La retta - stringherserale

La rettaDefinizioniRette particolariRappresentazione graficaRette parallele e perpendicolariRetta per un punto e per due puntiDistanza di un punto da una rettaIntersezione tra due retteEserciziMateria: Matematica Autore: Mario De Leo

DefinizioniUna funzione espressa da una equazione di primo grado nelledue incognite x e y ha come rappresentazione grafica(diagramma) sempre una retta.Tale equazione può essere data in due forme:- implicita: ax + by + c = 0dove a , b , c sono i coefficienti, di volta in volta diversi, chevariando individuano le infinite rette del piano;- esplicita: y = mx + qmdove:am = −b;q = −cbè detto coefficiente angolare della retta (ne dà la pendenza)ed è ottenuto dal rapporto∆ y(variazione della y frattovariazione della x);∆ xq è il punto di intersezione con l’asse y.

ESEMPIO:Data la retta di equazione3 x − 2y − 4 = 0con opportuni passaggi− 2y→22= −3x+ 4y=32x −→422yla sua forma esplicita sarà:= 3x− 4in cuim3 y = + x − 223= + ; q = −22Se il coefficiente angolare è positivo la retta è crescente (aumentandoil valore della x, aumenta anche quello della y), se è negativo la retta èdecrescente (aumentando la x diminuisce la y).

Rette particolaria) se c = 0 (y = mx) la retta passa per l’origine (manca il termine noto);b) se a = 0 (y = k) la retta è parallela all’asse x (manca il termine con la x);c) se b = 0 (x = k) la retta è parallela all’asse y (manca il termine con la y);d) bisettrice del 1° e del 3° quadrante; e) bisettrice del 2° e del 4° quadrante.

Rappresentazione graficaPer rappresentare una retta bastaindividuare due punti (per due puntipassa una ed una sola retta); sel’equazione è in forma esplicita unodei due punti è sempre (0 ; q).ESEMPIO:Data la retta di equazione3 x − y + 2 =conviene portarla nella formaesplicitay= 3 x + 2e poi assegnare due valori arbitrarialla x (ad esempio -1 e 1) perottenere i corrispondenti valori dellay.0X- 1+ 1y- 1+ 5Esempio: y = 3x+2f (-1) = 3(-1)+2 = -3 +2 = -1f (+1) = 3(+1)+2 = +3 +2 = +5

Rette parallele e perpendicolariDue rette di coefficienti angolari m 1e m 2sono:m =• parallele se (coefficienti angolari uguali);1m 22 1 2⎛a⎞y = − x+; y = − x−3; 2x+3y−1=0 ⎜ricordiamoche m= − ⎟3 2 3⎝b⎠1• perpendicolari se m1 ⋅ m2= −1oppure m1= − (coefficientiangolari uno l’antireciproco dell’altro). m22 1y = − x+3 2x−2y+5 = 0⊥⊥3y = + x−322x+y−7= 0

Retta passante per un punto (fascio proprio)Per un punto passano infinite rette (ognuna delle quali avrà coefficienteangolare diverso). L’equazione di tutte le rette passanti per un punto P x ;sarà: y − y0 = m ⋅ ( x − x 0) ; conoscendo il coefficiente angolare, si può ricavarel’equazione di una determinata retta.ESEMPIO: Sono dati il punto P − 2 ; + 3 e il coefficiente angolareavremo( )m = +2( x + 2) → y − 3 = 2x+ 4 → y = 2x7y − 3 = 2⋅+Retta passante per due puntiPer determinare l’equazione della retta passante per i generici punti A x ;e B( x ; y ) si utilizza la formula: y y1x − x1, escludendo il caso2 2x1= x=y − y x − x2(retta parallela all’asse y), e il caso y = (retta parallela all’asse x).ESEMPIO: Dati i punti 1;2 e B 3;−1 sostituendo nella formula si121( )0y 0( )1y 1− 21y 2A ( ) ( )ottiene y − 2 x −1=−1− 2 3 −1→2y− 4 = −3x+ 3 →y − 2 x −1= →− 3 23x+ 2y− 7 = 02( y − 2) = −3( x −1)→

Distanza di un punto da una retta( )x 0; y 0Per calcolare la distanza di un punto da una rettaax + by + c = 0a ⋅ xsi utilizza la formula: .d=Nel caso in cui l’equazione della retta sia nella formaesplicita si può utilizzare la formula: .0+ b ⋅aESEMPIO: Dati il punto P + 3;−1 e la retta di equazionesostituendo nella formula otterremo:3 x + 4y−1=d =3⋅3+4⋅320( −1)+ 42( )2−1=y+ b02Pd+ c=9−4−19+16y0=− mx01+m45− q2

Intersezione tra due retteDate due generiche rette 1q 1 e , la loro intersezione(il punto che hanno in comune) si ottiene risolvendo il sistema formatodalle equazioni delle due rette.Se il sistema ammette una soluzione (determinato) le rette sono incidenti:m1 ≠ m2∧ q1≠ q21=Se il sistema non ammette soluzioni (impossibile) le rette sono parallele:m = m ∧ q ≠Se il sistema ammette infinite soluzioni (indeterminato) le rette sonocoincidenti:m = m ∧ q =ESEMPIO: Date le rette di equazioni erisolviamo il sistema⎧2x− y + 1 = 0⎨usando il⎩x+ y − 7 = 0⎧ − 2y+ 14 − y + 1 = 0⎨→⎩*P ( + 2 ; + 5)( se q q è quello il punto d'int ersezione)metodo⎧−2y−⎨⎩*y m x +disostituzioney = −14−1è il punto d’intersezione.= y = m2x+ q22q1 21 2q1 21 22 x − y + 1 = 0 x + y − 7 = 0→( − y + 7)⎧2− y + 1 = 0⎨e risolvendo⎩x= − y + 7⎧−3y= −15⎧y= 5⎨→ ⎨⎩*⎩x= −5+ 7 = 2

Esercizi1) Rappresenta sul piano cartesiano le rette di equazioniy = 3x−1 e x + 2 y − 5 = 02) Trova l’equazione della retta passante per il punto P ( − 2;3)e parallela alla retta di equazione 2 x − y + 1 = 0[ y = 2 x + 7]3) Trova l’equazione della retta passante per il punto P ( 2;−3)[ ]e perpendicolare alla retta di equazione 2 x + 4y− 3 = 0 2 x − y − 7 = 04) Trova l’equazione della retta passante per il punti( 1 ; 3) , B ( 2;1)A −5) Calcola la distanza del punto P ( 3;4)2 x − y + 6 =06) Calcola in cm l’area del triangolo di verticiA( − 4 ; − 2) , B( − 3;−1) , C( −1;3)dalla retta di equazione[ 2 x + 3y − 7 = 0]⎡⎢d⎣8=5⎤⎥⎦[ Area=1cm]7) Trova le coordinate del punto d’intersezione, se esiste, tra le rette⎡ 1 ⎤2 x + 4y− 3 = 0 e ⎢− ; + 12 x − y + 2 = 0⎥⎣ 2 ⎦.