Numeri primi: la certezza - Dipartimento di Matematica

Numeri primi: la certezza 18
Hanno inoltre provato che, se un intero n composto passa il test KS sulla base 5, allora
n è uno pseudoprimo forte di Fibonacci ([11], 4.16).
Pomerance ha congetturato che un intero n composto può passare sia il test forte di
Fibonacci che il test di Fermat solo se soddisfa l’equazione n 2 ≡ 1(mod 5).
Una forma generalizzata di questa congettura è stata presentata in [28]:
4.4 - Congettura di Pandey - Bhattacharjee
Siano n un numero composto ed r un primo che non divide n. Se
allora n 2 ≡ 1 (mod r).
(x + 1) n = x n + 1 in ZZ n[x]/(x r + 1)
Sempre in [20] KS hanno verificato la congettura 4.4 per r=5 fino a n = 10 11 .
Si tratta evidentemente di una strada molto promettente.
Se guardiamo al Teorema 4.2 osserviamo subito che in 4.3 e in 4.4 si utilizza soltanto
a = ±1. AKS hanno constatato che la possibilità di variare a aumenta essenzialmente
la quantità di informazione. Si tratta di una sorta di TAC del numero. Per ricostruire
la struttura interna del numero occorre un ammontare minimo di dati. Occorre cioè far
variare a in un intervallo sufficientemente ampio.
Ricordiamo ora la definizione di periodo e precisiamo la notazione.
Definizione 4.5 - Se r è un intero coprimo con n, diciamo periodo di n modulo r,
e lo denotiamo con or(n), il minimo intero positivo t tale che n t ≡ 1 (mod r).
Possiamo finalmente enunciare il teorema di Agrawal, Kajal e Saxena ([2], [3], [4]). Nel
seguito utilizzeremo la loro notazione e indicheremo con log il logaritmo in base 2.
Teorema 4.6 - Teorema AKS
Sia n un intero ≥ 2.
Sia r un intero positivo coprimo con n tale or(n) > log 2 n.
Allora n è primo se e solo se
1) n non è una potenza perfetta
2) n non possiede fattori primi ≤ r
3) (x + a) n ≡ x n + a, in Rr,n, per ogni a, 1 ≤ a ≤ � ϕ(r) log n.
Dunque, per provare che n è primo, è sufficiente, nelle ipotesi fatte su r, eseguire il test
per al più � ϕ(r) log n interi a.
L’algoritmo descritto nel Teorema AKS 4.6 è polinomiale?
Il punto 1) non costituisce un problema. Esistono algoritmi polinomiali molto veloci
([6]) che determinano se un intero n è della forma b e , con e > 1.
Un esame dei punti 2) e 3) di 4.6 evidenzia che tutto dipende dalla grandezza di r. Si
arriva pertanto alla seguente conclusione: