Esercizi su calcolo di soluzioni in equilibrio in giochi strategici

Strumenti della Teoria dei Giochi per l’Informatica A.A. 2009/10Lecture :Esercizi per il corso di Strumenti di Teoria dei Giochi per l’InformaticaDocente Prof. Vincenzo AulettaNote redatte da: Vincenzo De Maio1 Concetti di soluzioneEsercizio 1.1 (Asta di primo prezzo) Formulare un’asta di primo prezzo come un giocostrategico e trovare i suoi stati stabili.• Abbiamo n acquirenti e un oggetto in vendita.• Le valutazioni dei giocatori sono v 1 ≥ v 2 . . . v n ≥ 0• Il bene viene assegnato al giocatore che fa l’offerta più alta (o di minimo indice nel casodi offerte di pari valore) che paga esattamente quanto offerto.• u i (b) = v i − p iSoluzione: Sia N = {1 . . . n} l’insieme dei giocatori.Sia A i = [0, inf) l’insieme di tutte le possibili offerte.∀ b ∈ A 1 × . . . × A n u i (b) ={0 se i non vincev i − b ise i vincedove b è il vettore contenente le offerte dei giocatori. Una soluzione b = (b 1 . . . b n ) è un equilibrioNash se• b 1 ∈ [v 1 , v 2 ]• b j ≤ b i j > 1• ∃i > 1 tale che b i = b 1 .In questa soluzione il giocatore 1 vince e la sua utilità è v 1 − b 1 ≥ 0. Se dichiarasse b ′ 1 > b 1vincerebbe ancora ma con utilità v 1 − b ′ 1 < v 1 − b 1 . Se, invece, dichiarasse b 1 > b ′ 1 perderebbe eavrebbe utilità 0.Per ogni altro acquirente l’utilità è 0. Se il giocatore i dichiarasse b ′ i > b 1 vincerebbe con utilitàv i − b ′ i < 0.Dimostriamo ora che non esistono equilibri di Nash in cui il giocatore non vince l’asta. Questosignifica che b 1 < b i . Se b 1 ≤ v 1 allora 1 può offrire b i < b ′ 1 ≤ 1 e ottenere una utilità positiva.Se b i > v 1 allora il giocatore i ha un’utilità negativa e può offrire b ′ i ≤ b 1 ottentendo utilità paria 0. Nota che se stabilissimo che in caso di parità l’oggetto è assegnato a un giocatore scelto acaso tra quelli che hanno fatto la migliore offerta allora il gioco non avrebbe equilibri di Nash.1

2 Lecture : Esercizi per il corso di Strumenti di Teoria dei Giochi per l’InformaticaEsercizio 1.2 (Chicken game) Due individui sono impegnati in uno scontro. Ognuno di loropreferisce avere la meglio senza doversi impegnare. Le possibili azioni sono ”aggredire” e ”difendersi”.I giocatori guadagnano 4 se scelgono entrambi una strategia difensiva e 0 se decidono diattaccare entrambi; se invece uno sceglie di attaccare e l’altro di difendersi, quello che si difendeguadagna 1 mentre l’altro guadagna 5. Modellare il gioco e trovare gli equilibri di Nash.Soluzione:C HC 4,4 1, 5H 5, 1 0,0Abbiamo due equilibri di Nash, ovvero (C,H) e (H,C).Esercizio 1.3 A n cittadini viene chiesto di contribuire alla costruzione di un bene comune.Il bene verr‡ costruito solo se ci saranno almeno 2 ≤ k ≤ n contributi; in caso di mancatacostruzione i contributi vanno persi. Ogni giocatore preferisce avere il bene piuttosto che nonaverlo e preferisce non contribuire a contribuire. Formulare il problema come un gioco strategicoe trovare gli stati stabili.Esercizio 1.4 (War of attrition) Due giocatori si contendono un oggetto ed ognuno ha unasua valutazione v i > 0 dell’oggetto. Fin quando entrambi i giocatori richiedono l’oggetto questinon viene assegnato. Se all’istante i un giocatore rinuncia l’oggetto viene immediatamente assegnatoall’avversario. Se rinunciano allo stesso istante ognuno ottiene met‡ oggetto. Per ogniistante in cui il giocatore resta in gioco paga 1 quindi se l’agente i ottiene l’oggetto al tempo t lasua valutazione Ë di v i −t e se rinuncia in quell’istante paga −t. Formulare il problema come ungioco strategico e provare che in ogni equilibrio Nash uno dei giocatori rinuncia immediatamenteall’oggetto.Soluzione: L’insieme dei giocatori è N = {1, 2} e per ogni giocatore i, l’insieme delle azioni èA i = [0, ∞). Inoltre,⎧⎪⎨ v 1 − t 1 se t 1 > t 2u 1 (t 1 , t 2 ) =v 12− t 1 se t 1 = t 2⎪⎩0 − t 1 se t 1 < t 2Consideriamo la soluzione (t 1 , t 2 ).• se t 1 = t 2 allora il giocatore 1 può giocare (t 1 + ɛ) e aggiudicarsi l’oggetto per intero conutilità v 1 − t 1 − ɛ > v 12− t 1 .• Se 0 < t 1 < t 2 allora il giocatore 1 ha utilità −b 1 e può migliorare giocando t 1 = 0.• Se 0 = t 1 < t 2 allora il giocatore 1 ha utilità 0 e può migliorare v 1 > t 2 giocando t ′ 1 = t 2 +ɛ.Quindi tutti gli equilibri Nash sono del tipo (0, t 2 ) con t 2 > t 1 oppure (t1 0 ) con t 1 > v 2 .2 Equilibri di Nash mistiEsercizio 2.1 (Morra cinese) Modellare la ”morra cinese” come un gioco strategico e calcolarnegli equilibri di Nash.

