeno pari al-
l'ordine della funzione).
Accanto a queste condizioni fondamentali ci sono inoltre tre criteri di convergenza, che
debbono essere soddisfatti per garantire la sicurezza e l'aderenza della soluzione a quella analitica
o per assicurare un'ottima approssimazione.
a- Rappresentazione (modellazione) di stati a deformazione costante.
Un certo stato di sollecitazione in un corpo da luogo ad uno stato di deformazione asso-
ciato e può portare a delle leggi variazionali molto complesse. Lo stato di sollecitazione più sem-
plice che si può avere è quello costante (se si opera in elasticità lineare si avrà anche una deforma-
zione direttamente proporzionale); bisogna quindi come minimo poter descrivere questo stato di
sollecitazione.
b- Invarianza nei confronti dei movimenti di corpo rigido(*).
La funzione spostamento è da scegliere in modo che non compaiano deformazioni per
spostamenti di corpo rigido. Il trattare componenti di spostamento che abbiano fortissime diffe-
renze in funzione della geometria può dare degli squilibri all'elemento.
87

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
• Queste prime due condizioni vengono dette condizioni di completezza.
c- Conformità (o compatibilità: condizioni di raccordo della linea elasticaal contorno).
La funzione spostamento è da scegliere in modo tale che le deformazioni nel passaggio da
un elemento all'altro siano si indeterminate, ma pure finite. Dal punto di vista matematico ciò si-
gnifica che, nel caso siano presenti (nel funzionale) derivate di ordine "n", le funzioni spostamento
lungo i bordi devono essere continue fino alla "n-1"-esima derivata. Se cioè compaiono nel fun-
zionale derivate prime, la funzione stessa deve essere continua (continuità C 0 ). Se compaiono de-
rivate seconde devono essere continue la funzione e le sue derivate prime (continuità C 1 ), e così
via. In pratica si ammette che solo la derivata n-esima può avere discontinuità finita.
Gli elementi che soddisfano questa condizione di continuità vengono detti conformi, altri-
menti non conformi. Quando gli elementi sono non conformi può succedere che questi siano non
compatibili, ed allora la conformità impedisce l'incompatibilità tra gli elementi.
Infine si deve esigere quest’ultima ma non meno importante condizione
d- Isotropia geometrica: invarianza nei confronti del cambiamento del sistema di coordinate.
Le funzioni forma non devono annullarsi per alcuna trasformazione del sistema di coordi-
nate, poiché altrimenti l'elemento mostrerebbe una direzione "degenere" peculiare ed i risultati di-
penderebbero dal tipo di orientamento dell'elemento, ad esempio dalla numerazione dei nodi.
complete.
Questa condizione viene soddisfatta automaticamente con l'impiego di funzioni polinomiali
Si deve sottolineare che, sebbene da un punto di vista matematico sia necessaria la soddi-
sfazione delle quattro condizioni sopra viste, si è provata una certa serie di elementi che, in prati-
ca, non rispettano una o più delle condizioni di cui sopra (ad esempio elementi non conformi).
88

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
• Soltanto la condizione a deve essere incondizionatamente soddisfatta.
Tutto questo ha condotto allo sviluppo del cosiddetto "Patch test", che rappresenta uno
strumento numerico per il collaudo del criterio di convergenza. Esso è molto semplice da condur-
re: si sceglie una maglia di elementi con una disposizione formale tale che almeno un nodo sia
completamente circondato da elementi; i nodi di bordo vengono poi sollecitati (cioè caricati) con
forze o spostamenti impressi tali da generare (o corrispondere) ad uno stato di deformazione co-
stante.
(*) ESEMPIO
Supponiamo di avere un sistema non isodefinito: corpo per il quale è consentita la rotazio-
ne (per tutta la struttura) attorno all'asse verticale.
Quando andiamo a risolvere l'equazioni del problema statico, se abbiamo una componente
di carico che da luogo ad un atto di moto rigido che non è impedito in quel senso, non otteniamo
la soluzione.
C'è una possibilità di mettere in evidenza questo moto ed è quella di fare un'analisi agli
autovalori in modo da cercare quegli autovalori che sono nulli (perché lungo quella direzione tro-
viamo autovalori nulli). Allora se, dato un certo carico, la nostra trattazione è in grado di descri-
vere questi atti di moto rigido senza che il corpo si deformi possiamo dire che l'elemento funziona.
Ci deve esssere la possibilità di descrivere tutti i moti rigidi senza deformazione perchè se
avessi in una direzione una qualsiasi componente di sforzo (e quindi di deformazione) vorrebbe
dire che la descrizione non è adeguata.
89

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
• ESEMPIO: Elemento piano in stato di deformazione costante
y1
y,uy
x1
• Approssimazione lineare in x e y degli spostamenti:
• Definizione dei gradi di libertà nodali:
Det $f = 2⋅ A p
1
uy1
ux1
3
uy3
⎡u
( ) ⎤
x x, y ⎡1
u = ⎢ ⎥=
⎢
⎣⎢
u ( ) ⎦⎥
⎣
y x, y 0
x
0
y
0
0
1
0
x
⎡α
1 ⎤
⎢
α
⎥
2 ⎢ ⎥
0⎤
⎢α
3 ⎥
⎥⋅ u
⎦ ⎢ ⎥=
f⋅
$
y α 4
⎢ ⎥
⎢α
5 ⎥
⎣⎢
α ⎦⎥
⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
v = ⎢ ⎥=
⎢
⎥⋅
⎢ ⎥=
u u
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎣⎢
⎦⎥
⎣⎢
⎦⎥
⎣⎢
⎦⎥
⎡
ux1
1 x1 y1
0 0 0 α 1
ux2
1 x2 y2
0 0 0 α 2
ux
3 1 x3 y3
0 0 0 α 3 ϕ$
0⎤
⎢ ⎥⋅ $ = f$
⋅ $
uy1
0 0 0 1 x1 y1
α 4 ⎣0
ϕ$
⎦
uy
2 0 0 0 1 x2 y2
α 5
u y3
0 0 0 1 x y α
3 3
dove A p è l' area del triangolo.
90
ux3
6
2
uy2
6
ux2
x,ux

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
• Inversione:
con
$j − 1 1
=
2 ⋅ A
p
$
u$ = $ ⋅ v = v
$
⎡ −1
j 0 ⎤
-1
f ⎢ −1⎥⋅
⎣ 0 j ⎦
⎡x
− − − ⎤
2 y3 x3 y2 x3 y1 x1y 3 x1y 2 x2 y1
⎢
⎥
⋅
⎢
y23 y31 y12
⎥
⎣⎢
x x x ⎦⎥
32 13 21
avendo usato per brevità: xk = xk − x , yk1 = yk − y
1 1 1
• Approssimazione dello spostamento dell' elemento:
con
u = ⋅ u = ⋅ v = ⋅ v = v
⎡w
0⎤
-1
f $ f f$ W ⎢ ⎥⋅
⎣0
w⎦
w T 1
=
2 ⋅ A
p
⎡x
− + ⋅ + ⋅ ⎤
2 y3 x3 y2 y23 x x32 y
⎢
⎥
⋅
⎢
x3 y1 − x1y 3 + y31 ⋅ x + x13 ⋅ y
⎥
⎣⎢
x y − x y + y ⋅ x + x ⋅ y⎦
⎥
1 2 2 1 12 21
• Approssimazione della deformazione dell' elemento:
con
1
H =
2 ⋅ A
e = D ⋅ u = D ⋅W ⋅ v = H ⋅ v
p
k k
⎡y
⎤
23 y31 y12
0 0 0
⎢
⎥
⋅
⎢
0 0 0 x32 x13 x21
⎥
⎣⎢
x x x y y y ⎦⎥
32 13 21 23 31 12
91

