Esempio di calcolo su rafforzamento locale di edifici in ... - ReLUIS

Allegato alle Linee Guida per la Riparazione e il Rafforzamentodi Elementi Strutturali, Tamponature e PartizioniEsempio di calcolo su rafforzamento locale di edifici in muratura con tirantiIl documento rappresenta una revisione dell’esempio di calcolopubblicato il 19 Ottobre 2009 e contiene le correzioni di alcuni refusi dicui è pervenuta segnalazione: le modifiche rispetto al precedentetesto sono evidenziate in rossoVersione aggiornata a Luglio 2010a cura diM. Munari, G. Bettiol, F. da Porto, L. Milano, C. ModenaIntroduzioneL’intervento di seguito proposto per il progetto di rafforzamento locale di un edificio in muraturamediante introduzione di tiranti, nel caso in cui si attivi il meccanismo di ribaltamento fuoripiano, fa riferimento agli ultimi due livelli di una parete di un edificio sito in centro storico, la cuigeometria è di seguito riportata (Fig. 1):2Figura 1Il procedimento segue il metodo di analisi dei meccanismi locali di collasso valido per gli edificiesistenti in muratura, e le corrispondenti formule utilizzate sono in accordo alla vigentenormativa (Decreto Ministeriale 14 gennaio 2008, “Norme Tecniche per le Costruzioni”, erelativa Circolare del Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti n. 617 del 2/2/09 “Istruzioniper l'applicazione delle «Norme Tecniche per le Costruzioni» di cui al D.M. 14/01/2008”).

Caratteristiche geometriche e dei materialiDefinizione dei parametri geometrici:d2N2N2obispessore della parete i-esimahialtezza della parete i-esimah2dibraccio del carico del solaio i-esimo rispetto allo spigolo esternoP2b2Parete 2N1N1oPipeso della parete i-esima:P b hi muratura i id1Nicarico del solaio gravante sulla parete i-esima:h12Ni Gsolaio 2i Qsolaio Gsolaio 0.3QsolaioA1.90 mi i i iP1b1Parete 1N G Q G 0. 2 Q2 copertura 2 icoperturacoperturacoperturaA1.96m2ANio spinta orizzontale dell’eventuale volta presente al livello i-esimo Figura 2Sulla base delle informazioni complessivamente acquisite sul fabbricato, si assume un livellodi conoscenza LC1 (§ C8A.1.A, Circ. n.617 del 2/2/09), che porta all’adozione di un fattore diconfidenza f c = 1,35 (Tabella C8A.1.1, Circ. n.617 del 2/2/09) e all’utilizzo dei valori minimi diresistenza riportati nella Tabella C8A.2.1 per la tipologia muraria in considerazione.Dalle verifiche in situ condotte si ipotizza che la muratura che compone l’edificio sia in pietre aspacco con buona tessitura, dalla tabella C8A.2.1 della Circ. n.617 2/2/09 risultano i valori diseguito riportati:Peso specifico medio della muraturaw = 21.0 kN/m3Resistenza media a compressione della muraturaf m =260 N/cm2Resistenza media a taglio della muraturaτ 0=5,6 N/cm2Il coefficiente parziale di sicurezza γs da utilizzare per il progetto sismico delle strutture inmuratura è pari a 2 (§7.8.1.1 del D.M. 14.01.08). I valori di calcolo delle resistenze sonopertanto i seguenti:- r (resistenza a compressione di calcolo della muratura): r = f m /f c /γ s = 260 N/cm 2 /1,35/2 = 96N/cm 2- f v0 (resistenza a taglio di calcolo della muratura in assenza di compressione): f v0 = τ 0/f c /γ s =5.6N/cm 2 /1,35/2 = 2,07 N/cm 2 .pag. 3

