Lezione 2 - Potenze radicali scomposizione polinomi ruffini.pdf

CALCOLO LETTERALE• Perché?È opportuno rappresentare i numeri conlettere dell’alfabeto per fare affermazioniche valgono indipendentemente dal valoredei numeri.1

POTENZE• Dato un numero reale a ed un numeronaturale n, si dice potenza n-esima di aa n = a • a • … • a n volteEsempio:3 2 = 3 • 3(-2) 2 = (-2) • (-2) = 4(-2) 3 = (-2) • (-2) • (-2) = -82

PROPRIETA’ DELLE POTENZEDati a, b R, m, n N• a n + m = a n a m ,• a -n = 1 / a n• a n - m = a n : a m , n m, se n = m, a 0• (a:b) n = a n : b n , b 0•(ab) n = a n b n ,•(a n ) m = a n m ,• a 0 = 1,3

ESERCIZI3 2 • 3 3 = 3 53 4 : 3 3 = 3 1((2) 3 ) 2 = (2) 6(5 • 2) 2 : 5 0 = (5) 2 •(2) 2(8) 0 =13 -4 = 1 / 3 4(- 2) 2 •(-2) 3 = -324

RADICALI• Si dice radice n-sima (n N) del numeroreale a il numero b tale che b n = a. Siscrive:bnaLa radice ennesima (n N) della potenza a msi scrive:amnnam5

PROPRIETA’ DEI RADICALImkn km naam n amnan n na b abn mamnan na bm anbmna an b 0n b b6

ESERCIZI34 3 43a a3 634381 1535 53354 42 3 22 3 2233332 2 a a4 54 5a a7

OPERAZIONI TRA POLINOMI• ADDIZIONE• SOTTRAZIONE• PRODOTTOPRODOTTI NOTEVOLI = Prodotti diparticolari polinomi per i quali èpossibile stabilire il risultato con pochicalcoli• DIVISIONE8

DIFFERENZE DI QUADRATI(x + y) • (x - y) = (x 2 - y 2 )Esempi:(2x + y) • (2x - y) = (4x 2 – y 2 )(2ab 3 + c) • (2ab 3 - c) = (4a 2 b 6 – c 2 )(9x 2 y 2 – 4a 2 b 2 ) = (3xy + 2ab) • (3xy - 2ab)(x-3) 4 – 81 = [(x –3) 2 –9] • [(x –3) 2 +9] =[(x –3) –3] [(x –3) +3] • [(x –3) 2 +9]9

QUADRATO DI UN BINOMIO(x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2(x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2Esempi:(a – 3b) 2 = a 2 – 6ab +9b 2(a + 2b) 2 = a 2 + 4ab +4b 2((3/2)a + b 2 ) 2 = (9/4)a 2 + 3ab 2 + b 410

CUBO DI UN BINOMIO(x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3(x - y) 3 = x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - y 3Esempi:(2x - y) 3 = 8x 3 - 12x 2 y + 6xy 2 - y 3(3x + y) 3 = 27x 3 + 27x 2 y + 9xy 2 + y 3(x 3 - 5y) 3 = x 9 - 15x 6 y + 75x 3 y 2 - 125y 311

SOMMA E DIFFERENZA DI CUBI(x 3 + y 3 )= (x + y) • (x 2 - xy + y 2 )(x 3 - y 3 )= (x - y) • (x 2 + xy + y 2 )Esempi:(8x 3 + y 3 )= (2x + y) • (4x 2 - 2xy + y 2 )(27x 3 - 8y 3 )= (3x - 2y) • (9x 2 + 6xy + 4y 2 )(x - 2) 3 + y 6 = [(x - 2) + y 2 )] • [(x - 2) 2 -(x - 2) y 2 + y 4 )]12

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI• Mediante l’uso dei prodotti notevoli• Raccoglimenti a fattore comune:Esempio:6ab + 2a 3 c - 8ab = 2a (3b + a 2 c – 4b)• Raccoglimenti parziali successivi:Esempio:9a 2 b 3 - 3a 3 b 2 + 6bc - 2ac = 3a 2 b 2 (3b-a) + 2c(3b - a) = (3b - a) (3a 2 b 2 +2c)13

DIVISIONE TRA POLINOMI• Prenderemo in considerazione solo polinomi inuna variabile• Siano P 1 e P 2 polinomi ordinabili rispetto allapotenza di una data lettera, con il grado di P 1maggiore o uguale al grado di P 2 .• Esistono allora due polinomi Q ed R tali che:P 1 = Q P 2 + R dove Q è il polinomio quoziente edR è il resto.14

ESEMPIO(2x 5 – 3 x 3 + x + 1) : ( x 3 – x 2 +1)2x 5 + 0 x 4 – 3 x 3 + 0 x 2 + x + 1 x 3 – x 2 +12x 5 – 2 x 4 + 2 x 22 x 4 – 3 x 3 - 2 x 2 + x + 12 x 4 – 2 x 3 +2 x– x 3 - 2 x 2 - x + 1– x 3 + x 2 - 1- 3 x 2 - x + 22 x 2 +2 x -115

ESEMPIO(2x 5 – 3 x 3 + x + 1) = (2 x 2 +2 x – 1) • (x 3 – x 2+1) + (- 3 x 2 - x + 2)P 1 = Q P 2 + R dove Q è il polinomioquoziente ed R è il resto.N.B. P 1 è divisibile per P 2 se il resto èuguale a zero.16

ESEMPIO:(20 x 4 – 14 x 3 + 40 x - 32) : (4x 2 + 2x - 4)20 x 4 – 14 x 3 + 0 x 2 + 40 x - 32 4x 2 + 2x - 420 x 4 + 10 x 3 - 20 x 2– 24 x 3 + 20 x 2 + 40 x - 32 5x2 -6x + 8– 24 x 3 - 12 x 2 + 24 x32 x 2 + 16 x - 3232 x 2 + 16 x - 32\\ \\ \\17

REGOLA DI RUFFINI• Divisione di un polinomio per un binomio•Sia P 1 (x) un polinomio di grado n e P 2 (x)un binomio del tipo (x + a) con a reale(positivo o negativo), il quoziente è unpolinomio di grado n – 1 ed il resto è digrado zero .P 1 (x)= (x+a) P 2 (x)+ R18

REGOLA DI RUFFINICoefficienti P 1 (x)Termine noto P 1 (x)-aCoefficienti e terminenoto P 2 (x)Resto19

ESEMPIO(x 2 - 1) : (x + 2)1 0 -1-2 -2 41 -23x 2 - 1 = (x + 2) (x –2) + 320

REGOLA DEL RESTO• Il resto della divisione di un polinomioP 1 (x) per un binomio del tipo (x + a) è ilvalore che P 1 assume per x = - aR= P 1 (-a)Esempio:(x 2 - 1) : (x + 2)P 1 (-2) = 321

OSSERVAZIONE• Se P 1 è divisibile per (x ± a/b) allora a è undivisore del termine noto di P 1 e b è un divisoredel termine di grado massimo di P 1 .• Nell’esempio precedente: P 1 (x)=(x 2 - 1)si verifica con i divisori del termine noto: +1 e –1:P 1 (+1) = 0quindi P 1 è divisibile per (x - 1)P 1 (-1) = 0quindi P 1 è divisibile per (x + 1)22