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
• Approssimazione della tensione dell' elemento:
con
S =
D =
2 ( ν )
s= D⋅ E⋅ e = D⋅
E⋅ H⋅ v = S⋅ v
⎡
⎤
⎢ y23 y31 y12 ν ⋅ x23 ν ⋅ x13 ν ⋅ x21
⎥
Eh
⋅⎢
ν ⋅ y ⋅ y ⋅ y x x x ⎥
p
23 ν 31 ν 12 32 13 21
1− ⋅ 2 A ⎢
1−
ν 1−
ν 1−
ν 1−
ν 1−
ν 1−
ν
⎥
⎢ ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ y ⋅ y ⋅ y ⎥
⎣ 32 13 21 23 31 12
2 2 2 2 2 2 ⎦
Eh
2 ( 1−
ν )
Oss.: Le matrici H ed S sono costituite con elementi costanti. Quindi deformazioni e tensioni
sono approssimate in modo costante in tutto l'elemento.
• MATRICE DI RIGIDEZZA:
con
k
k
Eh
= p
4 A 1
⎡
k = ∫ H ⋅ ⋅ E⋅ H = ⋅ H ⋅ E⋅ H = ⎢
⎣ =
T
k k
p p T
D dA DA
T
p
k k k
A
( − ν )
11 2
Eh
= p
4 A 1
( − ν )
12 2
92
11 12
21 12 22
⎡ 2 1−
ν 2
1−
ν 1−
ν
⎢ y23 + x32 y y + x x y y + x x
2
2
2
⎢ 1−
ν 2 1−
ν 2
1−
ν
⋅⎢
y23y31 + x32x13 y31 + x13 y y + x x
⎢
2
2
2
1−
ν 1−
ν 2 1−
ν 2
⎢y
23y12 + x32x21 y31y12 + x13x21 y12 + x21
⎣ 2
2
2
⎤
⎥
⎦
23 31 32 13 23 12 32 21
31 12 13 21
⎡ 1+
ν 1−
ν
1−
ν
⎢ x y x y + νx
y x y + νx
y
2
2
2
⎢1
− ν
1+
ν 1−
ν
⋅⎢
x y + νx
y x y x y + νx
y
⎢
2
2
2
1−
ν
1−
ν
1+
ν
⎢ x21y23 + νx
32 y12 x21y31 + νx13y12
x21y12 ⎣ 2
2
2
32 23 32 31 13 23 32 12 21 23
13 23 32 31 13 31 13 12 21 31
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
k
• RIEPILOGO:
Eh
= p
4 A 1
( − ν )
22 2
⎡ 2 1−
ν 2
1−
ν 1−
ν
⎢ x32 + y32 x x + y y x x + y y
2
2
2
⎢ 1−
ν 2 1−
ν 2
1−
ν
⋅⎢
x32x13 + y31y23 x13 + y31 x x + y y
⎢
2
2
2
1−
ν 1−
ν 2 1−
ν 2
⎢x
32x21 + y23y12 x13x21 + y31y12 x21 + y12
⎣ 2
2
2
93
32 13 31 23 32 21 23 12
13 21 31 12
1. Determinazione della matrice della funzione forma W e per gli spostamenti e H e per le de-
formazioni.
2. Relazione completa della rigidezza dell'elemento:
V
∫
T
e e
H ⋅ E⋅ H
e
dV
e
e e e
s = k ⋅ v + s
°
e
Ω eT ∫ ⋅ p
e
V
°
ES.: Per un elemento trave piano con variabili complete abbiamo:
z
⎡ EA
⎢ l
⎢
⎡ Nl
⎤
⎢ 0
⎢
Q
⎥
l ⎢
⎢ ⎥
M ⎢
⎢ l ⎥
0
⎢ N ⎥=
⎢
EA
r ⎢
−
⎢ ⎥
Q ⎢ l
⎢ r ⎥
⎢
⎣⎢
Mr
⎦⎥
0
⎢
⎢
⎣⎢
0
x
-
dV
−EA
⎤
0 0 0 0
l
⎥
12EJ −6EJ −12EJ −6EJ
⎥
⎡u
l ⎤
3 2 0
3 2 ⎥
l l
l l ⎢
w
⎥
−6EJ
4EJ
6EJ 2EJ
⎥ l ⎢ ⎥
⎥
2 0
2
l l
l l ⎢ϕ
l ⎥
⎥
EA
⋅⎢
⎥ u ⎥
r
0 0 0 0
l
⎢ ⎥
⎥ wr
−12EJ
6EJ
12EJ 6EJ
⎢ ⎥
⎥
3 2 0
3 2 r
l l
l l ⎥ ⎣⎢
ϕ ⎥⎦
−6EJ
2EJ
6EJ 4EJ
⎥
2 0
2
l l
l l ⎦⎥
Ml , ϕl
Nl ,ul
Ql , wl
EJ
l
Qr , wr
Nr ,ur
e
Mr , ϕr
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
2.4.6 Matrici di rigidezza geometrica
La rigidezza geometrica è quella componente di rigidezza (initial stress) che è causata
dalla presenza, in una configurazione qualsiasi equilibrata del sistema, di uno stato di tensione.
Non è detto che essa sia positiva, cioè che il sistema sia più rigido; essa può essere anche negati-
va, e dunque potremmo avere complessivamente una riduzione della rigidezza globale iniziale.
In caso di grandi deformazioni il tensore deformazione e e differisce da quanto visto nel
paragrafo precedente per il termine non lineare D k n (dipendente dallo spostamento).
e e
e e
( ( ) ) ( )
e e
e = D ⋅ u = D + D u ⋅ u = D ⋅W ⋅ v + D W ⋅ v ⋅W ⋅ v
k
k l k n
94
k l
k n
e e e e
Possiamo vedere ora da dove si determina la rigidezza geometrica soprattutto in termini
matriciali: basta richiamare le equazioni cinematiche e riferirsi al caso non lineare che abbiamo vi-
sto (cioè nell'operatore cinematico abbiamo un'aggiunta che è direttamente funzione del campo di
spostamento, è per questo che è l'operatore non lineare, perché esso dipende dalla variabile a cui è
applicato).
In termini di discretizzazione della struttura possiamo sostituire al vettore degli sposta-
menti nel sistema di riferimento locale W
e e
⋅v dove v è il campo degli spostamenti nodali (gradi di
libertà) e W è la matrice delle funzioni di forma. Questo ci permette di passare dal continuo al di-
screto.
Una volta fatta questa sostituzione otteniamo le due relazioni
e e
D ⋅W ⋅ v e D ⋅ ( W ⋅ v ) ⋅W ⋅ v
k l
k n
e e e e
dove la prima mi definisce la matrice di rigidezza elastica k e e la seconda dà luogo alla matrice di
e
rigidezza geometrica k G:
[ k n(
) ]
e
e e e
k D v E H
T
e
= ∫ W ⋅ ⋅W ⋅ ⋅ dV
G
e
V
e
• k G,
matrice di rigidezza geometrica, è funzione dello stato iniziale di tensione ottenuto con
certi carichi.

