Schema riassuntivo della teoria delle perturbazioni 1 Sistema ...

Schema riassuntivo della teoria delle perturbazioni
1 Sistema unidimensionale imperturbato: H 0 (J) .
Frequenza ω = H ′ 0(J)
Perturbazione dell’hamiltoniana:
(1) H(J, χ) = H 0 (J) + ɛF (J, χ).
con F analitica e periodica in χ.
Obiettivo: trovare la funzione generatrice
che porta all’hamiltoniana
∞∑
(2) W (J ′ , χ) = J ′ χ + ɛ n W (n) (J ′ , χ)
n=1
∞∑
(3) H ′ (J ′ ) = H 0 (J ′ ) + ɛ n H n (J ′ ).
n=1
Per ottenere le equazioni che definiscono W (n)
si inserisce la serie
(4) J = J ′ +
∞∑
n=1
(n)
n ∂W
ɛ
∂χ
nella (1), ottenendo una serie di potenze di ɛ da confrontare col secondo
membro della (3). Questo e’ il procedimento che porta alla (12.21) del
testo. Illustriamo i passaggi che portano alla (12.21), ponendo per semplicita’
Z (n)
(12.21).
=
∂W
(n)
∂χ
e utilizzando anche una scrittura alternativa della
1

Dobbiamo scrivere
∞∑
∞∑
(5)H 0 (J ′ + ɛ n Z (n) ) = H 0 (J ′ ) +
n=1
k=1
d k H 0
dJ k 1
k! ( ∞ ∑
n=1
ɛ n Z (n) ) k
e riordinare gli elementi secondo le potenze di ɛ .
Scriviamo alcuni termini, fino a ɛ 4 , per comprendere il meccanismo
...
k = 1) ɛZ (1) + ɛ 2 Z (2) + ɛ 3 Z (3) + ɛ 4 Z (4) + .....
k = 2) ɛ 2 (Z (1) ) 2 + 2ɛ 3 Z (1) Z (2) + 2ɛ 4 Z (1) Z (3) + ɛ 4 (Z (2) ) 2 + .....
k = 3) ɛ 3 (Z (1) ) 3 + 3ɛ 4 (Z (1) ) 2 Z (2) + ...
k = 4) ɛ 4 (Z (1) ) 4 + ...
Raggruppando le potenze di ɛ fino a ɛ 4
nella (5) si trova allora
(6)H 0 (J ′ ) + ɛ dH 0
dJ Z(1) + ɛ 2 [ dH 0
dJ Z(2) + 1 d 2 H 0
2! dJ 2 (Z(1) ) 2 ]+
ɛ 3 [ dH 0
dJ Z(3) + 1 d 2 H 0
2 dJ 2 2Z(1) Z (2) + 1 d 3 H 0
3! dJ 3 (Z(1) ) 3 ]+
ɛ 4 [ dH 0
dJ Z(4) + 1 d 2 H 0
2 dJ 2 (2Z(1) Z (3) +(Z (2) ) 2 )+ 1 d 3 H 0
3! dJ 3 3(Z(1) ) 2 Z (2) + 1 d 4 H 0
4! dJ 4 (Z(1) ) 4 ]
Si vede subito che nel coefficiente della generica potenza ɛ n il termine
lineare nelle Z (i) e’ sistematicamente dH 0
dJ Z(n) = ω(J ′ )Z (n) .
Poi compaiono (sempre con riferimento a ɛ n ) vari prodotti che hanno la
seguente struttura: a moltiplicare 1 d k H 0
c’e’ la somma di tutti i prodotti
k! dJ k
di k fattori Z (n1) Z (n2) ...Z (n k)
che si possono costruire con il vincolo n 1 +
n 2 + − − − + n k = n. In questi fattori bisogna tenere conto delle ripetizioni.
Ad esempio il termine 1 d 3 H 0
3! dK 3 3(Z(1) ) 2 Z (2) nel coefficiente di ɛ 4 va inteso
come 1 d 3 H 0
3!
ɛ n
dJ 3 [Z(1) Z (1) Z (2) + Z (1) Z (2) Z (1) + Z (2) Z (1) Z (1) ].
Quindi possiamo scrivere cio’ che moltiplica 1 d k H 0
k! dJ k
come la somma
∑
(7)
Z (n1) Z (n2) ...Z (nk) ,
n 1 +n 2 +...+n k =n
2
nel coefficiente di

