基于最小正切值的约束Ｄｅｌａｕｎａｙ三角剖分 - 南京工业大学学报（自然 ...

第 32 卷 第 5 期2010 年 9 月南 京 工 业 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 )JOURNALOFNANJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY(NaturalScienceEdition)Vol.32No.5Sep.2010doi:10.3969/j.isn.1671-7627.2010.05.021基 于 最 小 正 切 值 的 约 束 Delaunay 三 角 剖 分卢扣 , 李 明 峰 , 管 莉 莉 , 陈 春 晖( 南 京 工 业 大 学 土 木 工 程 学 院 , 江 苏 南 京 210009)摘 要 : 以 TIN 生 长 算 法 和 分 治 算 法 的 思 想 为 基 础 , 提 出 一 种 改 进 的 构 建 约 束 Delaunay 三 角 网 (CDT) 的 算 法 . 该 算法 在 生 长 算 法 和 分 治 算 法 思 想 的 基 础 上 , 以 约 束 边 为 基 边 分 别 向 两 侧 重 新 构 网 . 以 基 边 与 离 散 点 形 成 的 三 角 形 的最 小 正 切 值 为 判 断 条 件 确 定 基 点 , 实 现 对 约 束 边 影 响 域 的 三 角 剖 分 . 实 验 对 比 表 明 该 算 法 减 少 了 搜 索 基 点 的 时 间 ,提 高 了 构 网 速 度 . 因 此 得 到 最 小 正 切 算 法 优 于 传 统 算 法 的 结 论 .关 键 词 : 约 束 Delaunay 三 角 网 ; 基 边 ; 基 点 ; 最 小 正 切 值中 图 分 类 号 :TP317 文 献 标 志 码 :A 文 章 编 号 :1671-7627(2010)05-0096-04ConstraineddelaunaytriangulationbasedontheminimaltangentvalueLUKou,LIMingfeng,GUANLili,CHENChunhui(ColegeofCivilEngineering,NanjingUniversityofTechnology,Nanjing210009,China)Abstract:Traditionalmethodsoftheconstructionofconstraineddelaunaytriangulationwerestudiedcombinedwithouralgorithm,animprovedalgorithmoftheconstructionofconstraineddelaunaytriangulation(CDT)waspresented.Basedonthegrowthalgorithmanddividesandconqueralgorithm,theadvanced“twostepmethod”forreconstructingnetworkfromconstrainededgetowardbothsideswasproposed.Thebasicpointwasdeterminedbythetangentvalueoftheminimalangleinthetriangleformedbydiscretepointsandbasicedge,andtriangulationofinfluencedomainofconstrainededgewasrealized.Thealgorithmreducedthetimeofsearchingbasicpointandenhancedthespeedofnetworkconstructing.Thusitcouldobtaintheconclusionofminimaltangentalgorithmbeterthanthetraditionalalgorithm.Keywords:constraineddelaunaytriangulation;basicedge;basicpoint;minimaltangentvalue不 规 则 三 角 网 (TIN) 具 有 数 据 精 度 高 、 可 局 部加 密 等 特 点 , 是 数 字 高 程 模 型 的 基 本 形 式 , 在 三 维 可视 化 、 地 形 分 析 等 领 域 中 有 着 广 泛 的 应 用 . 