Analisi dei carichiLe azioni di calcolo, in riferimento ai carichi permanenti e accidentali ipotizzati, vengonovalutate secondo le Norme Tecniche per le Costruzioni (D.M. 14.01.08).Le verifiche allo stato limite in considerazione, devono essere effettuate per la combinazionedell’azione sismica con le altre azioni fornita dall’eq. 3.2.16 del D.M. 14.01.08: G G P E22jQ j kj1 .I valori dei coefficienti di combinazione ψ 2i sono riportati nella tabella 2.5.I del D.M. 14.01.08,e nel presente caso valgono ψ 2i = 0,3 per categoria A – ambienti ad uso residenziale; ψ 2i = 0,2per neve a quota > 1000m s.l.m..Gli effetti dell'azione sismica saranno valutati tenendo conto delle masse associate ai seguenticarichi gravitazionali: (eq. 3.2.17 D.M. 14.01.08): G G 221 .jQ j kjIn relazione all’edificio allo studio, i dati dimensionali della parete analizzata ed i relativi carichirisultano pari a quelli riportati nella tabella seguente, in riferimento alla geometria delcinematismo in considerazione, riportata in Figura 2 (nel caso in esame N 1o = N 2o = 0 kN):DATI DELLE PARETIN = 3 b 1 = 0,45 m b 2 = 0,45 mZ = 3,3 m h 1 = 2,6 m h 2 = 2,4 mh tot = 8,3 m N 1 = 75,58 kN N 2 = 106,33 kNh bar = 3,0 m d 1 = 0,30 m d 2 = 0,30 ml = 6,8 m P 1 = 167,08 kN P 2 = 154,22 kNpag. 4

Calcolo del cinematismoIl sistema oggetto di studio è composto da un blocco monolitico, che comprende in altezza gliultimi due livelli di una parete. La scelta di questa porzione di facciata è legata alle condizionidi vincolo presenti nel manufatto che portano a ritenere maggiormente probabile un eventualeribaltamento fuori piano degli ultimi due livelli.La parete si considera investita dall’azione sismica con direzione ortogonale al proprio piano:essa è quindi soggetta ad un sistema di forze verticali ed orizzontali, comprendente i pesi e leforze orizzontali instabilizzanti ad essi proporzionali. La rotazione monolitica della pareteavviene attorno alla cerniera A (Figura 3), arretrata rispetto al filo esterno del muro in seguito aparzializzazione della sezione e concentrazione degli sforzi. La cerniera cilindrica attorno a cuiruota la parete si forma quindi lungo una linea più interna rispetto allo spigolo della parete.N2P2h2N1AP1h1b1Atb1Figura 3La muratura è considerata completamente non reagente a trazione e si ipotizza unadistribuzione lineare delle tensioni di compressione, il polo di rotazione è assunto nelbaricentro delle tensioni di compressione. L’arretramento t rispetto allo spigolo è quindi:2Wi it 3lr5,1cmcon: Σi Wi peso totale della parete e di tutti i carichi gravanti su di essa r= 0.96 MPal = 6.8 mresistenza a compressione della muraturalunghezza della paretepag. 5

La parete muraria sarà soggetta all’azione di un momento ribaltante (dato dalla sommadell’azione sismica relativa al peso e al carico a livello degli impalcati) che tenderà a farlaruotare attorno alla cerniera cilindrica che si forma alla base. Questa azione è contrastatadall’azione di un momento stabilizzante di segno opposto generato dalla forza peso dellaparete stessa e dei carichi che su di essa gravano. Imponendo le condizioni d’equilibrio siottiene il valore del moltiplicatore dei carichi che attiva il meccanismo considerato:b1 b2MS P1( t) N1( d1t) P2( t) N2( d2t) 101.09 kNm2 2h1 h2MI P1 N1 h1 P2 h1 N2 htot N1o h1 N2o htot 1531.412 2 kNmMSMI 0 0.066Considerando un atto di rotazione virtuale della parete attorno alla cerniera A, considerando lospostamento virtuale orizzontale del punto di applicazione del carico N 2 (posto all’altezza H =h 1 + h 2 = 5.0 m rispetto alla base della parete) come punto di spostamento di controllo unitariosi possono ricavare le espressioni degli spostamenti virtuali orizzontali δ x,i dei punti diapplicazione degli i-esimi carichi:1 h2 h1 h22 1h h , x, P h1 0. 76 ,2 h hx,N2 1 2h1 h221 2hh11h12x, N h1 0.52 , x, P 1 0. 26 :1h h2 h1 h212La massa partecipante al cinematismo M * è quindi data da (eq. C8A.4.3, Circ. n.617 del2/2/09):N2 xN ,P 2 2xP ,N 2 1xN ,P1 1xP, 1M * 42.10 kNg N P N P2 2 2 22 xN , 2 2 xP , 2 1 xN , 1 1 xP , 1e la frazione di massa partecipante è pari a (C8A.4.2.2, Circ. n.617 del 2/2/09):2,e*g MPn mi1i*g MP N P11*2 N2 0.82 .L’accelerazione sismica spettrale a * (eq. C8A.4.4, Circ. n.617 del 2/2/09) andràopportunamente ridotta per tenere conto del Livello di Conoscenza raggiunto. Tenendo contodel fattore d confidenza F C = 1.35, risulta quindi:n m0 Pii1* FC*0 g 0.0669.81a0 0. 584*M e F 0.821.35Cm2spag. 6

Verifica dello SLV con analisi “lineare”Ricordando che:340.751 10.05 8.3 0.24T C H s è il primo periodo di vibrazione dell’intera strutturanella direzione considerata (eq.7.3.5 D.M. 14.01.08),q = 2Z = 3.3 mH = 8.3 mN = 3ψ(Z) = Z/Hγ = 3N / (2N+1)fattore di struttura,altezza, rispetto alla fondazione dell'edificio, delbaricentro delle linee di vincolo tra i blocchi,altezza della struttura rispetto alla fondazione,è il numero di piani dell’edificio,(in assenza di valutazioni più accurate), è il primomodo di vibrare nella direzione considerata,(in assenza di valutazioni più accurate), è ilcorrispondente coefficiente di partecipazionemodale;affinché il cinematismo risulti verificato è necessario controllare che l’accelerazione spettrale diattivazione del meccanismo verifichi entrambe le disuguaglianze (eq. C8A.4.9 e C8A.4.10della Circ. n.617 2/2/09):a* gPVRS 2.46 1.2m ma0 1. 474 (per elemento isolato o porzione sostanzialmente22q 2.0 s sappoggiata a terra e per porzioni in quota),aSTZS3.30.24 e* e 108.3 1. 7822q2.097msm2s(per porzione della costruzioneposta ad una certa quota).* m m * m mIn tal caso, le disuguaglianze ( a0 0.584 1. 474 ; a22 0 0.584 1. 78222s ss sentrambe non verificate.) sonoLa porzione di edificio considerata non è verificata in relazione al cinematismo implementato:la capacità del sistema analizzato è circa il 33% della domanda richiesta dalla normativa.pag. 7

Verifica dello SLV con analisi “non lineare”L’evoluzione del cinematismo si segue per via analitico - numerica, considerando unasuccessione di rotazioni virtuali finite e aggiornando la geometria variata del sistema: fissatauna rotazione finita k , si può determinare il moltiplicatore ad essa corrispondente così comefatto nel caso della configurazione iniziale del sistema, tenendo però conto della variazionedella geometria. Tramite relazioni trigonometriche, supponendo che le azioni restino costanti,è possibile ricavare le espressioni per i bracci delle forze agenti in funzione della rotazione kche si fa compiere alla struttura e seguire la variazione del coefficiente fino al suoannullamento. Ad esempio, per il momento stabilizzante M s è possibile ricavare, nella genericaconfigurazione variata, la seguente espressione:MsiP RiPi cosN R cos N R sinPiiNiNiioNioNiodove: R ib iè il raggio che unisce il polo di rotazione e il punto di applicazione della genericaforza P i ,è l’angolo che il raggio forma con l’orizzontale.Si ricava (notazioni in relazione alla Figura 4): h12 h1P arctg 1. 438 rad1 b12 t , N arctg 1. 475 rad1 d1t , h1 h22 htotP arctg 1. 525 rad2 b22 t , N arctg 1. 521 rad2 d2t ;22 h1 b122R P t 1. 312 m1 2 2, R N h1 d1 t 2. 612 m1 ,22 h2 b222R P h1 t 3. 804 m2 2 2, RN htot d2 t 5. 006 m2 ,MS N P R21 RN 2P1 coscosP kN RN N kP RP P k11cos112cos22 N Rsin N Rsin N 2k1oN1N1k2oN 2N 2kpag. 8

Aumentando l’angolo di rotazione, si ha una diminuzione del braccio delle forze verticalirispetto alla cerniera cilindrica (per alcuni valori di k , il punto di applicazione di alcune forzeesce dal filo della parete su cui si trova il polo di rotazione e, in questi casi, il momentogenerato da tali forze, che diventano instabilizzanti, sarà negativo, contribuendo alladiminuzione del momento resistente) e un aumento del braccio delle forze orizzontali: neconsegue una diminuzione del momento stabilizzante, che in una certa configurazione arrivaad annullarsi, e un aumento del momento ribaltante. A questo corrisponde, per quanto detto,una diminuzione del coefficiente , che si annullerà in quella configurazione in cui è nullo ilmomento resistente.È possibile determinare l’angolo k0 (cui corrisponde lo spostamento d k0 del punto di controlloconsiderato) che caratterizza la configurazione per cui si ha l’annullamento del moltiplicatore e quindi del momento stabilizzante M s , in via semplificata, mantenendo costanti all’evolversidel cinematismo le diverse azioni presenti: la configurazione cercata può essere ottenutaesprimendo la geometria in una generica configurazione variata, funzione della rotazione finita k0 , calcolando l’espressione per il momento resistente (Figura 4), ponendo:N R cosN R sinM P R cos 0siiPiPiiNidove: R i è il raggio che unisce il polo A al punto di applicazione della forza P iNiioNioNiob iè l’angolo che il raggio forma con l’orizzontaleRN1h1N1P1RP1Figura 4e ricavando da tale equazione l’incognita k0 = 3.8 d .Ab1pag. 9

Determinata la rotazione finita k0 si può ricavare il corrispondente spostamento d k0 . Comepunto di controllo è assunto il baricentro delle forze verticali, la cui altezza rispetto al polo dirotazione è:hh1Nh1 P1 htotN2 h2N P N Ph22P112bar 3. 001 1 2 2mLo spostamento d k0 del punto di controllo che si ha in corrispondenza dell’annullamento di ognicapacità del sistema di sopportare azioni orizzontali è quindi:k0 bar k0d h sin 0.20 mAvendo seguito passo-passo le successive configurazioni variate del sistema in esame, è notacon precisione la variazione del coefficiente di collasso al variare di k ; è di conseguenzanoto anche il legame tra e lo spostamento generalizzato d k del punto di controllo dellastruttura ed è quindi possibile definire la curva ad esso relativa. A questo punto deve esseredefinita la curva di capacità del corrispondente oscillatore semplice.Lo spostamento spettrale d * (eq. C8A.4.5, Circ. n.617 del 2/2/09) dell’oscillatore equivalente a1 g.d.l può essere ottenuto da:nm2 Pixi ,* i10 k0 nmk0hbarxk , Pixi,i1 h1h22 2 2 2N2 xN ,P 2 2xP ,N 2 1xN ,P1 1xP, 1d d d 0.24m N P N P2 xN , 2 2 xP , 2 1 xN , 1 1 xP , 1essendo δ x,k lo spostamento virtuale orizzontale del punto assunto come riferimento per ladeterminazione di d k , e quindi, nel caso in analisi, del baricentro delle forze verticali.Risulta così nota la curva di capacità del sistema in esame. Lo spostamento spettrale per laverifica allo stato limite ultimo è definito dalla normativa a partire dallo spostamento spettrale*d0che si ha in corrispondenza dello spostamento d k0 (§ C8A.4.2.3, Circ. n.617 del 2/2/09) .Secondo la normativa (§ C8A.4.2.2, Circ. n.617 del 2/2/09) il valore dallo spostamentospettrale deve corrispondente al minore fra gli spostamenti così definiti:a) il 40% dello spostamento per cui si annulla l’accelerazione spettrale a*, valutata su unacurva in cui si considerino solamente le azioni di cui è verificata la presenza fino al collasso;b) lo spostamento corrispondente a situazioni localmente incompatibili con la stabilità deglielementi della costruzione(ad esempio, sfilamento di travi), nei casi in cui questo siavalutabile.pag. 10