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
Vediamo adesso il caso di trave piana rigida a taglio, la matrice dipende esclusivamente dallo
sforzo normale:
e
k G =
2.4.7 Trasformazione in base globale
⎡0
0 0 0 0 0 ⎤
⎢
0
⎢
N ⎢0
36
−3l −3l 2
4l 0
0
−36 3l
−3l
⎥
⎥
2
−l
⎥
30l
⎢0
⎢
⎢0
0
−36
0
3l 0
0
0
36
0 ⎥
⎥
3l
⎥
⎣⎢
0 −3l 2
−l
0 3l 2
4l
⎦⎥
Consideriamo un elemento arbitrario con k nodi. Le forze applicate su ogni nodo possono
essere trasformate da una base locale alla base globale, operazione che è sostanzialmente una ro-
tazione.
Se scriviamo in una ipermatrice (un sistema di sistemi) la relazione che lega s , che è il
vettore scritto nel sistema di riferimento locale delle caratteristiche di sollecitazione o forze nodali
per il nodo 1, alle s G che sono le stesse forze scritte per il sistema di riferimento globale sempre
per il nodo 1, otteniamo la matrice C e (dove e sta per elemento):
troviamo che
⎡s
nodo 1⎤
⎡C
0
⎢
s
⎥ ⎢
nodo 2 0 C
⎢ ⎥ ⎢
⎢ M ⎥=
⎢ M
⎢ M ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎣s
⎦ ⎣
nodo k
L
95
L
e −1
e ( C ) = ( C )
⎤ ⎡s
⎥ ⎢
s
⎥ ⎢
⎥⋅
⎢
M ⎥ ⎢
⎥ ⎢
C⎦
⎣s
g nodo 1
g nodo 2
M
M
g nodo k
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
e e e
T
s = C ⋅ s s = C ⋅ s
G
e
G
e e
e e e
e eT
v = C ⋅ v v = C ⋅ v
G
T
G
e
G

