Griglia di correzione e guida alla lettura - Invalsi

Servizio Nazionale di Valutazionea.s. 2010/11Guida alla letturaProva di MatematicaClasse seconda – Scuola secondaria di II grado( a cura di Giorgio Bolondi, Rossella Garuti, Aurelia Orlandoni, Domingo Paola, LuigiTomasi)I quesiti sono distribuiti negli ambiti secondo la tabella seguenteAmbito Numero di domande Numero di Item 1Numeri 10 14Spazio figure 6 11Dati e previsioni 5 14Relazioni e funzioni 9 14Totale 30 531 Una domanda può essere composta da più item, come nel caso di domande a scelta multipla complessa del tipo Vero o Falso. L’attribuzione di un eventuale punteggioparziale sarà definita in sede di analisi dei dati complessivi.

Tabella della suddivisione degli item in relazione ad ambiti e processiProcessi/Ambiti Numeri Spazio efigure1. Conoscere e padroneggiare i contenuti specifici della matematica (oggetti matematici,proprietà, strutture...)Dati ePrevisioniRelazionie funzioniTOT ALE3 2 1 62. Conoscere e padroneggiare algoritmi e procedure (in ambito aritmetico, geometrico...) 2 2 1 2 73. Conoscere e padroneggiare diverse forme di rappresentazione e sapere passare da unaall'altra (verbale, scritta, simbolica, grafica, ...)4. sapere risolvere problemi utilizzando gli strumenti della matematica (individuare ecollegare le informazioni utili, confrontare strategie di soluzione, individuare schemirisolutivi di problemi come ad esempio sequenza di operazioni, esporre il procedimentorisolutivo,…)5. sapere riconoscere in contesti diversi il carattere misurabile di oggetti e fenomeni e saperutilizzare strumenti di misura (saper individuare l'unità o lo strumento di misura più adattoin un dato contesto, saper stimare una misura,…)6. acquisire progressivamente forme tipiche del pensiero matematico (congetturare,verificare, giustificare, definire, generalizzare, ...)7. utilizzare la matematica appresa per il trattamento quantitativo dell'informazione inambito scientifico, tecnologico, economico e sociale (descrivere un fenomeno in terminiquantitativi, interpretare una descrizione di un fenomeno in termini quantitativi construmenti statistici o funzioni, utilizzare modelli matematici per descrivere e interpretaresituazioni e fenomeni, ...)3 3 3 93 6 93 1 42 1 31 10 112

8. saper riconoscere le forme nello spazio (riconoscere forme in diverse rappresentazioni,individuare relazioni tra forme, immagini o rappresentazioni visive, visualizzare oggettitridimensionali a partire da una rappresentazione bidimensionale e, viceversa,rappresentare sul piano una figura solida, saper cogliere le proprietà degli oggetti e le lororelative posizioni, …).4 4TOTALE 14 11 14 14 53Di seguito viene proposta un’analisi dei quesiti utilizzando una tabella a tre colonne: nella prima è indicato il testo del quesito nella seconda un commento didattico nella terzao l’ambito e i processi facendo riferimento al Quadro teorico delle prove SNV pubblicato sul sito INVALSIo le competenze di base a conclusione dell’obbligo di istruzione, come riportate nella parte relativa all’Asse matematico del Decreto 22 agosto2007 : Regolamento recante norme in materia di adempimento dell’obbligo di istruzione.È importante sottolineare che la classificazione proposta è solo indicativa e non deve rappresentare un vincolo per l'interpretazione del risultato: in matematicaogni domanda coinvolge spesso diversi ambiti, e la risposta richiede processi di diversa natura. Seguendo la prassi internazionale, si indicano l'ambito e ilprocesso prevalenti, tenendo presente che spesso la scelta di un particolare distrattore può indicare difficoltà o lacune in altri ambiti o in altri processi.3

GUIDA ALLA LETTURADomanda Commento Ambito, compito, processo e ObbligoRisposta corretta alla domanda (a): FalsoAMBITO PREVALENTELeggendo attentamente la tabella, si vede, senza fare Dati e Previsionicalcoli, che al Nord gli allievi (maschi e femmine) sonopiù di 700.000 e le femmine sono circa 340.000, cioèmeno della metà. Quindi è falso che al Nord gli alunnimaschi siano meno delle femmine.Uno studente, per rispondere, potrebbe anche affidarsi auna sottrazione.Per rispondere è utile sapere approssimare 711.292 concirca 700.000 e 339.508 con circa 340.000. Da questaapprossimazione si può stabilire immediatamente che nelNord gli allievi maschi sono più delle femmine.Risposta corretta alla domanda (b): VeroGli insegnanti della scuola secondaria di I grado, in Italiasono 212.041 (poco più di 210.000) mentre le classisono 82.446, circa 80.000). Quindi il rapportoinsegnanti/classi è inferiore a 3, perché 80.000 è più diun terzo del numero degli insegnanti.Uno studente potrebbe anche rispondere usando lacalcolatrice:212041 2,57 3.82446Risposta corretta alla domanda (c): VeroDalla tabella si legge che le classi sono 34659 e le scuolesono 3200.Quindi le classi (circa 35000) sono più di 10 volte 3200.Uno studente potrebbe anche rispondere usando lacalcolatrice34659 10,83 103200 Quindi è vero che nel Sud ci sonoPROCESSO PREVALENTEUtilizzare la matematica appresa per iltrattamento quantitativo dell'informazionein ambito scientifico, tecnologico,economico e sociale (descrivere unfenomeno in termini quantitativi,interpretare una descrizione di unfenomeno in termini quantitativi construmenti statistici o funzioni, utilizzaremodelli matematici per descrivere einterpretare situazioni e fenomeni, ...).NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEAnalizzare dati e interpretarli sviluppandodeduzioni e ragionamenti sugli stessi4