tenendo presente che le n i non sono ordinate.
Per capire meglio la struttura della somma (7) facciamo un altro esempio:
cerchiamo nel coefficiente di ɛ 7 il termine che moltiplica 1 d 4 H 0
4! dJ . Le 4
scomposizioni ordinate possibili del numero 7 nella somma di quattro numeri
naturali sono: 4 + 1 + 1 + 1, 3 + 2 + 1 + 1, 2 + 2 + 2 + 1. Queste possono
essere disposte rispettivamente in 4!
3! , 4!
2! , 4!
modi (= numero permutazioni
3!
totale/numero permutazioni nelle sottoclassi con elementi uguali).
Quindi avremo nel coefficiente ɛ 7
(8) 1 d 4 H 0
4! dJ 4 [4(Z(1) ) 3 Z (4) + 1 2(Z (1) ) 2 Z (2) Z (3) + 4Z (1) (Z (2) ) 3 ).
1 d 5 H 0
Altro esempio: il contributo di al coefficiente di ɛ 10 . Le scomposizioni
ordinate possibili di 10 in 5 termini
5! dJ 5
sono:
6 + 1 + 1 + 1 + 1, disponibili in 5!
4! = 5 modi
5 + 2 + 1 + 1 + 1, disponibili in 5! = 20 modi
3!
5!
4 + 2 + 2 + 1 + 1, disponibili in = 30 modi
2!2!
4 + 3 + 1 + 1 + 1, disponibili in 5! = 20 modi
3!
3 + 2 + 2 + 2 + 1, disponibili in 5! = 20 modi
3!
5!
3 + 3 + 2 + 1 + 1, disponibili in = 30 modi
2!2!
2 + 2 + 2 + 2 + 2, disponibili in 5! = 1, modo.
5!
Quindi, per n = 10 e k = 5 :
(9)
∑
n 1 +n 2 +n 3 +n 4 +n 5 =10
Z (n 1) Z (n 2) ...Z (n 5) =,
5(Z (1) ) 4 Z (6) + 20(Z ′ ) 3 Z (2) Z (5) +
3

30(Z (1) ) 2 (Z (2) ) 2 Z (4) + 20(Z (1) ) 3 Z (3) Z (4) +
20Z (1) (Z (2) ) 3 Z (3) + 30(Z (1) ) 2 Z (2) (Z (3) ) 2 + (Z (2) ) 5
Pertanto, il riordino della serie (5) secondo le potenze di ɛ e’ (ricordando
dH 0
dJ = ω(J ′ ) )
∞∑
(10) H 0 (J ′ + ɛ n Z (n) ) =
∞∑
+ ɛ n ∑ n 1 d k H 0
n=2 k=1
k! dJ k
n=1
H 0 (J ′ ) + ɛω 0 (J ′ )Z (1) +
∑
n 1 +n 2 +...+n k =n
Z (n 1) Z (n 2) ...Z (n k) .
Osservazione: fissato n , per k = 1 c’e’ il solo termine
(11) ɛ n ω 0 (J ′ )Z (n)
e per k = n c’e’ il solo termine ɛ n 1 d n H 0
n! dJ n (Z(1) ) n .
Utilizzando la (10) e lo sviluppo simile
+ɛ 2 ∂F
∂J Z(1) +
∞∑
(12) ɛF (J ′ + ɛ n Z (n) , χ) = ɛF (J ′ , χ)
n=1
∞∑
ɛ n+1 ∑ n
n=2 k=1
nella (1), si trova all’ordine ɛ
all’ordine ɛ 2
1 ∂ k F
k! ∂J k
∑
n 1 +n 2 +...+n k =n
(13) ω 0 (J ′ (1)
∂W
)
∂χ + F (J ′ , χ) = H 1(J ′ ′ ),
Z (n 1) Z (n 2) ...Z (n k)
dove
(14) ω 0 (J ′ (2)
∂W
)
∂χ + 1 2
d 2 H 0
dJ
(15) F (2) (J ′ , χ) = 1 2
∂χ
2
(∂W
(1)
d 2 H 0
dJ
2
(∂W
(1)
)2 + ∂F ∂W (1)
∂J ∂χ = H′ 2(J ′ )
∂χ
)2 + ∂F ∂W (1)
∂J ∂χ
4

e’ noto in base all’integrazione della (13).
All’ordine ɛ n avremo, grazie alla (11)
(16) ω 0 (J ′ (n)
∂W n
)
∂χ
+ ∑
k=2
+ ∂F ∂W (n−1) n−1 ∑
+
∂J ∂χ
k=2
1 d k H 0
k! dJ k
1 d k H 0
k! dJ k
∑ ∂W (n 1)
∂W (n 2) (n k)
n 1 +n 2 +...n k
∂χ ∂χ ...∂W ∂χ +
∑ ∂W (n 1) (n k)
n 1 +n 2 +...+n k
∂χ ...∂W ∂χ
dove tutti i termini, tranne il primo, sono noti.
Dunque le W (n) si calcolano risolvendo in sequenza le equazioni
dove
(17) ω(J ′ (n)
∂W
)
∂χ + F (n) (J ′ , χ) = H n (J ′ )
(18) H n (J ′ ) = 1 ∫ 2π
F (n) (J ′ , χ)dχ
2π 0
e le F (n) si esprimono tramite le W (i) con i ≤ n − 1 .
In particolare F (1) = F .
CONCLUSIONI:
• Le W (n) si calcolano sotto la sola ipotesi ω(J ′ ) ≠ 0
• Le serie (2) e (3) convergono.
2 Sistema unidimensionale imperturbato: ẍ = 0
Perturbazione periodica di per. 2π in x e t
(19) ẍ + ɛV x (x, t) = 0,
con V analitica
Obiettivo: trovare la trasformazione
(20) x = ξ + u(ξ, t, ɛ)
5