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
In realtà quello che a noi serve è la trasformazione locale-globale, vediamo dunque le se-
guenti relazioni:
T
s = C ⋅ s
e
G
e e
o
e e e e
s = k ⋅ v + s
e e
v = C ⋅ v
96
e
G
↑ (senso delle sostituzioni)
con k e matrice di rigidezza dell'elemento espressa nel sistema di riferimento locale.
e eT e e e eT e e e
s = C ⋅ k ⋅ C ⋅ v + C ⋅ s = k ⋅ v + s
G
G
o o
e
G G G
eT e e
dove C ⋅ k ⋅ C rappresenta la matrice di rigidezza dell'elemento espressa nel sistema di rife-
o
e e
T
rimento globale, mentre C ⋅ s
• Trasformazioni
a) Caso generale:
( )
⎡x
⎤ ⎡ x, X
⎢ ⎥ ⎢
⎢
y
⎥
=
⎢
⎣⎢
z⎦⎥
⎣⎢
M
( y, X )
L
sono i carichi primi cioè i carichi ripartiti sui nodi.
⎤ ⎡X
⎤
⎥ ⎢ ⎥
⎥
⋅
⎢
Y
⎥
⎦⎥
⎣⎢
Z ⎦⎥
⎡X
⎤ ⎡
⎢ ⎥ ⎢
⎢
Y
⎥
=
⎢
⎣⎢
Z ⎦⎥
⎣⎢
( X , x)
( Y, x)
e C e e C e
T
k = ⋅ g k g k = ⋅ k
M
L
⎤ ⎡x
⎤
⎥ ⎢ ⎥
⎥
⋅
⎢
y
⎥
⎦⎥
⎣⎢
z⎦⎥
(x,X): coseni direttori che gli assi del sistema di riferimento locale formano con gli assi del
sistema di riferimento globale.
b) Caso piano (x,y)
y
α
y
z
x
locale: e k
x
Y
Y
Z
X
X
globale: e gk