mediamente più di 10 classi per scuola.Per rispondere a queste domande è utile che lo studentesia in grado di effettuare rapidamente approssimazioniopportune dei numeri in gioco e calcoli mentali.Risposta corretta DInfatti la probabilità che la corriera ritardi di 5 minuti èdel 50% e la probabilità che arrivi con 10 minuti diritardo è del 10%Se Giorgio arriva alle 6:34 ha quindi la probabilità di50%+10%=60% di prendere la corriera perché riesce aprenderla sia nel caso in cui la corriera ritardi di 5minuti, sia che ritardi di 10 minuti.Si potrebbe anche rispondere pensando alla probabilitàche la corriera non arrivi in orario. La probabilità che lacorriera sia in orario è del 40%. Poiché il ritardo diGiorgio gli consentirebbe di prendere ugualmente lacorriera che non arriva in orario, la probabilità diprendere la corriera è del 60%.Risposta corretta DIn un triangolo la misura di un lato deve essere minoredella somma delle misure degli altri due lati.In questo caso la somma delle misure dei due lati noti è16 cm.Quindi l’unica misura che non si può accettare fra quelleproposte è 17 cm.AMBITO PREVALENTEDati e PrevisioniPROCESSO PREVALENTEUtilizzare la matematica appresa per iltrattamento quantitativo dell'informazionein ambito scientifico, tecnologico,economico e sociale (descrivere unfenomeno in termini quantitativi,interpretare una descrizione di unfenomeno in termini quantitativi construmenti statistici o funzioni, utilizzaremodelli matematici per descrivere einterpretare situazioni e fenomeni, ...).NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEL’argomento non è esplicitamenterichiamato ma si tratta di una competenzarichiesta agli studenti al termine del primociclo e che quindi si suppone acquisitastabilmente e può costituire un esempio dicontinuità verticaleAMBITO PREVALENTESpazio e FigurePROCESSO PREVALENTEConoscere e padroneggiare i contenutispecifici della matematica (oggettimatematici, proprietà, strutture...)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONE5

Risposta corretta alla domanda 1 relativa al graficoA:AutoproduzioneRisposta corretta alla domanda 2 relativa al graficoB:Mercato liberoRisposta corretta alla domanda 3 relativa al graficoC: Mercato vincolatoSi tratta di osservare attentamente il grafico a barre(figura 1) e di interpretare quel che si osserva.AMBITO PREVALENTEDati e PrevisioniPROCESSO PREVALENTEConoscere e padroneggiare diverse formedi rappresentazione e sapere passare dauna all'altra (verbale, scritta, simbolica,grafica, ...)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEAnalizzare dati e interpretarli sviluppandodeduzioni e ragionamenti sugli stessi anchecon l’ausilio di rappresentazioni grafiche.La quantità di energia elettrica provenientedall’autoproduzione è rimasta pressoché invariata(grafico A).La quantità di energia elettrica proveniente dal mercatolibero dell’energia, dal 2000 al 2005, è aumentata(grafico B).La quantità di energia elettrica proveniente dal mercatovincolato dell’energia, dal 2000 al 2005, è diminuita(grafico C).7

Risposta corretta alla domanda a.600 metri.Se con un righello si misura sulla mappa la lunghezzadel tratto percorso in via XX Settembre, si trova circa2,5 cm.Misurando il tratto percorso in via A.G.I. Bertola sullamappa, si ottengono 7,4 cm, pari a circa il triplo deltratto percorso in via XX Settembre.Poiché 2,5 cm sulla mappa (via XX Settembre)corrispondono a un tratto di 150 m, il tratto percorso invia A.G.I. Bertola è di circa 450 m.Quindi il Sig. Carlo ha percorso all’incirca150 m + 450 m = 600 m.Si possono accettare anche risposte che vanno da 582 a600 m.Risposta corretta alla domanda b.: risposta C(la scala è di 1:6000)A 2,5 cm sulla mappa corrisponde un percorso di 150 m,ovvero di 15.000 cm.Quindi a 2,5 cm corrispondono 15.000 cm, ossia,dividendo per 2,5, si ottiene una scala:1 : 6000.AMBITO PREVALENTERelazioni e FunzioniPROCESSO PREVALENTEDOMANDA a: Sapere riconoscere incontesti diversi il carattere misurabile dioggetti e fenomeni e saper utilizzarestrumenti di misura (saper individuarel'unità o lo strumento di misura più adattoin un dato contesto, saper stimare unamisura,…)DOMANDA b: Conoscere epadroneggiare algoritmi e procedure (inambito aritmetico, geometrico...)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEIndividuare le strategie appropriate per lasoluzione di problemi.Particolarmente insidioso è il distrattore A (1:60) che siottiene se non si trasforma la misura di 150 m in cm.Gli altri distrattori invece corrispondono a errori nellaconversione di metri in cm.8

