Determination of an optimum number of buses and routes ... - MTC-aj

равномерно запълване на превозните средства и минимален брой прекачвания междуедин или няколко видове градски транспорт [6,8] на обозначените за това спирки.2. Предпоставки и начини за разрешаване на проблема.Наблюдаващата се в последните години тенденция на миграция на жителите отселата и малките градчета към големите градове, в които са концентриранипреобладаващата част от предлаганите работни места, е един от факторите, водещи допромяна в броя и направленията на придвижване, както на градските, така и наприходящите жители, ежедневно пътуващи от покрайнините на градовете към технитецентрове и към районите, явяващи се притегателни центрове на работна сила – бизнес итърговски центрове. За да може при тази непрекъснато изменяща се обстановкаградският транспорт да предоставя качествено и комфортно обслужване на пътниците,от една страна е необходимо периодично и систематично да се провеждат изследванияна транспортните потребности и да се определят и прогнозират придвижванията нанаселението, чрез съществуващите модели и методи [2,6,7], а от друга – да се правятпроучвания на транспортното обслужване, чрез изучаване на пътникопотоците попознатите в литературата методи [2,5,8]. По такъв начин би могло да се установидоколко предлаганите транспортни услуги в даден град съответстват на транспортнототърсене. Получените от подобни изследвания резултати биха спомогнали за взимане наадекватни решения и предприемане на целенасочени действия по усъвършенстване намаршрутната система, чрез промяна на действащи и съставяне на нови маршрути иопределяне на оптималния за маршрутите на наличните видове транспорт бройпревозни средства, притежаващи достатъчна за поемане на потока от пътниципътниковместимост.За оптимизация на маршрутните системи в специализираната литература сеописани методи [6,8], позволяващи на транспортните инженери, в зависимост отспецификата на транспортните условия и наложените от външни фактори ограничения,да изберат подходящия за прилагане в конкретния случай метод.Възможна алтернатива за решаване на задачата за организиране на новимаршрути и определяне на оптималния брой превозни средства по тях еоптимизационния метод на линейното програмиране [3,4], с помощта на който, чрездефиниране на целева функция и съпътстващи я ограничения, може математически дасе опише конкретен транспортен модел.Общият вид на математичния модел на линейното програмиране, който e единот клоновете на математическото програмиране има вида [3]:(1)( ) = . → min(max)(2)Jn∑ar=1= f x ∑ ncr xrr=1(3)x r≥ 0 за r = 1,2, …,n ,където: (1) е целева функция; (2) и (3) - ограничителни условия на общата задача налинейното програмиране; ограничително условие (3) се нарича условие занеотрицателност; a i,r , b i и c r за i = 1, 2,…,s и r = 1, 2,…,n са дадени реални числа.В общата задача на линейното програмиране, дефинирана с формули от (1) до(3), се търсят такива стойности на неотрицателните променливи x 1 ,x 2 ,…, x n , коитоудовлетворяват ограничителни условия (2) и минимизират (максимизират) целеватафункция J. Свободните членове b i в (2) се приемат за неотрицателни. Ако някое b i еBG-3.9

отрицателно, необходимо е двете страни на съответното равенство (неравенство) да сеумножат с числото “-1”.След разписване на формули от (1) до (3), за целевата функция и ограничениятаполучаваме:Целева функция:(4) ( ) = . + . + ... + . → min(max)(5)Jfx= c1x1c2x2cnxnОграничения:aaab1b2…………………………………(6) ≥ 0, ≥ 0,..., ≥ 0x1x2xnbs3. Решение на проучения проблем.Решението на задачата за определяне на оптимален брой превозни средства поновосформирани маршрути, получено по метода на линейното програмиране, чрезизползване на MS Excel Solver, в настоящата статия е показано със следния пример:Нека е даден за разглеждане голям град (фиг. 1), в който основен вид пътническитранспорт, обслужващ населението с превози е автобусният.Граница натранспортен район1ТранспортенрайонЦентър на транспортенрайон4235Фиг. 1.Примерна схема на голям градЗа целите на разглеждания пример е извършено райониране на града, чрезразделяне на територията му на транспортни райони [8,9,12], обозначени с номера от 1до 5 (фиг. 1). Като центрове на транспортните райони се обособяват спирките, в коитосе осъществява голям пътникообмен [12], по участъците между които се превозваосновния дневен пътникопоток. Знае се, че в резултат от проведено анкетно проучванеотносно направленията на придвижване на населението е установен обема на дневнитекореспонденции [1,2] на пътниците между районите и сумарния по участъци междурайоните пътникопоток [2,8,12], получен след налагане на пътническитекореспонденции върху съществуващата транспортна мрежа [10]. Входните данни запътническите кореспонденции между районите и пътникопотока по участъците вBG-3.10Връзки междуцентровете на районитепо транспортната мрежа

мрежата са последователно представени на фиг. 2 и в матрицата на кореспонденциите[1,9,12] (табл. 1).l 1 = 7,3 l 2 = 8,4 l 3 = 6,5l 4 = 7,81 2 3 4 5A 1,2 =420A 1,3 =525A 1,4 =350A 1,3 =525A 1,4 =350A 1,4 =350A 1,5 =105 A 1,5 =105A 2,3 =700A 2,4 =980A 2,5 =840A 1,5 =105A 2,4 =980A 2,5 =840A 3,4 =595A 3,5 =735A 1,5 =105A 2,5 =840A 3,5 =735A 4,5 =560F 1 = 1400F 2 = 3500F 3 = 3605F 4 = 2240Фиг. 2.Пътнически кореспонденции между транспортните райони и пътникопоток поучастъциТаблица 1 - Матрица на пътническите кореспонденции между транспортните райониДо mОбщо1 2 3 4 5От kтръгнали1 420 525 350 105 14002 700 980 840 25203 595 735 13304 560 5605 0Общопристигнали0 420 122519252240 5810Дадени в километри са и дължините на участъците l i (i = 1,…,4), свързващицентровете на районите по изградената в града транспортна мрежа.В съответствие със застроената жилищна площ, съществуващата транспортнамрежа в града и местоположението на автотранспортните предприятия, разрешени заобособяване като начални или крайни спирки на автобусни маршрути на градскияпътнически транспорт, с изключение на спирка № 4, са спирки с номера от 1 до 5. Поусловие са дадени още инвентарен брой и пътниковместимост на автобусите – общо 28броя автобуси с 213 пътникоместа, както и себестойност за пробег на автобусите,възлизаща на 1,65 лв./автобус.км.BG-3.11

При условие, че единствено спирки с № 1, 2, 3 и 5 могат да бъдат начални иликрайни за маршрут и спазвайки условието за извършване на не повече от едно на бройпрекачване на пътниците, е необходимо да се определят нови маршрути на движение иоптималния брой обслужващи ги автобуси със зададената вместимост така, чесумарните дневни транспортни разходи от превоз на пътници да са минимални.Описаната в [11] и [13] теоретична постановка на метод за определяне на брой иназначения на пътническите влакове, разгледан в [14] чрез решаване на задача вобластта на железопътния транспорт, както ще се види от решеният в настоящатастатия пример, може успешно да се прилага за разрешаване на проблеми от подобноестество и в областта на автомобилния транспорт.4. Резултати и дискусия.За постигане на целта, а именно организиране на нови маршрути и определянена оптималния за всеки маршрут r брой превозни средства x r , осигуряващ реализиранена минимални сумарни транспортни разходи C от извършване на градски пътническипревози с автобусен транспорт за усвояване на наблюдавания пътникопоток, чрезизползване на метода на линейното програмиране с формули (7) - (10), е дефиниранследния математичен модел:Целева функция:n∑r = 1(7)( ) = = . → min, лв.,fxCc r x rв която: c r – разходи за извършване на превоз на пътници с автобус, лв./автобус;Ограничения:(8)n∑αi , r . β . x ≥ F за i = 1,...,s,r=1rriкъдето: a i,r – коефициент, стойността на който указва дали автобусите от маршрут rпреминават по участък i и обслужват пътникопотока F i . Коефициентът a i,r има стойностa i,r = 1 при условие, че това е в сила и стойност a i,r = 0, ако автобусите, движещи се помаршрут r не преминават и респективно не обслужват пътникопотока F i по участък i;b r – пътниковместимост на автобусите по маршрут r;s – брой участъци от транспортната мрежа, свързващи районите;F i – пътникопоток по участък i, брой пътници/ден.(9)n∑ xrr = 1≤Nbus,където:Nbus− инвентаренBG-3.12бройавтобуси;(10)xr≥ 0 за r = 1,2, …,n,като xr-цяло число .Очакваните транспортни разходи на един автобус, извършващ превоз напътници по маршрут r ще бъдат:(11) лв.cr = p. d r, , за r = 1,...,n , къдетоавтобус:p – себестойност на пътническите превози, лв./автобус.км;d r – дължина на маршрут r, кмСлед отчитане на наложените по участък i пътнически кореспонденции междурайоните A k,m (табл. 2), пътникопотока F i е изчислен по формулата:(12) Fi = Fi−1+ Aтр- Aпрза i = 1,...,s = 4 и k = m = i, в която общия бройk mтръгнали от начален район k и общия брой пристигнали в краен район m пътническикореспонденции Атр к и Апр m са изчислени като суми, както следва:

M(13)= за k = 1,...,M -1, като M = 5 - общ брой райони.Aтр k∑ Ak,mm = k + 1m(14) = 1за m = 2,..., MA∑ − пр m Ak,mk=1Дефинираните ограничения имат следното тълкуване:Ограничение (8) гарантира, че предоставената сумарна вместимост наавтобусите по маршрутите, преминаващи по даден участък i ще е достатъчна заусвояване на пътникопотока F i по този участък. При това пътниковместимостта наотделните автобуси се взима в предвид в изчисленията само, когато даден автобусенмаршрут r преминава през участък i и следователно, движещите се по него x r автобусимогат да обслужат пътникопотока F i (a i,r = 1) и не се взима в предвид, когато маршрут rне преминава през участъка i и съответно, движещите се по маршрута x r автобуси немогат да обслужат пътникопотока F i (a i,r = 0).Ограничение (9) означава, че сумарния за всички маршрути брой движещи сеавтобуси не трябва да надвишава инвентарния брой автобуси N bus , с които разполагатобщо всички автотранспортни предприятия, т.е. броят на автобусите на линия трябва дае по-малък или най-много равен по брой на наличния брой автобуси.Ограничение (10) указва, че броят на автобусите трябва да е положително исъщевременно цяло число.Съблюдавайки наложеното в условието на задачата ограничение, според коетоначални или крайни за маршрут могат да са спирки с № 1,2,3 и 5, на фиг. 3 са показанивъзможните за организиране маршрути на движение на автобусите.l 1 = 7,3 l 2 = 8,4 l 3 = 6,5l 4 = 7,81 2 3 4 512,05.X 125,91.X 225,91.X 249,50.X 349,50.X 349,50.X 349,50.X 313,86.X 437,46.X 537,46.X 537,46.X 523,60.X 623,60.X 6Фиг. 3.Възможни маршрутиПри възникване на пунктове на зараждане или погасяване на голямпътникопоток в участъците между основните спирки с номера от 1 до 5, в тезипунктове могат да се обособят самостоятелни спирки от даден маршрут.