OLTRE LE TAVOLE DI VERITA' Tutti gli uomini sono ... - Filosofia

OLTRE LE TAVOLE DI VERITA’Tutti gli uomini sono animaliTutti gli animali sono mortaliTutti gli uomini sono mortaliQuesto argomento è valido, ma se lo formalizziamo con il linguaggio dellalogica proposizionle non riusciamo a caratterizzarne la forma logica che lorende valido. Infatti, usando la logica proposizionale otteniamo:Tutti gli uomini sono animali = pTutti gli animali sono mortali = qTutti gli uomini sono mortali = rApplicando il metodo delle tavole di verità dobbiamo verificare se "(p ∧ q) →r" è una tautologia:p q r (p ∧ q) → rV V V V V V V VV V F V V V F FV F V V F F V VV F F V F F V FF V V F F V V VF V F F F V V FF F V F F F V VF F F F F F V FUna volta formalizzato con il linguaggio della logica proposizionale,l'argomento risulta invalido (alla seconda riga il condizionale assume ilvalore F)Occorre utilizzare un linguaggio che sia espressivamente più forte di quellodella logica proposizionale. Dobbiamo ricorrere alla logica dei predicati.LINGUAGGIO DELLA LOGICA PREDICATIVA - sintassiCostanti singolari {a, b, c…} che si sostituiscono ai nomi propri (Mario, Annaecc.) e alle descrizioni definite (= il presidente della Repubblica, la mela,ecc.) (le descrizioni definite sono introdotte da un articolo determinativo).Costanti predicative {P, Q, R…} che si sostituiscono alle espressioniformate da copula + aggettivi, verbi (è italiano, è più alto di, corre, ama ecc.)Connettivi {∼, ∧, ∨, →, ↔}Quantificatore universale {∀} (= tutti, ogni}

Quantificatore esistenziale {∃} (= qualche, qualcuno)Variabili {x, y, z}Esempi di formalizzazione:Mario corre = Pa (Mario = a, correre = P)Mario mangia la mela = Rab (Mario = a, la mela = b, mangiare = R)Il presidente della Repubblica è aziano = Qc (c = il presidente dellaRepubblica, essere anziano = Q)Tutti sono mortali = ∀x(Mx) (tutti = ∀x, essere mortale = M)(ogni cosa è mortale)Tutti gli uomini sono mortali = ∀x(Ux → Mx)(ogni cosa se è un uomo allora è mortale)Qualcuno è ricco = ∃x(Sx) (qualcuno = ∃x, essere ricco = S)(esiste qualcosa che è ricca)Nessuno vive più di 300 anni = ∼∃x(Tx) (nessuno = ∼∃x, vivere più di 300anni)(non esiste alcuna cosa che vive più di 300 anni)Mario apre una porta = ∃x(Px ∧ Abx) (qualcosa = ∃x, P = essere una porta, b= Mario, aprire = A)(esiste una cosa che è una porta e mario la apre)Mario apre la porta = Aab (Mario = a, la porta = b aprire = A)Nessun uomo vive più di 300 anni = ∼∃x(Ux ∧ Tx) (nessuno = ∼∃x, essere unuomo = U, vivere più di 300 anni = T)(non esiste una cosa che è un uomo e vive più di 300 anni)tutti i marinai amano una ragazza = ∀x(Mx → ∃y(Ry ∧ Axy)) (ogni cosa se èun marinaio allora esiste un'altra cosa tale che è una ragazza e la cosa cheè marianaio la ama) (in questo caso può essere che ogni marianaio amiuna ragazza diversa).oppure∃y(Ry ∧ ∀x(Mx → Axy))(in questo caso diciamo che c'è una unica ragazza e tutti i marinai amanoquella ragazza)Formalizzazione del sillogismo