Risposta corretta alla domanda a.: 32,34 cmSi possono accettare anche 32 cm, 32,3 cm oppure32,343 o con ancora più cifre dopo la virgola (risposteche potrebbero essere dovute probabilmente all’uso dellacalcolatrice).Per rispondere a questa domanda occorre dividere lalarghezza dello schermo per 16 e poi moltiplicare ilrisultato per 9:957,5 32,34... cm16Risposta corretta alla domanda b.: BPer determinare la lunghezza della diagonale delloschermo occorre applicare il teorema di Pitagora.Chiamando b la larghezza dello schermo, h l’altezzadello schermo e d la lunghezza della diagonale, si ha:2 2 2 9 2d b h b b b 16Quindi337 337d b 57,5 65,97 cm.16 16che è circa 26 pollici.281256b2AMBITO PREVALENTESpazio e FigurePROCESSO PREVALENTESapere risolvere problemi utilizzando glistrumenti della matematica (individuare ecollegare le informazioni utili, confrontarestrategie di soluzione, individuare schemirisolutivi di problemi come ad esempiosequenza di operazioni, esporre ilprocedimento risolutivo,…)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEUtilizzare le tecniche e le procedure delcalcolo aritmetico ed algebrico,rappresentandole anche sotto forma graficaAlla misura della diagonale si può arrivare anche usandodirettamente il teorema di Pitagora sulle misure dellalarghezza dello schermo e dell’altezza dello schermo.Lo studente deve sapere usare il teorema di Pitagora inuna situazione concreta. Non è importante sapereconvertire i pollici in centimetri. Per rispondere èsicuramente conveniente usare la calcolatrice.9

Risposta corretta alla domanda a1. FalsaInfatti il lato AB non è uguale al lato AC.Risposta corretta alla domanda a2. VeraInfatti il triangolo ABC è rettangolo in A.Risposta corretta alla domanda a3. VeraInfatti BC è l’ipotenusa del triangolo rettangolo ABC.Risposta corretta alla domanda a4. FalsaInfatti il triangolo rettangolo ABC non è isoscele (AB èmaggiore di AC).Risposte corrette alla domanda b:AC = 1 mAB =BC =2 m3 mSi possono accettare anche valori approssimatiAB = 1,41 m oppure AB = 1,4 mBC = 1,73 m oppure BC = 1,7 mRisposta corretta: C.La metà di un numero si ottiene dividendo per 2 oppuremoltiplicando per 1/2. Pertanto la metà del numero50 1 è 250 511 1 1 2 2 2 I distrattori corrispondono a errori tipici nel calcolo conle potenze di un numero.AMBITO PREVALENTESpazio e FigurePROCESSO PREVALENTEDOMANDA a: Saper riconoscere leforme nello spazio (riconoscere forme indiverse rappresentazioni, individuarerelazioni tra forme, immagini orappresentazioni visive, visualizzareoggetti tridimensionali a partire da unarappresentazione bidimensionale e,viceversa, rappresentare sul piano unafigura solida, saper cogliere le proprietàdegli oggetti e le loro relative posizioni,…)DOMANDA b: Conoscere epadroneggiare algoritmi e procedure (inambito aritmetico, geometrico...)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEConfrontare ed analizzare figuregeometriche, individuando invarianti erelazioniAMBITO PREVALENTENumeriPROCESSO PREVALENTEConoscere e padroneggiare i contenutispecifici della matematica (oggettimatematici, proprietà, strutture...)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEUtilizzare le tecniche e le procedure delcalcolo aritmetico ed algebrico.10

Risposta corretta alla domanda a.: CL’unico modo per rispondere è fare un calcolo, che sipuò fare anche mentalmente dato che si devemoltiplicare per 10.000.Se percorro 10.000 km in un anno:con l’Auto A la spesa è:S 900 0,25 10000 900 2500 3400Con l’auto Auto B:S 580 0,3310000 580 3300 3880Con l’Auto C:S 650 0,27 10000 650 2700 3350E con l’Auto D:S 1200 0,3110000 1200 3100 4300 L’autoC, se percorro 10.000 km all’anno è la più conveniente.Risposta corretta alla domanda b.: 8400 kmSe il proprietario di un’auto A ha speso in un anno 3000euro, allora si può scrivere l’equazione900 0,25 k 3000 .Pertanto0,25 k 2100 , che implica k 8400 km.Si può rispondere anche senza risolvere esplicitamenteun’equazione.AMBITO PREVALENTERelazioni e FunzioniPROCESSO PREVALENTESapere risolvere problemi utilizzando glistrumenti della matematica (individuare ecollegare le informazioni utili, confrontarestrategie di soluzione, individuare schemirisolutivi di problemi come ad esempiosequenza di operazioni, esporre ilprocedimento risolutivo,…)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEUtilizzare le tecniche e le procedure delcalcolo aritmetico ed algebrico.Risposta corretta alla domanda c.: CIl confronto tra un’auto di tipo B e un’auto di tipo D, sipuò fare risolvendo la disequazione580 0,33k 1200 0, 31kche esprime la domanda “se k è il numero di kmall’anno, per quali k il costo annuale di B è minore ouguale al costo annuale di D?”Si ottiene0,02 k 620 ossia 0,01 k 31011

che dà k 31. 000 km.Quindi fino a 31000 km all’anno conviene un’auto ditipo B e oltre 31000 km all’anno conviene un’auto ditipo D. Se percorro 31.000 km all’anno, allora la sceltatra un’auto B e una D è indifferente.Si può anche rispondere per tentativi, ad esempiopensando a 20.000 km per anno e poi provando acalcolare il costo anche per un valore doppio, e cioè40.000 km.Si sarebbe potuto anche rispondere notando che lapendenza della funzione lineare che rappresenta il costodell’auto B (0,33 euro/km) è maggiore di quella cherappresenta il costo dell’auto D (0,31 euro/km). Quindiesiste un numero di km per cui il costo dell’auto Bsupera quello dell’auto D (si può verificare, anche pertentativi, che tale numero di km può essere percorso inun anno).Non era richiesto di calcolare esattamente il valore al disopra del quale la scelta di D diventava più conveniente.12

Risposta corretta alla domanda a.: Non si puòricavareNella tabella abbiamo a disposizione alcuni datiriguardanti gli anni dal 2000 al 2009 e non possiamoricavare nulla sugli anni da 1971 al 2000.Risposta corretta alla domanda b.: VeroNell’anno 2003 si è registrato il valore più alto dellamedia delle temperature massime.Risposta corretta alla domanda c.: FalsoNell’anno 2005 non si è registrato il valore più alto dellamedia delle temperature minime (anzi, il 2005 è l’annonel quale si è registrato il valore più basso della mediadelle temperature minime).Risposta corretta alla domanda d.: FalsoFalso perché l’anno in cui la media delle temperaturemassime è stata più alta è il 2003 e quello in cui leprecipitazioni sono state minori è il 2001.AMBITO PREVALENTEDati e PrevisioniPROCESSO PREVALENTEUtilizzare la matematica appresa per iltrattamento quantitativo dell'informazionein ambito scientifico, tecnologico,economico e sociale (descrivere unfenomeno in termini quantitativi,interpretare una descrizione di unfenomeno in termini quantitativi construmenti statistici o funzioni, utilizzaremodelli matematici per descrivere einterpretare situazioni e fenomeni, ...).NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEAnalizzare dati e interpretarli sviluppandodeduzioni e ragionamenti sugli stessi anchecon l’ausilio di rappresentazioni grafiche.Risposta corretta alla domanda e.: Non si puòricavareQuesta informazione non si può ricavare perchésappiamo soltanto che il 2005 è stato l’anno in cui è statapiù bassa la media delle temperature minime.Risposta corretta alla domanda f.: FalsoFalso perché non è il 2004 l’anno più piovoso, ma il2002.13

a. Risposta corretta alla domanda(a): 100Infatti per n= 25, si ottiene p 4 25 100b. Risposta corretta alla domanda (b):p 4n 225 n 6n 50Va bene sia la risposta p 4 n 225 n,ottenuta senza eseguire la moltiplicazione e senzaridurre i termini simili, che la risposta p 6n 50 .c. Risposta corretta alla domanda (c): 19.Infatti deve essere 6n 50 60 .Quindi 6n 110 , da cui si ottiene n 18,333....Il primo numero intero successivo al valore trovato èquindi 19.Il calcolo si può fare anche senza risolvere unadisequazione. Basta procedere per tentativi e scoprirecosì che, per avere la sufficienza, il numero di quesitiesatti deve essere almeno 19.Per rispondere, lo studente:a) può utilizzare il calcolo letterale (una somma euna scomposizione mediante raccoglimento afattor comune) riconoscendo, in seguito,nell’espressione 3(2n + 3)un numero dispari;b) può individuare, nei tre numeri dati, tre numeridispari consecutivi e, pensando alla semiretta deinumeri naturali, riconoscere che la somma di trenumeri dispari consecutivi è il triplo del secondonumero.Risposta corretta A2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 = 6n + 9 = 3(2n + 3).Ciò che si ottiene, quindi, è il triplo del numero 2n + 3.Trattandosi del triplo di un numero dispari, sia Giovanni,sia Luisa, sia Mario hanno ragione.AMBITO PREVALENTERelazioni e FunzioniPROCESSO PREVALENTEDOMANDA a e c: Sapere risolvereproblemi utilizzando gli strumenti dellamatematica (individuare e collegare leinformazioni utili, confrontare strategie disoluzione, individuare schemi risolutivi diproblemi come ad esempio sequenza dioperazioni, esporre il procedimentorisolutivo,…)DOMANDA b: Conoscere epadroneggiare diverse forme dirappresentazione e sapere passare da unaall'altra (verbale, scritta, simbolica,grafica, ...)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEAnalizzare dati e interpretarli sviluppandodeduzioni e ragionamenti sugli stessi.AMBITO PREVALENTERelazioni e FunzioniPROCESSO PREVALENTEAcquisire progressivamente forme tipichedel pensiero matematico (congetturare,verificare, giustificare, definire,generalizzare, ...)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEUtilizzare le tecniche e le procedure delcalcolo aritmetico ed algebrico14

