Esercizi sulla formula di Taylor (1) Scrivere lo sviluppo di Taylor di ...

Esercizi sulla formula di Taylor(1) Scrivere lo sviluppo di Taylor di punto iniziale x 0 = 0 e diordine 4 delle seguenti funzioni:(a) e x (b) e x − x (c) e x2 (d) e x2 − x + 1(e) e −x (f) e −x+1 (g) e −x+1 − 1 (h) e −x + x 2(i) sin x (l) sin x 2 (m) sin 2 x (n) sin(x 2 − x)(o) sin(x 2 + 2x) − x 2 (p) cos x (q) cos x 2 (r) cos 2 x(s) cos 2 x − cos x 2 (t) cos(x 2 − x) − x (u) ln(1 + x) (v) ln(1 + x 2 )(w) ln(1 + x + x 2 ) (x) ln 2 (1 + x) (y) arctan x (z) arctan 2 x.(2) Scrivere lo sviluppo di Taylor di punto iniziale x 0 e diordine 4 delle seguenti funzioni:(a) x 2 − x + 1, x 0 = 0 (b) x 2 − x + 1, x 0 = 1 (c) x 2 − x + 1, x 0 = −1(d) cos x, x 0 = π (e) cos x, x 0 = π 2(f) cos x, x 0 = π 4(g) cos x, x 0 = − π (h) cos x, x2 0 = − π (i) sin x, x4 0 = π 4(l) sin x, x 0 = − π (m) sin x, x4 0 = π (n) sin x, x2 0 = − π 2(o) ln(1 + x), x 0 = 1 (p) ln(1 + x), x 0 = 2 (q) ln(1 + x), x 0 = 3 2(r) arctan x, x 0 = 1 (s) arctan x, x 0 = s (t) arctan x, x 0 = 3.(3) Utilizzare lo sviluppo di Taylor e calcolare i seguenti limiti:(a) limx→0sin x 2 − sin 2 x(cos x − 1) 2 x(c) limx→0(arctan x − x) 2 (cos x 2 − 1)(sin x − x) 3 (e x − 1) 2(e) limx→0(arctan x − x) 2 (cos x 2 − 1)sin(x + 2x 2 ) − x + 1 − cos x 2(b) limx→0(sin x 2 − sin 2 x)(ln(1 + x) − x)cos 2 x − cos x 2(d) limx→0(ln(1 + x 2 ) − x 2 )(cos 2 x − 1)(sin x − x) 3 (e x − 1) 2(f) limx→0ln(1 + x 2 )(e x − 1) 2sin(2x + 2x 2 ) − 2x(4) Calcolando le derivate (!), scrivere lo sviluppo di Taylordi punto iniziale x 0 e di ordine 4 delle seguenti funzioni:(a) tan x, x 0 = 0 (b) tan x, x 0 = π (c) tan x, x4 0 = − π 4(d) ln x, x 0 = 1 (d) ln x, x 0 = 2 (e) ln x, x 0 = e1(f) , x 1cos x 0 = 0 (g) , x cos x 0 = π 1(h) , x 4 cos x 0 = π(i) √ x, x 0 = 1 (l) √ x, x 0 = 4 (m) √ x, x 0 = 9(n) √ 1x, x 0 = 1 (o) √ 1x, x 0 = 4 (p) 1x, x 0 = 9(q) |x|, x 0 = 1 (r) |x| 3 , x 0 = 1 (s) √ |x|, x 0 = 1.(5) Utilizzando lo sviluppo di Taylor, calcolare fino alla terzacifra decimale esatta i seguenti numeri:(a) ln 2 (b) ln 3 2(c) ln 1 2(d) ln 9 4(e) ln 8 (f) ln 1 8(g) √ 2 (h) √ 3 (i) √ 5 (l) √ 8 (m) √ 65 (n) √ 99(o) π 4(p) π 2(q) π 3(r) π (s) e (t) e 2(u) √ e (v) e − 1 (w) e + 1 (x) e 2 + 1 (y) e + e 2 (z) 3√ e.1

2(6) Utilizzare lo sviluppo di Taylor per determinare per qualiα ∈ R i seguenti integrali impropri sono convergenti:(a)(c)(e)(g)(i)(m)(o)(q)(s)∫ 10∫ 10∫ 10∫ 10∫ 10∫ 10∫ 10∫ 10∫ 10sin x 2 − sin 2 ∫x1(cos x − 1) 2 x dx (b) α(arctan x − x) 2 (cos x 2 − 1)(sin x − x) 3α (e x − 1) 2 dx (d)0∫ 1(arctan x − x) 2 (cos x 2 − 1)sin x − x + (cos x − 1) α dx (f) ∫ 1sin x 2 − sin 2 ∫x1(cos x − 1) 2α−3 x dx (h)(arctan x − x) 2−α (cos x 2 − 1)dx (l)(sin x − x) 3α+1 (e x − 1) 2000∫ 1(arctan x − x) 2α (cos x 2 − 1)sin x 2 − x 2 + (1 − cos x) α dx (n) ∫ 1sin x 2 − sin 2 ∫x1(cos x − 1) 2 x dx (p) α(arctan x − x) 2 (cos x 2 − 1)(sin x − x) 3α (e x − 1) 2 dx (r)(arctan x − x) 2 (cos x 2 − 1)(sin(x + 2x 2 ) − x) α dx (t)000∫ 10∫ 10(sin x 2 − sin 2 x) α (ln(1 + x) − x)dxcos 2 x − cos x 2(ln(1 + x 2 ) − x 2 )(cos 2 x − 1)dx(sin x − x) 3 (e x − 1) 2−αln(1 + x 2 )(e x − 1) 2(sin 2x − 2x) α + cos(2x 2 ) − 1 dx(sin x 2 − sin 2 x) αcos 2 x − cos x dx 2(ln(1 + x 2 ) α − x 2 )(cos 2 x − 1)dx(sin x − x) 3 (e x − 1) 2ln(1 + x 2 )(e x − 1) 2(sin(2x + 2x 2 ) − 2x) α dx(sin x 2 − sin 2 x) α (ln(1 + x) − x)dxcos 2 x − cos x 2(ln(1 + x 2 ) − x 2 )(cos 2 x − 1)dx(sin x − x) 3 (e x − 1) 2−αln(1 + x 2 )(e x − 1) 2sin(2x + 2x 2 ) − 2x α dx(7) Utilizzare lo sviluppo di Taylor per determinare per qualiα ∈ R le seguenti serie sono convergenti:∞∑ √ 1∞∑(a) n sin (b) n α 1sinn αn 2 − nn=1n=1∞∑((c) sin 1 n − 1 ) α(1 − cos 1 nn ) (d) ∑ ∞(sin 1 − 1 n n )nα1 − cos n+1n=1n=1n 2∞∑ (tan 1 −n∞∑n(e)2 n 3 +n )αln(1 + 1 ) − 1 n(f)2 n 21 − e 1 n(cos 1 − .n 1)αn=1n=1