Lecture : Esercizi per il corso di Strumenti di Teoria dei Giochi per l’Informatica 3Esercizio 2.2 (Air strike) L’esercito A deve organizzare un raid aereo per colpire uno di 3possibili bersagli che hanno valore v 1 > v 2 > v 3 > 0. L’esercito B ha una batteria anti-aereache puÚ essere posta a difesa di un solo obiettivo e che Ë in grado di neutralizzare l’attaccoall’obiettivo difeso. Formulare la situazione come un gioco strategico a somma-zero e trovare gliequilibri di Nash.3 Equilibri correlatiEsercizio 3.1 (Chicken game) Trovare gli equilibri Nash del chicken game, verificare che(0, 1 2 , 1 2, 0) Ë un equilibrio correlato e trovare l’equilibrio correlato che massimizza il social welfare.Soluzione:C HC 4,4 1, 5H 5, 1 0,0Per trovare un equilibrio dobbiamo trovare la distribuzione di probabilità che massimizza lafunzioen 8p 11 + 6p 12 + 6p 21 soggetta ai vincoliFacendo semplici conti viene che⎧4 p 11p 11 +p 12+ p 12p 11 +p 12≥ 5 p 11p 11 +p 12⎪⎨ 5 p 21p 21 +p 22≥ 4 p 21p 21 +p 22+ p 22p 21 +p 224 p 11p 11 +p 21+ p 21p 11 +p 21≥ 5 p 11p 11 +p 215 p 12p ⎪⎩ 12 +p 22≥ 4 p 12p 12 +p 22+ p 22p 12 +p∑22ij p ij = 1p =( 1313130Esercizio 3.2 Consideriamo un gioco a tre giocatori, denotati con 1, 2 e 3, con matrici deipayoff:)gioc. 1 L RT 0,0,3 0,0,0B 1,0,0 0,0,0gioc. 2 L RT 2,2,2 0,0,0B 0,0,0 2,2,2gioc. 3 L RT 0,0,0 0,0,0B 0,1,0 0,0,3Il giocatore 1 può giocare {B, T }, il giocatore 2 può giocare {L, R} e il giocatore 3 può giocare{A, B, C}1. Mostrare che i payoff ottenuti negli equilibri di Nash puri sono (1, 0, 0)(0, 1, 0)(0, 0, 0).2. Mostrare che esiste un equilibrio correlato in cui il giocatore 3 sceglie B e gli altri usanouna strategia equiprobabile.3. Cosa succederebbe se il giocatore 3 ricevesse i segnali A,B,C con la stessa probabilità?Soluzione:1. Gli equilibri di Nash puri sono (B, L, A)(B, L, C)(T, R, C)(T, R, A)

4 Lecture : Esercizi per il corso di Strumenti di Teoria dei Giochi per l’Informatica2. L’equilibrio è descritto dalla distribuzione di probabilità{1p(x, y, z) =4se z = b0 altrimenti.Supponiamo che (x, y, z) siano i segnali ricevuti dai tre giocatori. Il giocatore 3 ricevesicuramente z = B e sa che gli altri giocatori giocheranno strategie uniformi. Quindi ilsuo payoff atteso è uguale a 1. Se decidesse di giocare A o C otterrebbe 3 4. Il giocatore 1riceve un segnale x e sa che z = B e y è scelto a caso. Se x = B allora ottiene un payoffatteso pari a 1, se cambia ottiene sempre 1. Se x = t ha un payoff atteso pari a 1 e secambia ottiene sempre 1. Analogamente per il giocatore 2.3. In tal caso gli equilibri correlati sarebbero quelli degli equilibri di Nash e lui otterrebbesempre un payoff atteso pari a 0.