Per la risposta è bene che lo studente sia in grado diconvertire la rappresentazione decimale di un numerorazionale in frazione e ricordare che dividere un numerorazionale a per un numero razionale non nullo b equivalea moltiplicare a per l’inverso di b.Risposta corretta Da : 0,2 = a : (1/5) = a . 5Per rispondere, lo studente:a) può far riferimento all’ordine di grandezza deinumeri indicati nelle varie risposte;b) può manipolare simbolicamente, utilizzando laproprietà distributiva, l’espressione fornita neltesto della domanda.Risposta corretta CPossibile risoluzione: l’ordine di grandezza di 10 37 +10 38 è 10 38 , quindi le opzioni A, B e D sono daescludere. Rimane quindi la C.AMBITO PREVALENTENumeriPROCESSO PREVALENTEConoscere e padroneggiare algoritmi eprocedure (in ambito aritmetico,geometrico...)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEUtilizzare le tecniche e le procedure delcalcolo aritmeticoAMBITO PREVALENTENumeriPROCESSO PREVALENTEConoscere e padroneggiare i contenutispecifici della matematica (oggettimatematici, proprietà, strutture...)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEUtilizzare le tecniche e le procedure delcalcolo aritmetico ed algebrico.Altra possibile risoluzione:10 37 + 10 38 = 10 37 + 10 . 10 37 = 10 37 (1 + 10)10 37 (1 + 10) = 11 . 10 37 che è la risposta C.Le opzioni A e D presentano tipici errori sul calcolodelle potenze.15

Per rispondere è importante conoscere il significato disimmetria assiale e di asse di simmetria di una figura.Risposta corretta DIn generale un parallelogramma ha solo un centro disimmetria (il punto di incontro delle diagonali) e non haassi di simmetria . Solo nel caso in cui sia un rettangoloo un rombo, allora un parallelogramma ha due assi disimmetria. Nel caso del parallelogramma di figura non siha alcuna informazione che possa indurre a ritenere cheesso dia un rettangolo o un rombo, quindi la rispostacorretta è la D.Le altre opzioni presentano distrattori tipici per glistudenti che pensano che un parallelogramma abbia assidi simmetria.Per rispondere è bene che lo studente conosca qualchecenno della teoria dell’equiscomponibilità (è sufficientequanto viene svolto nella scuola secondaria di primogrado).Risposta corretta 15 cm 2Basta considerare la figura da calcolare come differenzatra il rettangolo di vertici M(1; 7), N(6;7), A(6; 1), P(1;1) e i triangoli DPO, OMB e BNA. Si ottiene: (30 – 6 –6 – 3) cm 2 = 15 cm 2Si potrebbe anche suddividere il quadrilatero ABCD indue triangoli ABD e BCD e calcolarne l’area:area (ABD) = area (BCD) =La loro somma(3+12 =15)è l’area del quadrilatero (D. Passalacqua:http://lnx.sinapsi.org/wordpress/2011/05/17/soluzioniguidate‐matematica‐inv)AMBITO PREVALENTESpazio e FigurePROCESSO PREVALENTEConoscere e padroneggiare algoritmi eprocedure (in ambito aritmetico,geometrico...)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEConfrontare ed analizzare figuregeometriche, individuando invarianti erelazioni.AMBITO PREVALENTESpazio e FigurePROCESSO PREVALENTESapere risolvere problemi utilizzando glistrumenti della matematica (individuare ecollegare le informazioni utili, confrontarestrategie di soluzione, individuare schemirisolutivi di problemi come ad esempiosequenza di operazioni, esporre ilprocedimento risolutivo,…)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEConfrontare ed analizzare figuregeometriche, individuando invarianti erelazioni16

