1 , , 0 2 2 ccx ⎧ ⎫ ⎛ ⎞ = + ⎨ ⎬ ⎝ ⎠⎩ ⎭ u 0 0 0 0 0 0 fff

COMPITINO 10 Aprile, 2006MECCANICA DEI CONTINUI – SOLIDINota: le domande “di teoria” vanno affrontate come se si trattasse di una domanda orale(introdurre il problema, spiegare i termini usati e i passaggi svolti)Problema 1) (punti 27)Si consideri la lastra quadrata in figura di lato L e spessore unitario. La lastra è di materiale elasticolineare (modulo di Young E e coefficiente di Poisson ν ) ed è soggetta al sistema di forze mostrato infigura.X 2DfCLfALBX 1a) (5 punti) Si dimostri che il campo di spostamento infinitesimo:⎧ c ⎛1⎞ ⎫u = ⎨ , c⎜+ x1⎟, 0⎬⎩2 ⎝2⎠ ⎭può costituire soluzione del problema elastico e si determini la costante c in funzione dei datiassegnati. (Nota: ogni passaggio della derivazione deve essere dimostrato).b) (3 punti) Si dimostri se al campo di spostamento assegnato è associato un atto di moto rigido e lo sidescriva.c) (3 punti) Si ricavino i tensori di deformazione infinitesima e degli sforzi di Cauchy nel sistema diriferimento principale utilizzando il metodo degli autovalori.d) (2 punti) Si traccino le isostatiche di trazione e compressione sulla configurazione indeformata dellalastra. (Nota: mostrare come sono state ricavate)e) (3 punti) Si calcolino le lunghezze deformate delle due diagonali AC e BD del quadrato.f) (6 punti) Si enunci e si dimostri il teorema di Clapeyron del lavoro di deformazione. Si applichiquindi il teorema al problema in esame verificandone la validità. Si spieghi perché è possibile nonconsiderare nell’applicazione i contributi di traslazione e rotazione rigida del campo di spostamento.g) (5 punti) Si utilizzi il principio dei lavori virtuali per dimostrare che il tensore di tensione di Cauchy⎡ 0 − f 0⎤T =⎢−ff 0⎥⎢⎥⎢⎣0 0 0⎥⎦T

non è equilibrato con le forze assegnate. Si enunci il principio e si spieghi perché può essere utilizzato atal fine facendo riferimento al problema in esame.(nota: tra i possibili campi di spostamento e deformazione compatibili è possibile considerare quellosoluzione del problema elastico anche trascurando la traslazione rigida)Problema 2) (punti 8)Si ricavino le equazioni del legame elastico lineare isotropo a partire dall’energia potenziale elastica dideformazione. (nota: la derivazione deve essere limitata al caso di materiale lineare ed isotropo madeve contenere un inquadramento del problema)Problema 1:SOLUZIONIa) Costante c:(il resto della soluzione sui fogli)b) Atto di moto rigido:c) Tensori di deformazione infinitesima e tensione di Cauchy principali:d) Isostatiche di trazione e compressione:e)Lunghezza finale diagonale AC:Lunghezza finale diagonale BD:f) soluzione sui fogli allegatig) soluzione sui fogli allegatiProblema 2:Soluzione sui fogli allegati