За разглеждания случай, броят на разрешените маршрути, обозначени съсстрелки на фиг. 3, е n = 6. Неизвестният брой автобуси x r по маршрут r за индекс r,приемащ стойности от 1 до n, е x 1 , x 2 ,...,x 6 .След заместване във формулите за целевата функция (7) и съпътстващите яограничения (8) - (10) с известните от условието на задачата стойности за общ брой ипътниковместимост на автобусите, с определената мощност на пътникопотока поучастъците между спирките, както и с изчислените транспортни разходи, за конкретнияпример след разписване получаваме:BG-3.13

(15)c1. x1+ c2. x2+ c3. x3+ c4. x4+ c5. x5+ c6. x6== 12,05.x + 25,91. x + 49,50. x3+ 13,86. x + 37,46. x5+ 23,60. x6124− >min,лв.(16)α1,1 .β . x1+1= 1.213. xα β . x2,1 .= 0.213. xα β . x3,1 .1+1+1= 0.213. xα β . x=4,1 .1+1+11+1+10.213. x1+α1,2 .β . x2 2+α1,3 .β . x3+3α1,4 .1.213. x2+ 1.213. x3+ 0.213. xα . β . x + α . β . x + α2,22 22,33 31.213. x2+ 1.213. x3+ 1.213. xα . β . x + α . β . x + α3,22 23,33 30.213. x2+ 1.213. x3+ 0.213. xα . β . x + α . β . x + α4,20.213. x2 22+4,31.213. x3+3 30.213. x4β . x4 41,5 .β . x5+50.213. x5+ 0.213. xβ . x + α . β . x+2,4 .4+3,4 .4+4,4 .4+4 4+α2,51.213. x5+ 0.213. xβ . x + α . β . x4 43,5665+51.213. x5+ 1.213. xβ . x + α . β . x4 41.213. x5+4,56α1,6 .3500β . x6 6≥1400α . β . x≥5+51.213. x6α≥5+5≥2,63,6 .3605α4,6 .22406 6β . x6 6β . x6 6====(17)n=6∑ xr=1r=x1+x2+x3+x4+x5+x6≤Nbus= 28;(18) , , , , , ≥ 0 .x1x2x3x4x5x6Задачата е решена чрез офис приложението Microsoft® Excel [15], с използванена вградения в него и предназначен за решаване на оптимизационни задачи Add-Inинструмент MS Excel Solver. За целта от меню ”Tools” (Инструменти)(фиг.4) с избор на”Solver…” се “извиква” функционалност Solver.Фиг. 4. Избор на меню “Инструменти”Ако при отваряне на меню “Tools”, Solver не се “вижда”, следва същият да бъдедобавен, като от меню “Tools” се избере “Add-Ins…”. Отваря се прозорец “Add-Ins…”(фиг. 5), в който чрез маркиране на “Solver Add-In” и поставяне на отметка се указвадобавяне на желаната функционалност. След добавяне, оптимизационния инструментSolver се привежда в действие с избиране на меню “Tools” -> “Solver…”, в резултат накоето се извежда прозореца “Solver Parameters” (Solver параметри) (фиг. 6).Фиг. 5.Прозорец ”Add-Ins”Фиг. 6.Прозорец ”Solver параметри”BG-3.14

Тъй като целта e реализиране на минимални разходи, в отвореният прозорец“Solver Parameters” се избира “Min”. В полето “Set Target Cell:” за целева се посочваклетката $P$15 (табл. 2), в която Solver ще изчисли стойността на търсения в задачатаминимум. За успешно извършване на изчисленията, предварително в целевата клетка$P$15 трябва да е въведена подходяща формула (фиг.7). В случая е използванафункцията “SUMPRODUCT”.Фиг. 7.Начални стойностиДефинирането на задачата в средата на MS Solver завършва с въвеждане наограничителни условия от (8) до (10) чрез бутона “Add” и посочване в полето “ByChanging Cells:” (фиг. 8) обхвата от клетки $P$5:$P$14 в табл. 2, съдържащистойности, чрез промяна на които Solver ще намери минимум на функцията (7), койтоминимум ще върне като резултат в избраната целева клетка $P$15.Фиг. 8.Прозорец ”Solver параметри”За начало на изчислителните процедури, след като в прозореца ”Solverпараметри” задачата е вече дефинирана и описана, се натиска бутон “Solve”.Намереният минимум (клетка P15) и оптималния брой автобуси (клетки от P5 до P14),получен в резултат от извършените изчисления, минимизиращ целевата функция, сададени в табл. 3 от работния лист (worksheet), представен на фиг. 9.BG-3.15