Per rispondere lo studente deve calcolare la media di unagrandezza quantitativa continua di cui è nota ladistribuzione di frequenza rispetto a una suddivisione inclassi di uguale ampiezza.Risposta corretta CPer calcolare la media di una grandezza continuasuddivisa in classi di uguale ampiezza si determina ilvalore medio di ciascuna classe e poi si effettua la mediaponderata:(1,5 . 7 + 2,5 . 8 + 3,5 . 12 + 4,5 . 3)/30L’opzione A non tiene conto della frequenza assolutarelativa a ogni classe; la risposta B non prende inconsiderazione i valori della variabile di cui si vuole lamedia, ma le frequenze delle varie classi; la risposta Dnon tiene conto del numero totale di neonati su cui èstata effettuata la statistica.AMBITO PREVALENTEDati e PrevisioniPROCESSO PREVALENTEConoscere e padroneggiare algoritmi eprocedure (in ambito aritmetico,geometrico...)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEAnalizzare dati e interpretarli sviluppandodeduzioni e ragionamenti sugli stessi17

Per rispondere lo studente deve essere in gradodi leggere un grafico che descrive lavariazione di una grandezza nel tempo edeffettuare conversioni da un’unità di misura aun’altra.Risposta corretta BLa scelta di rappresentare con segmenti diuguale lunghezza periodi di tempo di diversadurata non è delle migliori, anche se èfrequentemente utilizzata nelle informazioni diquesto tipo presenti nei quotidiani. In ognicaso tale scelta non dovrebbe comportareproblemi nel fornire la risposta alla domanda20a), perché dovrebbe essere chiaro che, perandare negli Stati Uniti, conviene cambiare glieuro in dollari nel periodo di maggior valoredell’euro rispetto al dollaro e questo è, senzaalcuna ambiguità, il periodo 21 Ottobre – 25Novembre in cui l’euro raggiunge il suomaggior apprezzamento rispetto al dollaro.Un possibile e forte distrattore potrebbe esserefornito da un ragionamento dello studente chetenesse conto della possibilità di ricambiare,successivamente, i dollari in euro. In questocaso, qualche studente potrebbe essere tentatodi scegliere l’opzione C. Naturalmente larisposta non può essere considerata corretta,perché dipenderebbe dal periodo scelto per ilsuccessivo cambio di dollari in euro e il testodella domanda non fornisce informazioni alriguardo. Un altro distrattore potrebbeconsistere nel seguente ragionamento: nelperiodo 21 Ottobre-25 Novembre il valoredell’euro sta aumentando rispetto al dollaro;AMBITO PREVALENTENumeriPROCESSO PREVALENTEDOMANDA a: Utilizzare la matematicaappresa per il trattamento quantitativodell'informazione in ambito scientifico,tecnologico, economico e sociale (descrivereun fenomeno in termini quantitativi,interpretare una descrizione di un fenomeno intermini quantitativi con strumenti statistici ofunzioni, utilizzare modelli matematici perdescrivere e interpretare situazioni efenomeni, ...).DOMANDA b : Acquisire progressivamenteforme tipiche del pensiero matematico(congetturare, verificare, giustificare, definire,generalizzare, ...)DOMANDA c e d: Conoscere epadroneggiare diverse forme dirappresentazione e sapere passare da unaall'altra (verbale, scritta, simbolica, grafica,...)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEIndividuare le strategie appropriate per lasoluzione di problemi18

quindi potrebbe non essere convenientecambiare una moneta forte (gli euro) in unamoneta che si sta deprezzando (il dollaro).Risulta però evidente che le informazionifornite dal grafico dimostrano che una talestrategia, anche se ragionevole, sarebbe stataperdente, visto che nel periodo successivo ildollaro ha acquistato valore.b) Risposta corretta: una qualunque rispostache affermi che conviene cambiare gli euro indollari nel periodo di maggiore apprezzamentodell’euro rispetto al dollaro. Per esempio:“perché dal 21 Ottobre al 25 Novembre l’euromantiene una valutazione (rispetto al dollaro)superiore a quella raggiunta in tutti gli altriperiodi”.Oppure “Il 25 novembre ottengo 1,51 dollaricon 1 euro quindi ottengo il massimo numerodi dollari con i miei euro”c) Risposta corretta: 1340 dollari1,34 dollari/euro . 1000 euro = 1340 dollarid) Risposta corretta: 746,27 euro1,34 dollari/euro . x euro = 1000 dollarix = 1000/1,34 euro. Il risultato approssimato aicentesimi è 746, 27 euro.19

Per rispondere, lo studente deve riconoscerel’identità tra le due funzioni eRisposta corretta C2Per definizione x | x | . Le opzioni A, B e Dcostituiscono dei distrattori (forti soprattutto per Ae per B). L’opzione A non può però esserecorretta, perché senecessariamente avere2x x si dovrebbe2( 2) 2 e2(2) 2 in contraddizione con il fatto che2( 2) e2(2) sono entrambe uguali a 4 .Analogamente B e D non possono essereaccettate, perché l’operazione di estrazione di unaradice quadrata, quando possibile, è univoca, ossiadà un solo risultato.Gli errori eventualmente commessi dagli studentinella risposta a questa domanda possono essereimputati ad automatismi nella risoluzione diequazioni di secondo grado come per esempio x 2= 4. In genere gli studenti scrivono direttamente x= 2 immaginando che tale risultato derivi dalpassaggio x = 4 2.Il passaggio corretto, invece è |x| = 2 da cui x = 2o x = – 2 .AMBITO PREVALENTERelazioni e FunzioniPROCESSO PREVALENTEConoscere e padroneggiare i contenutispecifici della matematica (oggettimatematici, proprietà, strutture...)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEUtilizzare le tecniche e le procedure delcalcolo aritmetico ed algebrico20