在 建 立TIN 的 过 程 中 , 利 用 离 散 点 构 建 TIN 时 , 不 仅 对 三 角形 的 形 状 有 要 求 , 而 且 对 离 散 数 据 自 身 也 有 特 殊 的要 求 [1] . 例 如 , 某 些 点 的 连 线 ( 跨 河 大 桥 、 地 理 边 界 、断 裂 线 、 结 构 线 、 河 流 等 ) 对 TIN 网 的 局 部 合 理 性 有决 定 性 的 影 响 . 此 时 需 要 考 虑 对 这 些 离 散 点 加 以 某种 强 制 约 束 , 使 得 构 成 的 TIN 符 合 实 际 情 况 , 并 提 高TIN 的 质 量 . 因 此 如 何 在 无 约 束 数 据 的 三 角 网 中 嵌入 约 束 线 段 成 为 研 究 热 点 [2] .目 前 , 构 建 约 束 Delaunay 三 角 网 的 方 法 大 致 可分 为 约 束 图 法 、 分 割 合 并 算 法 、 加 密 算 法 、Shel 三角 化 算 法 和 两 步 法 [3] . 其 中 , 最 具 代 表 性 的 为 两 步法 . 两 步 法 的 实 质 是 : 首 先 对 约 束 数 据 集 建 立 非 约 束( 初 始 三 角 网 )D TIN, 然 后 在 其 中 嵌 入 约 束 线 段 并调 整 初 始 D TIN, 使 得 约 束 线 段 可 见 并 满 足 Delaunay 三 角 网 的 性 质 [4] .Bernal 算 法 是 典 型 的 两 步 法 , 该 算 法 的 基 本 原理 为 : 先 不 考 虑 约 束 条 件 构 建 初 始 D TIN; 然 后 检收 稿 日 期 :2009-06-30基 金 项 目 : 江 苏 省 资 源 环 境 信 息 工 程 重 点 实 验 室 ( 中 国 矿 业 大 学 ) 开 放 基 金 资 助 项 目 (20080104)作 者 简 介 : 卢 扣 (1983—), 男 , 江 苏 扬 州 人 , 硕 士 生 , 主 要 研 究 方 向 为 三 维 GIS 应 用 开 发 ; 李 明 峰 ( 联 系 人 ), 教 授 ,Email:njuter@163.com.

第 5 期 卢 扣 等 : 基 于 最 小 正 切 值 的 约 束 Delaunay 三 角 剖 分97测 约 束 边 所 经 过 的 所 有 三 角 形 , 从 约 束 边 的 起 点 开始 , 按 照 一 定 规 则 逐 步 交 换 对 角 线 , 最 终 使 起 始 点 与目 标 点 相 连 . 该 算 法 的 关 键 是 从 起 始 点 出 发 , 对 遇 到的 每 条 对 角 线 进 行 可 交 换 性 判 断 . 可 交 换 则 交 换 , 不可 交 换 则 判 断 下 一 条 . 第 一 轮 交 换 结 束 后 , 开 始 下 一轮 , 直 到 所 有 约 束 边 均 作 为 三 角 形 边 加 入 到 TIN 网中 [1] . 但 该 算 法 存 在 不 能 动 态 扩 充 点 集 , 并 且 执 行效 率 较 低 等 缺 点 . 因 此 , 笔 者 在 使 用 生 长 算 法 和 分 治算 法 的 基 础 上 , 在 建 网 开 始 阶 段 选 择 以 约 束 边 为 起始 边 , 基 于 最 小 正 切 值 的 比 较 选 择 三 角 形 的 第 三 点 ,分 别 向 约 束 边 两 侧 重 新 构 网 , 减 少 三 角 形 第 三 点 的查 询 时 间 , 以 提 高 算 法 效 率 .1 约 束 Delaunay 三 角 网 的 性 质在 向 标 准 的 Delaunay 三 角 网 中 加 入 约 束 边 后 ,新 的 三 角 网 则 不 再 严 格 满 足 Delaunay 三 角 网 的 空外 接 圆 和 最 小 内 角 和 最 大 这 两 个 性 质 , 只 有 在 网 内那 些 不 含 约 束 边 的 三 角 形 中 这 两 个 性 质 才 得 到 保留 . 嵌 入 约 束 边 后 的 三 角 网 ( 约 束 Delaunay 三 角 网 ,简 写 为 CDT), 具 有 以 下 性 质 .