Фиг. 9.Прозорец ”Резултати от изчисленията”Индикация на успешното приключване на изчисленията е изведеното от Excel вотворения прозорец “Solver Results” (фиг. 10) текстово съобщения указващо, че Solver eнамерил оптимално решение, удовлетворяващо всички ограничения и условия. Зазапазване на решението се избира предложеният от Solver избор “Keep Solver Solution”и се натиска бутона “OK”.Фиг. 10.Прозорец ”Solver Results”Схематично, новосформираните съгласно решението маршрути и необходимияза усвояване на дневния пътникопоток оптимален брой автобуси по отделнитемаршрути, както и сумарния за всеки участък брой автобуси, обслужващи прокаранитепрез него маршрути, са показани на фиг. 11.l 1 = 7,3 l 2 = 8,4 l 3 = 6,5l 4 = 7,81 2 3 4 5X 3 = 7 X 3 = 7 X 3 = 7X 3 = 7X 4 = 107X 6 = 10X 6 = 1017 17 17Фиг. 11.Оптимален брой маршрути и брой автобуси по маршрути и участъциОт представеното решение на задачата (фиг. 11) може да се види, че сумарниминимални транспортни разходи за превоз на пътници с автобусен транспорт ще сереализират при организиране на движението по следните 3 от възможните 6 на броймаршрути:- маршрут № 3, с начална спирка район 1 и крайна спирка район 5, обслужванот x 3 = 7 на брой автобуси;BG-3.16

- маршрут № 4, с начална спирка район 2 и крайна спирка район 3, обслужванот x 4 .= 10 броя автобуси;- маршрут № 6, с начална спирка район 3 и крайна спирка район 5, с движещисе по него x 6 = 10 автобуса.Съгласно оптималното решение, пътникопотока по участъци с номера от 1 до 4може да бъде усвоен от автобусите, които се движат по установените маршрути исъщевременно преминават през съответния участък, както следва:- пътникопотокът F 1 = 1400 пътници по участък 1 се обслужва от x 3 = 7 на бройавтобуси, движещи се по маршрут № 3;- пътникопотокът F 2 = 3500 пътници по участък 2 може да се усвои от общо x 3 +x 4 = 7 + 10 = 17 броя автобуси (7 автобуса по маршрут 3 и 10, предвидени да се движатпо маршрут 4);- пътникопотокът F 3 = 3605 пътници по участък 3 се обслужва сумарно от x 3 +x 6 = 7 + 10 = 17 автобуси – 7 от маршрут 3 и 10 автобуса по маршрут 6;- пътникопотокът F 4 = 2240 пътници по участък 4 се предвижда да се превозваот x 3 + x 6 = 7 + 10 = 17 автобуси, от които 7 автобуса от маршрут 3 и 10, движещи се помаршрут 6.От фиг. 11 се вижда, че полученото оптимално решение гарантира, че пътницитеще могат да достигнат от всеки начален до крайния за тяхното пътуване пункт смаксимум едно прекачване между превозните средства, което ще се наложи даизвършат само ако ползват маршрут № 4 или № 6, но не и №5.След заместване с определения оптимален брой автобуси по маршрутиn=6∑ x = x + x + x + x + x + x = 0 + 0 + 7 + 10 + 0 + 10 = 27 < 28r=1r123456във формулата за целевата функция получаваме, че сумарните минимални транспортниразходи за извършване на градски пътнически превози с автобусен транспорт възлизатна:C= n 6∑ = cr. xr=r=1c1.x1+c2.x2+c3.x3+= 12,05.0 + 25,91.0 + 49,50.7 + 13,86.10 + 37,46.0 + 23,60.10 = 721,05 лв.Получените за оптималното решение на задачата резултати са обобщени ипоказани в табл. 4.Маршрут№НачалнаспиркаОсновни спиркиМеждинниспиркиКрайнаспиркаЕднопосочнадължина намаршрута, кмБройавтобусиПредоставенипътникоместаРазходина 1автобус,лв.Дневниразходи,лв.Маршрут№c4.xПредоставенипътникоместа4+cМаршрут№5.x5+c6.x6==NbusТаблица 4 – крайни резултатиОбслужва пътникопоток F i по участък i съвместно с маршрут №участък 1 участък 2участък 3ПредоставенипътникоместаМаршрут№Предоставенипътникоместа3 1 2,3,4 5 30,0 7 1491 49,50 346,50 - 4 6 64 2 - 3 8,4 10 2130 13,86 138,60 - 1400 1491 3 3500 3621 - 3605 3621 - 22406 3 4 5 14,3 10 2130 23,60 235,95 - - 3 3Маршрут№участък 4ПътникопотокПътникопотокПътникопотокПътникопотокПредоставенипътникоместа5. Заключение.С оглед на получените резултати, касаещи разгледания в публикацията пример,в заключение могат да се направят следните основни изводи:1. Намирането на оптимално решение на задачата за организиране на новимаршрути и определяне на минимално необходимия брой движещи се по тях превознисредства, извършващи градски пътнически превози, е основна предпоставка за3621BG-3.17