Per rispondere alla domanda lo studente deveconoscere il concetto di divisibilità fra due polinomi.Può procedere direttamemente con l’operazione didivisione, oppure utilizzare le tecniche discomposizione in fattori.Risposta corretta Cx 4 – 16 = (x 2 – 4)(x 2 + 4) = (x – 2)(x+2)(x 2 + 4)Come risulta dalla sua scomposizione in fattori, x 4 –16 non è divisibile per x 2 – 8, né per x – 4 , né per (x– 2) 2 , mentre è divisibile per x + 2.Le opzioni A e B avrebbero potuto anche essereescluse notando che gli zeri della funzione x 4 – 16(ossia 2 e – 2) non sono zeri della funzione x 2 – 8 , nédella funzione x – 4.Per rispondere alla domanda lo studente deve esserein grado di effettuare stime numeriche e di conoscerele relazioni tra numerosità di una popolazione, areadel territorio su cui si distribuisce e densità di quellapopolazione relativa a quel territorio.Risposta corretta alla domanda a) BRisposta corretta alla domanda b)4 . 74400 = 297600oppure4 = x / (620 . 120), da cui x = 4 . 74400x = 297600oppure(620 . 120) . 4 = 297600Le opzioni A e C rievocano le stime assai differenti,effettuate da soggetti diversi, che spesso compaionosui quotidiani. L’opzione D si basa su un assuntoapparentemente ragionevole, ma che non è contenutonel testo della domanda e che non vale in generale.AMBITO PREVALENTENumeriPROCESSO PREVALENTEConoscere e padroneggiare i contenutispecifici della matematica (oggettimatematici, proprietà, strutture...)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEUtilizzare le tecniche e le procedure delcalcolo algebrico.AMBITO PREVALENTENumeriPROCESSO PREVALENTESapere riconoscere in contesti diversi ilcarattere misurabile di oggetti e fenomeni esaper utilizzare strumenti di misura (saperindividuare l'unità o lo strumento dimisura più adatto in un dato contesto,saper stimare una misura,…)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEAnalizzare dati e interpretarlisviluppando deduzioni e ragionamentisugli stessi, usando consapevolmentegli strumenti di calcolo21

Per rispondere alla domanda lo studente deve avereuna certa confidenza con semplici modelli lineari disituazioni fisiche e saper associare, ai parametri“intercetta” e “pendenza” della funzione lineare chemodellizza il fenomeno, le caratteristiche fisichedell’oggetto osservato (in questo caso “lunghezza” e“resistenza alla trazione” della molla).Risposta corretta CInnanzitutto è bene notare che bassi valori dellapendenza delle funzioni lineari, ossia del coefficientek, indicano grande resistenza alla trazione (a parità dipeso P la molla che si allunga meno è quella che ha ilvalore più basso di k); inoltre alti valoridell’intercetta delle funzioni lineari, ossia delparametro l 0 , indicano molle lunghe.Le molle modellizzate dalle relazionil = 70 +0,01Pel = 75 + 7Psono quindi le più lunghe, ma la seconda ha un valoredi k che è maggiore di quello di tutte le altre molle.Quindi è la molla meno resistente alla trazione.Invece la molla modellizzata dal = 70 +0,01Poltre a essere la seconda per lunghezza, è quella cheresiste alla trazione più di tutte le altre. Quindi èquella che meglio si adatta alla descrizione fornita daltesto della domanda.AMBITO PREVALENTERelazioni e FunzioniPROCESSO PREVALENTEConoscere e padroneggiare diverse formedi rappresentazione e sapere passare da unaall'altra (verbale, scritta, simbolica,grafica, ...)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEAnalizzare dati e interpretarlisviluppando deduzioni e ragionamentisugli stessi.22