Tutti gli uomini sono animaliTutti gli animali sono mortaliTutti gli uomini sono mortali∀x(Ux → Ax)∀x(Ax → Mx)∀x(Ux → Mx)METODO DEGLI ALBERI SEMANTICI1) Si contrassegnano tutti gli enunciati con V o con F; se A è un enunciato,V[A] si dice il coniugato di F[A] e viceversa F[A] si dice il coniugato di V[A].Se in un ramo si trovano un enunciato contrassegnato e il suo coniugatoallora il ramo si chiude. Se tutti i rami di una albero sono chiusi, alloral'albero si chiude. Si costruisce l'albero applicando le seguenti regole aglienunciati che contengono connettivi o quantificatori. Il procedimento dicostruzione ha termine quando tutti gli enunciati che contengono connettivio quantificatori sono stati esaminati o quando l'albero si chiude. Quando unnodo viene esaminato applicandogli una regola lo si segna e da quelmomento non lo si può più esaminare. Ci sono due eccezioni: la regola perV[∀x(Ax)] e quella per F[∃x(Ax)] consentono di esaminare il nodo tutte levolte di cui se ne ha bisogno.2) Regole per la costruzione degli alberiRegole per i connettiviV[~A] V[A∧B] V[A∨B] V[A→B] V[A↔B]F[A] V[A] V[A] V[B] F[A] V[A] V[A] F[A]V[B] V[B] F[B]F[~A] F[A∧B] F[A∨B] F[A→B] F[A↔B]V[A] F[A] F[B] F[A] V[A] V[A] F[A]F[B] F[B] F[B] V[B]Regole per i quantificatori1) Se si esamina un nodo del tipo V[∀x(Ax)] si prolungano i rami aperti chelo contengono con i nodi V[Aa] per tutte le costanti singolari a che figuranoin ciascun ramo. Il nodo non viene contrassegnato. Qualora nei rami nonfiguri nessuna costante singolare allora si introduce il nodo V[Aa] dove a èuna costante qualsiasi.2) Se si esamina un nodo del tipo F[∀x(Ax)] si prolunga ogni ramo apertoche lo contiene con il nodo F[Aa] dove a è una costante che non figura nelramo. Il nodo viene contrassegnato.3) Se si esamina un nodo del tipo V[∃x(Ax)] si prolunga ogni ramo apertopassante per esso con il nodo V[Aa] dove a è una costante che non figuranel ramo. Il nodo si contrassegna.

4) Se si esamina un nodo del tipo F[∃x(Ax)] si prolunga ogni ramo apertopassante per esso con il nodo F[Aa] per tutte le costanti a che occorrono inciascun ramo. Il nodo non si contrassegna. Qualora nel ramo non figuranessuna costante individuale, allora si introduce il nodo F[Aa] dove a è unacostante qualsiasi.Attenzione: chiamiamo le regole che non generano biforcazioni "regole ditipo I" (esempio: F[A∨B]) , quelle che generano biforcazioni "regole di tipo II"(esempio: F[A∧B]) , quelle che richiedono l'introduzione di costanti singolariche non appaiono nei nodi precedenti "regole di tipo III" (F[∀x(Ax)] eV[∃x(Ax)]) e quelle che richiedono l'uso di tutte le costanti singolari presentinei nodi precedenti quando ci sono o di una costante singolare qualsiasiquando non ve ne sono altre (V[∀x(Ax)] e F[∃x(Ax)]) "regole di tipo IV". Unsuggerimento è di applicare, quando è possibile farlo, le regole in questoordine: prima quelle di tipo I, poi quelle di tipo III, poi quelle di tipo IV e infinequelle di tipo II.Applicazione del metodo degli alberi semanticiTest per la tautologia:Si contrassegna un enunciato con F e si costruisce l'albero semanticoapplicando le regole sopra elencate. Se l'albero si chiude allora l'enunciatoè una tautologia.Test per la validità degli argomentiPer testare la validità di un argomento si procede seguendo la stessastrategia del metodo delle tavole di verità: si construisce un condizionaleche ha come antecedente la congiunzione delle premesse dell'argomentoe come conseguente la conclusione dell'argomento. Se, applicando ilmetodo dell'albero semantico, l'albero si chiude allora l'argomento è valido.EsempiVerifichiamo se il seguente enunciato è una tautologia: (Pa ∧ (Pa → Qb))→QbF[(Pa ∧ (Pa → Qb)) →Qb ]*V[Pa ∧ (Pa → Qb)]**F[Qb]V[Pa]V[Pa → Qb]***F[Pa] V[Qb]=== ===

Spiegazione: applichiamo (*) la regola F[A→B] al nodo iniziale e otteniamoV[Pa ∧ (Pa → Qb)] e F[Qb]; poi applichiamo (**) la regola V[A∧B] a V[Pa ∧(Pa → Qb)] e otteniamo V[Pa] e V[Pa → Qb]; infine applichiamo (***) laregola V[A→B] a V[Pa → Qb] e otteniamo una biforcazione: F[Pa] e V[Qb].Nell'albero ora ci sono due rami e ci accorgiamo che entrambi contengonoun enunciato contrassegnato e il suo coniugato. Entrambi i rami sichiudono, l'albero si chiude, e quindi l'enunciato è una tautologia.Verifichiamo se il seguente enunciato è una tautologia: ∀x(Px) → PaF[∀x(Px) → Pa]*V[∀x(Px) ]F[Pa]V[Pa]===Spegazione: applichiamo la regola F[A→B] al nodo iniziale F[∀x(Px) → Pa]e otteniamo V[∀x(Px)] e F[Pa]; applichiamo la regola V[∀x(Ax)] a V[∀x(Px)](attenzione: questa volta il nodo esaminato non viene segnato) e otteniamoV[Pa]; l'unico ramo si chiude, l'albero si chiude, quindi l'enunciato è unatautologia.Verifichaimo se il seguente enunciato è una tautologia: ∀x(Px) → ∃x(Px)F[∀x(Px) → ∃x(Px)]*V[∀x(Px)]F[∃x(Px)]V[Pc]F[Pc]===Spiegazione: applichiamo (*) la regola F[A→B] al nodo iniziale e otteniamoV[∀x(Px)] e F[∃x(Px)]; poi applichiaamo la regola V[∀x(Ax)] a V[∀x(Px)] eotteniamo V[Pa] (in questo caso introduciamo una costante singolare "c"qualsiasi poiché nei nodi precedenti non appaiono costanti singolari); poiapplichiamo F[∃x(Ax)] a F[∃x(Px)] e otteniamo F[Pc]; il ramo si chiude,l'albero si chiude e l'enunciato è una tautologia.Verifichiamo che il seguente argomento è valido:∀x(Rxa → Rba)~Rba∀x(~Rxa)F[(∀x(Rxa → Rba) ∧ ~Rba) →∀x(~Rxa)]*V[∀x(Rxa→ Rba) ∧ ~Rba)]**

F[∀x(~Rxa)]****V[∀x(Rxa→ Rba)]V[~Rba)]***F[ Rba]F[ ~Rca]*****V[Rca]V[Raa→ Rba)]V[Rba→ Rba)]V[Rca→ Rba)]******F[ Rca] V[Rba)]=== ===Spiegazione: costruiamo il condizionale e lo contrassegnamo con F;applichiamo (*) ad esso la regola F[A→B] e otteniamo V[∀x(Rxa→ Rba) ∧~Rba)] e F[∀x(~Rxa)]; applichiamo (**) la regola V[A∧B] a V[∀x(Rxa→ Rba)∧ ~Rba)] e otteniamo V[∀x(Rxa→ Rba)] e V[~Rba)]; applichiamo (***) laregola V[~A] a V[~Rba)] e otteniamo F[ Rba]; applichiamo (****) la regolaF[∀x(Ax)] a F[∀x(~Rxa)] e otteniamo F[~Rca] (attenzione: qui introduciamouna nuova costante singolare); applichiamo (*****) la regola F[~A] a F[~Rca] e otteniamo V[Rca]; applichiamo V[∀x(Ax)] a V[∀x(Rxa→ Rba)](attenzione: in nodo non viene segnato) e otteniamo V[Raa→ Rba)],V[Rba→ Rba)], e V[Rca→ Rba)]; applichiamo (******) la regola V[A→B] aV[Rca→ Rba)] e otteniamo F[ Rca] e V[Rba)]; l'albero subisce unabiforcazione e ci accorgiamo che entrambi i rami si chiudono, l'albero sichiude, quindi l'argomento è valido.SILLOGISMOTipi di enunciati.1. Universali affermativi (A): Tutti gli A sono B2. Universali negativi (E): Tutti gli A non sono B (nessun A è B)3. Particolari affermativi (I): Qualche A è B4. Particolari negativi (O): Qualche A non è BUn sillogismo è un ragionamento costituito da tre enunciati dei quattro tipiconsiderati) di cui due sono le premesse e il terzo la conclusione. Nellaprima premessa compaiono due predicati, uno dei quali (il termine medio)compare anche nella seconda premessa. Nella conclusione compaiono Idue predicati che non sono il termine medio.I sillogismi si dividono in quattro figure a seconda della posizione deltermine medio1 2 3 4Q M Q M M Q M QM P P M M P P M