设 约 束 Delaunay 三 角 网 T(V∶L),V 为 离 散 点 的集 ,L 为 约 束 边 的 集 合 .1) 可 见 性 设 P i 、P j ∈V, 如 果 P i 、P j 的 连 线 不 与约 束 Delaunay 三 角 网 中 任 何 三 角 形 边 ( 顶 点 除 外 ) 及L 中 的 任 何 一 条 约 束 边 相 交 , 则 可 称 P i 、P j 是 可 见 的 .2) 空 外 接 圆 性 质 若 三 角 形 t 的 三 条 边 不 为 约束 边 , 则 t 为 Delaunay 三 角 形 , 当 且 仅 当 t 的 外 接 圆中 不 含 其 他 T 中 三 角 形 的 顶 点 且 t 的 三 顶 点 是 相 互可 见 时 , 则 可 称 三 角 形 t 满 足 空 外 接 圆 性 质 .3) 最 大 最 小 角 性 质 如 果 两 相 邻 的 三 角 形 t 1 、t 2 具 有 相 同 的 公 共 边 d 且 dL, 当 由 t 1 、t 2 组 成 的 四边 形 交 换 对 角 线 后 , 其 最 小 内 角 变 成 最 大 时 , 则 称 这两 个 三 角 形 满 足 最 大 最 小 角 性 质 .4) 局 部 优 化 性 质 对 于 三 角 网 T 中 的 任 意 三角 形 t, 如 果 其 三 边 都 不 是 约 束 边 , 则 它 一 定 满 足 空外 接 圆 性 质 和 最 大 最 小 角 性 质 , 则 此 三 角 形 满 足 局部 优 化 性 质 [5] .2 基 于 最 小 正 切 值 的 约 束 Delaunay三 角 剖 分 算 法21 算 法 的 基 本 思 想设 需 要 嵌 入 的 约 束 线 段 为 P 1 P 2 P 3 …P n (n>2).首 先 , 将 约 束 线 段 的 端 点 P 1 P 2 P 3 …P n 加 入 到 离 散 点集 中 , 构 建 初 始 Delaunay 三 角 网 . 然 后 , 将 约 束 边 P i P j嵌 入 初 始 Delaunay 三 角 网 中 , 对 初 始 Delaunay 三 角网 进 行 局 部 调 整 使 之 满 足 约 束 边 P i P j 的 均 可 见 性 以及 三 角 网 的 最 小 角 度 之 和 最 大 , 如 图 1 所 示 .图 1 插 入 约 束 线 段 后 的 初 始 三 角 网Fig.1 Initialtriangulationnetworkwithconstrainedlinesegment1) 设 约 束 边 为 P i P j , 删 除 初 始 三 角 网 中 与 约 束边 P i P j 相 交 的 边 , 得 到 一 多 边 形 W={P i 、A、B、…、P j 、…、P i } 为 空 腔 多 边 形 [6] , 约 束 边 P i P j 将 多 边 形W 分 成 了 W L 和 W R 两 个 部 分 , 且 W L 和 W R 也 是 简单 多 变 形 , 如 图 2 所 示 .图 2 删 除 与 约 束 边 相 交 的 线 段 形 成 的 空 腔 多 边 形Fig.2 Holowpolygonafterdeletingthelinesegmentintersectedwithconstrainedlinesegment2) 运 用 最 小 正 切 法 对 W L 和 W R 分 别 进 行 三 角剖 分 .3) 若 P n ∈W, 且 P n 与 约 束 边 P i P j 所 形 成 的 三角 形 的 正 数 最 小 正 切 值 和 约 束 边 P i P j 与 其 他 离 散点 所 形 成 三 角 形 的 正 数 最 小 正 切 值 相 比 最 大 , 则 该三 角 形 一 定 满 足 可 见 性 及 最 小 角 之 和 最 大 的 性 质 .综 上 所 述 , 分 别 对 约 束 线 段 两 侧 的 空 腔 多 边 形W L 和 W R 进 行 三 角 剖 分 , 就 可 实 现 将 约 束 线 段 P i P j嵌 入 到 初 始 三 角 网 中 .22 算 法 步 骤1) 构 建 初 始 Delaunay 三 角 网 . 初 始 三 角 剖 分 网可 利 用 现 存 的 任 一 Delaunay 三 角 剖 分 算 法 进 行 实现 , 如 图 3 所 示 .