Per rispondere lo studente deve sapere risolvereproblemi diretti e inversi relativi al calcolo dipercentuali.Risposta corretta 50 euro300 = x + 20/100x da cui x = 250Oppure300 = x + x/5 da cui x = 250Oppure300 = 1,2x da cui x = 250In tutti i casi l’IVA è data da 300 – 250 = 50 euroPer rispondere alla domanda lo studente deveessere in grado di effettuare conversioni tra duediversi registri di rappresentazione di unafunzione: quello numerico, fornito mediante latabella, e quello simbolico, fornito mediante laformula.In particolare può utilizzare le tecniche delledifferenze finite, oppure limitarsi a sostituire,nelle formule date nelle varie opzioni, i valorinumerici forniti nella tabella per riconoscere lascrittura simbolica che rappresenta correttamente ivalori della tabella.Risposta corretta CPossibile risoluzione:L’opzione A è da scartare, perchéla coppia (2; 1)non soddisfa l’equazione y = x 1 Infatti 1 èdiverso da 2 1.L’opzione B è da scartare, perché la coppia (1;0)non soddisfa l’equazione y = x 1 Infatti 0 èAMBITO PREVALENTERelazioni e FunzioniPROCESSO PREVALENTEConoscere e padroneggiare algoritmi eprocedure (in ambito aritmetico,geometrico...)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEUtilizzare le tecniche e le procedure delcalcolo aritmetico ed algebrico.AMBITO PREVALENTERelazioni e FunzioniPROCESSO PREVALENTEConoscere e padroneggiare diverse formedi rappresentazione e sapere passare da unaall'altra (verbale, scritta, simbolica,grafica, ...)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEAnalizzare dati e interpretarli sviluppandodeduzioni e ragionamenti sugli stessi,usando consapevolmente gli strumenti dicalcolo e le potenzialità offerte daapplicazioni specifiche di tipo informatico23

diverso da 2 .L’opzione D è da scartare, perché la coppia (1;0)non soddisfa l’equazione y = 1 x Infatti 0 èdiverso da 2.Quindi l’unica opzione possibile è la C. Infattil’equazione y = x 1 è soddisfatta da tutte lecoppie della tabella.Oppure si potrebbe osservare che i valori della xdiminuiti di 1 sono quadrati perfetti e quindil’opzione C è l’unica corretta (D. Passalacqua:http://lnx.sinapsi.org/wordpress/2011/05/17/soluzioni‐guidate‐matematica‐inv)Altra possibile risoluzioneI dati della colonna y variano con passo costante;le differenze prime della colonna x varianolinearmente e quindi le differenze seconde sonocostanti. Allora la relazione che lega x a y è deltipo x = ay 2 + by + cImponendo la condizione di appartenenza deipunti (1; 0), (2;1) e (5; 2) si ottiene il sistemalineare:1 c2 a b 1 ossia, con pochi passaggi 5 4a 2b 11 cb 1 a e , infine, a = 1, b = 0 e c = 1 2a b 2Si ha quindi x = y 2 + 1 che per y non negativi(come sono i valori della tabella) equivale ay = x 124

Per rispondere alla domanda lo studente deveavere una certa confidenza con semplici modellilineari e conoscere il significato di percentuale.Risposta corretta ASe Carlotta guadagna 8 euro all’ora, in h ore avràun guadagno di 8h euro. Quindi l’opzione C è dascartare. Se, inoltre, Carlotta guadagna unacommissione del 5% sul ricavo totale s dellescarpe che riesce a vendere, deve accrescere il suoguadagno di 8h euro con il guadagno 5s/100, ossiacon 0,05s.La risposta corretta è quindi g = 8h + 0,05s.Per rispondere lo studente può modellizzare ilproblema con un’equazione, oppure lavoraredirettamente sul campo di esperienza dei multipli.Risposta corretta CSiano v le partite vinte e p le partite pareggiate. Ipunti fatti sono quindi 3v + p. Poiché p = v, allorai punti fatti sono 4p. Ciò vuol dire che ilpunteggio realizzato è un multiplo di 4. L’uniconumero che non è multiplo di 4 è 30. Quindi 30 èl’unico punteggio che la squadra non può avertotalizzato.Per rispondere è bene che lo studente abbia benchiara la rappresentazione polinomiale (in base10) di un numero razionale.Risposta corretta DL’epressione può essere scritta come0,9 + 0,08 + 0,0007 + 0,00002 ossia 0,98072.Si può notare che la possibilità di utilizzare lacalcolatrice numerica può aiutareconsiderevolmente nella risposta.AMBITO PREVALENTERelazioni e FunzioniPROCESSO PREVALENTESapere risolvere problemi utilizzando glistrumenti della matematica (individuare ecollegare le informazioni utili, confrontarestrategie di soluzione, individuare schemirisolutivi di problemi …)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEIndividuare le strategie appropriate perla soluzione di problemiAMBITO PREVALENTENumeriPROCESSO PREVALENTEConoscere e padroneggiare algoritmi eprocedure (in ambito aritmetico,geometrico...)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEUtilizzare le tecniche e le procedure delcalcolo aritmetico ed algebricoAMBITO PREVALENTENumeriPROCESSO PREVALENTEConoscere e padroneggiare diverse formedi rappresentazione e sapere passare da unaall'altra (verbale, scritta, simbolica,grafica, ...)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEUtilizzare le tecniche e le procedure delcalcolo aritmetico ed algebrico25

Per rispondere è necessario conoscere ilsignificato di simmetria (assiale e centrale).Risposta corretta CÈ immediato osservare che i vertici dei duepoligoni si corrispondono in una simmeria aventecome asse quello delle x.AMBITO PREVALENTESpazio e FigurePROCESSO PREVALENTEConoscere e padroneggiare i contenutispecifici della matematica (oggettimatematici, proprietà, strutture...)NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONEConfrontare ed analizzare figuregeometriche, individuando invarianti erelazioni26