постигане на адекватно и съответстващо на транспортното търсене транспортнообслужване на градското население.2. Линейното програмиране е мощен инструментариум, предоставящвъзможност да се дефинират, математически описват и решават разнообразни иразлични по своята същност и ниво на сложност оптимизационни задачи в транспортаи други области на приложение.3. Използването на мощта и бързодействието на персоналните компютрисъвместно със съществуващия изчислителен софтуер, какъвто е и MS Excel, зарешаване на оптимизационни задачи, води до ускоряване на изчислителните процедурии постигане на висока точност на крайните резултати.4. Въпреки, че задачата за организиране на маршрути и определяне наоптимален за отделните маршрути брой автобуси, решена с прилагане на метода налинейното програмиране, е с познавателна и учебна цел, ако се работи с реални данни иразстояния, като се отчетат допълнително наложени ограничения, получените отнейното решение резултати биха могли да послужат като база за разработване награфици за движение на превозните средства по линии на градския транспорт, както иза съставяне на маршрутни разписания [2].ЛИТЕРАТУРА[1] Афанасьев, Л. Л., Воркут, А. И. и др., “Пассажирские автомобильные перевозки”,Москва, “Транспорт”, 1986 г.[2] Варелопуло, Г. А., “Организация движения и перевозок на городском пассажирскомтранспорте”, Москва, “Транспорт”, 1990 г.[3] Велев, Г. Д., Димитров, М. Ц., Христова, М. С., Пъдевска, С. С., “Висша математикав примери и задачи”, Университетско издателство “Стопанство”, София, 1992 г.[4] Гатев, Г., “Изследване на операциите – избор на решения при определеност”, книга1, Технически университет – София, 2003 г.[5] Димитров, С. Д., “Моделиране на пътникопотоците в градския обществентранспорт”, научно списание „Механика, Транспорт, Комуникации”, бр. 2, 2009 г., ВТУ“Тодор Каблешков”, София[6] Ефремов, И. С., Кобозев, В. М., Юдин, В. А., “Теория городских пассажирскихперевозок”, М.: Высшая Школа 1980 г.[7] Зенгбуш, М. В., Белинский, А. Ю., Дынкин, А. Г., “Пассажиропотоки в городах”,Москва, “Транспорт”, 1974 г.[8] Качаунов, Т. Т., Стаменов, В. Н., “Градски пътнически транспорт”, ПечатницаВВТУ “Тодор Каблешков”, София, 1994 г.[9] Митаишвили, Р. Л., “Система показателей хозяйственной деятелности напассажирском автомобильном транспорте”, Москва, “Транспорт”, 1987 г.[10] Пенков, И. К., “Основи на автомобилния транспорт”, Технически университет –София, 1997 г.[11] Райков, Р. Г., “Организация и управление на движението в железопътниятранспорт”, София, 1985 г.[12] Симеонов, Д. Г., “Ръководство за упражнения по технология и организация наавтомобилните превози”, Русе, 1992 г.[13] Стоилова, С. Д., “Организация и управление на железопътния транспорт”,Издателство на Технически университет - София, 2010 г.[14] Стоядинов, С. Б., Стоилова, С. Д., “Ръководство за лабораторни упражнения потехнология и организация на транспорта – I част (железопътен транспорт)”,Издателство на Технически университет – София, 2006 г.[15] Microsoft Excel 2003 Help, Microsoft CorporationBG-3.18