Q P Q P Q P Q PLe due premesse e la conclusione possono essere ciascuna di unoqualunque dei quattro tipi A, E, I, O; quindi, ci sono 64 possibili tipi disillogismi per ciascuna figura (256 in totale).Ad esempio, scegliendo IAE e la figura 1 otteniamoQualche Q è MTutti i M sono PNessun Q è PDei 256 tipi di sillogismo solo 19 sono validi.Regole e fallacie sillogistiche:1) Tutti i sillogismi validi devono contenere esattamente tre termini,ciascuno dei quali è usato con lo stesso significato in tutto l'argomento. Unargomento che viola questa regola si chiama fallacia dei quattro termini(quaternio terminorum) ed è un caso di fallacia per equivocazione (unastessa parola è usata con due significati diversi).Tutti gli uomini sono liberiNessuna donna è un uomoNessuna donna è libera2) Nessun sillogismo che abbia due premesse negative (E, O) è valido. Unargomento che viola questa regola commette la fallacia della premesseesclusive.Nessun astrologo è uno scienziatoAlcuni scienziati non sono maghiAlcuni maghi non sono astrologi3) In tutti i sillogismi validi, se una delle due premesse è negativa allora laconclusione deve essere negativa. Un argomento che viola questa regolacommette la fallacia di trarre una conclusione affermativa da una premessanegativa.Nessun poeta è un dirigenteAlcuni artisti sono poetiAlcuni artisti sono dirigenti4) Nessun sillogismo valido può avere conclusione particolare (I, O) eentrambe le premesse universali (A, E). Un argomento che viola questaregola commette la fallacia esistenziale.Tutti i canarini sono animali domesticiNessun unicorno è un animale domestico

Alcuni unicorni non sono canarini(nota bene: se all'argomento aggiungiamo la premessa ∃x(x è un unicorno),l'argomento risulta valido).SUGGERIMENTI PER STUDIARE ARGOMENTI1) Indicatori di conclusione:Pertanto, quindi, dunque, così, di conseguenza, per queste ragioni, segueche, si può inferire, si conclude che, mostra che, conseguentemente,implica che, porta alla conclusione che, prova che.2) Indicatori di premessa:Poiché, perché, infatti, dato che, visto che, segue da, come indicato da, perla ragione che, può essere inferito (dedotto, derivato) da.3) Uso di domande retoriche al posto di enunciati dichiarativi.Esempio: Giovanna è in Spagna. Infatti Giovanna è a Barcellona e comepuò non essere in Spagna se è a Barcellona? (= se è a Barcellona, allora èin Spagna).4) Uso di immagini al posto di enunciati dichiarativi.5) Premesse inespresse (argomenti entinemi):Non voleva la corona. Quindi non era ambizioso.Se fosse stato ambizioso, allora avrebbe voluto la coronaNon voleva la coronaNon era ambizioso6) L'ordine delle premesse e conclusione può essere invertito.7) Catene di sillogismi:dalle premessetutti i diplomatici sono persone di tattoalcuni funzionari del governo sono diplomaticitutti i funzionari del governo sono figure pubblichenon è possibile derivare la conclusionealcune figure pubbliche sono persone di tattomediante una sola inferneza sillogistica.Per derivare la conclusione occorrono due sillogismi concatenati:Tutti i diplomatici sono individui dotati di tatto

Alcuni funzionari del governo sono diplomaticiAlcuni funzionari del governo sono individui dotati di tattoAlcuni funzionari del governo sono individui dotati di tattoTutti i funzionari del governo sono figure pubblicheAlcune figure pubbliche sono individui dotati di tatto8) interdefinibilità dei quantificatori∀x = ~∃x~∃x = ~∀x~tutte le cose sono P = non si da il caso che qualcosa non sia P∀x(Px) = ~∃x~(Px)Qualcosa è P = non si da il caso che tutte le cose non siano P∃x(Px) = ~∀x~(Px)Tutte le cose non sono P = non esiste qualcosa che sia P∀x~(Px) = ~∃x(Px)qualcosa non è P = non si da il caso che tutte le cose siano P∃x~ (Px) = ~∀x(Px)Argomenti asillogisticiTutti gli alberghi sono sia costosi sia deprimentiAlcuni alberghi sono malandatiAlcune cose costose sono malandateL'argomento non può essere formalizzato in termini sillogisticiTutti gli A sono XAlcuni A sono MAlcuni C sono ML'argomento deve essere formalizzato come segue, cioé utilizzando duecostanti predicative diverse per "essere costoso" e "essere deprimente".Una volta formalizzato in questo modo, diventa evidente che l'argomentonon è un sillogismo poiché contiene 4 termini.∀x(Ax → (Cx ∧ Dx))∃x(Ax ∧ Mx)∃x(Cx ∧ Mx)(verificate con il metodo degli alberi semantici che questo argomento èvalido!)