con
∞∑
(21) u(ξ, t, ɛ) = ɛ n u (n) (ξ, t),
n=1
per cui la (6) venga sostituita da
(22) ¨ξ = 0.
Scelto ˙ξ = ω il problema del calcolo delle u (n)
in sequenza le equazioni
e’ ricondotto a risolvere
(23) D 2 ωu (n) + v (n) = 0, D ω = ω ∂ ∂ξ + ∂ ∂t
con v (n) espresso tramite le u (i) , i ≤ n − 1 .
Prendendo V = ∑ m,n ˆv m,n e i(mx+nt) l’equazione Dωu 2 + v = 0 si risolve
nella forma
(24) u = ∑ û m,n e i(mx+nt) ,
m,n
mediante
(25) û m,n =
−ˆv m,n
−(ωm + n) 2
purche’ ω sia irrazionale (problema dei piccoli denominatori).
La convergenza della (11) e’ assicurata se ω e’ un numero diofanteo.
Si dimostra poi che la serie (8) e’ convergente, per |ɛ| sufficientemente
piccolo.
3 Sistema multidimensionale imperturbato:
H 0 (J), J ∈ R l
Caso A): hamiltoniana non degenere
Perturbazione dell’hamiltoniana
(26) H(J, χ) = H 0 (J) + ɛF (J, χ)
con F analitica e periodica in χ .
Obiettivo: trovare W (J ′ , χ) = J ′ · χ + ɛW (1) (J ′ , χ) col noto criterio.
6

Come nella (4) la ricerca di W (1) (J’, χ) porta all’equazione
(27) ω(J’) · ∇ χ W (1) + F (J’, χ) = H 1 (J’),
H 1 (J’) = media di F sul toro Π 2 .
Passando alle serie di Fourier si vede subito che deve essere ω(J’) · m ≠
0, ∀m ∈ Z l \{0} (vettore ω non risonante). Se pero’ ∇ J ω(J ′ ) = matrice
hessiana di H 0 ha determinante ≠ 0 c’e’ una corrispondenza biunivoca tra
ω e J’ e non e’ possibile trovare una funzione W (1) (J’, χ) regolare in J’
(basta che la F abbia uno sviluppo in serie di Fourier generico per trovare
una contraddizione).
CASO B
H 0 = ω · J (oscillatori armonici), ω assegnato costante (con tutte le
componenti positive).
Ora si puo’ innescare il procedimento per trovare W (1) (J’, χ) se ω e’ non
risonante e anche dimostrare la convergenza della serie di Fourier per W (1)
se ω e’ diofanteo. Si dimostra pero’ che le serie perturbative (di Birkhoff)
∞∑
(28) H = H 0 (J’) + ɛ n H n (J’)
n=1
∞∑
(29) W = J’ · χ + ɛ n W n (J’)
n=1
(costruibili ricorsivamente) in generale non convergono. Il risultato e’ comunque
utile nel senso che la variazione di J ′ nel tempo puo’ essere molto
piccola in intervalli di tempo molto lunghi.
4 Sistema multidimensionale imperturbato: H 0 (J)
Perturbazione identica alla (26). Idea: lavorare con ω(J 0 ) con J 0 fisso.
Obiettivo: mostrare che il flusso perturbato per qualche J 0 si svolge su una
deformazione analitica del toro imperturbato {J 0 } × T l .
Procedimento: si vuole che
∞∑
(30) J = J 0 + ɛ ɛ n A (n) (Ψ)
n=0
7

∞∑
χ = Ψ + ɛ ɛ n B (n) (Ψ)
n=0
(serie di Lindstedt), quando Ψ = ω 0 t + ψ 0 coincida col flusso
(31) ˙J = −ɛ∇χ F (J, χ), J| t=0 = J 0
˙χ = ω(J) + ɛ∇ J F (J, χ), χ| t=0 = ψ 0
Si sostituiscono le (30) nei secondi membri delle (31).
Si derivano le (30) rispetto a t.
Si confrontano i termini dello stesso ordine per trovare le equazioni
soddisfatte da A n , B n . Si cerca di risolverle mediante sviluppo in serie di
Fourier.
In particolare si scopre subito che per ottenere la media su ψ di A (0)
l’hamiltoniana H 0 deve essere non degenere.
Si vede poi che con ω(J 0 ) non risonante possono determinarsi i coefficienti
di Fourier di A (n) , B (n) e se ω(J 0 ) e’ diofanteo (condizione su J 0 ) le serie
di Fourier convergono.
Si dimostra infine che per |ɛ| abbastanza piccolo anche le serie di Lindstedt
convergono.
⇒ Teorema KAM: I tori per cui ω(J 0 ) e’ diofanteo sono deformati
analiticamente dalle perturbazioni (gli altri vengono distrutti).
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