Date le condizioni del caso in esame il valore più significativo si ritiene pari a:d 0.4d 0.098 mu*0La domanda di spostamento viene valutata sullo spettro in corrispondenza del periodosecante T s (§. C8A.4.2.3 della Circ. n.617 2/2/09):d 0.40d 0.04 m,* *suadm** *ssa0 1 0.49* 2d0sd Ts2 1.77a*s*ssRicordando che, il periodo di vibrare della struttura può essere stimato pari a (eq. 7.3.5 D.M.14.01.08):340.7511 0.058.3 0.24T C H sLa verifica di sicurezza viene svolta mediante spettro di capacità, che risulterà soddisfatta sela capacità di spostamento ultimo(T s ) soddisfano la relazione d ≤*dudel meccanismo locale e la domanda di spostamento d*due, quindi, se lo spostamento richiesto alla struttura inpresenza di evento sismico risulta minore dello spostamento ultimo per collasso delmeccanismo. Si ha (eq. C8A.4.11 e C8A.4.12, Circ. n.617 del 2/2/09):*du maxSDe0.098 m maxST;S TSDeDe1ZH3N 2N11.770.104; S 0.24De2TS T 1 2 T STS1 0.02 T 1 T1 3.3 33 8.3 2311.770.24 1.77 1 0.24 22 0.021.770.24 0.05 0.104mper cui la porzione di edificio anche per l’analisi “non lineare” non è verificata in relazione alcinematismo implementato: la capacità di spostamento del sistema analizzato è circa il 93%della domanda di spostamento richiesta dalla normativa.pag. 11

Calcolo del tiranteL’analisi dei risultati emersi dal calcolo, svolto considerando gli adeguati coefficienti riduttividella capacità in relazione al livello di conoscenza, indica una condizione complessiva carenterelativamente al rischio sismico per la struttura analizzata.Al fine di inibire il meccanismo evidenziato ipotizziamo l’inserimento di una coppia di tiranti alivello degli impalcati (Figura 5). Gli sforzi nei tiranti (T 1 per la parete 1, T 2 per la parete 2)appaiono oltre un certo valore di 0per impedire la doppia possibilità di ribaltamento dellaparete 2 attorno allo spigolo B o dell’insieme delle due attorno allo spigolo A. Gli sforzi ditrazione sui tiranti si calcolano quindi con l’equilibrio alla rotazione, attorno alla cerniera B (perdeterminare T 2 ) e alla cerniera A (per determinare T 1 ).d2N2T2N2oh2P2Parete 2b2N1BT1N1od1h1P1b1Parete 1AFigura 5La posizione delle cerniere A e B è individuata dal punto in cui termina la sezione reagente, lacui ampiezza (distanza t 1 e t 2 ) si può determinare limitando la massima tensione al lembo piùcompresso al valore σ r = 0.96 MPa:t2 W2 N2 P230.966.8i i23r l2.7cmt2 Wi i1 3lr5.1cmpag. 12

Nell’equazione del momento ribaltante per la parete 2 attorno allo spigolo B, si deve tenere inconsiderazione la forza di trattenimento esercitata dal tirante T 2 .Considerando che anche in questo caso le forze orizzontali sono le forze inerziali,dall’equilibrio dei momenti attorno al centro di rotazione B risulta quindi:MS b2 P2 2 t2 N2d2 t2T2 N2oh2M R h2 0 P2 N2 h2 2T2 P20 N 2 1 b2 P2 t h2 2 Nd t N h 22 2 2 2 2o2Analogamente, nel calcolare il momento ribaltante dell’insieme dei due corpi attorno al centrodi rotazione A, si devono tenere in conto le azioni di trattenimento di entrambi i tiranti T 1 e T 2 .Si ricava quindi:MS b1 b2P1 t1 P2 t1 N1 2 2 d1 t1N2d2 t1T1 N1oh1 T2 Nohtot2 h1 0P1 N 2 h2 h1 P2 h 2 NMR11 2 P1T 10 N1 21h1 b1P1 2 P2 NP2h2h b2 t1 P2 t 22112 N N12 hh2 h1totd t N d t N h T N h 11Imponendo la condizione di equilibrio alla rotazione tramite l’uguaglianza dei momentiribaltanti e stabilizzanti, è possibile trovare il coefficiente di attivazione 0 espresso in funzionedello sforzo nei tiranti, T 1 e T 2 .Se i tiranti esistono già e sappiamo qual è l’azione limite da loro sopportabile, ossiaconosciamo il massimo T 2 e T 1 esplicabile, otteniamo il coefficiente sismico di attivazioneultimo per quest’insieme di pareti vincolate alla loro sommità.Se invece si utilizza il valore di 0 tale da soddisfare la verifica SLU lineare (semplificata)proposta dalla normativa sismica (eq. C8A.4.9 e C8A.4.10 della Circ. n.617 2/2/09), si ottieneil valore dello sforzo nei tiranti richiesto per l’azione sismica di progetto, e si può passare alloro dimensionamento.2211o122ototpag. 13