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
⎡x
⎤ ⎡cosa
−sen
a 0⎤
⎡X
⎤
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢
y
⎥
=
⎢
sen a cos a 0
⎥
⋅
⎢
Y
⎥
⎣⎢
z⎦⎥
⎣⎢
0 0 1⎦⎥
⎣⎢
Z ⎦⎥
2.4.8 Assemblaggio della matrice di rigidezza
97
⎡X
⎤ ⎡ cos a sen a 0⎤
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
Y
⎥
=
⎢
−sen
a cos a 0
⎥
⎣⎢
Z ⎦⎥
⎣⎢
0 0 1⎦⎥
Se le rigidezze di tutti gli elementi sono trasformate nel quadro generale di riferimento:
e
k g,
il processo di assemblaggio è abbastanza semplice
T
K = a ⋅ k ⋅ a = ∑ k
g g g
e
g
e
da inserire nel processo del metodo di rigidezza diretto.
e
k g è scritto nel sistema di riferimento globale e la sommatoria è fatta sul numero degli elementi.
• ESEMPIO: “sistema piano”
Z
X
• Tabella delle incidenze:
gdl locali
Vi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Elemento 1 1 2 3 4 5 6
3
1 6 2
gdl globali
Elemento 2 1 2 3 4 5 6
2
l
Elemento 3 1 2 3 4 5 6
1
3
x
z
2
1
6
5
r
4
5
4
3
12
9
11
8
10
7

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
98

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
2.4.9 Procedura standard del metodo diretto della matrice di rigidezza
1. Discretizzazione della struttura in punti nodali e elementi.
2. Definizione e numerazione di tutti i gradi di libertà nodali V i , i = 1,...,m considerando an-
che quelli non vincolati.
3. Scelta del tipo di elemento:
determinazione della matrice di rigidezza : k e
calcolo delle forze prime di nodo : s e°
4. Schema di incidenza: decidere la topologia, cioè la corrispondenza dei nodi con gli
elementi.
5. Zero, (m,m)-matrice ~ K , zero, (m,1)-colonna ~ o
S .
6. Assemblaggio: tutte le matrici elementari di rigidezza scritte nel sistema di riferimento
globale vanno a costituire la matrice di tutta la struttura (per questo è fondamentale
l'incidenza, ovvero la corrispondenza tra gradi di libertà locali e globali)
e ~
k g → K⎫⎪
o o ⎬
e ~
s → S ⎭⎪
99
e = 1,.....
7. Caricamento di tutti i vettori nodali prescritti (cioè tutti quelli assegnati) P i = 1... m
⎡
⎢
⎢
⎣⎢
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
~
K
⎥ ⎢~
⎥ ⎢~
° ⎥ ⎢~
⎥
⎥
⋅
⎢
V
⎥
+
⎢
S
⎥
=
⎢
P
⎥
⎦⎥
⎣⎢
⎦⎥
⎣⎢
⎦⎥
⎣⎢
⎦⎥
(m,m) (m,1) (m,1)
ha solo m elementi diversi da zero
Con ~ K matrice singolare di rango r * = numero di gradi di libertà del corpo rigido (6 per
strutture spaziali, 3 per strutture piane).
i

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
8. Separazione dei gradi di libertà (DOFs) attivi e passivi.
L'eliminazione della singolarità avviene attraverso operazioni tra matrici considerando
gradi di libertà attivi e passivi. La seguente matrice:
⎡ K K
⎢
⎣K
K
100
T
C
C CC
lega tutti i carichi ai carichi equilibrati ed elimina le reazioni incognite (si realizza
attraverso operazioni tra matrici).
dove:
⎡ K K
⎢
⎣K
K
T
C
C CC C
⎤
⎥
⎦
⎤ V S P
⎥⋅
⎦ V S PC
⎡
o
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥+ ⎢ o ⎥=
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣⎢
⎦⎥
⎣ ⎦
K CC = matrice che mi annulla il determinante ed elimina le incognite.
P = carichi noti
P C = reazioni vincolari incognite
V = gradi di libertà attivi
V C = gradi di libertà passivi noti (impongono o annullano un certo spostamento)
9. Determinazione di V attraverso la relazione di rigidezza globale dei gdl attivi.
Una volta che abbiamo isolato il sottosistema K ⋅ V si determina il vettore degli
spostamenti nodali attraverso la relazione globale di rigidezza dei gradi di libertà attivi:
K ⋅ V + K C ⋅ VC + S P
⎡
⎣⎢ ⎤
⎦⎥ =
o
T
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
10. Determinazione delle reazioni vincolari P C dalla relazione di rigidezza globale.
Considerando adesso il sottosistema K C ⋅ V si determina il vettore delle reazioni
vincolari attraverso la reazione globale di rigidezza dei gradi di libertà passivi:
o
[ K ] [ ] C V [ K CC] [ VC] SC [ PC
]
⋅ + ⋅ + ⎡
⎣⎢ ⎤
⎦⎥ =
C

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
2.4.10 Teoria del secondo ordine - Problemi di stabilità
La relazione che noi troviamo in un generico passo di una analisi non lineare ha un opera-
tore che dipende esso stesso dalla variabile a cui è applicato, quindi, il problema non lineare, deve
essere trasformato in una serie di passi lineari che convergano alla soluzione e ad ogni passo si
deve ricostruire ed aggiornare tale relazione.
Per procedere in questo senso dobbiamo partire da un primo passo dove se non abbiamo
una condizione di pretensione o se non abbiamo a che fare con tensostrutture che hanno una pre-
tensione iniziale e quindi uno stato zero, o se non siamo in condizioni di autotensioni oppure se
non siamo in presenza di strutture precompresse allora la matrice di rigidezza geometrica al primo
passo è nulla in quanto è nullo lo stress iniziale.
A questo punto facciamo il primo passo con la componente solo elastica, assegniamo il
carico e calcoliamo uno stato di spostamento. Siccome la struttura è a comportamento non lineare
si trova che risostituendo gli spostamenti e determinando la rigidezza di nuovo, il vettore delle
forze in equilibrio con quello spostamento calcolato non è uguale a quello dei carichi esterni. Ri-
sulta un residuo e questo residuo deve andare a zero, cioè lo stato di spostamento della struttura
non è tale da poter assorbire o equilibrare quel carico esterno.
Se applichiamo la teoria non lineare ad un struttura che si comporta linearmente, il residuo
è circa nullo già al primo passo. La rigidezza elastica è già praticamente la rigidezza tangente.
Equazione della rigidezza per problemi non lineari:
• Analisi lineare:
K ⋅ V = P
∗
o o
( K + K ( σ)
) ⋅ V = P − S = P V = 0
E G C
−1
→ •V = K ⋅ P
• v
e
• Variabili di forze interne:
- elementi trave: s = k ⋅ v + s
101
o
e e e e
e e e
+ equilibrio: N( ) , Q( ) , M
x x ( x)
- altri elementi finiti: e = H ⋅ v ,
s = E⋅
e
e e e e e

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
• Teoria del secondo ordine:
passo lineare:
∗
K ⋅ V = P → • V = ...
e
passo non lineare: noto
( K + K ( ) ) ⋅ V = P
∗
σ
e e
102
•V =...
• v e
• Variabili forze interne:
N , G , M
e
p
e e e
s , s
e
b
N , Q , M
e
p
e e e
σ , σ
Attraverso la reiterazione dei passi lineari si ottiene l' analisi non lineare completa.
• Problemi di stabilità:
passi lineari: carico unitario
*
K e ⋅ V = λ P
o
→
o
−1
*
• V = λK
e ⋅ P
, v e = λ...
passi di stabilità: equilibrio stabile sotto λP *
o
o *
⎛ o
⎜ ⎞
K e + K g ⎝
λ ⎟⋅
⎠
V = λP
esisterà un certo λ cr dove può esserci un differente stato di deformazione V + Δ V :
⎛ o
⎜ ⎞
o
K K ( V V) e + ⎟⋅
*
g ⎝
λ cr ⎠
+ Δ = λP
⎛ o
→ • ⎜ ⎞
K e + K g ⎝
λ ⎟⋅ cr ⎠
V = λP
⎛ o
• ⎜ ⎞
K e + K g ⎝
λ ⎟⋅ cr ⎠
ΔV
= 0
o
K + K =
e
λ cr
g
o *
0 → λ cr
e
b

