Programma di esame Matematica II Corso di Laurea in Ottica e ...

Programma di esameMatematica IICorso di Laurea in Ottica e Optometriaa.a 2009/20101 Integrali di una variabile1.1 Integrali definitiSignificato geometrico di integrale definito : area del sottografico di f(x)(se f(x) ≥ 0) ovvero del rettangoloide S = {(x, y)| a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤f(x)}.Proprietà degli integrali definiti : Linearità, additività rispetto all’intervallo,inversione degli estremi di integrazione, confronto tra integrali.Teorema della media Sia f una funzione continua in [a, b]. Allora esiste x 0 ∈[a, b] tale che ∫ ba f(x)dx = f(x 0)(b − a).Calcolo di aree di figure piane1.2 Integrali indefinitiDefinizione di primitiva di una funzione data Una funzione F (x) definitain [a, b] è una primitiva di f(x) se F (x) è derivabile in [a, b] e seF ′ (x) = f(x) ∀x ∈ [a, b].Teorema fondamentale del calcolo integrale SIa f una funzione continuain [a, b]. La funzione (integrale) F (x) = ∫ xf(x)dx è derivabile e la suaaderivata vale F ′ (x) = f(x).Caratterizzazione delle primitive di una funzione dataFormula fondamentale del calcolo integrale Sia f continua in [a, b] e Guna primitiva di f. Allora ∫ bf(x)dx = G(b) − G(a).aDefinizione di integrale indefinito di una funzione .1

Integrali indefiniti immediati integrali delle seguenti funzioni: x m (m ≠−1), 1/x (x ≠ 0), e x , sin x, cos x, 1/ cos 2 x, 1/ √ 1 − x 2 , 1/(1 + x 2 ).Integrali di funzioni composteFormula di integrazione per parti : ∫ f ′ (x)g(x)dx = f(x)g(x)− ∫ f(x)g ′ (x)dx(f fattore differenziale, g fattore finito).Formula di integrazione per sostituzione : Dato ∫ f(x)dx e un cambiamentodi variabile x = g(t) (g derivabile con derivata continua) allora∫f(x)dx =∫f(g(t))g ′ (t)dt con dx = g ′ (t)dt è il differenziale di x = g(t).2 Curve nel piano e nello spazioDi seguito citeremo, per brevità, le definizioni ed i risultati nel caso delle curvepiane. Analoghi risultati valgono per le curve nello spazio.Definizione di curva, curva semplice e curva chiusaDefinizione di curva regolare φ : [a, b] −→ R 2 , φ(t) = (x(t), y(t)) è unacurva regolare se: φ è di classe C 1 e se (x ′ (t)) 2 + (y ′ (t)) 2 > 0 ∀t ∈ [a, b].Retta tangente, versore tangente e versore normale ad una curva regolare dataEquazione di una curva in coordinate polariLunghezza di una curva L(φ) = ∫ ba√(x′ (t)) 2 + (y ′ (t)) 2 dt.Integrale di una funzione esteso ad una curva o integrale curvilineo Siaf funzione di due variabili definitia sul sostegno di una curva γ con rappresentazioneparametrica φ : [a, b] −→ R. L’integrale di f esteso allacurva γ è:∫γ fds = ∫ ba f(x(t), y(t)√ (x ′ (t)) 2 + (y ′ (t)) 2 dt.Cambiamento di parametro e curve equivalenti Sia g : [a, b] −→ [α, β]una funzione C 1 , t.c. g ′ (t) ≠ 0 ∀t ∈ [α, β]. Siano φ : [a, b] −→ R 2 ,ψ : [α, β] −→ R 2 , due curve. φ e ψ si dicono equivalenti se ∃g come sopratale che φ(t) = ψ(g(t)). g è il cambiamento di parametro.Proprietà delle curve equivalenti e curve OrientateBaricentro di una curva γ Il ∫ baricentro di una curva semplice γ è il puntodi coordinate: x 0 = 1L(γ) γ xds y ∫0 = 1L(γ)yds, con L(γ) la lunghezzaγdella curva γ.2

