Esercizi su calcolo di soluzioni in equilibrio in giochi strategici

2 Lecture : Esercizi per il corso di Strumenti di Teoria dei Giochi per l’InformaticaEsercizio 1.2 (Chicken game) Due individui sono impegnati in uno scontro. Ognuno di loropreferisce avere la meglio senza doversi impegnare. Le possibili azioni sono ”aggredire” e ”difendersi”.I giocatori guadagnano 4 se scelgono entrambi una strategia difensiva e 0 se decidono diattaccare entrambi; se invece uno sceglie di attaccare e l’altro di difendersi, quello che si difendeguadagna 1 mentre l’altro guadagna 5. Modellare il gioco e trovare gli equilibri di Nash.Soluzione:C HC 4,4 1, 5H 5, 1 0,0Abbiamo due equilibri di Nash, ovvero (C,H) e (H,C).Esercizio 1.3 A n cittadini viene chiesto di contribuire alla costruzione di un bene comune.Il bene verr‡ costruito solo se ci saranno almeno 2 ≤ k ≤ n contributi; in caso di mancatacostruzione i contributi vanno persi. Ogni giocatore preferisce avere il bene piuttosto che nonaverlo e preferisce non contribuire a contribuire. Formulare il problema come un gioco strategicoe trovare gli stati stabili.Esercizio 1.4 (War of attrition) Due giocatori si contendono un oggetto ed ognuno ha unasua valutazione v i > 0 dell’oggetto. Fin quando entrambi i giocatori richiedono l’oggetto questinon viene assegnato. Se all’istante i un giocatore rinuncia l’oggetto viene immediatamente assegnatoall’avversario. Se rinunciano allo stesso istante ognuno ottiene met‡ oggetto. Per ogniistante in cui il giocatore resta in gioco paga 1 quindi se l’agente i ottiene l’oggetto al tempo t lasua valutazione Ë di v i −t e se rinuncia in quell’istante paga −t. Formulare il problema come ungioco strategico e provare che in ogni equilibrio Nash uno dei giocatori rinuncia immediatamenteall’oggetto.Soluzione: L’insieme dei giocatori è N = {1, 2} e per ogni giocatore i, l’insieme delle azioni èA i = [0, ∞). Inoltre,⎧⎪⎨ v 1 − t 1 se t 1 > t 2u 1 (t 1 , t 2 ) =v 12− t 1 se t 1 = t 2⎪⎩0 − t 1 se t 1 < t 2Consideriamo la soluzione (t 1 , t 2 ).• se t 1 = t 2 allora il giocatore 1 può giocare (t 1 + ɛ) e aggiudicarsi l’oggetto per intero conutilità v 1 − t 1 − ɛ > v 12− t 1 .• Se 0 < t 1 < t 2 allora il giocatore 1 ha utilità −b 1 e può migliorare giocando t 1 = 0.• Se 0 = t 1 < t 2 allora il giocatore 1 ha utilità 0 e può migliorare v 1 > t 2 giocando t ′ 1 = t 2 +ɛ.Quindi tutti gli equilibri Nash sono del tipo (0, t 2 ) con t 2 > t 1 oppure (t1 0 ) con t 1 > v 2 .2 Equilibri di Nash mistiEsercizio 2.1 (Morra cinese) Modellare la ”morra cinese” come un gioco strategico e calcolarnegli equilibri di Nash.