98南 京 工 业 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 ) 第 32 卷图 3 初 始 三 角 网Fig.3 Initialtriangularnetwork2) 嵌 入 约 束 线 段 P i P j 并 删 除 与 约 束 线 段 相 交的 边 , 形 成 空 腔 多 边 形 . 连 接 点 P i 、P j 并 删 除 与 P i P j相 交 的 线 段 BD、CD、AD、AE 形 便 成 空 腔 多 边 形P i CBAP j EDP i , 如 图 2 所 示 .3) 存 储 , 将 空 腔 多 边 形 在 约 束 线 段 P i P j 两 侧 的点 分 别 存 入 W L 和 W R 两 个 点 集 合 之 中 .4) 确 定 起 始 边 , 令 约 束 边 P i P j 为 起 始 边 , 连 接起 始 边 与 相 邻 的 点 形 成 三 角 形 如 图 4 所 示 . 若 连 接成 的 三 角 形 中 包 含 有 其 他 离 散 点 , 则 该 三 角 形 不 满足 空 外 接 圆 性 质 [7] , 则 不 用 考 虑 .图 5 约 束 边 右 侧 构 建 三 角 网Fig.5 Constructedtriangularnetworkatrightsideofconstrainedlinesegment切 算 法 对 约 束 边 P i P j 左 侧 多 边 形 进 行 三 角 剖 分 . 可得 约 束 Delaunay 三 角 网 , 如 图 6 所 示 .图 6 最 终 生 成 的 三 角 网Fig.6 Finalytriangularnetwork图 4 基 边 与 基 点 连 接 而 成 的 三 角 形Fig.4 Triangleformedbybasicedgeandbasicpoint5) 计 算 △P i EP j 和 △P i DP j 各 角 度 的 正 切 值 ,并 取 出 每 个 三 角 形 的 正 数 最 小 正 切 值 , 即 ∠DP j P i和 ∠EP i P j 的 正 切 值 ( 正 切 值 为 负 数 的 角 度 为 钝 角不 可 能 为 最 小 角 ). 根 据 正 切 函 数 的 单 调 性 可 知 , 当-90°

第 5 期 卢 扣 等 : 基 于 最 小 正 切 值 的 约 束 Delaunay 三 角 剖 分99由 表 1 可 见 该 算 法 逻 辑 清 晰 、 思 维 严 谨 、 思 路 简易 , 且 具 有 较 高 的 执 行 效 率 .图 7 和 图 8 为 本 算 法 的 执 行 效 果 图 . 其 中 , 图 7为 初 始 Delaunay 三 角 网 , 图 8 为 加 入 5 条 约 束 边 并使 用 本 算 法 进 行 剖 分 后 的 约 束 Delaunay 三 角 网 .图 7 初 始 Delaunay 三 角 网Fig.7 UnconstrainedDelaunaytriangulation图 8 加 入 约 束 边 后 的 约 束 Delaunay 三 角 网Fig.8 Delaunaytriangulationwithconstrainedsegment3 结 论以 TIN 生 长 算 法 和 分 治 算 法 的 思 想 为 基 础 , 提出 基 于 最 小 正 切 值 的 约 束 Delaunay 三 角 剖 分 算 法 .该 算 法 以 基 边 与 离 散 点 形 成 的 三 角 形 的 最 小 角 的 正切 值 为 判 断 条 件 来 确 定 基 点 , 实 现 对 约 束 边 的 影 响域 进 行 三 角 剖 分 . 在 嵌 入 约 束 线 段 的 过 程 中 , 首 先 将约 束 线 段 影 响 域 中 的 离 散 点 的 数 据 进 行 分 块 存 储 ,在 进 行 三 角 剖 分 的 过 程 中 只 需 要 在 约 束 边 所 在 的 空腔 多 边 形 的 端 点 中 选 择 起 始 点 , 缩 短 了 搜 索 基 点 和三 角 网 局 部 重 新 构 建 的 时 间 , 从 而 快 速 准 确 地 将 初始 Delaunay 三 角 网 转 换 成 约 束 Delaunay 三 角 网 .参 考 文 献 :[1] 史 文 中 , 吴 立 新 , 李 清 泉 , 等 . 三 维 空 间 信 息 系 统 模 型 与 算 法[M]. 北 京 : 电 子 工 业 出 版 社 ,2007.[2] 刘 学 军 , 龚 健 雅 . 约 束 数 据 域 的 Delaunay 三 角 剖 分 与 修 改 算法 [J]. 测 绘 学 报 ,2001,30(1):82-88.LiuXuejun,GongJianya.DelaunaytriangulationofconstrainedDataSe[J].ActaGeodaeticaetCartographicaSinica,2001,30(1):82-88.[3] 邓 曙 光 , 刘 刚 , 邹 帆 . 约 束 数 据 域 Delaunay 算 法 详 述 及 进 展[J]. 沈 阳 航 空 工 业 学 院 学 报 ,2005,22(5):79-80.DengShuguang,LiuGang,ZhouFan.DilationandevolutionofconstraineddataregionDelaunayalgorithm[J].JournalofShenyangInstituteofAeronautcalEngineering,2005,22(5):79-80.[4] 任 振 娜 , 李 斌 兵 , 周 浩 , 等 . 一 次 性 生 成 约 束 Delaunay 三 角 网算 法 的 编 程 与 实 现 [J]. 测 绘 工 程 ,2006,15(1):54-58.RenZhenna,LiBinbing,ZhouHao,etal.Theprogram andachievementoftheconstrainedDelaunaytriangulationusingonceforalgeneration[J].EngineeringofSurveyingandMapping,2006,15(1):54-58.[5] 宋 占 峰 , 詹 振 炎 , 蒲 浩 .Delaunay 三 角 剖 分 中 嵌 入 约 束 边 的 局部 调 整 算 法 [J]. 西 南 交 通 大 学 学 报 ,2002,37(4):399-403.SongZhanfeng,ZhanZhenyan,PuHao.AlocaladjustmentalgorithmforinsertingconstrainedsegmentsinDelaunaytriangulation[J].JournalofSouthwestJiaotongUniversity,2002,37(4):399-403.[6] 刘 少 华 . 约 束 数 据 域 Delaunay 三 角 剖 分 算 法 研 究 与 应 用 [J].计 算 机 应 用 研 究 ,2004,26(3):26-28.LiuShaohua.Astudyonalgorithm ofDelaunaytriangulationfortheconstraineddatasetandapplication[J].ApplicationResearchofComputers,2004,26(3):26-28.[7] 宋 晓 宇 , 戚 爱 伟 , 王 永 会 . 基 于 分 治 策 略 的 快 速 构 建 Delaunay三 角 网 算 法 [J]. 沈 阳 建 筑 大 学 学 报 : 自 然 科 学 版 ,2007,23(5):862-865.SongXiaoyu,QiAiwei,WangYonghui.AfastconstructionalgorithmofDelaunaytriangulationbasedondivideandconquer[J].JournalofShenyangJianzhuUniversity:NaturalScienceEdition,2007,23(5):862-865.[8] 熊 斌 , 蒲 浩 , 宋 占 峰 . 基 于 二 叉 排 序 树 的 约 束 Delaunay 三 角 网局 部 调 整 算 法 .[J]. 重 庆 交 通 大 学 学 报 : 自 然 科 学 版 ,2008,27(2):327-332.XiongBin,PuHao,SongZhanfeng.LocaladjustmentalgorithmforconstructingconstrainedDelaunaytriangulationbasedonbinarysorttree[J].JournalofChongqingJiaotongUniversity:NaturalScienceEdition,2008,27(2):327-332.[9] 刘 永 和 , 王 润 怀 , 齐 永 安 . 一 种 非 凸 包 边 界 约 束 不 规 则 三 角 网生 成 算 法 [J]. 测 绘 科 学 ,2008,33(3):79-81.LiuYonghe,WangRunhuai,QiYongan.Analgorithm foriregulartriangulatednetworksrestrictedbynonconvexborder[J].ScienceofSurveyingandMapping,2008,33(3):79-81.[10] 宋 晓 宇 , 戚 爱 伟 , 王 永 会 , 等 . 基 于 最 大 外 接 圆 的 约 束 Delaunay 三 角 剖 分 算 法 [J]. 沈 阳 建 筑 大 学 学 报 : 自 然 科 学 版 ,2008,24(6):1095-1098.SongXiaoyu,QiAiwei,WangYonghui,etal.ConstrainedDelaunaytriangulationdivisionalgorithmbasedonmaximalcircumcircl[J].JournalofShenyangJianzhuUniversity:NaturalScienceEdition,2008,24(6):1095-1098.