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
103

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
INDICE
I. INTRODUZIONE ALLA MECCANICA DELLE STRUTTURE DISCRETE............. 2
1. RIVISTA DEI MODELLI DELLA MECCANICA DEI CONTINUI ................................................... 3
1.1 Modelli ingegneristici ................................................................................................. 3
1.2 Modelli strutturali....................................................................................................... 5
1.2.1 Osservazioni generali......................................................................................... 11
1.2.2 Teoria della trave piana di Navier....................................................................... 17
1.2.3 Teoria della trave piana con deformazione a taglio............................................. 20
1.2.4 Stato piano di tensione (Teoria delle lastre isotrope) .......................................... 23
1.2.5 Teoria Lineare per le Piastre rigide a taglio ( Kirchhoff - Love )........................ 27
1.2.6 Teoria dei gusci ribassati.................................................................................... 32
1.3 Teoremi dell'energia ................................................................................................. 59
1.3.1 Conservazione dell'energia meccanica ................................................................ 60
1.3.2 Principi del lavoro virtuale ................................................................................. 61
1.3.3 Potenziale elastico ............................................................................................. 64
1.3.4 Potenziale elastico coniugato ............................................................................. 65
1.3.5 Sommario.......................................................................................................... 66
2. MODELLI STRUTTURALI DISCRETIZZATI (DISCONTINUI) ................................................... 59
2.1 Definizioni ................................................................................................................ 59
2.1.1 Strutture discretizzate........................................................................................ 59
2.1.2 Variabili esterne................................................................................................. 60
2.1.3 Variabili interne................................................................................................. 61
2.1.4 Quadro sinottico................................................................................................ 63
2.2 Trasformazioni strutturali......................................................................................... 64
2.2.1 Equilibrio .......................................................................................................... 64
2.2.2 Congruenza ....................................................................................................... 66
2.2.3 Proprietà di controvarianza (dualità).................................................................. 67
2.2.4 Equazioni costitutive ......................................................................................... 69
2.2.5 Schema di trasformazione completo................................................................... 72
2.3 Teoremi dell'energia ................................................................................................. 75
2.3.1 Conservazione dell'energia................................................................................. 75
2.3.2 Teorema di Betti................................................................................................ 76
104

ANALISI COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE Modelli Strutturali Discretizzati
2.3.3 Principio dei lavori virtuali................................................................................. 77
2.3.4 Condizioni di estremo per i discontinui .............................................................. 78
2.4 Analisi strutturale ..................................................................................................... 80
2.4.1 Strategie di approssimazione.............................................................................. 80
2.4.2 Metodo degli spostamenti.................................................................................. 80
2.4.3 Metodo delle forze ............................................................................................ 81
2.4.4 Metodo misto.................................................................................................... 82
2.4.5 Calcolo delle matrici di rigidezza dell'elemento................................................... 84
2.4.6 Matrici di rigidezza geometrica.......................................................................... 94
2.4.7 Trasformazione in base globale .......................................................................... 95
2.4.8 Assemblaggio della matrice di rigidezza ............................................................. 97
2.4.9 Procedura standard del metodo diretto della matrice di rigidezza ....................... 99
2.4.10 Teoria del secondo ordine - Problemi di stabilità .............................................. 101
_____________________________________________________________________________
Le presenti dispense sono state redatte dagli studenti:
Angela Bevilacqua, Andrea Borsi, Giuseppe Garofalo
nell'anno accademico 1993/'94
Mario Maio, Luigi Maselli, Francesco Mirto, Francesco Romagnani, Guido Saletti
nell'anno accademico 1992/'93
105