Sviluppi dell'impostazione unificante per test bayesiani e frequentisti ...

Si noti che, quando θ 0 > θ 1 , l’equazione ammette una soluzione ∀ 0 < b < λ n , mentre quando
θ 0 < θ 1 , si ha una soluzione ∀ b > λ n , ma in tal caso λ < 1 e lim
n→+∞ λn = 0.
Ricordando che 2sθ ∼ χ 2 2n , si ha che
{ H(2λ ln(
λ n
(5) F 0 (b) =
b
)/(λ − 1)) se λ < 1
1 − H(2λ ln( λn b
)/(λ − 1)) se λ > 1
mentre
(6)
{ H(2 ln(
λ n
F 1 (b) =
b
)/(λ − 1)) se λ < 1
1 − H(2 ln( λn b
)/(λ − 1)) se λ > 1
,
dove H(x) è la funzione di ripartizione di un χ 2 2n .
Calcolate le inverse delle funzioni di ripartizione del fattore di Bayes, è immediato verificare
che la funzione ψ(·) = F −1
0 (1 − F 1 (·)) ha espressione:
e inoltre
λ−1
))
ψ(b) = λ n exp{− (λ − 1)H−1 (1 − H( 2 ln( λn b )
ψ −1 (b) = λ n exp{− (λ − 1)H−1 (1 − H( 2λ ln( λn b )
λ−1
))
}.
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Per determinare il test, sará necessario calcolare ψ(1). Se ψ(1) < 1, è necessario calcolare
ψ −1 (1), e porre r = ψ −1 (1) e a = 1, altrimenti si pone r = 1 e a = ψ(1).
Nella pratica, si puó considerare sempre λ > 1, ovvero θ 0 > θ 1 . In caso contrario, vale il
seguente teorema (dimostrato nella tesi) che attesta una forma di simmetria del test modificato
nel caso esponenziale:
Teorema 2. Chiamata ψ(s, l) la funzione ψ(s) calcolata assegnando il valore l al parametro λ,
e chiamata F i (s, l) la funzione di distribuzione di B(s) sotto H i calcolata assegnando il valore l
al parametro λ, accade che
ψ(1, λ) = (ψ −1 (1, 1/λ)) −1 ,
2λ
},
e
F 0 (1, λ) = 1 − F 1 (1, 1/λ)
Il Teorema 2 mostra che, quando λ < 1, si puó calcolare il test per (1/λ) > 1, e poi fare
l’inverso dei valori trovati: la regione di non decisione sará costituita da {x ∈ X / 1/a < B(x) <
1/r}. Infatti se, ad esempio, nel caso λ > 1 si osserva ψ(1) > 1, nel caso 1/λ si osserverá
ψ −1 (1) < 1, e quindi ψ(1) < 1; per cui r = ψ −1 (1, 1/λ) = 1/ψ(1, λ).
Esempio 1. Mostriamo con un esempio i risultati del teorema 2. Supponiamo di voler verificare
le ipotesi {
H 0 : θ = 9
H 1 : θ = 3.
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