3 Forme differenziali o campi vettorialiCome prima citeremo solo definizioni e risultati in R 2 che si possono estenderenel caso R 3 .Definizione di forma differenziale lineare, forma differenziale esatta e chiusaIntegrale di una forma differenziale esteso ad una curva Sia γ una curvaorientata e (x(t), y(t)) t ∈ [a, b] una sua rappresentazione parametrica.Sia a(x, y)dx + b(x, y)dy una forma differenziale definita su un aperto Ache contiene la curva γ. L’integrale della forma differenziale esteso a γ è:∫γ a(x, y)dx + b(x, y)dy = ∫ ba {a(x(t), y(t))x′ (t) + b(x(t), y(t))y ′ (t)}dtTeorema di caratterizzazione di forme differenziali esatte Sia A ⊆ R 2aperto connesso, a(x, y)dx + b(x, y)dy una forma differenziale lineare econtinua in A. Siano γ, γ 1 e γ 2 curve regolari a tratti contenute in A.Sono equivalenti le seguenti tre affermazioni:i) a(x, y)dx + b(x, y)dy è esatta in A;ii) Per ogni curva chiusa γ contenuta in A ∫ a(x, y)dx + b(x, y)dy = 0;γiii) Se ∫ γ 1 e γ 2 hanno gli stessi estremi e stesso verso di percorrenza risulta:γ 1a(x, y)dx + b(x, y)dy = ∫ γ 2a(x, y)dx + b(x, y)dy.Teorema Sia a(x, y)dx + b(x, y)dy una forma differenziale chiusa in un apertoA. Se A è un rettangolo o un insieme semplicemente connesso allora laforma differenziale è esatta in A. In R 3 si deve richiedere che A sia unrettangolo o un aperto stellato.4 Integrali doppi e tripliDefinizione di dominio normale rispetto all’asse x Siano α = α(x) e β =β(x) due funzioni continue in [a, b], tali che α(x) ≤ β(x) ∀x ∈ [a, b]. L’insiemeD = {(x, y)| a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x)} si dice dominio normalerispetto all’asse x. Analoga definizione per un dominio normale rispettoall’asse y.Misura di domini normaliDefinizione di dominio regolareFormule di riduzione per integrali doppi Sia D un dominio normale rispettoall’asse x. Sia f una funzione continua in D. Allora l’integrale doppiodi f esteso a D si calcola come ∫ ∫ D f(x, y)dxdy = ∫ ba dx ∫ β(x)f(x, y)dy.α(x)3

Teorema di cambiamento di variabili negli integrali doppi Siano T e Ddomini regolari del piano. Sia Φ : T −→ D una funzione di classe C 1 definitacome Φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)), (u, v) ∈ T una funzione di classeC 1 e tale che:⎛∂(x, y)det∂(u, v) = det ⎝∂x∂u∂y∂u∂x∂v∂y∂v⎞⎠ = ∂x ∂y∂u ∂v − ∂x ∂y ≠ 0 ∀(u, v) ∈ T.∂v ∂uPer ogni f : D = Φ(T ) −→ R continua abbiamo la seguente formula:∫ ∫∫ ∫f(x, y)dxdy = f(x(u, v), y(u, v))y)∣det∂(x, ∂(u, v) ∣ dudvDCaso delle coordinate polari negli integrali doppiCaso delle coordinate sferiche e cilindriche negli integrali tripli5 Superfici e integrali di superficieT◦Definizione di superficie Sia D un dominio connesso del piano, D l’insiemedei suoi punti interni. Sia φ : D −→ R 3 una funzione di classe C 1 . φ sidice una superficie regolare parametrizzata sei) la resrtizione di φ a ◦ D è invertibile,ii) ∀(u, v) ∈ ◦ D la matrice jacobiana:ha rango 2.Dφ(u, v) = ∂(φ 1, φ 2 , φ 3 )∂(u, v)⎛=⎜⎝iia) La condizione ii) sopra equivale a: ∀(u, v) ∈ ◦ D, il vettore φ u ∧ φ u hanorma non nulla ovvero |φ u (u, v) ∧ φ v (u, v)| ≠ (0, 0, 0)Piano tangente e versore normale alla superficieParametrizzazone di sfera, cono e paraboloideArea di una superficie A(φ) = ∫ ∫ D ‖φ u ∧ φ v |dudvIntegrale di superficie Sia φ : D −→ R 3 una superficie regolare. Sia S =Φ(D) il sostegno di φ e f : S −→ R una funzione continua. L’integrale dif esteso alla superficie S è definito come:∫S fdσ = ∫ ∫ d f(φ(u, v))|φ u ∧ φ v |dudv.4∂φ 1∂u∂φ 2∂u∂φ 3∂u∂φ 1∂v∂φ 2∂v∂φ 3∂v⎞⎟⎠

Teorema della divergenzaSuperfici con bordo e formula di Stokes5