Imponendo:Z 3N a 0.10 SSeT1*g a2 10 max; H N 1.782 qq si ham2sa e Fg1.7820.821.359.81* *0 C00.20Ne risultano individuati i valori (complessivi) degli sforzi nei tiranti:T2 11.21 kNT1 54. 98 kNTali valori andrebbero, per coerenza, proporzionati con riferimento alla tensione limite, ma afavore di sicurezza conviene mantenere lo stato tensionale al di sotto dello snervamento pergarantire il contatto tra la parete esterna e quelle di controvento evitando ogni possibilità diplasticizzazione dei tiranti.Considerando, ad esempio, 4 tiranti Ø 18 mm in acciaio AISI 304 (tensione di snervamento f y= 240 MPa, coeff. parziale di sicurezza per l’acciaio γ s =1 in caso sismico), due a livello delprimo orizzontamento e due a livello della copertura, ogni tirante è in grado. È necessarioeseguire tre verifiche:1. meccanismo di rottura relativo allo snervamento dei tiranti (T 1 );2. meccanismo di rottura relativo al punzonamento della muratura nelle zone diancoraggio (T 2 );3. meccanismo di rottura relativo alla resistenza del muro nei confronti della penetrazionedell’ancoraggio, dovuta ad eccesso di pressione di contatto (T 3 ).Per l’analisi è ragionevole scegliere il minimo valore ottenuto.2 9 240T1Afy 61, 0 kN310T2 fv 2 ( bt) 2 ( at) t 27,9kNT3 rab86,4kNpag. 14

dove:- f y è la tensione di snervamento dei tiranti, nel caso in esame assunta pari a 240 MPa- A s è l’area della sezione trasversale dei tiranti (diametro Ø 18), pari a 254,5 mm 2- a è l’altezza delle piastre di ancoraggio dei tiranti, pari a 0,3 m- b è la larghezza delle piastre di ancoraggio dei tiranti, pari a 0,3 m- t è lo spessore della parete su cui sono ancorati i tiranti, pari a 0,45 m- r è la resistenza a compressione di calcolo della muratura, pari a r = f m /f c /γ s = 260N/cm 2 /1,35/2 = 96 N/cm 2- f v è la resistenza a taglio di calcolo della muratura, valutata come f v =t 0 /f c /γ s =5.6 N/cm 2 /1,35/2= 2,07N/cm 2 , trascurando la tensione di compressione lungo le facce di scorrimento, di entitàmolto esigua per il caso in esame.Dai risultati ottenuti il minimo è pari a T=27,9 kN. Saranno quindi necessari 2 tiranti (per piano)per un T totale =55,80 kN, superiore al tiro necessario (54,98 kN)Da precisare che nel caso in cui per il calcolo del tirante si sia fatto riferimento ad unaporzione di parete unitaria sarà necessario moltiplicare il valore del tiro per l’area di afferenzadella singola catena.pag. 15

Particolari costruttiviParticolare tipo: capochiave a paletto di ancoraggio barre ø24 mmParticolare tipo: piastra rettangolare ad incasso di ancoraggio barre ø30 mmNota: dettagli esecutivi tipo per interventi di incatenamento descritti al § 3.2.1.1 delle “Linee guida per la riparazione e ilrafforzamento di elementi strutturali, tamponature e partizioni”.pag. 16